ŁAŃCUCHY W PRZESTRZENIACH TOPOLOGICZNYCH I KRATACH
|
|
- Wiktoria Przybylska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Uniwersytet Śląski w Katowicach Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii ŁAŃCUCHY W PRZESTRZENIACH TOPOLOGICZNYCH I KRATACH Wojciech Bielas Praca doktorska napisana pod kierunkiem prof. dr. hab. Aleksandra Błaszczyka Katowice 2014
2 Spis treści I Przestrzenie metryczne 6 1 Amalgamacja przestrzeni metrycznych 12 2 Rozszerzenie izometryczne 19 3 Charakter dyskretny punktu 22 4 Operacja dołączania podprzestrzeni dziedzicznie bez punktów środkowych 25 5 Łańcuchowe własności operacji F, S i A 26 II Kraty 37 6 Przestrzenie Wallmana 41 7 Reprezentacje homomorfizmów 47 8 Zastosowania 53 Literatura 59
3 Wstęp Celem niniejszej rozprawy jest przedstawienie konstrukcji sztywnej i κ-superuniwersalnej przestrzeni metrycznej oraz zbadanie podstawowych własności funktora Wallmana wraz z ich zastosowaniami. Pierwsze konstrukcje przestrzeni metrycznych uniwersalnych spotykamy już u Frécheta, zobacz Hechler [8]. Przez uniwersalność przestrzeni metrycznej dla danej klasy C rozumiemy to, że przestrzeń ta zawiera izometryczne kopie wszystkich elementów klasy C. Następne przykłady takich przestrzeni podali m.in. P. Urysohn [13], W. Sierpiński [12], S. Banach i S. Mazur [3]. Przykład Urysohna ma dodatkową własność ω-jednorodności, w odróżnieniu od przykładu Banacha i Mazura. ω-jednorodność danej przestrzeni X w połączeniu z uniwersalnością dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych pozwala uzyskać ω-superuniwersalność, tzn. każde zanurzenie izometryczne podzbioru skończonego przestrzeni metrycznej przeliczalnej Y w przestrzeń X można przedłużyć do zanurzenia całej przestrzeni Y. Wspomniane wyżej pojęcia można uogólnić na nieskończone liczby kardynalne. Charakteryzacja i istnienie odpowiednich dla tych pojęć przestrzeni metrycznych zostały zbadane w pracach Stephena H. Hechlera [8] oraz Miroslava Katětova [9]. Każda κ-superuniwersalna przestrzeń mocy κ jest także κ-jednorodna. Motywacją dla pierwszej części pracy było przypuszczenie Wiesława Kubisia dotyczące istnienia przestrzeni κ-superuniwersalnych, które nie są κ-jednorodne. Przypuszczenie to udało się potwierdzić w znacznie mocniejszej wersji: podaję konstrukcję przestrzeni κ-superuniwersalnej, która ma dokładnie jedną izometrię. W drugiej części pracy omówiona jest konstrukcja przestrzeni Wallmana kraty. Konstrukcja ta prowadzi do funktora W z kategorii wszystkich krat normalnych w kategorię przestrzeni zwartych Hausdorffa. Jakkolwiek niektóre wyniki tej części są znane, to uzupełniam je przykładami obrazującymi różnice pomiędzy funktorem Wallmana, a jego zacieśnieniem do kategorii krat Boole a. W rozdziale pierwszym wprowadzone jest pojęcie grafu rodziny przestrzeni metrycznych. Pokazuję, że jeśli wszystkie cykle indukowane takiego grafu spełniają odpowiedni warunek, to dana rodzina przestrzeni metrycznych ma amalgamację (twierdzenie 1.5). Metoda amalgamacji przedstawiona w tym rozdziale zostanie wykorzystana do konstrukcji trzech różnych rozszerzeń przestrzeni metrycznej. 3
4 Rozdział drugi składa się z opisu własności rozszerzenia izometrycznego, które jest głównym narzędziem w uzyskiwaniu κ-superuniwersalności. W rozdziale trzecim definiuję charakter dyskretny geometryczną własność punktów przestrzeni metrycznej będącą jednocześnie niezmiennikiem izometrii. Własność ta posłuży później do udowodnienia sztywności konstruowanego przykładu. Wprowadzam również punkty środkowe, słabe punkty środkowe oraz dowodzę pewnej własności redukcji tych ostatnich w rozszerzeniu izometrycznym (lemat 3.3). W rozdziale czwartym opisana jest metoda kontrolowania charakteru dyskretnego punktów poprzez dołączanie podprzestrzeni dyskretnych oraz punktów środkowych. Odpowiadają temu dwie konstrukcje rozszerzeń przestrzeni metrycznej otrzymane przy pomocy amalgamacji opisanej w rozdziale pierwszym. W rozdziale piątym podaję konstrukcję przykładu sztywnej przestrzeni κ-uniwersalnej, przedtem dowodzę wielu twierdzeń i lematów opisujących łańcuchowe własności rozszerzeń zdefiniowanych w poprzednich rozdziałach. W rozdziale szóstym przypominam konstrukcję przestrzeni Wallmana kraty. Sygnalizuję też różnice pomiędzy opisem przestrzeni zwartej Hausdorffa przy pomocy kraty zbiorów domkniętych, a algebrą zbiorów domkniętootwartych. Rozdział siódmy poświęcony jest reprezentacjom homomorfizmów krat. Dowodzę, że każdemu homomorfizmowi odpowiada funkcja ciągła w sposób funktorialny i podobny do przypadku algebr Boole a i ich przestrzeni Stone a. Dla pełności przytaczamy dowód funktorialności przestrzeni Wallmana, zobacz W. Kubiś [11]. Analogia nie jest jednak pełna, co pokazuję przy pomocy odpowiednich przykładów. Rozdział ósmy zawiera zastosowania funktora Wallmana. Rozdział ten rozpoczyna się konstrukcją uzwarcenia Čecha Stona a βx przestrzeni całkowicie regularnej X przy pomocy kraty zero-zbiorów, zobacz również Gillman [7], a dokładniej pokazane jest w jaki sposób przedłużenie funkcji ciągłej f : X Z na βx można otrzymać wykorzystując funktorialną reprezentację homomorfizmu wyznaczonego przez funkcję f (twierdzenie 8.1). Następnie przytaczam dowód twierdzenia Frinka, charakteryzującego przestrzenie całkowicie regularne, w wersji dla rodziny dyzjunktywnej i normalnej, będącej ponadto kratą. Przechodząc do twierdzenia Gelfanda Kołmogorowa pokazuję, że poszukiwany homeomorfizm przestrzeni zwartych Hausdorffa, których pierścienie funkcji ciągłych są izomorficzne, można otrzymać jako funktorialną reprezentację izomorfizmu krat zero-zbiorów indukowanego przez izomorfizm pierścieni (twierdzenie 8.6). Rozdział ten kończy wprowadzenie funktora ( ) 0 z kategorii przestrzeni zwartych Hausdorffa w kategorię prze- 4
5 strzeni zwartych zerowymiarowych. Wiadomo, że każda przestrzeń zwarta Hausdorffa jest ciągłym obrazem przestrzeni zwartej zerowymiarowej. Pokazuję (wniosek 8.10), że dla każdej przestrzeni zwartej Hausdorffa surjekcję p X : X 0 X można wybrać w taki sposób, że (p X ) X : ( ) 0 1 CHaus jest transformacją naturalną funktora ( ) 0 oraz funktora identycznościowego kategorii CHaus wszystkich przestrzeni zwartych Hausdorffa. Dziękuję swojemu promotorowi Profesorowi Aleksandrowi Błaszczykowi oraz uczestnikom Seminarium z topologii i teorii mnogości Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach za możliwość przedstawienia wyników tej rozprawy, a także za wszystkie komentarze i uwagi, które okazały się dla mnie dużą pomocą. Dziękuję również dr. hab. Wiesławowi Kubisiowi za cenne rozmowy i sugestie. 5
