Dodatek A. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O TENSORACH.

Transkrypt

1 Dodae A. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O TENSORACH. W eszym paragrafe czyel wprowadzoy zosae w podsawowe, abardze elemeare zagadea rachuu esorowego, główe po o, aby przyblżyć sosowaą oacę przypomeć eóre defce. W leraurze raowe zadue sę wele śweych pozyc, gdze przyoczoe wadomośc moża zacze pogłębć. Rozdzał e służy wyłącze dla zaprezeowaa ych podsaw, óre są ezbęde do zrozumea wyładu z Mecha Ośroda Cągłego dla sudeów perwszego rou sudów magsersch. Ne będzemy omawać zagadeń zwązaych z rzywolowym uładam współrzędych, dlaego eż zarówo zaps a apara maemayczy es bardzo prosy Rachue esorowy es podsawowym aparaem maemayczym sosowaym w różych dzedzach mecha. Umożlwa o uproszczee zapsu somplowaych operac maemayczych będących odzwercedleem geomerycze złożoego charaeru zaws fzyczych socerowae sę a aalze fzycze sroy zagadea. Oprócz ego, własośc obeów zwaych esoram pozwalaą am wyrazć prawa fzycze w sposób obeywy, ezależy od mesca obserwac (uładu odesea). Z aalzy maemaycze zae es poęce fuc, óra przeszałca ede zbór lczb w y zbór lczb wg oreśloego przepsu. Np. eśl promeow oła chcemy przypsać odpowede pole powerzch ego oła o zapszemy: S = πr, gdze r es promeem oła es o a zwaa zmea ezależa; S es powerzchą ego oła es o a zwaa zmea zależa. Przepsem a oblczee powerzch es loczy lczby π z podesoym do wadrau promeem oła. Symbolcze zależość ą zapszemy ao: S=f(r). Obe welośc: S r są salaram. W mechace posługuemy sę weloścam rochę bardze złożoym. Są o oprócz salarów, órych przyładam mogą być gęsość, emperaura, eerga, praca d., welośc weorowe esorowe. Sudec rou drugego wedzą uż, czym es weor. Wedzą, że aby zdefować pewe welośc fzycze e wysarczy podać ch warośc. Wedzą, że ależy róweż zdefować ch erue zwro. W am przypadu mamy do czyea z weoram. Przyładam weorów są sła, mome, prędość, pęd p. Grafcze weor przedsawamy za pomocą srzał, a a Rys. A.: Rys. A Weor przedsawoy grafcze. W eśce psząc o weorze przedsawać go będzemy za pomocą małe lery, psae łusym druem. W eórych podręczach a ablcy ozaczać będzemy weor za pomocą małe lery ze srzałą a górze. W oleych rozdzałach weor będzemy eż ozaczać za pomocą małe lery z desem dolym, a a a rysuu 86

2 Soro weor es bardze złożoym obeem ż salar o zapewe operace a m są bardze złożoe ż a lczbach salarych. Wadomo, że możąc dwe welośc salare przez sebe możemy zrobć o ylo w ede sposób, orzymuąc salar. Możąc zaś dwa weory przez sebe możemy dooać ego a rzy sposoby, wyouąc a zway loczy salary, loczy weorowy loczy dadyczy. Przy pomocy ażdego z ych loczyów orzymamy ą welość fzyczą. Są o oleo: salar, weor esor. Możemy węc przypuszczać, że reguły przeszałcaa zborów weorów, p. w y zbór weorów p. będą eco e być może bardze złożoe ż przeps fucyy oreśloy a zborze lczb salarych. Za mome oaże sę, że za pomocą oreśloego przepsu możemy przeszałcć weor w salar lub w y weor lub w obe bardze złożoy, esor. Trasformaca (przeszałcee) weora Zaczmy od aprosszego przeszałcea (rasformac). Przeszałćmy dowoly weor w salar. Dooamy ego wg schemau a Rys.A. Rys.A.. Rzu weora a erue oreśloy weorem. Welość () es sładową salarą weora dla eruu Przeszałcee o, o c ego a loczy salary dwóch weorów. Rozumemy e w e sposób, że dowolemu weorow przyporządowuemy za pomocą loczyu salarego sładową weora, oreśloą dla eruu oreśloego przez weor. Zapszmy o za pomocą wzoru: ( ) cos( ) () es oczywśce salarem. Przypomee o weorach 87 (A.) Przypommy podsawowe wadomośc o weorze, a le zależośc (A.). Każdy weor moża arysować w rówymarowym uładze współrzędych, a a a rysuu (A.). Z ażdą osą uładu współrzędych możemy zwązać weor edosowy (o edosowe długośc) ozaczoy e, e, lub e azway wersorem. Możemy eraz wyoać operacę (A.) dla ażde os, czyl dla ażdego wersora orzymać rzy salare sładowe weora. Sładowe ozaczymy,,oraz.

