Zbigniew Osiak. Energia w Szczególnej Teorii Wzglêdnoœci

Transkrypt

1 Energia w Szczególnej Teorii Wzglêdnoœci

2 Linki do moich publikacji naukowych i popularnonaukowych, e-booków oraz audycji telewizyjnych i radiowych są dostępne w bazie ORCID pod adresem internetowym:

3 E ERGIA W SZCZEGÓL EJ TEORII WZGLĘD OŚCI

4 Copyright 2012 by Portret autora zamieszczony na okładkach przedniej i tylnej Rafał Pudło Wydawnictwo: Self Publishing ISBN: zbigniew.osiak@gmail.com Linki do moich publikacji naukowych i popularnonaukowych, e-booków oraz audycji telewizyjnych i radiowych są dostępne w bazie ORCID pod adresem internetowym:

5 Energia w Szczególnej Teorii Wzgl dno±ci Uniwersytet Trzeciego Wieku w Uniwersytecie Wrocªawskim zbigniew.osiak@gmail.com ORCID: Streszczenie Podamy nowe relatywistyczne wzory dla energii kinetycznej, spoczynkowej i caªkowitej. Przyrost energii kinetycznej cz stki wyznaczymy jako prac wykonan przez skªadowe przestrzenne czterosiªy Minkowskiego. Przedstawimy now relacj mi dzy trójwymiarowym p dem relatywistycznym i relatywistyczn energi kinetyczn oraz interpretacj czwartej skªadowej siªy Minkowskiego. Spis tre±ci Streszczenie 1 1 Wprowadzenie 1 2 Czterowymiarowe równania ruchu Minkowskiego wspóªzmiennicze wzgl dem transformacji Lorentza 2 3 Przestrzenna cz ± czterowektora siªy Minkowskiego 2 4 Nowe wyra»enia dla energii kinetycznej, caªkowitej i spoczynkowej w mechanice relatywistycznej 3 5 Kwadrat moduªu czterowektora pr dko±ci 4 6 Nowy zwi zek mi dzy energi i p dem 4 7 Czwarta (czasowa) skªadowa siªy Minkowskiego 5 1

6 Energia w Szczególnej Teorii Wzgl dno±ci 8 Bardziej ogólna posta równa«ruchu Minkowskiego 5 9 Konkluzje i dyskusja 6 Literatura 6 1 Wprowadzenie Tradycyjna posta zasady równowa»no±ci masy i energii zaproponowana przez Einsteina [1] E 0 = mc 2 bywa czasami wyprowadzana [2] przy u»yciu równa«ruchu Plancka [3] F = d(mγv)/dt. Stosowanie tych równa«w szczególnej teorii wzgl dno±ci prowadzi do bª dów, poniewa» nie s one wspóªzmiennicze (kowariantne) wzgl dem transformacji Lorentza. Wspóªzmienniczo± równa«zyki oraz niezmienniczo± warto±ci pr dko±ci ±wiatªa w pró»ni wzgl dem transformacji Lorentza s dwoma podstawowymi postulatami szczególnej teorii wzgl dno±ci. Wedªug mnie równania ruchu Plancka s ciekawym przykªadem heurystycznej hipotezy i maj jedynie znaczenie historyczne. Przy wyznaczaniu wyra»e«dla relatywistycznej energii kinetycznej, spoczynkowej i caªkowitej nale»y posªugiwa si czterowymiarowymi równaniami ruchu Minkowskiego wspóªzmienniczymi wzgl dem transformacji Lorenztza. [4]. 2 Czterowymiarowe równania ruchu Minkowskiego wspóªzmiennicze wzgl dem transformacji Lorentza Czterowymiarowe równania ruchu Minkowskiego wspóªzmiennicze wzgl dem transformacji Lorentza dane s przez: F α = mγ dṽ α dt = mã α (1) gdzie F α skªadowe czterowektora siªy Minkowskiego; α = 1, 2, 3, 4; m masa cz stki; γ (1 v 2 c 2 ) 1 2 czynnik Lorentza; c warto± pr dko±ci ±wiatªa w pró»ni; ṽ α γ (dx α /dt) skªadowe czterowektora pr dko±ci; x 1 x, x 2 y, x 3 z, x 4 ict; i jednostka urojona; v dr/dt trójwektor pr dko±ci; r (x, y, z) = (x 1, x 2, x 3 ) trójwektor poªo»enia; v 2 (dx 1 /dt) 2 + (dx 2 /dt) 2 + (dx 3 /dt) 2 kwadrat moduªu trójwektora pr dko±ci; ã α γ (dṽ α /dt) skªadowe czterowektora przyspieszenia. 2

