Problemy fizyki matematycznej. Jadwiga Jędrzejczyk-Kubik Jerzy Wyrwał

Transkrypt

1 Problemy fzy maemaycze Jadwga Jędrzeczy-Kb Jerzy Wyrwał OPOL 7

2 3 WSTĘP.5. FORMUŁOWANI PROLMÓW FIZYKI MATMATYCZNJ (Jadwga Jędrzeczy-Kb).7.. lase zagadeń fzy Rówaa worzące War brzegowe począowe Problem brzegowy dla dyfz masy Problem brzegowy dla przewodcwa ceplego Problem brzegowy eor sprężysośc Zadae brzegowe elerosay Zadae brzegowe dla przepływowego pola eleryczego WARIACYJN FORMUŁOWANI PROLMÓW MCHANIKI (Jerzy Wyrwał) Asomay przesrze HILRTA Operaor. Fcoał. Różcza GÂTAUX operaora Grade fcoał. Operaor poecaly Twerdzee WAINRGA Rówaa eor sprężysośc leposprężysośc Fcoały eor sprężysośc (LAGRANG A RISSNRA HU-WASHIZU) Uogólee fcoał lowe sprężysośc a zadaa leposprężysośc Fcoał dla problem wymay cepła w ośrod cągłym UOGÓLNION ROZWIĄZANI RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH (Jadwga Jędrzeczy-Kb) Fce podsawowe Dysrybce Różczowae dysrybc Splo dysrybc Uogóloe rozwązaa rówań różczowych Trasformay FOURIRA dysrybc emperowaych Trasformace LAPLAC A dysrybc Rozwązaa podsawowe rówań różczowych zwyczaych Rówae przewodośc ceple Rówae falowe Rówae LAPLAC A Rozwązaa podsawowe rówań ermosprężysośc LITRATURA STRSZCZNIA...96

3 5 Wsęp Celem moograf es zaprezeowae przyszłym żyerom meod sposobów posępowaa ypowych dla współczese fzy maemaycze. Je aplacyy charaer arzcł specyfcze ęce ych zagadeń. Posępowae ae charaeryze cały maerał przedsawoy w moograf. Rozdzał perwszy pośwęcoy es formłowa zagadeń począowobrzegowych fzy maemaycze. Przedsawoo w m rówaa blasowe rówaa worzące oraz sposoby formłowaa zadań brzegowych ach problemów echczych a: dyfza masy przewodzee cepła przewodzee prąd eleryczego oraz aprężea odszałcea cał sprężysych. W rozdzale drgm omówoo waracye problemy ermomecha. Po wprowadze podsawowych defc z zares aalzy fcoale oraz ach ezbędych poęć a grade fcoał operaor poecaly lczowego w prezeowaym ęc problem werdzea WAINRGA zameszczoo w m lcze przyłady zasosowań wprowadzoego formalzm do formłowaa fcoałów waracyych w przypad zagadeń brzegowych eor sprężysośc leposprężysośc oraz przewodzea cepła. W przypad lowych rówań różczowych fzy zasadcze zaczee maą rozwązaa fdameale. Sposób ch wyzaczaa zyswaego w zarese eor dysrybc zaprezeowao w osam rzecm rozdzale. Obeme o zarówo rówaa elpycze parabolcze ypowe dla zagadeń przewodcwa ceplego a rówaa falowe dyamcze ermosprężysośc. Moografa a es poprawoą zpełoą wersą wyładów przedsawoych a sdm podyplomowym z zares mecha osrc ae odbyło sę w laach w Isyce Iżyer Lądowe w Opol. Wydae sę że przedsawoa w e emaya (zaweraąca eż pewe orygale wy aszych ówczesych badań) e sracła c ze swoe aalośc pozosaąc ważym elemeem ogólego wyszałcea współczesego żyera bdowcwa dlaego zdecydowalśmy sę ą wydać w posac moograf. Sądzmy eż że może oa poszerzyć oferę dydayczą oraz zwęszyć poecał aowy wydzałów żyer czel polechczych będąc pomocą w procese szałcea sdeów dooraów ych wydzałów. Aorzy

4 . FORMUŁOWANI PROLMÓW FIZYKI MATMATYCZNJ 7 Spoyae w różych zagadeach fzy ech rówaa różczowe doyczą z regły zaws wysępących w oreśloych obszarach przesrze erwałach czas. Fce w ch wysępące są węc co ame fcam dwóch zmeych. Wya sąd że w prosych przypadach będą o rówaa różczowe cząsowe o sałych współczyach. Do e lasy rówań ależą węc rówaa fzy maemaycze a w ym lasycze rówaa przewodośc ceple dyfz rówaa przemeszczeowe eor sprężysośc rówaa falowe czy eż rówaa elerodyam. Isee la sposobów wyprowadzaa ych rówań a w szczególośc: - meoda blasów dla różczowego eleme cała różczowego przyros czas - wyorzysae ogólych rówań blasów werdzea o dywergec oraz rówań fzyczych - wyorzysae werdzeń waracyych. W eszym rozdzale podamy przyłady wywod rówań z wyorzysaem drgego sposob. Oprócz rówań różczowych zagadeń fzy óre opsą ewolcę proces fzyczego zachodzącą w ablższym oocze dowolego p ośroda ależy eszcze dooać loalzac problem przez podae odpowedch warów brzegowych począowych. Posze sę węc fc spełaących we węrz obszar rówaa a a ego brzeg war brzegowe oraz począowe. Wprowadzee rówań różczowych fzy maemaycze moża węc podzelć a asępące eapy: - sformłowae blasów problem óre opsą edye wzaeme oddzaływae pól; - podae rówań worzących w órych zadą odzwercedlee róże właścwośc fzycze cał; - zysae z blasów rówań worzących rówań różczowych problem; - oreślee loalzac zadań. warów brzegowych począowych. W wy aego posępowaa orzyme sę rówaa zadań brzegowych fzy maemaycze... lase zagadeń fzy Rozważaa asze ograczymy do rówymarowe przesrze eldesowe 3 w óre ażdy p parameryzoway es róą lczb ( 3 ) ego współrzędych. Każdy z procesów będze sę odbywał w erwale [ ) przy czym τ [ ) es dowolą chwlą proces. Od fc wysępących w

5 8 poszczególych problemach będzemy wymagal aby były fcam cągłym wraz z pochodym do odpowedego rzęd włącze. Przedmoem aszych rozważań będze ograczoy obszar cała óry dla saloe chwl saow podobszar przesrze 3 3. q da X ρ r ład ooczee Rys.. Obszar zosae ograczoy powerzchą A óra saow sończoą smę gładch płaów powerzch A. Weor edosowe ormale zewęrze ozaczymy przez. Ogóle rówaa blas są osewecą asępącego swerdzea: zmaa oreśloe welośc fzycze T w całym obszarze dooe sę ylo w wy prodc źródła R lb eż dopływ Q z ooczea obszar. dv d aprosyme różcza Zmaę welośc T ( ) w erwale ( ) T U () ( d) T( ) ρ ( d) dv ρ ( ) d d ρ ' ( ) dvd aomas prodcę źródła w erwale ( d) R A dv oreśla fca ( ) (.) ρ r dvd. (.)

6 9 W ob rówaach ρ ozacza gęsość w oocze p w obszarze. Dopływ welośc blasowae do obszar przez powerzchę A oreśla pole q óre podae lość przepływaące welośc przez edosę powerzch oreśloe przez weor ormale w czase ( d). Pole o oreśla welość (rys..) ( ) ( ) Q q dad. (.3) A W efece ogóla posać blas dla obszar es asępąca d d ρ dvd ρ r dv qdad (.4) A a wobec dowolego wybor erwał ( d) d d orzymemy ρ dv ρ rdv q da. (.5) Za ms w osae całce wya z przecwych zwroów weora ormale zewęrze weora przepływ serowaego do węrza obszar. Osaa cała es całą powerzchową dla óre słsze es werdzee GAUSSA o dywergec A q da dvqdv. (.6) A W rozważaach aszych pomemy zmaę blasowae welośc zwązaą z przemeszczaem sę rozparywaego eleme obęośc z pewą prędoścą. Możemy węc przyąć przemeość operac różczowaa całowaa przesrzeego czyl d d () dv ( ) dv. (.6)

