O PEWNEJ WERSJI TWIERDZENIA O MAGISTRALI W GOSPODARCE GALE A ZE ZMIENN TECHNOLOGI

Transkrypt

1 PRZEGLD STATYSTYCZNY R. LXI ZESZYT EMIL PANEK O PEWNEJ WERSJI TWIERDZENIA O MAGISTRALI W GOSPODARCE GALE A ZE ZMIENN TECHNOLOGI 1. WSTP 1 Artyku wpisuje si w nurt tych (nielicznych) prac z teorii magistral, w których dowodzi si tzw. efektu magistrali w niestacjonarnych modelach dynamiki ekonomicznej typu Neumanna-Gale a 2. Do jednej z takich prac naley artyku Panek (2014), w którym udowodnione zostao tzw. sabe twierdzenie o magistrali w niestacjonarnej gospodarce Gale a z rosncym tempem wzrostu produkcji na magistrali goszce, e w dugich okresach czasu (dugich horyzontach gospodarki) T = {0,1,..., t 1 }, t 1 < +, optymalne procesy wzrostu przebiegaj w dowolnie bliskim (w sensie odlegoci ktowej) otoczeniu pewnej cieki wzrostu, zwanej magistral, na której gospodarka rozwija si w najwyszym tempie. Wykorzystujc ide dowodu twierdzenia 5 przedstawionego w pracy Panek (2013b) dowodzimy, e jeeli w niestacjonarnej gospodarce Gale a podobnej do opisanej we wspomnianej pracy Panek (2014) optymalny proces wzrostu w pewnym okresie czasu dociera do magistrali, a ceny (von Neumanna) nie zmieniaj si zbyt gwatownie, to niezalenie od dugoci horyzontu (niezalenie od t 1 ) proces taki przez wszystkie kolejne okresy t T pozostaje blisko magistrali, za wyjtkiem by moe kocowego okresu t MODEL. RÓWNOWAGA CHWILOWA VON NEUMANNA Zakadamy, e czas t zmienia si skokowo, t = 0, 1, 2,. W gospodarce zuywa si i wytwarza n towarów. Przez x(t) = (x 1 (t), x 2 (t),...,x n (t)) 0 oznaczamy wektor towarów zuywanych w okresie t (wektor nakadów), a przez y(t) = (y 1 (t), y 2 (t),...,y n (t)) 0 wektor towarów wytwarzanych w tym okresie (wektor produkcji). Jeeli z nakadów x(t) mona wytworzy produkcj y(t), wtedy o parze (x(t), y(t)) 1 Pomys tego artykuu zrodzi si po zoeniu do druku pracy Panek (2014). Sam model, poza jednym warunkiem, nie róni si od jego wersji przedstawionej we wspomnianej pracy. Prezentujemy go maksymalnie syntetycznie, odsyajc zainteresowanego Czytelnika do pracy autora z 2014 r. 2 Zob. np. Gantz (1980), Joshi (1997), Keeler (1972), Panek (2013a,b, 2014).

2 106 Emil Panek mówimy, e opisuje dopuszczalny proces produkcji w okresie t. Przez oznaczamy zbiór wszystkich dopuszczalnych procesów produkcji w gospodarce w okresie t = 0, 1, 2,. Nazywamy go przestrzeni produkcyjn Gale a w okresie t. Warunek (x(t), y(t)) Z(t) (równowanie (x, y) Z(t) oznacza, e w okresie t z nakadów x(t) moliwe jest wytworzenie produkcji y(t). Przestrzenie produkcyjne Z(t) speniaj nastpujce warunki: (G1) (G2). (G3). (G4) Zbiory Z(t) s domknite w R 2n. Warunki powysze obowizuj w caej pracy. Tak zdeniowane przestrzenie produkcyjne s stokami zanurzonymi w z wierzchokami w 0, których ksztat moe zmienia si z czasem, stosownie do zmian technologii produkcji (szerzej: postpu technologiczno-organizacyjnego) w gospodarce. Z warunku (G2) wynika, e jeeli (x, y) Z(t) oraz (x, y), to x Dalej interesuj nas wycznie niezerowe procesy (x(t), y(t)). Liczb nazywamy wskanikiem technologicznej efektywnoci procesu (x(t), y(t)) Z(t) \{0}. Funkcja jest ciga i dodatnio jednorodna stopnia 0 na obszarze okrelonoci; Panek (2003, tw. 5.2). Liczb = (1) nazywamy optymalnym wskanikiem technologicznej efektywnoci produkcji w niestacjonarnej gospodarce Gale a w okresie t. Zadanie (1) ma rozwizanie, tj. Panek (2013b, tw.2). Mówimy, e para opisuje optymalny proces produkcji w okresie t. Z dodatniej jednorodnoci stopnia 0 funkcji wynika, e procesy te s okrelone z dokadnoci do struktury:.

