Semestr letni 2014/15
|
|
- Grzegorz Kania
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 . Przyjmijmy,»e chcemy u»y alfabetu Morse'a {,, _} by zakodowa alfabet A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z () kodem blokowym. Jaka jest najmniejsza dªugo± takiego kodu? 2. Zakoduj alfabet () blokowym kodem dwójkowym, a nast pnie skonstruuj kod jednoznacznie dekodowalny dla tego alfabetu. Oblicz ±redni dªugo± sªowa kodowego dla swojego kodu jednoznacznie dekodowalnego. 3. W nast puj cych kodach zatarª si jeden znak (y). Zidentykuj go. (a) 97594y35, (b) ISBN-3-2y X. 4. Dla kodu ISBN napisz odpowiednik 3-znakowy. 5. Czy poni»szy kod jest jednoznacznie dekodowalny? Czy jest natychmiastowo dekodowalny? Je±li nie, czy potrasz znale¹ kod natychmiastowy z takimi samymi dªugo±ciami sªów kodowych? Czy poni»szy kod jest jednoznacznie dekodowalny? Je»eli nie, podaj dwie wiadomo±ci o tym samym kodzie. A 00 C 0 E 0 B 00 D 000 F 0 7. Czy poni»szy kod jest jednoznacznie dekodowalny? 0 AA 4 ABBAA 7 AAAABB AABAB 5 BABBA AAAABA 2 ABBBBB 6 BBBAB 9 AAAAAB 3 ABABA. Czy u»ywaj c nierówno±ci Kraft'a mo»na rozstrzygn, czy dwa poni»sze kody s jednoznacznie dekodowalne? A 00 D 0 F 00 B 00 E 00 G 00 C 000 A 00 D 0 F 0 B 0 E G 00 C 0 9. Czy istnieje trójkowy kod natychmiastowy alfabetu o±mio-elementowego, dla którego w nierówno±ci Krafta zachodzi równo±? 0. Skonstruuj dwójkowy kod natychmiastowy dla nast puj cego alfabetu ¹ródªowego z przypisanymi dªugo±ciami sªów kodowych. Symbol A B C D E F G H I J K L Dªugo± Semestr letni 204/5
2 cd.. Znajd¹ trójkowy kod natychmiastowy dla nast puj cego alfabetu ¹ródªowego z przypisanymi dªugo±ciami sªów kodowych. Symbol Dªugo± Ile najmniej symboli musi mie alfabet kodowy, aby mo»na byªo zakodowa poni»- szy alfabet ¹ródªowy kodem natychmiastowym z przypisanymi dªugo±ciami sªów kodowych? Podaj przykªad takiego kodu. A B C D E F G H I J K L M N O P Poka»,»e do ka»dego kodu natychmiastowego, dla którego nierówno± Krafta jest ostra, mo»na doda nowy symbol ¹ródªowy i rozszerzy dany kod do pewnego kodu natychmiastowego (alfabet kodowy pozostaje bez zmian). Zademonstruj to na przykªadzie nast puj cego kodu. A 00 D 0 F 00 B 00 E 00 G 00 C Poka»,»e L min (S) = je±li alfabet ¹ródªowy ma nie wi cej znaków ni» alfabet kodowy. 5. Dla nast puj cych ¹ródeª informacji wska» dªugo±ci sªów kodowych w kodzie (dwójkowym) Humana. S : S 2 : S 3 : A B C 0,5 0,25 0,25 A B C 0,5 0,375 0,25 A B D K R 6. Poka»,»e dla ¹ródªa informacji z -elementowym alfabetem jednakowo prawdopodobnych symboli, trójkowy kod Humana jest kodem blokowym. Poni»sze ¹ródªa informacji odnosz si do trzech nast pnych zada«. Symbol s i A B C D E F G H P (s i ) (. ¹ródªo) P (s i ) (2. ¹ródªo) 0, 0,2 0, 0,3 0,05 0, 0,05 0, P (s i ) (3. ¹ródªo) 0,5 0,5 0,5 0,5 0, 0, 0, 0, 7. Znajd¹ dwójkowy kod Humana dla ka»dego z podanych ¹ródeª.. Znajd¹ trójkowy i czwórkowy kod Humana dla ka»dego z podanych ¹ródeª. 9. Znajd¹ najmniejsz liczb symboli kodowych, tak aby dla podanych ¹ródeª informacji mo»na byªo skonstruowa kod natychmiastowy o przeci tnej dªugo±ci sªowa kodowego L Dane jest ¹ródªo informacji S z alfabetem m-elementowym oraz alfabet kodowy, który ma n znaków. Wyprowad¹ wzór na liczb elementów, które ª czymy w celu dokonania pierwszej redukcji ¹ródªa S (2) Semestr letni 204/5
