ESTYMACJA WARIANCJI ARYTMETYCZNEGO RUCHU BROWNA NA PODSTAWIE ZNANYCH WARTO CI MINIMUM, MAKSIMUM, KO COWEJ ORAZ DRYFU 1

Transkrypt

1 PRZEGLD STATYSTYCZNY R. LX ZESZYT GRZEGORZ PERCZAK, PIOTR FISZEDER ESTYMACJA WARIANCJI ARYTMETYCZNEGO RUCHU BROWNA NA PODSTAWIE ZNANYCH WARTOCI MINIMUM, MAKSIMUM, KOCOWEJ ORAZ DRYFU 1 1. WPROWADZENIE Zmienno jest jednym z waniejszych poj wspóczesnych nansów. Jej znaczenie w teorii nansów jest fundamentalne. Wynika zarówno z teorii nansów, jak i zastosowa praktycznych. Zmienno ma zastosowanie zarówno w klasycznej teorii portfela, wycenie opcji czy analizach obejmujcych problem pomiaru ryzyka. Wariancja logarytmicznej stopy zwrotu instrumentu nansowego moe by miar niepewnoci co do wielkoci przyszych zmian ceny tego instrumentu. Estymacja tego parametru dokonywana jest na podstawie historycznych notowa rynkowych. W praktyce wystpuje jednak zazwyczaj problem z dostpem do szczegóowych danych. W ogólnodostpnych publikowanych notowaniach cen instrumentów nansowych podawane s najczciej ceny: otwarcia, minimalna, maksymalna oraz zamknicia, jakie zostay zaobserwowane w danym dniu. Z jednej strony, tak niepeny zbiór danych utrudnia precyzyjne oszacowanie wariancji. Z drugiej strony, bardzo czsto w analizie danych nansowych wykorzystuje si szeregi czasowe tylko cen zamknicia, co powoduje, e estymator wariancji konstruowany jest na podstawie jeszcze bardziej skpego zbioru danych skadajcego si z dziennych stóp zwrotu. Celowe wydaje si zatem przedstawienie problemu wykorzystania dodatkowych informacji o minimalnej i maksymalnej dziennej cenie rynkowej w estymacji dziennej wariancji, którym to terminem okrelano w dalszej czci pracy wariancj stopy zwrotu zaobserwowan midzy zamkniciami notowa w kolejnych dniach. Literatura naukowa dostarcza wielu metod estymacji dziennej wariancji. Czsto róni si one przyjtymi zaoeniami, a take wykorzystuj rónego typu dostpne notowania. Konstruowane w ten sposób estymatory róni si równie znaczco efektywnoci. W niniejszym opracowaniu zostan bliej omówione tylko te, które wykorzystuj znajomo co najwyej cen otwarcia, minimalnej, maksymalnej i zamknicia. Przedmiotem zainteresowania nie s estymatory konstruowane na podstawie róddziennych stóp zwrotu (patrz np. Doman, 2011). 1 Praca zostaa snansowana ze rodków Narodowego Centrum Nauki projekt numer 2012/05/B/ HS4/00675 nt. Modelowanie i prognozowanie zmiennoci wykorzystanie dodatkowych informacji o cenach minimalnych i maksymalnych.

2 40 Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder Analiza publikacji zawierajcych metody estymacji dziennej wariancji: Parkinson (1980), Garman, Klass (1980), Rogers, Satchell (1991), Kunitomo (1992), Yang, Zhang (2000) prowadzi do wniosku, e w kadej z nich zastosowano inne podejcie modelowe. Zostanie zatem podjta próba kompleksowego spojrzenia na ten problem i dokonany zostanie przegld najbardziej popularnych estymatorów, skonstruowanych na podstawie tego samego aparatu matematycznego. Prezentacja istniejcego stanu wiedzy z jednej wspólnej perspektywy pozwoli oceni wady i zalety istniejcych estymatorów, wyznaczy analitycznie ich efektywno, oceni zasadno zaoe, na podstawie których s konstruowane, oceni wasnoci estymatorów w sytuacji, gdy nie s spenione zaoenia modelowe, a take sta si inspiracj do poszukiwa innych sposobów estymacji wariancji. Podstaw prowadzonych w pracy analiz bdzie rozkad czny trójwymiarowego wektora, którego wspórzdnymi s zmienne losowe minimum, maksimum i wartoci kocowej arytmetycznego ruchu Browna. Znajomo rozkadu tego wektora umoliwia obliczenie wartoci oczekiwanych praktycznie dowolnych funkcji wspórzdnych tego wektora. Zostanie pokazane, e niektóre z tych wartoci oczekiwanych s równe wariancji procesu, uzyskany zostanie zatem pewien zbiór estymatorów tego parametru. To z kolei umoliwi zarówno sprawdzenie nieobcionoci znanych estymatorów, jak równie obliczenie ich efektywnoci oraz konstrukcj nowego, nieobcionego estymatora. Ponadto, zostanie pokazane, e jest on efektywniejszy od wielu innych dotychczas zaproponowanych estymatorów, pomimo e nie wymaga spenienia restrykcyjnych zaoe. Wspóln cech podstawowych, znanych estymatorów dziennej wariancji stopy zwrotu jest fakt, e albo zakadaj one uproszczony model, gdy dryf ma warto zerow, albo ich konstrukcja nie wykorzystuje znajomoci wartoci dryfu. Wydaje si natomiast, e wykorzystanie informacji o wartoci dodatkowego parametru powinno zwikszy efektywno estymatora. W opracowaniu zostan przedstawione wyniki dotyczce wykorzystania takiego estymatora do estymacji wariancji procesu obserwowanego na rynku kapitaowym. Zostanie pokazane, e szacunki zmiennoci konstruowane na podstawie estymatorów wykorzystujcych dodatkowo znajomo dziennych cen minimalnych i maksymalnych s bardziej trafne ni te, które konstruuje si na podstawie modelu GARCH. Estymator konstruowany na podstawie dodatkowych informacji o cenach minimalnych i maksymalnych moe by w przyszoci wykorzystany do budowy modeli GARCH, dziki czemu bdzie moliwe uzyskanie jeszcze trafniejszych szacunków zmiennoci. Ukad artykuu jest nastpujcy. W czci drugiej zostanie przedstawiony rozkad czny zmiennych losowych minimum, maksimum i wartoci kocowej arytmetycznego ruchu Browna, a nastpnie zostanie wyznaczona jego gsto i funkcja charakterystyczna oraz wartoci oczekiwane iloczynów potg tych zmiennych losowych. Dodatkowo obliczone zostan wartoci oczekiwane funkcji zmiennych losowych minimum, maksimum i wartoci kocowej dla niezerowej wartoci dryfu. Cz trzecia zawiera bdzie omówienie znanych estymatorów dziennej wariancji. Wyznaczona

