MODELOWANIE CHARAKTERYSTYKI KONSTYTUTYWNEJ MATERIAŁU SMA Z UWZGLĘDNIENIEM LEPKOŚCI

Transkrypt

1 MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN X Gliwic 008 MODELOWANIE CHARAKTERYSTYKI KONSTYTUTYWNEJ MATERIAŁU SMA Z UWZGLĘDNIENIEM LEPKOŚCI WIESŁAW GRZESIKIEWICZ ARTUR ZBICIAK * Wydział Samchdów i Mazyn Rbczych Plitchnika Warzawka -mail: wgr@imr.pw.du. * Wydział InŜynirii Lądwj Plitchnika Warzawka -mail: a.zbiciak@il.pw.du. Strzczni. Clm pracy jt przntacja matmatyczng piu związków kntytutywnych matriału SMA z uwzględninim zjawika lpkści. Itta matmatyczng piu rlacji fizycznych prwadza ię d frmułwania równania róŝniczkwg pirwzg rzędu względm tnra krślającg nipręŝytą część dkztałcnia. Wykrzytan dpwidni kntruwany chmat rlgiczny matriału SMA. Otrzyman rlacj kntytutywn ztały zaprgramwani w ramach prcdury VUMAT kmrcyjng ytmu MES ABAQUS/Exicit.. WSTĘP Matriały z pamięcią kztałtu (ang. SMA Sha Mmry Ally) charaktryzują ię zdlnścią d prznznia duŝych dkztałcń któr zanikają pdcza dciąŝnia. Efkt tn zwany pudpręŝytścią jt związany z dwracalną przmianą martnzytyczną wywłaną zwnętrznym napręŝnim []. Znalazł n wil zatwań inŝynirkich wśród których mŝna wyminić m.in. chrnę kntrukcji budwlanych i inŝynirkich przd kutkami drgań [3 8]. Clm pracy jt przntacja matmatyczng piu związków kntytutywnych matriału SMA z uwzględninim zjawika lpkści. W zaprpnwanj mtdzi frmułwania rlacji kntytutywnych ittną rlę dgrywa analiza dpwidni kntruwang chmatu rlgiczng matriału który pzwala na wprwadzni ddatkwych zminnych wwnętrznych. W przyjętym mdlu dkztałcnia matriału rzkładają ię addytywni na dwi części. Pirwza z nich wyznacza dkztałcnia ciała idalni pręŝytg (ciał Hk a) natmiat drugą część krśla dkztałcni ciała ztywn-idalni pręŝytg (ciał Hncky g) raz płącznych z nim równlgl ciał ztywn-idalni atyczng (ciał Saint Vnanta) i lpkpręŝytg (Maxwlla). Itta matmatyczng piu związku kntytutywng SMA prwadza ię d frmułwania równania róŝniczkwg pirwzg rzędu względm tnra krślającg drugą część dkztałcnia. Wprwadzni lmntu lpkpręŝytg umŝliwia badani wpływu prędkści dfrmacji na dynamiczn zachwani ię matriału [7]. Zatwan pdjści pzwala na trzymani jawnj ptaci związków kntytutywnych SMA któr ni ą pdawan w litraturz.

2 4 W.GRZESIKIEWICZ A.ZBICIAK Sfrmułwan rlacj kntytutywn ztały zaprgramwani w ramach prcdury VUMAT kmrcyjng ytmu MES ABAQUS/Exicit []. W pracy przdtawimy przykład analizy dynamicznj kntrukcji pddanj działaniu zybkzminnych bciąŝń.. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE Matmatyczny pi cch kntytutywnych matriałów iztrpwych mŝ być frmułwany przy wykrzytaniu rzkładu tnrów napręŝnia σ i dkztałcnia ε na części kulit i dwiatrw. W przypadku matriału pręŝytg trzymuj ię dwi liniw rlacj zwan związkami Hk a p 3 K a G 3 gdzi p : tr ( σ) I raz a tr ( ε) I :. () 3 W pwyŝzych równaniach wilkści p raz a znaczają tnry kulit dpwidni napręŝń i dkztałcń natmiat i ą dwiatrami. Ddatkw ymblami K i G znaczn dpwidni mduły pręŝytści bjętściwj i ptaciwj. Analizując mdl matriału SMA zakłada ię Ŝ w pdprztrzni kulitj matriał wykazuj cchy idalni pręŝyt pian równanim (). Dalz rzwaŝania będą zatm dtyczyły pdprztrzni dwiatrwj. Rlacj kntytutywn matriału SMA ztaną frmułwan na pdtawi analizy chmatu rlgiczng pkazang na ry.. Zatwan tandardw ymbl graficzn dla znacznia cch pręŝytych (pręŝyna) idalni atycznych (uwak) i lpkich (tłumik). Ddatkw wprwadzn ymbl rprzntujący właściwści ciała ztywn-idalni pręŝytg (ciała Hncky g). Przy ymblach ciała atyczng raz ciała Hncky g umizczn znacznia zbirów dpuzczalnych napręŝń dpwidni i. Ry.. Prpnwany chmat rlgiczny matriału Z analizy chmatu rlgiczng wynika iŝ całkwit dkztałcnia dwiatrw rzkładają ię addytywni na część pręŝytą w którj bwiązuj praw Hk a raz na część piywaną ddatkwą zminną. Otrzymuj ię natępujący związk +. () G

