Fizyka Materii Skondensowanej Potencjał periodyczny (cd)

Transkrypt

1 Fzy Mter Sondensownej cd Przyblżene Born Oppenheer Wydzł Fzy UW M Born Jcob R. Oppenheer Projet: POKL 4.. / "Che, fzy bolog n potrzeby społeczeństw XXI weu: nowe roerun studów I, II III stopn" Przyblżene Born Oppenheer Pełny nereltywstyczny hltonn ułdu jąder eletronów:, Ψ, Ψ,, 4, 4 4, Współrzędne podułdu eletronowego podułdu jądrowego jonowego są przeeszne, seprcj zennych eletronowych jądrowych jest neożlw Trzeb zstosowć przyblżene dbtyczne Born Oppenheer 3 Przyblżene Born Oppenheer Njperw szuy rozwązne hltonnu dl dnej onfgurcj toów gdy jądr sę ne poruszją. Jest to tzw. hltonn eletronowy., Ψ, Ψ, dl żdego chwlowego położen jonów eletrony znjdują sę w stnch wntowych Ψ, odpowdjących potencjłow tulnej onfgurcj jonów, Ψ,, Ψ, Ψ, Weloeletronowe funcje flowe Ψ, zleżą od położeń wszystch eletronów są spretryzowne chwlowy położen wszystch jąder jonów. Wsźn reprezentuje zbór lczb wntowych weloeletronowego stnu wntowego. nerge zleżą od pretrów. Dlej budujey nsze szune funcje z t otrzynych funcj eletronowych zwerjących oddzływn eletron jądro, eletron eletron energę netyczną T e. 4

2 Przyblżene Born Oppenheer Njperw szuy rozwązne hltonnu dl dnej onfgurcj toów gdy jądr sę ne poruszją. Jest to tzw. hltonn eletronowy., Ψ, Ψ, dl żdego chwlowego położen jonów eletrony znjdują sę w stnch wntowych Ψ, odpowdjących potencjłow tulnej onfgurcj jonów, Ψ,, Ψ, Ψ, trtujey jo ustlony pretr zbór lczb wntowych chrteryzujących dny stn eletronowy energe eletronowe różnych stnów jo funcje położeń jąder T N = 5 Przyblżene Born Oppenheer, Ψ,, Ψ, Ψ, Rozwązn dl pełnego hltonnu ułdu eletronów jąder jonów poszuujey terz w postc obncj lnowej Ψ, odpowdjących różny ożlwy funcjo eletronowy: Ψ, Ψ, Opertory pędu dl jonów będą dzłły tże n Ψ, :, Ψ, Ψ,, Ψ, Ψ, Ψ, Ψ, Ψ, 6 Przyblżene Born Oppenheer, Ψ,, Ψ, Ψ, Rozwązn dl pełnego hltonnu ułdu eletronów jąder jonów poszuujey terz w postc obncj lnowej Ψ, odpowdjących różny ożlwy funcjo eletronowy: Ψ, Ψ, Opertory pędu dl jonów będą dzłły tże n Ψ, :, Ψ, Ψ,, Ψ, Ψ, Ψ, Ψ, Ψ, 7 Przyblżene Born Oppenheer, Ψ, Ψ,, Ψ, Ψ, Ψ, Równne Schrödnger dl ruchu jąder! sens funcj flowej opsującej ruch jąder jonów w potencjle wzjenego ch oddzływn orz dbtycznego włdu eletronów w energę ruchu jąder/jonów energę sec 8

