Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 1 Analiza wymiarowa

Transkrypt

1 Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 1 Analiza wymiarowa Michał Heller, Jan Kaczmarczyk, Marcin Abram Co to jest analiza wymiarowa? Analiza wymiarowa to sztuka wyodrębniania informacji o zależnościach między wymiarowymi wielkościami fizycznymi opisującymi problem. Teoretycy wykorzystują ją właściwie na każdym kroku, chociaż (prawie) nikt nie uczy jej na studiach. Aby zrozumieć jak działa analiza wymiarowa należy odpowiedzieć sobie na pytanie co to znaczy, że wielkość ma wymiar? Powiedzmy, że chcemy zmierzyć szerokość naszego biurka. Co w tym celu robimy? Najprostsze wyjście to wziąć linijkę, przyłożyć ją wzdłuż krawędzi biurka i odczytać wynik z podziałki w milimetrach. Załóżmy, że dostaliśmy 1120 mm. Oznacza to, że przykładając linijkę do biurka mierzymy stosunek długości biurka do długości wyznaczonej przez tajmniczo brzmiący wzorzec milimetra. Teraz, powiedzmy, bierzemy inną linjkę, na której skala podstawowa to 1 cm. Mierzymy szerokość biurka i dostajemy l 1 = 112 cm. Wynik się zmienił ponieważ użyliśmy innego wzorca. Wielkości, które zmieniają się gdy przeskalujemy nasz układ jednostek (nasze wzorce) nazywamy wielkościami wymiarowymi. Powiedzmy, że dla odmiany zmierzymy też długość stołu i dostajemy l 2 = 224 cm. Okazuje się, że stosunek l 2 do l 1 nie zależy od wyboru jednostek w których zmierzymy długości l 1 i l 2. Taką wielkość nazywamy bezwymiarową. Rozważmy kolejny, ciekawszy przykład - wahadło matematyczne. Przykład I: wahadło matematyczne Wahadło matematyczne to masa punktowa m zawieszona na sznurku o zadanej długości l i umieszczona w jednorodnym polu grawitacyjnym o przyspieszeniu g. Załóżmy, że nie znamy teorii (zasad dynamiki Newtona), za to jesteśmy zręcznymi eksperymentatorami. Odchylając wahadło od położenia równowagi o kąt θ stwierdzamy, że wykonuje ono drgania z okresem τ. Zadaniem fizyka jest dostarczenie informacji o zależności okresu od masy m, długości wahadła l, przyspieszenia ziemskiego g i wychylenia θ. Będziemy używać abstrakcyjnego układu jednostek M L T, w którym mamy tylko - jednostkę masy M, - jednostkę długości L, - jednostkę czasu T. 1

2 W tym układzie jednostek parametry opisujące zagadnienie mają natępujące wymiary - długość wahadła [l] = L, - masa ciała [m] = M, - przyspieszenie ziemskie [g] = M L T 2, - wychylenie początkowe wahadła [θ] = 1, - okres drgań [τ] = T. Zastanówmy się, czy z powyższych parametrów możemy stworzyć wielkość bezwymiarową C zdefiniowaną jako C = l α m β g γ τ δ. (1) Spójrzmy na jednostki 1 = [C] = L α M β ( L T 2) γ T δ. (2) Ponieważ chcemy dostać coś bezwymiarowego, wszystkie jednostki muszą się poskracać. Stąd dostajemy układ równań α + γ = 0, β = 0, Ostatecznie dostajemy, że wielkością bezwymiarową jest 2γ + δ = 0. (3) C (0) = τ g l, (4) albo jej dowolna funkcja. W problemie istnieje jeden parametr bezwymiarowy, jest nim kąt wychylenia wahadała od pionu θ. Ponieważ jest to wielkość bezwymiarowa dostajemy, że C (0) = f (θ), (5) gdzie f(θ) to dowolna funkcja wychylenia początkowego. Przekształcając ten wzór dostajemy τ = l f (θ). (6) g Otrzymaliśmy więc wzór na okres wahadła matematycznego z dokładnością do nieznanej funkcji zmiennej bezwymiarowej θ. Zauważmy, że okres nie zależy od masy cząstki i jest to wynik całkowicie oparty na analizie wymiarów wszystkich wielkości. Analiza wymiarowa nie dostarczy nam już żadnych nowych informacji o problemie. Z teorii oscylatora harmonicznego wynika, że dla małych kątów f(θ) 2π. Wynik ten możemy potwierdzić doświadczalnie. Przyjrzyjmy się jeszcze raz całej procedurze. Na początku analizy problemu dokonujemy przybliżenia decydując przez jakie wielkości fizyczne jest on opisywany. To, czy analiza wymiarowa dostarcza nam przydatnych wyników, zależy od liczby niezależnych wielkości bezwymiarowych, które możemy utworzyć. Tutaj mamy dwie takie wielkości: wychylenie od położenia równowagi θ oraz bezwymiarowy nietrywialny iloczyn wielkości wymiarowych τ, g i l. Po odwikłaniu okresu otrzymujemy nieznaną funkcję parametru bezwymiarowego θ. W takim przypadku analiza wymiarowa jest skuteczna (daje nam oszacowanie rzędu wielkości, a także zależność funkcyjną okresu od długości i masy). 2