6 Cz eść I Przestrzenie metryczne W tej części pracy interesować nas będą związki uniwersalności przestrzeni metrycznych z ich jednorodnością. Posłużymy się następującą definicją uniwersalności: powiemy, że przestrzeń metryczna X jest uniwersalna dla klasy C przestrzeni metrycznych, gdy każda przestrzeń Y C ma zanurzenie izometryczne w X. Stosunkowo łatwo można otrzymać przestrzeń metryczną uniwersalną dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych. Aby uzasadnić ten fakt, udowodnimy lemat o przedłużaniu zanurzeń izometrycznych. Uzupełnienie przestrzeni metrycznej X będziemy oznaczać symbolem X. Lemat. Załóżmy, że X oraz Y są przestrzeniami metrycznymi. Niech D będzie podzbiorem gęstym przestrzeni X. Jeśli f : D Y jest zanurzeniem izometrycznym, to istnieje dokładnie jedno takie zanurzenie izometryczne f : X Y, że f D = f. Dowód. Ustalmy przestrzenie metryczne (X, d) oraz (Y, σ). Niech σ oznacza metrykę uzupełnienia Y. Ustalmy punkt x X oraz ciąg (x n ) n<ω ω D zbieżny do punktu x. Ciąg (x n ) n<ω spełnia warunek Cauchy ego, a ponieważ funkcja f jest zanurzeniem izometrycznym, więc (f(x n )) n<ω jest ciągiem w przestrzeni zupełnej Y spełniającym warunek Cauchy ego, a więc jest to ciąg zbieżny. Jeśli (y n ) n<ω ω D również jest ciągiem zbieżnym do punktu x X, to lim n d(x n, y n ) = 0, zatem lim σ(f(x n), f(y n )) = 0. n To pokazuje, że niezależnie od wyboru ciągu (x n ) n<ω ω X zbieżnego do punktu x X ciąg (f(x n )) n<ω jest zbieżny zawsze do tego samego punktu, który oznaczę symbolem f(x). W ten sposób określona jest funkcja f : X Y. Funkcja f jest zanurzeniem izometrycznym, ponieważ jeśli x, y X, (x n ) n<ω, (y n ) n<ω ω D, x = lim n x n oraz y = lim n y n, to σ(f(x), f(y)) = σ( lim n f(x n), lim n f(y n)) = lim n σ(f(x n), f(y n )) = lim d(x n, y n ) = d( lim x n, lim y n) = d(x, y). n n n Jeśli x D, to ciąg stały o wyrazie x jest ciągiem elementów podzbioru D zbieżnym do punktu x, zatem f(x) = f(x). 6
7 Korzystając z powyższego lematu możemy udowodnić zapowiedziany fakt o istnieniu przestrzeni metrycznej uniwersalnej dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych. Twierdzenie (Fréchet, 1910). Istnieje przestrzeń metryczna mocy c uniwersalna dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych. Dowód. Zauważmy, że zbiór ω można wyposażyć w metrykę na co najwyżej c sposobów. Istotnie, każda taka metryka jest funkcją z ω ω w R, a takich funkcji jest ω ω R = c ω = c. Zatem istnieje taka rodzina metryk {d α : α < c}, że dla każdego α < c metryka d α jest określona na zbiorze ω {α} oraz jeśli Y jest przestrzenią metryczną przeliczalną i nieskończoną, to istnieje takie α < c, że przestrzeń Y jest izometryczna z ω {α}. Utożsamiając ze sobą wszystkie punkty podzbioru {0} c ω c otrzymujemy metrykę d określoną na zbiorze X = ((ω\{0}) c) {0}, gdzie dla m, n > 0 przyjmujemy d((n, α), (m, β)) = { dα ((n, α), (m, α)), gdy α = β, d α ((n, α), (0, α)) + d β ((m, β), (0, β)), gdy α β oraz d(0, (n, α)) = d α ((0, α), (n, α)) dla n > 0. Zauważmy, że funkcja d jest określona podobnie do metryki jeża z c kolcami; zobacz Engelking [4], str Dla każdego α < c funkcja f α : ω {α} X, dana wzorem { (n, α), gdy n > 0, f α (n, α) = 0, gdy n = 0, jest zanurzeniem izometrycznym. Ustalmy nieskończoną przestrzeń metryczną ośrodkową Y. Niech D będzie podzbiorem gęstym i przeliczalnym przestrzeni Y. Istnieje α < c oraz izometria f : D ω {α}. Zatem złożenie f α f jest zanurzeniem izometrycznym podzbioru D w X. Z poprzedniego lematu wynika, że funkcja f : Y X również jest zanurzeniem izometrycznym. Przestrzeń opisana w dowodzie powyższego twierdzenia nie jest ośrodkowa. Istotnie, {1} c jest podzbiorem dyskretnym przestrzeni X. Ośrodkowym przykładem przestrzeni uniwersalnej dla rozważanej klasy jest przestrzeń C([0, 1]) wszystkich funkcji ciągłych o wartościach w R i określonych na przedziale [0, 1]; dowód tego faktu podali Banach i Mazur [3]. Inny przykład ośrodkowej przestrzeni metrycznej uniwersalnej dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych podał Urysohn [13]. Przykład Urysohna jest przestrzenią polską U, mającą ponadto własność ω-jednorodności, 7
8 tzn. każda izometria pomiędzy skończonymi podzbiorami U ma przedłużenie do izometrii całej przestrzeni. Sierpiński [12] zauważył, że własność ω-jednorodności odróżnia przykład Urysohna od przestrzeni C([0, 1]): jeśli f C([0, 1]) jest funkcją stale równą 1, a g C([0, 1]) jest funkcją stale równą 0, to zbiór Z 1 = {h C([0, 1]) : d(f, h) = d(g, h) = 1 2 }, gdzie d(f, h) = sup{ f(x) h(x) : x [0, 1]}, ma dokładnie jeden element, funkcję stale równą 1 2. Z drugiej strony, zbiór Z 2 = {h C([0, 1]) : d(f, h) = d(id [0,1], h) = 1 2 }, gdzie id [0,1] : [0, 1] R jest identycznością, ma nieskończenie wiele elementów. Podzbiory {f, g} oraz {f, id [0,1] } są izometryczne, gdyby więc istniała taka izometria ϕ przestrzeni C([0, 1]), że ϕ(f) = f oraz ϕ(g) = id [0,1], to wówczas ϕ[z 1 ] = Z 2, co nie jest możliwe. Zatem przestrzeń C([0, 1]) nie jest ω-jednorodna. Definicja. Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest skończenie injektywna, gdy dla każdej przestrzeni metrycznej skończonej Y oraz zanurzenia izometrycznego f 0 : Y 0 X, gdzie Y 0 Y, istnieje takie zanurzenie f : Y X, że f Y 0 = f 0. Urysohn pokazał, że, w przypadku przestrzeni polskich, uniwersalność oraz ω-jednorodność są równoważne skończonej injektywności. Twierdzenie (Urysohn, [13]). Jeśli X jest przestrzenią polską, to następujące warunki są równoważne: (i) przestrzeń X jest ω-jednorodna oraz uniwersalna dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych, (ii) przestrzeń X jest skończenie injektywna. Dowód. Załóżmy, że (X, d) jest przestrzenią polską spełniającą warunek (i). Ustalmy przestrzeń metryczną skończoną Y, podzbiór Y 0 Y oraz zanurzenie izometryczne f 0 : Y 0 X. Rozpatrzmy przypadek, gdy Y = Y 0 {y} dla pewnego y Y. Skoro przestrzeń X jest uniwersalna dla klasy wszystkich ośrodkowych przestrzeni metrycznych, to istnieje podzbiór Z X oraz izometria g : Y Z. Funkcja g Y 0 jest izometrią przestrzeni Y 0 na zbiór g[y 0 ], a więc funkcja f 0 (g Y 0 ) 1 : g[y 0 ] f 0 [Y 0 ] 8
9 jest izometrią skończonych podzbiorów przestrzeni X. Z ω-jednorodności przestrzeni X wynika, że istnieje taka izometria f : X X, że f g[y 0 ] = f 0 (g Y 0 ) 1. Zatem funkcja f g : Y X jest zanurzeniem izometrycznym. Ustalmy t Y 0. Wtedy g(t) g[y 0 ], a stąd f(g(t)) = (f 0 (g Y 0 ) 1 )(g(t)) = f 0 (t). Tym samym zanurzenie izometryczne f g jest przedłużeniem zanurzenia f 0. Rozpatrzmy przypadek, gdy Y = Y 0 {y 1,..., y n } dla pewnego n < ω oraz y 1,..., y n Y. Załóżmy, że dane jest zanurzenie f i : Y 0 {y j : j < i} X będące przedłużeniem zanurzenia f 0 dla pewnego i < n. Z rozumowania w poprzednim przypadku wynika, że istnieje zanurzenie f i+1 : Y 0 {y j : j < i + 1} X będące przedłużeniem zanurzenia f i. Z założenia indukcyjnego wynika, że funkcja f i+1 jest przedłużeniem zanurzenia f 0. Kontynuując indukcyjną konstrukcję otrzymujemy zanurzenie f n : Y X będące przedłużeniem zanurzenia f 0. Dla dowodu przeciwnej implikacji załóżmy, że przestrzeń X jest skończenie injektywna. Ustalmy podzbiory skończone A, B X oraz izometrię f 0 : A B. Ze skończonej injektywności przestrzeni X wynika, że przestrzeń X nie zawiera punktów izolowanych. Zatem istnieje podzbiór gęsty {x n : n < ω} X rozłączny z A oraz B. Załóżmy, że indukcyjnie skonstruowaliśmy zbiór {y k : k < n} X oraz takie zanurzenie izometryczne f n : A {x k : k < n} {y k : k < n} X, że f n (A {x i : i < k} {y i : i < k}) = f k oraz f n (y k ) = x k dla każdego k < n. Korzystając ze skończonej injektywności dla zanurzenia f n oraz punktu x n otrzymujemy zanurzenie g : A {x k : k < n + 1} {y k : k < n} X będące przedłużeniem zanurzenia f n. Jeśli istnieje takie x dom g, że g(x) = x n, to przyjmujemy f n+1 = g oraz y n = x. W przeciwnym razie x n / rng g i korzystając ze skończonej injektywności dla zanurzenia g 1 : 9
