Zastosowanie metody zbiorów losowych w modelowaniach numerycznych w geoinżynierii

Transkrypt

1 WARSZTATY 204 z cyklu: Górnctwo człowek środowsko: zrównoważony rozwój Mat. Symp. str Krzysztof KRAWIEC Instytut Gospodark Surowcam Mneralnym Energą PA, Kraków Zastosowane metody zborów losowych w modelowanach numerycznych w geonżyner Słowa kluczowe metoda zborów losowych, modelowane numeryczne, parametry wejścowe Streszczene W artykule przedstawono przegląd zastosowań metody zborów losowych w modelowanu numerycznym różnych zagadneń geonżynerskch. Przyjęce właścwych wartośc parametrów wejścowych do oblczeń ma bardzo stotny wpływ na uzyskwane wynk oblczeń. ejednokrotne w oblczenach numerycznych wprowadza sę uśrednone wartośc parametrów wejścowych. Podejśce to może być obarczone dużym ryzykem spowodowanym nepewnoścą w określanu wartośc tych parametrów. aturalna zmenność parametrów oraz ogranczena metod ch oznaczana powodują, że często parametry przedstawa sę w postac zakresów ch wartośc. W tym kontekśce stotne jest pozyskane nformacj o parametrach z możlwych lcznych źródeł. Metoda zborów losowych pozwala na formalne określene nepewnośc zwązanych z doborem parametrów wejścowych do oblczeń numerycznych. W perwszej częśc pracy omówono główne przyczyny nepewnośc w rozpoznawanu parametrów fzyczno-mechancznych przyjmowanych do oblczeń. W kolejnej częśc przedstawono krótk ops teoretyczny metody zborów losowych, a następne omówono wybrane jej zastosowana w modelowanu numerycznym zagadneń geonżynerskch. W podsumowanu podkreślono zalety ogranczena metody zborów losowych.. Wstęp W skomplkowanych warunkach naturalnych techncznych oraz znaczącej zmennośc masywu skalnego stneje wele czynnków decydujących o jego zachowanu: (Tajduś n. 202): warunk zalegana warstw skalnych, stopeń ch naruszena, podzelność blokowość warstw skalnych, właścwośc fzyczno-mechanczne, temperatura skał, warunk hydrogeologczne, perwotny stan naprężena. 7

2 K. KRAWIEC Zastosowane metody zborów losowych w modelowanach numerycznych Ops zachowana sę tak złożonego ośrodka można przeprowadzć za pomocą modelowana numerycznego. Jednak, aby uzyskać poprawne wynk oblczeń, pod względem jakoścowym loścowym, należy zwrócć szczególną uwagę na wele zagadneń tj. dobór właścwego modelu geomechancznego, wprowadzene odpowednch warunków brzegowych początkowych, lub przyjęce poprawnych wartośc parametrów ośrodka skalnego lub gruntowego (Tajduś n. 202). W welu przypadkach właścwe oznaczene parametrów jest utrudnone ze względu na stopeń skomplkowana ośrodka geologcznego. a przykład, jedną z podstawowych metod stosowanych do rozpoznawana masywu skalnego są wercena badawcze. Wększość werceń wykonywana jest metodą obrotowo-rdzenową poneważ daje ona możlwość pozyskana odpowedno dużych neuszkodzonych rdzen, na podstawe których określa sę właścwośc odkształcenowe wytrzymałoścowe skały. ależy jednak brać pod uwagę wele czynnków wpływających na jakość rdzen otrzymywanych podczas wercena tj.: prędkość wercena, rodzaj śwdra, sła nacsku, cśnene płuczk, prędkość obrotowa (Tajduś n. 202). Wszystke te czynnk w dużej merze wpływają na jakość prób, a co za tym dze na dokładność oznaczana parametrów fzyczno-mechancznych. ejednokrotne równeż, szczególne w przypadku projektów geotechncznych o mnejszym zakrese rozpoznana, z powodów fnansowych wykonuje sę newelką lczbę otworów badawczych. Powstaje wtedy potrzeba wykorzystana alternatywnych źródeł nformacj o parametrach tj.: dane lteraturowe, lub wedza ekspercka o wynkach prac archwalnych w analogcznych warunkach. ekompletna wedza o parametrach powoduje, że są one często przedstawane w postac zakresów wartośc bez możlwośc określena ch rozkładu prawdopodobeństwa. W konsekwencj w