3 Przykład II: skala Plancka Załóżmy, że chcemy skonstruować teorię kwantowej grawitacji i mamy już pewne doświadczenie w konstruowaniu teorii fizycznych. Zacznijmy od teorii grawitacji Newtona. Wzór na siłę oddziaływania dwóch ciał punktowych przyjmuje postać F = G Nm 1 m 2 r 2, (7) gdzie G N to stała wymiarowa. Gdy G N 0, ciała nie oddziałują. Rozważmy teraz dla odmiany szczególną teorię względności. W teorii tej także występuje stała wymiarowa prędkość światła w próżni c. Z konieczności uogólnienia szczególnej teorii względności i teorii grawitacji Newtona powstała ogólna teoria względności. W tej teorii występują dwie fundamentalne stałe wymiarowe - prędkość światła c i stała Newtona G N. W latach 20. i 30. XX wieku odkryto mechanikę kwantową, która wprowadza kolejną fundamentalną stałą h (stała Plancka). Kwantowa teoria pola to relatywistyczna mechanika kwantowa układu o nieskończonej liczbie stopni swobody. Teoria ta zawiera dwie stałe fundamentalne h oraz c. Kwantowa teoria grawitacji powinna w takim razie uwzględniać w pewien sposób wszystkie stałe fundamentalne. Pokażemy, że prowadzi to do fundamentalnej skali odległości nazywanej skalą Plancka. Potrzebne wartości stałych fizycznych to - G N = m 3 kg 1 s 2, - h = J s, - c = m s 1. Wielkości podane są z dokładnościa do 3 cyfr po przecinku za amerykańskim National Institutes of Standards and Technology. Wszystko robimy analogicznie jak w przypadku wahadła. Na początku wypisujemy wymiary wszystkich wielkości występujących w problemie - stała Newtona - [G N ] = M 1 L 3 T 2, - kreślona stała Plancka - [ h] = M L 2 T 1, - prędkość światła - [c] = L T 1. Zakładając, że są to jedyne wielkości wymiarowe opisujące kwantową grawitację (żadnych dodatkowych wymiarów itp.), rozważmy ich iloczyn w postaci Okazuje się, że gdy wybierzemy F = G α N h β c γ. (8) - α = 1/2, β = 1/2, γ = 3/2 to otrzymamy długość Plancka l P = m - α = 1/2, β = 1/2, γ = 5/2 to otrzymamy czas Plancka t P = s, - α = 1/2, β = 1/2, γ = 1/2 to otrzymamy masę Plancka m P = kg. Żeby uświadomić sobie jak mała jest długość Plancka, wystarczy małe porównanie. Skala charakterystyczna dla zjawisk zachądzących w jądrze atomowym to m. Oznacza to, że do skali jądra atomowego mamy bliżej na wykresie logarytmicznym niż od skali QCD do długości Plancka. Zauważmy jak mało wspólnego ma fizyka klasyczna ze zjawiskami opisywanymi kwantową teorią pola. Sugeruje to, że mówienie o kwantowej grawitacji może być nadużyciem z punktu widzenia dotychczasowej drogi fizyki. 3

