Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk"

Transkrypt

1

2 STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Nierówności dla początkujących olimpijczyków Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk wwwomgedupl Warszawa 04

3 Nierówności dla początkujących olimpijczyków Autorzy: Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk Skład systemem TEX/M E X): Tomasz Szymczyk Projekt okładki: Adam Klemens Publikacja przygotowana w ramach projektu Opracowanie i wdrożenie kompleksowego systemu pracy z uczniem zdolnym finansowanego ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego ISBN Nakład: Komitet Główny Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Instytut Matematyczny PAN ul Śniadeckich Warszawa wwwomgedupl EGZEMPLARZ BEZPŁATNY

4 Wstęp Dowodzenie nierówności nie jest rzeczą łatwą W niniejszej broszurze chcemy pokazać kilka najprostszych sposobów dowodzenia nierówności Kierujemy ją do tych uczniów, dla których przygoda z olimpiadą matematyczną dopiero się rozpoczyna Zadania przedstawione w niniejszym opracowaniu wykorzystywane były między innymi na zajęciach kół matematycznych dla gimnazjalistów oraz podczas seminariów olimpijskich z matematyki, kierowanych do nauczycieli Wybrane przez nas zadania pochodzą z różnych źródeł Na końcu załączamy spis literatury, z której czerpaliśmy zadania Niektóre z przedstawionych w tej broszurze zadań są oryginalne W literaturze matematycznej istnieją publikacje, w których można znaleźć wiele metod dowodzenia nierówności Sposoby tam przedstawione są na ogół bardziej zaawansowane, a naszym celem było pokazanie kilku najprostszych metod Wszystkim, którzy pragną pogłębić wiedzę na temat dowodzenia nierówności, szczególnie polecamy [] i []

5 Badanie znaku różnicy Aby wykazać, że prawdziwa jest nierówność LP, wystarczy udowodnić prawdziwość nierówności L P 0 Pamiętać należy, że suma i iloczyn liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną Przykład Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność Rozwiązanie Zauważmy, że a +b +c ab+bc+ca a +b +c ab+bc+ca) a ab+b +b bc+c +c ca+a ) [ a b) +b c) +c a) ] 0 Stąd, dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i c, prawdziwa jest nierówność Przykład a +b +c ab+bc+ca Wykazać, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność a b + b c + c a a+b+c Rozwiązanie Zbadajmy znak różnicy lewej i prawej strony danej nierówności Mamy: a b + b c + c a a+b+c) a b a+b+ b c b+c+ c a c+a ab b b) + c c) + c a a) 0 Wynika stąd, że dana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych dodatnich liczb a, b i c Zauważmy, że równość zachodzi tylko dla a b c 4

6 Nierówności dla początkujących olimpijczyków 5 Ćwiczenia Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwe są nierówności: a) a +b +c ) a+b+c), b) a +b +c + 4 a+b+c Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są nierówności: a) a +b a b+ab, b) a 4 +b 4 a b+ab, c) a n+ +b n+ a n b+ab n, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą Wykazać, że jeżeli a +b > 0, to a ab+b a +ab+b 4 Liczby a, b, c, d są takimi liczbami nieujemnymi, że a+c i b+d Wykazać, że a+b+cd 5 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c prawdziwa jest nierówność a +b +c a +b +c a+b+c Zależności między średnimi W dowodach wielu nierówności wykorzystywane są zależności zachodzące między średnimi Średnie te definiuje się następująco: średnią arytmetyczną liczb rzeczywistych a, a,, a n nazywamy liczbę A n a +a + +a n, n średnią geometryczną liczb nieujemnych a, a,, a n nazywamy liczbę G n n a a a n, średnią harmoniczną liczb dodatnich a, a,, a n nazywamy liczbę n H n + + +, a a a n średnią kwadratową liczb rzeczywistych a, a,, a n nazywamy liczbę a K n +a + +a n n

7 6 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk Dla dodatnich liczb rzeczywistych a, a,, a n zachodzą następujące zależności H n G n A n K n, czyli: n n a a a n a +a + +a n a +a + +a n n n a a a n Na przykład dla n otrzymujemy a dla n mamy Przykład a + a + + a a a a a a +a a +a, a a a a +a +a a +a +a Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b, c prawdziwa jest nierówność a b+ b c+ c a a+b+c Rozwiązanie Korzystając z zależności między średnią geometryczną i artymetyczną dla trzech liczb nieujemnych, otrzymujemy a b a a b a+a+b Analogicznie uzyskujemy nierówności b c b+c a+b oraz c a c+a Dodając otrzymane trzy nierówności stronami, dostajemy a b+ b c+ c a a+b a to właśnie mieliśmy wykazać Przykład 4 + b+c + c+a a+b+c, Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b zachodzi nierówność a+ b a+b) Rozwiązanie Wykorzystamy nierówność pomiędzy średnią artymetyczną i średnią kwadratową dla liczb nieujemnych a i b Mamy stąd: a+ b a) + b) a+b i mnożąc obustronnie przez, dostajemy a+ b a+b)

8 Nierówności dla początkujących olimpijczyków 7 Ćwiczenia 6 Wykazać, że jeżeli a, a,, a n są liczbami dodatnimi, których iloczyn jest równy, to prawdziwa jest nierówność +a )+a )+a n ) n 7 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b i c zachodzi nierówność a+ b+ c a+b+c) 8 Wykazać, że dla dowolnych liczb a, b należących do przedziału 0; prawdziwa jest nierówność ab a) b) 6 9 Wykazać, że jeżeli a, b, c, x są liczbami dodatnimi i a+b+c, to x+a)x+b)x+c) x+) 0 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c zachodzi nierówność a+b+c) a + b + ) 9 c Przyjmując, że zależności między średnimi są prawdziwe dla n, wykazać, że są prawdziwe dla n 4 Przekształcenia równoważne Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, jeżeli jednocześnie obie są prawdziwe lub jednocześnie obie są fałszywe Jeżeli w nierówności L P obie strony są nieujemne, to nierówność ta jest równoważna nierówności L n P n, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą Przekształceniem równoważnym jest też dodawanie do obu stron nierówności tego samego wyrażenia, mnożenie obu stron nierówności przez tę samą liczbę różną od zera, przy czym przy mnożeniu przez liczbę dodatnią zachowujemy odpowiedni znak nierówności, a przy mnożeniu przez liczbę ujemną zmieniamy znak nierówności na przeciwny Należy pamiętać, że dodawanie nierówności, o jednakowym zwrocie, stronami jest dopuszczalne, ale nie jest to przekształcenie równoważne Jeżeli a b i c d, to na pewno a+c b+d, ale jeżeli a+c b+d, to nie musi być a b i c d Przykład 5 Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b prawdziwa jest nierówność a+ b a+b) Rozwiązanie Obie strony tej nierówności są nieujemne, więc jest ona równoważna następującej nierówności a+ b ) a+b),

