Równania i układy równań liniowych i nieliniowych. Artur Wymysłowski, prof. PWr.

Transkrypt

1 Równania i układy równań liniowych i nieliniowych Artur Wymysłowski, prof. PWr.

2 Plan wykładu Przypomnienie ostatniego wykładu (różniczkowanie i całkowanie numeryczne + zastosowania) Układy i systemy liniowe i nieliniowe Równania definicje opis przykłady Układy równań definicje opis przykłady

3 Poprzedni wykład Różniczkowanie: wyznaczanie i porównanie wybranych parametrów zmiennych / obiektów, np. v, a, itp. szacowanie błędów rozwiązywanie równań wyznaczanie przybliżonej wartości funkcji Całkowanie: wyznaczanie i porównanie wybranych parametrów zmiennych / obiektów, np. E, itp. suma dla zmiennych niepoliczalnych prognozowanie przybliżone wyznaczanie całki z funkcji

4 Wstęp W matematyce system liniowy to taki, w przypadku którego funkcja (przekształcenie lub odwzorowanie) f(x) jest liniowa, tzn. (superpozycja): addytywność => f(x+y)=f(x)+f(y) proporcjonalność => f(αx)=αf(x) Natomiast, system nieliniowy to taki, który nie jest liniowy, a zatem nie są spełnione warunki: addytywności i proporcjonalności intuicyjnie => system nieliniowy to taki w przypadku którego zmienne nie mogą być zapisane jako liniowa kombinacja niezależnych komponentów, np. ax+by+...

5 Funkcja / przekształcenie lub mapa np. analiza wariacyjna => f(x) poprzez całkę na wartości y => przekształcenie f nie musi być tylko funkcją ale dowolnym przekształceniem jednej przestrzeni na inną X f Y

6 Przykład f(x)=ax addytywność: f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x) +f(y) proporcjonalność: f(αx)=αax=αf(x) f(x)=ax+b addytywność: f(x+y)=ax+ay+b f(x)+f(y) proporcjonalność: f(αx)=aαx+b αf(x) f(x)=ax 2 +bx addytywność: f(x+y)=a(x+y) 2 +b(x+y) f(x) +f(y) proporcjonalność: f(αx)=a(αx) 2 +bαx αf(x)

7 Uwagi - liniowość W przypadku ogólnym, x nie jest tylko liczbą ale może być także wektorem [x] Pojęcie liniowości dotyczy nie tylko operatorów liniowych (dodawania, mnożenie) ale także pochodnych jako operatora różniczkowania, itp. Algebra liniowa jest działem matematyki, który zajmuje się wektorami, przekształceniami liniowymi i układami równań liniowych

8 Uwagi - inne Operacje liniowe są najprostszym przypadkiem analizy matematycznej i są naturalne w tzw. matematyce stosowanej np. w odniesieniu do inżynierii Szacuje się, że 75% problemów inżynierskich i naukowych może być opisanych liniowymi układami równań Słowo liniowy pochodzi od słowa łacińskiego linearis, co oznacza skonstruowany z linii

9 Funkcja a równanie Funkcja opisuje zależność, która dla wartości zmiennych niezależnych (wejście x) wyznacza wartości zmiennych zależnych (y wyjście). funkcja przypisuje unikalną wartość y dla każdej wartości x zapis y=f(x) oznacza, że funkcja o nazwie f posiada wejście o nazwie x i wyjście o nazwie y Równanie => wyrażenie, które jest równe po obu stronach znaku równości, tzn. określa w ten sposób miejsca zerowe (inaczej pierwiastki) funkcji f(x)=0

10 Funkcja: f(x)=mx-a, np. f(x)=2x-2 Równanie: mx-a=0 lub mx=a np. 2x-2=0 => x=1 Przykład

11 Równania W matematyce równaniem określamy równość ("="), które zawiera jedną lub więcej zmiennych: u, v, x, y, t,... Rozwiązanie równani polega na poszukiwaniu takich wartości zmiennej lub zmiennych, które spełniają równość, np.: x 2 +y 2 =r 2 Rodzaje równań: algebraiczne, np. wielomianowe (kwadratowe, liniowe,...), itp. funkcyjne, np. różniczkowe (rzędu pierwszego, drugiego, ), całkowe, itp. geometryczne, np.