7 Po wyorzysa (.6) (.6) war cągłośc ośroda rówae blas przyme posać ρ dv ρ rdv dvqdv (.7) z órego wobec dowolego wybor obszar orzymamy loalą posać blas ρ ρ r dv q. (.8) Podae w ogóle posac blase zosaą eraz soreyzowae dla l różych procesów fzyczych. Przyład. Dyfza masy w cele sałym Aalzować będzemy proces mgrac masy w obszarze oreśloy przez α gdze ρ es gęsoścą cała C ρ - gęsoścą ρ słada dyfdącego. Srmeń odpływaące przez powerzchę masy ozaczymy symbolem óry es loścą masy przepływaące przez edosowy pła powerzch w edosce czas. Naomas źródłem masy azwemy lość masy powsaące lb pochłaae w edosce obęośc szele edosce czas. Poszway blas welośc salare C ma węc posać oceracę ρ C ( ) lb w zapse loalym d d ρ α ρ CdV ρ rdv da (.9) A C ρ ρ r dv (.) gdze os o azwę rówaa ewolc dyfz (zw. II prawo FICKA). Przyład. Przewodcwo ceple w cele sałym Przedmoem rozważań będze proces przepływ cepła w cele sałym ograczoym powerzchą A. las eerg będze doyczył zma eerg we-

8 węrze ρ U óre są wywołae dzałaem źródła cepła ρ r dopływem cepła q z ooczea obszar. Welość a es rozmaa ao lość cepła przepływaącego przez edosowy pła powerzch o ormale w edosce czas. Naomas ρ r es loścą cepła wyworzoą w edosce obęośc cała edosce czas. Odpowede rówaa blas globalego loalego przymą formę lb Przyład 3. Rówae rch w cele sałym d d V ρ U dv ρ rdv q da (.) V A U ρ ρr dv q. (.) Omówmy zmay pęd ρ cząse cała wywołae seem źródeł pęd órym są sły masowe ρ F oraz srmeem pęd. Srmeem pęd są sły powerzchowe P dzałaące a brzeg A cała. W odróże od poprzedch blasów óre doyczyły pól salarych rówae blas pęd odos sę do pól weorowych a srmeń pęd P zawera róweż welość esorową σ - symeryczy esor aprężeń. Srmeń P z esorem σ zwązay es zależoścą σ P. Posłgąc sę wsaźowym zapsem welośc weorowych esorowych oraz przymąc owecę smacyą zgode z órą powórzee wsaźa w pewym wyraże ozacza smowae względem ego wsaźa w całym ego zarese orzymemy asępącą posać blas pęd czyl d d ρ P da (.3) dv ρf dv V V A ρ V dv V ρf σ dv

9 gdyż da A P σ da. A Sąd σ ρf ρ lb dvσ ρ F ρ. (.4) Szczególą posacą rówań rch są rówaa rówowag w órych czło bezwładoścowy ρ zosae pomęy. Uzysemy wówczas asępący ład rzech rówań różczowych: σ σ σ 3 σ σ σ 3 σ σ σ ρf ρf ρf 3 (.5) gdze ( ) (). Podae w e posac rówaa rówowag rch są podsawą wszysch rozważań prowadzoych w mechace odszałcalych cał sałych. Przyład 4. Zagadee elerosay Mmo że zmeem pol eleryczem zawsze owarzyszy pole mageycze o eda w szczególych przypadach moża ezależe aalzować oba zagadea. Z przypadem am mamy do czyea m.. wedy edy ład elerycze zadą sę w spoczy. Ścśle rzecz raąc pole elerosaycze see ylo w sese marosopowym poeważ cząs elemeare będące sładam aomów drob są zawsze w esaym rch. O spoczy ładów możemy węc mówć ylo w sese marosopowym. W omawaym blase podsawowe zaczee będze mał weor dc elerycze D óry oreślay es ao lość ładów przepływaących przez zoreoway edosowy pła powerzch w edosce czas oraz źródło ła-

10 3 dów ρ e ao lość ładów powsaących w edosce czas obęośc ośroda. Rówaa blas przymą posać blas globalego lb w ęc loalym Przyład 5. Przepływowe pole elerycze V ρ e dv DdA (.6) A dvd ρ e D ρ e. (.7) W przypad przepływów pól eleryczych prądów sałych możemy róweż doprowadzć do rozseparowaa zaws eleromageyczych owarzyszących przepływom pól eleryczych. Podsawową weloścą wysępącą w blase przepływowych pól eleryczych es weor gęsośc prąd eleryczego J óry w blase wysępe ao weor przepływ. Jes o oreślay ao lość prąd óra w edosce czas przepłye przez zoreoway edosowy pła powerzch A. Globale rówae blas es asępące: a ego odpowed loaly ma posać A J da (.8) dv J lb J. (.9) lase zysae w powyższych przyładach są ylo zasosowaem ogólego blas do oreych zaws fzyczych. Z drge sroy eda saową oe podsawowe rówaa oreślaące przebeg poszczególych procesów óre po zpełe przez rówaa worzące war począowobrzegowe pozwolą a osaecze sformłowae prosych zadań brzegowych dla rówań fzy maemaycze... Rówaa worzące Rówaa e saową drg bardzo waży eleme rówań fzy. Zaważmy że rówaa blasów oreślały ewolce oreych procesów fzyczych ezależe od odmeych właścwośc poszczególych maerałów a

11 4 węc odmee przewodośc ceple elerycze czy eż dyfzye. Wpływ różorodych cech maerał w marosopowym ęc zagadeń fzy mą rówaa worzące przy czym w aprosszym przypad są o zawsze rówaa lowe. Isoe lowym są zwąz mędzy srmeam cepła masy a gradeam emperary sężeń zwae prawam FOURIRA FICKA podobe a prawo HOOK'A óre łączy lowo esory aprężeń z esoram odszałceń. W ogólym przypad lowe rówaa fzycze mędzy param welośc weorowych esorowych przymą posać: dla pól weorowych dla pól esorowych w całach azoropowych oraz w całach zoropowych T K R (.) l T R (.) l T δ R R (.) T [ δ l δ δ l δ l δ ] R l δ 3 ( ) R T R 3 δ. (.) We wzorach powyższych sosowao owecę smacyą a δ es esorem edosowym - delą KRONCKRA. Podamy z ole osaeczą posać rówań w órych względmy zarówo loale posace blasów a rówaa worzące. Przyład. Dyfza masy w cele sałym Rówae fzycze łączy w ym przypad srmeń masy z gradeem sężea C lb ogóle poecał chemczego µ ma oo formę D grad C DC ). (.) ( Jes węc rówaem worzącym zachodzącym mędzy parę pól weorowych. Za ms wya z samorze edec do wyrówywaa sężeń w cele w efece óre przepływ odbywa sę w er przecwym do weora

12 5 grade sężea. Symbolem D ozaczoo współczy dyfz óry es rówy srmeow masy przy edosowym gradece sężea. Rówae fzycze wraz z rówaem blas C ρ ρ r dv D grad C prowadzą do rówaa dyfz ( ρ cos. D cos. ) ρ C ρ r dv( D grad C) ρ r D C ρ C ρ C r D D (.3) óre z formalego p wdzea es eedorodym rówaem parabolczym rzęd drgego. Przyład. Przewodcwo ceple w cele sałym Przymąc że edyym rodzaem eerg wewęrze w cele es eerga U S cepla orzymamy zależość ρ Tρ gdze T es emperarą cała a S ego eropą. W dalsze oleośc eropa S wyraża sę zależoścą S T ρ ρc gdze c es cepłem właścwym. Rówae o es perwszym rówaem worzącym w zagadeach przepływ cepła. Naomas drge rówae orzymemy aalogcze a w zagadeach dyfz przez porówae srmea cepła q z gradeem emperary. Wyorzysemy fa że przepływ cepła asępe z mesc o wyższe emperarze w er ższe. Jes węc przecwe seroway do grade emperary. Rówae o ma posać zależośc mędzy dwoma polam weorowym. q K grad T (.4)

13 6 Zamas emperarą wygode es operować e przyrosem Θ T T gdze T es emperarą sa odesea a T aalą emperarą cała. Komple rówań worzących ma węc posać U Θ ρ T ρ c K grad Θ a rówae blas przyme formę q ( KΘ ) q Θ T ρ c ρr dv( K grad Θ ) ρr K Θ. W efece ońcowym rówae przewodcwa es asępące ρtc Θ r Θ ρ K K. (.5) W rówaach ych K cos. es współczyem przewodośc ceple a χ T c - współczyem wyrówywaa emperar. K ρ Przyład 3. Rówaa eor sprężysośc W zagadeach mecha ośroda odszałcalego do órych ależą róweż problemy mecha cał sprężysych zaczą rolę odgrywa wydzelee z pola przemeszczeń ( ) rch szywego e wywołącego aprężeń w cele od odszałceń geerących apęca mędzy poszczególym cząsam cała. Rozdzał e orzyme sę wydzelaąc z grade pola przemeszczeń część symeryczą órą es esor odszałceń ε oraz esymeryczą - esor szywych obroów ω. ( ) ( ) ε ω. (.6) Z powyższego rozład wya że see grade przemeszczeń e pocąga eszcze za sobą wysępowaa apęć w ośrod. Może bowem zachodzć ω. Naomas edy ε o w cele poawaą sę aprężea óre me esor aprężea σ. Oba pola esorowe są symerycze co ozacza że ε ε σ σ.