3 Przyblżene Born Oppenheer, Ψ, Ψ,, Ψ, Ψ, Ψ, Równne Schrödnger dl ruchu jąder! Równowgowy ułd położeń jąder/jonów równowgow wrtość stłej sec odpowd nu efetywnego potencjłu dl ruchu jąder: nerg potencjln sec zwer człony co njnej wdrtowe we względnych przesunęcch jonów. Ogrnczene sę do członów wdrtowych dje n obrz drgń sec jo zboru sprzężonych oscyltorów hroncznych. Dołożene wyższych członów rozwnęc dje efety nhronczne np. rozszerzlność terczną, oddzływne fonon fonon 9 Metod LCAO Rozwązne równn eletronowego wyg etod nuerycznych, Ψ,, Ψ, Ψ, Jedn z etod: LCAO MO z przyblżene Hrtree Foc etod souzgodnon rozwązntercyjne, eletronow funcj flow w postc pojedynczego wyznczn Slter, utotyczne zpewnjącego ntysyetryczność funcj flowej ze względu n przestwene dwóch dowolnych eletronów:,,, Ψ,,,,,,!,,,,,, Kżdy z jednoeletronowych spnorbtl, us być nny dw spnorbtle ogą np. eć tę są część orbtlną, le wtedy uszą sę różnć spne, lub Metod CI Confgurton Intercton odzływn onfgurcj W etodze oddzływn onfgurcj poszuuje sę rozwązn zgdnen weloeletronowego w postc obncj lnowej różnych ożlwych wyzncznów Slter jeszcze trudnejsz rchunowo Metod DFT Dl dużej lczby eletronów etody te są newyonlne! Sposób n efetywne znejszene ułdów np. etod super cell: reltywne neduży ułd perodyczne powtrzny, co tuje ułd duży np. pozbywy sę w ten sposób wpływu brzegów zerwne wązn etc. rchun defetów w rysztłch, strutur psowych rysztłów esznych etc. 3

4 Metod DFT Metod DFT 3 4 Przyblżene Hrtree jednoeletronowe Ψ,,, Złdy, że n żdy eletron dzł średn potencjł pochodzący od jonów pozostłych eletronów: Ψ,,, Ψ,,, Czyl Jeśl żdy potencjł jest t s dostjey jednoeletronowe równne Schrödnger: Ty rze ozncz zbór lczb wntowych nuerujących jednocząstowe stny wntowe o energch. Stny jednocząstowe podlegją zsdze Pulego. Trzeb pętć, że jeśl np. zeny stotne lczbę eletronów w dny pśe, to ożey spodzewć sę odyfcj potencjłu zny wd jednocząstowego! np. renorlzcj przerwy energetycznej Przyblżen: Rdzene neruchoe, ustwone w seć przestrzenną. Przyblżene jednoeletronowe przyblżene Hrtree ego Ψ,,, lub przyblżene Hrtree Foc wyznczn Slter. Metod pol souzgodnonego sprowdzy zgdnene weloeletronowe do rozwżn jednego eletronu znjdującego sę w potencjle pochodzący od jonów w węzłch pozostłych eletronów. Jednoeletronowe równne Schrödnger Potencjł efetywny, perodyczny z orese sec, jednowy dl wszystch eletronów

5 W sec rystlcznej:, Dl funcj perodycznych z orese sec dobrą bzą rozwnęc w szereg Fourer są funcje w postc ep zleżne od wetorów sec odwrotnej:, ep ep ep ep ep ep Możey rozwnąć perodyczny potencjł: ep Funcję flową ożey z ole zpsć w postc suy fl płsch, o różnych długoścch fl, spełnjącą oreślone np. perodyczne wrun brzegowe: ep Równne Schrödnger: czyl. Korzystjąc z tej obserwcj ożey rozwnąć perodyczny potencjł: ep ep ep ep, J wdć jest to równne n po wszystch wetorch,. 7 8 rysztły są sończonych rozrów ożn wprowdzć wrun brzegowe znn funcj flowej n brzegch rysztłu. Prowdz to jedn do tego, że wszyste fle eletronowe, secowe etc. będą stojące, co w welu wypdch utrudn ops ponewż w rysztłch rosopowych drog swobodne eletronów są dużo nejsze nż rozry rysztłów, njwygodnejszy rozwązne jest przyjęce tzw. wrunów perodycznośc Born Krn: Ψ Ly L Ψ,,3 gdze są wetor sec Brvs, duży lczb cłowty, t że jest rozru cłego rysztłu. Jeśl nsz rysztł sończone rozry zbór wetorów jest sończony choć olbrzy!. L z ep ep ep, Ponewż su po, jest po wszystch wetorch: ep, ep, Ostteczne dostjey równne Schrödnger w postc: ep Które us być spełnone dl żdego wetor. M. Bj Fzy ter sondensownej strutur półprzewodnowych 9 5