3 2. Skonstruuj dwójkowy oraz trójkowy kod Humana dla ¹ródªa informacji A E B C D F 0,4 0, 0,3 0,05 0,05 0, 22. Znajd¹ taki kod trójkowy dla alfabetu {A, B, D, K, R} aby sªowo abrakadabra miaªo mo»liwie najkrótszy kod. Jaka jest dªugo± tego kodu? Ile najmniej liter musi mie alfabet kodowy, aby dªugo± kodu sªowa abrakadabra byªa nie dªu»sza ni» 2? 23. Znajd¹ wszystkie mo»liwe dwójkowe kody Humana dla ¹ródªa informacji skªadaj - cego si z liter A, B, C i D, gdzie A ma dwa razy tak cz sto± wyst powania co B, a B wyst puje dwa razy cz ±ciej ni» C lub D. 24. Poka»,»e dla o±mio-elementowego ¹ródªa informacji z równymi cz sto±ciami wyst powania symboli, istnieje kod Humana, który jest kodem blokowym. Czy dla takiego ¹ródªa informacji mo»na znale¹ kod Humana, który nie jest kodem blokowym? 25. Opisz dwójkowy kod Humana dla ¹ródªa 6elementowego, w którym cz sto±ci wyst powania symboli s takie same. 26. Opisz dwójkowy kod Humana dla ¹ródªa 23elementowego, w którym cz sto±ci wyst powania symboli s takie same. 27. Opisz dwójkowy kod Humana dla ¹ródªa informacji, w którym cz sto±ci wyst powania symboli s takie same oraz (a) je±li liczba symboli ¹ródªowych jest pot g dwójki, (b) je±li liczba symboli ¹ródªowych nie jest pot g dwójki. 2. Opisz dwójkowe kody Humana dla ¹ródeª speªniaj cych p < p n + p n (gdzie p p 2 p n s prawdopodobie«stwami wyst powania symboli ¹ródªowych). Porównaj z poprzednim zadaniem. 29. Poka»,»e dla dowolnego kodu dwójkowego Humana, w nierówno±ci Krafta zachodzi równo±, tj. je»eli K jest dwójkowym kodem Humana o dªugo±ciach sªów kodowych d, d 2,..., d n, to n j= 2d j =. 30. Poka»,»e dla dowolnego dwójkowego kodu Humana o dªugo±ciach sªów kodowych d d 2 d n, mamy d n = d n. 3. Wiadomo± jest napisana w alfabecie A, B, C, D, gdzie A pojawia si siedem razy cz ±ciej ni» którakolwiek z pozostaªych liter. Znajd¹ taki kod dwójkowy dla powy»szego ¹ródªa informacji,»e przeci tny zakodowany stuliterowy tekst nie b dzie dªu»szy ni» 40 znaków. 32. Znajd¹ entropi poni»szego ¹ródªa informacji Symbol s i A B C D E F P (s i ) 0, 0, 0, 45 0, 05 0, 2 0, 33. Udowodnij,»e funkcja H(S) okre±lona w Twierdzeniu 4. jest dodatnia, ci gªa, symetryczna i koherentna. 34. Udowodnij twierdzenie 4.3 korzystaj c z pochodnych czastkowych. 35. Strzelec, który traa do celu z prawdopodobie«stwem strzela dwa razy. Natomiast 2 strzelec, który traa do celu z prawdopodobie«stwem strzela trzy razy. Który strzelec ma 3 wi ksz entropi (inaczej mówi c, która seria strzaªów niesie wi cej informacji)? Semestr letni 204/5