3 O pewnej wersji twierdzenia o magistrali w gospodarce Gale a ze zmienn technologi 107 Zakadamy, e (G5) W optymalnych procesach produkcji wytwarzane s wszystkie towary 3. Wówczas z (G1) wynika, e. (2) Przez oznaczamy wektor cen towarów w niestacjonarnej gospodarce Gale a w okresie t. Liczb nazywamy wskanikiem ekonomicznej efektywnoci procesu (x(t), y(t)) przy cenach p(t) (przez a, b oznaczamy iloczyn skalarny wektorów a, b). W regularnej gospodarce Gale a w kadym okresie t 0 istniej takie ceny, nazywane cenami von Neumanna, przy których (3) Panek (2003, tw. 5.4). Mówimy, e trójka opisuje stan chwilowej równowagi von Neumanna w niestacjonarnej gospodarce Gale a. W równowadze takiej w kadym okresie t dochodzi do zrównania technologicznej efektywnoci produkcji z efektywnoci ekonomiczn i jest to zawsze najwysza efektywno jak moe osign gospodarka. Ceny w równowadze von Neumanna s okrelone z dokadnoci do struktury (mnoenia przez sta dodatni). Interesuje nas niestacjonarna gospodarka Gale a, w której moliwe jest ustalenie takich cen, aby byy one nierosnce 4 : (G6). 3. TWIERDZENIE O MAGISTRALI Oznaczamy przez T = {0, 1,, t 1 }, t 1 < +, podzbiór okresów czasu, który dalej nazywamy horyzontem gospodarki. Liczba t 1 oznacza jednoczenie dugo horyzontu T. Niech t < t 1. Wemy dwa ssiednie procesy produkcji: 3 Tzw. warunek regularnoci gospodarki, zob. np. Panek (2003, rozdz. 5, pkt 5.1). 4 Warunek jest speniony gdy np. ceny von Neumanna s zawsze (w kadym okresie t) dodatnie.

4 108 Emil Panek. Zakadamy, e gospodarka jest zamknita w tym sensie, e nakady w okresie nastpnym mog pochodzi tylko z produkcji wytworzonej w okresie poprzednim: co wobec (G3) prowadzi do warunku:. (4) Ustalmy pocztkowy wektor produkcji:. (5) O cigu wektorów speniajcym warunki (4), (5) mówimy, e opisuje (y 0, t 1 ) dopuszczalny proces wzrostu (trajektori produkcji) w niestacjonarnej gospodarce Gale a. Wemy ceny von Neumanna i rozpatrzmy nastpujce zadanie wzrostu docelowego (maksymalizacji wartoci produkcji wytworzonej w gospodarce w ostatnim okresie horyzontu T):. Jego rozwizanie nazywamy optymalnym procesem wzrostu (trajektori produkcji) w niestacjonarnej gospodarce Gale a. 5 Zauwamy, e biorc dowolny optymalny proces produkcji mona zawsze decyduj o tym warunki (G1), (G5)) wskaza taki optymalny proces produkcji Z(t + 1), e 5 Przy przyjtych zaoeniach zadanie to ma rozwizanie. Dowód przebiega podobnie jak dowód tw. 5.7 w pracy Panek (2003).