10 rng g X oraz punktu x n otrzymujemy zanurzenie h : rng g {x n } X będące przedłużeniem zanurzenia g. Przyjmujemy y n = h(x n ) oraz f n+1 = h 1 : A {x k : k < n + 1} {y k : k < n + 1} X. Jeśli y A {x k : k < n} {y k : k < n}, to f n+1 (y) = h 1 (y) = g(y) = f n (y), zatem f n+1 jest przedłużeniem zanurzenia f n. W ten sposób indukcyjnie skonstruowane zostały podzbiory {x n : n < ω}, {y n : n < ω} oraz ciąg zanurzeń {f n : n < ω} spełniający dla każdego n < ω warunki: (a) dom f n = A {x k : k < n} {y k : k < n}, (b) B {x k : k < n} rng f n, (c) f n jest przedłużeniem f k dla każdego k < n. Niech f : A {x n : n < ω} {y n : n < ω} X będzie dane wzorem { fn (x), gdy x {x f(x) = n, y n } dla pewnego n < ω, f 0 (x), gdy x A. Z warunku (c) wynika, że funkcja f jest poprawnie określona. Ustalmy x, y dom f. Wtedy istnieje takie n < ω, że x, y dom f n. Zatem d(f(x), f(y)) = d(f n (x), f n (y)) = d(x, y), ponieważ funkcja f n jest zanurzeniem. Skoro zbiór dom f jest gęsty w X, to z lematu o przedłużaniu zanurzenia wynika, że istnieje takie zanurzenie f : X X, że f dom f = f. Przestrzeń X jest zupełna, możemy więc przyjąć, że X = X. Dla każdego n < ω mamy inkluzję {x k : k < n} rng f n rng f rng f, zatem rng f jest podzbiorem gęstym w X, a jako izometryczny obraz przestrzeni zupełnej jest także podprzestrzenią zupełną. Stąd rng f = X, co kończy dowód ω-jednorodności przestrzeni X. Ustalmy przestrzeń metryczną ośrodkową (Y, σ). Niech {z n : n < ω} będzie podzbiorem przeliczalnym i gęstym przestrzeni Y. Punkt t 0 X wybieramy dowolnie i zakładamy, że skonstruowaliśmy podzbiór {t k : k < n} oraz rosnący ciąg zanurzeń f 0,..., f n 1 spełniający dla każdego k < n warunki: (d) dom f k = {z i : i < k}, 10
11 (e) f k (z i ) = t i dla każdego i < k. Ze skończonej injektywności przestrzeni X wynika, że istnieje takie zanurzenie f n : {z k : k < n} X oraz punkt t n X, że f n {z k : k < n 1} = f n 1 oraz f n (z n ) = t n. Definiujemy analogicznie zanurzenie f : {z n : n < ω} X i na mocy lematu o przedłużaniu zanurzenia otrzymujemy zanurzenie f : Y X, co kończy dowód uniwersalności przestrzeni X dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych ośrodkowych. Przedstawione powyżej pojęcia mają naturalne uogólnienia dla liczb kardynalnych nieskończonych. Definicja (Hechler [8]). Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest κ-superuniwersalna, gdy dla każdej przestrzeni metrycznej Y mocy mniejszej niż κ, każde zanurzenie izometryczne f 0 : Y 0 X, gdzie Y 0 Y, ma przedłużenie do zanurzenia izometrycznego f : Y X. Zatem własność ω-superuniwersalności jest własnością skończonej injektywności. Jeden z pierwszych przykładów przestrzeni κ-superuniwersalnych dla κ > ω został podany przez Hechlera. Twierdzenie (Hechler, 1973, [8]). Dla każdej liczby kardynalnej regularnej κ > ω istnieje przestrzeń κ-superuniwersalna mocy λ<κ 2λ. Twierdzenie (Hechler, 1973, [8]). Załóżmy, że κ > ω jest liczbą kardynalną regularną lub µ<κ 2µ = 2 λ dla pewnego λ < κ. Wtedy: (i) każda przestrzeń κ-superuniwersalna jest mocy co najmniej µ<κ 2µ, (ii) istnieje przestrzeń κ-superuniwersalna mocy κ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba kardynalna µ, że κ = µ + = 2 µ lub κ jest słabo nieosiągalne oraz 2 µ κ dla każdego µ < κ, (iii) wszystkie przestrzenie κ-superuniwersalne mocy κ są izometryczne. Używając argumentu back-and-forth można pokazać, że każda przestrzeń κ-superuniwersalna mocy κ jest także κ-jednorodna w sensie następującej definicji. Definicja. Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest κ-jednorodna, gdy każda izometria zbioru A na B, gdzie A, B X są mocy mniejszej niż κ, ma przedłużenie do izometrii całej przestrzeni X. 11
12 Katětov [9] udowodnił, że jeśli κ <κ = κ > ω, to z dokładnością do izometrii istnieje dokładnie jedna przestrzeń metryczna κ-jednorodna, wagi κ, uniwersalna dla klasy wszystkich przestrzeni metrycznych wagi κ. Każda taka przestrzeń jest κ-superuniwersalna, gdyż wystarczy zastosować konstrukcję analogiczną do konstrukcji użytej w dowodzie twierdzenia Urysohna. Wiesław Kubiś, w rozmowie z autorem pracy, zasugerował istnienie przestrzeni κ-superuniwersalnych, które nie są κ-jednorodne. Pokażę, że istnieją przestrzenie κ-superuniwersalne sztywne, tzn. takie, że ich jedynymi izometriami są przekształcenia tożsamościowe. 1 Amalgamacja przestrzeni metrycznych Tę część pracy rozpoczniemy od przypomnienia pojęcia pseudometryki. Mówimy, że funkcja ρ : X X R jest pseudometryką na zbiorze X, gdy dla każdego x, y, z X zachodzą warunki: (i) ρ(x, x) = 0, (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), (iii) ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z). Poniższy lemat jest jak się zdaje dobrze znany więc pozostawię go bez dowodu. Lemat 1.1. Jeśli ρ jest pseudometryką na zbiorze X, to (i) relacja dana wzorem jest równoważnością w zbiorze X, x y ρ(x, y) = 0 (ii) funkcja d : (X/ρ) (X/ρ) R dana wzorem d([x], [y]) = ρ(x, y) dla x, y X jest metryką w zbiorze X/ρ = {[x] : x X}, gdzie [x] jest klasą abstrakcji elementu x względem relacji. Definicja 1.2. Amalgamacją pary f : X Y oraz g : X Z zanurzeń przestrzeni metrycznych nazywamy każdą przestrzeń metryczną T wraz z zanurzeniami f : Z T oraz g : Y T spełniającymi warunek f f = g g, tzn. przemienny jest diagram 12
13 Y f T f g X g Z Ustalmy liczbę kardynalną κ ω. Załóżmy, że dla każdego α < κ funkcja f α : {0} [0, 1] {α} jest dana wzorem f α (0) = (0, α). Niech J(κ) = [0, 1] κ/ będzie jeżem z κ kolcami, gdzie (x, α) (y, β) (x = y oraz α = β) lub x = y = 0. Wtedy przestrzeń J(κ) możemy uważać za pewnego rodzaju amalgamację rodziny odcinków {[0, 1] {α} : α < κ}: dla każdego α < β < κ przemienny jest diagram [0, 1] {α} g α J(κ) f α g β {0} f β [0, 1] {β} gdzie g α : [0, 1] {α} J(κ) jest dane wzorem g α (x, α) = [(x, α)] oraz [(x, α)] oznacza klasę abstrakcji punktu (x, α) względem relacji. Innym przykładem pary zanurzeń przestrzeni metrycznych, która ma amalgamację, jest taka para przestrzeni metrycznych (X, d) oraz (Y, σ), że d X Y = σ X Y oraz X Y, gdzie symbol d A oznacza zacieśnienie metryki d do podzbioru A X. Wtedy przedłużenie ρ : (X Y ) (X Y ) R metryk d i σ, dane wzorem (1) ρ(x, y) = inf{d(x, z) + σ(z, y) : z X Y } dla każdego (x, y) X Y, jest pseudometryką na zbiorze X Y. Z lematu 1.1 otrzymujemy przestrzeń metryczną (X Y )/ρ. W tej sytuacji przemienny jest diagram X g Y (X Y )/ρ g X X Y Y 13