14 7 Poszwae rówaa fzycze będą węc lowym rówaam zachodzącym mędzy parą esorów. σ l 3 lε l Dla zoropowego cała sprężysego przymą oe posać: σ (.7) λε δ µε gdze sałe µ λ zależą od mechaczych właścwośc cała oszą azwę sałych LAMGO. Podsawaąc rówaa worzące do rówań rch (.4) orzymemy ( λε δ ) ρf ρ µε µε ρf ρ & λε gdze ρ ρ &&. Jeżel względmy eraz zależośc geomerycze z. o zysamy relace ε ( ) λ ρf ρ & µ ( λ µ ) ρf ρ & µ. (.8) Przyoczoe rówaa przemeszczeowe dla lowego cała sprężysego saową ład rzech rówań różczowych cząsowych. µ ( λ µ ) ρf ρ && µ ( λ µ ) ρf ρ &&

15 8 ( ) F ρ && ρ µ λ µ óre w lerarze azywaą sę rówaam LAMGO. Rówaa LAMGO możemy zapsać w forme operaorowe F D ρ ρ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ λ µ µ λ µ λ µ λ µ λ µ µ λ µ λ µ λ µ λ µ. 3 3 F F F ρ ρ ρ ρ ρ ρ (.9) Podae w e posac rówaa eor sprężysośc słżą do wyzaczea pola przemeszczeń esora aprężeń w całach sprężysych. Trdośc zwązae z rozwązywaem zadań brzegowych eor sprężysośc są węc zacze węsze ażel w race wyzaczaa rozład pola emperar czy eż dyfz w cele sałym. Naomas w cele leposprężysym óre es aprosszym maerałem z pamęcą rówaa worzące maą posać d d δ ε λ ε µ σ gdze ( ) ( ) d d dg f dg f τ τ τ τ (.3)

16 9 a rówaa przemeszczeowe moża zapsać µ d ( λ µ ) d ρf ρ (.3) w forme ład rówań różczowo-całowych. Przyład 4. Pole elerosaycze Wysępące w blase elerosay pole weorowe dc elerycze D es zwązae lową zależoścą z weorem aężea pola eleryczego D ε gdze ε es przealoścą eleryczą. Naomas pole es gradeem pola salarego V ( grad V ). W efece rówae worzące dla zagadeń elerosay ma posać D ε ε grad V formale deyczą a rówaa FICKA FOURIRA aalzowae w poprzedch pach. Problem opsą węc rówaa worzące D ε grad V ( ε ) (.3) D V oraz rówaa blas dv ρe D ( ρe) D z órych orzymamy poszwae rówae zagadea ε dv grad V ρe ρe V. (.33) ε Przyład 5. Przepływowe pole elerycze W blase ego pola wysępe edye srmeń J weora gęsośc prąd. Pole weorowe J zwązae es z polem weora aężea pola elerosayczego zwązem osyywym

17 J γ óry os azwę prawa Ohma przy czym γ es przewodoścą właścwą ośroda. Podobe a w poprzedm przyładze grad V czyl J γ grad V ( γ ). (.34) J V Współczy γ oreślamy ao warość weora gęsośc prąd odpowadaącego edosowem przyrosow poecał V. Zadae me węc rówae blas dv J oraz rówae fzycze z órych orzymamy po przeszałceach poszwae rówae zagadea dv ( grad V ) γ V.3. War brzegowe począowe γ. (.35) Oprócz wyprowadzoych w poprzedm pce rówań dla różych zagadeń fzy msmy eszcze podać war brzegowe począowe oreślaące razem z m pełe zadae począowo-brzegowe fzy. Naralym warem brzegowym wyaącym zreszą z ogólego rówaa blas es przyęce że a brzeg oreśloym przez powerzchę A day es srmeń z. q ( ) ( ~ ~ ˆ A q ) (.36) gdze qˆ es zaym rozładem weora q a brzeg A. Z przedsawoym warem brzegowym w zadaach przewodcwa ceplego dyfz zwązae są e sformłowaa zadań brzegowych względaące p. odmeość faz ośroda ego ooczea p. Naomas aprosszy ware brzegowy sformłoway es przez wymagae aby poszwae w zada pole przymowało a brzeg A oreśloą warość z. ~. (.37) ( ) ~ ˆ ( ) A Podae w posac ogóle war brzegowe zosaą w dalsze częśc soreyzowae w a sposób aby względć specyfcze cechy poszczególych procesów fzyczych. Naomas rodza warów począowych a ogół oreśla ż forma rówań blas. Isoe lasycza posać rówań worzących o w zasadze rów-

18 aa algebracze sad eż rząd pochode pola wysępącego w blase oreśla ż war począowe. W efece war począowe dla zagadeń przewodcwa ceplego dyfz zaweraą edye począowe rozłady pól emperar ocerac w cele. Naomas dyamcze rówaa eor sprężysośc wymagaą ż podaa e ylo począowe warośc weora przemeszczeń ale aże prędośc przemeszczeń. Odwroa syaca wysępe w polach eleryczych omawaych w opracowa gdze w blase e wysępe czy zmey zadący sę po lewe sroe w rówa blas (.8). Rówaa e doyczą węc proces sacoarego ezmeego w czase..4. Problem brzegowy dla dyfz masy Zadae począowo-brzegowe dla dyfz masy opse we węrz obsza- rówae r w erwale czas [ ) ( ) ρ C C ( ) ρ r( ). (.38) D D Załadać będzemy że rówae pola es spełoe w obszarze [ ) gdze es reglarym obszarem rówymarowe przesrze eldesowe [ ) es przedzałem czasowym. Do powyższego rówaa dołączoe są war począowe ( ) C oraz war brzegowe : dla ocerac dyfdące masy C a (.39) C C ˆ a A [ ) (.4) dla srmea masy ˆ a A [ ) (.4) dla wymay masy z ooczeem ( C ) A [ ) α a 3 (.4) D C A gdze α D es współczyem przemowaa masy C A C oceracą masy a brzeg A w ego zewęrzym oocze.

19 Płay powerzch spełaą ograczea A A A A 3 A A A A3 φ. ędzemy przy ym wymagal aby w lasyczym ęc zadaa zachodzło C C a [ ). Rówae dyfz ależy do rówań rzęd drgego yp parabolczego..5. Problem brzegowy dla przewodcwa ceplego Zadae o opse w obszarze [ ) do órego dołączymy ware począowy oraz war brzegowe dla: emperary aalogcze rówae ρ Θ ρ Θ r (.43) χ K ( ) Θ Θ a (.44) Θ Θ ˆ a A [ ) (.45) srmea cepła q qˆ a A [ ) (.46) wymay cepła z ooczeem ( T ) A [ ) q a 3 (.47) α T T A gdze α T es współczyem wymay cepła z ooczeem T A emperarą a brzeg a T ego zewęrzego ooczea.

20 3 Zachodzą róweż zależośc A A A3 A A A A A3 φ aomas przyros emperary Θ es fcą lasy C a [ )..6. Problem brzegowy eor sprężysośc Zadae o opse w obszarze [ ) ład rówań różczowych µ ( λ µ ) ρ ρf (.48) do órego ależy dołączyć war począowe ( ) ( ) ~ a (.49) oraz przemeszczeowe aprężeowe ( ) ˆ ( ) a [ ) [ µ ( ) λ ] P δ σ P A (.5) a [ ) A (.5) war brzegowe. ędzemy załadal że przyoczoe rówaa spełoe będą w obszarze [ ) a a brzegach spełoe będą odpowede war brzegowe. Poado przymemy że pole przemeszczeń będze fcą lasy C a a częśc brzeg spełaą ograczea [ ) A A φ A A A. Waro zwrócć wagę że w przypad cała leposprężysego w aalogczym probleme będzemy wymagal aby C a [ ) przy de- yczych sformłowaach warów brzegowych ograczeach arzcaych a płay brzeg A α. α

21 4.7. Zadae brzegowe elerosay Zagadee opsae es przez rówae V (.5) óre powo być spełoe w obszarze zaś a brzeg A mogą być posawoe war brzegowe dla: poecał V Vˆ a A (.53) srmea dc elerycze D D ˆ a A. (.54) Poecał ms być fcą lasy spełać powy ograczea C w aomas obszary A A A A A A A φ. Zaważmy przy ym że ware brzegowy dla srmea może przyąć posać asępącą ε grad V Dˆ a A..8. Zadae brzegowe dla przepływowego pola eleryczego Problem we węrz obszar opse rówae aomas a brzeg A oreśloe są war dla: poecał V V (.55) V Vˆ a A (.56) weora gęsośc prąd J J a A. (.57) Poado poecał V C ( ) zaś A A A A A φ.