3 O 1 L 1 Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoci 41 bdzie nie tylko ich efektywno, lecz take warto obcienia, w sytuacji gdy nie s spenione zaoenia modelowe, na podstawie których byy one konstruowane. Informacje przedstawione w czci drugiej zostan wykorzystane do propozycji nowego estymatora dziennej wariancji. Estymator ten zostanie nastpnie zastosowany w badaniu dotyczcym szacowania zmiennoci stóp zwrotu indeksu WIG20 notowanego na GPW w Warszawie. Opracowanie koczy podsumowanie. Artyku powsta na podstawie fragmentów pracy Perczaka (2013). 2. TRÓJWYMIAROWY WEKTOR LOSOWY MINIMUM, MAKSIMUM I WARTOCI KOCOWEJ RUCHU BROWNA 2.1. ZAOENIA ORAZ OZNACZENIA W opracowaniu przyjto, e: t jest ustalon liczb rzeczywist dodatni, jednostk czasu t jest jeden dzie (czyli warto t = 1 odpowiada jednej dobie), zmienna spenia warunek 0 t, = 0 oznacza moment rozpoczcia notowa w biecym okresie, który jest jednoczenie momentem otwarcia rynku w biecym okresie, B jest standardowym procesem Wienera, S jest cen instrumentu nansowego odnotowan w chwili. Stopa zwrotu, zdeniowana jako x = ln(s t S 0 ) jest realizacj arytmetycznego ruchu Browna: X = + B w punkcie = t. Ponadto przyjto: Ct : max X, At : min X. 0 t 0 t W praktyce najczciej zakada si, e rozpatrywany okres t jest równy jednej dobie. Problem wyznaczenia minimum i maksimum dziennej logarytmicznej stopy zwrotu jest nieco bardziej zoony. Jego ilustracj przedstawia rysunek 1. CenaS(t) Rynekzamknity Rynekotwarty H 1 S 1 S 0 Wczorajsze zamknicie Dzisiejsze otwarcie Dzisiejsze zamknicie Czast 1 Rysunek 1. Przykadowa realizacja ceny instrument nansowego w cigu dnia ródo: opracowanie wasne na podstawie pracy Garmana, Klassa (1980, str. 70).

4 42 Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder Z notowa w cigu dnia zazwyczaj ogólnodostpnych jest tylko pi wielkoci: S 0 wczorajsza cena zamknicia, O 1 dzisiejsza cena otwarcia, H 1 odnotowane w dniu dzisiejszym maksimum ceny, L 1 odnotowane w dniu dzisiejszym minimum ceny, S 1 dzisiejsza cena zamknicia. Wykorzystanie informacji dotyczcych cen, jakie zaobserwowano tylko w okresie od momentu rozpoczcia do zakoczenia notowa rynkowych, nie pozawala na prawidowe wyznaczenie zmiennoci dobowej. W takim wypadku mona co najwyej oszacowa zmienno jaka miaa miejsce w czasie funkcjonowania rynku. Wartoci notowa L 1 i H 1 zostay ustalone dla okresu, w którym rynek by otwarty, a nie dla caej doby, co ilustruje rysunek 1. W zwizku z tym konieczne jest przedeniowanie wartoci minimalnej i maksymalnej tak, aby obejmoway one okres pomidzy dwoma kolejnymi zamkniciami notowa (czyli penej doby). Ostatecznie zostan zatem przyjte nastpujce denicje dziennych stóp zwrotu minimum i maksimum A t : = min(ln L 1, ln S 0 ) ln S 0, C t : = max(ln H 1, ln S 0 ) ln S 0. Zmienna X t : = ln(s t S 0 ) bdzie okrelana jako stopa zwrotu wartoci kocowej. Ponadto, przyjto zaoenie, e wariancja procesu jest staa w cigu dnia, a jednoczenie dopuszczalna jest jej zmienno w kolejnych dniach. Z tego powodu ustalony zosta warunek: 0 < t ROZKAD CZNY ZMIENNYCH LOSOWYCH STÓP ZWROTU MAKSIMUM, MINIMUM I WARTOCI KOCOWEJ RUCHU BROWNA Znajomo rozkadu cznego wektora trzech zmiennych losowych (A t, C t, X t ) umoliwia wyznaczenie wartoci oczekiwanych wybranych funkcji tych zmiennych. Poniewa rozkad ten ma skomplikowan posta, zatem w pierwszej kolejnoci zaprezentowane zostan rozkady czne wektorów (C t, X t ) oraz (A t, X t ). Istnieje wiele opracowa, w których omawiany jest problem rozkadu cznego wektorów (C t, X t ), np. Cox, Miller (1965), Harrisson (19 85). Zagadni enie to jest równie bardzo czsto omawiane przy wycenie opcji barierowych (patrz np. Li, 1998; Jakubowski i inni, 2006). Rozwaane jest zdarzenie losowe {C t c, X t x} gdy x c i 0 c. Dystrybuanta rozkadu cznego wektora zmiennych losowych (C t, X t ) opisana jest formu (patrz Harrisson, 1985, str. 13, wzór (8)): (1) gdzie oznacza dystrybuant standaryzowanego rozkadu normalnego. Na podstawie równania (1) wyprowadzono formu na gsto rozkadu cznego wektora zmiennych losowych (C t, X t ):