14 gdzie funkcje g X : X (X Y )/ρ oraz g Y : Y (X Y )/ρ dane są wzorami g X (x) = [x] oraz g Y (x) = [x]. Zauważmy, że warunek d X Y = σ X Y jest konieczny dla istnienia pseudometryki na zbiorze X Y przedłużającej metryki d oraz σ. Istotnie, jeśli ρ jest pseudometryką na zbiorze X Y przedłużającą metryki d oraz σ, to d(x, y) = ρ(x, y) = σ(x, y) dla każdego x, y X Y. Funkcja ρ na ogół nie jest metryką, gdyż podzbiór X Y może zawierać ciąg zbieżny zarówno w przestrzeni X jak i Y. Przykład 1.3. Niech X = { 1 n : n 1} {0} oraz Y = { 1 n : n 1} { 1}. Definiujemy funkcję d : X X R wzorem d(x, y) = x y oraz funkcję σ : Y Y R wzorem x y, gdy x, y > 0, σ(x, y) = x, gdy y = 1 oraz x > 0, 0, gdy x = y = 1. Funkcje d oraz σ są metrykami oraz d X Y = σ X Y. Niech ρ będzie pseudometryką zdefiniowaną wzorem (1). Wtedy ρ(0, 1) d(0, 1 n ) + σ( 1 n, 1) = 1 n + 1 n = 2 n dla każdego n 1. Zatem ρ(0, 1) = 0. Punkty 0 oraz 1 są różne, a więc ρ nie jest metryką. Określmy metryki d 01, d 02, d 12 odpowiednio na zbiorach {0, 1}, {0, 2} oraz {1, 2} wzorami d 01 (0, 1) = d 02 (0, 2) = 1 oraz d 12 (1, 2) = 3. Nie istnieje taka pseudometryka d na zbiorze {0, 1, 2}, że ({i, j}, d ij ) jest podprzestrzenią przestrzeni ({0, 1, 2}, d) dla każdego 0 i < j 2: w przeciwnym razie otrzymalibyśmy nierówność 3 = d 12 (1, 2) = d(1, 2) d(0, 1) + d(0, 2) = d 01 (0, 1) + d 02 (0, 2) = 2; sprzeczność. Możemy uważać, że punkty 0, 1, 2 są wierzchołkami pewnego grafu, będącego jednocześnie cyklem indukowanym i nie zawierającego się w żadnej z przestrzeni {i, j}. Opisana powyżej sytuacja uzasadnia wprowadzenie pojęcia grafu G rodziny przestrzeni metrycznych R oraz znalezienie warunków wystarczających dla grafu G tak aby istniała amalgamacja rodziny R. 14
15 Załóżmy, że {(X s, d s ) : s S} jest rodziną przestrzeni metrycznych. Niech G będzie grafem o zbiorze wierzchołków s S X s w którym para xy jest krawędzią wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie s S, że x, y X s. Ciąg z 0 z 1, z 1 z 2,..., z n 1 z n nazywamy ścieżką z x do y, gdy z 0 = x, z n = y oraz z i z i+1 jest krawędzią w G dla każdego i < n. Graf nazywamy spójnym, gdy dla dowolnych wierzchołków x oraz y tego grafu istnieje ścieżka z x do y. Ścieżkę z 0 z 1, z 1 z 2,..., z n 1 z n będziemy oznaczać krótko przez z 0... z n. Jeśli z 0 z n również jest krawędzią w grafie G, to mówimy, że z 0... z n z 0 jest cyklem w G. Jeśli cykl jest podgrafem grafu G, to mówimy, że jest cyklem indukowanym w G. Jeśli z 0... z n jest ścieżką, a s 1,..., s n S są takie, że z i z i+1 X si dla i < n, to liczbę n 1 w(z 0... z n ) = d si+1 (z i, z i+1 ) i=0 będziemy nazywać wagą ścieżki z 0... z n. Zauważmy, że jeśli d s (X s X t ) = d t (X s X t ) dla każdego s, t S, to definicja wagi ścieżki nie zależy od wyboru indeksów s 1,..., s n. Definicja 1.4. Jeśli ρ jest pseudometryką na zbiorze X, to definiujemy pomocniczo liczbę ρ(x, Z 1,..., Z n, y) = inf{w(xz 1... z n y) : (z 1,..., z n ) Z 1... Z n } dla x, y X oraz Z 1,..., Z n X. Lemat 1.5. Załóżmy, że {(X s, d s ) : s S} jest rodziną przestrzeni metrycznych o grafie spójnym G spełniającą warunki: (i) d s (X s X t ) = d t (X s X t ) dla każdego s, t S, (ii) jeśli x 1... x n x 1 jest cyklem indukowanym w G, to istnieje takie s S, że x 1,..., x n X s. Wtedy istnieje taka pseudometryka ρ na zbiorze s S X s, że ρ X s = d s dla każdego s S. Jeśli ponadto istnieje takie s 0 S, że X s X s0 oraz X s X t X s0 dla każdego s t, to dla każdego s t, x X s, y X t oraz z X s0 prawdziwe są następujące równości: ρ(x, y) = ρ(x, X s X s0, X t X s0, y), ρ(x, z) = ρ(x, X s X s0, z). 15
16 Dowód. Ustalmy x, y s S X s. Skoro G jest grafem spójnym, to istnieje ścieżka z 0... z n z x do y, tj. z 0 = x, z n = y oraz dla każdego i < n istnieje takie s i S, że z i, z i+1 X si+1. Skoro dowolne dwa punkty zbioru X = {X s : s S} są połączone ścieżką, to funkcja ρ : X X R, dana wzorem ρ(x, y) = inf{w(z 0... z n ) : z 0... z n jest ścieżką z x do y}, jest poprawnie zdefiniowana. Zauważmy, że funkcja ρ jest symetryczna. Ustalmy x, y, z X. Niech z 0... z n będzie ścieżką z x do y, a a 0... a m niech będzie ścieżką z y do z. Wtedy z 0... z n a 1... a m jest ścieżką z x do z. Zatem ρ(x, z) w(z 0... z n a 1... a m ). Skoro ścieżki z 0... z n oraz a 0... a m zostały wybrane dowolnie, to otrzymujemy nierówność ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z). Pokazaliśmy w ten sposób, że ρ jest pseudometryką na zbiorze X. Zauważmy, że ρ(x, y) d s (x, y) dla każdego x, y X s. Przez indukcję ze względu na długość ścieżki pokażemy, że d s (x, y) jest nie większe od wagi każdej ścieżki z x do y. Ustalmy x, y X s oraz ścieżkę z 0 z 1 z 2 z x do y. Skoro z 0 z 1 z 2 z 0 jest cyklem indukowanym w G, to istnieje takie t S, że z 0, z 1, z 2 X t. Wtedy d s (x, y) = d t (x, y) d t (z 0, z 1 ) + d t (z 1, z 2 ) = w(z 0 z 1 z 2 ). Ustalmy 2 n < ω oraz załóżmy, że dla każdego 2 k < n, s S, x, y X s oraz dla każdej ścieżki z 0... z k z x do y prawdziwa jest nierówność d s (x, y) w(z 0... z k ). Ustalmy x, y X s oraz ścieżkę z 0... z n z x do y. Jeśli z 0... z n z 0 jest cyklem indukowanym, to rozumowanie jest podobne jak w przypadku ścieżki o długości 2. Załóżmy więc, że z 0... z n z 0 nie jest cyklem indukowanym. Wtedy w grafie G istnieje krawędź z i z j, która nie jest krawędzią cyklu z 0... z n z 0. Możemy założyć, że i < j, a zatem i+1 < j oraz 0 < i lub j < n. Istnieje takie t S, że z i, z j X t, a stąd z 0... z i 1 z i z j z j+1... z n jest ścieżką z x do y długości i (n j) < j + (n j) = n oraz z i z i+1... z j 1 z j jest ścieżką z z i do z j długości j i < n, ponieważ i > 0 lub j < n. Na mocy założenia indukcyjnego otrzymujemy nierówności d s (x, y) w(z 0... z i z j... z n ) oraz d t (z i, z j ) w(z i z i+1... z j 1 z j ). Stąd d s (x, y) w(z 0... z i z j... z n ) = w(z 0... z i ) + d t (z i, z j ) + w(z j... z n ) w(z 0... z i ) + w(z i z i+1... z j 1 z j ) + w(z j... z n ) = w(z 0... z n ). 16
