Metody numeryczne II

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody numeryczne II"

Transkrypt

1 Metody numeryczne II Poszukiwanie ekstremów funkcji Janusz Szwabiński nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.1/55

2 Poszukiwanie ekstremów funkcji 1. Funkcje jednej zmiennej metoda złotego podziału interpolacja paraboliczna i metoda Brenta poszukiwanie minimów z wykorzystaniem pierwszych pochodnych 2. Funkcje wielu zmiennych metoda symplex metoda Powella metody oparte na gradientach 3. Minima globalne nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.2/55

3 Sformułowanie zagadnienia f(x) x nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.3/55

4 Metoda złotego podziału (1) Jeżeli dla zachodzi oraz funkcja osobliwa) ma w przedziale minimum (o ile nie jest potrzeba trzech punktów do zlokalizowania minimum nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.4/55

5 Metoda złotego podziału (2) Wybieramy nowy punkt (lub ) minimum leży w przedziale minimum leży w przedziale punkt środkowy trypletów lub jest najlepszym przybliżeniem minimum osiągniętym do tej pory nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.5/55

6 Metoda złotego podziału (3) nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.6/55

7 Metoda złotego podziału (4) Załóżmy, że minimum leży w punkcie go zlokalizować w małym przedziale oraz, że udało nam się gdzie to liczba rzędu jednostki maszynowej (np. pojedynczej precyzji) W otoczeniu punktu funkcja dana jest wzorem w Chcemy, aby w ostatnim równaniu drugi wyraz był rzędu : nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.7/55

8 Metoda złotego podziału (5) Dla większości funkcji wartość Stąd nie ma raczej sensu pytać o otoczenie minimum mniejsze niż nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.8/55

9 !! #! #! #! Metoda złotego podziału (6) Przypuśćmy, że jest ułamkiem odległości między i, tzn.! Załóżmy ponadto, że następny przedział, w którym znajduje się minimum, będzie miał długość albo Chcemy zminimalizować najgorszą możliwość: nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.9/55

10 #! $ # ( ' & %!!!!! Metoda złotego podziału (7) Stąd wynika będzie symetryczny do względem środka przedziału i będzie leżał w dłuższym z podprzedziałów Jeżeli wybraliśmy poprzednim zrobiliśmy to samo dla Stąd optymalnym w bierzącym kroku, to w powinien być tym samym ułamkiem odległości między (jeśli to jest większy podprzedział), co jest między i i nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.10/55

11 ( & ) ' & Metoda złotego podziału (8) punkt środkowy optymalnego przedziału zawierającego minimum leży w odległości ułamkowej od jednego z końców i od drugiego liczba cyfr znaczących w wyniku rośnie liniowo z liczbą dodatkowych kroków nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.11/55

12 Interpolacja paraboliczna i metoda Brenta (1) Funkcja wystarczająco gładka w pobliżu minimum funkcja kwadratowa jest dobrym przybliżeniem parabola dopasowana do dowolnych trzech punktów powinna doprowadzić nas w jednym kroku do minimum albo przynajmniej w jego bliskie otoczenie nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.12/55

13 Interpolacja paraboliczna i metoda Brenta (2) f(x) x nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.13/55

14 Interpolacja paraboliczna i metoda Brenta (3) Minimum paraboli przechodzącej przez trzy dowolne (niewspółliniowe) punkty, i * + * + * + * + Wada: wzór opisuje zarówno minimum jak i maksimum paraboli w pobliże minimum dochodzimy innym algorytmem nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.14/55

15 ! -,!! -, Interpolacja paraboliczna i metoda Brenta (4) Metoda Brenta: w każdym kroku tej metody zapamiętujemy sześć punktów,,,, i minimum leży w przedziale to najlepsze do tej pory przybliżenie minimum w punkcie najmniejszą wartość funkcja ma drugą co do wartości - poprzednia wartość to punkt, w którym wartość funkcji była wyliczona ostatnio nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.15/55

16 -! Interpolacja paraboliczna i metoda Brenta (4) interpolację kwadratową przeprowadzamy dla punktów i, wynik interpolacji zostaje zaakceptowany, jeśli: parabola leży wewnątrz przedziału interpolacja pociąga za sobą przesunięcie od nowego punktu, które jest mniejsze niż połowa takiego przesunięcia w poprzednim kroku. jeśli interpolacja będzie nie do przyjęcia, włączamy metodę złotego podziału do nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.16/55