5 Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoci 43 (2) Wyznaczono równie funkcj charakterystyczn rozkadu cznego wektora zmiennych losowych (C t, X t ): (3) gdzie,. Z kolei rozwamy zdarzenie {A t > a, X t > x} gdy a 0 i a x. Take w tym wypadku mona wyznaczy jego prawdopodobiestwo stosujc analogi do poprzednio rozpatrywanego zdarzenia: (4) Gsto rozkadu cznego wektora zmiennych losowych (A t, X t ) dana jest formu: (5) Funkcja charakterystyczna rozkadu cznego wektora zmiennych losowych (A t, X t ) wyglda nastpujco:

6 44 Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder (6) Problem wyznaczenia rozkadu wektora (A t, C t, X t ) rozwaany by np. w opracowaniach Coxa, Millera (1965), Li (1998). Gsto rozkadu X t z górn i doln barier absorbujc równymi odpowiednio c i a opisuje nastpujcy wzór (patrz Cox, Miller, 1965, str. 222, formua (78)): gdzie a 0 c, a x c. (7) Korzystajc ze wzoru (7) wyznaczono gsto rozkadu cznego wektora zmiennych losowych (A t, C t, X t ): (8) gdzie funkcja g opisana jest zalenoci: (9) Funkcj charakterystyczn rozkadu cznego wektora zmiennych losowych (A t, C t, X t ) opisuje formua:

7 Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoci 45 (10) Z uwagi na bardzo zoon posta tej funkcji jej szczegóowe przedstawienie zostanie w tym przypadku pominite 2. Znajomo postaci funkcji charakterystycznych umoliwia obliczenie wartoci oczekiwanych wybranych zmiennych losowych. Przykadowo, dla cakowitych wartoci u, v, w uzyskujemy: (11) gdzie n = u + v + w. W sytuacji, gdy u = 0 lub v = 0, wygodniej jest skorzysta odpowiednio z formu: oraz (12) (13) 2.3. MOMENTY ZWYKE ZMIENNYCH LOSOWYCH STÓP ZWROTU MINIMUM, MAKSIMUM I WARTOCI KOCOWEJ RUCHU BROWNA Przyjto nastpujce oznaczenia i denicje: dla n, n > 0, y > 0,,, (14) (15) (16) 2 Formua moe zosta udostpniona na yczenie Czytelnika.

8 46 Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder dla n, n > 1 (n) jest tzw. funkcj Zeta-Riemanna, (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23)

9 Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoci 47 Korzystajc z formu (11), (12), (13) mona obliczy wartoci oczekiwane dowolnych potg zmiennych A t, C t, X t. Poniej przedstawiono wyprowadzone wzory dla wybranych momentów do czwartego rzdu wcznie. Momenty pierwszego rzdu dla 0 ( 0) dane s w postaci: (24) (25) Momenty drugiego rzdu dla 0 ( 0) opisuj formuy: (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) Moment trzeciego rzdu dla 0 ( 0) opisuje zaleno: (33)

10 48 Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder Momenty czwartego rzdu dla 0 ( 0) przedstawione s równaniami: (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) Dla = 0 ( = 0) przedstawione w równaniach (24-42) momenty zmiennych losowych mona wyznaczy analogicznie korzystajc z tych samych formu (11), (12), (13). Jednak w tym wypadku konieczne jest wyznaczenie granic funkcji po prawej stronie dla 0 ( 0). W wikszoci wypadków, prostszym sposobem jest jednak wykorzystanie wzoru Vasicka (patrz Garman, Klass, 1980, str. 78). Gotowe wyniki mona znale w pracy Garmana, Klassa (1980, str. 74). 3. ESTYMATORY ZMIENNOCI 3.1. PRZEGLD ESTYMATORÓW WARIANCJI KONSTRUOWANYCH NA PODSTAWIE ZNAJOMOCI CEN MINIMALNYCH, MAKSYMALNYCH I ZAMKNICIA Tosamoci (24-42) zostay wyprowadzone przy wykorzystaniu znajomoci rozkadu cznego zmiennych losowych A t, C t, X t. Na ich podstawie mona uzyska wiele informacji na temat znanych estymatorów wariancji ruchu Browna. Autorom publikacji nie jest znane adne opracowanie, w którym przedstawiona byaby kom-

11 Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoci 49 pleksowa analiza estymatorów wariancji przy wykorzystaniu tego samego aparatu matematycznego. W punkcie 3.1 wyznaczone zostan m.in. obcienia wybranych, popularnych estymatorów wariancji dla niezerowego dryfu, a take sformuowane zostan dokadne wartoci wariancji estymatorów. Te charakterystyki nie byy dotd nigdzie publikowane. Najbardziej popularny, nieobciony estymator wariancji procesu konstruowany jest na podstawie jedynie cen zamknicia, ale wymaga równie znajomoci wartoci dryfu. Mona go przedstawi w postaci formuy:. (43) Jego wariancja jest równa:. (44) Wysoka warto wariancji tego estymatora wynika oczywicie z czciowego tylko wykorzystania zbioru danych A t, C t, X t. Podobn cech ma estymator Parkinsona (1980) dany wzorem: (45) przy konstrukcji którego nie wykorzystuje si znajomoci X t. Dla = 0 jest on nieobcionym estymatorem wariancji 2 t arytmetycznego ruchu Browna. W praktyce, estymator ten wykorzystywany jest czsto w sytuacji, gdy warto dryfu jest nieznana, bd te, gdy 0. Korzystajc z równa (28-30) wyprowadzono formu na warto oczekiwan estymatora Parkinsona dla niezerowego dryfu: (46) gdzie oraz ( ) zostay zdeniowane w równaniach (14) i (16).