9 8 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk która z kolei jest równoważna nierówności ab a+b, czyli ) a b 0 Ostania nierówność jest prawdziwa i jest ona równoważna nierówności z zadania, więc kończy to dowód zobacz też rozwiązanie przykładu 4) Przykład 6 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c, d prawdziwa jest nierówność a+c)b+d) ab+ cd Rozwiązanie Obie strony danej nierówności są dodatnie, więc podnosząc do kwadratu obie jej strony, otrzymujemy nierówność równoważną Wystarczy zatem wykazać, że prawdziwa jest nierówność a+c)b+d) ab+ abcd+cd, albo równoważnie ad+bc abcd Ostatnia nierówność jest prawdziwa na podstawie zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb dodatnich Kończy to dowód nierówności danej w zadaniu Ćwiczenia Wykazać, że dla dodatnich liczb a i b prawdziwa jest nierówność a + b 4 a+b Wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi nierówność a +a 4 4 Wykazać, że dla nieujemnych liczb całkowitych n zachodzi nierówność n+ n+ n+4 n+ 5 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c, d prawdziwa jest nierówność ac+bd a +b c +d 6 Udowodnić nierówności między średnimi dla n

10 Nierówności dla początkujących olimpijczyków 9 Podstawienia Dowody wielu nierówności upraszczają się lub sprowadzają się do nierówności znanych, jeżeli zastosujemy różne podstawienia Nie ma jednej reguły na podstawienia Wiele różnych podstawień, wraz z komentarzem, prezentowanych jest w [] oraz [] Przykład 7 Wykazać, że dla nieujemnych liczb rzeczywistych x prawdziwa jest nierówność x++ x+ x+ Rozwiązanie Przyjmijmy x+ a i x+ b Wtedy nasza nierówność przyjmuje postać lub równoważnie a+ b a+b a+ b a+b) A ta nierówność jest prawdziwa i łatwa do udowodnienia patrz przykład 4) Przykład 8 Liczby a, b, c są długościami boków trójkąta Wykazać, że zachodzi nierówność a+b c+ b+c a+ c+a b a+b+c) Rozwiązanie Ponieważ liczby a, b, c są długościami boków trójkąta, więc wyrażenia podpierwiastkowe są dodatnie Przyjmijmy teraz: a + b c x, b + c a y, c + a b z Nasza nierówność jest więc równoważna nierówności x+ y + z x+y +z), która jest łatwa do udowodnienia patrz ćwiczenie 7) Ćwiczenia 7 Wykazać, że jeżeli a, b, c są liczbami dodatnimi, to zachodzi nierówność a+b) +b+c) +c+a) 4 a+b+c) 8 Wykazać, że jeżeli liczby a, b, c są długościami boków trójkąta, to a+b c)b+c a)c+a b) abc 9 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b i c zachodzi nierówność a+ b+c+ + b+ c+a+ + c+ a+b+

11 0 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk 0 Wykazać, że dla dowolnych liczb a, b i c zachodzi nierówność 5 a +b +c ) +4ab+bc+ca) a+b+c) Wykazać, że jeżeli a, b i c są długościami boków trójkąta, to a b+c)a+b c) a+b+c + a+b c) a+b+c) a b+c + + a+b+c)a b+c) a+b c a+b+c Zadania Wykazać, że jeżeli a, b, c są liczbami dodatnimi i a+b+c, to a b c b+ + c+ + a+ ) a+ b+ c Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b zachodzą nierówności a 4 +b 4 a +b a +b a+b a+b 4 Wykazać, że jeżeli a, b, c są liczbami nieujemnymi, to a +b +c +a+b+c) a+b) +b+c) +c+a) 5 Wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdzie są nierówności < < + x+ x+ x+ x x+ x+ x+ 6 Wykazać, że jeżeli a, b są takimi liczbami dodatnimi, że a+b ab, to a+b 4 7 Wykazać, że jeżeli a, b, c są liczbami rzeczywistymi, to a 4 +b 4 +c 4 +a+b+c) 4 a +b +c )a+b+c) 8 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność a +b +c +a+b+c) +4 6a+8b+0c 9 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi nierówność a +b + ab+a+b 0 Udowodnić, że dowolne nieujemne liczby x, y i z spełniają nierówność x+ + y + + z + > xy + + yz + + zx+

12 Nierówności dla początkujących olimpijczyków Liczby a, b, c są dodatnie i abc Wykazać, że a+b) +b+c) +c+a) ) 4 a+ b+ c Udowodnić zależności między średnimi dla n Wykazać, że jeżeli a b c 0, to a b+c) a b +c 4 Wykazać, że jeżeli a, b, c, x są liczbami dodatnimi i abc, to x+a)x+b)x+c) x+) 5 Wykazać, że dla dowolnych liczb a, b zachodzi nierówność a 4 +b 4 aba+b) 6 Liczby a, b, c są dodatnie i abc Wykazać, że +ab +a + +bc +b + +ca +c 7 Wykazać, że jeżeli a, b są liczbami różnymi od zera, to 8 Niech 0 < a b Wykazać, że a 4 +b 4 a6 b + b6 a b a) a+b 8b ab b a) 8a 9 Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b i c prawdziwa jest nierówność 9a+b)b+c)c+a) 8a+b+c)ab+bc+ca) 40 Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b i c zachodzi nierówność a+b+c) a +b +c ) 9abc 4 Wykazać, że jeżeli x, x,, x n są liczbami dodatnimi, to zachodzi nierówność x +x + +x n ) ) n x x x n 4 Wykazać, że jeżeli x i y, to prawdziwa jest nierówność +x + +y +xy 4 Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b i c prawdziwa jest nierówność ) a+b a+b+c ab ) abc