17 Ostatecznie d s (x, y) ρ(x, y), a więc d s (x, y) = ρ(x, y) dla każdego x, y X s. Niech s 0 S będzie takie jak w założeniach lematu. Ustalmy s, t S, s t, x X s oraz y X t. Łatwo zauważyć, że ρ(x, y) ρ(x, X s X s0, X t X s0, y). Dla dowodu przeciwnej nierówności ustalmy ścieżkę z 0... z n z x do y. Przypuśćmy, że nie istnieją takie i oraz j, że z i X s X s0 oraz z j X t X s0. W szczególności z 0, z n / X s0. Niech i = max{r : z 0,..., z r X s \ X s0 } oraz j = min{r : z r,..., z n X t \ X s0 }. Skoro X s X t X s0, to i < j. Zatem z i+1 / X s oraz istnieje takie p S \ {s}, że z i, z i+1 X p. Wtedy z i X s X p X s0 ; sprzeczność. Istnieją więc takie i oraz j, że z i X s X s0 oraz z j X t X s0. Niech s 1,..., s n S będą takie, że z k, z k+1 X sk+1 dla każdego k < n. Otrzymujemy nierówność ρ(x, z i ) + ρ(z i, z j ) + ρ(z j, y) k=0 j 1 i 1 n 1 ρ(z k, z k+1 ) + ρ(z k, z k+1 ) + ρ(z k, z k+1 ) = k=i k=j n 1 n 1 ρ(z k, z k+1 ) = d sk+1 (z k, z k+1 ) = w(z 0... z n ). k=0 Podobnie dowodzimy równość ρ(x, z) = ρ(x, X s X s0, z) dla x X s oraz z X s0. Twierdzenie 1.6. Załóżmy, że s 0 S oraz {(X s, d s ) : s S} jest rodziną przestrzeni metrycznych spełniającą dla każdego s, t S następujące warunki: (i) X s0 X s, (ii) X s X t X s0, o ile s t, k=0 (iii) d s0 (X s0 X s ) = d s (X s0 X s ). Wtedy istnieje taka przestrzeń metryczna (Y, d), że (iv) X s0 jest podprzestrzenią przestrzeni Y, (v) dla każdego s S istnieje takie zanurzenie izometryczne i s : X s Y, że i s (X s0 X s ) = id Xs0 X s, (vi) Y s S X s, 17
18 (vii) dla każdego s t, x i s [X s ], y i t [X t ] oraz z X s0 prawdziwe są następujące równości: d(x, y) = d(x, X s0 X s, X s0 X t, y), d(x, z) = d(x, X s0 X s, z). Dowód. Przypuśćmy, że graf rodziny {(X s, d s ) : s S} nie spełnia warunku (ii) lematu 1.5. Wtedy istnieje taki cykl indukowany z 0... z n z 0, że {z 0,..., z n } X s dla każdego s S. Przypuśćmy, że istnieje takie s S, że X s {z 0,..., z n } 3. Niech 0 i < j < k n będą takie, że z i, z j, z k X s. Wtedy z i z j, z j z k oraz z i z k są krawędziami grafu G. Cykl z 0... z n z 0 jest indukowany, a więc {z 0 z 1, z 1 z 2,..., z n 1 z n, z n z 0 } jest zbiorem wszystkich krawędzi grafu G pomiędzy wierzchołkami ze zbioru {z 0,..., z n }. Skoro z i z j jest krawędzią oraz j < n, to i+1 = j. Analogicznie j+1 = k. Ponieważ i+1 < k, więc i = 0 oraz k = n. Stąd {z 0,..., z n } = {z i, z j, z k } X s wbrew założeniu o cyklu z 0... z n z 0. Zatem dla każdego s S zachodzi nierówność: X s {z 0,..., z n } 2. Z założenia o cyklu z 0... z n z 0 wynika, że {z 0,..., z n } X s0, a więc istnieje takie i, że z i / X s0. Niech s S będzie takie, że z i X s. Niech j = min{r i : z r,..., z i X s }, k = max{r i : z i,..., z r X s }. Jeśli j = 0 oraz k = n, to {z 0,..., z n } X s wbrew założeniu o cyklu z 0... z n z 0. Zatem j > 0 lub k < n. Rozpatrzmy przypadek, gdy j > 0. Wtedy z j 1 / X s. Skoro z j 1 z j jest krawędzią grafu G, to istnieje takie t S \ {s}, że z j 1, z j X t. Zatem z j X t X s X s0. Skoro z i / X s0, to j < i. Ponieważ każdy wierzchołek cyklu należy do dwóch krawędzi tego cyklu, więc istnieje takie l i 1, że z i z l jest krawędzią grafu G. Zauważmy, że z l / X s, ponieważ w przeciwnym razie otrzymujemy nierówność X s {z 0,..., z n } {z j, z i, z l } = 3 która, jak pokazaliśmy w pierwszej części dowodu, nie może zachodzić. Istnieje więc takie p S \ {s}, że z i, z l X p. Z założenia (ii) wynika, że X p X s X s0, zatem z i X p X s X s0 ; sprzeczność, ponieważ z i / X s0. Przypadek, gdy k < n, jest analogiczny. 18
19 Pokazaliśmy, że graf rodziny {(X s, d s ) : s S} spełnia warunek (ii) lematu 1.5, a więc istnieje pseudometryka ρ na zbiorze s S X s spełniająca tezę tego lematu. Z lematu 1.1 wynika, że relacja x y ρ(x, y) = 0 jest równoważnością w zbiorze s S X s. Niech Y będzie selektorem rodziny {[x] : x s S X s}, gdzie [x] jest klasą równoważności punktu x względem relacji, zawierającym przestrzeń X s0. Wtedy (Y, ρ Y ) jest przestrzenią metryczną. Dla każdego s S definiujemy i s : X s Y tak aby i s (x) [x] Y, gdzie x X s. Definicja 1.7. W dalszych częściach pracy przestrzeń Y z twierdzenia 1.6 będziemy nazywać amalgamacją rodziny {X s : s S}. 2 Rozszerzenie izometryczne W tej części pracy zdefiniujemy dla każdej przestrzeni metrycznej X oraz liczby kardynalnej κ rozszerzenie F (X) o następującej własności: dla każdej przestrzeni Y mocy mniejszej niż κ, punktu y Y oraz zanurzenia f 0 : Y \ {y} X, istnieje takie zanurzenie f : Y F (X), że f (Y \ {y}) = f 0. Ustalmy przestrzeń (X, d) oraz liczbę kardynalną κ. Ustalmy również rozłączny z X zbiór A mocy λ = ( X + c) <κ oraz podział {A α : α < λ} [A] λ zbioru A. Ustalmy numerację [X] <κ \ { } = {X α : α < λ} oraz A α = {a α,β : β < λ}. Dla każdego zbioru Z mocy mniejszej niż κ prawdziwa jest następująca nierówność: {ρ Z Z R : ρ jest metryką} c <κ λ. Zatem istnieje rodzina {d α,β : β < λ} metryk spełniająca dla każdego α < λ następujące warunki: (1) dla każdego β < λ funkcja d α,β jest metryką na zbiorze X α {a α,β }, (2) dla każdego β < λ zachodzi równość d X α = d α,β X α, (3) jeśli Y jest przestrzenią metryczną, a f 0 : Y \{y} X α jest izometrią, to istnieją takie β < λ oraz izometria f : Y X α {a α,β }, że f (Y \ {y}) = f 0. 19
20 Niech R = {X} {X α {a α,β } : α, β < λ}. Zauważmy, że dla X s0 = X rodzina R spełnia założenia twierdzenia 1.6, a więc istnieje amalgamacja (Y, d) tej rodziny o następujących własnościach: (4) X jest podprzestrzenią przestrzeni Y, (5) Y {X α {a α,β } : α, β < λ}, (6) dla każdego α, β < λ istnieje takie zanurzenie i α,β : X α {a α,β } Y, że i α,β X α = id Xα, (7) dla każdego y Y istnieje takie α < λ, że dla każdego x X prawdziwa jest następująca równość: d(y, x) = d(y, X α, x). Amalgamację tę będziemy oznaczać symbolem F (X) i traktować jako rozszerzenie metryczne przestrzeni X. Twierdzenie 2.1. Dla każdej przestrzeni metrycznej X rozszerzenie izometryczne F (X) ma następujące własności: (i) każde zanurzenie izometryczne f 0 : Y \ {y 0 } X, gdzie Y < κ i y 0 Y, ma przedłużenie do zanurzenia izometrycznego f : Y F (X), (ii) dla każdego y F (X) istnieje takie Z [X] <κ, że d(x, y) = d(x, Z, y) dla każdego x X, gdzie d jest metryką rozszerzenia F (X). Dowód. Ustalmy przestrzeń X. Niech {d α,β : β < λ} będzie rodziną wszystkich metryk na zbiorach {X α {a α,β } : β < λ} o własnościach (1) (3), zgodnie z oznaczeniami przyjętymi na początku tej części pracy. (i) Ustalmy przestrzeń (Y, σ) mocy mniejszej niż κ, punkt y 0 Y oraz zanurzenie f 0 : Y \ {y 0 } X. Skoro f 0 [Y \ {y 0 }] < κ, to istnieje takie α < λ, że f 0 [Y \ {y 0 }] = X α. Zatem f 0 : Y \ {y 0 } X α jest izometrią. Na mocy własności (3) istnieje takie β < λ oraz izometria g : Y X α {a α,β }, że g (Y \ {y 0 }) = f 0. Z własności (6) otrzymujemy takie zanurzenie i α,β : X α {a α,β } F (X), że i α,β X α = id Xα. Funkcja f = i α,β g : Y F (X) jest zanurzeniem izometrycznym. Dla każdego y Y \ {y 0 } otrzymujemy f(y) = i α,β (g(y)) = i α,β (f 0 (y)) = f 0 (y), ponieważ f 0 (y) X α. Zatem f (Y \ {y 0 }) = f 0. 20