12 50 Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder Rysunek 2 daje pogld na temat wielkoci obcienia tego estymatora w zaleno- ci od wartoci parametru. 1,14 1,13 1,12 1,11 1,10 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1,00 0 0,00 estymatorparkinsona estymatorgarmanaklassa 0,20 0,,40 v 0,60 0,80 1,00 Iloraz wartoci oczekiwanej estymatora i wariancji ruchu Browna w zalenoci od parametru. Rysunek 2. Obcienie estymatorów Parkinsona i Garmana-Klassa dla niezerowego dryfu ródo: opracowanie wasne. Korzystajc z tosamoci podanych we wzorach (28 30), (36), (39) i (42) mona wyznaczy wariancj estymatora Parkinsona:. (47) Na podstawie tosamoci zawartych w Garman, Klass (1980, str. 74), dla = 0 otrzymujemy: (48) Wynik ten zgodny z rezultatem podanym przez Parkinsona (1980, str. 63), lecz odbiega od szacunku podanego przez Garmana, Klassa (1980, str. 71), wedug których estymator jest 5.2 razy efektywniejszy od.. W adnej z omawianych prac nie podano dokadnych formu, na podstawie których zostay wyznaczone te wartoci.

13 Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoci 51 Garman, Klass (1980) rozwaali równie tylko przypadek, gdy = 0. Skonstruowali oni estymator wariancji arytmetycznego ruchu Browna dany formu (okrelany dalej jako estymator G-K): (49) Na podstawie równa (28-30) skonstruowano formu na warto oczekiwan estymatora G-K dla 0 ( 0): (50) Na podstawie rysunku 2 mona oceni wielko obcienia tego estymatora w zalenoci od wartoci parametru. Wariancja estymatora G-K jest równa: (51)

14 52 Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder Przy wyprowadzeniu równania (51) korzystano z formu (28-30), (34-36), (39), (41) i (42). Na podstawie tosamoci zawartych w Garman, Klass (1980, str. 74), dla = 0 otrzymujemy: (52) Uzyskany w równaniu (52) rezultat jest zgodny z szacunkami podanymi przez Garmana, Klassa (1980, str. 74), wedug których estymator jest 7,4 razy bardziej efektywny od oraz z wynikami Rogersa, Satchella (1991, str. 505), wedug których wariancja estymatora jest równa 0,27 4 t 2. Rogers, Satchell (1991) prowadzili badania dla niezerowgo dryfu. Zaproponowali oni nastpujcy estymator wariancji procesu X t (okrelany dalej jako R-S): (53) który nie tylko jest nieobciony dla wszystkich wartoci 0, ale znajomo tego parametru nie jest konieczna do estymacji wariancji procesu. Wariancja tego estymatora jest równa: (54) Równanie (54) zostao wyprowadzone z wykorzystaniem formu (35-37), (39-42). Dla = 0 uzyskujemy: (55) Otrzymana warto jest zgodna z wynikami Rogersa, Satchella (1991, str. 505). Take w tym wypadku nie podano formu, na podstawie których warto ta zostaa wyznaczona. W niniejszej pracy rozwaane s estymatory, które konstruowane s na podstawie jedynie pojedynczego wektora zmiennych losowych (A t, C t, X t ). W badaniach nansowych wykorzystuje si szereg innych estymatorów zmiennoci, które konstruowane s na podstawie szerszego zbioru informacji. Jednym z nich jest estymator o bardzo wysokiej efektywnoci, zaproponowany przez Kunitomo (1992). Wykorzystuje on tzw. skorygowan maksymaln i minimaln warto, lecz do ich wyznaczenia konieczna jest znajomo wszystkich róddziennych stóp zwrotu. Z tego wzgldu estymator ten nie bdzie bliej omawiany. Jak zostao to ju zaznaczone, przedstawione dotychczas estymatory stosowane s w praktyce do wyznaczania wariancji dla jednego dnia notowa. Przy okreleniu