3 Rys.A.. Weor ego rzy sładowe w arezańsm uładze współrzędych Przypommy: w rówymarowym uładze współrzędych ażdy weor posada rzy salare sładowe. Sładowe e możemy zapsać w posac macerzy olumowe: lub w posac małe lery z dolym desem, p.: gdze =,,. W zapse wsaźowym weor wyrażać częso będzemy poprzez ego współrzęde, psząc ogóle p zamas p Zaps oaca, umowa sumacya W aszym wyładze ozaczać będzemy ose uładu współrzędych x, x, oraz x zamas a częso sę o czy: x, y, z. Jeśl ażdy wersor pomożymy przez odpowedą sładową weora o orzymamy weory: = e, = e,, = e, Oczywśce suma ych weorów es rówa weorow. = + + = e + e,+ e = e = e (A.) W rówau (A.) oprócz ogóle zae zasady, że suma rzech weorów prowadz do czwarego weora, przedsawoo zw. umowę sumacyą, zwaą eż sumacyą umową Esea. Naperw sumę rzech wyrazów zasąpoo rószym wyrażeem, edoczłoowym, ale zaweraącym za sumy. Za e es ewygody w użycu. W osam człoe pozbyo sę węc go. Temu uproszczeu owarzyszy eda reguła, órą ależy zapamęać. Jeśl w amś symbolu, lub loczye poaw sę wsaź dwuroe o ależy wyoać operacę sumowaa. Kla przyładów poże: a b = a b + a b + a b B = B + B + B 88

4 Zapamęa: gdy zauważysz powarzaący sę wsaź o day czło lub loczy ależy rozumeć (wdzeć) ao sumę rzech człoów. Umowe sumacye owarzyszą asępuące zasady. W amolwe człoe aalzowaego wyrażea e sam wsaź e może poawć sę węce ż dwuroe. (a o es źle!). Wsaź powarzaące sę dwuroe moża zameć a dowole, ale powarzaące sę lery (a = a = a ) Dela Kroecera δ Umówmy sę, że symbol δ (dela Kroecera) może przymować edą z dwóch warośc: 0 esl esl (A.) Powyższa zasada wya z fau, że dela Kroecera powsae, ao rezula loczyu salarego dwóch wersorów e oraz e. Jeśl o mamy do czyea z loczyem salarym dwóch prosopadłych wersorów a loczy ze względu a (A.) es rówy zero. Gdy = o możymy wersor przez ego samego rezulaem możea es edya. Dela Kroecera ma szereg własośc, z órych eóre wyorzysue sę bardzo częso. Jeśl pomożymy aąś welość, óra posada wsaź przez delę Kroecera o dela sprawdza aperw, czy wsaź w możoe welośc e są czasem ae same a przy e. Jeśl są o zamea deyczy wsaź a e drug, óry sę e powórzył sama za. B δ m =B m, a b m c δ m =a b c (A.) Pamęa, że umowa sumacya powa być zawsze wcześe zasosowaa ż e operace. Na przyład symbol δ, co mogłoby być prawdzwe ze względu a (A.) a e es ze względu a (A.) gdyż δ = δ + δ + δ = + + =. Mówąc p. o loczye salarym dwóch weorów a b zapszemy e loczy w posac a b ( a b + a b + a b ), gdyż a b a e b e a b a b a b. Trasformaca weora, esor drugego rzędu Neco wcześe dooalśmy rasformac weora w salar (), óry es sładową salarą weora dla eruu. Faycze węc o weor dooał e rasformac będąc w loczye salarym z weorem. ( Zapszmy aalogczy do (A.) ( ) ) wzór: () = T (A.) Aaloga es ylo częścowa. Po lewe sroe rówaa (A.) mamy welość salarą (), óra es sładową salarą weora dla eruu. Po lewe sroe rówaa (A.) mamy welość weorową, órą azwemy weorową sładową obeu T dla eruu. Obe 89