22 5 Sformłowae w ym rozdzale zadaa począowo-brzegowe dla różych procesów fzyczych prowadzą węc w przypadach aprosszych do lowych rówań różczowych cząsowych drgego rzęd. Fa e sacoe a zacze zaeresowae ym rówaam. Swerdzamy przy ym podobeńswo formale rówań opsących róże procesy fzycze. Przyładem mogą słżyć sacoare przepływy cepła masy czy eż prąd eleryczego oraz saycze zagadee eor sprężysośc. We wszysch ych przypadach mamy do czyea z ym samym ypem rówaa różczowego elpyczego. Naomas esacoare przepływy cepła masy opsą ż rówaa yp parabolczego. Wreszce dyamcze zagadea eor sprężysośc a aże zw. falowe rówaa przewodcwa ceplego dyfz masy są przyładam rówań hperbolczych. Wprowadzaąc w a proszczoy sposób lasyfacę rówań rzęd drgego założylśmy mlcząco że wysępące w ych rówaach współczy przymą dodae warośc ezmee w obszarze [ ). Oprócz omawaych rówań w fzyce maemaycze opse sę bardze złożoe zawsa w órych edocześe oddzaływe a sebe la rodzaów pól. Przyładem mogę słżyć procesy dyfzosprężysośc lb ermosprężysośc a awe ermodyfz sprężyse leposprężyse. We wszysch ych przypadach sposób posępowaa es aalogczy z ym że poawaą sę bardze złożoe blase rówaa worzące. Rówaa e mszą spełać oreśloe zasady fzy a główe ermodyam z óre wyaą ograczea aładae a rówaa worzące blase. Oaze sę że w aprosszych a węc lowych przypadach rówań worzących zysemy róweż rówaa różczowe cząsowe rzęd drgego.

23 . WARIACYJN FORMUŁOWANI PROLMÓW MCHANIKI 7 Rozwó współczese mecha charaeryzący sę rozległoścą podsaw fzyczych oeczoścą zyswaa rozwązań przyblżoych doprowadzł do dżego zaeresowae meodam waracyym. Obo radycyych lasyczych zasad waracyych poawło sę wele owych rezlaów z zares waracyego ęca problemów mecha ośroda cągłego. Iseą rzy zasadcze powody zaeresowaa meodam waracyym: - fzyczy (charaer pozawczy) - aalyczy (badae srry formale problemów mecha) - meryczy (wele zale prayczych ych meod). Zagadea waracye moża podzelć a asępące grpy: - z wag a wymar problem (mechaa om mechaa osrc) - z wag a czas (sacoare esacoare) - z wag a rodza rówań (z operaorem poecalym z operaorem epoecalym) - z wag a algebracze właścwośc operaora (lowe elowe). Meody waracye obemą węc szero zares zagadeń mecha; w przedsawoym opracowa względoo edye bardzo sromą ch część. Celem opracowaa es zapozae czyela z podsawam rach waracyego w przesrze HILRTA oraz elemeam eor operaorów poecalych z erowaem a zasosowaa w mechace. Przez wyorzysae elemeów aalzy fcoale możlwe było edole zware ęce przedsawoego maerał. Operaąc sę a werdze WAINRGA poazemy sposób waracyego formłowaa wybraych problemów brzegowych mecha. Rozdzał zawera lcze przyłady będące lsracą przedsawoe eor... Asomay przesrze HILRTA Załóżmy że mamy day zbór elemeów a b c K dowole ary (rys..) óry o zbór ozaczać będzemy przez R. To że eleme a ależy do zbor R ozaczać będzemy symbolem a R.

24 8 b a c a b αa Rys.. Załóżmy dale że a elemeach zbor R moża wyoać dwa dzałaa. Perwsze dzałae zwae dodawaem przyporządowe parze elemeów a b R eleme ozaczay symbolem a b R zway smą elemeów a b. Drge dzałae zwae możeem eleme a przez lczbę α ( α R gdze R es zborem lczb rzeczywsych) przyporządowe parze α a owy eleme zbor R óry ozaczamy przez α a. Zbór R z a oreśloym dzałaam azywamy przesrzeą lową (weorową) eżel dla wszysch elemeów zbor R (zwaych pam lb weoram) wszysch lczb α spełoe są asępące war:. a b b a (prawo przemeośc dodawaa);. ( a b) c a ( b c) (prawo łączośc dodawaa); 3. see eleme zway zerem a że a a ; 4. see eleme a zway elemeem przecwym do a a że a ( a) ; 5. α ( βa) ( αβ )a (prawo łączośc możea); 6. dla lczby dla ażdego a mamy a a ; 7. ( α β ) a αa βa ; 8. α ( a b) αa αb. lemey a Ka R azywamy lowo ezależym eżel z rówośc wya że α a K a α α K α.

25 9 azą przesrze lowe R azywamy ażdy zbór elemeów z e przesrze spełaące asępące war: - es lowo ezależy - zbór wszysch ombac lowych ych elemeów dae całą przesrzeń. Przesrzeń w óre baza es sończoa azywamy przesrzeą sończee wymarową. Iseą róweż przesrzee z bazą esończoą (p. zbór fc cągłych y () oreśloych w przedzale [ ] ). Normą w przesrze lowe azywamy przyporządowae elemeow a przesrze R lczby rzeczywse a spełaące war. a a. α a α a α R 3. a b a b. Przesrzeń lową w óre wprowadzoo ormę azywamy przesrzeą ormowaą. W przesrze lowe ormowae moża wprowadzć poęce a przesrze azywamy zbeżym do gracy zbeżośc. Cąg elemeów { } χ χ a eżel lm a a CAUCHY GO eżel lm a a. m m. Naomas cąg { a } azywamy cągem Przesrzeń w óre ażdy cąg CAUCHY GO es zbeży do gracy leżące w e przesrze azywamy przesrzeą zpełą. Przesrzeą ANACHA azywamy przesrzeń ormowaą zpełą (STFAN ANACH wyby pols maemay). Przesrzee ANACHA odgrywaą zasadczą rolę w maemayce gdze edo z podsawowych zagadeń polega a poszwa oreśloego eleme a p. eleme spełaącego pewe rówae lb realzącego esremm fcoał w przesrze R. Poszwae ae może być secze edye wedy gdy dzałaa algebracze e wyprowadzaą eleme z przesrze R. Szczególą rolę wśród przesrze odgrywaą przesrzee w órych oreśloy es loczy salary. Nech R będze aą przesrzeą. Jeżel ażde parze elemeów a b R przyporządowaa zosae lczba rzeczywsa a b spełaąca asępące war: a b b a a b c a c b c 3 α a b α b a dla dowole lczby α R

26 3 4 a a przy czym a a edye wedy gdy a o lczbę a b azywamy loczyem salarym elemeów a b zaś lczbę a aa ormą eleme a. Przesrzeń lową z loczyem salarym zpełą azywamy przesrzeą HILRTA. Przyład.. Zbór weorów w przesrze fzycze (rys..) a 3 a 3 a a Rys.. a a a33 a a gdze a są sładowym weora a aomas są weoram bazy z loczyem salarym ormą w posac a b a b a b a b a b 3 3 ( a a a ) ( a a ) 3 a a a worzy przesrzeń eldesową rówymarową 3 będącą przesrzeą HILRTA.

27 3 Przyład.. Zbór elemeów posac esończoych cągów lczbowych z ormą { a a K} a3 a a a loczyem salarym worzy przesrzeń HILRTA Przyład.3. l. a b a b ; Zbór fc cągłych a odc [ a b] z loczyem salarym f g b a f ( ) g( ) d ormą worzy przesrzeń [ a b] b f f ( ) d a C. Przesrzeń a e es zpeła zaem e es przesrzeą HILRTA (ryse.3).

