1 Tensory drugiego rzędu jako odwzorowanie liniowe

Transkrypt

1 TNSORY

2 Tensory drugiego rzędu jako odwzorowanie liniowe RozważmyzbiórLin n wszystkichliniowychodwzorowańwektorawwektorgdzieobawektorynależądo n ( n -nwymiarowaprzestrzeńukidesowa)takieodwzorowaniemożebyć zapisane jako: y=ax, y n, x n, A Lin n () lementyzbiorulin n sąnazywanetensoramidrugiegorzędu Liniowość przekształcenia jest wyrażana poprzez poniższe związki: Definiujemy: A(x+y)=Ax+Ay, x,y n, A Lin n, (2) A(αx)=α(Ax), x n, α R, A Lin n, (3) iloczyntensoraprzezliczbęα Rjako: sumędwóchtensorówaibjako: (αa)x=α(ax)=a(αx), x n, (4) Przyjmując α = otrzymamy definicję tensora przeciwnego: Zerowy tensor 0 definiujemy w następujący sposób: (A+B)x=Ax+Bx, x n, (5) A =( )A (6) 0x=0, x n, (7) wówczaselementyzbiorulin n spełniająpostulatyprzestrzeniwektorowej Własności tensorów II rzędu można podsumować w następujący sposób: *A+B=B+A *A+(B+C)=(A+B)+C, *0+A=A *A+( A)=0 *α(βa)=(αβ)a *A=A *α(a+b)=αa+αb *(α+β)a=αa+βa A,B,C Lin n, α,β R

3 2 Reprezentacja tensora w bazie, iloczyn tensorowy Iloczyn tensorowy odgrywa istotną rolę ponieważ pozwala zbudować tensor II rzędu z dwóch wektorówrozważmydwawektorynależącedoprzestrzenia,b n Dowolnywektorx n możebyćodwzorowanynainnywektora(b x) n Toodwzorowaniejestoznaczonesymbolem Stąd: (a b)x=a(b x), a,b n, x n (8) Można pokazać, że powyższe odwzorowanie spełnia warunki odwzorowania liniowego stąd uprawnione są poniższe wzory: (a b)(x+y)=ab (x+y)=a(b x+b y)=(a b)x+(a b)y, (9) (a b)(αx)=ab (αx)=α(b x)a=α(a b)x, (0) a,b n, x,y n, α R Z powyższego wynika, że iloczyn tensorowy dwóch wektorów jest pewnym tensorem II rzędu Co więcej zachodzą związki: c (a+b)=c a+c b, (a+b) c=a c+b c, () (αa) (βb)=αβ(a b), a,b,c n, α,β R (2) Byudowodnićpowyższewzorywystarczyprzekształcićdowolnywektorx n przezobie strony powyższych równań(wzory8, 5) Po przekształceniach dostajemy: c (a+b)x=c(a x+b x)=c(a x)+c(b x)= =(c a)x+(c b)x=(c a+c b)x, (3) (a+b) cx=(a+b)(c x)=a(c x)+b(c x) =(a c)x+(b c)x=(a c+b c)x (4) (αa) (βb)x=(αa)(βb x) =αβa(b x)=αβ(a b)x, x n (5) Dla lewostronnego odwzorowania przez tensor a b y(a b)=(y a)b, y n (6) Jak zostało pokazane zbiór wszystkich tensorów II rzędu stanowi przestrzeń wektorową Poniżej zostanie pokazane, że baza tej przestrzeni może być zbudowana z wykorzystaniem iloczynu tensorowego Do reprezentowania tensorów II rzędu wykorzystamy następujące iloczyny tensorowe wektorówbazowych:g i g j,g i g j,g i g j,g i g j (i,j=,2,,n)uwzględniająctebazy tensora Lin n możebyćzapisanyjako: A=A ij g i g j =A ij g i g j =A ị j g i g j =A j ig i g j (7)

