Mathematics A Brief Guide for Engineers and Technologists. This will be denoted as φ k φ in D. Notation Multi-index α = (α 1,...

Transkrypt

1 Mathematics A Brief Guide for Engineers and Technologists Dział. Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza Chapter 2. Generalized Functions (chwartz Distributions. Przestrzeń funkcji próbnych D = D(IR n Zbiór D(IR n to zbiór wszystkich funkcji klasy C na IR n, zerujących się poza pewną kulą. Definicja Niech φ C(IR n. Nośnikiem funkcji φ nazywamy domknięcie zbioru tych punktów x, dla których φ(x 0. Oznaczamy go przez supp φ. Definicja Mówimy, że ciąg funkcji φ, φ 2,... z D jest zbieżny do funkcji φ (φ D jeśli:. istnieje taka liczba R > 0, że supp φ k U R 2. dla każdego wielowskaźnika α = (α,..., α n. Test function space D = D(IR n et D(IR n is a set of all functions belonging to the class C on IR n that vanish outside a certain ball. Definition Let φ C(IR n. For a function φ, the closure of a set of such points x, for which φ(x 0 will be termed its support, denoted by supp φ. Definition We say that a sequence of functions φ, φ 2,... from D is convergent to a function φ (φ D if:. there exists such R > 0 that supp φ k U R 2. for each multi-index α = (α,..., α n Piszemy wtedy φ k φ w D. Oznaczenie D α φ k (x x IRn = D α φ(x, k Wielowskaźnik α = (α,..., α n, α = n i= α i, Np. dla n = 2, 3 : D α α f f = x α... xαn n This will be denoted as φ k φ in D. Notation D α φ k (x x IRn = D α φ(x, k Multi-index α = (α,..., α n, α = n i= α i, For example for n = 2, 3: D (, f(x, y = 2 f x y, D(2,2 f(x, y = 4 f x 2 y 2, D(7,3 f(x, y = 20 f x 7 y 3. D (,2,3 f(x, y, z = 6 f x y 2 z 3, D(,0,5 f(x, y, z = 6 f x y 5. D α α f f = x α... xαn n Definicja Przestrzeń liniowa D wyposażona w zbieżność określoną powyżej nazywa się przestrzenią funkcji próbnych. Operacja różniczkowania D α φ(x działa w sposób ciągły z D do D. Definition Vector space D equipped with convergence as described above is termed a test function space. Differentiation D α φ(x operates continuously from D to D.

2 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 2 Generalized Functions (chwartz Distributions Operacje liniowej zamiany zmiennych φ(ay + b i operacje mnożenia przez funkcję a C (IR n są ciągłe z D w D. Definicja Zbiór wszystkich funkcji próbnych o nośnikach zawartych w obszarze G IR n oznaczamy przez D(G. Wtedy D(G D(IR n = D. Czy takie funkcje w ogóle istnieją? Tak, potwierdza to poniższy przykład. ω ɛ (x = { ( C ɛ exp C ɛ stała normalizacyjna taka, że R n ω ɛ (xdx =. C ɛ zależy od wymiaru przestrzeni. (o regularyzacji Niech f będzie całkowalna i ograniczona na IR n. Wtedy f ɛ dana jako f ɛ (x = ω ɛ (x yf(ydy, IR n zwana regularyzacją funkcji f, jest klasy C. Obszar całkowania jest zwarty, więc można różniczkować pod znakiem całki. Uwaga W ogólności f ɛ (x / D. Linear change of variables φ(ay + b and multiplication by a function a C (IR n are continuous from D to D. Definition The set of all test functions with supports contained in a domain G IR n is denoted by D(G. Then, D(G D(IR n = D. Do such functions exist at all? Yes, they do. This is confirmed by the example below. ɛ2 ɛ 2 2 dla ɛ, 0 dla > ɛ. C ɛ normalizing constant such that R n ω ɛ (xdx =. C ɛ depends on the dimension of the space. (regularization Let f be integrable and bounded on IR n. Then, f ɛ given as f ɛ (x = ω ɛ (x yf(ydy, IR n termed the regularization of function f, belongs to the class C. The domain of integration is compact, therefore it is permissible to differentiate inside the integrand. Note In general f ɛ (x / D.

3 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 3 Generalized Functions (chwartz Distributions Definicja 2. Przestrzeń funkcji uogólnionych D Funkcją uogólnioną nazywamy funkcjonał liniowy i ciągły określony na przestrzeni funkcji próbnych D. Wartości funkcjonału f na funkcji próbnej φ oznaczamy przez f, φ. Będziemy też pisać f(x, aby wskazać na argument funkcji próbnych, na które działa funkcjonał f. Wyjaśnienie definicji. Funkcja uogólniona to funkcjonał, czyli f, φ jest liczbą (w ogólności zespoloną. 2. Funkcja uogólniona to funkcjonał liniowy, tzn. dla φ, ψ D i λ, µ C mamy: f, λφ + µψ = λ f, φ + µ f, ψ 3. Funkcja uogólniona to funkcjonał ciągły na D tzn. jeśli φ k 0, k w D, to f, φ k 0, k Zbiór wszystkich funkcji uogólnionych oznaczamy przez D = D (IR n. Zdefiniujmy λf + µg, f, g D (IR n, λ, µ C jako λf + µg, φ = λ f, φ + µ g, φ, φ D Funkcjonał λf + µg jest liniowy i ciągły na D, czyli λf + µg D. D (IR n jest przestrzenią wektorową (liniową. Zdefiniujmy zbieżność w zbiorze funkcji uogólnionych. Definicja (zbieżność ciągu dystrybucji Mówimy, że ciąg dystrybucji f, f 2,... z D jest zbieżny do dystrybucji f D, jeśli f k, φ f, φ, k Piszemy wtedy f k f, przy k w D. Zbiór D ze zbieżnością określoną powyższą definicją nazywamy przestrzenią funkcji uogólnionych D Definition 2. Generalized function space D A generalized function is a continuous linear functional defined on a test function space D. The values of the functional f for a test function φ are denoted as f, φ. We will also use the notation f(x to indicate the argument of the test funtion, on which the functional f operates. Explanation. A generalized function is a functional, i.e. f, φ is a number (in general, a complex number. 2. A generalized function is a linear functional, i.e. for φ, ψ D and λ, µ C: f, λφ + µψ = λ f, φ + µ f, ψ 3. A generalized function is a continuous functional on D, i.e. if φ k 0, k in D, then f, φ k 0, k The set of all generalized functions is denoted as D = D (IR n. Let us define λf + µg, f, g D (IR n, λ, µ C λf + µg, φ = λ f, φ + µ g, φ, φ Das The functional λf + µg is linear and continuous on D, therefore λf + µg D. D (IR n is a vector (linear space. Let us define convergence in the set of generalized functions. Definition (convergence of a sequence of distributions A sequence of distributions f, f 2,... z D is convergent to a distribution f D, if f k, φ f, φ, k This will be denoted as f k f, for k in D. et D equipped with convergence described by the above definition is termed a generalized function space D