28 3 Przyład.4. Zbór fc oreśloych a odc [ a b] spełaących ware f ( ) f ( ) a b a b-a b Rys..3 b a f ( ) d < z loczyem salarym ormą a w przesrze [ a b] HILRTA L [ a b]. Przyład.5. Jeżel w przesrze [ a b] C (rys..4) f ( ) C worzy przesrzeń f a b Rys..4

29 33 wprowadzć ormę f χ ma [ ab] f ( ) o przesrzeń a es przesrzeą zpełą (lecz e es przesrzeą HILRTA)... Operaor. Fcoał. Różcza GÂTAUX operaora Nech dae będą dwa zbory A o elemeach (rys..5). a A b A F a b F ( a) Rys..5 Jeżel ażdem elemeow a A zosae edozacze przyporządoway pewe eleme b o mówmy że a zborze A zosała oreśloa fca F : A przymąca warośc b F( a) w zborze (albo że zosało oreśloe odwzorowae zbor A w zbór ). Zbór A azywamy dzedzą fc F a zbór F ( A) zborem warośc fc F. W dalszym cąg wyrazy: fca operaca (operaor) odwzorowae raowae będą ao syomy. Jeżel zbór es zborem lczb rzeczywsych ( R) o operaor F : A R azywać będzemy fcoałem (rys..6). A R F a b F [ a] Rys..6

30 34 Zbór warośc fcoał ozaczać będzemy symbolem [ A] F. Jeżel fca F odwzorowe ylo część D zbor A w zbór (rys..7) A F a D F D F A b Rys..7 o dzedzę fc F ozaczamy symbolem D ( D A) Przyład.6. F F. Jeżel { f ( ) C[ a b] } A eżel oreślmy zależość A d : A ( ) d A : f ( ) f '( ) o a zborze A oreśllśmy operacę różczowaa o waroścach w zborze. Przyład.7. Poecala eerga deformac bel wolopodpare (rys..8) J U l ( '' ) d ( ) D U R F

31 35 gdze es fcoałem F l J [] ()'' d F : D R przy czym F D F { ( ) C [ ] : ( ) ( ) } es zborem fc maących perwszą drgą pochodą przymących a ońcach przedzał warośc zerowe. ( ) P l Rys..8 Przyład.8. Praca wyoaa przez słę P a przemeszcze óra w przypad bel werdzoe (rys..9) daa es relacą L P P cosα( P ) P α es aże fcoałem. Rys..9

32 36 Przyład.9. Fcoałem es aże osowy mome bezwładośc J A y da oraz mome sayczy S A yda przero płasego (rys..). y da A Rys.. Dzał maemay zamący sę meodam poszwaa esremalych warośc fcoałów azywa sę rachem waracyym. Ma o zasadcze zaczee w wel zagadeach współczese mecha o zarówo w formłowa praw rządzących zawsam fzyczym a w zyswa rozwązań przyblżoych dla wel problemów żyersch. Nech H będze przesrzeą HILRTA aomas P operaorem elowym P : DP H H ' (gdze H ' es ą przesrzeą HILRTA). Operaor δ P oreśloy zależoścą d δp( h) P( αh) α h Dp α R (.) dα

33 37 azywamy różczą GÂTAUX operaora P w pce przy przyrośce h. Jeżel różczę GÂTAUX moża przedsawć w posac ( h ) P' ( ) h P': D H ' δ P (.) P o operaor P ' azywamy pochodą GÂTAUX operaora P. W przypad operaora P ( ) A f mamy ( h) Ah δ P (.3). Jeżel ope- gdze A es operaorem lowym ( A( α βv) αa( ) βa( v) ) raor P es fcoałem ( P D R) P : o różczę GÂTAUX azywamy perwszą waracą fcoał. Przyład.. Różcza GÂTAUX operaora ( ) P wyos d d δ P α α h dα dα ( h) P( αh) ( αh). Zaem pochoda GÂTAUX ego operaora es rówa P '. Przyład.. W przypad operaora ( ) ( ) P ' różcza GÂTAUX wyos ( h) ' h' δ P. Ja wdać różcza GÂTAUX e es w ym przypad lowa względem przyros h zaem e see pochoda GÂTAUX.

34 38 Przyład.. W przypad poecał gdze F l [] ' d D F { C } [ ] : ( ) ( ) perwsza waraca daa es relacą δf l d α [ h] ( αh) ' ( αh) d ( ' h' h) dα sąd po scałowa przez częśc l d δ F l ( '' ) hd ' h l wyorzysa właścwośc że h DF orzymamy [ h] ( '' ) l δ F hd..3. Grade fcoał. Operaor poecaly Jeżel perwszą waracę fcoał F moża przedsawć w posac grad F azy- gdze symbol wamy gradeem fcoał. [ h] grad F[ ] h h DF δ F (.4) ozacza loczy salary w H o operaor

35 Operaor a fcoał 39 : D H ' azywamy operaorem poecalym eżel see F D R P P : że F ( ) grad F[ ] P (.5) w przypad dowolego eleme DP. Fcoał e azywamy poecałem operaora P. Aby operaor P był poecaly ms być symeryczy w asępącym sese δp ( h) g δp( g) h h g D χ (.6) P przy czym es o ware oeczy dosaeczy. P A posać W przypad operaora lowego ( ) f ware e przyme A h g Ag h. (.7) Zależość (.7) posada zaą w mechace ośroda cągłego erpreacę gdze odpowadaą e werdzea o wzaemośc. Naprossze z ych werdzeń moża sformłować asępąco: Nech a belę wolopodparą dzałaą dwa łady sł P Q wywołących przemeszczea h g (rys..) P Q h g Rys.. a maowce ( P Ah h) ( Q Ag g) w ładze perwszym w ładze drgm.

36 4 Wówczas prawdzwa es zależość P g Q h óra os azwę werdzea o wzaemośc przy czym es loczyem salarym sł przemeszczeń. Aalogczą erpreacę rówośc (.7) możemy zysać przy aalze zagadeń wymay cepła a aże dyfz masy. We wszysch ych przypadach relaca (.7) es przeawem symer wysępące w zagadeach mecha ośroda cągłego przepływów cepła dyfz masy. Poęce grade fcoał ma zasadcze zaczee w poszwa warośc sacoare fcoał gdyż fcoał osąga esremm w pce w órym grad F[ ]. P azywamy pem ryyczym. Wdocze es że w przypad operaorów poecalych poszwae rozwązaa rówaa operaorowego P ( ) moża zasąpć poszwaem p ryyczego odpowedego fcoał. Przyład.3. Jeżel w przyładze. oreślć loczy salary w posac ( )( )d o grade fcoał day es zależoścą Przyład.4. [ ] ' ' grad F. W przypad asępącego operaora ( ) ' ' P gdze { C [ ] : ( ) ( ) } D P fcoał z przyład. es poecałem. Zaem operaor e es poecaly.

37 4 Przyład.5. Pem ryyczym fcoał z przyład. es fca w przypad óre ( ) ( ) [ ] '' grad F. Fca ( ) es edocześe rozwązaem rówaa operaorowego ( ) '' P..4. Twerdzee WAINRGA W eor operaorów poecalych zasadcze zaczee ma asępące werdzee zwae werdzeem WAINRGA. Jeżel P es operaorem poecalym w pewym oocze p o see fcoał F (z doładoścą do addyywe sałe F ) gradeem órego es operaor P. Fcoał e day es relacą [ ] P[ α( )] dα F ; D α. F P R F. Wedy powyższy fcoał przy- Częso przyme sę że me posać F P α dα. [ ] ( ) W przypad lowych operaorów poecalych P( ) A f fcoał e day es relacą

38 4 F [ ] A f. Podsmowae aważeszych defc z zares eor operaorów poecalych zawera poższa abela Rówae Lowe A Różcza GÂTAUX ( ) δ A ( h) Ah P f Nelowe P ( ) d P dα Ware poecalośc Ah g Ag h ( αh) α δp ( h ) δp( h) δp ( g)h Fcoał F[ ] g A F [ ] ( ) f P α dα Chcąc zaem zbdować fcoał waracyy w przypad zadaa brzegowego ależy posąpć w asępący sposób: - oreślć posać operaora loczy salarego - sprawdzć czy operaor es poecaly - operaąc sę a werdze WAINRGA zbdować fcoał będący poecałem daego operaora poecalego. Jeżel operaor e es poecaly o e see fcoał będący sformłowaem waracyym daego problem brzegowego. Przyład.6. W przypad zadaa brzegowego oreślamy operaor elowy gdze D P ( ) ( ) '' ' f P ( ) f '' ' { C [ ] : ( ) ( ) }

39 43 oraz defemy loczy salary v v d. Nasępe oblczamy różczę GÂTAUX operaora P δp d dα ( '' h h'' ' h' ). ( h) [ f ( αh)( αh) '' ( αh) ' ] α Dale oblczamy warość wyrażea ( h) g P( g) δp δ gdze sorzysao z zależośc ( gh' ' g' ' h ' h' g ' g' h) d ( gh' ' g' ' h) d ( gh' g' h) ( ' ' ' ' ) gh g h h ( ' gh' ' g' h) d. d Z powyższego wya że operaor P es poecaly czyl see fcoał F gradeem órego es P. Fcoał e day es asępącą relacą

40 44 F [] P( α) dα f ( α)( α'' ) ( α' ) f α f 3 ( '' ' ) dα ( '' ' ) d ( ' f ) d. dα W powyższych przeszałceach wyorzysao wzór a całowae przez częśc ' ' d ' ' d ' d. Ja ławo sprawdzć w pce ryyczym ( ) fcoał F zachodz Przyład.7. [ ] P( ) f '' ' grad F. Problem wyzaczaa sacoarego rozład emperary w płyce o grbośc opsay es elowym rówaem różczowym gdze: T ( ) es emperarą ( ) [ ( T ) T ']' Q T ( ) T ( ) λ Q źródłem cepła zaś λ ozacza współczy przewodośc ceple. Przymmy że współczy e es lową fcą emperary ( T ) λ ( εt ) λ gdze ε es paramerem. Oreślaąc operaor problem P d d dt d ( T ) λ ( εt ) Q