5 a azywamy esorem drugego rzędu. Po raz perwszy poawa sę poęce esora. Podobe a weor, esor dooał rasformac weora. Tym razem a weor, e a salar, a a o zrobł weor. Weor posada rzy sładowe,. Obe T, azway esorem drugego rzędu posada dzewęć sładowych, óre zapsać moża w posac macerzy: T T T T T T T T T Tesor drugego rzędu ozaczać będzemy dużą lerą łusym druem, lub w zapse wsaźowym lerą (eoecze uż dużą) z dwoma wsaźam; p. T, lub gdze:, =,,. Jes dzewęć możlwych ombac wsaźów oraz. W zapse wsaźowym rówae (A.) zapszemy w posac: T T, gdze =,, (A.6) T T Tesor drugego rzędu T es podobe a weor operaorem rasformac weora w y obe. Nazwemy weor róweż esorem ale rzędu perwszego. Co węce azwemy salar esorem, ale rzędu zerowego. Są róweż esory rzędu rzecego T, rzędu czwarego, C l oraz rzędów wyższych. Wszyse oe wchodzą w relace z weorem według aalogcze zasady: T T p. l l (A.7) Ilość sładowych wszysch esorów oblczamy wg e same relac. Jes ch gdze es rzędem esora. Salar ma 0 = sładową, weor = sładowe, esor drugego rzędu = 9 sładowych. Tesory są zw. operaoram lowym, óre muszą spełać odpowede wymagaa: Operaor lowy es w pewym sese uogóleem fuc lowe. Jes o przyporządowae L elemeom A, B,... edego zboru elemeów ego zboru L(A), L(B),... przy zachowau addyywośc edorodośc L(A + B) = L(A) + L(B). O le esor rzędu perwszego, czyl weor ławo es arysować a arce paperu welośc e posadaą a ogół asy zrozumały ses fzyczy, o esorów wyższego rzędu e es ławo, a częso es o e możlwe, przedsawć grafcze. Ses fzyczy sładowych esora sarać sę będzemy w ym wyładze wyaśać, dla ażdego esora oddzele. Węszość z esorów posada oreśloy ses fzyczy są oe wyorzysywae do opsu oreśloych zaws fzyczych. Muszą być zaem weloścam, óre azywamy obeywym z fzyczego puu wdzea. Ozacza o, że zawso fzycze e może zależeć od wyboru uładu współrzędych, a obserwowae przez edą osobę w edym uładze współrzędych wo być ławo rasformowae do ego uładu współrzędych. Podamy w oleym paragrafe reguły rasformac sładowych esorów z edego uładu współrzędych do drugego. Trasformace sładowych esorów do ego uładu współrzędych 90

6 Rys. A.. Obró uładu współrzędych względem puu począowego. Po obroce uład współrzędych {x } ozaczymy ao { x ' }.Zazaczoo ąy, ae worzy os x uładu obrócoego z osam uładu współrzędych przed obroem. Dooamy dowolego obrou os x, x, x prosoąego uładu współrzędych ' ' ' arezańsch. Ozaczymy e ose po obroce, ao x, x, x. Kerue ażde z owych os może być oreśloy w sosuu do os sarego uładu za pomocą cosusów eruowych x ' ' x x x x cos (A.8) Wyrażee w awase wewąrz fuc cosus ozacza ą pomędzy odpowedm osam uładu współrzędych. W ogólym przypadu oleość desów () e es dowola, a róweż mesce, w órym sę e zapsue. Dla uładów arezańsch e ma o eda węszego zaczea (poza saraoścą w ozaczau welośc). We wzorze (A.8) róweż obowązue umowa sumacya czyl x x x x ' Zbór wszysch cosusów eruowych moża zapsać w sposób uporządoway w posac macerzy x. Waro przypomeć róweż zależość z rachuu weorowego:, (A.9) m m óra zaa es, ao warue orogoalośc. Wyrażee (A8) podae am przeps a zaleźć współrzędą w uładze prmowym eśl zaa es oa w uładze perwoym. Oczywśce see zależość odwroa, órą ławo es zaleźć. Pomóżmy obe sroy rówaa (A.8) przez m x m m x. 9