6 ep dl żdego wetor. W t rze dl żdego wetor flowego y równne n współczynn : J wdć w powyższy równnu oprócz pojwją sę tże wszyste współczynn typu,, tp. le nne ne, chocż zczynlśy od dowolnych!. Równne sprzęg węc tylo te współczynn rozwnęc ep wrtośc są odległe o wetor sec odwrotnej., tórych Spróbuj nrysowć cerz równn n współcznynn Ne trzeb węc rozwązywć tego równn dl wszystch wetorów wystrczy znleźć je dl jednej oór eleentrnej w sec odwrotnej powelć rzy lczb oóre eleentrnych! Znjdzey ty sy wrtośc włsne odpowdjące funcj włsnej będącej superpozycją fl płsch o wetorch różnących sę o. Wetor flowy jest węc dobrą lczbą wntową nueruje n energe stny. Cł szun funcj flow jest superpozycją funcj o energch ep wprowdzy dlej oznczene dl różnych rozwązń odpowdjących teu seu Rozwązne równn w jednej oórce, będące superpozycją fl płsch, o wetorch różnących sę o odpowdjące energ : ep Kżdy wetor jest dobry do nuerown stnów; wygodne jest wybrć wetor njrótszy nleżący do perwszej strefy Brlloun. Funcj jest szerege Fourer po wetorch sec odwrotnej, zte perodyczność sec.,, funcj Bloch, stn Bloch pltud Bloch, obwedn Bloch Pozlśy, że rozwązne jednoeletronowego równn Schrödnger w potencjle perodyczny postć odulownej fl płsej o perodze sec:,, Wprowdzlśy oznczene dl różnych rozwązń odpowdjących teu seu ndes ps. Wetor nleży wtedy do perwszej strefy Brlloun., 3 4 6

7 Włścwośc funcj Bloch:,,.,,. 3. Inwersj w przestrzen 4. Inwersj w czse bez pol gnetycznego,, Włścwośc funcj Bloch:,,.,,. 3. Inwersj w przestrzen 4. Inwersj w czse bez pol gnetycznego,, Ad. 4: Obrót funcj spnowej woół wybrnej os o ąt zen fzę funcj spnowej o : ep ep ep obrót funcj spnowej o ąt π ne jest opercją tożsoścową. Dodne tej opercj do grupy podwj lczbę eleentów grupy 5 6 Funcją Bloch nzywy rozwązne w postc:,, w ogólnośc funcj neperodyczn funcj perodyczn, tzw. czynn Bloch Przyłd: Ruch eletronu w stły potencjle Δ podstwy, Rozwązne jest Opertor pędu dostjey. Dl stłego potencjłu rozwązn równn Schrödnger są funcj włsny opertor pędu. Pęd jest dobrze oreślony, wrtość włsn opertor pędu sens fzyczny wetor flowego. 7 Przyłd: Ruch eletronu w potencjle perodyczny. ep Rozwązne jest oczywśce:,, Łtwo ożn pozć :, Ty rze dostjey,. Funcj Bloch ne opsuje eletronu o dobrze oreślony pędze! nzyw sę wzpęde lub pęde rystlczny. 8 7

8 ,. nzyw sę wzpęde lub pęde rystlczny. Przy oddzływnu z nny wzcząst eletrony, fonony, gnony etc. uwęzony w rysztle prwdzwy cząst przenjący przez rysztł np. fotony, neutrony prwo zchown pędu nleży zstąpć prwe zchown wzpędu: Zsd zchown energ ne uleg zne Strefy Brlloun,, Konstrucj stref Brlloun w dwuwyrowej, wdrtowej sec odwrotnej Strefy Brlloun,, Strefy Brlloun,,

9 Strefy Brlloun,, Strefy Brlloun,, Strefy Brlloun,, Stref Brlloun w przestrzen wyrowej Strefy Brlloun,, Strutur bcc Stref Brlloun w przestrzen wyrowej, seć uośnoątn. Stref Brlloun dl sec ubcznej powerzchnowo centrownej fcc. Ogrnczjące strefę ścny wdrtowe sześcoątne pochodzą, odpowedno, od puntów sec odwrotnej typu,,,,. 35 Ibch, Luth Strutur hesgonln 36 9

