BANACH. Konkurs Matematyczny MERIDIAN wtorek, 6 marca W czasie testu nie wolno używać kalkulatorów ani innych pomocy naukowych.

Transkrypt

1 BANACH Konkurs Matematyczny MERIDIAN wtorek, Czas pracy: 120 minut Maksymalna liczba punktów do uzyskania: 120 W czasie testu nie wolno używać kalkulatorów ani innych pomocy naukowych. 1. Zasady punktowania poprawnych odpowiedzi są następujące: pytania 1-10 po 3 punkty pytania po 4 punkty pytania po 5 punktów. PUNKTY UJEMNE: Każda zła odpowiedź odejmuje następującą ilość punktów: 0.75 punktu w pytaniach punkt w pytaniach punktu w pytaniach Zadania mają formę testu jednokrotnego wyboru. Na każde pytanie jest 5 odpowiedzi: a, b, c, d, e, z których tylko jedna jest prawidłowa. 7. W razie jakichkolwiek niejasności ostateczna decyzja należeć będzie do komisji konkursowej Meridian. 8. Instrukcje wypełniania karty odpowiedzi przez ucznia: a) Na karcie odpowiedzi podaj wpisując po jednej cyfrze w prostokącik. Następnie poniżej każdego z prostokątów zamaluj kółeczko odpowiadające cyfrze wpisanej w prostokąt. b) Na karcie odpowiedzi możesz używać tylko ołówka- czarnego, B, 2B lub ciemniejszego. c) Niejednoznaczne wskazanie odpowiedzi będzie traktowane jako jej brak. 3. Dodatkowe obliczenia możesz wykonać w miejscu opatrzonym napisem brudnopis. Zapisy w brudnopisie nie będą sprawdzane i oceniane. 4. Odpowiedzi zakreślane są na specjalnej karcie odpowiedzi. Zawodnik otrzymuje tylko jedną kartę odpowiedzi, której nie należy zgniać, zgniatać ani miąć. Po zakończeniu konkursu karty odpowiedzi zbiera nauczyciel. 5. Wyniki dostępne będą w internecie na stronie mmc.edu.pl 6. Wszystkie wybierane odpowiedzi muszą być zaznaczone w karcie odpowiedzi. 9. Musisz oddać tę kartę odpowiedzi osobie nadzorującej konkurs. POWODZENIA!

2 CZĘŚĆ I (Zadania 1-10 za 3 pkt) 1. Jeśli zaczniesz od jedynki i będziesz wymieniał kolejne liczby większe o 3, otrzymasz: 1,4,7,10,13 itd. Jaka będzie setna liczba w tym ciągu? Ile jest różnych dróg z punktu A do punktu B, jeśli możemy poruszać się tylko w prawo lub w górę? Piętnaście monet jest rozdzielone na cztery stosy tak że każdy stos zawiera inną liczbę monet. Najmniejsza liczba monet, jaką możemy otrzymać w największym stosie, to M oraz N są dwiema różnymi liczbami całkowitymi wybranymi z zakresu od 1 do 50. Największa możliwa wartość wyrażenia jest równa Do sporządzenia pomarańczowej farby należy zmieszać 3 jednostki farby czerwonej z 2 jednostkami farby żółtej. Do sporządzenia zielonej farby należy zmieszać 2 jednostki farby niebieskiej oraz 1 jednostkę farby żółtej. Jaką cześć mikstury stanowi farba żółta w mieszaninie, w której połowę objętości stanowi farba pomarańczowa, a połowę farba zielona? 6. Restauracja może przyjąć do 400 ludzi, wliczając w to gości i kelnerów. Każdy kelner może obsłużyć maksymalnie 12 gości. Największą liczbą gości, która może być obsłużona, jest

3 7. Na rysunku, ST jest styczna do mniejszego z dwóch okręgów współśrodkowych. Długość ST jest równa 40 cm. Jakie jest pole, w cm2, zacieniowanego obszaru pomiędzy dwoma okręgami? 144π 196 π 225 π 324 π 400 π 8. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest równy Jeśli żadna z tych liczb nie kończy się na 0, wtedy ich suma jest równa? Kilka pierwszych liczb w ciągu Fibonacciego to 1,1,2,3,5,8,13,21,.. Dwie identyczne kości do gry mają napisane na swoich ściankach pierwsze sześć z tych liczb na swoich ściankach. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w rzucie tymi dwiema kośćmi otrzymamy sumę, która również będzie liczbą Fibonacciego? 10.Potęgą liczby 10, która jest najbliższa liczby jest CZĘŚĆ II (Zadania za 4 pkt) 11. W koło o promieniu 1 wpisano kwadrat. Jakie będzie pole zacieniowanego obszaru, jeśli zagniemy koło wzdłuż boków kwadratu jak na rysunku? 4 π 2 3

4 12. Dwie dodatnie liczby całkowite M i N spełniają równość M2-N2=2011. Ile jest równe N? Oznaczenie oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Jeśli dzielimy liczby 3 bez reszty, to największym wykładnikiem tej potęgi jest liczba przez potęgę Walt zaprojektował postać rysunkową złożoną z dużego okręgu I dwóch stycznych do niego mniejszych okręgów. Wszystkie trzy okręgi można umieścić w kwadracie tak, że będą do niego styczne, jak pokazano na rysunku. Jeśli małe koła mają promień 3, zaś bok okręgu ma długość 14, to promień dużego okręgu jest równy 19/4 13/3 24/5 9/2 32/7 15. Niech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Największą możliwą wartością wyrażenia 3 x-9x jest 16. Pięć liczb { Liczba, która jest w takim porządku trzecia, to } porządkujemy od najmniejszej do największej. 17. W turnieju szachowym gracz zdobywa 1 punkt za zwycięstwo, punktu za remis oraz 0 punktów za porażkę. Niedawno odbył się turniej, w którym każdy z graczy zagrał z każdym dokładnie jeden raz, 4 najwyższe wyniki były równe. Najniższy wynik na tym turnieju był równy 4

5 1 0 nie można tego określić 18.Suma kątów ostrych na diagramie, których wierzchołki są końcami ramion gwiazdy, jest równa James płynął w rzece pod prąd i zgubił okulary pływackie. Przez 10 minut płynął dalej. Po tym czasie zdecydował się zawrócić i odzyskać je. Znalazł swoje okulary, które płynęły z prądem rzeki ze stałą prędkością, w odległości 500 metrów od miejsca, w którym je zgubił. James płynął ze stałą siłą przez cały czas. Prędkość prądu rzeki wynosiła 0.5 km/h 1 km/h 1.5 km/h 2 km/h 3 km/h 20. Cztery pary, w tym ja i mój narzeczony, spotkały się na lunchu. Uścisnęliśmy sobie ręce. Nikt nie uścisnął ręki sobie ani swojemu partnerowi i nikt nikomu nie uścisnął ręki więcej niż raz. Na koniec zapytałam każdą z osób, w tym mojego męża, ile rąk uścisnęła. Każda z tych osób podałą inną odpowiedź. Ile rąk uścisnęłam? CZĘŚĆ III (Zadania za 5 pkt) 21. Sześciokąt ABCDEF jest opisany na okręgu. Jeśli wszystkie boki są równe, a kąt A ma miarę 130, wtedy kąt D jest równy: Dany jest okrąg w układzie współrzędnych o środku w punkcie należy punkt jest równy 0, gdzie. Jeśli do okręgu, wtedy współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej do okręgu w punkcie nie można jednoznacznie określić 5

6 23. Funkcja f spełnia równanie: ( ) dla każdego x różnego od 0. Wartość funkcji w punkcie 2 jest równa Na rysunku obok przedstawiony jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnej BC równej 1, kącie prostym BCA oraz kącie ostrym ABC równym 30. Z punktu C prowadzimy odcinek prostopadły do przyprostokątnej AB o końcu w punkcie D leżącym na tej przeciwprostokątnej. Wtedy z punktu D kreślimy odcinek DE prostopadły do boku AC. Kontynujemy rysowanie lini prostopadłych otrzymując kolejne odcinki: EF, FG, GH, HI itd. Suma długości CD+DE+EF+FG+ jest równa: Dla ilu liczb całkowitych wartość wyrażenia suma długości jest nieskończona też jest liczbą całkowitą? Do pomalowania liter w słowie MATEMATYKA użyliśmy 4 różnych kolorów w ten sposób, żeby: te same litery były pomalowane jednakowym kolorem żadne dwie sąsiednie litery nie miały tego samego koloru Na ile sposobów możemy pomalować w ten sposób słowo MATEMATYKA? Spośród liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} losujemy bez zwracania 8 liczb. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma tych ośmiu liczb jest podzielna przez 4? 6

7 28.Trzy przystające koła, są umieszczone wewnątrz trójkąta równoboczego tak, że są wzajemnie do siebie styczne i każdy z nich jest styczny do innego boku tego trójkąta (patrz rysunek). Boki trójkata mają długość 1. Ile jest równy promień każdego z kół? 29. Wierzchołki trójkąta równobocznego XYZ leżą na bokach większego trójkąta równobocznego ABC o bokach długości 2. Pola trójkąta XYZ stanowi 75 procent trójkąta ABC. Jeśli wierzchołek Z leży na boku AC bliżej wierzchołka A, to długość boku AZ jest równa 30. Cztery kolejne liczby całkowite należą do przedziału [1000;2000]. Najmniejsza z nich jest wielokrotnością 5, kolejna jest wielokrotnością 7, trzecia jest wielokrotnością 9, a największa jest wielokrotnością 11. Te liczby leżą w przedziale: [1000;1200] [1201; 1400] [1601;1800] [1801;2000] [1401;1600] 7