21 (ii) Ustalmy y F (X). Z własności (7) wynika, że istnieje takie α < λ, że dla każdego x X prawdziwa jest następującą równość: d(y, x) = d(y, X α, x). W pracy [9] Katětov podał konstrukcję rozszerzenia E(X, κ) również spełniającego warunki (i), (ii) powyższego lematu. Metryka σ rozszerzenia E(X, κ) spełnia dla każdego x, z E(X, κ) \ X równość σ(x, z) = sup{ σ(x, y) σ(z, y) : y X}. Dla każdego x, z E(X, κ)\x oraz y X wprost z definicji metryki wynika nierówność σ(x, z) σ(x, y) σ(z, y), zatem σ(x, z) jest najmniejszą dopuszczalną odległością w rozszerzeniu metrycznym przestrzeni X. Z konstrukcji rozszerzenia F (X) oraz twierdzenia 1.6 wynika, że metryka d w rozszerzeniu F (X) spełnia równość d(x, z) = inf{d(x, y) + d(y, z) : y X}, a więc d(x, z) jest największą dopuszczalną odległością w rozszerzeniu przestrzeni X. Tę część pracy zakończymy lematem opisującym sumę łańcucha przestrzeni metrycznych. Lemat 2.2. Niech {Z β : β < α} będzie rosnącym ciągiem przestrzeni metrycznych, tzn. Z β jest podprzestrzenią przestrzeni Z γ dla każdego β < γ < α. Wtedy na zbiorze γ<α Z γ istnieje taka metryka d, że Z β jest podprzestrzenią przestrzeni γ<α Z γ, dla każdego β < α. Dowód. Ustalmy x, y Z = γ<α Z γ. Istnieje takie γ < α, że x, y Z γ. Przyjmujemy d(x, y) = d γ (x, y). Skoro Z γ jest podprzestrzenią przestrzeni Z β dla każdego γ < β < α, to funkcja d : Z Z R jest poprawnie zdefiniowana. Łatwo widać, że funkcja d jest metryką. 21
22 3 Charakter dyskretny punktu Przez przestrzeń dyskretną będziemy rozumieli przestrzeń metryczną w której metryka przyjmuje dwie wartości: 0 i 1. Ustalmy liczbę kardynalną κ > ω. Załóżmy, że X jest przestrzenią dyskretną mocy κ oraz y F (X) \ X. Z własności (7) wynika, że istnieje takie Z [X] <κ, że d(y, x) = d(y, Z, x) dla każdego x X, gdzie d jest metryką przestrzeni F (X). Zatem jeśli x X \ Z, to d(y, x) = d(y, Z, x) = inf{d(y, z) + d(z, x) : z Z} = d(y, Z) + 1 1, a więc w rozszerzeniu F (X) nie ma takiego punktu y oraz podzbioru T [X] κ, że d(y, z) = 1 2 dla każdego z T. Powyższa obserwacja sugeruje, aby dla przestrzeni metrycznej (X, d) oraz podprzestrzeni dyskretnej Y X wprowadzić następujące pojęcia: (a) punkt x X będziemy nazywać punktem środkowym podprzestrzeni Y, gdy d(x, y) = 1 2 dla każdego y Y, (b) jeśli Y jest podprzestrzenią, która nie ma punktu środkowego x X, to powiemy, że podprzestrzeń Y jest bez punktów środkowych, (c) jeśli każdy podzbiór Z [Y ] κ jest bez punktów środkowych w przestrzeni X, to powiemy, że podprzestrzeń Y jest dziedzicznie bez punktów środkowych, (d) liczbę τ(x, X) = sup{ Y : Y X jest podprzestrzenią dziedzicznie bez punktów środkowych, x Y } będziemy nazywać charakterem dyskretnym punktu x. Zauważmy, że powyższa definicja zależy od liczby κ, która na ogół będzie wcześniej ustalona. Przykład 3.1. Niech (X, d) będzie przestrzenią dyskretną mocy κ. Ustalmy Z [X] κ, Z X oraz y / X. Niech σ będzie funkcją określoną na zbiorze Z {y} wzorem d(x, z), gdy x, z Z, 1 σ(x, z) = 2, gdy x = y oraz z Z, 0, gdy x = z = y. 22
23 Nietrudno sprawdzić, że funkcja σ jest metryką. Ponadto σ Z = d Z, a więc na mocy twierdzenia 1.6 istnieje amalgamacja (Y, ρ) przestrzeni (X, d) oraz (Z {y}, σ) spełniająca dla każdego x X warunek ρ(y, x) = ρ(y, Z, x) = inf{σ(y, z)+d(z, x) : z Z} = 1 2 +inf{d(z, x) : z Z}. Skoro X Z, to istnieje punkt x X \ Z, zatem ρ(y, x) 3 2, a stąd y nie jest punktem środkowym podprzestrzeni X w przestrzeni Y. Z drugiej strony punkt y jest punktem środkowym podprzestrzeni Z [X] κ, a więc X nie jest podprzestrzenią dziedzicznie bez punktów środkowych w przestrzeni Y. Lemat 3.2. Jeśli f : X X jest izometrią, to τ(x, X) = τ(f(x), X) dla każdego x X. Dowód. Ustalmy x X, izometrię f : X X oraz taką podprzestrzeń Y X dziedzicznie bez punktów środkowych, że x Y. Niech d będzie metryką przestrzeni X. Przypuśćmy, że f[y ] nie jest dziedzicznie bez punktów środkowych. Zatem istnieje podprzestrzeń Z [f[y ]] κ oraz jej punkt środkowy z X. Wtedy f 1 [Z] [Y ] κ. Oczywiście d(f 1 (z), f 1 (x)) = d(z, x) dla każdego z Z. Zatem f 1 (x) jest punktem środkowym podprzestrzeni f 1 [Z]; sprzeczność. Załóżmy, że podprzestrzeń Y X jest dziedzicznie bez punktów środkowych. Załóżmy ponadto, że istnieje taki ciąg Cauchy ego {x n : n < ω} X, że d(x n, y) = n dla każdego n 1 oraz y Y. Skoro d(x n, y) > 1 2 dla każdego n < ω oraz y Y, to żaden z punktów x n nie jest punktem środkowym jakiegokolwiek podzbioru Z [Y ] κ. Możemy założyć, że symbol d oznacza również metrykę rozszerzenia F (X). Niech T = {x n : n < ω} będzie uzupełnieniem podprzestrzeni {x n : n < ω}. Niech x T będzie granicą ciągu {x n : n < ω}. Niech zanurzenie f 0 : {x n : n < ω} X będzie dane wzorem f 0 (x n ) = x n dla każdego n < ω. Na mocy twierdzenia 2.1 (i) istnieje takie zanurzenie f : {x} {x n : n < ω} F (X), że f(x n ) = x n dla każdego n < ω. Wtedy d(f(x), y) d(f(x), x n ) + d(x n, y) = d(f(x), f(x n )) + d(x n, y) 23
24 dla każdego n 1 oraz y Y, a więc d(x, y) 1 2 dla każdego y Y. Z drugiej strony, 1 = d(y, y ) d(y, x) + d(x, y ) dla każdego y, y Y, y y, ponieważ Y X oraz X jest przestrzenią dyskretną. Stąd jeśli Y 2, to d(x, y) = 1 2 dla każdego y Y. Wydaje się więc, że lepiej brać pod uwagę słabe punkty środkowe: jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną, to mówimy, że x jest słabym punktem środkowym podprzestrzeni Y X, gdy d(x, y) = d(x, y ) < 1 dla każdego y, y Y. Okazuje się, że punkty środkowe lepiej nadają się do zdefiniowania charakteru dyskretnego, natomiast słabe punkty środkowe będą ważnym narzędziem do zbadania istnienia punktów środkowych z uwagi na posiadaną przez nie własność redukcji, o której mówi ostatni lemat tej części pracy. Symbolem d(x, A) oznaczamy odległość punktu x od niepustego zbioru A, tzn. d(a, A) = inf{d(x, a) : a A}. Zatem jeśli x jest słabym punktem środkowym niepustej podprzestrzeni Y, to d(x, Y ) = d(x, y) dla każdego y Y. Lemat 3.3. Niech κ będzie taką liczbą kardynalną regularną, że λ ℵ 0 < κ dla każdego λ < κ. Załóżmy, że (X, d) jest przestrzenią metryczną, Y X oraz x X \ Y jest słabym punktem środkowym zbioru D [Y ] κ dla którego istnieje takie Z [Y ] <κ, że d(x, y) = d(x, Z, y) dla każdego y Y. Wtedy dla każdego ε > 0 istnieje taki zbiór D [D] κ oraz słaby punkt środkowy x Y zbioru D, że d(x, x ) + d(x, D ) < d(x, D) + ε. Dowód. Możemy założyć, że ε < 1 d(x, D). Na mocy założenia istnieje takie Z [Y ] <κ, że d(x, y) = d(x, Z, y) dla każdego y Y. Skoro d(x, Z, y) = inf{d(x, z) + d(z, y) : z Z} to dla każdego y D istnieje taki ciąg (z y,n ) n<ω ω Z, że (2) d(x, y) = lim n (d(x, z y,n) + d(z y,n, y)). Definiujemy funkcję Φ : D ω (Z R) wzorem Φ(y) = (z y,n, d(z y,n, y)) n<ω dla y D. Skoro ω (Z R) = Z ℵ0 c < κ, to istnieje takie (z n, r n ) n<ω ω (Z R), że Φ 1 [{(z n, r n ) n<ω }] = D. Niech D = Φ 1 [{(z n, r n ) n<ω }]. Zatem dla każdego y, y D i n < ω otrzymujemy z y,n = z y,n oraz d(z y,n, y) = d(z y,n, y ). 24
