Zadania z fizyki. 3 Opis ruchu w przestrzeni. Wydział Elektroniki

Transkrypt

1 Zadania z fizyki Wydział Elektroniki 3 Opis ruchu w przestrzeni Uwaga: Zadania oznaczone przez (c) należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach. Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, ale również obowiązkowe. Zad. 1(c). W animacji komputerowej punkt na ekranie komputera ma położenie r(t) = [4,0 cm + (2,5 cm/s 2 )t 2 ]î + (5,0 cm/s)tĵ. (a) Podaj wartość i kierunek średniej prędkości punktu pomiędzy t 1 = 0 a t 2 = 2,0 s. (b) Podaj wartość i kierunek prędkości chwilowej punktu w t = 0, t = 1,0 s i t = 2,0 s. (c) Naszkicuj tor ruchu punktu od t = 0 do t = 2,0 s i zaznacz prędkości obliczone w punkcie (b). Zad. 2. Wiewiórka ma w chwili t 1 = 0 współrzędne (1,1 m; 3,4 m), a w chwili t 2 = 3,0 s (5,3 m; 0,5 m). Znaleźć dla tego przedziału czasu (a) składowe prędkości średniej, (b) wartość i kierunek prędkości średniej. Zad. 3. Nosorożec znajduje się w chwili t 0 = 0 w początku układu współrzędnych. Jego prędkość średnia w przedziale czasu od t 0 do t 1 = 12 s ma składową v x równą 3,8 m/s, a składową v y równą 4,9 m/s. Jakie są współrzędne x i y nosorożca w chwili t 1? (b) Jak daleko od początku układu współrzędnych znajduje się on w tej chwili? Zad. 4. Położenie wiewiórki w parku dane jest jako funkcja czasu wzorem r(t) = [(0,280 m/s)t + (0,0360 m/s 2 )t 2 ]î + (0,0190 m/s 3 )t 3 ĵ. (a) Znajdź zależność od czasu składowych prędkości v x i v y wiewiórki. (b) Jak daleko od punktu początkowego (t = 0) jest wiewiórka w chwili t = 5,00 s? (c) Jaka jest wartość i kierunek prędkości wiewiórki w chwili t = 5,00 s? Zad. 5. Jeśli r(t) = bt 2 î+ct 3 ĵ, gdzie b i c są dodatnimi stałymi, to kiedy wektor prędkości tworzy kąt 45 z osiami układu współrzędnych? Zad. 6. Samolot odrzutowy leci na stałej wysokości. W chwili t 1 = 0 ma on składowe prędkości v x = 90 m/s i v y = 110 m/s. W chwili t 2 = 30,0 s składowe prędkości wynoszą v x = 170 m/s i v y = 40 m/s. (a) Naszkicuj wektory prędkości w chwilach t 1 i t 2. Jaka jest różnica pomiędzy tymi wektorami? (b) Oblicz składowe średniego przyspieszenia w tym przedziale czasu. (c) Oblicz wartość i kierunek średniego przyspieszenia w tym przedziale czasu. 1

2 Zad. 7. Biegacz wyrusza z punktu A i biegnie z prędkością o stałej wartości 6,0 m/s po kołowym torze o średnicy 100 m, pokazanym na rysunku obok. Znajdź składowe średniej prędkości i średniego przyspieszenia biegacza pomiędzy punktami (a) A i B, (b) (a) A i C, (c) C i D, (d) A i A (pełne okrążenie). (e) Znajdź wartość średniej prędkości pomiędzy punktami A i B. Czy jest ona równa wartości jego prędkości chwilowej? Dlaczego lub dlaczego nie? Zad. 8. Biegnący przez pole pies ma w chwili t 1 = 10,0 s prędkość o składowych v x = 2,6 m/s i v y = 1,8 m/s. W przedziale czasu od t 1 do t 2 = 20,0 s średnie przyspieszenie psa ma wartość 0,45 m/s 2 i skierowane jest pod kątem 31,0 do osi x. (a) Znaleźć składowe prędkości psa w chwili t 2. (b) Znaleźć wartość i kierunek prędkości w chwili t 2. (c) Naszkicować wektory prędkości w chwilach t 1 i t 2. Jaka jest ich różnica? Zad. 9(c). Współrzędne