13 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk 44 Wykazać, że dla dodatnich liczb a i b takich, że ab4 prawdziwa jest nierówność a+) b+ + b+) a Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c takich, że a+b+c prawdziwa jest nierówność +6a + +6b + +6c 46 Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b i c prawdziwa jest nierówność a+b+c) +a b+c) +a+b c) abc 47 Liczby a, b, c należące do przedziału 0;) są takie, że ab + bc + ca 4abc Wykazać, że spełniona jest nierówność a b) c)+ b c) a)+ c a) b) abc 48 Wykazać, że jeżeli m, n są liczbami całkowitymi, to n + m+ m n+ > 49 Wykazać, że jeżeli n jest dodatnią liczbą całkowitą, to prawdziwe są nierówności 6n n+)n+) n n 50 Wykazać, że jeżeli liczby a, b i c są długościami boków trójkąta, to a+b+c + a b+c + a+b c a+ b+ c 5 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b i c prawdziwa jest nierówność bc b+a)c+a) + ca c+b)a+b) + ab a+c)b+c) 5 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c, d i e zachodzi nierówność a + b + 4 c + 6 d + 64 e 56 a+b+c+d+e 5 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność 4x +)4y +) 6x+y) 54 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c, d takich, że a + b > 0 i c+d > 0 zachodzi nierówność ab+bc+cd+da ab a+b+c+d a+b + cd c+d

14 Nierówności dla początkujących olimpijczyków 55 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, a,, a n należących do przedziału ; spełniona jest nierówność a ) ++a ) + a ) ++a ) + + a n ) ++a n ) + a n ) ++a ) n 56 Liczby a, b, c, d są takimi liczbami dodatnimi, że abcd Wykazać, że 4 a+b cd + b+c da + c+d ab + d+a bc a +b +c +d 57 Wykazać, że jeżeli a i b, to zachodzi nierówność a + ) a+b b 58 Liczby x, x,, x n są takimi liczbami dodatnimi, że x + x + + x n n Wykazać, że n +x x +x x +x n x 59 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c spełniona jest nierówność ab+bc+ca a +b +c ) 5 60 Wykazać, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi nierówność x+y +z + x + y + z + x++ y ++ z +) 6 Dodatnie liczby rzeczywiste a, b, c, d spełniają nierówności Wykazać, że zachodzi nierówność a b c d i a+b+c+d a +b +5c +7d 6 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c należących do przedziału 0; prawdziwa jest nierówność a+b+c+abc ab+bc+ac+ abc

15 Szkice rozwiązań ćwiczeń i zadań a) Badając znak różnicy lewej i prawej strony danej nierówności, otrzymujemy a +b +c ) a+b+c) a +b +c ) a +b +c +ab+bc+ca) a +b +c ab bc ca a ab+b +b bc+c +c ca+a a b) +b c) +c a) 0 Stąd dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c mamy a +b +c ) a+b+c) Z rozwiązania wynika, że równość w tej nierówności zachodzi tylko wtedy, gdy a b c b) Podobnie jak w rozwiązaniu ćwiczenia a) zbadamy znak różnicy lewej i prawej strony danej nierówności Zatem a +b +c + 4 a b c a a+ 4 +b b+ 4 +c c+ 4 a ) + b ) + c ) 0, skąd otrzymujemy, że a +b +c + 4 a+b+c dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i c Równość zachodzi tylko wtedy, gdy a b c Rozwiążemy od razu przykład c) Przykłady a) i b) rozwiązuje się tak samo W rozwiązaniu wykorzystamy wzór a n b n a b) a n +a n b+ +ab n a +b n ), który jest prawdziwy dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b oraz dodatnich liczb całkowitych n Zauważmy, że: a n+ +b n+ a n b ab n a n a b)+b n b a) a n a b) b n a b) a b)a n b n ) a b) a n +a n b+ +ab n +b n ) 0, skąd wynika teza zadania 4

16 Nierówności dla początkujących olimpijczyków 5 Warunek a +b > 0 zapewnia, że co najmniej jedna z liczb a, b jest różna od zera Ponieważ a +ab+b a+ b ) + 4 b, oraz co najmniej jedna z liczb a, b jest różna od zera, więc a +ab+b >0 Zbadajmy teraz znak różnicy lewej i prawej strony danej nierówności: a ab+b a +ab+b a ab+b a ab b a +ab+b ) a 4ab+b a +ab+b ) a b) a +ab+b ) 0, gdyż licznik tego ułamka jest nieujemny, a mianownik to liczba dodatnia Stąd już wynika teza zadania 4 Przekształcając dane równości, otrzymujemy c a oraz d b Przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę, jak również wykorzystując powyższe spostrzeżenie i uwzględniając, że liczby a i b są nieujemne, dostajemy: a+b+cd a+b+ a) b) a+b+ a b+ab ab 0, co kończy rozwiązanie zadania 5 Nietrudno zauważyć, że a +b +c a +b +c a +b +c ) a+b+c) a +b +c ) a+b+c a+b+c a +b +c +a b+a c+b a+b c+c a+c b a +b +c ) a+b+c a b+a c+b a+b c+c a+c b 0, a+b+c gdyż licznik i mianownik ostaniego ułamka są liczbami dodatnimi 6 Liczby a, a,, a n są liczbami dodatnimi Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla dwóch liczb, otrzymujemy ciąg nierówności +a a, +a a,, +a n a n Obie strony każdej z tych nierówności są dodatnie Mnożąc je stronami i korzystając z założenia, otrzymujemy +a )+a )+a n ) n a a a n n 7 Korzystając z zależności między średnią arytmetyczną a kwadratową dla trzech nieujemnych liczb a, b i c, otrzymujemy ) a) a+ b+ c + b) + c) a+b+c, a stąd, po pomnożeniu obu stron nierówności przez, tezę zadania Porównaj rozwiązanie przykładu 4)