7 W oparcu o (A.9) orzymamy: x m x x. (A.0) m m Wzory (A.8) A.0) są podsawowym zależoścam rasformacyym sładowych weora. Uogóleem ych zależośc są wzory rasformacye dla sładowych esorów wyższych rzędów. m, (A.) m lm l pm p, (A.) przy czym wszyse wsaź zmeać sę mogą od do. Wzory rasformacye wyrażaą podsawową cechę welośc esorowych: ch obeywzm, charaeryzuący sę ezależoścą od wyboru uładu współrzędych. Neóre własośc esorów dzałaa a ch Dodawae esorów Dodawać moża ylo esory ego samego rzędu (oczywśce, eśl posadaą ae samo zaczee fzycze) p s A. Podczas dodawaa dodae sę odpowede (edaowo ozaczoe) sładowe podobe a przy dodawau macerzy. Dodawae posada asępuące cechy: es przemee p p, es łącze p s p s, dla ażdego see y esor - a, że: 0, gdze 0 es esorem zerowym o wszysch sładowych rówych zero. Możee esora przez salar Możee esora przez salar charaeryzue sę asępuącym własoścam: c c, a b ab, a b a b a, s a as. 9

8 Iloczy zewęrzy dwóch esorów a b c, m a b c. m Rząd powsałego esora es rówy sume rzędów może moża. Ta loczy azywamy dadyczym Iloczy wewęrzy dwóch esorów, oraca Gdy możąc dwa esory ch wsaź sę powarzaą orzymamy zw. loczy wewęrzy: p s (oraca), m m a rząd powsałego esora es meszy ż suma rzędów może moża o weloroośc dwóch powarzaących sę desów. W powyższym przypadu rząd powsałego esora es rówy + - =. W szczególym przypadu, gdy: u s (loczy salary dwóch esorów), orzymamy welość salarą. Gdy esor drugego rzędu pomożymy przez esor edosowy: zdefowaą wcześe delę Kroecera o orzymamy zw. ślad esora (ag.: race) r T. Iloczy salary dwóch esorów posada asępuące własośc:, s u s u, u a u au. s a s Iloczy wewęrzy dwóch esorów drugego rzędu a ogół e es przemey, czyl: s s. Jedym z wyąów es loczy wewęrzy z esorem edosowym, czyl. Poże podao wydru ze sro Mahcada gdze wyoao dla przypomea la operac dodawaa możea macerzy 9

9 Dodawae Macerzy A 8 C A T 8 Dodaemy macerze ego samego rzedu Poszczególe elemey zaduace se w ym samym mescu dodaemy do sebe A C 8 6 A C A C A C Mozee macerzy wadraowych, óre reprezeua esory drugego rzedu oraz macerzy olumowe wadraowe. Jes o loczy weora esora drugego rzedu Poze poazao zw loczy wewerzy macerzy: D =A B B B T ( ) E E T ( 6 ) 6 AB A T B 8 B A Przesawee B A e es mozlwe. Mozlwy es aomas loczy B T A. Jes a gdyz lczba olum mus byc rówa lczbe werszy. Gdy es loczy AB o mamy Trzy olumy A rzy wersze B. Iloczy BA e es mozlwy gdyz mamy eda olume macerzy B rzy wersze macerzy A. Iloczy B T A (poze) es mozlwy gdyz mamy rzy olumy macerzy B T rzy wersze macerzy A 9

10 B T A ( ) Gdy mozymy macerze o e same lczbe olum werszy o waza es oleosc apsaa moze moza. Zmaa oleosc powodue zmae wyu. Parz loczy macerzy A C. Zmaa oleosc, bez zmay wyu mozlwa es w przypadu macerzy symeryczych. Parz loczy macerzy D F lub A C =D AC CA CA T gdy macerze sa symerycze o zamaa oleosc moze moza e ma zaczea D F DF FD loczy zewerzy a przyladze loczyów macerzy o edym werszu z macerza o ede olume BE T EB T ( 6 ) Poze e loczyy macerzy B E oraz ch macerzy raspoowaych: BE EB B T E E T B loczyy wewerze ( 6 ) ( )

