Az ideális Bose-gáz termodinamikai mennyiségei

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Az ideális Bose-gáz termodinamikai mennyiségei"

Maja Wróbel
5 lat temu
Przeglądów:

2 Az ideális Bose-gáz termodinamikai mennyiségei Kiegészítés III. éves BsC fizikusok számára Cserti József Eötvös Loránd udományegyetem, Komplex Rendszerek Fizikája anszék 016. február 1. Néhány alapvető formula 1.1. Bose-Einstein integrál: g s (z) = 1 Γ(s) ζ(s) = k=1 ˆ 0 x s 1 dx 1 z ex 1, (1) 1 k = 1 s Γ(s) ˆ 0 x s 1 dx e x 1 = g s(1). () A g s (z) függvényt az irodalomban polylogaritmus függvénynek (Polylogarithm function) is nevezik, és a jelölése: Li s (z): z k g s (z) Li s (s) = k = z + z s + z3 s (3) s g 3/ (1) = ζ 1.. A g s (z) függvény: c = k=1 ( ) 3, g 5/ (1) = ζ ( g5/ (1) g 3/ (z) ( 5 ), (4) ) /3, ahol z = e βµ és 0 z 1. (5) g 3/ (z) g 5/ (z) g 3/ (z), g 5/ (z) z 1. ábra. A g s (z) függvények.

3 . ermodinamikai mennyiségek hőmérsékletfüggése Az alábbiakban az N részecskeszám rögzített. A számolások részletei az Appendix A-ban találhatók..1. A kémiai potenciál hőmérsékletfüggése: µ = ln(z), (6) k B c c ( 3 ζ( 3 µ köz ) ) ( ) 4 1, ha > c. (7) π c 0 1 µ, > c µ, < c µ köz, > c µ( ) k B c 3 µ köz / c. ábra. A kémiai potenciál hőmérsékletfüggése... Az energia hőmérsékletfüggése: ( 3 Nk B c E( ) = ( 3 Nk B c ) g5/ (z) c ) 5/ c g 3/ (z), > c, ζ(5/) ζ(3/), < c. (8) 6 5 E Nk B c E, > c E, < c E klassz / c 3. ábra. Az energia hőmérsékletfüggése.

4 .3. Izotermák: Nk B g 5/ (z), V > V V g 3/ (z) c, p(v ) =, ahol (9) p 0 = k B ζ(5/), V < V c, λ 3 λ = h πmkb és V c N = λ3 ζ(5/) (10) a termikus de Broigle-hullámhossz és a kritikus térfogat. Ha V < V c, akkor p nem függ V -től, ekkor p 0 5/. Adiabata egyenlete: p 0 Vc 5/3 = állandó. p 1 (V ), > c p 0 p p (V ), > c p 01 (V ), < c p 0 (V ), < c p 0 V 5/3 =const p V c V c1 V 4. ábra. Izotermák..4. p diagram: ( pv = Nk B c 3 E = ( Nk B c ) g5/ (z) c ) 5/ c g 3/ (z), > c, ζ(5/) ζ(3/), < c. (11) pv Nk B c elérhetetlen tartomány Bose gáz 0.5 pv, > c pv, < c / c 5. ábra. p diagram.

5 .5. Az entrópia hőmérsékletfüggése: S = E+pV µn = 5 E Nk 3 B ln z, S( ) Nk B = 5 g 5/ (z) 5 ln(z), g 3/ (z) > c, ( ) 3/ c, < c. ζ(5/) ζ(3/) (1) S Nk B S, > c S, < c / c 6. ábra. Az entrópia hőmérsékletfüggése..6. Állandó térfogaton vett fajhő hőmérsékletfüggése: C V ( ) Nk B = g 5/ (z) 9 g 3/ (z) g 3/ (z) 4 ζ(5/) ζ(3/), g 1/ (z) > c, ( ) 3/ c, < c. (13).0 15 ζ(5/) 4 ζ(3/) 1.96 C V Nk B C V, > c C V, < c C klassz V / c 7. ábra. Állandó térfogaton vett fajhő hőmérsékletfüggése.

