IDENTYFIKACJA UKŁ ADU DYNAMICZNEGO OPISANEGO LINIOWYM LOSOWYM RÓWNANIEM RÓŻ NICZKOWYM

Transkrypt

1 ZESZYY AUOWE AADEMII MARYARI WOJEEJ RO XLVI R 6 5 Aata Załęska-Foral Marek Zellma IDEYFIACJA UŁ ADU DYAMICZEGO OPISAEGO LIIOWYM LOSOWYM RÓWAIEM RÓŻ ICZOWYM SRESZCZEIE W opraowau przedstawa sę alortm detfkaj układów damz które moża opsać za pomoą low losow rówań różzkow Alortm te obejmuje układ damze z wmuszeam będąm estajoarm proesam losowm Sał traktuje sę jako elemet przestrze Hlberta proesów losow Do opsu estmatorów parametrów proesów wkorzstuje sę bazowe fukje sklejae WSĘP Celem detfkaj jest ustalee modelu matematzeo któr możlwe ajlepej w rama przjęt krterów oe opsuje rozpatrwae zjawska zaodząe w sstema rzezwst Dla szerokej klas układów damz zależość mędz welkośam wejśowm wjśowm moża opsać za pomoą rówań losow różzkow Odpowedź układu jest zdetermowaa przez: waruk pozątkowe tj welkoś arakterzująe sta układu; welkoś wejśowe wmuszea; parametr arakterzująe wewętrzą strukturę układu wstępująe w rówaa jako współzk Jeżel wmeoe welkoś ektóre lub wszstke są losowe to sał wjśow jest opsa przez proes losow Modelem matematzm opsująm taką zależość mędz sałem wejśowm a wjśowm może bć losowe rówae różzkowe 5

2 Aata Załęska-Foral Marek Zellma W ejszm artkule przedstawm pewą metodę doboru optmal współzków low rówań różzkow z losową fukją wmuszająą prz zdetermowa waruka pozątkow Współzk rówań wzazoo poprzez mmalzaję wskaźka detfkaj Jako wskaźk został przjęte odlełoś w przestrzea Hlberta któr elemetam są sał PRZESRZEŃ HILBERA PROCESÓW LOSOWYCH Do opsu sałów wejśa wjśa wkorzstam pojęe proesu stoastzeo z ustaloą przestrzeą probablstzą Ω F P przestrze zdarzeń elemetar Ω z określoą a ej rodzą podzborów F rozkładem prawdopodobeństwa P e ozaza zbór R : [ lzb rzezwst lub zbór w tm przedzale zawart Zbór będzem terpretowal jako zbór wl Przez t ozazm elemet zboru Fukję X : Ω R azwam fukją losową proesem stoastzm jeśl t x R { ω : X t ω < x} F Proes stoastz X X t ω jest fukją dwó zme: t oraz ω Dla każdeo ustaloeo t fukja X Xt ω rozważaa jako fukja arumetu ω jest zmeą losową Dla ustaloeo t przjmem zaps X t Xt ω Zatem proes stoastz moża traktować jako rodzę zme losow X t : Ω R atomast dla ustaloeo zdarzea elemetareo ω Ω każdeo t przjmem xt Xt ω Fukja x określoa w zborze e ma już arakteru losoweo azwam ją realzają proesu stoastzeo X ak wę proes stoastz moża traktować jako rodzę realzaj zależą od parametru ω Ω W zastosowaa praktz wzazee rozkładów proesu stoastzeo jest zaadeem skomplkowam Im sposobem opsu proesu losoweo jest podae jeo arakterstk W pra orazm sę tlko do mometów rzędu perwszeo drueo Szzeóle ważą rolę speła momet rzędu perwszeo azwa wartośą przeętą proesu 6 Zeszt aukowe AMW

3 Idetfkaja układu damzeo opsaeo lowm losowm rówaem Wartośą przeętą proesu stoastzeo X azwam fukję m : R której wartoś rówe są wartośom ozekwam zme losow przporządkowa odpowedm wlom: m t E[Xt] t R Będzem rozważać tlko klas proesów drueo rzędu [] tz mają orazo dru momet E[Xt] < t R Welkośam arakterzująm proes drueo rzędu są odpowedo fukja waraj autokorelaj autokowaraj Warają proesu stoastzeo X azwam fukję V : R którą dla każdeo ustaloeo t określam jako wartość przeętą fukj Xt mt zl Vt E[Xt mt ] t Fukją autokorelają proesu stoastzeo X azwam fukję R : R określoą wzorem Rt t E[Xt Xt ] t t Dla dwó róż proesów X Xt Y Yt wprowadza sę fukję korelaj wzajemej R XY t t E[Xt Yt ] t t Dla proesów drueo rzędu defuje sę raę ąłość różzkowalość ałkowalość w sese średokwadratowm [] X jeśl Defja Zmea losowa Yt jest średo kwadratową raą proesu losoweo lm E[Xt Yt ] t t Defja w sese średo kwa- Proes stoastz X jest ął w puke t t dratowm jeśl lm E[Xt Xt ] t t Jeżel proes stoastz X jest średo kwadratowo ął w każdm puke t to mówm że proes stoastz jest średo kwadratowo ął w zborze 6 5 7