11 Asaor dewaor Każdy esor drugego rzędu możemy rozłożyć a sumę dwóch esorów: asaora dewaora wg asępuącego schemau esort asaor dewaor, , (A.) gd ze / / rt. Symera aysymera esora Tesor es symeryczy względem pary wsaźów, eśl: lub s s (A.) Tesor es aysymeryczy względem pary wsaźów, eśl: (A.6) Iloczy dwóch esorów, z órych ede es symeryczy, a drug es aysymeryczy es zawsze rówy zero. Symbol permuacyy Przyładem esora aysymeryczego es symbol permuacyy zway eż esorem Lev - Cva. Defuemy go w asępuący sposób: 0gdy,, eúl orzymues z seweca (A.7) drodze parzyseloúc przesawe (permuac) eúl orzymues z seweca drodze eparzyseloúc przesawe Przyład: gdyż wysąpła eda permuaca wsaźów, gdyż wysąpły dwe permuace wsaźów. 0. Ławo es zapamęać powyższą zasadę, eśl zapamęa sę poższy schema 96

12 Rys. A.. Schema dla szybego usalea zau przy edyce dla dowole oleośc wsaźów,, symbolu permuacyego. Iloczyy dwóch symbol permuacyych posadaą ceawe własośc: m m m m m p 6,, mp p m. (A.8) Zazwycza symbolu permuacyego używa sę przy zapse wsaźowym loczyu weorowego. -ą sładową weora powsałego w wyu loczyu weorowego dwóch ych weorów zapsuemy w asępuący sposób: f r f r. (A.9) Dla przyładu f r f defc symbolu Lev-Cva orzymamy, że r f r f r r po wyoau sumowaa po po oraz sorzysau z f. Własośc (A.9) oraz dely Kroecera mogą być wyorzysae do poprawea begłośc przy sosowau zapsu wsaźowego eśl zasosuemy e do wyazaa lu ożsamośc. Przyład Wyazać, że a bc a cb b ca. Rozwązae: Zapszemy lewą sroę ożsamośc w posac wsaźowe a b a b a b a bc a b c m a czyl a c b b c a a cb b c a. m m m a b c m m m a b c b c a b c m m m a b c a b c W pozosałych przyładach propouemy wyazać samodzele podae ożsamośc. 97

13 Przyład b c c a b bc a a. Przyład a bc d a cb d a db c. Keru główe warośc główe (włase) esora drugego rzędu Zgode z operacyą defcą esora rzędu drugego przyporządowue o dowolemu weorow eruowemu weor () (sładową weorową esora). W aogóleszym przypadu weory () oraz e są współlowe. Jeśl byłyby o musałaby zaseć asępuąca rówoważość (A.0) gdze es weloścą salarą. Wemy z defc (A.6) zapsae wsaźowo, że a węc dla przypadu oreśloego przez (A.0): 0. Przeszałcaąc orzymamy 0, =,, (A.) Jes o uład rzech rówań dla oreślea eruu (rzech sładowych ). Uład rówań es spełoy, eśl wyzacz macerzy ze współczyów soących przy es rówy zero czyl: 0. Rozwązuąc macerz orzymamy rówae: I II III 0, (A.) azywae rówaem charaerysyczym lub weowym. Welośc I, II, III są salarym ezmeam, gdyż e zależą od wyboru uładu współrzędych. Są oe rówe: 98