10 Strefy Brlloun Wetor n grncy I strefy Brlloun Pozć: wszów: polcz Wetor leży po przecwnej strone I strefy Brlloun jest równowżny wetorow. Wetory spełnją wrune Luego: Δ Stny z grncy I strefy Brlloun odpowdją eletronowy flo stojący pozć! Przyponene: Yu, Crdon Fundetls of seconductors rysztły są sończonych rozrów ożn wprowdzć wrun brzegowe znn funcj flowej n brzegch rysztłu. Prowdz to jedn do tego, że wszyste fle eletronowe, secowe etc. będą stojące, co w welu wypdch utrudn ops L z W przypdu funcj Bloch : Musy zżądć, żeby L z ponewż w rysztłch rosopowych drog swobodne eletronów są dużo nejsze nż rozry rysztłów, njwygodnejszy rozwązne jest przyjęce tzw. wrunów perodycznośc Born Krn: Ψ Ly L Ψ,,3 gdze są wetor sec Brvs, duży lczb cłowty, t że jest rozru cłego rysztłu. Jeśl nsz rysztł sończone rozry zbór wetorów jest sończony choć olbrzy!. M. Bj Fzy ter sondensownej strutur półprzewodnowych 39,, 4,, dozwolone wetory flowe stnową dysretną seć puntów równoerne rozłożoną w przestrzen wetor flowego; oórę eleentrną sec odwrotnej strefę Brlloun wypełn tch puntów. Tyle też będze stnów w żdy pśe.,, ogą być różne, le njczęścej przyjujey te se Ly M. Bj Fzy ter sondensownej strutur półprzewodnowych 4 L

11 Włścwośc funcj Bloch:,,.,,. Wrtośc włsne energ są perodyczną funcją lczby wntowej. dl fl płsej w pustej przestrzen energ od wetor flowego wyrż sę wzore: Dl potencjłu perodycznego dążącego do zer odel prwe swobodnych eletronów: Wrtośc włsne energ są perodyczną funcją lczby wntowej. dl fl płsej w pustej przestrzen energ od wetor flowego wyrż sę wzore: Wrtośc włsne energ są perodyczną funcją lczby wntowej. dl fl płsej w pustej przestrzen energ od wetor flowego wyrż sę wzore:

12 Wrtośc włsne energ są perodyczną funcją lczby wntowej. dl fl płsej w pustej przestrzen energ od wetor flowego wyrż sę wzore: Wrtośc włsne energ są perodyczną funcją lczby wntowej. dl fl płsej w pustej przestrzen energ od wetor flowego wyrż sę wzore: Wrtośc włsne energ są perodyczną funcją lczby wntowej. Wrtośc włsne energ są perodyczną funcją lczby wntowej. dl fl płsej w pustej przestrzen energ od wetor flowego wyrż sę wzore: Jest tzw. zreduown stref Brlloun. N grncy strefy +/ /=/ wrtośc energ są zdegenerowne. 47 P. Y. Yu, M. Crdon, Fundentls of Seconductors 48

13 3 Model pustej sec n, 3 g l g hg g Lczyy energę dl wetorów przesunętych do perwszej strefy Brlloune IstrefBrlloune' ' ; ' ' ' : ' ' : ' ' : [hl]=,,,,, wyr: 49 Podstwy odelu jednoeletronowego,, n n n, Strutur psow dl gzu eletronów swobodnych w sec regulrnej prostej stł sec, werzchoł prbol ją wsźn 3 g l g hg g [hl]=,,,,, 5 Model pustej sec n, 3 g l g hg g Lczyy energę dl wetorów przesunętych do perwszej strefy Brlloune IstrefBrlloune' ' ; '...,,,,,,,, ' : ' ' : ' :,,,,,,, ; 4 5 Model pustej sec n, 3 g l g hg g Lczyy energę dl wetorów przesunętych do perwszej strefy Brlloune IstrefBrlloune' ' ; ' [hl]=,,,,,,,,,,,,,,,, 3 wyry:...,,,,,,,, ' : ' ' : 3 5