17 Metody wykorzystujace pierwsze pochodne (1) Teoretycznie możemy po prostu szukać pierwiastków pierwszej pochodnej, ignorując zupełnie informację zawartą w wartościach funkcji Wady jak odróżnić maksima od minimów (bez wyliczania drugiej pochodnej) dokąd pójść z warunków początkowych, które pokazują spadek pochodnych w jednym (lub obu) punkcie zewnętrznym w kierunku wyprowadzającym po za przedział określoności funkcji nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.17/55

18 Metody wykorzystujace pierwsze pochodne (2) Inna możliwość jeżeli minimum znajduje się w przedziale obliczenie pochodnej w punkcie czy punkt leży w wartości pochodnej w czy w, wskazuje jednoznacznie, i w poprzednim punkcie ekstrapolowane do zera metodą siecznych (odwrotna interpolacja liniowa) są nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.18/55

19 ... Metoda symplex (1) Definicja Sympleks to figura geometryczna, składająca się w wymiarach z punktów (wierzchołków) trójkąt w dwóch wymiarach czworościan (niekoniecznie regularny) w trzech wymiarach traktując dowolny punkt niezdegenerowanego sympleksu jako początek, inne punkty definiują kierunki wektorów rozpinających wymiarową przestrzeń wektorową nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.19/55

20 . 7 Metoda symplex (2) Wartości początkowe potrzebujemy punktów oznaczając jeden z nich przez, inne określamy ze wzoru /1032 / /4062 /4065 gdzie / wektor bazowy - charakterystyczna skala problemu nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.20/55

21 Metoda symplex (3) Definicja Najwyższym punktem sympleksu nazywamy wierzchołek, w którym wartość funkcji będzie największa. Analogicznie określamy punkt najniższy sympleksu Deformacje sympleksu odbicia (z zachowaniem objętości) odbicie i rozciąganie kontrakcja nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.21/55

22 Metoda symplex (4) a) najwyższy punkt nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.22/55

23 Metoda symplex (5) b) nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.23/55

24 Metoda symplex (6) c) nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.24/55

25 Metoda symplex (7) d) sympleks porusza się w kierunku najbliższego minimum i zapada się w sobie po jego osiągnięciu nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.25/55

26 Metoda Powella (1) Startujemy w punkcie /4062 i przemieszczamy się w kierunku /9: minimum funkcji /40 wzdłuż możemy znaleźć za / : pomocą metod dla funkcji jednej zmiennej chcemy znaleźć minimum funkcji wielu zmiennych wykonujac szereg jednowymiarowych minimalizacji nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.26/55

27 Metoda Powella (2) Wektory jednostkowe,..., / 8<; /98>= jako zbiór kierunków zadowalające dla pewnej klasy funkcji, ale mało wydajne y x nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.27/55

28 Metoda Powella (3) Przy wyborze zbioru kierunków powinniśmy zwrócić uwagę na dwie rzeczy: zbór powinien zawierać kilka, które szybko doprowadzą nas w pobliże minimum minimalizacja w jednym kierunku nie powinna psuć osiągniętej już minimalizacji w innym. nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.28/55

29 / B 5 5 / B / F F B 5 /, Metoda Powella (4) Minimalizujemy funkcję wzdłuż gradient funkcji w minimum (liniowym) musi być /, prostopadły do / 0 w szereg względem początku układu Rozwijamy?? /10 DC C C??? B / E / /? + E * / IHKJ G /10 F?? B nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.29/55

30 / E G / E / L E G L Metoda Powella (5) Gradient funkcji ma postać / minimum występuje w punkcie będącym rozwiązaniem układu / Poruszając się w pewnym kierunku, spowodujemy zmianę gradientu nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.30/55

31 Metoda Powella (6) Aby minimalizacja wzdłuż /, nie zepsuła minimalizacji wzdłuż / -, gradient musi pozostać prostopadły do /, / - E /, G / L, i / - /, są sprzężone nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.31/55