25 Przyjmując t n = z y,n = z y,n otrzymujemy d(t n, y) = d(t n, y ) dla każdego y, y D oraz n < ω. Ze wzoru (2) wynika, że istnieje takie n < ω, że d(x, t n )+d(t n, y) < d(x, y)+ε < 1 dla każdego y D. Zatem t n jest słabym punktem środkowym podprzestrzeni D. 4 Operacja dołączania podprzestrzeni dziedzicznie bez punktów środkowych Ustalmy liczbę kardynalną κ, przestrzeń X oraz jej podprzestrzeń Y X. Niech X \ Y = {x α : α < λ} dla pewnej liczby kardynalnej λ. Dla każdego α < λ ustalamy rozłączny z X zbiór D α mocy ℵ κ+ X +α+2. Możemy założyć, że D α D β = dla α < β < λ. Niech d α będzie metryką dyskretną na zbiorze D α {x α }. Z twierdzenia 1.6 otrzymujemy amalgamację A(X, Y ) rodziny {X} {D α {x α } : α < λ}. Niech A(X, Y ) = {D α {x α } : α < λ}. Przestrzeń A(X, Y ) jest zatem rozszerzeniem przestrzeni X o następujących własnościach: (A1) dla każdego x X \ Y istnieje taka podprzestrzeń dyskretna D x A(X, Y ), że D x X = {x} oraz D x > X κ +, (A2) dla każdego x, y X \ Y, jeśli x y, to D x D y = oraz D x D y, (A3) d(x, y) = d(x, x) + d(x, y) = 1 + d(x, y) dla każdego x X \ Y, x D x \ {x} oraz y X, gdzie d jest metryką rozszerzenia A(X, Y ). Zauważmy, że jeśli x X \ Y, to τ(x, A(X, Y )) = D x, a więc dla każdego x, y X \ Y, x y. τ(x, A(X, Y )) τ(y, A(X, Y )) Zdefiniujemy teraz operację pozwalającą otrzymać rozszerzenie metryczne S(X) przestrzeni X w którym wybrane podprzestrzenie przestrzeni X przestaną być podprzestrzeniami dziedzicznie bez punktów środkowych. Jeśli podprzestrzeń Y X jest dziedzicznie bez punktów środkowych, to wystarczy wybrać dowolny podzbiór Y [Y ] κ i dołączyć w poszukiwanym rozszerzeniu S(X) przestrzeni X punkt środkowy podprzestrzeni Y. Zatem definiując operację usuwania podprzestrzeni dziedzicznie bez punktów środkowych możemy ograniczyć się do podprzestrzeni mocy κ. Z drugiej strony, 25
26 jeśli podprzestrzenie z ustalonej rodziny G mają być przestrzeniami dziedzicznie bez punktów środkowych w rozszerzeniu S(X) przestrzeni X, to każda podprzestrzeń Y do której dołączymy punkt środkowy musi spełniać następujący warunek: Definiujemy pomocniczo rodzinę Y G < κ dla każdego G G. D(X) = {Y [X] κ : Y jest podprzestrzenią Ustalmy G D(X). Niech dziedzicznie bez punktów środkowych}. {Y α : α < λ} = {Y D(X) [X] κ : Z G Y Z < κ}. dla pewnej liczby kardynalnej λ. Niech Z = {z α : α < λ} będzie zbiorem mocy λ, rozłącznym z X. Dla każdego α < λ definiujemy funkcję d α : (Y α {z α }) (Y α {z α }) R wzorem { d(x, y), gdy x, y Yα, d α (x, y) = 1 2, gdy y Y α oraz x = z α. Łatwo zauważyć, że d α jest metryką na zbiorze Y α {z α }. Z twierdzenia 1.6 otrzymujemy amalgamację S(X, G) rodziny {X} {Y α {z α } : α < λ}. Zatem S(X, G) jest rozszerzeniem przestrzeni X o następujących własnościach: (S1) dla każdego Y D(X), jeśli Y Z < κ dla wszystkich Z G, to istnieje Y [Y ] κ oraz punkt środkowy x S(X, G) podprzestrzeni Y, (S2) dla każdego y S(X, G) istnieje takie Y [X] κ, że d(y, x) = d(y, Y, x) dla każdego x S(X, G) \ {y}, gdzie d jest metryką rozszerzenia S(X, G). 5 Łańcuchowe własności operacji F, S i A Zdefiniujemy indukcyjnie rosnący łańcuch rozszerzeń. Załóżmy, że κ > c jest taką regularną liczbą kardynalną, że λ ℵ 0 < κ dla każdego λ < κ, np. κ = c +. Definiujemy przestrzeń pustą X 0 = oraz przestrzeń jednoelementową X 1 = {0}. Załóżmy, że skonstruowaliśmy rosnący łańcuch {(X β, d β ) : β < 26
27 α} przestrzeni metrycznych. Jeśli α jest liczbą graniczną, to korzystając z lematu 2.2 przyjmujemy X α+1 = X α = X β oraz A(X α+1, X α ) =. β<α Jeśli α = β + 2 dla pewnego β < α, to przyjmujemy (3) X α = F (S(A(X β+1, X β ), γ β A(X γ+1, X γ ))). W ten sposób otrzymujemy przestrzeń (X κ +, d) oraz rodziny {X α : α < κ + } i {A(X α+1, X α ) : α < κ + } o następujących własnościach: (P1) X κ + = {X α : α < κ + }, (P2) dla każdego β < α < κ + przestrzeń X β jest podprzestrzenią przestrzeni X α, (P3) dla każdego α < κ +, jeśli α jest liczbą graniczną, to X α+1 = X α = {Xβ : β < α} oraz A(X α+1, X α ) =, (P4) dla każdego α < κ +, jeśli α = β + 2, to zachodzi wzór (3), (P5) dla każdego x X κ + istnieje takie α < κ + oraz podprzestrzeń dyskretna D x A(X α+1, X α ), że x X α+1 \ X α oraz D x X α+1 = {x}, (P6) każdy punkt podprzestrzeni X κ + \ X 1 jest punktem dodanym przez jedno z rozszerzeń: F, S lub A. Lemat 5.1. Przestrzeń X κ + jest κ-superuniwersalna. Dowód. Ustalmy przestrzeń metryczną (Y, σ) mocy mniejszej niż κ, podzbiór Y 0 Y oraz zanurzenie f 0 : Y 0 X κ +. Niech Y \ Y 0 = {y α : α < λ} dla pewnej liczby kardynalnej λ. Załóżmy, że skonstruowaliśmy ciąg zanurzeń {f β : β < α} o następujących własnościach: (i) f β : Y 0 {y γ : γ < β} X κ + dla każdego β < α, (ii) f β dom f γ = f γ dla każdego γ < β < α. Jeśli α λ jest liczbą graniczną, to funkcję f α : Y 0 {y β : β < α} X κ + definiujemy wzorem { fβ (y), gdy y = y f α (y) = γ dla pewnego γ < β < α, f 0 (y), gdy y Y 0. 27
28 Z własności (ii) wynika, że funkcja f α jest poprawnie zdefiniowanym zanurzeniem. Załóżmy więc, że α = β + 1 dla pewnego β < λ. Skoro rng f β < κ oraz X κ + = {X δ : δ < κ + }, to istnieje takie δ < κ +, że rng f β X δ. Mamy następujący ciąg rozszerzeń: X δ X δ+1 A(X δ+1, X δ ) S(A(X δ+1, X δ ), γ δ A(X γ+1, X γ )). Z twierdzenia 2.1 (i) wynika, że istnieje takie zanurzenie f α : dom f β {y β } F (S(A(X δ+1, X δ ), γ δ A(X γ+1, X γ ))), że f α dom f β = f β. Indukcyjna konstrukcja jest w ten sposób zakończona, a zanurzenie f λ : Y X κ + jest przedłużeniem zanurzenia f 0. Pokażę, że przestrzeń X κ + jest sztywna, tzn. jedyną izometrią przestrzeni X κ + jest identyczność. W tym celu udowodnię szereg lematów opisujących łańcuchowe własności operacji F, S i A. Definicja 5.2. Liczbę rangę punktu x X wzorem r(x) = min{α < κ + : x X α }. Lemat 5.3. Załóżmy, że x, y X κ + oraz y jest słabym punktem środkowym podprzestrzeni D [D x ] κ. Wtedy r(x) < r(y) oraz punkt y został dodany przez operację F lub przez operację S. Jeśli ponadto y jest punktem środkowym D, to punkt y został dodany przez operację F. Dowód. Istnieją takie β, δ < κ +, że x X β+2 \ X β+1 oraz y X δ+2 \ X δ+1. Zatem r(y) = δ + 2 oraz r(x) = β + 2. Przypuśćmy, że r(x) r(y). Skoro r(y) β + 2, to y X β+2, a więc na mocy własności (A3) mamy d(v, y) = d(v, x) + d(x, y) = 1 + d(x, y) 1 dla każdego v D x \ {x}; sprzeczność, ponieważ y jest punktem środkowym zbioru D D x. Zatem r(x) < r(y), a więc r(x) δ + 1. Przypuśćmy, że punkt y został dodany przez operację A. Wtedy istnieje takie w X δ+1, że y D w \ {w}. Zatem D x D w A(X δ+1, X δ ), a więc na mocy własności (A3) mamy d(y, v) = d(y, w) + d(w, v) 1 28