17 6 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk 8 Ponieważ liczby a i b należą do przedziału 0;, więc liczby a, b, a, b są nieujemne Stosując do tych czterech liczb nierówność między średnią geometryczną i arytmetyczną otrzymujemy 4 ab a) b) a+b+ a+ b 4, skąd, po podniesieniu obu stron nierówności do czwartej potęgi, tezę zadania 9 Z zależności między średnią geometryczną i arytmetyczną dla trzech liczb dodatnich x+a, x+b, x+c otrzymujemy x+a)x+b)x+c) x+a+x+b+x+c x+a+b+c Po skorzystaniu z założenia i podniesieniu obu stron nierówności do trzeciej potęgi, otrzymujemy x+a)x+b)x+c) x+), a to właśnie mieliśmy wykazać 0 Korzystając z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch trójek liczb dodatnich: a, b, c oraz a, b,, otrzymujemy nierówności c a+b+c abc oraz a + b + c abc Mnożąc te nierówności stronami, otrzymujemy tezę zadania Pokażemy dowód nierówności między średnią arytmetyczną i kwadratową Pozostałe nierówności pozostawiamy jako ćwiczenie do samodzielnego rozwiązania a +b c +d a+b+c+d 4 a+b + c+d + a +b + c +d a +b +c +d 4 Ponieważ liczby a i b są dodatnie, więc dana nierówność jest równoważna kolejno następującym nierównościom a+b) 4ab; a +ab+b 4ab; a ab+b 0; a b) 0 Ostatnia nierówność jest prawdziwa, więc nierówność dana w zadaniu też jest prawdziwa Nierówność, którą mamy wykazać, jest równoważna kolejno następującym nierównościom a +a 4 ; a 4 a + 0; a ) 0

18 Nierówności dla początkujących olimpijczyków 7 Ponieważ ostatnia z tych nierówności jest zawsze prawdziwa, więc i nierówność dana w zadaniu jest zawsze prawdziwa 4 Obie strony danej nierówności są dodatnie Podnosząc tę nierówność obustronnie do kwadratu, otrzymujemy nierówność n+) n+4) n+) n+) 4, równoważną nierówności, którą mamy wykazać Przkształcając dalej równoważnie, otrzymujemy kolejno 4n +4n+)n+4) 4n +n+)n+) n +8n +9n+4 n +8n +0n+4 0 n Ostatnia nierówność jest prawdziwa, więc nierówność dana w zadaniu też jest prawdziwa 5 Obie strony danej nierówności są dodatnie Podnosząc ją obustronnie do kwadratu otrzymujemy nierówność ac+bd) a +b ) c +d ), równoważną wyjściowej Nierówność ta z kolei jest równoważna następującym nierównościom a c +abcd+b d a c +a d +b c +b d a d abcd+b c 0 abcd a d +b c ad bc) 0 Stąd nierówność dana w zadaniu, równoważna ostatniej z tych nierówności, również jest prawdziwa Równość w danej nierówności zachodzi tylko wtedy, gdy ad bc 6 Najpierw udowodnimy zależność między średnią arytmetyczną i geometryczną, tj a+b ab Nierówność ta, po równoważnych przekształceniach, przyjmuje postać a b 0 i jest ona prawdziwa dla dowolnych nieujemnych liczb a i b, ) więc kończy to dowód Równość w tej nierówności zachodzi tylko dla a b Korzystając teraz z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną wykażemy zależność między średnia harmoniczną i geometryczną Weźmy liczby a i b Wtedy prawdziwa jest nierówność a + b ab, a stąd wynika, że a + b ab Równość w tej nierówności zachodzi tylko wtedy, gdy a b, czyli wtedy, gdy a b Dowód zależności między średnią arytmetyczną i kwadratową pozostawiamy jako ćwiczenie do samodzielnego rozwiązania

19 8 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk 7 Przyjmijmy: a+bx, b+cy i c+az Nierówność dana w zadaniu przyjmuje teraz postać równoważną x +y +z 4 ) x+y +z Otrzymana nierówność jest z kolei równoważna nierówności x +y +z ) x+y +z), która jest prawdziwa patrz ćwiczenie a), więc nierówność dana w zadaniu też jest prawdziwa 8 Niech x a+b+c, y a b+c i z a+b c Liczby a, b i c są długościami boków trójkąta, więc x, y i z są liczbami dodatnimi i dana w zadaniu nierówność jest równoważna nierówności x+y)y +z)z +x) xyz 8 Nierówność tę możemy zapisać w sposób następujący x+y xy yz zx y +z z +x, a na podstawie zależności między między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb dodatnich jest ona prawdziwa Tym samym dowód został zakończony 9 Przyjmijmy: b+c+ x, c+a+ y, a+b+ z Wtedy a+b+c+ x+y +z Skoro b+c+ x, więc a+ x+y +z b c x+y +z b+c+) x+y +z Analogicznie otrzymujemy b+ x y +z i c+ x+y z Stąd nasza nierówność przyjmuje postać x+y +z x y +z x+y z + + albo y x y z x + z x + x y + z y + x z + y z 6 Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dodatnich x, y i z na podstawie zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną kończy to dowód nierówności danej w zadaniu 0 Zapiszmy naszą nierówność następująco a +4ab+4b +b +4bc+4c +c +4ca+4a a+b+c) Przyjmując: a+b x, b+c y i c+a z, można tę nierówność zapisać w postaci ) x+y +z x +y +z albo równoważnie x +y +z ) x+y +z) Ostatnia nierówność jest prawdziwa patrz ćwiczenie a), stąd nierówność dana w zadaniu też jest prawdziwa

20 Nierówności dla początkujących olimpijczyków 9 Ponieważ liczby a, b, c są długościami boków trójkąta, więc liczby x a+b+c, y a b+c, z a+b c są dodatnie i nasza nierówność jest równoważna nierówności yz x + zx y + xy x+y +z z Prawdziwość tej nierówności dla dodatnich x, y i z wynika z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną: yz x + zx y + xy z yz x + zx ) + zx y y + xy ) + xy z z + yz ) x z + x + y x+y +z To kończy dowód danej nierówności Liczby a, b i c są nieujemne oraz a+b+c, stąd a 0, b 0 i c 0 Wyznaczając różnicę lewej i prawej strony danej nierówności, otrzymujemy a b c b+ + c+ + a+ a b c a b+ ) + b c+ ) + c a+ ) a b) b c) c a) b+) + c+) + a+) 0 Stąd wynika prawdziwość nierówności danej w zadaniu Udowodnimy lewą z tych nierówności prawą pozostawiamy jako ćwiczenie do samodzielnego rozwiązania) Badając znak różnicy lewej i prawej strony nierówności, dostajemy a 4 +b 4 a +b a +b a+b a4 +b 4 )a+b) a +b )a +b ) a+b)a +b ) aba +b a b ab ) a+b)a +b ) co kończy dowód lewej nierówności aba a b) b a b)) a+b)a +b ) aba b) a+b) a+b)a +b ) 0, 4 Po podniesieniu wyrażeń w nawiasach do trzeciej potęgi i obliczeniu różnicy lewej i prawej strony, otrzymujemy a +b +c +a+b+c) a+b) +b+c) +c+a) ) 6abc 0, gdyż z założenia liczby a, b i c są nieujemne Tym samym dana w zadaniu nierówność została wykazana