ptaka lecącego w płaszczyźnie xy dane są wzorami x(t) = αt i y(t) = 3,0 m βt 2, gdzie α = 2,4 m/s, a β = 1,2 m/s 2. (a) Naszkicuj tor lotu ptaka w przedziale czasu od t = 0 do t = 2,0 s. (b) Oblicz wektory prędkości i przyspieszenia ptaka jako funkcje czasu. (c) Znajdź wartość, kierunek i zwrot przyspieszenia ptaka w t = 2,0 s. (c) Naszkicuj wektory prędkości i przyspieszenia w t = 2,0 s. Czy w tej chwili czasu ptak przyspiesza, zwalnia czy też wartość jego prędkości w tym momencie się nie zmienia? Czy ptak zakręca? jeśli tak, to w jakim kierunku? Zad. 10. Mały samolot-zabawka leci w płaszczyźnie xy, równoległej do powierzchni Ziemi. W przedziale czasu od t = 0 do t = 100 s jego prędkość jako funkcja czasu dana jest zależnością v(t) = (1,20 m/s 2 )tî + [12,0 m/s (2,00 m/s 2 )t]ĵ. W jakiej chwili czasu prędkość samolotu będzie prostopadła do jego przyspieszenia? Zad. 11(c). Dla rzutu ukośnego (nad poziomą powierzchnią) z początkową prędkością v 0 skierowaną pod kątem θ do poziomu znaleźć ogólne wyrażenia na (a) czas lotu; (b) czas, po jakim osiągnięty zostanie najwyższy punkt toru; (c) wysokość toru w najwyższym punkcie; (d) zasięg; (e) wartość kąta θ, dla którego zasięg jest największy przy ustalonej wartości prędkości początkowej. Zad. 12. W którym momencie ruchu w przypadku rzutu ukośnego przyspieszenie normalne jest największe? A przyspieszenie styczne? (Wskazówka: zadanie najłatwiej jest rozwiązać graficznie, rozkładając przyspieszenie na składowe styczną i normalną w różnych punktach trajektorii). Zad. 13*. Wyznacz zależność wartości prędkości oraz przyspieszenia stycznego i normalnego od czasu dla rzutu ukośnego. Zad. 14. Pracownik ogrodu zoologicznego strzela pociskiem usypiającym do małpy wiszącej na gałęzi. Małpa puszcza gałąź w momencie wystrzału. Udowodnij, że jeśli strzelba w momencie strzału wycelowana jest w małpę, to pocisk trafi w nią, o ile tylko zdąży ją dosięgnąć, nim małpa wyląduje na ziemi. Pomiń opór powietrza. 2

3 Zad. 15. Pływak skacze z rozbiegu do wody z urwiska, wybijając się poziomo (rysunek). Jaka musi być jego minimalna prędkość na szczycie klifu, by minął położoną o 9,00 m niżej półkę o szerokości 1,75 m? Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics. Zad. 16. Wewnątrz statku kosmicznego spoczywającego na ziemi piłka stacza się z blatu poziomego stołu i ląduje w odległości d od jego podstawy. Po wylądowaniu na niezbadanej dotąd Planecie X kapitan statku zrzuca tę samą piłkę z tego samego stołu z taką samą prędkością początkową i stwierdza, że ląduje ona w odległości 2,76d od podstawy stołu. Jakie jest przyspieszenie spadku swobodnego na Planecie X? Zad. 17. Profesor fizyki w wolnych chwilach ćwiczy wyczyny kaskaderskie na motocyklu. Próbuje ona przeskoczyć płynącą kanionem rzekę, której brzeg tworzy skarpę, jak pokazano na rysunku obok. Nachylenie skarpy wynosi 53,0, rzeka ma 40,0 m szerokości, kanion jest głęboki na 100 m, a drugi brzeg jest 15,0 m poniżej krawędzi skarpy. Można pominąć opór powietrza. (a) Jaka musi być prędkość profesor na skraju skarpy, aby dotarła ona do krawędzi drugiego brzegu? (b) Jeżeli jej prędkość była o połowę niższa od wartości znalezionej się w części (a), to gdzie ona wyląduje? Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics. Zad. 18. Cząstka porusza się w płaszczyźnie xy z prędkością v = αî+βxĵ, gdzie α i β są stałymi. W chwili t = 0 cząstka znajduje się w punkcie x = y = 0. Znaleźć (a) równanie toru cząstki y(x); (b) zależność promienia krzywizny toru od x. Zad. 19*. (Rzut poziomy na stoku). (a) Łucznik na stoku o nachyleniu 30 w górę mierzy do celu znajdującego się 60 m dalej na pochyłości. Strzała w łuku i środek tarczy znajdują się na takiej samej wysokości 1,50 m nad ziemią. Prędkość początkowa strzały tuż po opuszczeniu łuku ma wartość 32,0 m/s. Pod jakim kątem od poziomu powinien strzelać łucznik, by trafić w tarczę? Jeśli są dwa takie kąty, to znajdź mniejszy. Być może będziesz musiał rozwiązać równanie na kąt metodą prób i błędów albo przy pomocy komputera. Jak ma się znaleziony kąt do wymaganego w przypadku, gdy teren jest poziomy? (b) Rozwiąż analogiczne zagadnienie w przypadku terenu nachylonego pod kątem 30 w dół. Zad. 20*. Znajdź największy kąt rzutu ukośnego (względem poziomu), dla którego tor ma tę własność, że odległość poruszającego się obiektu od punktu początkowego zawsze rośnie. Pomiń opór powietrza. Zad. 21*. Rakieta przeznaczona do umieszczania małych ładunków na orbicie wynoszona jest na wysokość 12,0 km npm przez przebudowany odpowiednio samolot pasażerski. Gdy samolot leci w linii prostej ze stałą prędkością 850 km/h, upuszcza rakietę. Następnie samolot zachowuje tę samą wysokość i prędkość i kontynuuje lot w linii prostej. Rakieta spada przez krótki czas, po którym włącza się jej silnik rakietowy. Po włączeniu silnika łączny efekt sił ciągu i ciężkości nadają rakiecie stałe przyspieszenie o wartości 3,00g, skierowane pod kątem 30,0 od poziomu. Ze 3

4 względów bezpieczeństwa, rakieta powinna przelecieć co najmniej 1,00 km przed samolotem, gdy osiąga jego wysokość. Twoje zadanie polega na określeniu minimalnego czasu, przez jaki rakieta musi opadać, zanim uruchomi się jej silnik. Można zaniedbać opór powietrza. Odpowiedź powinna zawierać (i) diagram ukazujący tory rakiety i samolotu, opisany w kilku punktach wektorami prędkości i przyspieszeń; (ii) wykres x(t) pokazujący ruchy rakiety i samolotu; oraz (iii) wykres y(t) pokazujący ruchy rakiety i samolotu. Na diagramie i wykresach wskaż, chwile, w których: rakieta zostaje upuszczona, włącza się jej silnik, osiąga ona wysokość samolotu. Zad. 22(c). Największe przyspieszenie normalne, przy którym pewien samochód nie wpada w boczny poślizg, wynosi 9,4 m/s 2. Jaki jest najmniejszy promień łuku, który ten samochód może pokonać z prędkością 40 m/s? Zad. 23. (Zawroty głowy). Równowagę utrzymujemy, przynajmniej w pewnym stopniu, dzięki płynowi znajdującemu się w błędniku w uchu wewnętrznym. W wyniku obrotów płyn ten przemieszcza się, co powoduje zawroty głowy. Załóżmy, że łyżwiarz wykonuje piruet w bardzo szybkim tempie 3,0 obrotów na sekundę wokół pionowej osi przechodzącej przez środek głowy. Przyjmijmy, że ucho wewnętrzne jest około 7,0 cm od osi obrotów (odległość ta jest oczywiście różna dla różnych