3 MODELOWANIE CHARAKTERYSTYKI KONSTYTUTYWNEJ MATERIAŁU SMA 5 Natępni zapiuj ię równani równwagi mdlu rlgiczng + + (3) gdzi wilkści i znaczają napręŝnia dpwidni w gałęzi ztywn-idalni pręŝytj lpkpręŝytj i atycznj. W części lpkpręŝytj (Maxwlla) dypnuj ię natępującymi związkami & G ( ) G ( ) µ gdzi µ znacza wpółczynnik lpkści ptaciwj. Rlacj kntytutywn części atycznj zapiuj ię w frmi inkluzji i nirównści wariacyjnj [5] ~ & 0 ~ (5) ( ) Związki ciała ztywn-idalni pręŝytg ą natępując [6] (4) ( ~ ) 0 ~ (6) NalŜy wyraźni zaznaczyć Ŝ rlacja (5 ) wiąŝ napręŝnia z prędkściami dkztałcń pdcza gdy w związkach (6 ) zminnymi ą napręŝnia i dkztałcnia. Zatm ciał piywan związkami (5) jt ciałm dyypującym nrgię natmiat w mdlu piywanym związkami (6)wytępuj prc akumulwania nrgii. Zbiór rlacji ( 6) mŝna zapiać w natępującj frmi G( ) ( & ) & F (7) & G ( ) µ gdzi wartść dwzrwania F zalŝy d przyjętg piu zbirów dpuzczalnych napręŝń. ZałŜn Ŝ zbiry i zdfiniwan ą natępując gdzi tał matriałw k i MŜna zauwaŝyć Ŝ pi zbiru { : } { : } : k (8) : k (9) k krśla ię na pdtawi ttu czytg ścinania (patrz [4]). dla części idalni atycznj pkrywa ię z klaycznym krytrium atycznści Hubra-Mia-Hncky g (HMH). Przyjmując pwyŝz rlacj trzymuj ię natępujący pi funkcji F którj wartść wyznacza prędkści dkztałcń &

4 6 W.GRZESIKIEWICZ A.ZBICIAK jśli F λ λ ( ) int int ( k + k ) 0 gdy 0 i G < 0 gdy 0 i < k & (0) λint int gdy 0 i G ( k+ k) λ gdy 0 i k + [ ( G& + G& ) ] k + ( G + G ) k ( G + G ) [( G & + G & ) ( G + G )] G G ( ) G ( ) G + G G + G k k +. k k Na pdtawi rlacji (7) (0) i () krśla ię wartść dwiatra napręŝnia. Całkwit napręŝnia wyznacza ię z wzru ( ε) I () σ K tr +. () PwyŜz rlacj trzyman p wykrzytaniu mtdy zaprpnwanj w [4]. Ptać dwzrwania F wyraŝna wzrami (0) i () jt kmikwana. Pdtawiając G 0 trzymuj ię rlacj matriału niwraŝliwg na prędkść dfrmacji (pr. [4]). 3. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY Rlacj fizyczn mdlu matriału SMA z lpkścią ztały zaprgramwan w ramach prcdury VUMAT kmrcyjng ytmu MES ABAQUS/Exicit. W przykładzi bliczniwym analizwan zagadnini dynamiczng rzciągania trójwymiarwj tarczy wymiarach [cm] z twrm śrdnicy 0 [cm] pddanj działaniu cykliczng bciąŝnia (ry. a). Wartść bciąŝnia kuping któr rzkłada ię równmirni na brzgi tarczy wyni 0[MN]. Siatkę MES złŝną z lmntów 8-węzłwych nałŝn na zrdukwany układ z względu na ymtrię kntrukcji (ry. b). Przyjęt paramtry matriałw ztawin w tablicy. 3 [ kg/m ] Tablica. Paramtry matriałw SMA ρ G [ GPa] G [ GPa] K [ GPa] k [ MPa] k [ MPa] µ [ kpa ] Dknan analizy prównawczj zachwania ię układu wyknang z matriału lpkig raz matriału niwraŝliwg na prędkść dfrmacji. Wykry na ry. 3 przdtawiają