gromadzenu nformacj o parametrach pojawa sę wele nepewnośc. Helton (997) zwraca uwagę na złożony charakter nepewnośc, wprowadzając podzał na nepewność losową epstemologczną. epewność losowa, obektywna (ang. aleatory uncertanty) wynka z dużej zmennośc wartośc parametru w populacj. epewność subektywna (ang. epstemc uncertanty) wąże sę z brakem wedzy o danym parametrze. Ze względu na znaczący rozwój metod modelowana numerycznego poszukuje sę sposobów formalnego ujęca nepewnośc parametrów wejścowych do oblczeń w zagadnenach geotechncznych. Można do tego celu wykorzystać metodę zborów losowych, która jest pomocnym narzędzem w reprezentowanu matematycznej nepewnośc, omjającym nektóre wady klasycznej teor prawdopodobeństwa (Schweger, Peschl 2005). W dalszej częśc artykułu dokonano teoretycznego omówena metody zborów losowych. astępne przedstawono wybrane przykłady jej zastosowana w zagadnenach geonżynerskch. W podsumowanu opsano zalety wady proponowanej metody. 2. Podstawy teoretyczne metody zborów losowych Metoda zborów losowych dostarcza narzędza pozwalającego na formalne ujęce nformacj o zmennych, pojawających sę w postac zakresów ch wartośc opsanych dyskretnym rozkładem prawdopodobeństwa. Podstawy teoretyczne metody zborów losowych były szczegółowo opsywane w pracach welu autorów (np. Debos, Prade 99, Tonon n. 2000, Schweger, Peschl 2007, Hall n. 2004). 72

3 WARSZTATY 204 z cyklu: Górnctwo człowek środowsko: zrównoważony rozwój ech będze nepustym zborem zawerającym wszystke możlwe wartośc parametru x. Dubos Prade (99) defnują zbór losowy na jako parę ( F, m) gdze F { A :,..., n} jest klasą podzborów zboru m jest może być traktowane jako prawdopodobeństwo że dany element zboru należy do Każdy podzbór A przy czym: m : F [0,] ; m ( ) 0 ; m( A) (2.) A F A, dla którego m( A) 0 nazywany jest elementem ognskowym. F jest rodzną elementów ognskowych ndukowanych przez podstawowe przyporządkowane prawdopodobeństwa m. Dla każdego zboru losowego ( F, m) można zdefnować funkcję przekonana (Barczak 200) Bel(A) (ang. belef functon) funkcję warygodnośc Pl(A) (ang. plausblty functon): A, Bel (A) m(b) - Pl(A) ; A, Pl(A) m(b) - Bel(A) (2.2) B A B A Równana te określają grance prawdopodobeństwa zborów danych. Bel(A) można potraktować jako dolną grancę prawdopodobeństwa natomast Pl (A) jako górną grancę (Hall n. 2004). Jeżel F jest złożone tylko wyłączne ze zborów jednoelementowych to wtedy Bel Pl m jest podstawową marą prawdopodobeństwa. Jeśl jest dostępne węcej nż jedno źródło nformacj o danym parametrze, metoda zborów losowych wymaga ch połączena (Hall n. 2004). W sytuacj gdy tylko jedno ze źródeł wydaje sę być poprawne, lecz ne wadomo które, stosuje sę procedurę przypsywana jednakowego prawdopodobeństwa wystąpena danych ze wszystkch źródeł. Przy założenu że n to lczba źródeł nformacj o parametrze x, to dla każdego elementu ognskowego A P( ) : n m( A) m A ( ) (2.3) n Oprócz możlwośc praktycznego połączena teor prawdopodobeństwa nformacj opartej na zborach, zbory losowe można bezpośredno wykorzystać w różnego rodzaju relacjach funkcyjnych (Tonon n. 2000). ech g będze odwzorowanem Y a x x zmennym, których wartośc ne są całkowce znane. epełna wedza na temat x (,, x ), włączając w to wszystke zależnośc, może być wyrażona w postac relacj losowej, którą jest zbór losowy ( F, m) oparty na loczyne kartezjańskm zborów g można przedstawć jako:. Zbór losowy (, ), który jest obrazem ( F, m) przez 73