osób). Jakie jest przyspieszenie normalne (w m/s 2 i w jednostkach g) płynu w błędniku? Zad. 24. ( Hipergrawitacja ). W Ames Research Center NASA wykorzystuje wirówkę 20-G do testowania wpływu dużych przyspieszeń ( hipergrawitacji ) na pilotów testowych i astronautów. W tym urządzeniu, ramię o długości 8,84 m, zamocowane na jednym końcu, obraca się w płaszczyźnie poziomej, a astronauta przypięty jest na drugim końcu. Załóżmy, że jest on ustawiony wzdłuż ramienia z głową do zewnątrz. Maksymalne przyspieszenie, jakiemu poddawani są ludzie w tym urządzeniu, wynosi zwykle 12,5g. (a) Jaka musi być prędkość głowy astronauty, aby doświadczyć tego maksymalnego przyspieszenia? (b) Jaka jest różnica pomiędzy przyspieszeniem głowy i nóg, jeśli astronauta jest ma 2,00 m wzrostu? (c) Jak szybko (w obrotach na minutę) musi obracać się ramię w celu uzyskania tego maksymalnego przyspieszenia? Zad. 25. Punkt materialny porusza się po okręgu z prędkością o wartości v = αt, gdzie α = 0,50 m/s 2. Znaleźć jego przyspieszenie po n = 0,10 obrotu. Zad. 26(c). Wykaż, że w przypadku okręgu promień krzywizny R zdefiniowany ogólnym równaniem dî s ds = 1 Rîn równy jest promieniowi okręgu. Tutaj s oznacza drogę wzdłuż łuku. Zad. 27*. Cząstka porusza się po torze krzywoliniowym z przyspieszeniem stycznym a s = α î s, gdzie α jest stałym wektorem równoległym do osi x. Znaleźć zależność prędkości cząstki od x, jeśli jej prędkość w x = 0 jest zaniedbywalnie mała. Zad. 28(c). (Boczny wiatr). Kompas samolotu wskazuje, że zmierza on w kierunku północnym, a jego prędkościomierz pokazuje, że porusza się w powietrzu z prędkością 240 km/h. Jaka jest prędkość samolotu względem ziemi, jeśli z zachodu na wschód wieje wiatr z prędkością 100 km/h? W jakim kierunku należy skierować samolot, by poruszał się on dokładnie na północ? Jaka będzie wtedy jego prędkość? Zad. 29. Winda jedzie w górę ze stałą prędkością 2,50 m/s. Poluzowana śruba w suficie 3,00 m nad podłogą windy w pewnym momencie spada. (a) Jak długo trwa spadanie śruby do momentu 4

5 uderzenia w podłogę windy? Jaka jest prędkość śruby w momencie uderzenia w podłogę: (b) według obserwatora w windzie? (c) według obserwatora stojącego na jednym z pięter budynku? (d) Według obserwatora z punktu (c), jaką odległość przebyła śruba pomiędzy sufitem a podłogą windy? Zad. 30. W czasie meczu piłkarskiego Alicja podaje do Ewy, która biegnie na północ z prędkością 6,00 m/s. Prędkość piłki względem Ewy wynosi 5,00 m/s, 30 na wschód od kierunku południowego. Jakie są wartość i kierunek prędkości piłki w stosunku do ziemi? Zad. 31*. Dwa czołgi biorą udział w ćwiczeniach na poziomym terenie. Pierwszy z nich wystrzeliwuje pocisk ćwiczebny z prędkością wylotową 250 m/s pod kątem 10,0 od poziomu, jadąc w kierunku drugiego czołgu z prędkością 15,0 m/s względem ziemi. Drugi czołg usiłuje się wycofać z prędkością 35,0 m/s względem ziemi, ale zostaje trafiony. Można pominąć opór powietrza i założyć, że miejsce trafienia jest na tej samej wysokości nad ziemią, z jakiej został oddany strzał. Wyznacz odległości pomiędzy czołgami (a) w momencie wystrzału oraz (b) w chwili trafienia. 5