4 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 4 Generalized Functions (chwartz Distributions 3. Nośnik dystrybucji (funkcji uogólnionej Mówimy, że dystrybucja f jest równa zero w obszarze G, jeśli f, g = 0 φ D(G. Piszemy wtedy f = 0, x G lub f(x = 0, x G. Dwie dystrybucje f i g nazywamy równymi w obszarze G jeśli f g = 0, φ D(G. Piszemy f = g. G może być równe całemu IR n, wtedy mówimy, że dystrybucje f i g są równe. Definicja Niech f D. umę mnogościową wszystkich obszarów, gdzie f = 0 oznaczamy O f i nazywamy zbiorem zerowym dystrybucji f. O f jest największym zbiorem otwartym, na którym f jest zerem. Definicja Nośnikiem dystrybucji f nazywamy dopełnienie O f do IR n. Oznaczamy go supp f, supp f = IR n \O f i jest domknięty (z definicji. Jeśli supp f jest ograniczony, to dystrybucję nazywamy dystrybucją o ograniczonym nośniku lub dystrybucją o zwartym nośniku. Wnioski W dowolnym obszarze spoza supp f dystrybucja f jest zerem, tzn.: f, φ = 0, φ D supp f supp φ = 4. Dystrybucje regularne Niech f będzie funkcją określoną na IR n i lokalnie całkowalną. Można z nią związać funkcjonał określony na D: f, φ = f(xφ(xdx, φ D 3. upport of a distribution (generalized function We say that a distribution f is equal to zero in a domain G, if f, g = 0 φ D(G. This will be denoted as f = 0, x G or f(x = 0, x G. Two distributions f and g are called equal in a domain G if f g = 0, φ D(G. This will be denoted as f = g. G can be equal to the entire IR n, in which case the distributions f and g are said to be equal. Definition Let f D. The union of all domains where f = 0 is denoted by O f and termed the null set of the distribution f. O f is the largest open set where f vanishes. Definition The support of a distribution f is the complement of O f with respect to IR n. It is denoted by supp f, supp f = IR n \O f and is closed (by definition. If supp f is bounded, the distribution is termed a bounded support distribution or compact support distribution. Conclusions In any domain outside supp f, the distribution f vanishes, i.e.: f, φ = 0, φ D supp f supp φ = 4. Regular distributions Let f be a locally integrable function defined on IR n. We can associate with it a functional defined on D: f, φ = f(xφ(xdx, φ D Funkcjonał ten jest liniowy wynika to z liniowości całki. Funkcjonał ten jest ciągły, bo: f, φ k = f(xφ k (xdx 0, jeśli φ k k 0 0 U R w D This functional is linear this follows from the linearity of the integral. This functional is continuous, since: f, φ k = f(xφ k (xdx 0, if φ k k 0 0 in D U R

5 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 5 Generalized Functions (chwartz Distributions (z twierdzenia o przejściu granicznym pod znakiem całki. Zatem zdefiniowany funkcjonał jest dystrybucją. Dystrybucje generowane przez funkcje lokalnie całkowalne j.w. nazywają się regularnymi. Wszystkie pozostałe są singularne (osobliwe. Funkcja f(x lokalnie całkowalna w G jest zerem w sensie dystrybucyjnym w obszarze G wtedy i tylko wtedy, gdy f(x = 0 w sensie zwykłym prawie wszędzie w obszarze G. Wniosek Dystrybucje regularne są wyznaczone z dokładnością do zbioru miary Lebesgue a 0. Każdą funkcję lokalnie całkowalną f można utożsamiać z dystrybucją f (oba punkty są równoważne. Znając zatem wartości f, φ φ, można (z dokładnością do zbioru miary Lebesgue a 0 wyznaczyć samo f. Jeśli ciąg f k (x funkcji lokalnie całkowalnych jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na każdym zbiorze domkniętym i ograniczonym, to ciąg ten jest zbieżny do f w D (IR n. Mówimy, że dystrybucja f jest klasy C p (G, jeśli funkcja f G (x odpowiadająca dystrybucji f na obszarze G jest klasy C p (G. 5. Dystrybucje singularne (osobliwe, nieregularne Dystrybucjami signularnymi nazywamy wszystkie te dystrybucje, których nie można utożsamić z żadną funkcją lokalnie całkowalną. Przykład Funkcja δ - Diraca, jest zdefiniowana następująco: Powyższy funkcjonał jest liniowy i ciągły: δ, φ = φ (0, φ D. δ, λφ + µψ = λφ (0 + µψ (0 = λ δ, φ + µ δ, ψ δ, φ k φ k 0 0, skąd wynika, że δ D. Ponadto δ (x = 0, x 0, suppδ = {0}. (from the theorem on the passage to the limit under the integral sign. This means that the defined functional is a distribution. The distributions generated by locally integrable functions (as above are termed regular. All other distributions are singular. A function f(x locally integrable in G is zero in the distributional sense in a domain G, if and only if f(x = 0 in the usual sense almost everywhere in G. Conclusion Regular distributions are determined modulo a set of Lebesgue measure 0. Any locally integrable function f can be equated with the distribution f (both points are equivalent Therefore, knowing the values of f, φ φ, we can determine f (modulo Lebesgue measure 0. If sequence f k (x of locally integrable functions uniformly converges to a function f on every closed and bounded set, then the sequence is convergent to f in D (IR n. We say that a distribution f belongs to a class C p (G, if a function f G (x corresponding to the distribution f in the domain G belongs to the class C p (G. 5. ingular (irregular distributions ingular distributions are all distributions that cannot be equated with any locally integrable function. Example The δ function (or Dirac delta function defined in the following way: The above functional is linear and continuous: δ, φ = φ (0, φ D. δ, λφ + µψ = λφ (0 + µψ (0 = λ δ, φ + µ δ, ψ δ, φ k φ k 0 0, which implies δ D. Moreover δ (x = 0, x 0, suppδ = {0}.

6 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 6 Generalized Functions (chwartz Distributions Udowodnimy singularność δ (nie wprost. Załóżmy, że istnieje funkcja lokalnie całkowalna, f (x taka, że: f (x φ (x dx = φ (0. ( φ D Rozważymy x φ (x, gdzie x jest jedną ze współrzędnych z IR n. x φ (x także należy do D. Z równania ( wynika wtedy: f (x x φ (x dx = x φ (x x=0 = 0 = x f, φ. φ D Wynika stąd, że funkcja lokalnie całkowalna w IR n x f (x = 0 w sensie funkcji uogólnionych (w sensie dystrybucyjnym, a zatem x f (x jest równe zeru prawie wszędzie i sama f(x jest również równa zeru prawie wszędzie, co przeczy równaniu (. C.N.O. lim ɛ +0 ω ɛ (x φ (x dx = φ (0, φ D We will prove the singularity of δ (by contradiction. Let us assume that there exists such locally integrable function f (x such that: f (x φ (x dx = φ (0. ( φ D Let us consider x φ (x, where x is one of the coordinates from IR n. x φ (x also belongs to D. Then, from equation ( it follows that: f (x x φ (x dx = x φ (x x=0 = 0 = x f, φ. φ D Thus locally integrable function in IR n x f (x = 0 in the sense of generalized functions (in the distributional sense, and x f (x is equal to zero almost everywhere hence f(x is also equal to zero almost everywhere, which contradicts eq. (. Q.E.D. lim ɛ +0 ω ɛ (x φ (x dx = φ (0, φ D Proof Dowód From the continuity of the function φ (x η>0 ɛ0>0 φ (x φ (0 < η if < ɛ 0. Z ciągłości funkcji φ (x η>0 ɛ0>0 φ (x φ (0 < η jeśli < ɛ 0. ɛ ɛ0 mamy: ɛ ɛ0 we have: ω ɛ (x φ (x dx φ (0 ω ɛ (x φ (x φ (0 dx < η ω ɛ (x dx = η Q.E.D. Przykład Niech będzie kawałkami gładką powierzchnią a µ (x funkcją ciągła określoną na. Zdefiniujmy funkcjonał µδ : µδ, φ = µ (x φ (x d, φ D. Jako ćwiczenie sprawdzić, że:. µδ D ( 2. µδ (x = 0, x/ φ D (IRn 3. suppµδ Example Let be a piecewise smooth surface and let µ (x be a continuous function defined on. Let us define the functional µδ : µδ, φ = µ (x φ (x d, φ D. As an excercise verify that:. µδ D ( 2. µδ (x = 0, x/ φ D (IRn 3. suppµδ