5 O pewnej wersji twierdzenia o magistrali w gospodarce Gale a ze zmienn technologi 109 Zakadamy, e (G7) Niezalenie od dugoci horyzontu T = {0, 1,, t 1 } stnieje cig optymalnych procesów produkcji, w którym: Wówczas cig tworzy dopuszczalny proces wzrostu, w którym czyli (6) t 1 1t T = {0, 1,, t 1 } (tutaj i dalej. Proces taki charakteryzuje si sta w czasie (optymaln) struktur produkcji oraz maksymalnym (cho zmiennym w czasie) tempem wzrostu produkcji. Póprosta wyznacza tzw. magistral produkcyjn (promie von Neumanna) w niestacjonarnej gospodarce Gale a, na której produkcja ronie z okresu na okres w maksymalnym tempie. Wszystkie procesy wzrostu postaci (6) le na magistrali. Zgodnie z (3) ekonomiczna efektywno dowolnego procesu produkcji nie przekracza technologicznej efektywnoci M,t. Maksymaln technologiczn efektywno gospodarka osiga na magistrali. Dochodzi wówczas do zrównania obu tych efektywnoci (i to na najwyszym moliwym do osignicia poziomie). Zasadne jest wic przyjcie, e: (G8) t 0(x(t), y(t)). Jeeli speniony jest ten warunek, to: (7)

6 110 Emil Panek Panek (2003, lemat 5.2) 6. Aby wykluczy sytuacj, gdy z upywem czasu dla pewnej liczby > 0 zakadamy, e: 7 (G9). Przypadek jest mao realistyczny. Oznacza, e z czasem efektywno ekonomiczna procesu zblia si do optymalnej nawet wówczas, gdy struktura procesu odbiega stale od optymalnej o ustalon wielko > 0 Poniewa,t (0, M,t ), wic v s (0,1). Twierdzenie (o magistrali w niestacjonarnej gospodarce Gale a) Ustalmy horyzont T = {0,1,..., t 1 } (0 < t 1 < +) i wemy liczb > 0 Niech liczba v spenia warunek (G9) oraz optymalny proces wzrostu w pewnym okresie dociera do magistrali: Jeeli zachodz warunki (G1) (G8) oraz ceny von Neumanna w okresach,, t 1 speniaj warunek 8 : to. (8) 6 Warunek gosi, e efektywno ekonomiczna dowolnego procesu, w którym struktura produkcji róni si od magistralnej, jest nisza od maksymalnej efektywnoci moliwej do osignicia na magistrali. 7 Z geometrycznego punktu widzenia warunek (G9) wyklucza sytuacj, w której przy t + stoki Z(t) puchn w otoczeniu magistrali N. 8 Ceny speniajce ten warunek nie zmieniaj si gwatownie.

7 O pewnej wersji twierdzenia o magistrali w gospodarce Gale a ze zmienn technologi 111 Dowód. Z (3), (4) oraz denicji funkcji wnioskujemy, e Dla t = t 1 1 mamy:. W myl (G6) a std. Postpujc tak dalej dochodzimy do warunku:. Poniewa wic (naley przyj czyli:. (9) Zaómy, e. Wówczas, zgodnie z (7),

8 112 Emil Panek czyli (10) czc (9), (10) mamy:. (11) Utwórzmy nastpujcy cig wektorów produkcji Cig ten tworzy proces (y 0, t 1 ) dopuszczalny, który dostajemy ze sklejenia pocztkowego fragmentu optymalnej trajektorii (dla i dopuszczalnej trajektorii postaci (6) (dla. Z denicji procesu optymalnego: (12) Z (11), (12) otrzymujemy nierówno: z której zwaywszy na warunki (G9) i (8) wynika, e Otrzymana sprzeczno zamyka dowód.