7 Energia w Szczególnej Teorii Wzgl dno±ci 3 Przestrzenna cz ± czterowektora siªy Minkowskiego Czterowektor siªy Minkowskiego (1) mo»na zapisa jako F = ( F, mγ dγic dt ) (2) gdzie F mγ dγv (3) dt jest przestrzenn cz ±ci tego czterowektora. Po uwzgl dnieniu,»e dγ/dt = γ 3 c 2 v (dv/dt); a = dv/dt trójwektor przyspieszenia; a = a + a ; a a v; a a v; v a = 0; v (v ) a = v 2 a ; v 2 c 2 + γ 2 = 1, przestrzenn cz ± czterowektora siªy Minkowskiego (3) zapiszemy w postaci potrzebnej do dalszych rozwa»a«: F = mγ 4 a + mγ 2 a (4) 4 Nowe wyra»enia dla energii kinetycznej, caªkowitej i spoczynkowej w mechanice relatywistycznej Niech cz stka o masie m porusza si (dla prostoty) po torze prostoliniowym z pr dko±ci v. Obliczymy energi kinetyczn tej cz stki, czyli prac jak wykonuje przestrzenna cz ± siªy Minkowskiego aby pocz tkowo spoczywaj c cz stk rozp dzi do pr dko±ci v. E k = v 0 F dr (5) Poniewa» a dr = a dr; a dr = 0; a dv/dt; dr = vdt, wyra»enie pod caªk przyjmuje posta : F dr = mγ 4 v dv = de k (6) Mo»emy teraz ostatecznie wyznaczy relatywistyczn energi kinetyczn cz stki: E k = 1 2 mγ2 c mc2 = 1 2 mγ2 v 2 (7) 3

8 Energia w Szczególnej Teorii Wzgl dno±ci gdzie oraz E 1 2 mγ2 c 2 (8) E mc2 (9) s odpowiednio caªkowit energi cz stki o masie m poruszaj cej si z pr dko±ci v oraz energi spoczynkow tej cz stki. Relatywistyczna energia kinetyczna (7) cz stki poruszaj cej si z maª pr dko±ci w stosunku do pr dko±ci ±wiatªa (v c) jest w przybli»eniu równa warto±ci wyznaczonej z klasycznego wzoru: E k 1 2 mv2 (10) Odnotujmy,»e Einstein w znakomitej pracy [5] zaproponowaª dla energii kinetycznej poni»sze wyra»enie: E k = mγc 2 mc 2 (11) 5 Kwadrat moduªu czterowektora pr dko±ci Czterowektor pr dko±ci deniowany jest jako: ṽ (ṽ 1, ṽ 2, ṽ 3, ṽ 4 ) = ( γ dx 1 dt, γ dx 2 dt, γ dx 3 dt, γ dx ) 4 dt (12) Obliczaj c kwadrat moduªu tego czterowektora dostajemy równanie: ṽ 2 = γ 2 v 2 γ 2 c 2 = c 2 (13) γ 2 v 2 + c 2 = γ 2 c 2 (14) Po przemno»eniu obu stron powy»szego równania przez 1 2 m otrzymujemy ponownie zwi zek pomi dzy energiami kinetyczn, spoczynkow i caªkowit cz stki poruszaj cej si z pr dko±ci v: 1 2 mγ2 v mc2 = 1 2 mγ2 c 2 (15) 4

9 Energia w Szczególnej Teorii Wzgl dno±ci 6 Nowy zwi zek mi dzy energi i p dem Czterowektor p du deniowany jest jako: gdzie p mṽ = ( p 1, p 2, p 3, p 4 ) (16) p α mṽ α (17) Czasowa cz ± czterowektora p du po uwzgl dnieniu równa«(17, 12, 8) przyjmuje posta : p 4 mṽ 4 = mγic = i 2mE (18) Wyznaczaj c dwukrotnie kwadrat moduªu czterowektora p du (16), otrzymamy: p 2 = m 2 c 2 (19) oraz gdzie oraz p mγv = p 2 = p 2 m 2 γ 2 c 2 (20) ( mγ dx 1 dt, mγ dx 2 dt, mγ dx ) 3 dt = ( p 1, p 2, p 3 ) (21) p 2 = p 2 = p p p 2 3 = m 2 γ 2 v 2 (22) s odpowiednio przestrzenn cz ±ci czterowektora p du oraz kwadratem jej moduªu. Przyrównuj c do siebie prawe strony obu równa«(19) i (20) dla kwadratu moduªu czterowektora p du, po prostych przeksztaªceniach uwzgl dniaj cych (7, 8, 9), otrzymujemy: lub p 2 2m = 1 2 mγ2 c mc2 = E E 0 (23) p 2 2m = 1 2 mγ2 v 2 = E k (24) 7 Czwarta (czasowa) skªadowa siªy Minkowskiego Czwart skªadow siªy Minkowskiego F 4 = mγ dγic dt = imcγ dγ dt (25) 5