12 Równania różniczkowe Równania różniczkowe są opisane równaniem ogólnym, np. w przypadku równań rzędu drugiego, jako: F(x,y,u,u x,u y,u xx,u yy,u xy )=0 gdzie x i y są traktowane jako zmienne niezależne, a u jest traktowana jako zmienna zależna, a u x ( u/ x)i u y ( u/ y) pochodnymi cząstkowymi Rozwiązaniem równania różniczkowego jest funkcja => równanie funkcyjne: u=f(x,y) Równania różniczkowe opisują zależność pomiędzy zmienną zależną u a jej pochodnym u x, np. u x =u+1

13 Rodzaje równań różniczkowych Równania różniczkowe należą do równań funkcyjnych, tzn. mają rozwiązanie w postaci funkcji u=f(x,y) Klasyfikacja: zwyczajne (ODE ordinary differential equations) => szukamy funkcji jednej zmiennej: u x =0 cząstkowe (PDE partial differential equations) => szukamy funkcji wielu zmiennych: u xy =0 rząd: pierwszy, drugi: u x, u xx

14 Zastosowanie w fizyce Równania różniczkowe opisują zależność zmiennych/funkcji i ich pochodnych, np. u x +u=0 gdzie zmienne/funkcje u reprezentują wielkości fizyczne a pochodne u x reprezentują szybkości ich zmian, a równanie definiuje relacje między nimi. Relacje takie są bardzo powszechne w fizyce i odgrywają znaczącą rolę w wielu dziedzinach: inżynieria, fizyka, itp. Równania różniczkowe można sklasyfikować wg pewnych "klasycznych" grup/klas, np.: u x +u y =0 => równanie transportu u xx +u yy =0 => równanie Laplace'a u tt +u xx +u 3 =0 => równanie falowe u t +i*u xx =0 => mechanika kwantowa itp.

15 Przykład Problem "Drapieżnik i Ofiara" - z matematycznego punktu widzenia problem ten można opisać: układem dwóch równań różniczkowych równania posiadają dwie zmienne zależne i mają charakter sprzężony i zależny od czasu szybkość zmian liczby drapieżników zależy od liczby drapieżników i ofiar szybkość zmian liczby ofiar zależy od liczby ofiar i drapieżników Model został zaproponowany w roku 1926 przez Vito Volterra w celu opisania populacji ryb łowionych w morzu Śródziemnym

16 Właściwości równań Ogólna postać równania => f(x)=c: x może być: liczbą, wektorem, funkcją, itp. Jeżeli C=0 => równanie jednorodne Jeżeli f(x) zawiera różniczkę x' => równanie różniczkowe Równania liniowe i nieliniowe mogę być stosunkowo często rozwiązane analitycznie lub w przypadku braku takich rozwiązań, analizowane metodami numerycznymi, np. równania różniczkowe => modelowanie i symulacje

17 Funkcja a równanie liniowe W matematyce termin funkcja liniowa lub odwzorowanie liniowe odnosi się do dwóch powiązanych ze sobą pojęć: wielomian pierwszego stopnia jednej zmiennej => funkcja liniowa przekształcenie/odwzorowanie pomiędzy dwoma przestrzeniami, które zachowuje własności addytywności i proporcjonalności => algebra liniowe Uwagi: f(x)=mx+b jest odwzorowaniem liniowym tylko wtedy, gdy b=0 f(x)=c jest równaniem liniowym: y= f x =mx b lub: Ax By C =0 jeżeli f(x) jest odwzorowaniem liniowym => mx=c jeżeli C=0 => równanie jednorodne

18 Równania nieliniowe Problemy nieliniowe są bardzo istotne w inżynierii, ponieważ większość układów fizycznych występujących w przyrodzie jest nieliniowa Równania nieliniowe są trudne do rozwiązania i prowadzą do ciekawych zjawisk, takich jak chaos i efekt motyla, np. pogoda => małe zmiany w jednej części układu prowadzą do złożonych efektów w całym systemie

19 Przykład - wahadło Siła działająca na kulkę: F =m a= m g sin a= g sin Przyspieszenie kulki liczone wg drogi s: a= d 2 s dt = d 2 l 2 dt 2 Zatem równanie ruchu: d 2 l g sin =0 dt 2 Liniowe Nieliniowe