4 cd. 36. Maj c dane dwa ¹ródªa informacji S i S 2, oznaczmy przez S S 2 ¹ródªo informacji, którego elementami s wszystkie pary symboli (s, s 2 ), gdzie s i S i, i {, 2}. Poka»,»e je»eli ¹ródªa S i S 2 s niezale»ne (tzn. P (s, s 2 ) = P (s )P (s 2 )), to H(S S 2 ) = H(S ) + H(S 2 ). 37. Zaªó»my,»e ¹ródªo posiada trzy symbole A, B oraz C o prawdopodobie«stwach 0, 5; 0, 33 i 0, 09. Oblicz entropi wiadomo±ci zªo»onej z 24 liter, a nast pnie entropi wiadomo±ci zªo»onej z o±miu liter. Jaka jest zale»no± mi dzy tymi dwoma wielko±ciami? 3. Efektywno±ci ¹ródªa informacji nazywamy stosunek entropii (w bitach) do ±redniej dªugo±ci dwójkowego kodu Humana. Poka»,»e efektywno± zawiera si pomi dzy 0 i oraz przedyskutuj dwie skrajne warto±ci. Znajd¹ efektywno± ¹ródeª informacji (2). 39. Znajd¹ efektywno± ¹ródªa informacji, zªo»onego z liter A, B, C oraz D, w którym litera A ma dwa razy tak cz sto±, co ka»da z liter B, C oraz D. Nast pnie znajd¹ efektywno± drugiego rozszerzenia tego ¹ródªa. 40. Znajd¹ efektywno± binarnego ¹ródªa S, w którym 0 wyst puje z prawdopodobie«- stwem 9%. Znajd¹ rozszerzenie S, które ma efektywno± wi ksz ni» 63%. 4. Znajd¹ kody natychmiastowe dla poni»szych ¹ródeª i oblicz ich efektywno±. Symbol s i A B C D E F G H P (s i ) (. ¹ródªo) 6% 5% 5% 7% 5% 30% % 4% P (s i ) (2. ¹ródªo) P (s i ) (3. ¹ródªo) 0,2 0, 0,6 0,4 0, 0, 0,06 0, Przypu± my,»e du»a wiadomo± binarna zawiera dwa razy tyle zer co jedynek. Opisz, jak zakodowa t wiadomo±, aby kod przeci tnego 00znakowego wycinka nie miaª wi cej ni» 94 bity. 43. Przypu± my,»e dwójkowe ¹ródªo informacji ma prawdopodobie«stwa p = P () i q = p = P (0) i zaªó»my,»e wyemitowanych zostaªo n symboli. (a) Poka»,»e prawdopodobie«stwo otrzymania sªowa dªugo±ci n, które ma na k ustalonych pozycjach jest równe p k q n k. (b) Poka»,»e prawdopodobie«stwo tego,»e wyemitowane n literowe sªowo ma k jedynek jest równe ( n k) p k q n k. 44. Zaªó»my,»e dane jest symetryczne ª cze dwójkowe (BSC) o prawdopodobie«stwie bª du p. (a) Poka»,»e prawdopodobie«stwo tego,»e w nelementowym sªowie, dokªadnie i bitów jest znieksztaªconych jest równe ( n i) p i q n i. (b) Niech K b dzie binarnym kodem blokowym dªugo±ci n o minimalnej odlegªo±ci 2t+. Poka»,»e P err (K) n i=t+ ( ) n p i q n i i Wskazówka: Spróbuj oszacowa z doªu prawdopodobie«stwo przeciwne. (c) Sprawd¹,»e dla kodu powtórze«nierówno± w punkcie (b) jest równo±ci. Semestr letni 204/5
5 45. Oblicz prawdopodobie«stwo tego,»e w wyniku zastosowania kodu sprawdzaj cego parzysto± dªugo±ci n nie zostanie wykryty bª d. 46. Oblicz prawdopodobie«stwo bª du przy dekodowaniu kodu K Zaªó»my,»e dane jest symetryczne ª cze dwójkowe (BSC) o prawdopodobie«stwie bª du p = 0,. (a) Znajd¹ dªugo± kodu powtórze«k, by P err (K) < 0 2. (b) Znajd¹ P err (K 6). 