4 K. KRAWIEC Zastosowane metody zborów losowych w modelowanach numerycznych { R g( A ), A F}, g( A ) { g( x), x A }, ( R ) m( A ) (2.4) j j A : R g( A ) j Jeśl A,, An są odpowedno zboram na x (,, x ) są nezależne, to połączone podstawowe prawdopodobeństwo wartośc wynkowej m( A An ) jest dane przez: n m( A A n ) m ( A ) ; A An ) (2.5) Jeśl element ognskowy l A jest zamknętym przedzałem lczb rzeczywstych: A x x, u to funkcje dolnej ( ) F * x górnej * F ( x ) grancy skumulowanego prawdopodobeństwa można otrzymać ze wzorów (Schweger, Peschl 2005): * F ( x) m( A ) ; F ( x) m( A ) (2.6) * : x u : x l 3. Zastosowane metody zborów losowych w modelowanach numerycznych w geonżyner Przydatność metody zborów losowych w połączenu z modelowanam numerycznym w zagadnenach geonżynerskch jest szeroko opsywana w lteraturze śwatowej (Peschl 2004, Hall n. 2004; Tonnon n. 2000; Schweger, Peschl 2007; asekhan, Schweger 200). a przykład asekhan Schweger (200), Pottler n. (2009) Peschl (2004) przedstawają sposób modyfkacj oblczeń numerycznych metodą elementów skończonych w połączenu z metodą zborów losowych RS-FEM (ang. Random Set Fnte Element- Method). Zaproponowaną metodykę oblczeń podzell na 6 etapów. W perwszym z nch dokonują wyboru programu do modelowań numerycznych wykorzystywanego w dalszych oblczenach. astępne przeprowadzają analzę stotnośc parametrów wejścowych pod kątem oceny, który z nch należy rozpatrywać jako zbory losowe. W trzecm etape redukują wartośc parametrów pod kątem ch zmennośc przestrzennej za pomocą metody zaproponowanej przez Vanmarcke a (983). Czwarty etap polega główne na konstrukcj plków wejścowych do oblczeń przy użycu metody zborów losowych. W etape pątym przeprowadzają oblczena numeryczne z wykorzystanem programu bazującego na metodze elementów skończonych. Ostatn etap dotyczy analzy nezawodnośc polegającej na porównanu wynków oblczeń z wartoścam pomerzonym w warunkach rzeczywstych. Metodyka ta została przyblżona przykładem analzy numerycznej statecznośc tunelu komunkacyjnego w emczech wykonywanego według owej Austrackej Metody Tunelowana (ATM). Do oblczeń numerycznych wykorzystal program PLAIS (Brnkgreve 2000) oparty na metodze elementów skończonych. Wśród rozpatrywanych parametrów wejścowych znalazły sę: kąt tarca wewnętrznego, spójność efektywna, współczynnk rozporu bocznego, moduł sprężystośc Younga górotworu otaczającego 74

5 WARSZTATY 204 z cyklu: Górnctwo człowek środowsko: zrównoważony rozwój, betonu natryskowego oraz współczynnka relaksacj. W trakce oblczeń analzowano przemeszczena ponowe w strope tunelu, przemeszczena ponowe pozome w ocosach, maksymalne momenty bezwładnośc obudowy tunelu oraz współczynnk bezpeczeństwa przed nstalacją obudowy ostatecznej. W wynku otrzymano rozkłady górnej dolnej grancy prawdopodobeństwa wystąpena analzowanych welkośc opsujących stan naprężena odkształcena. Uzyskane wynk oblczeń porównano z wartoścam pomerzonym w warunkach rzeczywstych potwerdzając ch zgodność, a w konsekwencj poprawność przyjętych założeń w zaproponowanej metodyce. Inny przykład dotyczy modelowana numerycznego zachowana sę głębokego wykopu w słabym ośrodku gruntowym z zastosowanem ścany oporowej wzmocnonej stalowym kotwam (Peschl 2004; Schweger, Peschl 2005). Oblczena mały na celu ocenę ryzyka znszczena obektu budowlanego znajdującego sę w bezpośrednm sąsedztwe wykopu. Do modelowana przyjęto parametry charakteryzujące trzy warstwy geotechnczne. Informacje o parametrach pozyskano na podstawe dokumentacj z badań geotechncznych oraz opn eksperta. Analzowano następujące parametry: spójność ośrodka, kąt tarca wewnętrznego oraz moduł deformacj. Do oblczeń przyjęto program PLAIS (Brnkgreve 2000) za pomocą którego oblczano współczynnk ugęca fundamentów obektu budowlanego, przemeszczena pozome w górnej częśc ścany oporowej oraz sły dzałające na kotwe stalowe. W efekce dokonano porównana otrzymanych wynków przemeszczeń oraz sł z wartoścam pomerzonym w warunkach rzeczywstych stwerdzając ch zgodność, a