20 Nonlinear algebra

21 Równanie nieliniowe - kwadratowe Funkcja kwadratowa jest wielomianem drugiego rzędu => f(x)=ax 2 +bx+c i posiada jeden lub dwa miejsca zerowe (pierwiastki) w zależności od wartości współczynnika Δ: jeżeli Δ<0 => pierwiastki nie są liczbami rzeczywistymi lecz urojonymi jeżeli Δ=0 => jeden (podwójny) pierwiastek jeżeli Δ>0 => dwa pierwiastki Równanie kwadratowe => ax 2 +bx+c=0, gdzie a 0 jeżeli a=0 => równanie liniowe bx+c=0 rozwiązanie równania kwadratowego => pierwiastki f(x)=ax 2 +bx+c ponieważ są rozwiązaniem równania f(x)=0 =b 2 4ac if 0 x 1 = b 2a x 2 = b 2a

22 Równanie nieliniowe - sześcienne Funkcja sześcienna jest wielomianem trzeciego rzędu => f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d: pochodna funkcji sześciennej jest wielomianem drugiego rzędu całka funkcji sześciennej jest wielomianem czwartego rzędu Równanie sześcienne => ƒ(x)=0; gdzie a 0; posiada przynajmniej jeden pierwiastek, który jest liczbą rzeczywistą, w zależności od wartości współczynnika Δ: jeżeli Δ>0, trzy pierwiastki rzeczywiste jeżeli Δ=0, pierwiastek rzeczywisty jeżeli Δ<0, jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone f x =0 ax 3 bx 2 cx d=0 =18ab c d 4b 3 d b 2 c 2 4 ac 3 27a 2 d 2

23 Miejsca zerowe dowolnej f(x) - uwagi Pierwiastki funkcji f(x) => f(x)=0 Jeżeli f(x) jest ciągła i zmienia znak to wówczas posiada przynajmniej jeden pierwiastek pomiędzy punktami x i i x j Możliwości: jeżeli f(x) nie zmienia znaku pomiędzy dwoma punktami to pierwiastki mogą występować jeżeli f(x) zmienia znak pomiędzy dwoma punktami to wówczas może być więcej niż jeden pierwiastek Metody poszukiwania pierwiastków: metoda bisekcji metoda Newtona f x i f x j 0

24 Metod bisekcji Metoda polega na wielokrotnym zawężaniu / podziale przedziału w którym znajduje się pierwiastek Algorytm: wybierz punkty startowe x i i x j tak, aby funkcja f(x) zmieniała znak, tzn. f(x i )*f(x j )<0 oszacuj położenie miejsca zerowego funkcji jako punkt środkowy x m sprawdź warunki: jeżeli f(xi) f(xm)<0 => zerowe jest pomiędzy xixj=> xi=xi; xj=xm jeżeli f(xi) f(xm)>0 => zerowe jest pomiędzy xixj=> xi=xm ; xj=xj jeżeli f(xi) f(xm)=0 => zerowe jest w xm=> algorytm oszacuj nowe położenia miejsca zerowego x m i wyznacz wartość błędu względnego ε a porównaj wartość błędu względnego ε a wartością założoną ε s, jako kryterium zakończenia algorytmu iteracyjnego a = x m = x j x i 2 x new old m x m new x 100 % m

25 Metoda bisekcji - uwagi Zalety: zawsze jest zbieżna założenie => przedział poszukiwania jest zawsze dzielony na połowę po każdej iteracji Wady: zbiega się stosunkowo wolno jeżeli punkt początkowy znajduje się blisko miejsca zerowego, wówczas zbieżność jest wolna Problemy: jeżeli f(x) dotyka osi x, wówczas algorytm będzie miał problem z określeniem punktów startowych jeżeli f(x) zmienia znak ale pierwiastki nie występują

26 Metoda Newtona Przyjmuje się, że jest to jedna z najlepszych metod poszukiwania miejsc zerowych funkcji f(x) Algorytm: wyznacz f'(x) metodą symboliczną lub numeryczną: symbolicznie => jeden punkt startowy numerycznie => dwa punkty startowe przyjmij wartość początkową pierwiastka x i a następnie korzystając z pochodnej wyznacz położenie x i+1 f'(x)<0 => funkcja malejąca f'(x)>0 => funkcja rosnąca oszacuj wartość błędu względnego ε a porównaj wartość błędu ε a z wartością założoną jako kryterium końca obliczeń ε s tan = AB AC f ' x = f x x i 1 x i ε a = x i + 1 = x i f (x i) f ' ( x i ) x i + 1 x i x 100 % i + 1