4. Zaªó»my,»e alfabet kodowy ma 3 elementy: 0,, 2. Poka»,»e kod {00, 20, 02,, 22} wykrywa pojedyncze bª dy, a kod {000, 20, 20, 02, 02, 222} poprawia pojedyncze bª dy. Zauwa»,»e odlegªo± Hamminga nie jest tu dobr miar poprawiania lub wykrywania bª dów. 49. Mówimy,»e kod poprawia t bª dów i wykrywa s bª dów jednocze±nie, je»eli dla dowolnego sªowa kodowego v oraz dowolnego sªowa w zachodzi implikacja d(v, w) s d(w, x) > t dla dowolnego sªowa kodowego x v, gdzie d oznacza odlegªo± Hamminga. Poka»,»e kod K poprawia t bª dów i wykrywa s bª dów jednocze±nie wtedy i tylko wtedy, gdy jego odlegªo± minimalna jest wi ksza od t + s. 50. Zaªó»my,»e kod K poprawia t bª dów i wykrywa s bª dów jednocze±nie. Poka»,»e wówczas (a) K wykrywa s bª dów. (b) K poprawia t bª dów. 5. Przypu± my,»e K jest kodem blokowym speªniaj cym nast puj cy warunek: dla dowolnych sªów kodowych a = a a 2... a n oraz b = b b 2... b n, sªowo a + b = (a + 2 b )(a b 2 )... (a n + 2 b n ) jest sªowem kodowym, gdzie + 2 oznacza dodawanie modulo 2. Taki kod nazywamy dwójkowym kodem liniowym. Oznaczmy przez a liczb jedynek w sªowie a. Poka»,»e (a) a + b a + b ; (b) a = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a = ; 52. Dla kodu liniowego K (patrz poprzednie zadanie) z okre±lon funkcj udowodnij,»e funkcja d zdeniowana wzorem d(a, b) = a + b jest odlegªo±ci Hamminga. 53. Poka»,»e kod,,sprawdzaj cy nieparzysto±, tj. taki,»e ostatni bit jest ustalony tak, by liczba jedynek w sªowie byªa nieparzysta, nie jest kodem liniowym. 54. Znajd¹ minimaln odlegªo± dla kodu blokowego K dªugo±ci, w którym trzy pierwsze bity s bitami informacyjnymi, czwarty bit jest sum modulo 2 pierwszego i drugiego bitu, pi ty jest taki sam jak trzeci, szósty, siódmy i ósmy s sumami wszystkich bitów o mniejszych numerach. Napisz kod, który ma tyle samo bitów informacyjnych co K, tak sam minimaln odlegªo±, ale mniej bitów sprawdzaj cych. Semestr letni 204/5
6 cd. 55. Niech K b dzie kodem blokowym dªugo±ci 6, w którym bity, 2, 4 i 5 s bitami informacyjnymi, a bity 3 oraz 6 sprawdzaj parzysto±, odpowiednio, bitów i 2 oraz 4 i 5. Znajd¹ minimaln odlegªo± dla kodu K. Czy kod ten poprawia pojedy«cze bª dy? Czy u»ywaj c kodu sprawdzaj cego parzysto± dªugo±ci 3 osi gniemy ten sam efekt co stosuj c kod K (tj. czy prawdopodobie«stwo P err bª dnego przekazu przez ª cze BSC b dzie takie samo)? 56. Zaªó»my,»e BSC znieksztaªca 99 symboli na 00. Wyka»,»e wbrew pozorom jest to dosy pewne ª cze. Napisz, jak rozkodowa kod K 3, aby nie wyst piªo wi cej bª dów ni» 3 na 0000 bitów. 57. Mówimy,»e kod liniowy poprawia t bª dów i wykrywa s bª dów jednocze±nie, je»eli dla dowolnego sªowa w zachodzi implikacja w s w x > t dla dowolnego sªowa kodowego x 0. Poka»,»e kod K poprawia t bª dów i wykrywa s bª dów jednocze±nie wtedy i tylko wtedy, gdy jego waga minimalna jest wi ksza od t + s. 5. Zaªó»my,»e kod liniowy K poprawia t bª dów i wykrywa s bª dów jednocze±nie. Poka»,»e wówczas (a) K wykrywa s bª dów. (b) K poprawia t bª dów. 59. Sprawd¹, czy dwójkowy kod blokowy zªo»ony z palindromów (sªów brzmi cych tak samo wprost i wspak) jest kodem liniowym? Je»eli tak, to opisz go za pomoc równa«i skonstruuj macierz generuj c. 60. Opisz jak wykry potrójne bª dy, gdy u»yty jest kod prostok tny. 6. Ile ró»nych macierzy generuj cych ma kod K n? 62. Ile ró»nych macierzy generuj cych ma kod K 6? 63. Niech K b dzie dwójkowym kodem blokowym dªugo±ci 7 i takim,»e (a) trzeci bit sprawdza parzysto± pierwszych dwóch bitów, (b) szósty bit sprawdza parzysto± czwartego i pi tego bita oraz (c) ostatni bit sprawdza parzysto± caªego sªowa. Opisz K równaniami i okre±l liczb bª dów, jakie ten kod wykrywa (poprawia). 64. Uogólnij kod prostok tny do kodu prostopadªo±ciennego. Czy taki kod jest w stanie poprawi dwa bª dy? A trzy bª dy? Spróbuj uogólni dalej na przypadek wymiaru m. 65. Dwójkowy kod liniowy dªugo±ci jest opisany nast puj cymi równaniami x 5 =x 2 +x 3 +x 4 x 6 =x +x 2 +x 3 x 7 =x +x 2 +x 4 x =x +x 3 +x 4. Znajd¹ macierz sprawdzaj c dla tego kodu i poka»,»e minimalna odlegªo± jest równa 4. Znajd¹ macierz generuj c. Semestr letni 204/5
7 66. Maj c dan macierz generuj c 0 0 G = znajd¹ macierz sprawdzaj c oraz wypisz wszystkie sªowa kodowe. 67. Zakoduj ci gi informacyjne 0 oraz 00 w kodzie, który ma nast puj c macierz generuj c G = Czy kod liniowy o macierzy generuj cej G = jest kodem systematycznym? Je»eli nie, znajd¹ równowa»ny mu kod systematyczny. Zakoduj sªowa 0 i 0 u»ywaj c macierzy G i wska» odpowiedniki zakodowanych sªów w znalezionym wªa±nie kodzie systematycznym. 69. Udowodnij,»e je±li kod liniowy ma macierz sprawdzaj c H = [A I], to macierz generuj c jest G = [ I A T ]. 70. Opisz (za pomoc ukªadu równa«) kod dualny do nast puj cego x = x 4 ; x 2 = x 5 ; x 3 = x Znajd¹ kod dualny do (a) K 4, (b) K Oblicz prawdopodbie«stwo bª du P err (K), gdzie K jest kodem Hamminga dªugo- ±ci 7 u»ytym w BSC znieksztaªcaj cym jeden bit na sto. Uogólnij swoje rozumowanie na przypadek 2 m. 73. Udowodnij,»e kod dwójkowy dªugo±ci 5 opisany równaniami x 3 = x + x 2 x 4 = x x 5 = x + x 2 poprawia pojedyncze bª dy. Napisz tabel syndromów i odpowiadaj cych im reprezentantów warstw. Nast pnie rozkoduj sªowa 000, i Kod K ma macierz sprawdzaj c H = Ile bitów informacyjnych i 0 sprawdzaj cych ma ten kod? Czy K wykrywa pojedyncze bª dy? Semestr letni 204/5
8 cd. 75. Niech K b dzie kodem liniowym generowanym przez 00, 00 i 000 (tj. K = lin {00, 00, 000}). Znajd¹ macierz sprawdzaj c ten kod, a nast pnie rozkoduj 0 i Znajd¹ macierz generuj c kodu dualnego do kodu Hamminga H Opisz równaniami kod ortogonalny do kodu K, który jest generowany przez 0 i 0, a nast pnie rozkoduj oraz Poka»,»e dla dowolnego kodu K mamy dim K = n dim K, gdzie n jest dªugo±ci kodu K. 79. Znajd¹ wszystkie rozwi zania ukªadu równa«x + x 2 + x 4 = 0 x 3 + x 4 + x 5 = 0 x + x 3 + x 5 = Dla kodu Hamminga H 3 rozkoduj nast puj ce sªowa: Za pomoc sumy oraz iloczynu logicznego zapisz f g, f g oraz (f g). 2. Poni»sze funkcje zapisz jako wielomiany Boole'a Opisz kod R(2, ), tj. Podaj jego macierz generuj c oraz macierz sprawdzaj c. 4. Opisz kod R(3, ), tj. Podaj jego macierz generuj c oraz macierz sprawdzaj c. 5. Wska» takie m,»e kod R(m, ) poprawia potrójne b dy. 6. Poka»,»e rozszerzeniem kodu sprawdzaj cego parzysto± jest kod sprawdzaj cy parzysto±. 7. Jaki kod jest rozszerzeniem kodu K 6? Odpowied¹ uzasadnij.. Które z pªaszczyzn {p, p 3, p 5, p 7 }, {p 0, p, p 2, p 3 }, {p 2, p 3, p 4, p 7 } s parzyste wzgl dem sªowa 000. Semestr letni 204/5