4 Aata Załęska-Foral Marek Zellma werdzee Proes stoastz X jest średo kwadratowo ął w puke t wted tlko wted d jeo fukja R jest ąła w puke t t e proes stoastz X będze średo kwadratowo ął w puke t werdzee Jeśl steje fukja X & t taka że X t Δt X t lm X& t Δt t Δt to X & t azwam średo kwadratową poodą proesu X w puke t Jeśl proes stoastz jest średo kwadratowo ął w raa steje dla każdeo t to proes stoastz X azwam średo kwadratowo różzkowalm w jeo poodą ozazam X & Jeśl proes stoastz X jest średo kwadratowo ął w puke t to wartość przeęta teo proesu jest fukją ąłą w puke t d E [ X & ] E[ X ] O le proes losow X jest -krote średo kwadratowo różzkowal a to wartość ozekwaa steje a oraz d d E[ X ] E[ X ] Dalej będzem zakładal że rozpatrwae sał są elemetam przestrze Hlberta L Ω FP ął w zase proesów stoastz X t ω tak że E X < 8 Zeszt aukowe AMW

5 Idetfkaja układu damzeo opsaeo lowm losowm rówaem Przestrzeń ta jest przestrzeą Hlberta z elemetem zerowm Θ którm jest proes losow spełają waruek E [ X ] W przestrze tej loz skalar wzaza ormę X Y : E[ X Y ] X E[ X Y ] orma w daej przestrze dukuje metrkę Dwa sał X t Y t są jedakowe oraz ρ X Y X Y E X Y E X Y rterum lowej ezależoś a to ab proes losowe X X t L X są rówe jeżel przestrzee probablstze przestrze Hlberta L Ω FP bł lowo ezależe potrzeba wstarza ab wzazk E[ X X E[ X X L L L L E[ X X E[ X X L bł róż od zera 6 5 9

6 Aata Załęska-Foral Marek Zellma ALGORYM DOBORU WSPÓŁCZYIÓW Z LOSOWYM WYMUSZEIEM Załóżm że zależość mędz sałem wejśowm X t a sałem wjśowm opsaa jest losowm rówaem różzkowm a d Y d Y d Y a L a ay X Poprzez detfkaję układu damzeo będzem rozumel zaadee doboru współzków rówaa tak ab fukjoał d Y t d Y t d Y t J a L a a a a ay X t L osąął mmum orzstają z twerdzea o rzue ortooalm dobór optmal współzków a a L a rówaa sprowadza sę do rozwązaa układu rówań low a vj w j j 4 o współzka j v : E[ Y Y ] j j w j : E[ X Y j ] j e t t Yt Yt R t t Xt Yt orzstają z własoś [] R YY XY R j X Y t t E[X t Y j t ] j R t t t XY t j Zeszt aukowe AMW

7 Idetfkaja układu damzeo opsaeo lowm losowm rówaem podstawają t t t współzk 4 zapszem astępująo: v j : R j j Y Y 5 w : j j R j XY Estmator Rˆ YY Rˆ XY parametrów R YY t R XY t moża wzazć korzstają z m ezależ realzaj proesów X t Y t otrzma w t sam waruka Dla wszstk realzaj musm wbrać wspól momet zasow t odztwaa wartoś astępe dla każdej wl t odztujem z m realzaj wartoś ~ ~ ~ m proesu Y t oraz wartoś ~ x ~ x ~ xm proesu X t Dalej terpolują wartoś m m t m t m t m t dze m t ~ l m m m t m t m t m t dze m t ~ x ~ l l Welomaowm fukjam sklejam wzazm estmator Rˆ YY Rˆ XY l l ALGORYM IERPOLACJI ZA POMOCĄ WIELOMIAOWYCH FUCJI SLEJAYCH SOPIA RZECIEGO Δ e będze układem puktów t dzelą przedzał [ t t ] a podprzedzałów Δ : t < < t 6 5

8 Aata Załęska-Foral Marek Zellma Defja Fukję s s t Δ azwam fukją sklejaą stopa k z węzłam Δ : t < < jeśl: t w każdm podprzedzale t t dla s jest welomaem stopa e wższeo ż k s jej poode rzędu k są ąłe w przedzale [ t t ] tz k s C [ t t ] Zbór wszstk fukj skleja stopa k o węzła w pukta t ozazam przez S Δ k Defja 4 k S k e f t C [ t t ] Fukję s Δ azwam terpolają fukją sklejaą stopa k dla fukj f t jeśl s t f t Szukaą fukję terpolają stopa w każdm z podprzedzałów t t przedstawm w posta s W dze a b t t t t d t t W Z defj terpolajej fukj sklejaej oraz z jej ąłoś wraz z poodm rzędu otrzmujem 4 waruków Za dwa dodatkowe waruk przjęto '' s t f t s t f t '' '' '' O Zode z określeem fukj terpolajej fukj sklejaej otrzmujem a atomast z ąłoś s t 6 s w pukta t wka Zeszt aukowe AMW