7 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 7 Generalized Functions (chwartz Distributions Przykład Wprowadźmy funkcjonał P x : (n = P x φ (x, φ df = vp dx = lim x ( ɛ + ɛ +0 ɛ dx, φ D. Trzeba sprawdzić liniowość i ciągłość. Niech φ k 0 w D, tzn. φ k (x = 0, > R i D α φ k (x 0, wtedy: P k x, φ = vp φk (x x dx R = vp R φ k (0 + xφ k (x x zatem P x D. Dystrybucja P x jest równa funkcji x dla x 0. Nazywa się ją wartością główną całki z x. Example Let us introduce a functional P x : (n = P x φ (x, φ df = vp dx = lim x ( ɛ + ɛ +0 ɛ dx, φ D. We must verify linearity and continuity. Let φ k 0 in D, i.e. φ k (x = 0, > R and D α φ k (x 0, then: R dx R φ k (x dx 2R max R φ k (x k 0 0 i.e. P x D. The distribution P x is equal to the function x for x 0. It is termed a principal value of the integral of x. 6. Operacje na dystrybucjach 6.. Liniowa zamiana zmiennych Niech f (x - lokalnie całkowalna i x = Ay + b, det A 0 wtedy: φ D f (Ay + b, φ = f (Ay + b φ (y dy = det A 6.. Linear change of variables 6. Operations on distributions Let f (x be locally integrable and x = Ay + b, det A 0 then: f (x φ [ A (x b ] dx = [ f, φ A (x b ] det A Uogólniając, za definicję dystrybucji f (Ay + b dla dowolnej f D przyjmiemy: More generally, the distibution f (Ay + b for f D will be defined as: f (Ay + b, φ (y = f (x, φ [ A (x b ], φ D det A Jako ćwiczenie sprawdzić liniowość i ciągłość. Przykłady δ (ax + b, φ (x = δ (x, δ (2x, φ (x = 2 φ ( 0 2 a φ ( (x b a = 2 φ (0 Dla nieliniowej zamiany zmiennych mam zależność jedynie lokalną: f (a (y, φ (y = f (x, φ ( a (x, φ D J As an excercise verify linearity and continuity. Examples δ (ax + b, φ (x = δ (x, δ (2x, φ (x = 2 φ ( 0 2 a φ ( (x b a = 2 φ (0 For a nonlinear change of variables, only locally: f (x, φ ( a (x f (a (y, φ (y = J, φ D

8 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 8 Generalized Functions (chwartz Distributions 6.2. Mnożenie dystrybucji przez funkcję Niech f (x będzie lokalnie całkowalna w IR n, a (x C (IR n. Wtedy f(xa(x jest też lokalnie całkowalna: φ D af, φ = a (x f (x φ (x dx = f, aφ. Ostatnią równość można przyjąć za definicję iloczynu dystrybucji f D i a C af, φ = f, aφ, φ D. af jest dystrybucją, ponieważ jest funkcjonałem liniowym i ciągłym na D. Operacja mnożenia f przez a jest też ciągła i liniowa z D w D, bo: a (λf + µg = λ (af + µ (ag, f, g D, oraz af k 0 w D, gdy f k 0 w D. Jeśli f D, to f = ηf, gdzie η jest dowolną funkcją klasy C (IR n równą na pewnym otoczeniu nośnika f. Dowód Przykład f ηf, φ = f, ( η φ = 0 a (x δ (x = a (0 δ (x, bo aδ, φ = δ, aφ = a (0 φ (0 = a (0 δ, φ. Przykład xp x =, bo: xp x, φ = P x, xφ = vp xφ (x x dx = φ (x dx =, φ. Iloczynu dwóch dowolnych dystrybucji nie można dobrze określić. Przykład Iloczyn dwóch funkcji lokalnie całkowalnych nie musi być lokalnie całkowalny, np.: = 6.2. Multiplication of distributions by a function Let f (x be locally integrable in IR n, a (x C (IR n. Then f(xa(x is also locally integrable and: φ D af, φ = a (x f (x φ (x dx = f, aφ. This equality can be assumed as the definition of a product of distributions f D and a C af, φ = f, aφ, φ D. af is a distribution, since it is linear and continuous on D. The multiplication of f by a is also continuous and linear from D to D, because: a (λf + µg = λ (af + µ (ag, f, g D, and af k 0 in D, when f k 0 in D. If f D, then f = ηf, where η is any function that belongs to the class C (IR n and is equal in a neighborhood of the support f. Proof Example f ηf, φ = f, ( η φ = 0 a (x δ (x = a (0 δ (x, since aδ, φ = δ, aφ = a (0 φ (0 = a (0 δ, φ. Example xp x =, since: xp x, φ = P x, xφ = vp xφ (x x dx = A product of two distributions cannot be well-defined. Example φ (x dx =, φ. A product of two locally integrable functions is not necessarily locally integrable, i.e.: =

9 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 9 Generalized Functions (chwartz Distributions chwartz wykazał, że nie można dla jego dystrybucji z D określić mnożenia tak, aby było łączne i przemienne, np.: (xδ (x P x = 0 P x = 0 ( x δ (x P = x = x x chwartz proved that for his distribution from D, multiplication cannot be defined so as to be associative and commutative, i.e.: (xδ (x P x = 0 P x = 0 ( x δ (x P = x = x x 7. Różniczkowanie dystrybucji (pochodna uogólniona Przy dogodnym uogólnieniu pojęcia pochodnej wszystkie dystrybucje są różniczkowalne nieskończenie wiele razy a zbieżne szeregi można różniczkować wyraz po wyrazie. Niech f C p (IR n. Wtedy dla dowolnego wielowskaźnika α, α p i φ D zachodzi wzór na całkowanie przez części: D α f, φ = D α f(xφ(xdx = ( α f(xd α φ(xdx = ( α f, D α φ. D α f, φ = 7. Differentiation of distributions (generalized derivative After a suitable generalization of the concept of a derivative, all distributions are differentiable infinitely many times, and convergent series can be differentiated one term at a time. Let f C p (IR n. Then for each multi-index α, α p and φ D the following formula for integration by parts holds: D α f(xφ(xdx = ( α f(xd α φ(xdx = ( α f, D α φ. Ostatni wzór można przyjąć za definicję pochodnej D α f dowolnej dystrybucji z D. D α f to taka dystrybucja, która spełnia równanie: D α f, φ = ( α f, D α φ, φ D. Czy D α f jest rzeczywiście dystrybucją? prawdźmy liniowość i ciągłość.. Liniowość: This formula can be assumed as a definition of the derivative D α f of any distribution from D. D α f is a distribution that satisfies the following equation: D α f, φ = ( α f, D α φ, φ D. Is D α f really a distribution? Let us verify linearity and continuity.. Linearity: D α f, λφ + µψ = ( α f, D α (λφ + µψ = = ( α f, λd α φ + µd α ψ = = ( α λ f, D α φ + ( α µ D α ψ = λ D α f, φ + µ D α f, ψ 2. Ciągłość: D α f, φ k = ( α f, D α φ k 0, k, gdy φ k D Continuity: D α f, φ k = ( α f, D α φ k 0, k, when φ k D 0.