5 MODELOWANIE CHARAKTERYSTYKI KONSTYTUTYWNEJ MATERIAŁU SMA 7 przbigi czaw napręŝń zatępczych HMH σ zat 3 w wybranym lmnci (patrz ry. b). Stał matriałw dbran tak aby w zakri nipręŝytym dla matriału bz lpkści wartści napręŝń łniały rlację 350[MPa] σ 50[MPa]. zat Ry. a. Schmat układu Ry. b. Przyjęta iatka MES Pętl hitrzy dla dwóch analizwanych mdli matriału pkazan na ry. 4. Jak zminn przyjęt kładw napręŝń pdłuŝnych (ś pinwa) i dkztałcń pdłuŝnych (ś pzima). Ry. 3. Prównani napręŝń zatępczych w wybranym lmnci mdlu z lpkścią (linia ciągła) i bz lpkści (linia przrywana) 4. ZAKOŃCZENIE Wyniki analizy numrycznj przdtawin w pracy wkazują na adkwatnść zaprpnwang mdlu. Rlacj kntytutywn SMA wyprwadzn wykrzytując pdjści fnmnlgiczn w ramach trii pręŝytści i atycznści małych dkztałcń [5]. Ittną zaltą zaprpnwanj mtdy jt mŝliwść uzykania róŝniczkwg piu matriału SMA w którym związki kntytutywn mają jawną frmę. Dzięki tmu mŝna przdtawić dwdy matmatyczn itniniu i jdnznacznści rzwiązania pdbni jak t uczynin w pracy [4] rzpatrując mdl matriału SMA niwraŝliwg na prędkść dfrmacji.

6 8 W.GRZESIKIEWICZ A.ZBICIAK Ry. 4. Pętl hitrzy w wybranym lmnci mdlu z lpkścią (linia ciągła) i bz lpkści (linia przrywana) LITERATURA. ABAQUS/Exicit Ur Manual. Hibbit Karln and Srnn Inc Bjarki Z. Mrawic H.: Mtal z pamięcią kztałtu. Warzawa: PWN DRch R. Dlmnt M.: Simic rtrfit f imy upprtd bridg uing ha mmry ally. Enginring Structur Grzikiwicz W. Wakulicz A. Zbiciak A.: Mdlwani matmatyczn matriałów z pamięcią kztałtu. W: I Kngr Mchaniki Plkij. Warzawa 007. Strzcznia rfratów. 83 (łny tkt 8 tr. na płyci CD). 5. Khan A. S. Huang S.: Cntinuum Thry f Platicity. Nw Yrk: Wily Panagitpul P.D.: Inquality Prblm in Mchanic and Apicatin. Cnx and Nncnx Enrgy Functin. Bal: Birkhaur Rn W. Li H. Sng G.: A n-dimninal train rat dndnt cntituti mdl fr urlatic ha mmry ally. Smart Matr. Struct Sng G. Ma N. Li H.-N: Apicatin f ha mmry ally in civil tructur. Engrg. Struct p MODELLING OF CONSTITUTIVE CHARACTERISTIC OF SMA MATERIAL EXHIBITING VISCOUS PROPERTIES Summary. Th bjcti f th par i th frmulatin f cntituti quatin f vicu SMA matrial mdl. Th ky prblm f th mthd prpd hrin i t dri th t rdr diffrntial quatin with rct t th tnr dcribing nn-latic part f th train fild. Thi quatin may b btaind in xicit frm tarting frm th variatinal inqualiti dfining nn-latic part f rhlgical mdl. Th cntituti rlatinhip wr cdd within VUMAT ubrutin f th cmmrcial FEM ftwar ABAQUS/Exicit.