9 Idetfkaja układu damzeo opsaeo lowm losowm rówaem '' W t W t '' zl dze d 7 '' : s t : t t Z kole z ąłoś s w pukta t otrzmujem a a b d oraz b d Z waruku S t W t otrzmujem b d Zatem Stąd b b d d 8 Z ąłoś ' s w pukta t wkają rówoś ' W t W ' zl b b d 9 6 5

10 Aata Załęska-Foral Marek Zellma 4 Zeszt aukowe AMW astępe podstawają d do 8 oraz uwzlędają 4 po przekształeu otrzmujem układ rówań z ewadomm Z waruków 6 mam β Podstawają do układu rówań otrzmujem β 6 6 Powższ układ rówań wode jest zapsać w posta maerzowej G C dze: 4 G C p r p r p r p r p r M M M M

11 Idetfkaja układu damzeo opsaeo lowm losowm rówaem r p I 6 6 β Współzk teo układu rówań moża oblzć rekureje ze wzorów: r x x x x x r p δ δ λ λ δ δ λ δ 4 Podstawają do wzorów 7 otrzmujem współzk d astępe ze wzoru 8 otrzmujem b 5 Współzk a wzazam ze wzoru 6 PRZYŁAD UMERYCZY Zmaę kąta przełębea t ψ od zma t A ężaru wod apłwająej do zborków kompesaj wrzut torpedow pod wpłwem śea zaburtoweo moża dostateze dokłade opsać rówaem różzkowm drueo rzędu t A t t t ψ ψ ψ & & & 6

12 Aata Załęska-Foral Marek Zellma W pra [5] podae został wk pomarów zma kąta przełębea ~ ~ ψ t okrętu podwodeo w zależoś od ężaru wod A przjętej przez rufow zbork kompesaj wrzut torpedow w wl t Zaproksmowae ~ wartoś pomarowe A t ~ ψ sałów wejśoweo oraz wjśoweo ozazoo odpowedo A Ψ t Optmale współzk rówaa 6 wzazm poprzez mmalzaję błędu rówaa wskaźka detfkaj J t E[ ψ& ψ& ψ A ] t & Układ 4 przjmuje postać t t t t t t Ψ&& Ψ&& Ψ&& Ψ& Ψ&& Ψ t t t t t t Ψ& Ψ&& Ψ& Ψ& Ψ& Ψ t t t Ψ Ψ&& Ψ Ψ& Ψ Ψ t t t t t t t t t A Ψ&& A Ψ& A Ψ Wkorzstują opraowa alortm detfkaj uzskao zależość mędz sałem At ψ t w posta rówaa różzkoweo ' 684 Ψ& t 654Ψ& 5Ψ t A t t [95] 7 Rozwązae ψ t rówaa 7 przedstawoo a rsuku Dokładość detfkaj zależ od rzędu rówaa różzkoweo oraz od dokładoś aproksmaj sału wejśoweo wjśoweo Wzazoe rówae ruu okrętu podwodeo może bć wkorzstae do optmaleo sterowaa m w płaszzźe poowej 6 Zeszt aukowe AMW

13 Idetfkaja układu damzeo opsaeo lowm losowm rówaem Rs Zapełae zborków kompesaj rufow wrzut torpedow Rs Zależość zma kąta przełębea OP od zapełea zborka kompesajeo rufoweo wrzut torpedow Rs Zmaa kąta przełębea wzazoa z rozwązaa rówaa

14 Aata Załęska-Foral Marek Zellma BIBLIOGRAFIA [] ołodzej W Wbrae rozdzał aalz matematzej PW Warszawa 97 [] Mańzak Metod detfkaj welowmarow obektów sterowaa Wdawtwo aukowo-eze Warszawa 979 [] Papouls A Prawdopodobeństwo zmee losowe proes stoastze Wdawtwo aukowo-eze Warszawa 97 [4] Stępeń Z Badae wpłwu płwaloś szzątkowej a parametr ruu okrętu podwodeo praa masterska WSMW Gda 98 [5] Stezk S Subbot J Sples matemata See Mosow 976 [6] Zawałow J wasow B Sples metods See Mosow 98 [7] Załęska-Foral A Zellma M Applatos of Bas Sples to Idetfato of Sal Objet Equatos Zeszt aukowe WSM r 65 Szze Exposp ABSRAC e paper presets a alortm used for detfato of dam sstems w a be desrbed wt lear radom dfferetal equatos e alortm ludes dam sstems wt put futos w are ostatoar radom proesses e sals are treated as elemets Hbert s radom proesses spae o desrbe te parameter estmators bas sple futos were used Reezet kmdr dr ab ż Boda Żak prof adzw Akadem Marark Wojeej 8 Zeszt aukowe AMW