ANALIZA OBWODÓW RZĘDU ZEROWEGO PROSTE I SIECIOWE METODY ANALIZY OBWODÓW

Transkrypt

1 ANALIZA OBWODÓW RZĘDU ZEROWEGO PROSTE I SIECIOWE METODY ANALIZY OBWODÓW

2 Rezystancja zastępcza dwójnika bezźródłowego (m.b. i=0 i u=0) Równoważność dotyczy zewnętrznego zachowania się układów, lecz nie dotyczy ich wnętrza. Rezystancyjny dwójnik bezźródłowy może być zbudowany z rezystorów oraz źródeł sterowanych, lecz z pewnością nie zawiera źródeł niezależnych. Obliczanie rezystancji zastępczej dwójnika zawierającego źródła sterowane wymaga użycia tzw. źródła testującego(np. U idealnego źródła napięciowego, a obliczyć należy natężenie prądu). Do znalezienia rezystancji zastępczej na rys. poniżej, wykorzystano napięciowe źródło testujące dla tego dwójnika ten typ źródła zapewnia prostsze obliczenia: Przy obliczaniu R Z dwójnika o schemacie pokazanym dalej lepiej użyć prądowego źródła testującego.

3 Zasada kompensacji Dowolny rezystor R, znajdujący się w sieci SLS, na którym panuje napięcie U i płynie prąd I, można zastąpić idealnym źródłem napięciowym (lub prądowym) ŹRÓDŁEM KOMPENSUJCYM o wydajności równej napięciu panującemu na tym dwójniku (lub prądowi płynącemu przez dwójnik), nie wywołując przy tym żadnych zmian w pracy całego układu. W obydwu pokazanych przypadkach dodanie dwóch idealnych źródeł (napięciowych lub prądowych) o identycznej wydajności, lecz o przeciwnym zwrocie, nie powoduje zmiany w pracy układu. Z kolei wyeliminowanie jednego z tych źródeł łącznie z rezystorem sprawia, że w układzie na miejscu rezystora pozostaje idealne źródło (w pierwszym przypadku napięciowe, a w drugim prądowe) a warunki pracy całego obwodu nie zmieniają się. Zasadę kompensacji można zastosować również do bardziej złożonego dwójnika rezystancyjnego, a także do zacisków, na których istnieje rozwarcie lub zwarcie. Jeśli np. na wybranych rozwartych zaciskach rozpatrywanego układu panuje napięcie równe U, to dołączenie do tych zacisków idealne źródła napięciowego o wydajności U nie zmieni napięć i prądów w całym układzie (również prąd płynący przez źródło włączone w miejsce rozwartych uprzednio zacisków pozostanie równy zeru).

4 Teoria absorpcji źródła i wykorzystanie jej do obliczenia R in patrząc w wyprowadzenie E przy uziemnionych B i C Jeżeli źródło prądowe sterowane Jest napięciem na nim, wówczas I x =g m V x gdzie g m jest konduktancją Możemy zamienić takie źródło Impedancją: Z x = V x / I x = 1/g m

5 Otrzymania schematu zastępczego MOSa typu T z Π Dodanie 2-go źródła g m v gs nic nie zmienia Powstały nowy węzeł X można połączyć z bramką G (prąd się nie zmieni =0!!) Następnie wystarczy zamienić to źródło równoważną rezystancją v gs /g m v gs =1/ g m i g =0, i d =g m v gs,, i s = v gs,/(1/ g m )

6 Zasada superpozycji dowolnym układzie liniowym (i tylko liniowym!), w którym działa kilka pobudzeń niezależnych rąd (napięcie) w dowolnym elemencie tego układu obliczyć można jako sumę prądów (napięć) ywołanych w tym elemencie przez każde pobudzenie z osobna, przyjmując każdorazowo, że ozostałe pobudzenia są zerowe. Czasem mówi się, że pozostałe pobudzenia są wyłączane: yłączenie każdego idealnego źródła napięciowego polega na zastąpieniu go zwarciem, zaś idealne ródło prądowe zastępowane jest rozwarciem (uwaga: rezystancje wewnętrzne wyłącznych źródeł ie są usuwane i pozostają na swoich miejscach). Krótko powiedzieć można, że odpowiedź układu iniowego na pobudzenie złożone z kilku składników jest superpozycją odpowiedzi cząstkowych a każdy ze składników pobudzenia z osobna. 1. Odpowiedź cząstkowa na pobudzenie źródłem napięciowym przy wyłączonym źródle prądowym: 2. Odpowiedź na pobudzenie źródłem prądowym (przy wyłącze źródła napięciowego):. Całkowite napięcie wyjściowe: U 0 = U 01 + U 02