10 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 0 Generalized Functions (chwartz Distributions Właściwości pochodnej uogólnionej. Operacja różniczkowania D α jest liniowym i ciągłym odwzorowaniem z D w D : D α (λf + µg = λd α f + µd α g, f, g D oraz D α f k 0, k w D, jeśli f k 0 w D. Wykażmy liniowość: Properties of a generalized derivative. Differentiation D α is a linear and continuous map from D to D : D α (λf + µg = λd α f + µd α g, f, g D and D α f k 0, k w D, if f k 0 in D. Let us prove linearity: D α (λf + µg, φ = ( α λf + µg, D α φ = ( α λ f, D α φ + ( α µ g, D α φ. Podobnie wykazujemy ciągłość. 2. Dowolna dystrybucja jest różniczkowalna nieskończoną ilość razy. Jeśli f D, to D α f D, D β (D α f D itd. 3. D α+β f = D α (D β f = D β (D α f (bo różniczkujemy φ D. 4. D α+β f = D α (D β f = D β (D α f (bo różniczkujemy φ D. Jeśli f D i a C (IR n to zachodzi wzór o pochodnej iloczynu af. Na przykład: = a x f + a f x, ponieważ: (af x D α (λf + µg, φ = ( α λf + µg, D α φ = ( α λ f, D α φ + ( α µ g, D α φ. Continuity can be proved similarly. 2. Any distribution is differentiable infinitely many times. If f D, then D α f D, D β (D α f D etc. 3. D α+β f = D α (D β f = D β (D α f (since we are differentiating φ D. 4. If f D and a C (IR n, then the formula for the derivative of a product af holds. For instance: (af x = a x f + a f x, since: (af, φ = af, φ = f, a φ = f, (af a x x x x φ = f, (af x x + f, a x φ = f x, aφ + a x f, φ = a f x, φ + a x f, φ = a f x + a x f, φ. 5. Jeśli f = 0, to D α f = 0. D α f, φ = f, D α φ ( α = If f = 0, then D α f = 0. D α f, φ = f, D α φ ( α = Jeśli szereg k= u k(x = s(x funkcji lokalnie całkowalnych jest zbieżny jednostajnie na dowolnym zbiorze zwartym, to można go różniczkować dowolną ilość razy wyraz po wyrazie i szeregi pochodnych są zbieżne do pochodnej s(x w D. (Zbiór zwarty w przestrzeni topologicznej to taki zbiór, że z dowolnego pokrycia tego zbioru zbiorami otwartymi przestrzeni można wybrać podpokrycie skończone. W przestrzeni IR n zbiór ograniczony i domknięty jest zwarty. 6. If a series k= u k(x = s(x of locally integrable functions is uniformly convergent on any compact set, then it can be differentiated any number of times, one term at a time and the series of derivatives are convergent to the derivative of s(x in D. (A compact set in a topological space is a set such that from any cover of this set with open sets of a space, we can choose a finite subcover. In IR n space a bounded and closed set is compact.

11 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza Generalized Functions (chwartz Distributions Przykłady (n =. Ładunki i dipole punktowe. Rozważmy gęstość ładunku: Przechodząc do granicy ɛ 0 ρ = ɛ δ(x ɛ ɛ δ(x, ɛ 0 ɛ δ(x ɛ ɛ δ(x, φ = ɛ 0 [φ(ɛ φ(0] φ (0 = δ, φ = δ, φ ɛ otrzymujemy gęstość ładunku dipola punktowego równą δ (x. Ładunek całkowity dipola jest zerowy, δ, = δ, = δ, 0 = 0, podczas gdy pierwszy moment rozkładu jego ładunku jest jednostkowy: δ, x = δ, x = δ, = Examples (n =. Charges and point dipoles. Let us consider a charge density: Passing to the limit ɛ 0 ρ = ɛ δ(x ɛ ɛ δ(x, ɛ 0 ɛ δ(x ɛ ɛ δ(x, φ = ɛ 0 [φ(ɛ φ(0] φ (0 = δ, φ = δ, φ ɛ we obtain the charge density of a point dipole equal to δ (x. The total charge of the dipole is equal to zero, δ, = δ, = δ, 0 = 0, while the first moment of its charge distribution is equal to : δ, x = δ, x = δ, = 2. Zachodzi D α δ, φ = ( α D α φ(0, φ D. 2. The following holds D α δ, φ = ( α D α φ(0, φ D. 3. Pochodna funkcji nieciągłej. Niech f będzie nieciągła w punkcie x 0, f C (x x 0 i f C (x x 0. Wtedy: f = {f } + [f] x0 δ(x x 0, gdzie {f }-pochodna klasyczna, [f] x0 = f(x f(x Jeśli f(x ma izolowane nieciągłości w punktach {x k }, a {f (x} istnieje i jest kawałkami ciągła, to: f = {f (x} + k [f] x k δ(x x k. Na przykład, niech f 0 (x = 2 x 2π, x [0, 2π i f - periodyczne, wówczas: f (x = 2π + k= δ(x 2kπ 5. Zachodzi wzór: 2π k= e ikx = k= (δ 2kπ. Dla dowodu rozważmy pomocniczo funkcję 2π-periodyczną: x o f 0 (x dx = x 2 x2 4π Rozkładając ją na szereg Fouriera mamy: x f 0 (x dx = π 6 2π o k=,k 0 k 2 e ikx. 3. Derivative of a discontinuous function. Let f be discontinuous at a point x 0, f C (x x 0 and f C (x x 0. Then: f = {f } + [f] x0 δ(x x 0, where {f }-classical derivative, [f] x0 = f(x f(x If f(x has isolated discontinuities at points {x k }, and {f (x} exists and is piecewise continuous, then: f = {f (x} + k [f] x k δ(x x k. For instance, let f 0 (x = 2 x 2π, x [0, 2π and f be periodic, then: f (x = 2π + k= δ(x 2kπ 5. The following formula holds: 2π k= e ikx = k= (δ 2kπ. For proof let us briefly consider a 2π-periodic function: x o f 0 (x dx = x 2 x2 4π By expanding it into a Fourier series, we obtain: x f 0 (x dx = π 6 2π o k=,k 0 k 2 e ikx.

12 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 2 Generalized Functions (chwartz Distributions Różniczkując dwa razy ostatni wzór, otrzymujemy: f 0 = 2π + δ(x 2kπ = 2π k= k=,k 0 przy czym 2π = 2π ei0x, czyli k= (δ 2kπ = 2π e ikx k= e ikx 6. Rozwiązaniem równania x m u = 0 w D (IR jest u = m k=0 c kδ (k (x, gdzie c k jest dowolną stałą. Dowód: x m δ (k, φ = δ (k, x m φ = ( k δ, (x m φ k = ( k (x m φ(x k x=0, k < m czyli u = m k=0 c kδ (k (x jest też rozwiązaniem uogólnionym równania x m u = 0 w D (IR. 7. Niech Z(t będzie rozwiązaniem równania jednorodnego: LZ Z m (t + a (tz (m (t a m (tz(t = 0 z warunkiem początkowym Z(0 = Z (0 =... = Z (m 2 (0 = 0, Z (m (0 =. Wtedy E(t = Θ(tZ(t spełnia równanie LE(t = δ(t. Rzeczywiście, =0 {}}{ E (t = Θ(tZ (t + Z(t δ(t E (t = δ(t Z (t +Θ(tZ (t }{{} =0. =0 {}}{ E (m = δ(t Z (m 2 (t +Θ(tZ (m (t E (m = δ(t Z (m (t +Θ(tZ (m (t }{{} = LE(t = E m(t + a (te (m a m (te(t = Θ(t LZ(t +δ(t, }{{} =0 zatem LE(t = δ(t (funkcja Greena dla operatora L. By differentiating twice, we have: f 0 = 2π + k= δ(x 2kπ = 2π where 2π = 2π ei0x, i.e. k= (δ 2kπ = 2π e ikx k=,k 0 k= e ikx 6. The solution of x m u = 0 in D (IR is u = m k=0 c kδ (k (x, where c k is an arbitrary constant. Proof: x m δ (k, φ = δ (k, x m φ = ( k δ, (x m φ k = ( k (x m φ(x k x=0, k < m therefore u = m k=0 c kδ (k (x is also a general solution of x m u = 0 in D (IR. 7. Let Z(t be the solution of a homogeneous equation: LZ Z m (t + a (tz (m (t a m (tz(t = 0 with the initial condition Z(0 = Z (0 =... = Z (m 2 (0 = 0, Z (m (0 =. Then E(t = Θ(tZ(t satisfies LE(t = δ(t. Indeed, =0 {}}{ E (t = Θ(tZ (t + Z(t δ(t E (t = δ(t Z (t +Θ(tZ (t }{{} =0. =0 {}}{ E (m = δ(t Z (m 2 (t +Θ(tZ (m (t E (m = δ(t Z (m (t +Θ(tZ (m (t }{{} = LE(t = E m(t + a (te (m a m (te(t = Θ(t LZ(t +δ(t, }{{} =0 i.e. LE(t = δ(t (Green s function of the operator L.