21 0 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk 5 Wykażemy nierówność prawą lewą dowodzi się analogicznie i pozostawiamy jako ćwiczenie do samodzielnego rozwiązania) Wyznaczmy różnicę prawej i lewej strony Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę i sprowadzeniu do wspólnego mianownika, dostajemy + x+ x+ x+ x x+ x x++ x x+ x x+ x x x+ x+ x+ ) x x+ x x+ x+ x+ ) > 0, ponieważ z założenia x Stąd wynika, że prawa nierówność jest prawdziwa 6 Korzystając z założenia oraz zależności między średnią geometryczną i arytmetyczną dla dwóch liczb dodatnich, otrzymujemy kolejno ) x+y x+y xy ; x+y) 4x+y); x+y 4, a to właśnie mieliśmy wykazać 7 Z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb nieujemnych otrzymujemy a 4 + a+b+c)4 a4 a+b+c) 4 a a+b+c) Analogicznie b 4 + a+b+c)4 b4 a+b+c) 4 b a+b+c) c 4 + a+b+c)4 c4 a+b+c) 4 c a+b+c) Dodając stronami otrzymane trzy nierówności, dostajemy tezę zadania 8 W rozwiązaniu wykorzystamy wzór x+y +z) x +y +z +xy +yz +zx na kwadrat sumy trzech wyrażeń Badając znak różnicy lewej i prawej strony, dostajemy a +b +c +a+b+c) +4 6a 8b 0c a +b +c +a +b +c +ab+bc+ca)+4 6a 8b 0c a +b ++ab a b)+ +a +c +4+ac 4a 4c)+ +b +c +9+bc 6b 6c)

22 Nierówności dla początkujących olimpijczyków a+b ) +a+c ) +b+c ) 0, skąd wynika prawdziwość nierówności danej w zadaniu 9 Badając znak różnicy lewej i prawej strony danej nierówności, otrzymujemy a +b + ab a b ) a ab+b +a a++b b+ a b) +a ) +b ) ) 0, skąd wynika prawdziwość nierówności danej w zadaniu Równość w tej nierówności zachodzi tylko dla a b 0 Zauważmy, że Stąd x+ + y + y +)xy +)+x+)xy +) x+)y +) xy + x+)y +)xy +) xy +xy +y ++x y +xy +x+ xy x y x+)y +)xy +) xyx+y +)+ x+)y +)xy +) > 0 x+ + y + > xy + Analogicznie dostajemy y + + z + > yz + oraz z + + x+ > zx+ Dodając otrzymane nierówności stronami, uzyskujemy tezę zadania Przekształcając lewą stronę nierówności, korzystając z założenia oraz zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb, otrzymujemy a +b +c +ab+bc+ca a + a +b + b +c + c a a + b b + c c 4 a+ b+ c ) Udowodnimy najpierw zależność między średnią arytmetyczną i geometryczną Biorąc cztery liczby: a, b, c oraz a+b+c i stosując do nich nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną dla czterech liczb zobacz ćwiczenie ), dostajemy 4 abc a+b+c a+b+c+ a+b+c 4

23 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk Przekształcając równoważnie tę nierówność, otrzymujemy kolejno 4 abc a+b+c a+b+c+a+b+c a+b+c abc a+b+c ) a+b+c 4 ) a+b+c abc a+b+c abc Analogicznie dowodzi się zależność między średnią arytmetyczną i kwadratową: a +b +c a+b+c+ a +b +c + a +b +c 4 4 a +b +c a+b+c+ a +b +c + a +b +c 4 a +b +c 4 a stąd a +b +c a+b+c+ a +b +c 4 a +b +c a a+b+c+ 4 +b +c, a+b+c a +b +c Dowód zależności między średnią harmoniczną i geometryczną pozostawiamy jako ćwiczenie do samodzielnego rozwiązania Zbadamy znak różnicy lewej i prawej strony danej nierówności a b+c) a b +c ) a b +c a b+ab +a c+ac +b c bc 6abc a +b c ) a b c)+ab c) +bcb c) b c) a +ab c) bc b c)a+b)a c) 0, ponieważ na podstawie założenia mamy b c oraz a c 4 Przekształcając lewą stronę nierówności, otrzymujemy x+a)x+b)x+c) x +a+b+c)x +ab+bc+ca)x+abc

24 Nierówności dla początkujących olimpijczyków Z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla trzech liczb dodatnich mamy a+b+c abc oraz ab+bc+ca abc) Stąd i z założenia dla dodatnich x jest a to mieliśmy wykazać x+a)x+b)x+c) x +x +x+ x+), 5 Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są nierówności a 4 +b 4 a b oraz a 4 +b 4 a b+ab Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy a 4 +b 4 ) aba +ab+b ), a stąd a 4 +b 4 aba+b) 6 Korzystając z założenia abc oraz zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla trzech liczb dodatnich, otrzymujemy +ab +a + +bc +b + +ca +c abc+ab ab+c) +a + bc+a) +b + ca+b) +c +a + abc+bc +b + abc+ca +c ab bc ca +c) +a) +b) +c) +a) +b) abc) 7 Badając znak różnicy lewej i prawej strony nierówności, otrzymujemy a 6 b + b6 a a4 b 4 a8 +b 8 a 6 b a b 6 a b a6 a b ) b 6 a b ) a b a b ) a 6 b 6) a b a b) a+b) a 5 +a 4 b+a b +a b +ab 4 +b 5) a b a b) a+b) a 4 a+b)+a b a+b)+b 4 a+b) ) a b a b) a+b) a 4 +a b +b 4) a b 0 Stąd wynika prawdziwość naszej nierówności dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b 8 Wykażemy lewą nierówność prawą dowodzi się analogicznie Wyznaczając różnicę prawej i lewej strony danej nierówności, otrzymujemy a+b ab b a) 4ba+b) 8b ) )) ab b a b+ a 8b 8b 4b a ) ) ) ab+b b a b+ a 8b