10 Energia w Szczególnej Teorii Wzgl dno±ci po uwzgl dnieniu,»e γdγ/dt = (dγ 2 /dt) /2 oraz równa«(7, 8, 9), mo»na zapisa w postaci: F 4 = ic 1 d ( ) 1 dt 2 mγ2 c 2 1 de = ic dt = de ic 1 k dt Odnotujmy,»e iloczyn skalarny czterowektora siªy Minkowskiego F = ( F1, F 2, F 3, F ) ( 4 = F, F ) 4 i ró»niczki czterowektora poªo»enia (26) (27) d r = (dx 1, dx 2, dx 3, dx 4 ) = (dr, dx 4 ) (28) jest niezmiennikiem wzgl dem transformacji Lorentza równym zeru. F d r = F 1 dx 1 + F 2 dx 2 + F 3 dx 3 + F 4 dx 4 = F dr + F 4 dx 4 = 0 (29) 8 Bardziej ogólna posta równa«ruchu Minkowskiego Š cz c równania (1) oraz (17), otrzymujemy bardziej ogóln posta równa«ruchu Minkowskiego: F α = γ dmṽ α = γ d p α (30) dt dt Z równa«(30) wynika prawo zachowania p du i energi, które stanowi,»e: Je»eli wszystkie skªadowe czterowekora siªy dziaªaj cej na cz stk s równe zeru, to wszystkie skªadowe czterowektora p du tej cz stki s staªe w czasie. 9 Konkluzje i dyskusja Otrzymane przez nas w tej pracy nowe wyra»enia dla relatywistycznej energii kinetycznej, spoczynkowej i caªkowitej ró»ni si od powszechnie stosowanych analogicznych wyra»e«. Ró»nice te s spowodowane przyj tym zaªo»eniem o poprawno±ci równa«ruchu Minkowskiego a nie równa«ruchu Plancka. Nowa relatywistyczna energia kinetyczna i jej zwi zek z przestrzenn cz ±ci czterowektora p du dane s wyra»eniami podobnymi do ich klasycznych odpowiedników. W szczególno±ci wykazali±my,»e warto± energii spoczynkowej jest o poªow mniejsza od warto±ci wynikaj cej z tradycyjnej relacji E 0 = mc 2. Najpopularniejszy wzór zyki jest niepoprawny. Niezgodno± zasady równowa»no±ci masy i energii z danymi do±wiadczalnymi byªa ostatnio dyskutowana przez Muhyedeena [6]. 6

11 Energia w Szczególnej Teorii Wzgl dno±ci Literatura [1] Einstein, A., Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhänging?, Ann. Phys.(Leipzig), 323, , (1905). [DOI], (Cytowana na stronie 1.) [2] Katz, R., An Introduction to the Special Theory of Relativity, (D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, NJ, 1964). (Cytowana na stronie 1.) [3] Planck, M., Das Prinzip der Relativität und die Grundgleichungen der Mechanik, Verhandlungen der Deutschen physikalischen Gesellschaft, 8, , (1906). [Patrz równanie 6.], [HTM], (Cytowana na stronie 1.) [4] Minkowski, H., Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern, Nachrichten von der Königlich Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Mathematisch-physikalische Klasse), 53111, (1908). [Patrz równania 22 na stronie 107 oraz równanie 3 na stronie 100.], [HTM], (Cytowana na stronie 1.) [5] Einstein, A., Zur Elekrodynamik bewegter Körper, Ann. Phys. (Leipzig), 322, , (1905). [DOI], (Cytowana na stronie 4.) [6] Muhyedeen, B., ew Concept of Mass-Energy Equivalence", Eur. J. Sc. Res., 26, , (2009). [PDF]. (Cited on page 9.) 7

12 Dodatek Losy artykułu Energia w Szczególnej Teorii Względności Proponowałem opublikowanie angielskiej wersji tego artykułu pod tytułem Energy in Special Relativity redakcjom następujących czasopism: 1. Science 10 listopada Physical Review D 6 grudnia Nature 22 grudnia Annalen der Physik 22 grudnia Acta Physica Polonica B 3 maja 2011 Poniżej podaję krótkie streszczenia odmownych decyzji: 1. Nie publikujemy prac zawierających wzory. 2. Nie zostały wskazane doświadczenia potwierdzające podstawowe tezy tej pracy. 3. Nie publikujemy prac zawierających wzory. 4. Nie publikujemy prac z historii fizyki. 5. Praca nie spełnia wymogów formalnych. Proponowana lektura uzupełniająca Dodatkowe informacje dotyczące tematyki prezentowanej w zamieszczonym tu artykule można znaleźć w mojej książce Szczególna Teoria Względności, dostępnej w postaci ebooka [ISBN: ].

13

14 Nale ê do pokolenia fizyków, dla których idolami byli Albert Einstein, Lew Dawidowicz Landau i Richard P. Feynman. Einstein zniewoli³ mnie potêg¹ swej intuicji. Landaua podziwiam za rzetelnoœæ, precyzjê i prostotê wywodów oraz instynktowne wyczuwanie istoty zagadnienia. Feynman urzek³ mnie lekkoœci¹ narracji i subtelnym poczuciem humoru.