13 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 3 Generalized Functions (chwartz Distributions Przykłady (n 2. Warstwa podwójna. Niech - kawałkami gładka powierzchnia, n - wersor normalny do, ν(x - ciągła na, określona na. Wprowadźmy dystrybucję n (νδ, działająca następująco: n (νδ, φ = ν(x φ(x d, φ D. n Taki funkcjonał należy do D. supp[ n (νδ ]. n (νδ nazywa się warstwą podwójną na powierzchni z gęstością ν(x, zorientowaną zgodnie z wektorem normalnym n, opisuje gęstość ładunków odpowiadającą rozkładowi dipoli elektrycznych na powierzchni z gęstością powierzchniową momentu dipolowego ν(x. Warstwa pojedyncza. - kawałkami gładka, µ- ciągła na. µδ s : µδ s, φ = µ(xφ(xd, φ D. 2. Niech obszar G ma kawałkami gładki brzeg i niech f C ( G C (G, gdzie G = IR n \ G. Wtedy { } f(x f = + [f] s cos(nx i δ, i =, 2,..., n gdzie n = n x wersor zewnętrznie normalny do w punkcie x, a [f] - skok funkcji f na powierzchni: lim x x f(x lim x x f(x [f] (x, x. Examples (n 2. Double layer. Let - piecewise smooth surface, n - a unit vector normal to, ν(x - continuous on, defined on. Let us introduce a distribution n (νδ, operating as follows: n (νδ, φ = ν(x φ(x d, φ D. n uch a functional belongs to D. supp[ n (νδ ]. n (νδ is termed a double layer on the surface with a density ν(x, oriented according to the normal vector n; it describes the charge density corresponding to the distribution of electric dipoles on the surface with a dipole moment surface density ν(x. ingle layer. - piecewise smooth, µ- continuous on. µδ s : µδ s, φ = µ(xφ(xd, φ D. 2. Let the domain G have a piecewise smooth boundary and let f C ( G C (G, where G = IR n \ G. Then { } f(x f = + [f] s cos(nx i δ, i =, 2,..., n where n = n x is a unit vector outwardly normal to at a point x, and [f] is the jump of the function f on the surface: lim x x f(x lim x x f(x [f] (x, x. Dowód: x G x G x G x G Proof: f, φ = f, φ = f(x φ dx = f(x φ dx f(x φ dx = (from Green s theorem = IR n G G { } { } f f = φ(xdx + [f] (xcos(nx i φ(xd = + [f] cos(nx i δ, φ IR n

14 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 4 Generalized Functions (chwartz Distributions 3. Niech przy założeniach poprzedniego przykładu będzie f C 2 (G C 2 (G. 3. With the above assumptions, let f C 2 (G C 2 (G. Wtedy: Then: 2 { f 2 } f = + [{ } ] f ([f] cos(nx i δ + cos(nx j δ x j x j x j Dowód: Trzeba zróżniczkować wzór z poprzedniego przykładu względem x j, ale przy różniczkowaniu f zastosować ponownie wzór z poprzedniego przykładu: C.N.O. x j { f } { 2 } f = + x j Proof: We must differentiate the formula from the previous example with respect to x j, however, when differentiating f let us apply the formula from the previous example: [{ }] f cos(nx j δ W szczególności dla i = j, i =, 2,..., n mamy po wysumowaniu: In particular, after summation, for i = j, i =, 2,..., n we have: n n [{ }] f f = { f} + ([f] cos(nx i δ + cos(nx i δ biorąc pod uwagę, że: n ([f] cos(nx i δ = x i= i n ([f] δ n [{ }] [ ] f f cos(nx i δ = δ, n i= ostatni wzór na f przyjmuje postać: [ ] f f = { f} + δ + n n ([f] δ, jeśli f 0, x G, to: f = { f} f n δ n (fδ. Jest to wzór Greena II w języku dystrybucji: ( (f φ fφ dx = f φ n φ f d. n G Ostatni wzór jest słuszny nawet dla φ C 2 (G. i= Q.E.D. i= and taking into account that: n ([f] cos(nx i δ = x i= i n ([f] δ n [{ }] [ ] f f cos(nx i δ = δ, n i= the latter formula for f becomes: [ ] f f = { f} + n if f 0, x G, then: δ + n ([f] δ, f = { f} f n δ n (fδ. This is Green s second formula expressed in the language of distributions: ( (f φ fφ dx = f φ n φ f d. n G The latter formula holds even for φ C 2 (G.

15 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 5 Generalized Functions (chwartz Distributions Uwaga Korzystaliśmy z dwóch wzorów: n ([f] cos(nx i δ = x i= i n ([f] δ, n [{ }] [ ] f f cos(nx i δ = δ. n i= Udowodnijmy pierwszy z nich: Note We applied two formulas: n ([f] cos(nx i δ = x i= i n ([f] δ, n [{ }] [ ] f f cos(nx i δ = δ. n i= Let us prove the first of these: n i= ([f] cos(nx i δ, φ = n [f] cos(nx i δ, φ n = C.N.O. 4. Niech n = 2. Wyliczyć ln. ln jest lokalnie całkowalne w IR 2 Jeśli x 0, to ln C i D α ln = {D α ln }, wtedy: ln = ( r ln r = ( r = 0 = 0, x 0. r r r r r r r i= i= [f] cos(nx i φ d = [f] Q.E.D. n i= φ φ cos(nx i d = [f] n d = n ([f], δ, φ 4. Let n = 2. Calculate ln. ln is locally integrable in IR 2 If x 0, then ln C and D α ln = {D α ln }, then: ln = r r ( r ln r r = r r ( r = 0 = 0, x 0. r r Niech φ D, suppφ U R, wtedy: ln, φ = ln, φ = ln φ (x dx = U R = lim ln φ (x dx. ɛ<<r Let φ D, suppφ U R, then: ln, φ = ln, φ = ln φ (x dx = U R = lim ln φ (x dx. ɛ<<r Zastosujmy II-gi wzór Greena dla f = ln i G = [ɛ < < R]: ( ln, φ = lim ln φ (x dx + ɛ 0 [ɛ<<r + czyli ostatecznie: = lim ɛ ln = 2πδ (x, n = 2. ɛ φd = lim { ɛ ɛ + R ( ln φ ln + φ n n Let us apply Green s second formula for f = ln and G = [ɛ < < R]: ( d ln d = ] = lim } [φ (x φ (0] d + 2πφ (0 = 2πφ (0 = 2πδ, φ, ɛ finally, we obtain: ɛ φ + φ ln = 2πδ (x, n = 2.