15 Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoci 53 ich wasnoci przyjto zaoenie, e dzienne logarytmiczne stopy zwrotu s realizacj ruchu Browna o ustalonych na dany dzie wartociach dryfu oraz wariancji 2. Czasami jednak estymatory te wykorzystywane s do obliczenia wariancji dla okresu, którego dugo przekracza jeden dzie. Wówczas zakada si, e wariancja stóp zwrotu jest staa w danym okresie, ponadto przyjmuje si, e jej szacunek w skali jednego dnia jest równy redniej arytmetycznej dziennych wariancji wyznaczonych dla kolejnych dni nalecych do przyjtego okresu. W takim wypadku mamy zatem do czynienia z bardzo istotnym wzmocnieniem zaoe przyjtego modelu. Naley jednak zauway, e dla wikszoci szeregów nansowych tak wzmocnione zao- enie jest nieprawdziwe w wietle wyników bada empirycznych (patrz np. prace przegldowe dotyczce zmiennoci warunkowej wariancji Bollerslev, Chou, Kroner, 1992, Bollerslev, Engle, Nelson, 1994). Z tego powodu, taki sposób wykorzystania przedstawionych estymatorów nie by przedmiotem zainteresowania niniejszego opracowania. Przy zaoeniu staoci wariancji dla okresu duszego ni jeden dzie skonstruowany zosta równie estymator zaproponowany przez Yanga, Zhanga (2000). Wykorzystuje on znajomo wartoci cigu wektorów o dugoci wikszej od 1, których wspórzdnymi s ceny dziennego otwarcia, maksimum, minimum i zamknicia. Zatem, dodatkowo uwzgldniane s tzw. zwroty nocne, czyli stopy zwrotu pomidzy cen zamknicia poprzedniego dnia i cen otwarcia dnia nastpnego (patrz rysunek 1). Ze wzgldu na wysok efektywno i powszechn dostpno danych, na podstawie których jest konstruowany, jest on jednym z najpowszechniej stosowanych estymatorów zmiennoci wykorzystujcych cen otwarcia, minimaln, maksymaln i zamknicia. Nie jest natomiast moliwe wykorzystanie tego estymatora do szacowania wariancji tylko dla jednego dnia. Z tego wzgldu, a take z powodu przyjtych bardzo silnych zaoe, estymator ten nie bdzie równie bliej omawiany PROPOZYCJA NOWEGO ESTYMATORA ZMIENNOCI Wedug wiedzy autorów, w przypadku gdy nie jest znana warto dryfu, estymator R-S jest najbardziej efektywnym ze znanych estymatorów wariancji ruchu Browna dla niezerowej wartoci dryfu konstruowanym na podstawie realizacji wektora zmiennych (A t, C t, X t ) (w przypadku = 0 najbardziej efektywnym znanym estymatorem jest estymator G-K). Mona postawi pytanie, czy w sytuacji, gdy znana jest warto parametru, istnieje moliwo wykorzystania tej dodatkowej informacji tak, aby poprawi efektywno estymatora R-S. Poniej zostanie zaproponowany estymator wariancji ruchu Browna przy znanej wartoci parametru, konstruowany na podstawie realizacji (A t, C t, X t ). Rozwamy nastpujce estymatory wariancji: (56)

16 54 Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder (57) (58) Wykorzystujc formuy (31), (32), (27), (28), (29), mona atwo pokaza, e,, s nieobcionymi estymatorami wariancji 2 t arytmetycznego ruchu Browna. W zwizku z tym estymator: (59) jest równie nieobcionym estymatorem wariancji 2 t dla wszystkich a, b. atwo zauway, e dla a = 1 i b = 2 otrzymujemy estymator R-S. Wariancja estymatora dana jest formu: gdzie: (60) (61) natomiast funkcje H 1 i H 2 zdeniowano odpowiednio w równaniach (21) i (22). Funkcje H 2 () i H 12 () przyjmuj wartoci dodatnie dla. Z uwagi na ograniczon objto artykuu dowód tego faktu zostanie pominity 3. W zwizku z tym funkcja osiga minimum dla: (62) (63) Jeeli = 0, wówczas warto parametru b, dla której wariancja estymatora osiga minimum wynosi: 3 Wyniki mog zosta udostpnione na yczenie Czytelnika.

17 Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoci 55 (64) Funkcja b min jest parzysta. Rosnce wartoci bezwzgldne argumentu powoduj monotoniczny wzrost b min ; dla ± funkcja ta asymptotycznie dy do 2 (patrz rysunek 3). 2,00 0 1,95 b min(v v) 1,90 1,85 1,80 1,75 1,70 0,0 0,,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 v 2,0 Rysunek 3. Wartoci parametru b w zalenoci od wartoci, dla których wariancja zaproponowanego estymatora osiga minimum ródo: opracowanie wasne. Dla = 0 wariancja estymatora jest równa: (65) Jest ona zatem mniejsza od wariancji estymatora R-S i tylko nieznacznie wiksza od estymatora G-K. Sytuacja, w której posta estymatora o minimalnej wariancji zaley od wartoci estymowanego parametru powoduje, e niemoliwe jest skonstruowanie najefektywniejszego estymatora. Innymi sowy, aby ustali posta estymatora o minimalnej wariancji, trzeba zna z góry warto estymowanego parametru. Fakt ten nie oznacza jednak, e nie ma moliwoci poprawienia efektywnoci znanych estymatorów. W praktyce, w badaniach nansowych, w ogromnej wikszoci przypadków wystpuje zaleno:, czyli warto jest bliska 0. Do praktycznych zastoso-

18 56 Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder wa mona przyj wartoci b = 1,72 i a = 0,86. Proponowany estymator ma zatem nastpujc posta: (66) Rysunek 4 przedstawia wykres zalenoci wartoci wariancji estymatorów,, i od parametru. 0,500 0,48 0,46 0,444 0,42 0,400 0,38 0,36 0,34 0,32 0,300 0,28 0,26 estymator Parkinson a estymator Gar mana-klassa a-satchell a Zapr opoo no wa ny esty mator estymator Rog ers 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 0 v 1,00 Iloraz wariancji estymatora i kwadratu wariancji ruchu Browna w zalenoci od parametru. Rysunek 4. Efektywno estymatorów wariancji w zalenoci od wartoci parametru ródo: opracowanie wasne. Jak zostao to wczeniej zaznaczone, stosowanie estymatora wymaga znajomoci parametru dryfu. W analizach szeregów nansowych, jego dokadna warto niemal nigdy nie jest znana i konieczna jest jego estymacja. Powstaje zatem problem okrelenia wpywu estymacji dryfu na wasnoci estymatora. Niech bdzie estymatorem dryfu, okrelonym na podstawie duej próby o liczebnoci n. Poniewa estymacja zmiennoci przeprowadzana jest na podstawie informacji z pojedynczego dnia tej próby, zatem estymator wariancji jest zaleny od estymatora dryfu. Zaleno ta maleje jednak wraz ze wzrostem liczebnoci próby, na podstawie której konstruowany jest estymator dryfu. W dalszej czci wywodu zostanie przyjte, e zaleno ta jest na tyle saba, e mona j pomin. W tej sytuacji zachodzi zaleno E[ 2 ] = 2. Mona atwo pokaza, e