w konsekwencj poprawność wykonanego modelu. Sysk Semńska-Lewandowska (2006) opsal w swojej pracy metodę matematycznej reprezentacj nepewnośc, opartą na teor zborów losowych. Przedstawono przykład oblczeń numerycznych tunelu kolejowego wykonanego nową metodą austracką (ATM) w utworach wapennych. Zasymulowano poszczególne fazy budowy tunelu operając sę na danych wejścowych pochodzących z badań geotechncznych wyznaczonych na podstawe opn eksperta. Do analzy przyjęto 2 parametrów charakteryzujących 3 warstwy geotechnczne oraz dodatkowo 2 parametry charakteryzujące beton natryskowy w obudowe lnowej tunelu. Spośród wszystkch analzowanych parametrów wyznaczono 3 parametry najbardzej stotne: moduł deformacj warstwy II, moduł deformacj warstwy III oraz kąt tarca wewnętrznego warstwy III. W wynku oblczeń otrzymano rozkłady górnej dolnej grancy prawdopodobeństwa wystąpena danych wartośc przemeszczeń ponowych w strope obudowy tunelu. Wynk oblczeń okazały sę zgodne z wartoścam pomerzonym w warunkach rzeczywstych. Hall nn (2004) oraz Pleck nn (204) zajmowal sę numeryczną analzą statecznośc terenów zagrożonych rucham masowym z zastosowanem metody zborów losowych. W pracy Pleckego n. (204) oblczena przeprowadzono dla zbadanego osuwska od strony geologczno-nżynerskej, które powstało w warunkach typowych dla flszu karpackego. Do oblczeń numerycznych wykorzystano program FLAC (2007) bazujący na metodze różnc skończonych. W analze rozpatrywano trzy warstwy geotechnczne, z których każda była scharakteryzowana przez trzy parametry: spójność ośrodka, kąt tarca wewnętrznego oraz gęstość objętoścową. W efekce oblczeń dla przyjętych wartośc parametrów wejścowych otrzymano dolną górną grancę prawdopodobeństwa dla oblczonych wartośc współczynnka bezpeczeństwa osuwska. Otrzymane wynk porównano z wynkam oblczeń dla parametrów wejścowych będących średnm arytmetycznym w przedzale ch zmennośc. W tym przypadku uzyskano wynk wskazujący na brak utraty statecznośc, natomast 75

6 K. KRAWIEC Zastosowane metody zborów losowych w modelowanach numerycznych w oblczenach podstawowych wynk wskazywały równeż na utratę statecznośc z określonym prawdopodobeństwem. 4. Podsumowane W artykule przedstawono w sposób przeglądowy problematykę dotyczącą zastosowana metody zborów losowych w modelowanu numerycznym zagadneń geonżynerskch. Jednym z podstawowych problemów takego modelowana jest sposób przyjęca właścwych parametrów wejścowych. ejednokrotne nformacje o tych parametrach są neprecyzyjne, nekompletne obarczone dużą nepewnoścą. Zastosowane metody zborów losowych w modelowanach numerycznych daje możlwość przypsana prawdopodobeństwa dla przedzału możlwych zman wartośc welkośc wynkowej np. współczynnka bezpeczeństwa. Efektem oblczeń z wykorzystanem metody zborów losowych jest górna dolna granca prawdopodobeństwa wystąpena danej welkośc wynkowej. Tak sposób rozwązana zagadnena może być łatwo weryfkowany poprzez porównane z wynkam pomerzonym w warunkach rzeczywstych, co zostało pokazane w omówonych przykładach. Zaproponowane podejśce pozwala w sposób probablstyczny uwzględnć neprecyzyjne lub nekompletne nformacje na temat parametrów wejścowych przyjmowanych do oblczeń numerycznych. Metoda zborów losowych pozwala równeż na uwzględnene różnych źródeł nformacj na temat danego parametru. Jej wadą jest relatywne wysoka lczba realzacj oblczenowych, co przy modelowanu złożonych zagadneń geonżynerskch skutkuje w znaczne wydłużonym czasem oblczeń. Lteratura [] Barczak A. 200: Formalzacja subektywnej nepewnośc. Mat. Konf. auk. VII Mędzynarodowa Konferencja aukowo-technczna Logstyka, systemy transportowe, bezpeczeństwo w transporce". LOGITRAS 200, Szczyrk, 6-8 kwetna 200, [2] Brnkgreve R. B. J. 