32 . M C C C. M ; C C C. M N C C C N Metoda Powella (7) Inicjalizujemy zbiór kierunków wektorami bazowymi /, 5 /98 5 /, 5 Procedura bazowa: zapamiętaj pozycję wyjściową jako / 062 dla kierunku dla przyjmij przesuń /, 5 /, = /0 =, przesuń /065 i oznacz ten punkt jako /0 = przyjmij /032 do minimum wzdłuż do minimum wzdłuż /, 5 /, = / 065 /, 5O ; i nazwij ten punkt /062 nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.32/55

33 P P..... Metoda Powella (8) dla formy kwadratowej którego sprzężonych iteracji produkuje zbiór kierunków, ostatnich elementów jest wzajemnie ze sobą iteracji procedury bazowej ( minimalizacji liniowych) powinno dokładnie zminimalizować formę kwadratową Wada odrzucenie w każdym kroku /, ; na rzecz /10 = do wytworzenia kierunków liniowo zależnych / 062 zmierza reinicjalizuj zbiór kierunków iteracjach procedury bazowej po każdych /, 5 lub nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.33/55

34 G Metoda najszybszego spadku (1) wybierz punkt początkowy /4062 przejdź od do /4065 /4065O ; minimalizuj kierunku najszybszego spadku, tzn. ac funkcję wzdłuż /4065 nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.34/55

35 Metoda najszybszego spadku (2) metoda wymusza skręty pod kątem prostym mała wydajność (ale duża stabilność!) nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.35/55

36 / E / M C C C Metoda gradientów sprzężonych (1) Załóżmy ponownie, że naszą funkcję można przybliżyć formą / / / Startując od pewnego wektora wektorów,, generujemy dwa ciągi /9Q 2 /4R 5 E 7 5 / Q 5 / Q 5O ; / Q 2 /4R 2 / R 5 5 TS ; / Q 5O /4R 5O ; nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.36/55

37 M U 5 S Metoda gradientów sprzężonych (2) Chcemy, aby wektory spełniały warunki ortogonalności i sprzężenia /9Q B / Q 5 /1R B E /1R 5 /4R B /9Q 5 Stąd wynika /R 5 / Q 5 / Q 5 / Q / R 5 E / R 5 /4R 5 E /4R 5 ; / Q 5O ; /9Q 5O / Q 5 /9Q 5 nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.37/55

38 G M C C C Metoda gradientów sprzężonych (3) Twierdzenie 1 Niech /065 G /9Q 5 dla pewnego punktu, w którym funkcja /1065 ma postać formy kwadratowej. Przypuśćmy dalej, że kontynuujemy poszukiwanie minimum w kierunku w punkcie /1065O ; oraz, że nowe minimum ulokowane jest / R 5. Wówczas zachodzi ; /1035O / Q 5O ; przy czym /9Q 5O ; jest taki sam, jakby był skonstruowany za pomoca / R 5 E 7 5 / Q 5 ; / Q 5O nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.38/55

39 / E G E 7 Metoda gradientów sprzężonych (4) Dowód Z równania / wynika / /1035 E / Q 5 a zatem / R 5 E 7 / Q 5 / /1R 5 7 /1035 / Q 5O ; z dobranym tak, aby osiągnąć minimum liniowe. Ale w minimum tym zachodzi ; /9Q 5O / R 5 G /R 5 nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.39/55

40 7 Metoda gradientów sprzężonych (5) Dowód (ciąg dalszy) Rozwiązując ostanie dwa równania względem, otrzymamy /4R 5 / Q 5 / Q 5 / Q 5 / R 5 E / R 5 /4R 5 E /4R co kończy dowód nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.40/55

41 V Wyżarzanie symulowane (1) Analogia z termodynamiką wolno schładzany system znajduje stan o minimalnej energii energia systemu w równowadze termicznej w temperaturze jest rozłożona pomiędzy różne stany energetyczne z rozkładem prawdopodobieństwa Boltzmanna W P V Z XY W 0 nawet w niskich temperaturach system może znajdować się w stanie o wysokiej energii istnieje możliwość, że system wyjdzie z lokalnego minimum i znajdzie inne (lepsze) nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.41/55

42 W W ; W W ; [ V P Wyżarzanie symulowane (2) Algorytm Metropolisa: symulowany system zmienia konfigurację z energii do z prawdopodobieństwem Z XY ]_^\ nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.42/55