14 I II / III det / rt, / I, 6. pqr p q r (A.) Gdy esor es esorem symeryczym rzy perwas rówaa (A.) są zawsze lczbam rzeczywsym (,, ) azywae są waroścam własym lub główym esora T. Podsawaąc do uładu rówań (A.) olee warośc orzymamy sładowe weorów oreślaących eru główe. Keru e są względem sebe orogoale. Ze względu a wzór A.0, warośc główe esora są wyłącze sładowym ormalym (o ych samych wsaźach) e owarzyszą m sładowe sycze (o różych wsaźach). Gdy oreślmy uż rzy warośc:,, o podsawamy e oleo do rówań (A.) orzymuąc za ażdym razem rzy rówaa z rzema ewadomym,,. Są o rówaa algebracze, óre ależy rozwązać (dla ażdego rzy cosusy eruowe wyzaczaące płaszczyzę, a óre zalezoa warość sładowe główe (ormale) esora dzała). Przy rozwązywau ych rówań ależy pamęać, że zawsze wa być spełoa zależość pomędzy cosusam eruowym w posac:. Grade, dywergeca, roaca, laplasa We wcześeszych paragrafach eszego dodau psząc o esorze, weorze czy salarze melśmy a myśl welość fzyczą oreśloą w puce przesrze w dae chwl czasu. Wewąrz badaego cała welośc esorowe dowolego rzędu mogą zmeać sę w czase oraz od puu do puu. Mamy zaem do czyea z polem esorowym (weorowym). Badae zma fuc weorowe (esorowe) prowadz w sposób auraly do badaa pochodych względem współrzędych przesrzeych. Tym zagadeom pośwęcoy zosae eszy paragraf, przy czym ego celem es ylo przypomee aważeszych zależośc wraz z erpreacą fzyczą. Grade Załóżmy, że zaa es fuca salara (x ) w ażdym puce aalzowaego cała (p. emperaura). Oreślmy zmay e fuc wewąrz pola salarego przy pomocy różcz fuc(x ) d x x dx dx dx x x (A.) Różczę ę moża formale zapsać eco acze d x x x x e e e dx e dx e dx e (A.) gdze drug awas przedsawa fezymaly promeń wodzący dr o współrzędych dx, dx, dx zaczepoy w puce P(x ). Wyrażee (A.) przedsawmy obece w posac: 99

15 grad dr dr d (A.6) x gdze symbol (abla) lub słowo grad (od grade) ozacza: e e e x x x e x (A.7) es operaorem różczowym o formalym charaerze weora, óry sam bez fuc (x ) e posada sesu fzyczego. Ses fzyczy uzysue dopero wówczas, gdy dzała a fucę (x ). Ja es węc ses fzyczy gradeu (ozaczaego częso, ). Wróćmy do wyrażea (A.6) załóżmy, że pu P(x ) es ulooway a powerzch ewsalare, eśl węc dr es seroway wzdłuż e powerzch o d dr 0, zgode z własoścam loczyu salarego. Ta węc grad ozacza esywość zma pola salarego, óra es oczywśce awęsza dla eruu prosopadłego do powerzch ewsalare. Dywergeca Trauąc operaor abla w sposób formaly ao weor, ego dzałaa a polu weorowym mogą być welorae. Dzałaąc a weor może o worzyć z m loczy salary, weorowy dadyczy. Tworząc loczy salary z weorem (p. v (x )) w daym puce pola weorowego orzymamy operacę dywergec, órą formale zapszemy w posac: v x dvv v, v x v v x x v x (A.8) Wdzmy, że operaca dywergec obża rząd obeu, a óry dzała. Weor sae sę salarem. Tesor rzędu drugego sae sę weorem (p.:, ). Spoyamy sę węc z syuacą odwroą do e aa wysępowała przy operac gradeu. Operaca gradeu podwyższa esorowy rząd dae welośc. Grade a polu salarym oreśla pole weorowe. Dywergeca wydobywa z pola formacę, czy es oo źródłowe, czy eż e. Gdy es węsza od zera oreśla am lość worzoe welośc fzycze. Gdy dla przyładu polem weorowym es pole prędośc przepływaące ceczy dywergeca formue as le ceczy powsae w edosce czasu edosce obęośc. Roaca Dzałaąc a pole weorowe operaorem abla w e sposób, że worzy o loczy weorowy z weorem oreśloym w ym polu (p.: v (x)), orzymamy operacę roac, órą zapsuemy w posac x v ro v v (A.9) 00

16 Ses fzyczy operac roac wya z zależośc pomędzy prędoścą lową v ąową rov. Jeśl = 0 o orzymuemy a zwae pole bezwrowe. Laplasa Operaor laplasau wysępue w welu soych rówaach fzy. Jego warość w daym puce es marą różcy średe warośc fuc pola w fezymalym ooczeu ego puu warośc fuc w ym puce. Zapsuemy go w posac: laplasa x x x x dvgrad, (A.0) dla fuc salare lub, vx dv v v v Użyecze zwąz ożsamośc: laplasa grad dla fuc weorowe. v m,,,, v v v,, v w v w v w 0, v 0, v v v, v v v., 0