25 4 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk ) b a [ ) ] 4b b+ a 8b ) b a b b ) a b+ b+ ) a 8b ) b a b+ ) a 0, 8b gdyż z założenia b a > 0 Zatem a+b ab b a) 8b 9 Wymnażając nawiasy po obu stronach nierówności, dostajemy 8abc+9a b+9a c+9b a+9b c+9c a+9c b 4abc+8a b+8a c+8b a+8b c+8c a+8c b Powyższa nierówność jest równoważna kolejno nierównościom a b+a c+b a+b c+c a+c b 6abc ) a b+a c+b a+b c+c a+c b abc, 6 a ostatnia nierówność jest prawdziwa na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną Stąd nierówność dana w zadaniu jest prawdziwa 40 Z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla trzech liczb nieujemnych mamy a+b+c abc oraz a +b +c abc) Mnożąc te nierówności stronami, otrzymujemy a+b+c)a +b +c ) 9 abc) 9abc 4 Wykorzystamy nierówność między średnią arytmetyczną i harmoniczną dla n liczb dodatnich n x x + +x n n x x x n Przekształcając tę nierówność równoważnie otrzymujemy tezę zadania, czyli x +x + +x n ) ) n x x x n 4 Przyjmijmy: L +x + +y oraz P Wyznaczmy różnicę +xy L P +x + +y +xy +y )+xy)++x )+xy) +x )+y ) +x )+y )+xy)

26 Nierówności dla początkujących olimpijczyków 5 4+y +xy +xy +4+x +xy +x y 8 4x 4y x y +x )+y )+xy) x y x y +xy x xy +y ) +x )+y )+xy) xyx y) x y) +x )+y )+xy) x y) xy ) +x )+y )+xy) Ponieważ x i y, więc xy 0 Stąd L P 0, a to wystarczyło wykazać 4 Po wykonaniu mnożenia po lewej i prawej stronie nierówności możemy ją zapisać równoważnie abc c+ ab Podstawiając: a x 6, b y 6, c z 6 nierówność przyjmuje postać x y z z 6 +x y albo równoważnie x y z z6 +x y +x y Ostatnia nierówność, na podstawie nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną, jest prawdziwa, więc nierówność dana w zadaniu, równoważna ostatniej nierówności, też jest prawdziwa 44 Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, dostajemy a+b ab 4 oraz a+) b+ + b+) a+ a+) b+ b+) a+ a+)b+) czyli to, co mieliśmy udowodnić ab+a+b+ 0+a+b) Z zadania 4 wiemy, że dla dodatnich liczb x, x,, x n prawdziwa jest nierówność x +x + +x n ) ) n x x x n Stosując tę nierówność do liczb x +6a, x +6b, x +6c, dostajemy +6a++6b++6c) +6a + +6b + ) +6c Zauważmy, że +6a++6b++6c +6a+b+c) 9 Wykorzystując ten fakt w powyższej nierówności, otrzymujemy 9 +6a + +6b + ) 9 czyli +6c +6a + +6b + +6c 46 Wykorzystując wzór x+y +z) x +y +z +x y +z)+y z +x)+z x+y)+6xyz

27 6 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk do wyrażeń w nawiasach po lewej stronie danej nierówności oraz redukując wyrazy podobne, otrzymujemy a+b+c) +a b+c) +a+b c) a +b +c +a b+b c+c a+ab +bc +ca 8abc Korzystając z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną, mamy Stąd a +b +c abc a b+b c+c a 9abc ab +bc +ca 9abc a+b+c) +a b+c) +a+b c) abc+9abc+9abc 8abc abc 47 Zauważmy, że na podstawie zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dostajemy a) b) a ab a + b ) ac+bc abc b abc Analogicznie otrzymujemy zależności b) c) b bc b c) a) c ca c + c ) c ) + a a ba+ca abc ; abc cb+ab abc abc Dodając otrzymane nierówności stronami i wykorzystując założenie, dostajemy a) b) b) c) c) a) + + ab+bc+ca) 6abc ab bc ca abc Mnożąc powyższą nierówność stronami przez abc otrzymujemy tezę zadania 48 Zauważmy, że m + m + ) } {{ } Korzystając z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną dla n liczb dodatnich, wśród których nie n jedynek wszystkie są równe, dostajemy Stąd n m+ > n m++++ +) m+ < m++n n n n m+n Analogicznie m n+ > nierówności stronami, otrzymujemy n + m+ m n+ > n m+n + m m+n m+n n m Dodając dwie ostatnie m+n

28 Nierówności dla początkujących olimpijczyków 7 49 Wykażemy najpierw nierówność lewą Stosując nierówność x +x + +x n ) ) n x x x n patrz zadanie 4) do liczb,,,, n, otrzymujemy n ) ) n n Wykorzystując wzór n nn+)n+) 6 na sumę kwadratów n początkowych dodatnich liczb całkowitych, dostajemy nn+)n+) ) n n, a stąd, po prostych przekształceniach, lewą nierówność z treści zadania Aby wykazać prawą nierówność zauważmy, że n < nn ) n n dla n dla n nierówność dana w zadaniu staje się równością) Stąd n n n n 50 Zauważmy, że wszystkie wyrażenia podpierwiastkowe są dodatnie W rozwiązaniu wykorzystamy zależność między średnią arytmetyczną a kwadratową dla dwóch liczb x i x+ y x+y y, czyli nierówność Stosując tę nierówność, dostajemy a+b+c+ a b+c+ a+b c a+b+c+ a b+c a b+c+ a+b c + + a+b+c+ a+b c + c + a + b a+ b+ c, a to właśnie należało wykazać 5 Korzystając z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb dodatnich, dostajemy bc b+a)c+a) b b+a + c ) c+a Analogicznie ca c+b)a+b) c c+b + a ) a+b