43 W V Wyżarzanie symulowane (3) Niezbędne elementy (w systemach innych niż termodynamiczne) opis możliwych konfiguracji systemu generator losowych zmian w konfiguracji funkcja obliczeń parametr (odpowiednik energii), której minimum to cel (odpowiednik temperatury) oraz reguły, w jaki sposób parametr ten zmieniany jest od dużych do małych wartości. nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.43/55

44 * b: a Wyżarzanie symulowane (4) Zagadnienie komiwojażera: Problem odwiedzamy miast o pozycjach wracamy do miasta początkowego ` 5 5 każde miasto ma być odwiedzone tylko raz trasa możliwie najkrótsza zupełny, a następnie czas znalezienia dokładnego rozwiązania rośnie z jak ced Z XY koszty obliczeniowe są bardzo duże dużo minimów lokalnych nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.44/55

45 .f S Wyżarzanie symulowane (5) Cel praktyczny: znaleźć minimum, które nawet jeśli nie jest absolutne, nie może być już dużo bardziej poprawione wyżarzanie pozwala znaleźć takie minimum z nakładem obliczeń, gdzie to pewna mała liczba nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.45/55

46 . M C C C Wyżarzanie symulowane (5) 1. Konfiguracja: miasta są ponumerowane indeksem i każde z nich ma współrzędne Konfiguracje to permutacje numerów miast 2. Zmiany konfiguracji:. ` 5 5 część trasy usunięta i zastąpiona tymi samymi miastami w odwrotnej kolejności część trasy usunięta i wstawiona między inne dwa miasta nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.46/55

47 g W 5 iw V iw V V.. Wyżarzanie symulowane (6) 3. Energia to po prostu długość całej trasy ; ` 5O ` 5 ; 5O ; = 5Kh 4. Generujemy najpierw losowo różne konfiguracje i używamy ich do określenia zmian, z którymi będziemy mieli do czynienia przy przejściu od kroku do kroku. Wybieramy początkowe największego dużo większe od, a następnie zmniejszamy maksymalnie 10% w każdym kroku. Utrzymujemy dla rekonfiguracji lub (w zależności od tego, co nastąpi wcześniej) o stałe udanych rekonfiguracji nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.47/55

48 / / / L / / / Wyżarzanie symulowane (7) Minimum zwykłej funkcji 1. Konfiguracja to po prostu punkt 2. Zmiana konfiguracji to losowe przesunięcie od do 3. Energia to wartość 4. Parametr kontrolny definiuje się podobnie, jak w przypadku minimalizacji kombinatoryjnej nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.48/55

49 Metody dyfuzyjne (1) Wyobraźmy sobie metodę, której każdy krok polega na częściowym zasypywaniu minimów lokalnych po pewnej liczbie kroków, powinna zostać jedynie reszta minimum globalnego do jego znalezienia wystarczą metody lokalne nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.49/55

50 j j i c Metody dyfuzyjne (2) Funkcję jednej zmiennej ciągowi transformacji: poddajemy następującemu 2 2 i c 2 ; j. lk j i c lk ; lk O przy czym jest małą, dodatnią liczbą nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.50/55

51 $ Metody dyfuzyjne (3) minima w każdym kroku będą płytsze maksima będą niższe w punktach przegięcia funkcja pozostaje bez zmian Przykład Rozważmy funkcję $ C nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.51/55

52 Metody dyfuzyjne (4) f 3 (x) f 2 (x) f 1 (x) f 0 (x) x nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.52/55

53 Metody dyfuzyjne (5) Wady pozycja minimum w każdym kroku przesuwa się w porównaniu z położeniem oryginalnym konieczność wyliczania drugich pochodnych Rozwiązanie (pierwszego problemu) obliczamy minimum funkcji nm i traktując to jako wartość startową, szukamy minimum funkcji możliwe, jeżeli krok od do 5 5O ; itd. po nie będzie zbyt duży nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.53/55

54 j j i c r i c j j jc c Metody dyfuzyjne (6) Z równania qk j i c qk ; qk O wynika qk qk ; qk O j W granicy otrzymamy qk c qk j czyli jednorodne równanie dyfuzji ze stałą dyfuzji równą 1 oraz warunkiem początkowym 2 nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.54/55