7 Metoda dodatkowych źródeł (2 Twierdzenia) 1. Jeśli do każdej gałęzi incydentnej z wybranym węzłem włączone zostaną idealne źródła napięciowe o identycznej wydajności oraz o tym samym zwrocie w stosunku do węzła, to rozpływ prądów w całym układzie nie zmieni się; 2. Jeżeli do każdej gałęzi wybranego oczka dołączone zostaną idealne źródła prądowe o identycznej wydajności i o tym samym zwrocie w stosunku do kierunku obiegu oczka, to rozpływ prądów w całym układzie nie zmieni się. Np. do wyeliminowania źródła E 2, można przekształcić obwód obok do postaci A, a gdy należy pozbyć się źródła J, obwód przekształca się w sposób pokazany na rysunku B.

8 Dzielniki rezystancyjne Jeśli do układu będącego szeregowym połączeniem rezystorów przyłożone zostanie napięcie U, natężenie prądu płynącego przez układ będzie równe:,a więc napięcie na k-tym elemencie: Można powiedzieć, że napięcie przyłożone do układu dzieli się na napięcia na poszczególnych elementach proporcjonalnie do wartości rezystancji tych elementów (stąd DIELNIK NAPIĘC.) DZIELNIK PRDOWY, który jest zbudowany jako równoległa kombinacja rezystorów, realizuje podział prądu doprowadzonego do układu proporcjonalnie do konduktancji elementów składowych, a więc przez element o konduktancji G k płynie część prądu dopływającego do całego układu, której wielkość wynosi: Dla dzielników dwuelementowych:

9 Przykład Należy wyznaczyć prąd i napięcie na rezystorze R 4. Zamieniamy gwiazdę R 1 R 2 R 3 na trójkąt R A R B R C (przechodząc na przewodności G 1 =1/ R 1, G 2 =1/ R 2, G 3 =1/ R 3 ) więc: R 5 G A =G 2 G 3 /(G 1 +G 2 +G 3 ) tj.r A = R 2 + R 3 + R 2 * R 3 /R 1 R 5 R 1 R 2 G B =G 1 G 3 /(G 1 +G 2 +G 3 ) tj.r B = R 1 + R 3 + R 1 * R 3 /R 2 R C E R 3 R 4 G C =G 1 G 2 /(G 1 +G 2 +G 3 ) tj.r C = R 1 + R 2 + R 1 * R 2 /R 3 E R B R A R 4 E R B R 5 C R 4 A Następnie obliczamy rezystancje lub przewodności rezystorów połączonych równolegle, tj. R 5 C = R 5 R C /(R 5 + R C ); R 4 A = R 4 R A /(R 4 + R A ) lub G 5 C =G 5 + G C ; G 4 A =G 4 + G A. Napięcie na R 4 wyznaczamy z dzielnika napięciowego złożonego z rezystorów połączonych równolegle jako: U R4 =E* R 4 A /(R 4 A + R 5 C ), zaś prąd obliczymy z prawa Ohma: I R4 = U R4 /R 4

10 Metoda zamiany źródeł dla skutecznego łączenia źródeł i rezystancji Na przykładzie najprostszego obwodu pokazanego poniżej natychmiast można zauważyć, że dla obu równoważnych reprezentacji źródła obciążenie R L pracuje w identycznych warunkach, ale tylko moc P L wydzielana na obciążeniu w obu obwodach jest taka sama, zaś moce P E i P J wytwarzane przez źródła i moce P RW tracone na rezystancjach wewnętrznych są różne.