19 Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoci 57 obcienie estymatora bdzie wówczas równe 0,14( 2 t 2 2 t 2 ). Z tego wynika, e maksymalna bezwzgldna warto obcienia estymatora spowodowana estymacj dryfu, wynosi 0,14 max( 2 t 2, 2 t 2 ). Oznacza to, e w sytuacji gdy np. 2 = 0, wielko obcienia tego estymatora wyniesie 0, t i tylko nieznacznie przekroczy obcienie estymatora G-K (patrz równanie (50) i rysunek 2). Ponadto konieczno estymacji dryfu nie spowoduje wzrostu wariancji estymatora. Ocen obcienia i jego wpywu na wariancj estymatora, w przypadku gdy przyjte zaoenie nie bdzie spenione, mona przeprowadzi dla okrelonych estymatorów dryfu na podstawie metody Monte Carlo ESTYMACJA ZMIENNOCI STÓP ZWROTU INDEKSU WIG20 W celu ilustracji przydatnoci rozwaanych estymatorów zastosowano je dla indeksu rynku akcji WIG20 do szacowania wariancji logarytmicznych stóp zwrotu pomnoonych przez 100. Indeks ten zosta wybrany celowo, z uwagi na fakt, e obejmuje najwiksze i najbardziej pynne spóki notowane na GPW w Warszawie. Jest to istotne, poniewa w badaniu korzystano z danych róddziennych, których jako zaley w duym stopniu od pynnoci rynku (Doman, 2011). Zastosowano nastpujce estymatory: konstruowany na podstawie cen zamknicia, G-K, R-S oraz zaproponowany (opisane odpowiednio równaniami (45), (49), (53), (66). Analiz przeprowadzono dla 10-letniego okresu od 30 wrzenia 2002 r. do 28 wrzenia 2012 r., czyli okresu obejmujcego zarówno okresy hossy, jak i bessy a take, co jest istotne, kryzysu nansowego. Skonstruowano 2513 wektorów dziennych stóp zwrotu: (a 1, c 1, x 1 ), (a 2, c 2, x 2 ),, (a 2513, c 2513, x 2513 ). Nastpnie przeprowadzono estymacj dryfu wg nastpujcej formuy 4 : 0, Kolejnym krokiem byo oszacowanie wariancji dla kadego dnia w próbie, czyli dla 1 i 2513: (67) (68) 4 Zaoono stao dryfu w czasie. Przyjto najprostsz posta estymatora dryfu. Gdyby zastosowa efektywniejszy estymator dryfu, to naleaoby si spodziewa, e uzyskane wyniki szacowania zmiennoci na podstawie zaproponowanego estymatora nie bd mniej dokadne od tych jakie przedstawiono w pracy.

20 58 Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder (69). (70) Dla porównania skonstruowano równie szacunki wariancji na podstawie modelu GARCH 5. Na podstawie kryterium informacyjnego Schwartza wybrano model GARCH(1,3) z warunkowym rozkadem t-studenta (oznaczony jako GARCH-t(1,3)). Dodatkowo zastosowano równie najczciej stosowan w badaniach empirycznych posta modelu GARCH(1,1) z warunkowym rozkadem normalnym. Do estymacji parametrów wspomnianych modeli wykorzystano odpowiednio metod najwikszej wiarygodnoci oraz metod quasi-najwikszej wiarygodnoci. Do oceny dokadnoci szacunków zmiennoci jako realizacje wariancji przyjto sumy kwadratów róddziennych stóp zwrotu. Istotnym problemem przy zastosowaniu takich danych jest wybór odpowiedniej czstotliwoci obserwacji (patrz np. Andersen, Bollerslev, Diebold, Labys, 2000 oraz Oomen, 2001). Z tego wzgldu zmienno zrealizowan szacowano w rónych wariantach poprzez wyznaczenie sum kwadratów 5-, 10-, 15-, 20-, 30- i 60-minutowych stóp zwrotu. Oceny dokadnoci szacunków zmiennoci konstruowanych na podstawie rozwaanych metod dokonano za pomoc nastpujcych miar 6 : odsetek przeszacowa, bd redni ME, pierwiastek bdu redniokwadratowego RMSE, pierwiastek bdu redniokwadratowego skorygowany o heteroskedastyczno HRMSE, funkcja straty LINEX (a = -0,01 i 0,01) oraz wspóczynnik determinacji R 2 dla równania regresji realizacji wariancji wzgldem szacunków wariancji. Tabela 1 przedstawia wyniki przeprowadzonej analizy w przypadku, gdy zmienno zrealizowan obliczano na podstawie 10-minutowych stóp zwrotu. Bardzo zbli- one relacje pomidzy rozwaanymi metodami szacowania zmiennoci wystpoway równie wtedy, gdy zmienno zrealizowana bya wyznaczana dla 5-, 15-, 20-, 30- i 60-minutowych stóp zwrotu. Otrzymane wyniki dla odsetka przeszacowa oraz bdu redniego wskazuj, e szacunki zmiennoci konstruowane na podstawie estymatorów wykorzystujcych dane o cenach minimalnych i maksymalnych s znaczco niedoszacowane. Wynika to jednak nie ze sabej jakoci tych estymatorów, a z przyjtej miary zmiennoci zrealizowanej, w tym przypadku sumy kwadratów stóp zwrotu z danych róddziennych. Podobnie jak dla danych dziennych kwadrat róddziemnej stopy zwrotu jest nieefektywnych estymatorem wariancji róddziennej stopy zwrotu. Z tego wzgldu w tabeli 2 przedstawiono wyniki oceny dokadnoci szacunków zmiennoci jednake tym razem zmienno zrealizowan szacowano na podstawie 10-minutowych 5 Nie zaobserwowano istotnej statystycznie autokorelacji, dlatego przyjto nastpujc specykacj równania dla redniej: x i = 0 + i. 6 Ich opis mona znale na przykad w pracy Fiszedera (2009).