41 45 oraz loczy salary T R TR d Sprawdzmy czy operaor P es poecaly. Oblczamy w ym cel różczę GÂTAUX ego operaora δp T d ( R) {[ λ( εt εαr)( T αr) ']' Q} α dα λ [ εrt ' ( εt ) R' ]' λ [ ε ( R' T ' RT '') ( εt ) R'' ] oraz warość wyrażea δp T ( R) S δp( T S ) λ λ ε R [ ε ( R' ST ' RS' T ) ( εt )( R'' S S'' R)] ( R' T ' S RT' S' ) d. d Z powyższego wya że operaor P e es operaorem poecalym. Przyład.8. Jeżel współczy przewodośc ceple λ es fcą mesca o operaor problem sformłowaego w przyładze.7 ma posać operaora lowego gdze ( T ) AT f P AT [ T ']' f Q λ

42 46 zaś różcza GÂTAUX oreśloa es zależoścą Oblczamy warość wyrażea ( T R) AR [ λr' ]' R DA δ P. AR S AS R λ' R' λr'' S λ' S' λs'' R ( λ' R' S λr'' S λ' S' R λs'' R) d gdze wyorzysao zależość ( λr'' S λs'' R) d λ( R' S RS' ) ( λ' R' S λ' S' R) λ' ( R' S S' R) d. d Z powyższego wya że w rozważaym przypad operaor A es poecaly zaś odpowed fcoał day es relacą [ ] AT T f T [ λt '] F T ' T Q T ( λ' T ' T λt '' T ) QT d λt ' QT d. Sorzysao z wzor a całowae przez częśc ( λ' T ' T λt ' ) d ( λ' T ' T λt ' ) λtt '' d λtt ' Przyład.9. d. Zagadee zgaa bel a podłoż sprężysym (rys..) opsae es rówaem

43 47 [ J ( ) ']'' ( ) q( ) ' z waram brzegowym ( ) ' ( ) () ' (). q ( ) ( ) l Rys.. ( ) ( ) W rówa powyższym es modłem YOUNGA J momeem bezwładośc przero gęcem bel współczyem podaośc podłoża q esywoścą obcążea. Zdefmy welośc A D A v [ J'' ]'' ; f q 4 { C [ ] : ( ) ' ( ) () ' () } v d oraz oblczmy zależość A v Av [ J'' ]'' v [ J'' ] '' v [( J'' )'' v ( Jv'' )'' ] d.

44 48 Poeważ ( J'' )'' v d [( J'' )' v] ' d ( J'' )' ( J'' )' v ( J'' )' v' d ( J'' )' [( J'' ) v' ]' v' d J'' v' d ( J'' ) v' Jvd J'' v'' d d v' d zaem A v Av czyl operaor A es poecaly orzysaąc z werdzea WAINRGA możemy zbdować fcoał waracyy zadaa zgaa bel a podłoż sprężysym. Odpowed fcoał day es w ym przypad formłą [ ] [ J'' ]'' q ( J'' ) F T ( J'' ) q d. '' q d Zaem zamas szać rozwązaa wyścowego rówaa różczowego możemy poszwać p ryyczego powyższego fcoał..5. Rówaa eor sprężysośc leposprężysośc Nech ozacza odwzorowae edorodego azoropowego cała sprężysego a obszar rówymarowe przesrze eldesowe ; ech 3 będze brzegem ego obszar ( ) aomas współrzędą weora ormalego do brzeg.

45 49 Na se dzałaa sł masowych ρ F obcążea powerzchowego p oraz zadaych a brzeg przemeszczeń cało dozae deformac opsaych przemeszczeem odszałceem ε aprężeem σ. Pola powyższe są fcam mesca przy założe odpowede reglarośc ych pól moża qas-sayczy proces deformac cała opsać asępącym rówaam esorowym: rówaam rówowag (say) zwązam geomeryczym zależoścam fzyczym lb oraz waram brzegowym: w aprężeach (sayczym) σ ρf (.8) ( ) ε ( ) ε (.9) w przemeszczeach (emayczym) σ ε (.) l l ε Jlσ l (.) σ p p p σ (.) (.3) gdze σ są odpowedo częścam brzeg cała a órych zadao sły przemeszczea przy czym zachodz σ σ (

46 5 sma zborów loczy zborów zbór psy). W powyższych zależoścach żyo ypowych ozaczeń rach esorowego we współrzędych arezańsch. W przypad gdy sa cała w chwl aale zależy od całe przeszłośc cała (a es p. w beoe czy eż w polmerach) zwąz fzycze dae są zależoścam gdze symbolem ozaczoo splo (całę) STILTISA σ dε (.4) l l ε J dσ (.5) l l f ( ) dg f τ dg(τ ) (.6) o asępących właścwoścach: f f f f dg g df ( dg dh) ( f dg) d ( g h) f dg dh f dg dh f dh dg gdy f lb g. (.7) Cało w przypad órego słsze są zwąz (.4) (.5) os azwę cała lowo leposprężysego. Pozosałe zależośc (saycze geomerycze oraz war brzegowe) są ae same a dla cała sprężysego. W dalszych rozważaach zwąz (.8...3) przedsawoo w posac rówaa macerzowego [ A ]{ } { f} { } (.8)

47 gdze elemey macerzy olmowych 5 {} ε σ p σ {} f ε σ p σ (.9) są odpowedo fcam poszwaym daym aomas elemey macerzy wadraowe [ ] ( K) ( ) l δ δ l K A [( K) ( δ K) ] (.) są operaoram lowym..6. Fcoały eor sprężysośc (LAGRANG A RISSNRA HU-WASHIZU) Jeżel zdefować loczy salary w posac 3 5v5 I σ T {}{} v IvIdV 4v4dA da (.) I o zbór macerzy { } będze worzył przesrzeń HILRTA (w zależośc (.) es I-ym elemeem macerzy olmowe { }) aomas rówae operaorowe (.8) es rówaem w e przesrze. Maąc oreśloą posać operaora problem oraz loczy salarego sprawdzamy czy operaor [ A ] es poecaly. W ym cel oblczamy warość wyrażea

48 5 T T T {[ A] { } { } [ A] { } T { } { } [ ( σ ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) σ ε σ ε ) ( σ ε ) ε ( σ ε ) ε ] dv σ [( p ) ( p )] da [( p ) ( p )] da. l l l l σ (.) Wyorzysąc asępe symerę fc maerałowych l l (.3) oraz werdzee o dywergec (GAUSSA-OSTROGRADSKIGO) ( σ σ ) dv ( p p ) da ( σ σ ) da (.4) orzymemy relacę T T {[ A ]{ } { } {[ A]{ } { } óra dowodz poecalośc operaora [ A ]. Zaem zgode z werdzeem WINRGA see poecał (fcoał) operaora [ A ]. Fcoał e day es zależoścą F T [{} ] F[ ε σ ] {[ A]{} } { } {}{} f [ ( σ ) ( σ lε l ) ε ( ( ) ε ) ρf ] dv σ p p da σ pda. (.5)

49 53 Dooąc przeszałceń aalogczych do (.4) orzymemy [ ε σ ] lε lε σ ( ( ) ε ) F σ p da ( ) p da. ρf dv (.6) Fcoał (.6) es fcoałem waracyym problem deformac edorodego azoropowego cała sprężysego zway es fcoałem HU-WASHIZU ( F[ ε σ ] FH W ). Jao zmee ezależe wysępą rzy sładowe weora przemeszczea sześć sładowych esora odszałcea ε oraz sześć sładowych esora aprężea σ. Chcąc zysać rozwązae przyblżoe zadaa brzegowego a drodze mmalzac fcoał (.6) raemy fce ε σ ao ezależe od sebe przy czym e mszą być spełoe war brzegowe (.) (.3). Zaem możemy apsać że D { ( ) C ( ) ε ( ) C ( ) σ ( ) C ( )}. (.7) F Wyorzysae fcoał HU-WASHIZU w zasosowaach żyersch może być łopolwe (mmo że mamy w ym przypad awęszą swobodę w poszwa rozwązaa przyblżoego gdyż e msmy sosować żadych ograczeń). Dlaego eż elmąc z ego fcoał esory odszałcea aprężea oraz część warów brzegowych zysamy fcoał maący podsawowe zaczee w zasosowaach prayczych. Zażądamy zaem aby zosały spełoe zwąz (.9) (.) (.3). Orzymamy wedy ε ( ) σ l. ε l l ( ) l l l l (.8)

50 54 Podsawaąc powyższe zależośc do fcoał (.6) orzymemy [ ε ( ) σ ( )] F[ ] F l l ρf dv σ p da. (.9) W fcoale (.9) ao zmee ezależe wysępą rzy sładowe weora przemeszczea azywamy go fcoałem LAGRANG A ( [ ] ) F F L. Obszar oreśloośc ego fcoał saow D F { ( ) C ( ) } (.3) przy czym ( ) σ l l ε. (.3) Przy dobera fc bazowych dla zysaa rozwązaa przyblżoego msmy spełć emaycze war brzegowe lecz e msmy spełć sayczych warów brzegowych. Po wyzacze sładowych weora przemeszczea z zależośc (.3) wyzaczamy sładowe esorów odszałcea aprężea. Ieresąca es posać operaora poecalego będącego gradeem fcoał LAGRANG A. Oblczamy zaem perwszą waracę fcoał (.9) δf L df [{ α }] ρf dα α [ ( α )( α ) ( α )] dv p ( ) α α l σ ( ρf ) dv ( p p ) l d dα d dα l l ' l da α da (.3) Wyorzysao werdzea o dywergec oraz ware brzegowy w przemeszczeach.