29 8 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk oraz ab a+c)b+c) a a+c + b ) b+c Dodając powyższe nierówności stronami, otrzymujemy tezę zadania 5 W rozwiązaniu wykorzystamy nierówność a + b 4 zobacz ćwiczenie ) a+b Stosując tę nierówność kilkakrotnie, dostajemy a + b + 4 c + 6 d + 64 e 4 a+b + 4 c + 6 d + 64 e 6 a+b+c + 6 d + 64 e 64 a+b+c+d + 64 e 56 a+b+c+d+e 5 Przyjmijmy: x a+ i y b+ Wtedy 4x 4a +4a+, 4y 4b +4b+ i x+y a+b+ Wstawiając to do danej nierówności, otrzymujemy a +a+)b +b+) a+b+, która to nierówność jest równoważna nierówności danej w zadaniu Aby wykazać otrzymaną nierówność, obliczymy różnicę lewej i prawej strony tej nierówności Dostajemy wtedy a b +a b+a +ab +ab+a+b +b+ a b a b +a b+ab +a +b +ab a+b) +a b+) +b a+) ) 0, co kończy dowód nierówności danej w zadaniu 54 Obliczając różnicę lewej i prawej strony danej nierówności, otrzymujemy ab+bc+cd+da ab a+b+c+d a+b + cd ) c+d ab+bc+cd+da)a+b)c+d) a+b+c+d)abc+abd+acd+bcd) a+b+c+d)a+b)c+d) a d abcd+b c a+b+c+d)a+b)c+d) ad bc) a+b+c+d)a+b)c+d) 0, ponieważ zgodnie z założeniem mianownik jest dodatni Stąd wynika nierówność dana w zadaniu 55 Ponieważ wszystkie liczby a i, gdzie i,,,, n, są z przedziału ;, więc każda z liczb a i oraz + a i jest nieujemna Z zależności między średnią kwadratową i arytmetyczną dla dwóch liczb nieujemnych, dostajemy kolejno: +a ) + a ) +a + a +a ) + a ) +a + a

30 Nierówności dla początkujących olimpijczyków 9 +a n ) + a ) +a n + a Dodając powyższe nierówności stronami, a następnie mnożąc otrzymaną nierówność przez, dostajemy tezę zadania 56 Aby wykazać nierówność prawą, wykorzystamy założenie oraz wynik ćwiczenia a Zauważmy, że a+b cd a+b aba+b) ab Analogicznie mamy a b+ab a +b b+c da b +c c+d ; ab c +d d+a ; bc d +a Dodając otrzymane cztery nierówności stronami, dostajemy a+b cd + b+c da + c+d ab + d+a bc a +b + b +c + c +d + d +a a +b +c +d, a to właśnie mieliśmy udowodnić Przejdźmy teraz do dowodu lewej nierówności Wykorzystując założenie oraz zależność między średnią arytmetyczną i geometryczną, otrzymujemy a+b cd + b+c da + c+d ab + d+a bc 4 4 a+b)b+c)c+d)d+a) 6abcd) 4 4 a+b)b+c)c+d)d+a) ab bc cd da 4 4 abcd) 4 57 Będziemy przekształcać daną nierówność równoważnie Ponieważ obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy podnieść ją obustronnie do kwadratu i otrzymamy wtedy nierówność a + b + ) a a+b ) b 4 ; co po dalszych przekształceniach możemy zapisać w postaci a ) b ) ab W dalszym ciągu obie strony otrzymanej nierówności są nieujemne, więc jeszcze raz podnosimy ją obustronnie do kwadratu i dostajemy nierówność a b +a b ab+a b lub równoważnie a b) 0 Ostatnia nierówność jest prawdziwa, więc dana w zadaniu, równoważna ostatniej, też jest prawdziwa

31 0 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk 58 Po raz kolejny w rozwiązaniu wykorzystamy zadanie 4 Na podstawie nierówności z tego zadania otrzymujemy n x x +x x +x n x n+x x +x x + +x n x Z oczywistej nierówności x x ) +x x ) + +x n x ) 0 wynika, że stąd x x +x x + +x n x x +x + +x n, n n+x x +x x + +x n x n n+x +x + +x n Wykorzystując założenie x +x + +x n n, otrzymujemy n +x x +x x +x n x n n 59 Daną w zadaniu nierówność możemy zapisać w sposób równoważny ab+bc+ca 6 a +b +c ), 5 albo ) ) a + 5b b )+ + 5c c )+ + 5a ab+bc+ca Zauważmy, że skąd a 5 + 5b 5 ab a 5ab+5b 5 a b 5) 5 0, a 5 + 5b 5 ab Analogicznie b 5 + 5c 5 bc oraz c 5 + 5a 5 ca Dodając stronami trzy powyższe nierówności, dostajemy nierówność ), która jest równoważna tezie z zadania a+b 60 Z zależności ab między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb dodatnich dostajemy x+ x+ + x+ x x x+ Analogicznie y + y + + y + y + oraz z + z + + z + z + y y z z Dodając stronami trzy powyższe nierówności uzyskujemy tezę zadania

32 Nierówności dla początkujących olimpijczyków 6 Ze wzoru na kwadrat sumy wyrażeń dostajemy a+b+c+d) a +b +c +d +ab+ac+ad+bc+bd+cd Ponieważ liczby a, b, c, d są dodatnie, więc nierówność abcd jest równoważna nierówności a b c d Korzystając teraz z nierówności xy x +y, która jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych, otrzymujemy ab a +b b ac a +c c bc b +c c ad a +d d bd b +d d cd c +d d Zatem a+b+c+d) a +b +c +d +ab+ac+ad+bc+bd+cd a +b +c +d +b +c +d +c +d +d a +b +5c +7d A ponieważ a+b+c+d, więc również a +b +5c +7d 6 Dla liczb z przedziału 0; prawdziwe są nierówności skąd a 0, a 0, b 0, b 0, c 0, c 0, a b)+b a) 0, albo równoważnie a+b ab Ponieważ również c 0, więc a+b) c) ab c) a+b ac bc ab abc a+b+abc ab+bc+ac+ab Dodając do obu stron tej nierówności c, dostajemy a+b+c+abc ab+bc+ac+ab+c Z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczna i geometryczną dla liczb nieujemnych mamy ab+c abc, więc ostatecznie a+b+c+abc ab+bc+ac+ abc