21 Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoci 59 stóp zwrotu i estymatora R-S. Przy takim podejciu stopie niedoszacowania szacunków zmiennoci, konstruowanych na podstawie tych estymatorów znaczco si zmniejsza. Tabela 1. Ocena dokadnoci szacunków zmiennoci dla indeksu WIG 20 zmienno zrealizowana obliczana na podstawie kwadratów 10-minutowych stóp zwrotu Estymator wariancji Odsetek przeszacowa ME RMSE HRMSE LINEX (a = 0,01) LINEX (a = -0,01) R 2 s ,06 0,0811 4,8953 1,2882 1,19E-03 1,23E-03 0,2472 s 2 2 (G-K) 22,24 0,7144 2,5562 0,4704 3,36E-04 3,21E-04 0,6532 s 2 3 (R-S) 28,21 0,6946 2,7346 0,5502 3,85E-04 3,66E-04 0,6230 s 2 26,46 0,6087 2,4212 0,4593 3,02E-04 2,86E-04 0,6848 GARCH-t(1,3) 66,77 0,0441 3,3739 1,0747 6,22E-04 5,26E-04 0,3392 GARCH(1,1) 67,29 0,0647 3,2964 1,0402 5,95E-04 5,01E-04 0,3821 ródo: obliczenia wasne. Tabela 2. Ocena dokadnoci szacunków zmiennoci dla indeksu WIG 20 zmienno zrealizowana obliczana na podstawie estymatora R-S i 10-minutowych stóp zwrotu Estymator wariancji Odsetek przeszacowa ME RMSE HRMSE LINEX (a = 0,01) LINEX (a = -0,01) R 2 s ,79-0,5497 4,7246 2,0265 1,06E-03 1,19E-03 0,2480 s 2 2 (G-K) 40,79 0,0836 2,5591 0,6936 3,18E-04 3,41E-04 0,5255 s 2 3 (R-S) 43,97 0,0637 2,8469 0,7834 3,95E-04 4,20E-04 0,5004 s 2 45,13-0,0221 2,4830 0,7065 3,00E-04 3,20E-04 0,5659 GARCH-t(1,3) 80,30-0,5867 2,7366 1,5616 3,91E-04 3,61E-04 0,2965 GARCH(1,1) 81,66-0,5661 2,6555 1,5214 3,69E-04 3,39E-04 0,3248 ródo: obliczenia wasne. Wyniki pozostaych mierników przedstawione w tabeli 1 wskazuj na wyran przewag estymatorów wariancji wykorzystujcych dane o cenach minimalnych i maksymalnych nad estymatorem konstruowanym na podstawie modelu GARCH. Rezultaty zaprezentowane w tabeli 2 sugeruj, e przewaga badanych estymatorów nie jest ju tak istotna, a estymator R-S wypada nawet nieco gorzej od estymatora wariancji konstruowanego na podstawie modelu GARCH. Wszystkie rozwaane

22 60 Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder miary (poza HRMSE, tabela 2) wskazuj, e najbardziej dokadne szacunki zmienno- ci konstruowane byy na podstawie zaproponowanego w pracy estymatora wariancji. Oczywicie przewaga tego podejcia nad estymatorami G-K i R-S nie zawsze jest znaczca i w wielu przypadkach jest prawdopodobnie nieistotna statystycznie. 4. ZAKOCZENIE W opracowaniu przedstawiony zosta rozkad czny stóp zwrotu minimum, maksimum i wartoci kocowej ruchu Browna. Dziki wykorzystaniu tego rozkadu: a) Udowodniono nieobciono najbardziej popularnych estymatorów zmienno- ci: Parkinsona, G-K dla zerowej wartoci dryfu oraz R-S dla dowolnego dryfu; innymi sowy potwierdzono zasadnicze wyniki prac jakie uzyskali autorzy tych estymatorów; b) Wyznaczono wartoci oczekiwane estymatorów Parkinsona i G-K, w sytuacji gdy warto dryfu jest róna od zera; c) Skonstruowano formuy wariancji estymatorów Parkinsona, G-K i R-S w sytuacji gdy warto dryfu jest róna od zera. Autorom nie s znane publikacje, które zawierayby wyniki, o których mowa jest w punktach b) i c). Ponadto zaproponowano nowy estymator wariancji procesu dla znanej niezerowej wartoci dryfu. Nie udao si skonstruowa estymatora, dla którego wariancja osigaaby warto minimaln niezalenie od wartoci dryfu. Podjte badania umoliwiy natomiast sformuowanie estymatora, który dla obserwowanych na rynkach nansowych rzdów wielkoci dryfu bdzie mia mniejsz wariancj od estymatora R-S. Przyjte w pracy zaoenie, e stopy zwrotu w cigu dnia s realizacjami arytmetycznego ruchu Browna nie jest spenione w przypadku wikszoci szeregów nansowych, dlatego w przyszoci bd konieczne dalsze badania dotyczce innych zaoe modelowych. Wyniki przedstawionego w pracy badania dla indeksu WIG20 wskazuj, e szacunki wariancji konstruowane na podstawie tego estymatora s znaczco dokadniejsze od tych, jakie mona uzyska na podstawie wariancji warunkowej modelu GARCH. Estymator ten moe by w przyszoci wykorzystany do budowy modeli GARCH i SV, które s obecnie najczciej stosowane do estymacji wariancji procesów obserwowanych na rynkach nansowych (patrz np. prace przegldowe dotyczce polskiego rynku nansowego Pipie, Osiewalski, 2004; Doman, Doman, 2009; Fiszeder, 2009, Pajor, 2010), dziki czemu bdzie moliwe uzyskanie jeszcze dokadniejszych szacunków zmiennoci, a co waniejsze konstruowanie trafniejszych prognoz zmiennoci. Uniwersytet Mikoaja Kopernika w Toruniu