51 55 Jeżel oreślć posać loczy salarego gdze T {} {} v vdv da (.33) v {} σ o grade fcoał LAGRANG A day będze relacą przy czym T [ ] { [ ] } { } δ F gradf L (.34) ρf p p l l { gradf [ ]} L σ. (.35) W pce ryyczym gdze { gradf } { } L orzymamy l l p σ ρf p σ. (.36) Zaem wyzaczee p ryyczego a drodze mmalzac fcoał LAGRANG A es rówozacze z rozwązaem rówań przemeszczeowych sprężysośc przy względe sayczych warów brzegowych. Needy dla ops problem brzegowego lowe eor sprężysośc orzysa sę z ego zesaw rówań a maowce (.8) (.) (.) przy czym załada sę że spełoe są zwąz geomerycze (.9) emaycze war brzegowe (.3). Orzymemy wówczas rówaa: σ ( ) ρf J p p l σ l σ p. (.37) σ

52 56 Zapsąc powyższe zależośc w posac rówaa macerzowego orzymemy [ ] (...) A [(...) ( δ... )] Jl ( δδ l... ) (.38) {} σ {} Defąc loczy salary w posac σ T {}{} v ( v v ) dv ρf f. (.38) p σ v da (.39) 3 3 sprawdzamy czy operaor lowy [ A ] es poecaly. W ym cel oblczamy warość wyrażea T T T {[ A] {} } { } {[ A]{ } { } [( σ ) ( σ ) ( ( ) J lσ l ) ( σ ) σ ] ( p p ) da. ' ( ) J l l σ σ ' (.4) Wyorzysao zależość ( σ σ ) dv [( σ ) ( σ ) ] σ ( σ σ ) dv. da (.4)

53 57 Poeważ operaor [ A ] es poecaly zaem see fcoał day zależoścą F T T [{} ] F[ σ ] {[ A]{} } { } {} f {} σ ( ) Jlσ lσ ρf dv p da. σ (.4) Jao zmee ezależe wysępą : rzy sładowe weora przemeszczea sześć sładowych esora aprężea σ. Fcoał e zway es fcoałem RISSNRA ( F [ σ ] FR ). Dzedza fcoał RISSNRA ma posać D F { ( ) C ( ) ( ) C ( ) : } σ. (.43) Po wyzacze a drodze mmalzac fcoał F R przemeszczeń aprężeń σ odszałcea ε wyzaczamy ze zwązów geomeryczych..7. Uogólee fcoał lowe sprężysośc a zadaa leposprężysośc Przedsawoe fcoały moża przysosować do zagadeń leposprężysośc formłąc formę dwlową w posac f g f dgdv gdze ozacza całę STILTISA o właścwoścach (.7) oraz posępąc podobe a w pce.. Wedy F ~ H W p σ l dε dε σ d d da l ( ε ) ( ) ( ) dpda F d dv (.44)

54 58 F ~ L l d l d F d dv p d da σ (.45) oraz F ~ R σ d p σ ( ) d da. J l dσ l dσ F d dv (.46) Fcoały (.44) (.46) maą podobe zasosowaa w poszwa rozwązań przyblżoych lowe eor leposprężysośc a ch odpowed (.6) (.9) (.4) w problemach lowe sprężysośc..8. Fcoał dla problem wymay cepła w ośrod cągłym Jeżel rozparemy problem przepływ cepła w cele sałym (p. w zagadeach obrób ermcze elemeów beoowych bądź w eor aprężeń ceplych) o orzysamy aczęśce z asępące posac rówaa przepływ cepła (dla zagadeń esaloych): T przy warach brzegowych ( ) DT ( ) Q( ) ( ) T ( ) > (.47) T T > (.48) T war począowym ( ) q ( ) ( ) T ( ) T q > (.49) (.5) gdze: T es poszwaą emperarą Q źródłem cepła D współczyem przepływ cepła T emperarą a brzeg cała q

55 59 srmeem cepła a brzeg cała T rozładem emperary w chwl począowe proces. Posać rówaa (.47) (rówae yp parabolczego) es ezby dogoda do ęca waracyego. Dlaego eż dooamy a rówaach (.47) (.49) rasformac LAPLAC A z wyorzysaem war począowego gdze pt ( p) DT ( p) Q ( p) T ( ) Q ( ) * T ( p) T ( p) * q T ( p) q ( p) (.47) T (.48) (.49) ( p) T ( ) p e d (.5) zaś p es paramerem przeszałcea. Nasępe zapszmy ład rówań (.47) (.49) w posac asępącego rówaa macerzowego: gdze [ ]{ } { f} { } A (.5) [ A] p T T ( K) D( K) D D * {} q {} f DT T q * Q * Dq T q (.53) zdefmy loczy salary w posac T {} {} v vdv vda v da (.54) 3 3 T q

56 6 oraz sprawdźmy warość wyrażea T T T {[ A] {} } { } {[ A]{ } { } [( pt DT ) ( T pt DT ) T ] dv D [( Tq' ) ( T q )] da D [( qt ) ( q' T )] da T q (.55) gdze wyorzysao zależość ( T T T T ) dv ( T T T ' T ) ( T T T ' T ) dv ( qt q T ) ( qt q T ) da. q σ T da da (.56) Poeważ z (.55) wya że operaor [ A ] es poecaly o see poecał F ego operaora day zależoścą F [ T ] [ A]{} T { } { } {}{} f * pt DT T Q T dv * D T T qda q q T q * TdA (.57) órą po wyorzysa werdzea o dywergec

57 T T dv T T da 6 ( T ) dv ( T ) dv qt da qt da T q (.58) moża przedsawć w asępące posac [ ] ( pt DT ) F T D Q * * ( T T ) qda D q TdA. T q T dv * (.59) Kosrąc rozwązaa przyblżoe załadamy że spełoy es ware brzegowy (.48) wówczas fcoał (.59) przyme posać * * [ T ] ( pt DT ) Q T dv D q TdA. F (.6) Fcoały (.59) (.6) moża wyorzysać do wyzaczaa przyblżoego rozład pola emperary a ocerac mgrącego słada (p. rozład wlgoośc w dorzewaących elemeach beoowych). W ym drgm przypad fcę T ( ) (emperarę) ależy zasąpć fcą C ( ) (oceracą). q

58 63 3. UOGÓLNION ROZWIĄZANI RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH W lasyczych ęcach fzy maemaycze rozwązaa zadań brzegowych dla rówań LAPLAC'A przewodcwa ceplego czy eż propagac fal były raowae oddzele. Tworzoo specale meody posępowaa przy ch rozwązywa. Iacze posępowao p. z rówaam elpyczym a acze z parabolczym. Syaca a e zachęcała do powszechego sosowaa zyswaych w ym zarese rozwązań w zasosowaach echczych. Tymczasem życe rasforma FOURIRA LAPLAC'A w zarese dysrybc emperowaych pozwala wyszczególoe rówaa raować z edolego p wdzea. Na e drodze zyse sę rozwązaa podsawowe dla dowolych lowych operaorów różczowych a w ym dla lasyczych rówań fzy maemaycze. Z rozwązań ych moża zbdować asępe dla zadań źródłowych p. źródła cepła sł masowych p. W eszym rozdzale podao elemey eor dysrybc w ęc fcoałowym oraz rasformac FOURIR'A LAPLAC'A. Uzysae w ym zarese wy pozwolły podać rozwązaa podsawowe dla rówań przewodośc ceple rówań falowych oraz rówań lowe ermosprężysośc. Pewe welośc fzycze a p. obcążee mome spoy e mogą być przedsawoe przy życ lasyczych fc zaych z podsawowych rsów maemay. Tymczasem z welośc ych orzysao od dawa w mechace. Podobe było w ych dzałach fzy gdze p. aalzowao mplsy przyśpeszeń ład spoe p. W zwąz z powyższym powsała oeczość wprowadzea wor ogóleszego od fc óry pozwolłby z ego samego p wdzea aalzować zarówo zagadea opsae lasycze pomowaym fcam a ecągłe rozłady różych welośc fzyczych. Weloścam ym są fce ogóloe albo dysrybce. Przyładem dysrybc es zw. fca δ o asępących właścwoścach (rys. 3.): ϕ zachodz dla dowole cągłe fc ( ) δ ) ϕ( ) d ϕ( ) ( dla δ ( ) (3.) dla δ ( ) d.