14 Model pustej sec Model prwe swobodnych eletronów n, n, hg g l n, [hl]=,,,,,,,,, g3 g Strutur psow dl gzu eletronów swobodnych w sec regulrnej prostej stł sec, werzchoł prbol ją wsźn 53 Model pustej sec Model prwe swobodnych eletronów n, n, hg g l n, g3 g Strutur psow dl gzu eletronów swobodnych w sec regulrnej prostej stł sec, werzchoł prbol ją wsźn [hl]=,,,,,,,,,,,,,,,, 54 Model pustej sec Model prwe swobodnych eletronów n, n, hg g l g3 Model pustej sec n, g W obrze zreduowny do I strefy Brlloun występuje wele różnych zleżnośc oneczne jest ch nuerowne nuer ps 55 Ch. Kttel, Wstęp do fzy cł stłego 56 4

15 Model pustej sec Kerune [] X Model pustej sec Kerune [] L 4 4 nergy nergy R. Stępnews Wve vector [] X 57 R. Stępnews [,,] Wve vector 58 L Model pustej sec Model pustej sec nergy 4 4 R. Stępnews L= X= 59 R. Stępnews Dond, Sslow et l. PRL

16 Model pustej sec Syetre sec odwrotnej Wetor jest dobrą lczbą wntową; dl żdego równowżnego funcj Bloch jest t s. Opercje syetr trnsforują funcje flowe wetory flowe, np. trnsforują wetor w równowżny u. Zbór tych opercj syetr pełnej grupy puntowej rysztłu, tóre trnsforują dny wetor flowy w równowżny u stnow grupę wetor flowego.jest podgrupą pełnej grupy puntowej rysztłu. W zleżnośc od tego, czy jest jś syetryczny punte perwszej strefy Brlloun np.,,, czy leży n jś syetryczny erunu np., czy też ne grup wetor flowego jest nn. Dl punt Γ strefy Brlloun żd opercj grupy puntowej rysztłu przeprowdz go w wetor u równowżny, węc grup wetor flowego z puntu równ sę pełnej grupe puntowej rysztłu Mchł Bj R. Stępnews 6 6 Syetre sec odwrotnej Stny lsyfujey nzywy neprzywedlny reprezentcj odpowednch grup wetor flowego. Przyjęło sę w ty wypdu używć w nzwch reprezentcj nzw puntów erunów w strefe Brlloun. Syetre sec odwrotnej Seć odwrotn do fcc to bcc Koór Vgner Setz Przyłd: strutur blendy cynowej, grup puntow. Reprezentcje neprzywedlne: wy., wy., wy., 3 wy., 3 wy.. rup wetor flowego z puntu Γ też. Terz jedn nzewnctwo nne: One of these conventons s due to Koster ore coonly used n recent reserch rtcles whle the other ws proposed by Boucert, Soluchows nd Wgner BSW nd tends to be found n older rtcles. Yu, Crdon Fundetls of seconductors Mchł Bj 63 R. Stępnews 64 6

17 Syetre sec odwrotnej Syetre sec odwrotnej Yu, Crdon Fundetls of seconductors Wetor flowy z puntu lub n erunu : opercje, tóre przeprowdzją t wetor w równowżny u tworzą grupę. Trzy neprzywedlne reprezentcje: wy., wy., wy.,, Λ, Λ, Λ Podobne z punte grup czy z erune Δ grup. Reprezentcje:,,, wszyste wy., wy. orz Δ, Δ, Δ, Δ wszyste wy.. Włścwośc funcj Bloch:,,. Inwersj w przestrzen. Inwersj w czse bez pol gnetycznego,, Ad. : Obrót funcj spnowej woół wybrnej os o ąt zen fzę funcj spnowej o : ep ep ep obrót funcj spnowej o ąt π ne jest opercją tożsoścową. Dodne tej opercj do grupy podwj lczbę eleentów grupy, tzw. grupy podwójne Syetre sec odwrotnej Yu, Crdon Fundetls of seconductors Syetre sec odwrotnej Yu, Crdon Fundetls of seconductors