23 Estymacja wariancji arytmetycznego ruchu Browna na podstawie znanych wartoci 61 LITERATURA [1] Andersen T. G., Bollerslev T., Diebold F. X., Labys P., (2000), Great Realizations, Risk, March, [2] Bollerslev T., Chou R. Y., Kroner K. F., (1992), ARCH Modelling in Finance: A Review of the Theory and Empirical Evidence, Journal of Econometrics, 52, [3] Bollerslev T., Engle R. F., Nelson D. B., (1994), ARCH Models, w: Engle R. F., McFadden D., (red.), Handbook of Econometrics, 4, Elsevier Science B. V., Amsterdam. [4] Cox D. R., Miller M. D., (1965), The Theory of Stochastic Processes., Methuen and Co., London. [5] Doman M., (2011), Mikrostruktura gied papierów wartociowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Pozna. [6] Doman M., Doman R., (2009), Modelowanie zmiennoci i ryzyka. Metody ekonometrii nansowej, Wolters Kluwer Polska, Kraków. [7] Fiszeder P., (2009), Modele klasy GARCH w empirycznych badaniach nansowych, Wydawnictwo UMK, Toru. [8] Garman M. B., Klass M. J., (1980), On the Estimation of Security Price Volatilities from Historical Data, The Journal of Business, 53 (1), [9] Harrisson J. M., (1985), Brownian Motion and Stochastic Flow Systems, John Wiley & Sons, New York. [10] Jakubowski J., Palczewski A., Rutkowski M., Stett ner. (2006), Matematyka nansowa, instrumenty pochodne, WNT, Warszawa. [11] Kunitomo N., Ikeda M., (1992), Pricing Options with Curved Boundaries, Mathematical Finance, 2 (4), [12] Kunitomo N. (1992), Improving the Parkinson Method of Estimating Security Price Volatilities, Journal of Business, 65, [13] Li A., (1999), The Pricing of Double Barrier Options and Their Variations, Advances in Futures and Options Research, 10, [14] Osiewalski J., Pipie M., (2004), Bayesian Comparison of Bivariate ARCH-Type Models for the Main Exchange Rates in Poland, Journal of Econometrics, 123, [15] Oomen R., (2001), Using High Frequency Stock Market Index Data to calculate, Model, European University Institute, Discussion Paper No. 2001/6. [16] Pajor A., (2010), Wielowymiarowe procesy wariancji stochastycznej w ekonometrii nansowej. Ujcie bayesowskie, Zeszyty Naukowe, Seria Specjalna: Monograe 195, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. [17] Parkinson M., (1980), The Extreme Value Method for Estimating the Variance of the Rate of Return, The Journal of Business, 53 (1), [18] Perczak G., (2013), Dodatkowe informacje o cenach minimalnych i maksymalnych w modelach klasy GARCH, rozprawa doktorska przygotowywana pod kierunkiem P. Fiszedera. [19] Rogers L. C. G., Satchell S. E., (1991) Estimating Variance From High, Low and Closing Prices, The Annals of Applied Probability, 1 (4), [20] Yang D., Zhang Q., (2000), Drift-Independent Volatility Estimation Based on High, Low, Open, and Closing Prices, Journal of Business, 73,

24 62 Grzegorz Perczak, Piotr Fiszeder ESTYMACJA WARIANCJI ARYTMETYCZNEGO RUCHU BROWNA NA PODSTAWIE ZNANYCH WARTOCI MINIMUM, MAKSIMUM, KOCOWEJ ORAZ DRYFU Streszczenie W opracowaniu poruszony jest problem wyznaczenia wariancji stopy zwrotu instrumentu nansowego na podstawie rynkowych notowa dziennych cen otwarcia, minimalnej, maksymalnej i zamknicia. Wykorzystujc znajomo cznego rozkadu minimum, maksimum i wartoci kocowej arytmetycznego ruchu Browna dokonano analizy porównawczej znanych estymatorów wariancji. Wyznaczono formuy wartoci oczekiwanych bardzo wielu funkcji zmiennych losowych, które posuyy do konstrukcji tych estymatorów. Ponadto, na ich podstawie zaproponowano nowy estymator wariancji. Dokonano analizy zaoe, które przyjto przy konstrukcji tego estymatora. Metodami analitycznymi porównano jego efektywno z efektywnoci podstawowych znanych estymatorów zmiennoci dziennej. Sowa kluczowe: estymator zmiennoci, cena otwarcia, minimum, maksimum, zamknicia, ruch Browna ESTIMATION OF ARITHMETIC BROWNIAN MOTION VARIANCE WHEN VALUES OF MINIMUM, MAXIMUM, FINISH AND DRIFT ARE KNOWN Abstract This paper examines the problem of calculating the variance of returns of a nancial instrument which is based upon the historical opening, closing, high, and low prices. For this purpose the joint distribution of minimum, maximum and nal values of arithmetic Brownian motion was used. It gave a possibility to make a comparative analysis of the variance estimators. The formulae of expected values of many random variables, which were used for the construction of these estimators were calculated. Moreover, on the basis of those formulae, the new estimator of variance was proposed. The assumptions that were adopted for the construction of the estimator were examined. The efciency of the proposed estimator was compared with the efciency of the well-known estimators of daily volatility. Key words: volatility estimator, open price, low price, high price, close price, Brownian motion