33 Literatura [] Kourliandtchik L, Wędrówki po krainie nierówności, wydanie drugie Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 006 [] Kourliandtchik L, Matematyka elementarna w zadaniach, tom II Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 005 [] Mitrinović D, Elementarne nierówności PWN, Warszawa 97 [4] Pawłowski H, Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń 00 [5] Pawłowski H, Tomalczyk W, Zadania z matematyki dla olimpijczyków Index Books, Toruń 99 [6] Pawłowski H, Olimpiady i konkursy matematyczne Zadania dla uczniów szkół podstawowych i gimnazjów Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń 00 [7] Sprawozdania z olimpiad matematycznych wydawane przez Komitet Główny Olimpiady Matematycznej Spis treści Wstęp Badanie znaku różnicy 4 Zależności między średnimi 5 Przekształcenia równoważne 7 Podstawienia 9 Zadania 0 Szkice rozwiązań ćwiczeń i zadań 4 Literatura

OLIMPIADA MATEMATYCZNA

OLIMPIADA MATEMATYCZNA OLIMPIADA MATEMATYCZNA Na stronie internetowej wwwomgedupl Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów (OMG) ukazały się ciekawe broszury zawierające interesujące zadania wraz z pomysłowymi rozwiązaniami z

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

G i m n a z j a l i s t ó w

G i m n a z j a l i s t ó w Ko³o Matematyczne G i m n a z j a l i s t ó w Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 10 szkice rozwiazań zadań 1. Rozwiąż układ równań: (x+y)(x+y +z) = 72 (y +z)(x+y +z) = 120 (z +x)(x+y

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.) XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 23 lutego 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie. Wielomian P (x) ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych

Bardziej szczegółowo

LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24

LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 x=6 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnego prawdziwa jest równość: Do obu stron założenia indukcyjnego należy dodać brakujący wyraz. Sprawdzamy prawdziwość równości (1) dla. Prawa strona:.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )

Rozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, ) FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2015 r. 12 października 2015 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. Wykaż, że istnieje

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL Podstawy matematyki szkolnej WAŁBRZYCH 01 Spis treści 1 Wstęp Równania stopnia drugiego.1 Teoria i przykłady............................. Podstawowe wzory skróconego

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Bolesław Mokrski Józef Siwy Tomasz Szymczyk. Matematyczny sezam. 15 lat Śląskiego Konkursu Matematycznego

Bolesław Mokrski Józef Siwy Tomasz Szymczyk. Matematyczny sezam. 15 lat Śląskiego Konkursu Matematycznego Bolesław Mokrski Józef Siwy Tomasz Szymczyk Matematyczny sezam 15 lat Śląskiego Konkursu Matematycznego Wydawnictwo Szkolne OMEGA Kraków 018 Matematyczny sezam wydanie drugie uzupełnione 15 lat Śląskiego

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego

Bardziej szczegółowo

LVII Olimpiada Matematyczna

LVII Olimpiada Matematyczna LVII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia pierwszego (12 września 2005 r 5 grudnia 2005 r) Zadanie 1 Wyznaczyć wszystkie nieujemne liczby całkowite n, dla których liczba

Bardziej szczegółowo

LV Olimpiada Matematyczna

LV Olimpiada Matematyczna LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 0/03 Seria IV październik 0 rozwiązania zadań 6. Dla danej liczby naturalnej n rozważamy wszystkie sumy postaci a b a b 3 a 3 b 3 a b...n

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;

Bardziej szczegółowo

LXII Olimpiada Matematyczna

LXII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 18 lutego 2011 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ równań { (x y)(x 3 +y

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie. Renata Jurasińska. Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie

Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie. Renata Jurasińska. Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie Nierówności między średnimi liczbowymi i ich zastosowanie Renata Jurasińska Instytut Matematyki Uniwersytetu Rzeszowskiego III LO w Rzeszowie I. Średnie liczbowe i zaleŝności między nimi Średnie liczbowe

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki)

Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki) Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki) 1. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 9 czy 3 1? 9 < 30 8 10 < 9 10 3 0 < 3 1.. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 81 czy 3 49? 81 > 80 56 10 > 43

Bardziej szczegółowo

CIĄGI wiadomości podstawowe

CIĄGI wiadomości podstawowe 1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15 Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40

Bardziej szczegółowo

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym

Bardziej szczegółowo

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13 35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek

Bardziej szczegółowo

Algebra abstrakcyjna

Algebra abstrakcyjna Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą

Bardziej szczegółowo

LXV Olimpiada Matematyczna

LXV Olimpiada Matematyczna LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Rozstrzygnąć, czy istnieje taka dodatnia liczba wymierna

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze... Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.) XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2016/2017 Etap II etap rejonowy- klucz odpowiedzi

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2016/2017 Etap II etap rejonowy- klucz odpowiedzi liczba uczniów Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 016/017 Etap II etap rejonowy- klucz odpowiedzi W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum 1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie

Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy oziom: szkoły ponadgimnazjalne, 0 punktów za każde zadanie Zadanie Znajdź dwa dzielniki pierwsze liczby - Można skorzystać z artykułu

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15 Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z

Bardziej szczegółowo

Kongruencje twierdzenie Wilsona

Kongruencje twierdzenie Wilsona Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie.. Imię i Nazwisko... Klasa... Liczba uzyskanych punktów PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI... Wynik procentowy... Ocena szkolna POZIOM ROZSZERZONY 1. Sprawdź, czy

Bardziej szczegółowo

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2 1 POTĘGI Definicja potęgi ł ę ę > a 0 = 1 (każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi 0 daje zawsze 1) a 1 = a (każda liczba podniesiona do potęgi 1 dają tą samą liczbę) 1. Jeśli wykładnik jest

Bardziej szczegółowo

Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski

Rachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16 Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) = Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,

Bardziej szczegółowo

XV Olimpiada Matematyczna Juniorów

XV Olimpiada Matematyczna Juniorów XV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (26 września 209 r.) Rozwiązania zadań testowych. odatnia liczba a jest mniejsza od. Wynika z tego, że a) a 2 > a; b) a > a; c)

Bardziej szczegółowo

Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Niech r i R oznaczają odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na ośmiokącie foremnym.

Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Niech r i R oznaczają odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na ośmiokącie foremnym. Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I z rozszerzonym programem nauczania matematyki Etap rejonowy 3..005 Czas rozwiązywania zadań - 50 minut. Zadanie. ( pkt. ) Ustal zbiór tych liczb naturalnych dodatnich,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza II Zadanie 12 (3 pkt) Z warunków zadania : 2 AM = MB > > n Wprowadzenie oznaczeń, naprzykład: A = (x, y) i obliczenie współrzędnych wektorów n Obliczenie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(

FUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się

Bardziej szczegółowo