2000: PLAIS, Fnte element code for sol and rock analyses, Users manual. Rotterdam, Balkema. [3] Dubos D., Prade H. 99: Random sets and fuzzy nterval analyss. Fuzzy Sets and Systems, 42, [4] FLAC - Users Manual Itasca Consultng Group Inc. Mnneapols. [5] Hall JW, Rubo E, Anderson MJ. 2004: Random sets of probablty measures n slope hydrology and stablty analyss. ZAMM: J Appl Math Mech; 84 (0 ), [6] Helton J. C. 997: Uncertanty and Senstvty Analyss n the Presence of Stochastc and Subjectve Uncertanty. Journal of Statstcal Computaton and Smulaton, Vol. 57, [7] asekhan A., Schweger H.F. 200: Random set fnte element method applcaton to tunnelng. M. Beer, R.L. Muhanna, R.L. Mullen (Eds.), Proceedngs of the 4th nternatonal workshop on relable engneerng computng (REC200), robust desgn copng wth hazards, rsk and uncertanty. Research Publshng, Sngapore, [8] Peschl G. M. 2004: Relablty analyss n geotechncs wth the random set fnte element method. PhD thess. Graz: Graz Unversty of Technology. [9] Pleck Z., Stansz J., Krawec K., Woźnak H., Plecka E. 204: umeryczna analza statecznośc skarp zboczy z wykorzystanem metody zborów losowych. Zeszyty aukowe IGSME PA, nr. 86, 5-8. [0] Pottler R., Marcher T., asekhan A., Schweger H. F. 2009: Stablty analyss of tunnels an approach usng random set theory. Proc. ITA-AITES World Tunnel Congress: Safe Tunnellng for the Cty and Envronment, Budapeszt, Węgry, maja 2009, -. [] Schweger, H.F. & Peschl, G.M. 2005: Relablty analyss n geotechncs wth the random set fnte element method. Computers and Geotechncs 32,

7 WARSZTATY 204 z cyklu: Górnctwo człowek środowsko: zrównoważony rozwój [2] Schweger, H.F. Peschl, G.M. 2007: Basc Concepts and Applcatons of Random Sets n Geotechncal Engneerng. Book Seres CISM Internatonal Centre for Mechancal Scences, (eds.) D.V. Grffths & G.A. Fenton Vol 49, [3] Sysk P., Semńska-Lewandowska A. 2006: Zastosowane metody zborów losowych do oblczeń tunelu budowanego nową metodą austracką (ATM). Górnctwo Geonżynera, rok 29, nr 3/, -5. [4] Tajduś A., Cała M., Tajduś K. 202: Geomechanka w budownctwe podzemnym. Projektowane budowa tunel. Wydawnctwa AGH, Kraków. [5] Tonon F., Bernard A., Mammo A. 2000: Determnaton of parameters n rock engneerng by means of Random Set Theory. Relablty Engneerng and System Safety 70(2000), do:0.06/s (00) [6] Vanmarcke E. H. 983: Statstcal Reasonng wth Imprecse Probabltes. Londyn: Chapman and Hall. Applcaton of the random sets theory n numercal modelng n geoengneerng Key words random set theory, numercal modelng, nput propertes Summary Ths artcle presents a revew of random sets theory appled n numercal modelng of varous geo-engneerng ssues. Use of the proper nput parameters for numercal calculaton has a crucal mpact on the results of the calculaton. In the numercal calculaton, the nput parameter values are often averaged. The rsk n takng ths approach s caused by uncertantes n the values of parameter determnaton. atural varablty of the parameters and lmtatons of the determnng methods cause the parameters to be shown as a range of values. In ths context, t s mportant to obtan nformaton about the parameters from multple sources. The random sets theory makes t possble to handle uncertantes connected wth the selecton of nput parameters n a very specfc way. The frst part of the artcle explans the man reasons for uncertantes n the determnaton of physcal-mechancal parameters. A short theoretcal descrpton of random sets theory s then presented. The analyss goes on to descrbe the chosen applcatons of the random sets theory n numercal modelng of geo-engneerng ssues. Fnally, the artcle concludes wth the advantages and dsadvantages of the random sets theory. Przekazano: 0 marca 204 r. 77