55 Metody dyfuzyjne (7) W s wymiarach j qk / c j c iut / c Możliwe rozwiązanie tego równania ma postać / c v c t j t 2 / XY Z / / w c nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/ :40 p.55/55

Metody numeryczne II

Metody numeryczne II Metody numeryczne II Poszukiwanie ekstremów funkcji Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne II (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/55 Poszukiwanie ekstremów funkcji 1. Funkcje jednej zmiennej

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne I Równania nieliniowe

Metody numeryczne I Równania nieliniowe Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI

WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja ciągła

Optymalizacja ciągła Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/

Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ Wstęp do metod numerycznych 9. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2011 Lokalna minimalizacja ciagła Minimalizacja funkcji jest jedna z najważniejszych

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Iteracyjne rozwiązywanie równań

Iteracyjne rozwiązywanie równań Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

5. Metody stochastyczne (symulowane wyżarzanie, algorytmy genetyczne) -> metody Monte Carlo

5. Metody stochastyczne (symulowane wyżarzanie, algorytmy genetyczne) -> metody Monte Carlo Optymalizacja (minimalizacja) funkcji Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu 2. Metody bezgradientowe a) metoda złotego podziału b) metoda sympleks c) metoda interpolacji Powell'a 3. Metody

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody bezgradientowe optymalizacji bez ograniczeń Materiały pomocnicze do ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Strategia minimalizacji wielowymiarowej Zakładamy, że metody poszukiwania minimów

Bardziej szczegółowo

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np. Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora

Bardziej szczegółowo

Metody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk

Metody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk Metody Numeryczne Optymalizacja Optymalizacja Definicja 1 Przez optymalizację będziemy rozumieć szukanie minimów lub maksimów funkcji. Optymalizacja Definicja 2 Optymalizacja lub programowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

1 Równania nieliniowe

1 Równania nieliniowe 1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja ciągła

Optymalizacja ciągła Optymalizacja ciągła 4. Metody kierunków poprawy (metoda spadku wzdłuż gradientu) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 21.03.2019 1 / 41 Plan wykładu Minimalizacja

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja (minimalizacja) funkcji. Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu. 2. Metody bezgradientowe

Optymalizacja (minimalizacja) funkcji. Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu. 2. Metody bezgradientowe Optymalizacja (minimalizacja) funkcji Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu. Metody bezgradientowe a) metoda złotego podziału b) metoda sympleks c) metoda interpolacji Powell'a 3. Metody

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.

Metody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 12. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 12. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 12. Minimalizacja: funkcje wielu zmiennych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Strategia minimalizacji wielowymiarowej Zakładamy, że metody poszukiwania minimów

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

METODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r= Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja ciągła

Optymalizacja ciągła Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 11. Minimalizacja: funkcje jednej zmiennej P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Lokalna minimalizacja ciagła Minimalizacja funkcji jest jedna z najważniejszych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11

WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11 WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 1/11 DEFORMACJA OŚRODKA CIĄGŁEGO Rozważmy dwa elementy płynu położone w pewnej chwili w bliskich sobie punktach A i B. Jak zmienia się ich względne położenie w krótkim

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Teoretyczne podstawy programowania liniowego Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Układy równań algebraicznych Niech g:r N równanie R N będzie funkcja klasy co najmniej

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja ciągła

Optymalizacja ciągła Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

składa się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:

składa się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność: TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan

RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c

Bardziej szczegółowo

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych

Wybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawy optymalizacji Plan prezentacji 1 Podstawy matematyczne 2 3 Eliminacja ograniczeń Metody

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w

Kolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1

Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1 Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 Warunkiem koniecznym (nie wystarczającym) uzyskania zaliczenia jest rozwiązanie co najmniej 3 z poniższych zadań, przy czym zadania oznaczone literą O

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami

Bardziej szczegółowo

Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych

Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych inż. Marek Duczkowski Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych słowa kluczowe: algorytm gradientowy, optymalizacja, określanie wodnicy W artykule

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda

Bardziej szczegółowo

Definicja problemu programowania matematycznego

Definicja problemu programowania matematycznego Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a

Ćwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji

Bardziej szczegółowo

Metody rozwiązywania równań nieliniowych

Metody rozwiązywania równań nieliniowych Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i

Bardziej szczegółowo