29 dla każdego v D x ; sprzeczność z faktem, że y jest punktem środkowym zbioru D. Przypuśćmy, że y jest punktem środkowym D dodanym przez operację S. Wtedy istnieje taka podprzestrzeń dyskretna Z [A(X δ+1, X δ )] κ, że d(y, w) = d(y, Z, w) dla każdego w A(X δ+1, X δ ) \ {y}, oraz Z D < κ dla każdego D ζ δ A(X ζ+1, X ζ ). Skoro r(x) δ + 1, to x X δ+1, a więc D x ζ δ A(X ζ+1, X ζ ). Zatem Z D x < κ, w szczególności Z D < κ, a więc istnieje v D \ Z. Wtedy 1 2 = d(y, v) = d(y, Z, v) = 1 + inf{d(z, v) : z Z}, 2 a więc inf{d(z, v) : z Z} = 0. Istnieje zatem takie z 0 Z, że d(v, z 0 ) < 1 2. Skoro v / Z oraz z 0 Z, to v z 0, a więc d(v, z 0 ) > 0. Jeszcze raz korzystając z równości inf{d(z, v) : z Z} = 0 otrzymujemy takie z 1 Z, że d(z 1, v) < d(z 0, v). Zatem z 0 oraz z 1 są różnymi elementami podprzestrzeni dyskretnej Z. Wtedy 1 = d(z, z ) d(z, v) + d(z, v) < 1; sprzeczność. Lemat 5.4. Załóżmy, że x, y X κ + oraz y jest słabym punktem środkowym podprzestrzeni D [D x ] κ dodanym przez operację F. Wtedy dla każdego ε > 0 istnieją takie D [D] κ oraz słaby punkt środkowy y podprzestrzeni D, że d(y, y ) + d(y, D ) < d(y, D) + ε i (i) r(y ) r(y) oraz y jest punktem dodanym przez operację S, lub (ii) r(y ) < r(y) oraz y jest punktem dodanym przez operację F. Dowód. Skoro punkt y został dodany przez operację F, to istnieje takie β < κ + oraz Z [T ] <κ, że y X β+2 \ T, gdzie T = S(A(X β+1, X β ), δ β A(X δ+1, X δ )) oraz d(y, t) = d(y, Z, t) dla każdego t T. Z lematu 5.3 wynika, że r(x) < r(y), a więc D x T. Na mocy lematu 3.3 otrzymujemy taki słaby punkt środkowy y T pewnej podprzestrzeni D [D] κ, że d(y, y ) + d(y, D ) < d(y, D) + ε. Zauważmy, że r(y ) 29
30 r(y), a więc jeśli y jest punktem dodanym przez operację S, to dowód jest zakończony. Załóżmy więc, że punkt y nie został dodany przez operację S. Na mocy lematu 5.3 punkt y został dodany przez operację F, zatem wystarczy pokazać, że r(y ) < r(y). Każdy punkt przestrzeni T został dodany przez operację S lub A bądź też jest elementem podprzestrzeni X β+1. Skoro y T oraz punkt y nie został dodany ani przez operację S ani przez operację A, to y X β+1. Stąd r(y ) β + 1 < r(y). Lemat 5.5. Jeśli x, y X κ + są różnymi punktami dodanymi przez operację S, to d(x, y) 1 2. Dowód. Załóżmy, że x T α oraz y T β, gdzie α β oraz T ξ = S(A(X ξ+1, X ξ ), δ ξ A(X δ+1, X δ )) \ A(X ξ+1, X ξ ) dla ξ {α, β}. Punkt y został dodany przez operację S, a więc na mocy własności (S2) istnieje takie Z [A(X β+1, X β )] κ, że d(y, w) = 1 + inf{d(z, w) : z Z} 2 dla każdego w T β \ {y}. Skoro T α T β, to d(x, y) 1 2. Lemat 5.6. Załóżmy, że x, y X κ + oraz y jest słabym punktem środkowym podprzestrzeni D [D x ] κ. Wtedy dla każdego ε > 0 istnieje taka podprzestrzeń D [D] κ i jej słaby punkt środkowy y dodany przez operację S, że d(y, y ) + d(y, D ) < d(y, D) + ε. Dowód. Ustalmy ε > 0. Niech α, δ 0 < κ + będą takie, że r(x) = α + 2 oraz r(y) = δ Z lematu 5.3 wynika, że α < δ 0. Przyjmijmy z 0 = y, D 0 = D, r(y) = δ oraz załóżmy, że istnieją takie z 0,..., z n, D n... D 0, δ 0 >... > δ n > α, że dla każdego i n zachodzą warunki: (i) z i jest słabym punktem środkowym D i, (ii) d(z i 1, z i ) + d(z i, D i ) < d(z i 1, D i 1 ) + ε/2 (i+3) dla i > 0, (iii) D i [D x ] κ, (iv) z i X δi +2 \ A(X δi +1, X δi ). 30
Konstrukcja przestrzeni metrycznej sztywnej i κ-superuniwersalnej
Konstrukcja przestrzeni metrycznej sztywnej i κ-superuniwersalnej Wojciech Bielas 24 września 2014 r. Przestrzeń Urysohna W 1927 roku opublikowana została praca w której P. Urysohn skonstruował zupełną
Bardziej szczegółowoKorzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowoZastosowania twierdzeń o punktach stałych
16 kwietnia 2016 Abstrakt Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Ustalmy odwzorowanie ciągłe f : X X. Twierdzeniem o punkcie stałym nazywamy prawdę matematyczną postulującą pod pewnymi warunkami istnienie
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowo3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.
3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α
Bardziej szczegółowodomykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoWstęp do topologii Ćwiczenia
Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoWstęp do Matematyki (4)
Wstęp do Matematyki (4) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Liczby kardynalne Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (4) Liczby kardynalne 1 / 33 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoTopologiczne i liniowe własności przestrzeni funkcji ciągłych
Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk Mikołaj Krupski Topologiczne i liniowe własności przestrzeni funkcji ciągłych Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem prof. dra hab. Witolda Marciszewskiego
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowoZadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoZadania z forcingu. Marcin Kysiak. Semestr zimowy r. ak. 2002/2003
Zadania z forcingu Marcin Kysiak Semestr zimowy r. ak. 2002/2003 Dokument ten zawiera zadania omówione przeze mnie na ćwiczeniach do wykładu monograficznego dr. A. Krawczyka "Zdania nierozstrzygalne w
Bardziej szczegółowo(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowo1 Ciągłe operatory liniowe
1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoTopologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoTitle: Łańcuchy w przestrzeniach topologicznych i kratach
Title: Łańcuchy w przestrzeniach topologicznych i kratach Author: Wojciech Bielas Citation style: Bielas Wojciech. (2014). Łańcuchy w przestrzeniach topologicznych i kratach. Praca doktorska. Katowice
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoTopologia I Wykład 4.
Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoTwierdzenie spektralne
Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoCiągłość i topologia. Rozdział Ciągłość funkcji wg. Cauchy
Rozdział 1 Ciągłość i topologia Nadanie precyzyjnego sensu intiucyjnemu pojęciu ciągłości jest jednym z głównych tematów dziedziny matematyki, zwanej topologią. Definicja funkcji ciągłej znana z podstawowego
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowoTyp potęgowy Szlenka
Uniwersytet Śląski w Katowicach Letnia Szkoła Instytutu Matematyki Podlesice, 22 26 września 2014 r. Motywacja Pytanie (Banach Mazur, Księga Szkocka, Problem 49) Czy istnieje ośrodkowa i refleksywna przestrzeń
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoStanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania
Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale MIM Uniwersytetu
Bardziej szczegółowoAlgebry skończonego typu i formy kwadratowe
Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Analiza 4
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Notatki do wykładu Analiza 4 Rozdział I: Funkcje na przestrzeniach metrycznych Wrocław 2004 O skrypcie Skrypt ten, traktowany łącznie
Bardziej szczegółowoElementy Teorii Miary i Całki
Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoO zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych
O zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych Marcin Borkowski Streszczenie Wszyscy znamy twierdzenie Banacha o kontrakcji czy twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. Stosunkowo rzadko jednak mamy okazję
Bardziej szczegółowoTopologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii
Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowo