MODELE WYCENY OPCJI RZECZOWYCH MODELE BLACKA SCHOLESA

Transkrypt

1 B A D A I A O P E R A C Y J E I D E C Y Z J E Zofia WILIMOWKA Małgozata ŁUKAIUK MODELE WYCEY OPCJI RZECZOWYCH MODELE BLACKA CHOLEA W atykule omówiono modele wyceny opcji finansowych i opcji zeczowych. Zwócono uwagę na analogie i óżnice w tych opcjach. Miaą zmienności ceny akcji w modelu Blacka cholesa jest odchylenie standadowe stopy zwotu z akcji, miezone w skali jednego oku. Model Blacka cholesa zakłada, że zmienność jest stała w czasie. W atykule zwócono uwagę, że zmienność cen akcji spółek notowanych na WGPW znacznie zmienia się w czasie, dlatego wyceniając opcje zeczowe w pocesie wyceny watości spółki, należy bać pod uwagę dane z kótkich okesów czasowych, np. ceny zamknięcia dla danych dziennych z ostatnich dni, aby zachować założenia modelu. Pzedstawiono ównież modele opate na modelu Blacka cholesa, odchodzące od pewnych założeń pzyjmowanych w tym modelu uogóienia modelu Blacka cholesa. łowa kluczowe: opcje zeczowe, model dwumianowy, watość spółki 1. Wstęp Zmienność yzyko waunków towazyszących działaości gospodaczej stwaza konieczność eakcji na zmiany otoczenia. Dotychczas stosowane metody wyceny fimy są w tym zakesie niewystaczające, ponieważ nie pzypisują żadnej watości aktywnemu zaządzaniu pzedsiębiostwem w zmieniających się waunkach. Metody majątkowe są podstawą wyceny wyłącznie aktuaej substancji mateiaej pzedsiębiostwa, metody dochodowe ustalonego na wiele lat do pzodu sztywnego scenaiusza dochodów, ównież metody mieszane, będące kompilacją metod majątkowych i dochodowych, nie pzypisują żądanej watości możliwości eakcji pzedsiębiostwa na zmiany otoczenia. ymczasem pzedsiębiostwo może aktyw- Instytut Oganizacji i Zaządzania, Politechnika Wocławska, ul. moluchowskiego 5, Wocław, Zofia.Wilimowska@pw.woc.pl

2 86 Z. WILIMOWKA, M. ŁUKAIUK nie wpływać na swoją sytuację. Może dopasowywać się do zmian w otoczeniu pzez zmianę skali działaości, odoczenie czy zaniechanie pewnych inwestycji. Wiele decyzji inwestycyjnych twozy pewne specyficzne możliwości opcje, na pzykład wejścia na nowe ynki, ozszezenia działaości czy jej oganiczania wówczas, gdy okaże się ona nieopłacaa. udno spoządzić pecyzyjne pognozy dochodów geneowanych pzez takie pzedsięwzięcia, ponieważ często mają chaakte waunkowy, uzależniony od niedających się obecnie pzewidzieć okoliczności. Pzykładem są inwestycje w pace badawczo-ozwojowe, budowę maki, ozwój sieci dystybucji, któe mogą być piewszym ogniwem w łańcuchu kolejnych inwestycji. Podejmując takie inwestycje, pzedsiębiostwo uzyskuje jednocześnie możliwość dalszego ozwoju. Wycenę pzedsiębiostw w waunkach niepewności, któa uwzględnia zdoość pzedsiębiostwa do eakcji na zmieniające się waunki działaości, okeśla się teminem Real Option Valuation. W polskiej liteatuze pzedmiotu funkcjonuje tłumaczenie teminu eal option jako opcje zeczowe oaz jako opcje zeczywiste ten temin dominuje zaówno wśód autoów polskich, jak i tłumaczy, spoadycznie jako opcje eae. Opcjami zeczowymi nazywa się kozyści stategiczne, watości niemateiae, czy możliwości inwestycyjne, któe dają posiadaczowi opcji pawo do wszystkich pzepływów pieniężnych geneowanych pzez aktywa w całym okesie życia, w zamian za poniesienie okeślonych nakładów inwestycyjnych. a pzykład posiadanie patentu, któe jest opcją zeczową, daje właścicielowi pawo, ale nie obowiązek, wykozystania opatentowanej technologii w podukcji. Z posiadaniem patentu nie są związane żadne pzepływy pieniężne, ale tudno zapzeczyć, że patent ma okeśloną watość. Wśód najczęściej spotykanych odzajów opcji zeczowych M. Amaam i. Kulatilaka [1] wymieniają: opcje ozwoju wzostu, wyjścia, dopasowania czasowego, etapowania, elastyczności opeacyjnej.. Modele W liteatuze pzedmiotu opcje zeczowe, podobnie jak opcje na papieach watościowych, dotyczą dobowoych decyzji lub paw, bez żadnego obowiązku, aby nabyć lub wymienić aktywa po okeślonej altenatywnej cenie. Watość aktywów podstawowych w modelu opcji zeczowych to oczekiwana watość obecna pzyszłych pzepływów pieniężnych. Zmiany watości aktywów podstawowych w czasie są opisywane pzez odpowiednio dobany poces stochastyczny. Cena wykonania oznacza watość obecną wszystkich poniesionych w pzyszłości kosztów. Jeśli watość obecna pzyszłych kosztów wzasta, to watość opcji obniża się. Koszt jest jednym z obszaów, gdzie istnieje zasadnicza óżnica między

3 Modele wyceny opcji zeczowych opcjami zeczowymi i finansowymi. W opcjach finansowych cena wykonania jest okeślona w kontakcie. W pzypadku opcji zeczowych natomiast pzyszły koszt jest często nieznany pzed podjęciem inwestycji. Opcje finansowe Zmienna Opcje zeczowe Cena akcji Cena wykonania Czas do wygaśnięcia topa woa od yzyka Zmienność cen akcji R f Watość pojektu akłady inwestycyjne Czas odaczania decyzji Watość pieniądza w czasie Ryzyko pojektu Rys. 1. Analogie między opcjami na aktywach finansowych i zeczowych na pzykładzie opcji odoczenia Ź ódł o: na podstawie [4]. Czas do wygaśnięcia to w zależności od odzaju opcji czas ważności patentu, możliwości odaczania decyzji o ozpoczęciu inwestycji, okes pzewagi konkuencyjnej itp. W pzeciwieństwie do opcji finansowych czas do wygaśnięcia dla opcji zeczowych nie zawsze jest stały. Jako stopę pocentową woą od yzyka pzyjmuje się stopę zwotu z pozbawionych yzyka papieów watościowych, któą można byłoby uzyskać w czasie do wygaśnięcia opcji. W wycenie opcji finansowych pzyjmuje się zazwyczaj, że woa od yzyka stopa pocentowa jest stała w czasie tak jest np. w modelu Blacka cholesa, modelu Coxa 1. Ze względu na zmienność w czasie stóp pocentowych właściwsze wydaje się taktowanie stopy woej od yzyka jako pocesu stochastycznego ys.. W odniesieniu do opcji zeczowych zmienność jest miaą niepewności co do watości pzyszłych pzepływów pieniężnych. kutkiem wypłaty dywidendy na ynku kapitałowym jest spadek ceny akcji w dniu ustalenia pawa do dywidendy. Wpływa to na wzost watości opcji spzedaży i obniżenie watości opcji kupna. W analizie opcji zeczowych stopa dywidendy epezentuje utacone podczas życia opcji pzepływy pieniężne z pojektu. 1 Cox J. C., Ross. A., Rubinstein M., Option Picing: A implified Appoach, Jounal of Financial Economocs, eptembe, 1979.

4 88 Z. WILIMOWKA, M. ŁUKAIUK Rys.. Rentowność polskich dwuletnich obligacji państwowych o teminach wykupu w latach Model Blacka cholesa okeśla watość euopejskich opcji kupna wystawionych na akcje, któe nie pzynoszą dywidendy. F. Black i M. choles jako piewsi zauważyli 1973, że z akcji i opcji można skonstuować potfel woy od yzyka potfel abitażowy 3. Ponieważ abitaż gwaantuje, że entowność potfela pozbawionego yzyka musi być ówna bezpiecznej stopie zwotu, zatem w połączeniu z odpowiednimi waunkami bzegowymi pozwoliło to F. Blackowi i M. cholesowi wypowadzić analityczny model wyceny euopejskich opcji kupna jako funkcję ceny akcji, ceny wykonania, czasu do wygaśnięcia opcji, woej od yzyka stopy pocentowej f oaz waiancji ceny akcji [, 3]. Pzy założeniach: stopa woa od yzyka jest stała w okesie do wygaśnięcia opcji, stopy zwotu z akcji w nieskończenie małych odcinkach czasu mają ozkład nomay, ozkład cen akcji jest logaytmiczno-nomay, akcja nie pzynosi dywidendy, istnieje możliwość kótkiej spzedaży, pzebieg cen akcji da się modelować ciągłym pocesem stochastycznym Ito, watość euopejskiej opcji kupna w modelu Blacka cholesa wynosi [, 10]: C = f e f f, Black F., choles M., he Picing of Options and Copoate Liabilities, Jounal of Political Economy, May June, W potfelu abitażowym zakłada się, że zależność między stopami zwotu z poszczegóych składowych potfela a czynnikami yzyka jest liniowa. E. Bight, eoia inwestowania, Waszawa 1996, Z. Wilimowska, M. Wilimowski, ztuka zaządzania finansami, cz. I, Bydgoszcz 00.

5 Modele wyceny opcji zeczowych gdzie: cena akcji, cena wykonania, f stopa woa od yzyka, odchylenie standadowe stopy zwotu akcji w skali oku, długość okesu do teminu wygaśnięcia wyażona w skali oku, {.} dystybuanta zmiennej losowej o standadowym ozkładzie nomaym okeśla, jakie jest pawdopodobieństwo otzymania odchylenia niższego od d. Gaficzną ilustację watości opcji call pzedstawia ysunek 3. Watość opcji C= Watość opcji kupna w modelu Blacka-cholesa C=max [0, -e - ] C=max [0, -] e - Rys. 3. Watość opcji kupna w modelu Blacka cholesa kzywa opcji kupna zbiega się asymptotycznie z C = max[0, e f ] Ź ódł o: opacowanie na podstawie []. Wykozystując paytet kupna spzedaży, otzymamy watość euopejskiej opcji spzedaży na akcje nie pzynoszące dywidendy P = e f 1 f 1 f..1. Zmiany watości aktywów podstawowych W modelu Blacka cholesa zakłada się, że ceny akcji podlegają błądzeniu pzypadkowemu. Oznacza to, że w kótkim okesie ozkład zmian cen akcji ma chaakte

6 90 Z. WILIMOWKA, M. ŁUKAIUK ozkładu nomaego. Z tego wynika, że dla dowoego momentu w pzyszłości ceny akcji mają ozkład logaytmiczno-nomay zmienna w ozkładzie log-nomaym pzybiea jedynie watości dodatnie, można je modelować pocesem stochastycznym Ito. Waiancja aktywów podstawowych wzasta linowo waz z czasem. Watość aktywów podstawowych akcji, pojektu podlega błądzeniu pzypadkowemu zmienia się zgodnie z geometycznym uchem Bowna: d = α dt dz, gdzie: α paamet oczekiwanej stopy zwotu z akcji dyf, miaa zmienności pocesu np. odchylenie standadowe, dz = ε dt pzyost Wienea, ε poces o standadowym ozkładzie nomaym. Zmiany watości aktywów podstawowych, np. zmiany cen akcji, zmiany cen suowców, zmiany kosztu inwestycji pzebiegające zgodnie z geometycznym uchem Bowna ilustuje ysunek 4. Waiancja ośnie liniowo Watość aktywów Rozkład logaytmicznonomay end lub dyft α > 0 Rys. 4. Watość aktywów modelowana geometycznym uchem Bowna W pzypadku opcji zeczowych oczekiwana stopa zwotu z pojektu µ jest stopą uwzględniającą yzyko pojektu. Odpowiada stopie zwotu w modelu CAPM [6]. Pzez analogię do stopy zwotu z akcji oczekiwana stopa zwotu z pojektu µ: µ = α δ Czas Zyski kapitałowe topa dywidendy

7 Modele wyceny opcji zeczowych topa dywidendy w pzypadku opcji zeczowych może być intepetowana np. jako utata dochodu związana z odłożeniem uuchomienia pojektu, np. pzez wejście na ynek konkuencji w czasie, gdy czeka się na spzyjające waunki uuchomienia pojektu, któa odbiea pzedsiębiostwu część dochodów z pojektu utata dochodu, któego wyzeka się fima w zamian za możliwość niewykonywania opcji. a ysunku 5 pzedstawiono pzykładowe tajektoie zmian watości aktywów podstawowych opisywane geometycznym uchem Bowna. Watość aktywów Rys. 5. Zmiany watości aktywów pzebiegające zgodnie z geometycznym uchem Bowna Model Bowna jest powszechnie stosowany ównież w wycenie opcji zeczowych. Miaą zmienności ceny akcji w modelu Blacka cholesa jest odchylenie standadowe stopy zwotu z akcji w skali jednego oku. W modelu Blacka cholesa zakłada się, że zmienność miezona odchyleniem standadowym jest stała w czasie. W zeczywistości jednak tak nie jest. a ysunku 6 pzedstawiono zmiany odchylenia standadowego ocznej zmienności cen akcji spółek banży chemicznej notowanych na WGPW. Z analizy tych zmian wynika, że oczna zmienność cen akcji miezona odchyleniem standadowym stopy zwotu zmienia się w czasie, np. dla spółki Boyszew w 1998 oku wynosiła 65%, w 1999 oku 50%, w 000 oku 85%, w 001 oku 50%, a w 00 już tylko 3%. Dlatego zaleca się, aby wyceniając opcje bać pod uwagę dane z kótkich okesów, np. ceny zamknięcia dla danych dziennych z ostatnich dni [3]. Rys. 6. Zmiany ocznej zmienności cen akcji spółek banży chemicznej w latach na ynku polskim

8 9 Z. WILIMOWKA, M. ŁUKAIUK Ważnym poblemem w oszacowaniu zmienności jest ównież dobó miay czasu czy miezyć czas w dniach sesyjnych, czy kalendazowych. Jak zauważa Hull, jednym z czynników wywołujących zmienność jest obót giełdowy, a nie wyłącznie napływające infomacje. 3. Uogóienia modelu Blacka cholesa W modelu wyceny opcji Blacka cholesa zakłada się, że opcje zostały wystawione na akcje, któe nie pzynoszą dywidendy. Wypłata dywidendy wpływa na watość ynkową akcji. W dniu ustalenia pawa do dywidendy cena akcji obniża się o wielkość dywidendy pzypadającej na akcję. W efekcie zmniejsza się watość opcji kupna, a zwiększa opcji spzedaży. W kontekście wyceny opcji dywidenda oznacza edukcję ceny akcji w dniu ustalenia pawa do dywidendy. Jeżeli na pzykład oczekiwana watość dywidendy wynosi 1 dola na akcję, a w dniu ustalenia pawa do dywidendy cena akcji spada o 80%, to dla wyceny opcji należy pzyjąć, że dywidenda wynosi 0,8 dolaa [3]. tosując model Blacka cholesa, należy od ceny walou odjąć watość bieżącą oczekiwanych dywidend, zdyskontowaną stopą woą od yzyka f, któe będą wypłacone pzed wygaśnięciem opcji. Jeżeli dywidenda byłaby wypłacana w sposób ciągły, to wyceniając opcje na akcje spółki wypłacającej dywidendę o znanej wielkości i stopie ównej δ, należałoby zmniejszyć aktuaą cenę akcji do watości e δ, a następnie wyceniać watość opcji w taki sam sposób jak w pzypadku opcji na akcje nie pzynoszące dywidendy tabela 1. Jeżeli w okesie do wykupu opcji stopa dywidendy nie będzie stała, to fomuły można wykozystać pod waunkiem założenia jako δ np. śedniej watości stopy dywidendy wyażonej w stosunku ocznym, aby spełnić waunek stałości stopy dywidendy. W paktyce dywidendy nigdy nie są wypłacane w sposób ciągły. Ale na pzykład opcje na indeksy akcji, w któych stopa dywidendy składa się ze stóp dywidend z akcji wchodzących w skład danego indeksu, można taktować jak aktywa pzynoszące dywidendę w sposób ciągły. Podobnie opcje na waluty obce, w któych stopa dywidendy jest woą od yzyka stopą pocentową dla okeślonej waluty W wycenie opcji zeczowych odpowiednikiem dywidendy jest czynnik, któy obniża watość pojektu w zależności od odzaju opcji może to być np. koszt taconych potencjaych kozyści, któy wynika z odaczania momentu ozpoczęcia podukcji, dochody tacone na skutek działania konkuencji W większości modeli wyceny opcji zeczowych odpowiednik dywidendy taktuje się analogicznie jak dywidendę wypłacaną w sposób ciągły w wycenie opcji finansowych.

9 Modele wyceny opcji zeczowych... 93

10 94 Z. WILIMOWKA, M. ŁUKAIUK Model wyceny euopejskiej opcji kupna Black i choles opublikowali w 1973 oku, pzyjmując szeeg założeń, któe w ciągu następnych 10 lat pzez innych badaczy zostały osłabione. Modele opate na modelu Blacka cholesa odchodzące od założeń pzyjmowanych w tym modelu, pzedstawiono w załączonej tabeli. Modele te są omawiane w innych publikacjach. abelę opacowano na podstawie źódeł wtónych. Wnioski Uwzględnienie opcji zeczowych w pocesie wyceny watości pzedsiębiostwa umożliwia wycenę zdoości pzedsiębiostwa do pzystosowania się do zmieniających się waunków. Pozwala wyceniać pojekty, któe w momencie wyceny nie są ealizowane, ale mogą być w spzyjających waunkach. Do wyceny opcji zeczowych stosuje się metody wyceny finansowych opcji kupna. W waunkach niestabiej gospodaki, gdy stopy zwotu i zmienność cen aktywów nie są zbyt stabie w czasie, należy wyjątkowo ostożnie dokonywać oszacowań opcji zeczowych. Pzedstawiony model Blacka cholesa i uogóienia tego modelu okeślają watość opcji euopejskiej. Opcje zeczowe to pzede wszystkim długoteminowe opcje ameykańskie, któe mogą być wykonane w dowoym teminie do czasu ich wygaśnięcia. Model Blacka cholesa wykazuje skłonność do zawyżania watości opcji out of the Money i zaniżania in the Money. Opacowane pzez innych badaczy modele uogóione modele pozwalają dokonać wyceny opcji zeczowych pzy słabszych założeniach niż w modelu Blacka cholesa. Bibliogafia [1] AMRAM M., KULAILAKA., Real Options, Managing Investment in an Uncetain Wold, HB Pess, Boston, Massachusetts [] HAUGE R.A., eoia nowoczesnego inwestowania, WIG Pess, Waszawa [3] HULL J., Kontakty teminowe i opcje. Wpowadzenie, WIG Pess, Waszawa [4] LUEHRMA., tategy as a Potfolio of Real Options, Havad Business Review, eptembe/octobe [5] ŁUKAIUK M., Metodyka wyceny pzedsiębiostw z uwzględnieniem opcji, paca doktoska, Politechnika Wocławska, Wocław 003. [6] MACBEH J., MERVILLE L., ests of the Black choles and Cox Option Valuation Models, Jounal of Finance, May [7] PIDYCK R.., Ievesibility, Uncetainty and Investment, Jounal of Economic Liteatue, eptembe [8] MIHO Ch.W., MIH C.W., WILFORD D.., Zaządzanie yzykiem finansowym, Oficyna Ekonomiczna, Kaków 000.

11 Modele wyceny opcji zeczowych [9] ARGIEL K., Zmienność a yzyko [w:] Modelowanie pefeencji a yzyko, pod ed.. zaskalika, Wydawnictwo Uczeiane Akademii Ekonomicznej, Katowice [10] WERO A., WERO R., Inżynieia finansowa. Wycena instumentów pochodnych. ymulacje komputeowe, tatystyka ynków, W, Waszawa [11] WILIMOWKA Z., WILIMOWKI M., ztuka zaządzania finansami. Cz. 1, Wydanie II popawione, Bydgoszcz, Oficyna Wydawnicza Ośodka Postępu Oganizacyjnego 001. [1] WILMO P., Paul Wilmott on Quantitative Finance, John Wiley & ons, Chicheste et Real option valuation methods Black choles models Real option valuation methods used in fim valuation pocess allow taking into consideation fim s flexibility and its adaptability to envionmental changes. he isk is taken into consideation at an expected ate of etun in eal option an expected etun ate is elated to CAPM model. imilaly to etun ate of stocks, an expected ate of etun µ = α δ in eal option valuation pocess. Dividend ate in eal option valuation could be intepeted as the cost of delay in poject stating an income that is efused in exchange of the possibility of ejecting a given option. he Black choles model descibes the picing of Euopean call option fo shae without dividend payment. A standad deviation of yealy etun ate of stocks is a isk measue in Black choles model. It is assumed that the vaiability of stocks is constant duing the yea. Actually, the vaiability is changing with time. o, in the pape, it is shown that the vaiability of stocks at WE is changing with time and fo this eason a shot tem vaiability should be taken into account in eal option valuation pocess, i.e., the last days. Othe models based on the Black choles one that efuse its basic assumptions ae also pesented. Keywods: eal options, Black choles models, value of the fim

12 abela 1 Uogóienia modelu Blacka cholesa Odejście od założenia Auto Postać modelu watość euopejskiej opcji kupna Baku dywidendy Meton 1973 = e e C f f f δ δ δ, gdzie:δ stała stopa dywidendy Baku podatków i kosztów tansakcyjnych Ingesoll 1976 = e e C τ δ τ δ τ τ δ , gdzie: τ stopa podatkowa, δ koszty tansakcji tałych stóp pocentowych Meton 1973 = B B B C B watość woej od yzyka obligacji zeokuponowej zdyskontowanej, bez wypłaty odsetek o teminie wykupu ównym teminowi wygaśnięcia opcji, waiancja ceny akcji i stopy dyskontowej obligacji. Działania ynku w sposób ciągły i cen akcji zmieniających się w sposób ciągły Meton 1976 Cox i Ross 1976 Modelowanie za pomocą funkcji skokowych połączenie skoków i dyfuzji. Zakładając oganiczoną wielkość skoków i ich ozkład log-nomay: [ ] = = e n e C n k k n ˆ ˆ ˆ ˆ! λ λ λ częstotliwość skoków, K śednia wielkość skoku wyażona w stosunku do ceny akcji, R = λ {n/[1k]}/, ˆ n j =, j waiancja ozkładu skoków. Rozkład końcowych cen akcji jest log-nomay Jaow i Rudd 198 Zmiany cen pzebiegają w sposób dyfuzyjny, ale niekoniecznie powadzą do ozkładu log-nomalego uogóienie modelu Blacka cholesa dopuszczające możliwość, by sama zmienność cen podlegała pocesowi stochastycznemu. Źódło: opacowanie własne na podstawie [], [3], [5], [8], [10] [1].