9 O pewnej wersji twierdzenia o magistrali w gospodarce Gale a ze zmienn technologi UWAGI KOCOWE Przedstawiony model róni si od wikszoci znanych wersji modelu Neumanna- Gale a przede wszystkim zaoeniem o zmiennej technologii (zmieniajcych w czasie przestrzeniach produkcyjnych Z(t)). Gospodarka moe rozwija si w maksymalnym tempie (rónym w rónych okresach) pod warunkiem osignicia optymalnej struktury produkcji charakterystycznej dla magistrali N (swoista droga najszybszego ruchu gospodarki). W standardowych, stacjonarnych modelach Neumanna-Gale a (ze sta technologi) dowodzi si wówczas, e niezalenie od dugoci horyzontu T = {0,1,..., t 1 } optymalny proces wzrostu: przebiega w dowolnie bliskim otoczeniu magistrali, za wyjtkiem co najwyej pewnej liczby okresów pocztkowych i kocowych (innymi sowy, im duszy jest horyzont, tym duej w jego rodkowym okresie gospodarka rozwija si w otoczeniu magistrali), jeeli w pewnym okresie gospodarka dociera do magistrali, wtedy pozostaje na niej przez wszystkie nastpne okresy horyzontu T, poza co najwyej (jednym) kocowym okresem t 1. Pierwsz grup twierdze przyjto w literaturze nazywa silnymi, drug bardzo silnymi twierdzeniami o magistrali 9. Przedstawione w artykule twierdzenie jest ogniwem porednim midzy wersj siln i bardzo siln. Co istotne na tle literatury, jego dowód nie wymaga dodatkowych zaoe o kierunkach zmian technologii w gospodarce 10. Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu LITERATURA Czeremnych J. N., (1982), Analiz powiedienija trajektorii dynamiki narodnochoziajstwien- nych modeliej, Nauka, Moskwa. Gantz D., (1980), A Strong Turnpike Theorem for a Nonstationary von Neumann-Gale Production Model, Econometrica, 48 (7), Joshi S., (1997), Turnpike Theorems in Nonconvex Nonstationary Envirenments, International Economic Review, 38 (1), Keeler E. B., (1972), A Twisted Turnpike, International Economic Review, 13 (1), Panek E., (2003), Ekonomia matematyczna, Wyd. AEP, Pozna. Panek E., (2013a), Niestacjonarny model von Neumanna z graniczn technologi, Studia Oecnomica Posnaniensia, 1 (1), Zob. np. Takayama (1985, rozdz. 7), Panek (2013a,b). 10 Mamy na myli te nieliczne prace, m.in. Czeremnych (1982, rozdz. 4), Panek (2013a,b), w których przy dowodach magistralnych wasnoci niestacjonarnych gospodarek Neumanna-Gale a (ze zmienn technologi) zakada si zbieno technologii do pewnej technologii granicznej.

10 114 Emil Panek Panek E., (2013b), Saby i bardzo silny efekt magistrali w niestacjonarnej gospodarce Gale a z graniczn technologi, Przegld Statystyczny, 60 (3), Panek E., (2014), Niestacjonarna gospodarka Gale a z rosnc efektywnoci produkcji na magistrali, Przegld Statystyczny, 61 (1), Takayama A., (1985), Mathematical Economics, Cambrige Univ. Press, Cambridge. O PEWNEJ WERSJI TWIERDZENIA O MAGISTRALI W GOSPODARCE GALE A ZE ZMIENN TECHNOLOGI Streszczenie Artyku wpisuje si w nurt nielicznych prac z ekonomii matematycznej, zawierajcych dowody tzw. twierdze o magistrali w modelach niestacjonarnych gospodarek typu Neumanna-Gale a. Wykorzystujc ide dowodu twierdzenia 5 przedstawionego w pracy Panek (2013b) udowodniono wersj poredni- midzy siln i bardzo siln twierdzenia o magistrali w niestacjonarnej gospodarce Gale a goszc, e jeeli w niestacjonarnej gospodarce Gale a optymalny proces wzrostu w pewnym okresie czasu dociera do magistrali, a ceny (von Neumanna) nie zmieniaj si zbyt gwatownie, to niezalenie od dugoci horyzontu proces taki przez wszystkie kolejne okresy (za wyjtkiem co najwyej ostatniego) przebiega w pobliu magistrali. Sowa kluczowe: niestacjonarna gospodarka Gale a, przestrze produkcyjna, technologiczna i ekonomiczna efektywno produkcji, równowaga von Neumanna, magistrala produkcyjna A NEW APPROACH TO THE TURNPIKE THEOREM IN THE GALE ECONOMY WITH CHANGEABLE TECHNOLOGY Abstract This article is part of a trend of few works of mathematical economics containing proofs of the so-called turnpike theorems in the non-stationary Neumann-Gale economies. Using the idea of the proof of theorem 5 in the article Panek (2013b) the intermediate version was proven, that stands between the strong and the very strony turnpike theorem in the non-stationary Gale economy. It states that if in the non-stationary Gale s economy the optimal growth process in a certain period of time reaches the turnpike and the (von Neumann) prices do not change to abruptly, than irrespectively of the length of the horizon, such a process for all subsequent periods (except for perhaps the nal time) can be found in the turnpike s proximity. Keywords: non-stationary Gale economy, production set, technological and economic production efciency, von Neumanna equilibrium, production turnpike