16 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 6 Generalized Functions (chwartz Distributions Analogicznie, dla n 3 zachodzi: n 2 = (n 2 σ nδ (x x IR n, gdzie σ n to pole powierzchni kuli jednostkowej w IR n W szczególności dla n = 3: 5. Dystrybucje σ n = ds = 2πn/2 Γ ( n, 2 Γ (z = przy n = 3 spełniają równanie: Obliczmy 0 e t t z dt. = 4πδ (x. E (x = e±ik 4π E + k 2 E = δ (x. x j = x j 3 e ik = ikx j x j e ik = eik [ ] 2ik k2 e ik Analogously, for n 3: n 2 = (n 2 σ nδ (x x IR n, where σ n is the surface area of a unit ball in IR n In particular, for n = 3: 5. Distributions σ n = ds = 2πn/2 Γ ( n, 2 Γ (z = with n = 3, satisfy the equation: Let us calculate 0 e t t z dt. = 4πδ (x. E (x = e±ik 4π E + k 2 E = δ (x. x j = x j 3 e ik = ikx j x j e ik = eik [ ] 2ik k2 e ik ( + k 2 eik = e ik + 2gradeik grad + eik + k 2 eik = 4πe ik δ (x + 2e ik gdzie wykorzystano: ( = 4πδ (x + e ik 2ik 2 + 2ik 2 k2 + k2 3 ik x j ( x j 3 j= = 4πδ (x, + where the following formula was used: (fg = [ (fg] = [g f + f g] = g f + g 2 f + f g + f 2 g = 2gradf gradg + g 2 f + f 2 g. ( 2ik k2 e ik + k 2 eik =

17 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 7 Generalized Functions (chwartz Distributions 6. Niech ( E (x, t = ( θ (t n exp 2 2a πt 4a 2. t 6. Let ( E (x, t = ( θ (t n exp 2 2a πt 4a 2. t Wykazać, że: E t a2 E = δ (x, t. ( Prove that: E t a2 E = δ (x, t. ( Wykorzystać lemat o unormowaniu E (x, t: Dowód lematu: E (x, t dx = ( n 2a πt IR n E (x, t dx =, t > 0 e 2 4a 2 t dx = n i π e ξ2 i dξi = C.N.O. Use the normalization lemma E (x, t: E (x, t dx =, t > 0 IR n Proof of the lemma: E (x, t dx = ( n e 2 n 4a 2 t dx = e ξ2 i dξi = 2a πt π i Q.E.D. Dowód ( : Jeśli t > 0, to E C i wtedy: ( E t = 2 4a 2 t n E 2t Proof ( : If t > 0, then E C and thus: ( E t = 2 4a 2 t n E 2t E = x i 2a 2 t E 2 ( E x 2 x 2 = i i 4a 4 t 2 2a 2 t ( x 2 E t a2 E = 4a 2 t 2 n 2t E, E ( x 2 4a 2 t 2 n 2t E = 0. E = x i 2a 2 t E 2 ( E x 2 x 2 = i i 4a 4 t 2 2a 2 t ( x 2 E t a2 E = 4a 2 t 2 n 2t E, E ( x 2 4a 2 t 2 n 2t E = 0. Wykorzystując ostatni fakt, φ D ( IR n+ mamy: Hence, φ D ( IR n+ we have: E t a2 E, φ = E, φ ( E t, φ = 0 = lim t + a2 φ = IR n E (x, t ɛ IR n a 2 E, φ = E, φ t a 2 E, φ ( φ t + a2 φ dxdt = lim E (x, t φdxdt + lim t IR n ɛ IR n E (x, t E (x, ɛ φ (x, ɛ dx lim ( φ t + a2 φ dxdt = lim ɛ IR n ɛ IR n E (x, t φ dxdt + lim t a 2 E (x, t φdxdt = I + II + III = lim IR n ɛ IR n E (x, t a 2 φdxdt = E (x, ɛ φ (x, 0 dx

18 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 8 Generalized Functions (chwartz Distributions ponieważ I + III = 0, a także: since I + III = 0, and also: lim IR n E (x, ɛ φ (x, ɛ dx = lim E (x, ɛ [φ (x, ɛ φ (x, 0] dx + lim IR n Ostatni wzór oznacza, że E δ (t. Teraz zauważmy, że: bo: stąd E (x, t = (4πa 2 t n/2 exp ( 2 D 4a 2 δ (x t t 0 + E (x, t [φ (x φ (0] dx K (4πa 2 t n/2 Z dwóch ostatnich wyników: C.N.O. 8.. Iloczyn prosty E (x, t, φ (x x = IR n e 2 4a 2 t dx = Kσ n (4πa 2 t n/2 E (x, t φ (x = φ (0 8. Iloczyn prosty i splot dystrybucji Niech f(x i g(y będą lokalnie całkowalne na, odpowiednio, IR n i IR m. Wtedy f(xg(y jest też lokalnie całkowalna na IR n+m i generuje regularną dystrybucję na φ(x, y D według wzorów: f(xg(y, φ(x, y = dx = f(x g(yf(x, φ(x, y = = g(y E (x, t + E (x, ɛ φ (x, 0 dx = lim K ɛ 0 IR n E (x, ɛ dx + lim } {{ } 0 The last formula means that E δ (t. Note that: ( E (x, t = exp (4πa 2 n/2 t since: e r2 4a 2 t r r n dr = 2Kσ n ta therefore π n/2 0 IR n 2 4a 2 t E (x, t [φ (x φ (0] dx = φ (0 = δ (x, φ. From the two final results: Q.E.D. E (x, ɛ φ (x, 0 dx. D t 0 + δ (x e u2 u n du = C t t 0+ 0, 8. Direct product and convolution of distributions 8.. Direct product Let f(x and g(y be locally integrable on, respectively, IR n and IR m. Then f(xg(y is also locally integrable on IR n+m and generates a regular distribution on φ(x, y D according to the formulas: dy f(xg(yφ(x, y = g(yφ(x, ydydx = f(x, g(y, φ(x, y g(yf(xφ(x, ydxdy = f(xφ(x, ydxdy = g(y, f(x, φ(x, y

19 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 9 Generalized Functions (chwartz Distributions Powyższe wzory to teza twierdzenia Fubiniego. Uogólniając: Definicja (iloczyn prosty Iloczynem prostym dystrybucji f(x D (IR n i g(y D (IR m nazywamy funkcjonał działający według przepisu f(xg(y, φ(x, y = f(x, g(y, φ(x, y φ D(IR n+m }{{} f g,φ(x The above formulas constitute the proposition of Fubini s theorem. To generalize: Definition (direct product The direct product of distributions f(x D (IR n and g(y D (IR m is a functional acting according to the formula f(xg(y, φ(x, y = f(x, g(y, φ(x, y φ D(IR n+m }{{} f g,φ(x Iloczyn prosty dystrybucji jest dystrybucją. Iloczyn prosty jest komutatywny. Operacja iloczynu prostego f(x g(y jest liniowa i ciągła względem f (z D (IR n w D (IR n+m i względem g (z D (IR m w D (IR n+m. Czyli: [λf (x + µf 2 (x] g(y = λ [f (x g(y] + µ [f 2 (x g(y] f, f 2 D (IR n, g D (IR m i f k (x g(y 0 w D (IR n+m, jeśli f k 0 w D (IR n Iloczyn prosty jest łączny. Dowód Niech f D (IR n, g D (IR m, h D (IR k. Jeśli φ D (IR n+m+k, to: D A direct product of distributions is itself a distribution. The direct product is commutative. The operation of direct product f(x g(y is linear and continuous with respect to f (z D (IR n w D (IR n+m and g (z D (IR m w D (IR n+m. Therefore: [λf (x + µf 2 (x] g(y = λ [f (x g(y] + µ [f 2 (x g(y] f, f 2 D (IR n, g D (IR m and f k (x g(y 0 in D (IR n+m, if f k 0 in D (IR n The direct product is associative. f(x [g(y h(z], φ(x, y, z = f(x, g(y h(z, φ(x, y, z = Proof Let f D (IR n, g D (IR m, h D (IR k. If φ D (IR n+m+k, then: = f(x, g(y h(z, φ(x, y, z = = f(x g(y, h(z, φ(x, y, z = = [f(x g(y] h(z, φ(x, y, z D Zachodzi Dx α [f(x g(y] = D α f(x g(y Dowód Jeśli φ D(IR n+m, to The following holds Dx α [f(x g(y] = D α f(x g(y Proof If φ D(IR n+m, then