27 Metoda Newtona - przykład Metoda analityczna f'(x): f(x)=x 3 +x-1 f'(x)=3x 2 +1 Metoda numeryczna f'(x): f(x)=x-2sin(x) x 0 =2.0, x 1 =1.9 x n+ 1 =x n f ( x n) f ' (x n ) n x n x n+1 e , , , x n + 1 =x n f ( x n ) x n x n 1 f ( x n ) f ( x n 1 ) n x n-1 x n x n+1 e=x n+1 -x n , ,

28 Metoda Newtona - uwagi Zalety: bardzo szybka zbieżność(zależność kwadratowa) wymaga jednego lub dwóch punktów startowych Wady: duża rozbieżność w przypadku płaskich funkcji => jeżeli punkt z iteracji znajduje się w płaskim przedziale funkcji f(x), położenie kolejnego punktu może wypaść daleko od punktu zerowego Problemy: dzielenie przez zero => jeżeli mianownik jest równy 0 oscylacje w pobliżu lokalnego minimum lub maksimum => tzw. przeskakiwanie pierwiastka

29 Układ równań liniowych Dwa podstawowe problemy: rozwiązanie układu równań typu A[x]=b poszukiwanie wartości i wektorów własnych Metody rozwiązywania: klasyczne metody matematyczne bazują na macierzy odwrotnej, tzw. metoda Cramera => prosta ale mało efektywna w przypadku metod numerycznych korzysta się z metod interpolacji i aproksymacji opartych na funkcjach liniowych w przypadku rozwiązywania równań różniczkowych korzysta się z metody różnic skończonych W fizyce, liniowość jest ważną własnością równań różniczkowych, np. równania Maxwella, itp. => jeśli dwie funkcje f(x) i g(x) są rozwiązaniem równania, to ich suma f(x)+g(x) jest również rozwiązaniem równania, tzw. skalowalność rozwiązań

30 Przykład Równanie Laplace'a: J. f(x) => rozwiązanie J. równanie liniowe => div( j)=0 div( ρ grad (V (x, y, z)))=0 2 V (x, y, z)=0 f(ax)=af(x) f(x+y)=f(x)+f(y)

31 Uwaga Jeżeli rozwiązanie dla skali x to także dla skali ax

32 Wartości i wektory własne Opisuje odwzorowanie między przestrzeniami liniowymi zachowując ich strukturę: dotyczy takich działań jak dodawania i mnożenia przez skalar wartości własne λ i wektory własne x Poszukiwanie wartości własnych jest typowym problemem w inżynierii, np. wibracje, rezonans (harmoniczne), itp. A[ x]= [ x] f [Hz]

33 Przykład - muzyka Harmonia: chór oktawy (f / 2f / 3f, itp.) niezależnie od miejsca i czasu?!

34 Podstawowe pojęcia W matematyce układy równań liniowych (lub system liniowy) to zbiór równań liniowych zawierający jednakowe zmienne x i Najprostszym przykładem układu równań liniowych jest system składający się z dwóch równań i dwóch zmiennych x 1 i x 2 Ogólny układ równań liniowych zawiera m równań liniowych oraz n niewiadomych a 11 x 1 a 12 x 2 =b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 =b 2 wówczas : ]=[ a11 a12 a1n x1 x 2 x n [ A x=b wówczas : [ a 11 a 12 a 21 a 22][ x 1 x 2] = [ b 1 a 21 a 22 a mn][ 2n a m1 a m2 a 2] b b1 b 2 b m ]