4 Natomiast składowe wyrażą się wzorami: A ij =g i Ag j, A ij =g i Ag j A ị j=g i Ag j, A j i=g i Ag j, i,j=,2,,n (8) Kropka w powyższych wzorach jest używana do wyraźnego określenia pozycji danego indeksu Wyjątkowo ważny jest tensor jednostkowy I zdefiniowany poprzez relację: Ix=x, x n (9) Korzystajączezwiązków7,8ig ij =g ji =g i g j, g ij =g ji =g i g j, i,j=,2,,n składowe tensora jednostkowego moga być wyrażone jako: I ij =g i Ig j =g i g j =g ij, I ij =g i Ig j =g i g j =g ij, (20) I ị j =Ij i=i i j =gi Ig j =g i Ig j =g i g j =g i g j =δj i (2) gdziei,j=,2,,n I=g ij g i g j =g ij g i g j =g i g i =g i g i (22) Można pokazać, że składowe tensora jednostkowego charakteryzują metryczne własności przestrzeni euklidesowej i są nazywane współczynnikami metryki Dlatego tensor jednostkowy często określa się jako tensor metryczny W przypadku bazy ortonormalnej tensor jednostkowy można przedstawić jako: n I= e i e i (23) i= 3 Transformacja tensora przy zmianie bazy Poniżej zostanie uściślone w jaki sposób komponenty wektorów i tensorów transformują się przy zmianie bazy Niech x będzie wektorem a A tensorem II rzędu Dostajemy: x=x i g i =x i g i (24) A=A ij g i g j =A ij g i g j =A ị j g i g j =A j ig i g j (25) Wykorzystujączależności:g i =g ij g j,g i =g ij g j ix i =x g i,x i =x g i dostajemy: x i =x g i =x (g ij g j )=x j g ji, x i =x g i =x (g ij g j )=x j g ji (26) A ij =g i Ag j =g i A(g jk g k )=(g il g l )A(g jk g k )=A ị k gkj =g il A lk g kj (27) A ij =g i Ag j =g i A(g jk g k )=(g il g l )A(g jk g k )=A k ig kj =g il A lk g kj, (28) gdziei,j=,2,,n Prawa transformacyjne zapisane powyżej dotyczą nie tylko bazy dualnej ale każdej innej

5 4 Operacje na tensorach II rzędu Tensory II rzędu podlegają dobrze znanym opracjom wynikającym z tego, że tworzą one przestrzeń wektorową Jednak w przeciwieństwie do konwencjonalnych wektorów w przestrzeni euklidesowej można dla nich zdefiniować dodatkowe operacje takie jak transpozycja, złożenie, odwrotność 4 Złożenietensorów NiechA,B Lin n TensorC=ABjestnazywanyzłożeniemtensorówA,Bjeżelizachodzi: Dla odwzorowania z lewej strony można napisać Cx=A(Bx), x n (29) y(ab)=(ya)b, y n (30) Wykorzystujączwiązki(yA) x=y (Ax)i29możnaudowodnićpowyższewzorywnastępujący sposób: y(ab)x=y (AB)x=y A(Bx)=(yA) (Bx)=(yA)B x, x n (3) Złożenie tensorów jest w ogólnym przypadku nieprzemienne AB BA Jeżeli zachodzi związek AB=BAtomówisię,żetensoryAiBkomutują Oprócz złożenia dla tensorów II rzędu zachodzą następujące związki: A0=0A=0, AI=IA=A (32) A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA, (33) A(BC) =(AB)C (34) W przypadku gdy tensory A, B są zdefiniowane jako iloczyn tensorowy wektorów odwzorowanie wektora x poprzez ich złożenie daje się zapisać jako: (a b)(c d)x=(a b)(c d)x=(d x)(a b)c=(d x)(b c)a =(b c)(a d)x=(b c)a dx, x n (35) 42 Transpozycjatensora TranspozycjatensoraA T jestzdefiniowanazwiązkiem: A T x=xa, x n (36) Przy czym zachodzi: Ay=yA T, xay=ya T x, x,y n (37)