4 Rysunek 1: Kula ognia powstała po detonacji pierwszej bomby atomowej. Z tych rysunków można oszacować energię eksplozji. Jako pierwszy dokonał tego angielski fizyk Sir Geoffrey Ingram Taylor [?]. Zadania Zad. 1. Odszukaj na zdjęciu ściśle tajną informację 16 lipca 1945 r. na pustyni w stanie Nowy Meksyk została zdetonowana pierwsza bomba atomowa na świecie o nazwie The Gadget. Cała operacja nosiła nazwę Trinity i była ściśle tajna. Szczegóły techniczne użytej bomby (a także energię jej detonacji, szacowaną na kilotony TNT) trzymano w ścisłej tajemnicy. Mimo tego, po zniszczeniu Hiroshimy i Nagasaki, 12 sierpnia 1945 r., opublikowano raport ( The Smyth Report ) o roli projektu Manhatan w wytworzeniu broni atomowej. Umieszczono tam zdjęcia z pierwszej próby, tj. detonacji The Gadget. Zdjęcia (i fragmenty raportu) zostały następnie przedrukowane w takich gazetach jak np. New York Times. Okazało się jednak, że nieopatrznie zostawiono na niektórych zdjęciach pewne informacje, które mogły posłużyć oszacowaniu energii sfotografowanej eksplozji (nie podanej w raporcie, jako że była to ściśle tajna informacja). Korzystając z fotografii przedstawionych na rysunku?? spróbuj oszacować energię bomby The Gadget. Czy da się to zrobić używając analizy wymiarowej? Potrzebne dane to: gęstość suchego powietrza na poziomie morza: ρ 0 = 1, 2 ( kg m 3 ), 1 tona TNT odpowiada energii 4, (J). Uwaga: pomiń wpływ ciśnienia atmosferycznego. Wynik przelicz na kilotony trotylu (1 tona TNT J). Zad. 2. Oxford vs. Cambridge Co roku kajakarze dwóch najlepszych angielskich uniwersytetów biorą udział w prestiżowych zawodach wioślarskich. Osady wioślarskie mogą pomieścić 2, 4, 6 albo 8 wioślarzy. Oblicz, jak skaluje się prędkość osady wioślarskiej z ilością n wioślarzy. Problem ten rozwiązał jako pierwszy McMahon w 1971 roku [?]. Pomocne są następujące założenia: w przeliczeniu na wioślarza przypada w przybliżeniu stała powierzchnia styku łodzi z wodą (łódki z różną liczbą wioślarzy są do siebie geometrycznie podobne) 4

5 każdy wioślarz dysponuje taką samą mocą mięśni objętość wypartej przez łódkę wody jest proporcjonalna do liczby wioślarzy Zad. 3. Ruch kuli w ośrodku Rozważmy kulę o promieniu r, poruszającą się z dużą prędkością v w ośrodku o gęstości ρ. Oszacuj wartość siły oporu działającej na kulę. Wynik można następnie porównać ze wzorami na opór areodynamiczny ze strony: (physics) Zad. 4 Cylindryczne naczynie [zadanie zostało zaczerpnięte ze strony domowej dr hab. Janusza Typka z Instytutu Fizyki ZUT w Szczecinie W cylindrycznym naczyniu o polu przekroju poprzecznego S 1 znajduje się ciecz nielepka o gęstości ρ, wypełniająca naczynie do wysokości h. W dnie naczynia znajduje się otwór o powierzchni S 2, przez który ciecz wypływa. Oszacuj czas wypływu cieczy z naczynia. Uwaga: Uwzględnij, że układ jest w polu grawitacyjnym. Spotykając się z układem równań z większą liczbą niewiadomych niż samych równań, poczyń dodatkowe założenia co do sposobu wypływu cieczy z pojemnika. Zad. 5. Ucieczka z Planety Ziemia Przyjmijmy, że promień planety jest α-razy mniejszy od promienia Ziemi, a jej masa β-razy mniejsza. Ile razy w stosunku do ziemskich mniejsze są na tej planecie przyspieszenie siły grawitacyjnej, a także pierwsza i druga prędkość kosmiczna? Zad. 6: Model helikoptera [zadanie zostało zaczerpnięte z książki 50 lat Olimpiady Fizycznej ] Śmigłowiec i jego model w skali 1 : 10 wykonane są z tych samych materiałów. Jaką moc musi mieć silnik zdolny utrzymać w powietrzu śmigłowiec, jeżeli model utrzymywany jest w powietrzu przez silnik o mocy P m = 10 (W )? Uwaga: Helikopter unosi się w powietrzu przekazując pęd p cząsteczkom powietrza, które są wypychane w dół za pomocą śmigieł. Siła nośna generowana w ten sposób jest równa F = p t. 5