20 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 20 Generalized Functions (chwartz Distributions D α x [f(x g(y], φ = ( α f(x g(y, D α x φ = ( α g(y, f(x, D α x φ(x, y = Ox = g(y, D α x f(x, φ = D α x f(x g(y, φ(x, y Jeśli a C (IR n, to a(x [f(x g(y] = a(xf(x g(y Dowód Niech φ D(IR n+m. Wtedy a(x, [f(x g(y], φ = [f(x g(y], aφ If a C (IR n, then a(x [f(x g(y] = a(xf(x g(y Proof Let φ D(IR n+m. Then = f(x, g(y, a(xφ(x, y = f(x, a(x g(y, φ(x, y = a(xf(x, g(y, φ(x, y = a(xf(x g(y, φ Nośnik f g jest równy supp f supp g supp (f g ( iloczyn kartezjański plot dystrybucji Niech f(x, g(x lokalnie całkowalne na IR n i niech h(x = g(yf(x y dy też będzie lokalnie całkowalna w IR n. plotem funkcji f i g, oznaczonym f g, nazywamy funkcję (f g(x = f(yg(x ydy = g(yf(x ydy = (g f(x Zauważmy, że sploty f g i f g = h jeśli istnieją, to istnieją obydwa. Ponadto (f g(x h(x czyli splot f g jest też lokalnie całkowalny na IR n. plot f g generuje dystrybucję regularną według wzoru: The support f g is equal to supp f supp g supp (f g ( Cartesian product Convolution of distributions Let f(x, g(x be locally integrable on IR n and let h(x = g(yf(x y dy also be locally integrable in IR n. By convolution of functions f and g, denoted as f g, we will term the function (f g(x = f(yg(x ydy = g(yf(x ydy = (g f(x Note that if the convolutions f g and f g = h exist, they must both exist. Moreover, (f g(x h(x thus the convolution f g is also locally integrable on IR n. Convolution f g generates a regular distribution according to the formula:

21 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 2 Generalized Functions (chwartz Distributions f g, φ = (f g(ξφ(ξdξ = [g(yf(x ξdy] φ(ξdξ = [ ] = g(y f(x ξφ(ξdξ dy = [ ] = g(y f(xφ(x + ydx dy = = g, f(xφ(x + ydx = = g(y, f(x, φ(x + y dx = = f g, φ(x + y Uogólniając, splotem f g dystrybucji f i g nazywamy dystrybucję zdefiniowaną według wzoru: f g, φ = f(x g(y, φ(x + y, φ D(IR n To generalize, the convolution f g of distributions f and g is a distribution defined according to the formula: f g, φ = f(x g(y, φ(x + y, φ D(IR n Właściwości splotu. Komutatywność. Bezpośrednio z definicji wynika, że jeśli f g istnieje, to g f też istnieje i f g = g f 2. Liniowość. f g jest liniową operacją z D w D względem f i g: (λf + µf g = λf g + µf g Wynika to też bezpośrednio z definicji. Uwaga. W ogólności f g nie jest ciągłym odwzorowaniem z D w D względem f, czy g, np: δ(x k 0, k, w D (IR, ale δ(x k = 0, k w D (IR. 3. Jedynka mnożenia splotowego. plot dowolnej dystrybucji f z dystrybucją δ istnieje i jest równy f: f δ = δ f = f Dowód Properties of convolution. Commutativity. It follows directly from the definition that if f g exists, then g f also exists and f g = g f 2. Linearity. f g is a linear operation from D to D with respect to f and g: (λf + µf g = λf g + µf g This also follows directly from the definition. Note. In general, f g is not a continuous map from D to D with respect to f or g, for instance: δ(x k 0, k, w D (IR, but δ(x k = 0, k in D (IR. 3. Unit (multiplicative identity of convolution. The convolution of any distribution f with the δ distribution exists and is equal to f: Proof f δ = δ f = f f δ, φ = f(x δ(y, φ(x + y = f(x, δ(y, φ(x + y = f(x, φ(x = f, φ

22 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 22 Generalized Functions (chwartz Distributions 4. Różniczkowanie splotu. Jeśli splot f g istnieje, to istnieją też sploty D α f g i f D α g i zachodzi: D α f g = D α (f g = f D α g Dla dowodu wystarczy pokazać prawdziwość wzoru dla D α D j. Uwaga. Istnienie splotów D α f g i f D α g dla α nie oznacza ani, że f g istnieje, ani że D α f g = f D α g. Na przykład θ = δ = θ = θ 0 = 0 5. Operacja brania splotu nie jest w ogólności łączna: (θ δ = θ = θ(δ = θ 0 = 0 6. Przesunięcie splotu. Jeśli f g istnieje, to istnieje też f(x+h g(x i zachodzi f(x + h g(x = (f g(x + h, h IR n. Czyli operacja przesunięcia i brania splotu są przemienne. Dowód 4. Differentiation of convolution. If the convolution f g exists, then there also exist convolutions D α f g and f D α g and the following holds: D α f g = D α (f g = f D α g In order to prove this, it suffices to demonstrate that the above formula holds for D α D j. Note. The existence of convolutions D α f g and f D α g for α does not mean that f g exists or that D α f g = f D α g. For instance θ = δ = θ = θ 0 = 0 5. In general, the operation of taking a convolution is not associative: (θ δ = θ = θ(δ = θ 0 = 0 6. Translation of convolution. If f g exists, then there also exists f(x+h g(x and the following holds: f(x + h g(x = (f g(x + h, h IR n. Therefore translation is commutative with taking a convolution. Proof (f g(x + h, φ = f g, φ(x h = f(x g(y, φ(x h + y = = f(x, g(y, φ(x h + y = f(x + h, g(y, φ(x + y = = f(x + h g(y, φ(x + y = f(x + h g(x, φ f h g, φ Uwaga. plot nie zawsze istnieje! Niech f będzie dowolną dystrybucją, a g dystrybucją o zwartym nośniku. Wtedy splot f g istnieje. Jeśli f g h istnieje, to f g h = (f g h = f (g h Note. A convolution does not necessarily exist! Let f be any distribution, and g a distribution with compact support. Then the convolution f g exists. If f g h exists, then f g h = (f g h = f (g h