6 .7. C V ( ) hőmérsékletfüggése: C V C V ( ) =c 0 = C V Nk B Nk B c ( 45 8 g 5/ (z) g 3/ (z) 4 g 3/ (z) g 1/ (z) 8 ( 45ζ(5/) 8ζ(3/) =c+0 ) [g 3/ (z)] g 1/ (z), > [g 1/ (z)] 3 c, ) 1/ c, < c, = 7 16π Nk B c [ ζ (14) ( )] Nk B. (15) c 3 45 ζ(5/) 8 ζ(3/).889 c V ( ), > c c V ( ), < c cv ( ) c NkB 1 0 [ π ζ(3/) + 10ζ(5/) ζ(3/) ] / c 8. ábra. C V ( ) hőmérsékletfüggése..8. Az állandó nyomáson vett fajhő hőmérsékletfüggése: C p ( ) = 5 Nk B 4 [ g3/ (z) ] g1/ (z) [ g3/ (z) ] 3 15 g 5/ (z) 4 g 3/ (z), > c. (16) 10 C p Nk B 8 6 C p, > c C klassz p / c 9. ábra. Állandó nyomáson vett fajhő hőmérsékletfüggése. Megjegyzés: < c esetén a c p fajhő nincs értelmezve, mert ekkor p =állandó, és így = állandó.

7 .9. Adiabatikus kompresszibilitás hőmérsékletfüggése: κ S = 1 V V p ahol n = N/V., S,N κ S ( ) = 1 nk B c 3g 3/ (z) 5g 5/ (z) 3ζ(3/) 5ζ(5/) ( ) 1 c > c, ( ) 5/ c, < c, (17) 10 κ S, > c 8 κ S, < c κs( ) nkbc ζ(3/) 5 ζ(5/) / c 10. ábra. Adiabatikus kompresszibilitás hőmérsékletfüggése..10. Izotermikus kompresszibilitás hőmérsékletfüggése: κ = 1 V V p ahol n = N/V.,,N κ ( ) = 1 nk B g 1/ (z) g 3/ (z), > c. (18) 10 8 κ, > c κ klassz κ ( ) nkbc 6 4 κ klassz = 1 / c / c 11. ábra. Izotermikus kompresszibilitás hőmérsékletfüggése. Megjegyzés: < c esetén a c p fajhő nincs értelmezve, mert ekkor p =állandó, és így = állandó.

8 .11. Hőtágulási együttható hőmérsékletfüggése: α = 1 V V p,n, α ( ) = 1 ( ) 5 g 5/ (z)g 1/ (z) [ g3/ (z) ] 3, > c. (19) Magashőmérsékleti közelítésben α klassz ( ) = 1/. Megjegyzés: < c esetén a c p fajhő nincs értelmezve, mert ekkor p =állandó, és így = állandó α, > c α klassz α c α klassz = 1 / c / c 1. ábra. Hőtágulási együttható hőmérsékletfüggése..1. C p C V hőmérsékletfüggése: C p = 5 g 5/ (z)g 1/ (z) [ C V 3 g3/ (z) ], > c. (0) 6 5 C p C V, > c 4 C p C V / c 13. ábra. Cp C V hőmérsékletfüggése. Megjegyzés: < c esetén a c p fajhő nincs értelmezve, mert ekkor p =állandó, és így = állandó.

9 .13. Hangsebesség hőmérsékletfüggése: v hang ( ) = p ϱ = S,N V mn 1 κ S, ahol ϱ = mn/v a tömegsűrűség. 5g5/ (z) v hang ( ) k B c m = 3g 3/ (z) 5ζ(5/) 3ζ(3/) c, > c, ( ) 5/ c, < c. (1) v( ) kbc v hang, > c v hang, < c 5 ζ(5/) 3 ζ(3/) / c 14. ábra. Hangsebesség hőmérsékletfüggése. 3. Irodalom: 1. R. K. Pathria: Statistical Mechanics, nd Edition, 1996, Bunerworth-Heinemann Linacre House. Linda E. Reichl: A Modern Course in Statistical Physics rd Edition, 1998, Wiley-VCH 3. Franz Schwabl: Statistical Mechanics, 000, Springer-Verlag, Berlin 4. K. Huang: Statistical Mechanics, nd Edition, 1987, John Wiley & Sons

12 M 0.8 Mean field modell 0.6 mágnesezettség H c

13 M H Mean field modell mágnesezettség H tér 0.5 H

14 .0. G, m 0.7 c Mean field modell.4 Gibbs pot. m.6.8 c 1. c 3.0 m

15 Χ Mean field modell szusszceptibilitás 4 c

16 M 0.8 D Ising modell 0.6 Onsager egzakt megoldása mágnesezettség 0.4 c ArcSinh 1 J k B J k B 0. c

17 E J c 0.5 D Ising modell Onsager egzakt megoldása Energia 1.5 c ArcSinh 1 J k B J k B

18 C D Ising modell Onsager egzakt megoldása fajhő c ArcSinh 1 J k B J k B 0.5 c

Podobne dokumenty

Modern methods of statistical physics

Modern methods of statistical physics František Slanina Institute of Physics, Academy of Sciences of the Czech Republic, Prague slanina@fzu.cz www.fzu.cz/ slanina Ising model Renormalisation group Modern