9 9. To zadanie wymaga dokªadnej znajomo±ci wykªadu oraz niektórych zada«domowych. Udziel mo»liwie najkrótszej odpowiedzi (uzasadnienie nie jest konieczne) na ka»de z poni»szych pyta«. (a) Co koduje kod dwa-z-pi ciu? (b) Co oznacza liczba 3 w kodzie ISBN ? (c) Rozwa»my poni»szy kod. 0 AA 4 ABBAA 7 AAAABB AABAB 5 BABBA AAAABA 2 ABBBBB 6 BBBAB 9 AAAAAB 3 ABABA Napisz dwie wiadomo±ci o tym samym kodzie. (d) Czy ka»dy kod jednoznacznie dekodowalny jest natychmiastowy? (e) Czy rzut symetryczn monet reprezentuje ¹ródªo informacji o maksymalnej entropii? (f) Czy ¹ródªo zredukowane pierwszego rozszerzenia ¹ródªa informacji S jest identyczne z S? (g) Czy kod powtórze«k 2 jest kodem sprawdzaj cym parzysto±? (h) Przypu± my,»e stosujemy zasad MLD do rozkodowywania pewnego kodu blokowego. Co robimy, je±li otrzymane sªowo jest w tej samej odlegªo±ci Hamminga od czterech ró»nych sªów kodowych? (i) Czy macierz generuj ca kod systematyczny jest jednoznacznie okre±lona? (j) Wymie«wszystkie poznane terminy zwi zane z nazwiskiem R.W. Hamminga. (k) Ile bitów sprawdzaj cych ma kod liniowy dªugo±ci 023 wykrywaj cy pojedyncze bª dy? (l) Ile wynosi P err (K 6)? Wersja z 29 pa¹dziernika 204 Typeset by LA TE X. Semestr letni 204/5
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowo1 Kodowanie i dekodowanie
1 Kodowanie i dekodowanie Teoria informacji zajmuje si sposobami gromadzenia, przechowywania oraz przesyªania informacji. W tym celu, a tak»e dla ochrony danych informacje kodujemy. Rozmowa telefoniczna,
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowoSemestr letni 2014/15
Wst p do arytmetyki modularnej zadania 1. Jaki dzie«tygodnia byª 17 stycznia 2003 roku, a jaki b dzie 23 sierpnia 2178 roku? 2. Jaki dzie«tygodnia byª 21 kwietnia 1952 roku? 3. W jaki dzie«odbyªa si bitwa
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennopozycyjne. Kody Hamminga.
Liczby zmiennopozycyjne. Kody Hamminga. 1 Liczby zmiennopozycyjne 1.1 Wprowadzenie Najprostszym sposobem reprezentowania liczb rzeczywistych byªaby reprezentacja staªopozycyjna: zakªadamy,»e mamy n bitów
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowo2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów.
Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. Adam Kolany Instytut Techniczny adamkolany@pm.katowice.pl Adam Kolany (PWSZ Nowy Sącz, IT) Podstawy Informatyki: Kody. Korekcja błędów. 11 stycznia 2012 1 /
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia
Spis tre±ci 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Ró»nica symetryczna 4 5 Kwantykatory 5 6 Relacje 7 7 Relacje porz dku i równowa»no±ci 8 8 Funkcje
Bardziej szczegółowoŸ1 Oznaczenia, poj cia wst pne
Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne Symbol sumy, j, k Z, j k: k x i = x j + x j+1 + + x k. i=j Przykªad 1.1. Oblicz 5 i=1 2i. Odpowied¹ 1.1. 5 i=1 2i = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62.