59 64 δ δ ( ) f Rys. 3. Żada lasycza fca e posada ych właścwośc. Moża eda f dla f ( ) dla że ϕ zachodz worzyć a cąg fc p.: ( ) dla dowole fc cągłe ( ) lm f ( ) ϕ ( ) d ϕ( ). (3.) Cąg a azywamy cągem worzącym dla fc δ. W wel zagadeach fzy maemaycze p. przy aalze zadań mecha dla obcążeń spoych moża bdować cąg worzące dla fc δ po czym prześć do gracy. Tae podeśce omple rozważaa a a sysemaycze oblczae pochodych ao gracy lorazów różcowych w mesce ryowego oblczaa pochodych. Sworzoo węc eorę dysrybc óre elemey w fcoałowym ęc przedsawmy w eszym rozdzale. W zagadeach fzy maemaycze eora dysrybc słży do poszwaa rozwązań podsawowych rówań różczowych. Ogólość ego podeśca pozwolła a zysae owych rozwązań zadań fzy. 3.. Fce podsawowe Dysrybcą azywać będzemy ażdy lowy cągły fcoał oreśloy a przesrze fc esończee wele razy różczowalych. Sprecyzowae poęca dysrybc wymagać będze wprowadzea pewe ogóle

60 65 lasy fc zwaych fcam podsawowym a órych oreśloe bedą fcoały wyzaczaące poszczególe dysrybce: Oreślee 3.. U R azywamy domę- Nośem ce w U zbor pów Oreślee 3.. spp ϕ fc ϕ oreśloe a U dla órych ϕ ( ). Zbór esończee wele razy różczowalych fc w R azywamy przesrzeą fc podsawowych D (rys. 3. ) eżel cąg fc ϕ D es zbeży do fc ϕ D wedy gdy spełoe są war: see aa lczba R > że spp ϕ U R K dla ażdego cąg ϕ D m ϕ m ( ) D ϕ( ) edosae w R gdze: U { R R} R < m m m K m ) m dowole lczby całowe ( m m K m m D m f ( ) m f m ( K ). m K m Uład m azywamy welowsaźem. W dalszych rozważaach orzysać będzemy róweż z pewe specale lasy dysrybc - dysrybc emperowaych. Dysrybce e oreśloe są a odmee przesrze fc podsawowych.

61 66 D ϕ Rys. 3. a Oreślee 3.3. Zbór esończee wele razy różczowaly fc w R maleących dla wraz ze wszysm pochodym szybce ż dowola poęga azwemy zborem fc podsawowych ozaczymy symbolem ϑ ϕ zbdoway z fc ϕ ϑ es zbeży do fc ϕ ϑ wedy gdy dla dowolych α β zachodz zwąze eżel cąg { } gdze β D α β α { ϕ ( ) } D ϕ( ) edosae w R α ( α α... α ) β ( β β... β ) są welowsaźam β β β β.... Mamy węc do czyea z dwoma różym przesrzeam fc podsawowych ϑ D a órych zosaą oreśloe dysrybce. 3.. Dysrybce Ozaczmy symbolem D zbór wszysch fcoałów lowych cągłych oreśloych a przesrze fc podsawowych D. Każdy z ych fcoałów wyzacza dysrybcę. Warość fcoał f a fc podsawowe ϕ ozaczymy przez ( f ϕ).

62 67 W podoby sposób oreślmy dysrybce emperowaą ao lowy cągły fcoał oreśloy a przesrze fc podsawowych ϑ. Ich zbór ozaczymy przez ϑ. Mmm wadomośc o algebrze dysrybc sprowadza sę do oreślea rówośc dysrybc smy loczy. ędzemy mówl że dysrybca f za w obszarze G eśl ( f ϕ) dla wszysch fc ϕ ależących do D z ośem w G. Naomas dysrybce f f azywamy rówym w obszarze G eśl ( f ϕ ) ( f ϕ) dla wszysch ϕ D. Smą dysrybc f f ch loczyem przez lczby λ λ R azywamy dysrybcę ( λ f λ f ϕ) λ ( f ϕ) λ ( ϕ) f. (3.3) Mówmy że cąg dysrybc { f } D es zbeży do dysrybc f D eżel ( f ϕ ) ( f ϕ) przy dla dowole fc podsawowe ϕ D. Podobe szereg dysrybc f f K f K azywamy szeregem zbeżym do dysrybc f D eżel dla dowole fc podsawowe ϕ D szereg lczbowy ( f ϕ ) es zbeży do ( f ϕ). Wśród dysrybc wydzelamy: dysrybce reglare ( f ϕ ) f ( ) ϕ( ) d ϕ D( R ) (3.4) gdze f es fcą loale całowalą w R oraz dysrybce osoblwe p. δ Draca (rys. 3.3) ( δ ϕ) ϕ( ) ϕ D( R ) ( δ ϕ) ( δ ( ϕ) ϕ( ) ϕ D( R ). (3.5)

63 68 ϕ ( ) D δ ( ) ϕ ϕ ( ) R Rys Iloczyem dysrybc D h C R - fc esończee różczowalych cągłych es dysrybca oreśloa asępąco Jeżel f es dysrybcą reglarą o f oraz ( ) ( ) ( hf ϕ) ( f hϕ) 3.3. Różczowae dysrybc. ( hf ϕ) h( ) f ( ) ϕ( ) d. (3.6) W lasyczym ęc rach różczowego pochodą oblcza sę ao gracę loraz różczowego. Iseą węc przypad fc óre w oreśloych pach e będą posadały pochodych co przedsawoo p. a rys y f ( ) Rys. 3.4

64 69 Tymczasem dysrybcye podeśce zapewa see pochodych dysrybc dowole wysoego rzęd. Nech f C ( R). Wówczas aalząc fcoał ( f ϕ ) ( f ) f ( ) ϕ( ) d ϕ D( D ) ϕ (3.7) ławo zaważyć że po zasosowa wzor a całowae przez częśc orzymamy ( ϕ ) f ( ) ϕ( ) d f ( ) ϕ ( ) d ( f ϕ ) f. Jeżel f C ( R ) o α α α α α ( D f ϕ) ( ) f ( ) D ϕ( ) d ( ) ( f D ϕ) α. (3.8) Powyższa rówość dae podsawę do asępącego oreślea pochode dysrybc f. Oreślee 3.4. D α f Pochodą f D α dowole dysrybc f azywamy fcoał α α α ( D f ϕ) ( ) ( f D ϕ) ϕ D( R ) (3.9) gdze α dowoly welowsaź. Jeżel f es dysrybcą reglarą o α f (... ) α... α ϕ ϕ α... α (... ) ( ) f (... ) α (... ) d W oparc o defcę (3.4) moża swerdzć że ażda dysrybca ma pochode dowolego rzęd będące dysrybcam przy czym różczowae es przemee. W szczególośc ażda fca loale smowala ma pochode dysrybcye dowole wysoego rzęd. Pochode e a ogół e są fcam. W przypad fc cągłe maące cągłe pochode pochode α

65 7 dysrybcye porywaą sę z pochodym w sese lasyczym. Podae wzory saową podsawę aalzy dysrybc Splo dysrybc Wprowadzee poęca loczy sploowego dysrybc poprzedz ore- f g ( y). ślee loczy arezańsego dysrybc ( ) Nech ( ) m f będze dysrybcą oreśloą a zborze fc ϕ D( R ) g ( y) a zborze β D( R ). Przez loczy prosy dysrybc f g rozmemy dysrybcę oreśloą relacą m gdze ( y) D( R ) ( f ( ) g( y) π ( y) ) ( f ( ) ( g( y) π ( y) )) π. Oreślmy eraz splo dysrybc. Cąg fc { ( ) } (3.) η ależących do ( R ) do w R eżel: dla dowolego U r U r { R < r} dla U r oraz N ; α D η C R K α a D azywamy cągem zbeżym see ae N że ( ) ( ) α dowole Nech { ( y) } do w R. η będze cągem fc ależących do ( R ) Nech f ( ) ( y) g będą dysrybcam z ( R ) ( f ( ) g( y) η ( y) ϕ ( y) ). η D zbeżym D am że cąg lczbowy (3.) ma gracę dla órą ozaczamy ( f ( ) g( y) ϕ ( y) ). Sploem f g azywamy fcoał ( f g ϕ ) ( f ( ) g( y) ϕ ( y) ) lm( f ( ) g( y) η ( y) ϕ ( y) ) ϕ D( R ). (3.)