18 Podstwy odelu jednoeletronowego Pojw sę przerw energetyczn n grncy strefy Brlloun now współrzędn cos sn 69 7 Podstwy odelu jednoeletronowego Pojw sę przerw energetyczn n grncy strefy Brlloun now współrzędn Podstwy odelu jednoeletronowego Pojw sę przerw energetyczn n grncy strefy Brlloun now współrzędn cos sn 4 6 pso pso pso 8 cos sn 7 7 8

19 Stref Brlloun n, n, Wrtośc włsne energ są perodyczną funcją lczby wntowej. hg g l g3 Stref Brlloun w przestrzen wyrowej Stref Brlloun w przestrzen wyrowej, seć uośnoątn. Stref Brlloun dl sec ubcznej powerzchnowo centrownej fcc. Ogrnczjące strefę ścny wdrtowe sześcoątne pochodzą, odpowedno, od puntów sec odwrotnej typu,,,, Stref Brlloun n, n, Wrtośc włsne energ są perodyczną funcją lczby wntowej. Stref Brlloun w przestrzen wyrowej Stref Brlloun w przestrzen wyrowej, seć uośnoątn. hg g l g3 Stref Brlloun dl sec ubcznej powerzchnowo centrownej fcc. Ogrnczjące strefę ścny wdrtowe sześcoątne pochodzą, odpowedno, od puntów sec odwrotnej typu,,,, Twerdzene Bloch n, n, n, Strutur psow dl gzu eletronów swobodnych w sec regulrnej prostej stł sec, werzchoł prbol ją wsźn hg [hl]=,,,,, g l g3 g 76 9

20 Twerdzene Bloch n, n, n, hg [hl]=,,,,,,,,, g l g3 g Strutur psow dl gzu eletronów swobodnych w sec regulrnej prostej stł sec, werzchoł prbol ją wsźn 77 Twerdzene Bloch n, n, n, hg g l g3 Strutur psow dl gzu eletronów swobodnych w sec regulrnej prostej stł sec, werzchoł prbol ją wsźn [hl]=,,,,,,,,,,,,,,,, W pustej przestrzen? g 78 Co z tą pustą przestrzeną? Przyjjy, że w węzłch sec znjduje sę ły potencjł V V cos ły potencjł rozwżyy przypde jednowyrowy J wygląd wpływ słbego potencjłu n energe n grncy strefy Brlloun? r V V r V r R V e e e Ops stnów eletronowych n grncy strefy Brlloun wyg superpozycj co njnej dwóch fl płsch. Dl znjącego le nezerowego potencjłu fl ty są: ~ e, ~ e e ~ e e ~ e e, now współrzędn ~ cos gęstość prwdopodobeństw cos ~ sn gęstość prwdopodobeństw sn Rozwązne odpowd dwó flo o tej sej długośc: hl =,,,,, 79 8

21 Ops stnów eletronowych n grncy strefy Brlloun wyg superpozycj co njnej dwóch fl płsch. Dl znjącego le nezerowego potencjłu fl ty są: ~ e, ~ e e ~ e e ~ e e, now współrzędn ~ cos gęstość prwdopodobeństw cos ~ sn gęstość prwdopodobeństw sn Rozwązne odpowd dwó flo o tej sej długośc: Pojw sę przerw energetyczn n grncy strefy Brlloun Ptrz H.Ibch, H. Luth Fzy Cł Stłego. 4V cos sn now współrzędn Rozwązne odpowd dwó flo o tej sej długośc: 8 8 Pojw sę przerw energetyczn n grncy strefy Brlloun now współrzędn Pojw sę przerw energetyczn n grncy strefy Brlloun now współrzędn cos sn cos sn 83 84

22 Pojw sę przerw energetyczn n grncy strefy Brlloun 4 6 pso pso pso 8 cos sn now współrzędn Ponewż funcj Bloch przesunęt o wetor sec odwrotnej ne zen sę to wygodne jest przedstwć wyn tylo w I szej strefe Brlloun. Trzeb wówczs nuerowć ps energetyczne. Stn eletronu w cele stły zdny jest przez wetor flowy z I szej strefy, nuer ps orz rzut spnu. T. Stcewcz & A. Wtows 85 86