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi
Bardziej szczegółowoElementy teorii informacji i kodowania
i kodowania Entropia, nierówność Krafta, kodowanie optymalne Marcin Jenczmyk m.jenczmyk@knm.katowice.pl 17 kwietnia 2015 M. Jenczmyk Spotkanie KNM i kodowania 1 / 20 Niech S = {x 1,..., x q } oznacza alfabet,
Bardziej szczegółowoKodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości
Kodowanie i kompresja Tomasz Jurdziński Studia Wieczorowe Wykład 13 1 Kody liniowe - kodowanie w oparciu o macierz parzystości Przykład Różne macierze parzystości dla kodu powtórzeniowego. Co wiemy z algebry
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania
Bardziej szczegółowoteoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015
teoria informacji Kanały komunikacyjne, kody korygujące Mariusz Różycki 25 sierpnia 2015 1 wczoraj Wprowadzenie matematyczne. Entropia i informacja. Kodowanie. Kod ASCII. Stopa kodu. Kody bezprefiksowe.
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. W pewnym sonda»u partia A uzyskaªa o 8 punktów procentowych wi ksze poparcie ni» partia B. Wiadomo,»e liczba gªosów oddanych w sonda»u
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoLZNK. Rozkªad QR. Metoda Householdera
Rozdziaª 10 LZNK. Rozªad QR. Metoda Householdera W tym rozdziale zajmiemy si liniowym zadaniem najmniejszych wadratów (LZNK). Dla danej macierzy A wymiaru M N i wetora b wymiaru M chcemy znale¹ wetor x
Bardziej szczegółowoMaszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Bardziej szczegółowoZadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Bardziej szczegółowoKody blokowe Wykład 2, 10 III 2011
Kody blokowe Wykład 2, 10 III 2011 Literatura 1. R.M. Roth, Introduction to Coding Theory, 2006 2. W.C. Huffman, V. Pless, Fundamentals of Error-Correcting Codes, 2003 3. D.R. Hankerson et al., Coding
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoModele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoTeoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowo1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q).
1 WPROWADZENIE 1 Kody korekcyjne - zadania Agata Pilitowska 1 Wprowadzenie 1 Pokazać, że dla dowolnych wektorów c, f Z n 2, d(c, f ) = n (c i f i ) 2, i=1 wt(c + f ) = wt(c) + wt(f ) 2wt(cf ), wt(c + f
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny
sumaryczna liczba punktów (wypeªnia sprawdzaj cy) Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych.
Bardziej szczegółowo2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Bardziej szczegółowo*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoZestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.
ZESTAWY A Zestaw 1 Organizacja plików: Wszystkie pliki oddawane do sprawdzenia nale»y zapisa we wspólnym folderze o nazwie b d cej numerem indeksu, umieszczonym na pulpicie. Oddajemy tylko ¹ródªa programów
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoTeoria informacji i kodowania Ćwiczenia Sem. zimowy 2016/2017
Algebra liniowa Zadanie 1 Czy jeśli wektory x, y i z, należące do binarnej przestrzeni wektorowej nad ciałem Galois GF (2), są liniowo niezależne, to można to samo orzec o następujących trzech wektorach:
Bardziej szczegółowoTeoria Informacji - wykład. Kodowanie wiadomości
Teoria Informacji - wykład Kodowanie wiadomości Definicja kodu Niech S={s 1, s 2,..., s q } oznacza dany zbiór elementów. Kodem nazywamy wówczas odwzorowanie zbioru wszystkich możliwych ciągów utworzonych
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n
Bardziej szczegółowoFunkcje. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Funkcje Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Uzasadnij,»e równanie x 3 + 2x 2 3x = 6 ma dwa niewymierne pierwiastki. Funkcja f dana jest wzorem f (x) = 2x + 1. Rozwi» równanie f (x +
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Bardziej szczegółowoi, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Bardziej szczegółowoOpis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej
Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoPODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3
PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!
Bardziej szczegółowoRachunek zda«. Relacje. 2018/2019
Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019 Zdanie logiczne. Zdaniem logicznym nazywamy ka»de wyra»enie, któremu mo»na przyporz dkowa jedn z dwóch warto±ci logicznych: 0 czyli faªsz b d¹ 1 czyli prawda. Zdanie logiczne.
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowoCAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski
III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 7: Kody korygujące błędy Gniewomir Sarbicki Błędy transmisji i kodowanie nadmiarowe Zakładamy, że przy pewnym małym prawdopodobieństwie ɛ przy transmisji bit zmienia wartość.
Bardziej szczegółowo