35 Przykład Możliwe rozwiązania: nieskończenie wiele jedno brak Interpretacja geometryczna: w przypadku przestrzeni dwuwymiarowej każde równania liniowe opisuje linię/prostą na płaszczyźnie xy i zbiór rozwiązań jako przecięcia tych prostych => linii, punkt lub zbiór pusty w przypadku przestrzeni trójwymiarowej każde równanie opisuje płaszczyznę i zbiór rozwiązaniem jako przecięcia tych płaszczyzn => płaszczyzna, linii, punkt lub zbiór pusty w przypadku przestrzeni n-wymiarowej każde z równań liniowych określa płaszczyznę i zestaw rozwiązań jako przecięcie się tych płaszczyzn x y= 1 3x y=9 wówczas : x, y = 2,3

36 Właściwości Zachowanie systemu liniowego jest definiowanie jako relacja pomiędzy liczbą równań m i liczbą niewiadomych n, tzn. A[x n ]=[b m ], zazwyczaj: jeżeli m<n => nieskończona liczba rozwiązań, taki układ jest zdefiniowany jako nieokreślony jeżeli m=n => pojedyncze rozwiązanie jeżeli m>n => brak rozwiązań, taki układ jest zdefiniowany jako nadokreślony Algorytmy rozwiązywania układu równań liniowych: małe układy => metody analityczne: eliminacja zmiennych, redukcja wierszy, metoda Cramera, tj. wyznaczników, etc. duże układy => metody numeryczne: Metoda Gaussa, metody iteracyjne oparte na odgadywaniu rozwiązania i następnie aproksymacji lub interpolacji, itp. Układ jednorodny => b=0, tzn. A[x]=0

37 Metoda Cramera Metoda/wzory Cramera opublikowane w 1750 przez szwajcarskiego matematyka Gabriela Cramera opisują sposób rozwiązywania układu n równań liniowych z n niewiadomymi [a11 a12 a13 a1n x1 a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 n]=[ b1 b 2 a 31 a 32 a 33 a 3n x 3 b 3 x a n1 a n2 a n3 a nn][ b n] x 1 = det A 1 det A x 1 = det A 1 det A x n = det A n det A gdzie Ai oznacza macierz otrzymaną przez zamianę w macierzy A i-tej kolumny na kolumnę wyrazów wolnych bi danego układu równań

38 Metoda Gaussa Metoda Gaussa jest algorytmem pozwalającym na optymalne rozwiązywania układów równań liniowych Metoda Gaussa składa się z dwóch części: eliminacji => celem jest przekształcenie układu równań liniowych do postaci macierzy trójkątnej za pomocą elementarnych operacji matematycznych podstawienie => celem jest powrót do stanu pierwotnego rozwiązując układ począwszy od ostatniego wiersza [a11 a12 a13 a1n x1 a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 n]=[ b1 b 2 n] a 31 a 32 a 33 a 3n x 3 b 3 x b eliminacja [a11 a12 a13 a1n x a 22 a 23 a 2n x a 33 a 3n x n 1][ ]=[ b1 1 b b 3 x n n b n 1] a n1 a n2 a n3 a nn][ a nn podstawienie x n = b n 1 n a ; etc. n 1 nn

39 Algorytm: krok 1 => równanie 1 dzielimy przez współczynnik a 11 i mnożymy przez współczynnik a 21 krok 2 => odejmujemy wynik od równania 2 powtarzamy procedurę (n-1) razy dla kolejnych wierszy Eliminacja [a11 a12 a13 a1n x1 a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 n]=[ b1 b 2 a 31 a 32 a 33 a 3n x 3 b 3 x a n1 a n2 a n3 a nn][ krok 1 b n] [ a ] 21 a a 11 x 1 a 12 x 2 a 13 x 3 a 1n x n =b 1 11 a 21 x 1 a 21 a 11 a 12 x 2 a 21 a 11 a 13 x 3 a 21 a 11 a 1n x n = a 21 a 11 b 1 krok 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 a 2n x n =b 2 a 21 x 1 a 21 a 11 a 12 x 2 a 21 a 11 a 13 x 3 a 21 a 11 a 1n x n = a 21 a 11 b 1 0 x 1 a 1 22 x 2 a 1 23 x 3 a 1 1 2n x n =b 2

40 Podstawienie Celem jest wykorzystanie wstecznego podstawienia tak, aby znaleźć rozwiązanie dla całego układu, począwszy od ostatniego wiersza Algorytm: krok 1 => należy wyznaczyć wartość x n powtórzyć procedurę (n-1) razy dla następnego wiersza [a11 a12 a13 a1n x a 22 a 23 a 2n x a 33 a 3n x n 1][ ]=[ b1 1 b b 3 x n b n n 1] a nn n b i 1 i x i = j=i 1 i 1 a ii krok 1 x n = b n 1 n n 1 a nn then: a i 1 ij x j ; i=n 1,,1