6 x (Ay)=(xA) y=y (A T x)=ya T x=x (ya T ), x,y n (38) (A T ) T =A (39) (A+B) T =A T +B T (40) (αa) T =αa T, α R (4) (AB) T =B T A T (42) (AB) T x=x(ab)=(xa)b=b T (xa)=b T A T x, x n (43) Transpozycja iloczynu tensorowego dwóch wektorów wyraża się wzorem: 43 Tensorodwrotny (a b) T =b a (44) y=ax (45) TensorA Lin n nazywasięodwracalnymjeżeliistniejetensora Lin n spełniającywarunek: x=a y, x n (46) TensorA nazywamytensoremodwrotnymdoazbiórwszystkichtensorówodwrotnych takich,żeinv n ={A Lin n : A }stanowipodzbiórprzestrzenilin n Zachodziprzytym: x=a y=a (Ax)=(A A)x, x n (47) A A=I (48) Operacje znajdowania tensora odwrotnego i transpozycji są przemienne: (A ) T =(A T ) =A T (49) Tenor odwrotny do tensora będącego złożeniem odwracalnych tensorów A i B wyraża się wzorem: (AB) =B A (50) 5 Iloczynskalarny Iloczynskalarnydwóchtensorówzdefiniowanychjakoa bic djestdanywzorem: Zachodzi przy tym związek W notacji indeksowej możem zatem zapisać: (a b):(c d)=(a c)(b d), a,b,c,d n (5) c d:a=cad=da T c (52) A:B=A ij B ij =A ij B ij =A ị jb j i=a j ib ị j (53) Podobnie jak w przypadku wektorów, iloczyn skalarny tensorów jest funkcją rzeczywistą mającą następujące własności:

7 *A:B=B:A *A:(B+C)=A:B+A:C *α(a:b)=(αa):b=a:(αb), A,B Lin n, α R *A:A 0 A Lin n, A:A=0wtedyitylkowtedyjeśliA=0 Norma tensora II rzędu może być zdefiniowana w następujący sposób: A =(A:A) /2, A Lin n (54) Wykorzystując iloczyn skalarny tensorów ślad tensora może być zapisany jako: tra=a:i (55) Zachodzą przy tym związki tr(a b)=a b (56) tr(ab)=a:b T =A T :B (57) tr(ab)=tr(ba) (58)

8 6 Dekompozycja tensora II rzędu Każdy tensor II rzędu może zostać zdekomponowany addytywnie na część symetryczną i antysymetryczną A=symA+skewA, (59) gdzie syma= 2 (A+AT ), skewa= 2 (A AT ) (60) TensorysymetryczneiantysymetrycznetworząpodzbioryprzestrzeniliniowejLin n zdefiniowane odpowiednio przez Sym n ={M Lin n :M=M T }, (6) Skew n ={W Lin n :W= W T } (62) Można zauważyć, że te podzbiory tworzą przestrzenie wektorowe i mogą być traktowane jako podprzestrzenieprzestrzenilin n Tensor zerowy jest jedynym odwzorowaniem liniowym, które jest jednoczesnie symetryczne i antysymetrycznestądsym n Skew n =0 DlakażdegosymetrycznegotensoraM=M ij g i g j zachodzim ij =M ji (i j, i,j =,2,,n)zatemmożnazapisać n M= M ii g i g i + i= n i,j= i>j M ij (g i g j +g j g i ), M Sym n (63) Podobnie dla tensora antysymetrycznego: n W= W ij (g i g j g j g i ), W Skew n (64) i,j= i>j zpowyższychwzorówwynika,żebazaprzestrzenisym n składasięzntensorówg i g i i n(n )tensorówg 2 i g j +g j g i Ztegowynika,żewymiarprzestrzeniSym n jestrówny n(n+) 2 Podobnie,dlaprzestrzeniSkew n,bazatejprzestrzeniskładasięz 2 n(n )tensorówpostaci g i g j g j g i Stądwymiartejprzestrzeniwynosi 2 n(n ) Korzystajączewzorów:g i g j =e ijk gg k,i,j=,2,3,â b=b a a b, a,b,c 3 można pokazać: gdzie W= 3 i,j= i>j W ij (g i g j g j g i )= w= 3 i,j= i>j 3 i,j= i>j W ij (gj g i )=ŵ, W Skew 3, (65) W ij g j g i = 2 Wij g j g i = 2 g j (Wg j ) = 2 Wij e jik gg k =g(w 32 g +W 3 g 2 +W 2 g 3 ) (66)