23 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 23 Generalized Functions (chwartz Distributions Dowód wynika wprost z łączności iloczynu tensorowego. plot f g h jest łączny i przemienny jeśli:. wszystkie dystrybucje oprócz co najmniej jednej mają nośniki ograniczone 2. n = i nośniki lewostronnie ograniczone 3. n = 4 i nośniki w podprzestrzeni t 0 i wszystkie oprócz co najmniej jednej w stożku t 2 x 2 y 2 z 2 0 (stożek przyszłości Wniosek: podobnie dla splotu k dystrybucji. Aby zróżniczkować lub przesunąć splot wielu dystrybucji, można zróżniczkować lub przesunąć dowolny czynnik mnożenia splotowego. Definicja (algebra spolotowa Algebrą splotową A nazywamy taką podprzestrzeń D, że splot dwóch dystrybucji lub skończonej ich ilości z A istnieje i też należy do A, jest łączny i przemienny i że δ A Przykłady algebr splotowych. A = D (Γ dystrybucje na okręgu 2. A = E dystrybucje o nośniku ograniczonym 3. A = D +, n = nośniki w półprostej x 0 4. A = M, n = 4, dystrybucje o nośniku w stożku przyszłości t 0, t 2 x 2 y 2 z 2 0 Równania w algebrze splotowej mają postać: A X = B The proof follows directly from the associative property of tensor product. The convolution f g h is associative and commutative, if:. all distributions, except for at least one, have bounded supports 2. n = and left-bounded supports 3. n = 4 and supports in the subspace t 0 and all except for at least one in a cone t 2 x 2 y 2 z 2 0 (future light cone Conclusion: similarly for the convolution of k distributions. In order to differentiate or translate the convolution of many distributions, we can differentiate or translate any of the components in the convolution. Definition (convolution algebra Convolution algebra A is such a subspace D that the convolution of two (or any finite number of distributions from A exists, also belongs to A, and is associative and commutative and δ A Examples of convolution algebras. A = D (Γ distributions on a circle 2. A = E distributions with a bounded support 3. A = D +, n = support in a half-line x 0 4. A = M, n = 4, distributions with a support in a future light cone t 0, t 2 x 2 y 2 z 2 0 Equations in convolution algebra have the form: A X = B

24 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 24 Generalized Functions (chwartz Distributions A współczynnik, X niewiadoma, B wyraz wolny. A, B A, poszukuje się X A. Na to, aby równanie A X = B miało co najmniej jedno rozwiązanie B A potrzeba i wystarcza, aby A był odwracalny w A, tzn aby istniał element A taki, że A A = A A = δ. A jest jednoznaczne i równanie A X = B ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dowód Jeżeli istnieje rozwiązanie B, to weźmy B = δ, wtedy istnieje element odwrotny. Jeśli istnieje element odwrotny A, to i w dodatku to jest jedno. Definicja A A X = A B X = A B A nazywamy inwersją A. A X = δ nazywamy równaniem podstawowym dla A X = B A rozwiązanie podstawowe równania A X = B, czyli rozwiązanie A X = δ Jeśli elementy A i A 2 są odwracalne, to splot A A 2 jest też odwracalny i (A A 2 = A A 2 Dowód (A A 2 (A A 2 = (A A (A 2 A 2 = δ δ = δ 8.3. Regularyzacja dystrybucji Niech ω ɛ (x. f ɛ = f ω ɛ nazywa się regularyzacją f. Było już, że ω ɛ δ, ɛ 0 w D. Korzystając z ciągłości splotu f ω ɛ względem ω ɛ mamy f ɛ f, ɛ 0 w D. Każda dystrybucja f jest słabą granicą funkcji testowych, tzn D jest gęste w D. A coeffcient, X unknown, B absolute term. A, B A, we seek X A. For the equation A X = B to have at least one solution B A it is necessary and sufficient that A is invertible in A, i.e. that there exists such an element A such that A A = A A = δ. A is unique and the equation A X = B has exactly one solution. Proof If there exists a solution of B, then let us take B = δ, and then there exists an inverse. If there exists an inverse A, then and also this is equal. Definition A A X = A B X = A B A is termed an inverse of A. A X = δ is termed a basic equation for A X = B A basic solution of equation A X = B, i.e. a solution of A X = δ If elements A i A 2 are invertible, then the convolution A A 2 is also invertible and (A A 2 = A A 2 Proof (A A 2 (A A 2 = (A A (A 2 A 2 = δ δ = δ 8.3. Regularization of distributions Let ω ɛ (x. f ɛ = f ω ɛ be termed a regularization of f. We have already mentioned that ω ɛ δ, ɛ 0 in D. Using the continuity of convolution f ω ɛ with respect to ω ɛ we have f ɛ f, ɛ 0 in D. Every distribution f is a weak limit of test functions, i.e. D is dense in D.

25 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 25 Generalized Functions (chwartz Distributions 8.4. Przykłady splotów. Potencjał newtonowski. Niech f(x ciągła w IR n {0} i całkowalna w IR n a µδ (x warstwa prosta na ograniczonej, kawałkami gładkiej powierzchni, z ciągłą gęstością powierzchniową. Wtedy: f µδ = µ(yf(x yd y, bo: f µδ, φ = µδ f, φ(y + ξ = 8.4. Examples of convolutions. Newtonian potential. Let f(x be continuous in IR n {0} and integrable in IR n and µδ (x be a simple layer on a bounded, piecewise smooth surface, with continuous surface density. Then: f µδ = µ(yf(x yd y, since: = µδ, f, φ(y + ξ = = µ(y( f(ξφ(y + ξdξd y = = µ(y f(x yφ(xdxd y = = φ(x( µ(yf(x yd y dx Niech dla n 3 f n 3 (x = i dla n = 2 f n 2 2 (x = ln wtedy sploty V (0 n 3 (x = µδ n 2 s i V (0 2 (x = ln µδ s są potencjałami newtonowskimi warstw prostych w n 3 i n = 2 wymiarach V (0 n 3 = d y µ(y x y n 2 V (0 2 = µ(y ln d y x y 2. Niech g D (IR n, n 3. V n = ρ nazywamy objętościowym potencjałem newtonowskim. n 2 Dla n = 3: V 3 = ρ spełnia równanie Poissona z gęstością ρ. V 3 = 4πρ ( prawdzenie: V 3 = ( ρ = ρ = 4πδ ρ = 4πρ. V 3 (x = ρ(y x y dy potencjał od ładunku o gęstości ρ 3. ρ dowolna dystrybucja D (IR 2. V 2 = ln ρ, n = 2. V 2 spełnia równianie Poissona z n = 2. V 2 = (ln ρ = V 2 (x = g(y ln ( ln x y dy ρ = 2πρ Let f n 3 (x = for n 3 and f n 2 2 (x = ln for n = 2. Then, the convolutions V (0 n 3 (x = µδ n 2 s and V (0 2 (x = ln µδ s are Newtonian potentials of simple layers in n 3 and n = 2 dimensions V (0 n 3 = d y µ(y x y n 2 V (0 2 = µ(y ln d y x y 2. Let g D (IR n, n 3. V n = n 2 ρ be termed a Newton volume potential. For n = 3: V 3 = ρ satisfies the Poisson equation with density ρ. V 3 = 4πρ ( Verification: V 3 = ( ρ = ρ = 4πδ ρ = 4πρ. V 3 (x = ρ(y x y dy potential of a charge density ρ 3. ρ any distribution D (IR 2. V 2 = ln ρ, n = 2. V 2 satisfies the Poisson equation with n = 2. V 2 = (ln ρ = V 2 (x = g(y ln ( ln x y dy ρ = 2πρ

26 Funkcje uogólnione (dystrybucje chwartza 26 Generalized Functions (chwartz Distributions 4. Niech ograniczona, kawałkami gładka powierzchnia dwustronna, n wektor normalny, V ciągłe na. V ( n (x = n 2 n (νδ, n 3 V ( 2 (x = ln n (νδ, n = 2 Potencjał newtonowski od warstwy dipolowej. 4. Let be a bounded, piecewise smooth two-sided surface, n a surface normal, V continuous on. V ( n (x = n 2 n (νδ, n 3 V ( 2 (x = ln n (νδ, n = 2 Newtonian potential of a dipole layer.