41 [ ][ Przykład x1 x 2 [ ][ ]=[ x 279.2] eliminacja x1 x 2 podstawienie x 3 = =1.05 x 2 =... x 1 =... 3]=[ ] x 0.735

42 Uwagi Szybkość => metoda Gaussa rozwiązania układu n równań liniowych wymaga następującej liczby operacji: operacje związane z eliminacją: n2/2 n/2 : dzielenie i odejmowanie n3/3 n/3 : mnożenie i dodawanie operacje związane z podstawieniem: n2/2 n/2 : mnożenie i odejmowanie n : dzielenie Niestabilność => istotne jest, aby unikać dzielenia przez małe liczby, ponieważ może to prowadzić do dużych błędów obliczeń, tzw. small pivot

43 Przykład Macierz wymagałaby: operacji związanych z eliminacją operacji związanych z podstawieniem Small pivout => prowadzi do: niepewności wyniku w związku ze zbliżaniem się dzielnika do 0, szczególnie w przypadku obliczeń komputerowych jeżeli dla działania a/b dzielnik b dąży to 0 to wynik dąży do nieskończoności E0 1E-2 1E-4 1E-6 1E Small pivout

44 Dzielenie przez 0 Dlaczego nie można dzielić przez 0? a/0 =? Jeżeli nie można dzielić przez 0 to dlaczego można dzielić przez liczby bliskie 0, np.? a/1e-32 =? Jaki wynik otrzymujemy, gdy dzielimy przez liczbę bliską 0? => błędy obliczeniowe

45 Metoda iteracyjna Znana jako metoda Gaussa-Seidela Podstawowe procedury: wyznaczyć algebraicznie równanie liniowe dla każdej zmiennej x i należy przyjąć punkt startowy [x] rozwiązać dla każdego x i a następnie powtórzyć procedurę iteracyjnie oszacować błąd po każdej iteracji, tzn. czy znajduje się w zadanych granicach Uwagi: metoda pozwala użytkownikowi na kontrolę błędu rozwiązania jeżeli fizyka problemu jest zrozumiała, można próbować odgadnąć rozwiązanie, co pozwala na znaczne ograniczenie liczby iteracji x i = n b i j=1, j i a ii a ij x j punkt startowy x 1 [ x x]=[ 2 n] x oszacowanie błędu ; i=1,,n = a x new old i x i i new x 100 i

46 Wnioski Równania i układy równań liniowych i nieliniowych są najbardziej rozpowszechnionym problemem w zastosowaniach inżynierskich 75% problemów inżynierskich metody rozwiązania można przedstawić w postaci prostych algorytmów Umiejętność rozwiązywania liniowych i nieliniowych układów równań jest podstawowym warunkiem zaawansowanej analizy numerycznej thick-film resistor [a11 a12 a13 a1n x1 a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 n]=[ b1 b 2 a 31 a 32 a 33 a 3n x 3 b 3 x a n1 a n2 a n3 a nn][ substrate b n]

47 Układy nieliniowe W inżynierii wszystkie układy są nieliniowe a warunek liniowości wiąże się z wieloma założeniami upraszczającymi, np.: żadna ze zmiennych układu nie podlega ograniczeniom przykład operacji nieliniowych => iloczyny lub potęgi zmiennych a dodatkowo współczynniki równań mogą zależeć od zmiennych układy nieliniowe mają także pewien zakres liniowy równania liniowe są łatwe w analizie i w obliczeniach za najbardziej ogólną postać opisu układów równań nieliniowych można uznać równania różniczkowe Uwagi: nie istnieje ogólna analityczna metoda rozwiązywania układów nieliniowych nie można również stosować aparatu pojęciowego związanego z przekształceniem Laplace'a => charakterystyki czasowe i częstotliwościowe nie istnieją wartości własne istnieją metody analityczne rozwiązywania tylko niektórych typów równań nieliniowych, a głównie stosuje się metody numeryczne

48 Dziękuję za uwagę