11 Przykład wykorzystania metody zamiany źródeł i met.superpozycji

12 Metoda źródeł zastępczych (Tw. Thevenina) owolny liniowy źródłowy dwójnik rezystancyjny można zastąpić równoważnym rzeczywistym ródłem napięciowym (nazywanym źródłem Thevenina) o wydajności napięciowej E T i rezystancji ewnętrznej R T. Wydajność napięciowa zastępczego źródła Thevenina równa jest napięciu na ozwartych zaciskach dwójnika źródłowego: E T = U R (w ten sposób m.in. można ją obliczyć). ezystancja wewnętrzna źródła Thevenina R T równa jest rezystancji zastępczej R Z dwójnika ezźródłowego, otrzymanego w wyniku wyłączenia wszystkich źródeł niezależnych w rozpatrywany wójniku źródłowym wyłączenie to polega na zastąpieniu zwarciami wszystkich niezależnych dealnych źródeł napięciowych oraz zastąpieniu rozwarciami wszystkich niezależnych źródeł prąowych (uwaga: wszystkie źródła sterowane pozostają niezmienione). Do obliczenia rezystancji ewnętrznej źródła można użyć innych metod. Stosując zasadę superpozycji: U = U I + U II + U III. U I = R Z I U II +U III =U R U = U R R Z. I

13 Tw. Nortona. Równoważność źródeł zastępczych Dowolny liniowy źródłowy dwójnik rezystancyjny można zastąpić równoważnym rzeczywistym źródłem prądowym (zwanym źródłem Nortona) o wydajności prądowej J N i rezystancji wewn.r N. Wydajność prądowa źródła Nortona równa jest prądowi płynącemu przez zwarte zaciski dwójnika ( J N = I Z ), zaś rezystancja wewnętrzna źródła Nortona jest równa rezystancji zastępczej dwójnika bezźródłowego otrzymanego w wyniku wyłączenia wszystkich źródeł niezależnych, (obliczanej więc identycznie jak dla źródła Thevenina:R N = R Z = R T ). Równanie dla R L ma postać: I = I Z U/R Z więc model: Ponieważ źródło Thevenina i źródło Nortona są układami równoważnymi dla tego samego dwójnik źródłowego A-B, więc są równoważne w stosunku do siebie, przy czym wartości ich parametrów spełniają zależności: Warto zwrócić uwagę na ostatnią zależność jako na dodatkową metodę obliczenia rezystancji wew źródła zastępczego (jako iloraz napięcia na rozwartych zaciskach rozpatrywanego dwójnika źródło i prądu płynącego przez zwarte zaciski tego dwójnika, a więc niekoniecznie jako rezystancję zastęp dwójnika bezźródłowego, czyli w sposób zupełnie inny, niż wynika to z obydwu podanych wyżej

14 Przykład źródła zastępczego Thevenina Metoda źródeł zastępczych jest skuteczną metodą analizy obwodów w przypadku, gdy należy obliczyć napięcie lub prąd dla jednego elementu obwodu, albo ogólniej - dla pary zacisków, dzielących obwód na dwie części. Jedną z nich jest dwójnik źródłowy zawierający niezależne źródła pobudzenia. Część druga, nie zawierająca takich źródeł, jest dwójnikiem bezźródłowym, a więc można znaleść jego rezystancję zastępczą, nazywając ją rezystancją obciążenia R L.

15 METODY SIECIOWE. Wstęp eżeli zachodzi konieczność obliczenia wszystkich prądów lub napięć obwodu, wówczas skutecznie są inne, bardziej ogólne metody analizy wynikające z prądowego lub napięciowego prawa Kirchhof + związki między prądem i napięciem na każdym z rezystorów, wynikające z prawa Ohma, czyli: Ri =R i I i albo I i =G i U Ri (wyjątkiem w indeksacji jest element R 7, dla którego U R7 =R 7 I 3 ). PPK dla węzłów 1,2,3: Otrzyma się układ sześciu równań algebraicznych pozwalający na obliczenie sześciu niewiadomych (np. prądów gałęziowych), ale układ takich równań (i tyle ile potrzeba do znalezienia wszystkich poszukiwanych prądów i napięć w układzie) można otrzymać w sposób systematyczny/automatyczny. NPK dla 3-ch oczek:

16 Metoda napięć węzłowych Schemat analizowanego układu należy poddać pewnym niewielkim modyfikacjom: rezystory powinny być opisane konduktancjami, zaś źródła powinny mieć postać źródeł prądowych (patrz ry na którym J 1 =G 1 E 1 =E 1 /R 1 ). Przyjmując jeden z węzłów układu za węzeł odniesienia (węzeł 4-ty jako 0) a pozostałe węzły numerując kolejno od 1do N zapisujemy układ N liniowych równań algebraicznych, albo równanie macierzowe o ogólnej postaci [G]*[U]=[J], gdzie:[g]- MACIERZ KONDUKTANCJI WĘZŁOWYCH, której każdy element głównej przekątnej macierzy G kk, czyli konduktancja własna węzła o numerze k, jest sumą konduktancji wszystkich gałęzi incydentnych. Element G jk - jest tzw. konduktancją wzajemną węzłów o numerach j i k, czyli konduktancją gałęzi bezpośrednio łączącej te węzły, wpisaną do macierzy ze znakiem minus. Jeśli węzły nie są połączone ze sobą bezpośrednio, odpowiedni element macierzy ma wartość zero. Gdy w sieci nie ma źródeł sterowanych, macierz [G]jest macierzą symetryczną: G jk =G kj ; [U] -MACIERZ NAPIĘĆ WĘZŁOWYCH, zawiera kolumnę N niewiadomych napięć; [J]- MACIERZ POBUDZEŃ PRĄDOWYCH której każdy wyraz J k jest algebraiczną sumą (prądy dopływające do węzła z plusem, prądy odpływające z minusem ) wydajności prądowych idea źródeł prądowych znajdujących się w gałęziach incydentnych z węzłem o numerze k.

17 Przykład układu zawierającego źródła sterowane Jeśli w układzie występują źródła sterowane, trzeba opisać wielkości sterujące tymi źródłami za pomocą wielkości znanych lub takich, które mogą pozostać w równaniu jako niewiadome (tj. napięć węzłów), a następnie należy uporządkować równanie; Obwód ten należy zmodyfikować zgodnie z podaną wyżej procedurą(patrz rysunek poniżej). Macierzowe równanie węzłowe będzie miało następującą postać: obok napięć węzłowych U 1 i U 2 niewiadomą jest Również napięcie sterujące U S. Wielkość tę, jak łatwo zauważyć, można opisać równaniem: U S =U 1 U 2. Po podstawieniu tej zależności i uporządkowaniu otrzymuje się równanie: Rozwiązaniem jest para napięć węzłowych: U 1 =10V,U 2 =8V.

18 Metoda prądów oczkowych Reguły opisu sieci M oczek: wszystkie źródła muszą być napięciowe oczka ponumerowane i kierunek prądów zgodny. Równanie: [R] [I]=[E], gdzie: [R] MACIERZ REZYSTANCJI OCZK (własne oczka i wzajemne z minusem) [I] MACIERZ PRĄDÓW OCZKOWY [E] MACIERZ POBUDZEŃ NAPIĘCI (algebr. suma napięć w oczku), oncepcja metody polega na założeniu, że w poszczególnych oczkach (ponumerowanych kolejno:,ii,iii) płyną niezależne prądy oznaczone symbolami I I,I II,I III. Prądy krawędziowe (I 1,..,I 6 ), a więc rądy płynące w poszczególnych gałęziach układu, są związane z tak zdefiniowanymi prądami czkowymi prostymi zależnościami: część z nich jest wprost równa prądom oczkowym, zaś inne są ch różnicą. a podstawie PPK wyznaczamy: pozostają niewiadome I I,I II,I III ). prawa Ohma: U Ri =R i.i i co - po uporządkowaniu da następujące równanie macierzowe:

19 Przykłady Zastosowanie powyższej procedury do przykładowego obwodu oznacza konieczność wstępnego przygotowania obwodu do opisu metodą prądów oczkowych (rys.) i napisanie równań (jak wyżej): W przypadku układu zawierającego źródła sterowane: Napięcie sterujące U S =2Ω * I 2 co daje równanie: którego rozwiązaniem jest para prądów: I 1 =3A, I 2 =1A.