9 Wynika stąd, że każdy antysymetryczny tensor w przestrzeni trójwymiarowej opisuje przekształcenie będące iloczynem wektorowym przez wektor w zwany wektorem osiowym?? Ww=0, W Skew 3 (67) Tensor symetryczny i antysymetryczny są wzajemnie ortogonalne M:W=0, M Sym n, W Skew n (68) Rozkład na część sferyczną i dewiatorową Dla każdego tensora II rzędu możemy napisać: gdzie A=sphA+devA (69) spha= n tr(a)i, deva=a tr(a)i (70) n Podobnie jak tensory symetryczne i antysymetryczne tensory sferyczne i dewiatory tworzą podprzestrzenieortogonalneprzestrzenilin n 7 Przykład Rozważmy tensor T zbudowany na wektorach a, b: T=a b (7) oraz obraz wektora x w przekształceniu opisywanym przez tensor T Działanie tensora T na wektor x można zapisać w formie macierzowej y=t x (72) Zapisując powyższy związek poprzez składowe w bazie kartezjańskiej dostajemy: y y n T T n = T n T nn x x n (73) Z definicji tensora T i iloczynu tensorowego mamy: y i =T ij x j (74) y=t x=(a b)x=a(x b) (75) Na podstawie7,76 y i =a i b j x j (76) T ij x j =a i b j x j (77)

10 T ij =a i b j (78) Uwaga: Wyprowadzając powyższe związki skorzystaliśmy z reprezentacji iloczynu skalarnego wektorówwbaziekartezjańskieju v=u i v i Przyjmijmy do obliczeń a= 3 2 b= x= 2 (79) gdzie indeks oznacza bazę kartezjańską Wtedy T= y=tx= (adokładniejt=t ij e i e j,gdziet ij =,uwaga:wbaziekartezjańskiejt 2 2 ij =T ij ) Rozważmyreprezentacęwektorówa,b,x,yitensoraTwbazieukośnokątnej{g,g 2 }gdzie α= π, g 6 =, g 2 = (80) a 2 G a a G g = 0 Wektor a w bazie{g} reprezentujemy: g 2 = 3/2 /2 (8) Zapiszmywektorawbazie{} a=a G g +a 2 G g 2 (82) a=a e +a 2 e 2 (83) Porównującobiestronyimnożącjeprzezg ig 2 dostajemy: g g g g 2 a G e g g 2 g g 2 g 2 a 2 = e 2 g a G e g 2 e 2 g 2 a 2 Macierzpolewejstronienazywanajestmacierząmetrycznąg ij Otrzymaniewspółrzędnycha G,a2 G wymagaformalnieodwróceniamacierzyg ijmożnatego uniknąćkorzystajączbazydualnejdobazy{g,g 2 }mianowiciezbazyg,g 2 takiejże: (84) g i g j =δ i j (85)

11 wtedy równanie84 przyjmie postać: 0 a G e g 0 a 2 = e 2 g a G e g 2 e 2 g 2 a 2 (86) e g e 2 g e g 2 e 2 g 2 składowe odpowiednika tensora metrycznego- tensora równoległego przesunięcia, służącego przeliczeniu składowych pomiędzy bazami g 2 g 2 g g Z rozważań geometrycznych i warunku85 mozna wyliczyć, że g = 732 g 2 = Macierz transformacji składowych wektora z bazy do G będzie miała postać: 732 Q= (87) (88) (89) Zatem: 0464 a= 4 G b= G x= G y= Policzmy współrzędne tensora T w bazie G Zgodnie z prawem transformacji składowych tensora T G =QTQ T zatem T G = (9) Takie same składowe tensora dostaniemy jeżeli skorzystamy z definicji tensora T jako iloczynu tensorowegowyrażanegoprzezwektoryaibwbazieg: G (90) T αβ G =a α G bβ G (92) Pozostaje nam sprawdzić czy transformując wektor x opisany w bazie G przez tensor T opisany wbaziegdostaniemyuprzedniowyliczonywektorywbazieg Tx=(T αβ g α g β )(x γ g γ )=T αβ x γ (g α g β )g γ = T αβ x γ g α (g β g γ )=T αβ g βγ x γ g α =y α g α (93)

12 Macierzowo związek93 zapisujemy: y=t g x (94) Pojawieniesięwzwiązku93tensorametrycznegog βγ jestzwiązanezposługiwaniemsiędowolnym układem współrzędnych(nie ortonormalnym) Dla układu ortonormalnego: { β=γ g βγ =δ βγ = (95) 0 β γ