AUTOREFERAT. 2. Posiadane dyplomy, stopnie naukowe/ artystyczne z podaniem nazwy, miejsca i roku ich uzyskania oraz tytułu rozprawy doktorskiej.

Transkrypt

1 dr inż. Krzysztof Nyka Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki Politechnika Gdańska 1. Imię i Nazwisko: Krzysztof Nyka AUTOREFERAT 2. Posiadane dyplomy, stopnie naukowe/ artystyczne z podaniem nazwy, miejsca i roku ich uzyskania oraz tytułu rozprawy doktorskiej Doktor nauk technicznych, dziedzina: nauki techniczne; dyscyplina: elektronika; specjalność: technika mikrofalowa; miejsce: Politechnika Gdańska, Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki; rozprawa pt. Metody wielosiatkowe w szybkiej analizie pasywnych układów mikrofalowych (rozprawa wyróżniona) 1986 Magister inżynier, kierunek: telekomunikacja; specjalność: technika mikrofalowa, Politechnika Gdańska, Wydział Elektroniki (obecnie Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki); praca pt. Analiza falowodu prostokątnego niejednorodnie wypełnionego ferrytem magnesowanym poprzecznie Studia magisterskie na Wydziale Elektroniki, Politechniki Gdańskiej 3. Informacje o dotychczasowym zatrudnieniu w jednostkach naukowych/ artystycznych obecnie Politechnika Gdańska, Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej, Gdańsk, ul. Narutowicza; stanowisko: starszy wykładowca (pracownik dydaktyczny); zakres prac: praca dydaktyczna oraz badawcza w ramach projektów naukowych związana z techniką mikrofalową i antenową oraz elektrodynamiką obliczeniową Politechnika Gdańska, Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej, Gdańsk, ul. Narutowicza; stanowisko: adiunkt (pracownik naukowo dydaktyczny); zakres prac: praca dydaktyczna oraz badawcza w ramach projektów naukowych związana z techniką mikrofalową i antenową oraz elektrodynamiką obliczeniową Politechnika Gdańska, Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki, Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej (wcześniej Katedra Techniki Mikrofalowej i Telekomunikacji Optycznej), Gdańsk, ul. Narutowicza; stanowisko: wykładowca (pracownik dydaktyczny); zakres prac: praca badawcza i dydaktyczna Politechnika Gdańska, Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki (wcześniej Wydział Elektroniki), Gdańsk, ul. Narutowicza, Katedra Techniki Mikrofalowej i 1

2 Telekomunikacji Optycznej (wcześniej Zakład Techniki Mikrofalowej); stanowisko: asystent (pracownik naukowo dydaktyczny); zakres prac: praca badawcza i dydaktyczna Politechnika Gdańska, Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Zakład Techniki Mikrofalowej, Gdańsk, ul. Narutowicza; stanowisko: konstruktor (pracownik naukowotechniczny); zakres prac: praca badawcza i projektowa 4. Wskazanie osiągnięcia* wynikającego z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U r. poz. 882 ze zm. w Dz. U. z 2016 r. poz ): * w przypadku, gdy osiągnięciem tym jest praca/ prace wspólne, należy przedstawić oświadczenia wszystkich jej współautorów, określające indywidualny wkład każdego z nich w jej powstanie. W przypadku, gdy praca zbiorowa ma więcej niż pięciu współautorów, habilitant załącza oświadczenie określające jego indywidualny wkład w powstanie tej pracy oraz oświadczenia co najmniej czterech pozostałych współautorów. a) tytuł osiągnięcia naukowego/artystycznego, Nowe makromodele zredukowane w szybkiej analizie elektromagnetycznej struktur mikrofalowych metodą elementów skończonych b) (autor/autorzy, tytuł/tytuły publikacji, rok wydania, nazwa wydawnictwa, recenzenci wydawniczy), Publikacje w czasopismach indeksowanych w bazie ISI JCR: [1] G. Fotyga, K. Nyka, L. Kulas, A New Type of Macro elements for Efficient Two Dimensional FEM Analysis, IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, vol.10, pp , 2011 (wkład: 45%, pkt. MNiSW: 30, IF 2011: 1.374, Q2) (IEEE) [2] G. Fotyga, K. Nyka, and M. Mrozowski, Efficient model order reduction for FEM analysis of waveguide structures and resonators, Progress In Electromagnetics Research, Vol. 127, , 2012 (wkład: 45%, pkt. MNiSW: 35, IF 2010: 3.745, Q1*) (JPIER) [3] G. Fotyga, K. Nyka, and M. Mrozowski, Multilevel model order reduction with generalized compression of boundaries for 3 D FEM electromagnetic analysis, Progress In Electromagnetics Research, Vol. 139, , (wkład: 45%, pkt. MNiSW: 35*, IF 2011: 5.298, Q1*) (JPIER) 2

3 [4] G. Fotyga, K. Nyka, Efficient Analysis of Structures with Rotatable Elements Using Model Order Reduction, Radioengineering, Vol. 25, No. 1, April, 73 80, (wkład: 50%, pkt. MNiSW: 20, IF 2016: 0.945, Q4) (Radio) [5] G. Fotyga, K. Nyka, M. Mrozowski, Automatic Reduction Order Selection for Finite Element Macromodels, IEEE Microwave and Wireless Components Letters, vol. 28, no. 4, pp , April (wkład: 45%, pkt. MNiSW: 30, IF 2017 (brak danych za 2018): 2.169, Q2) (IEEE) [6] K. Nyka, Diagonalized Macromodels in Finite Element Method for Fast Electromagnetic Analysis of Waveguide Components, Electronics, vol.8, no.3: 260, pp.1 23, (wkład: 100%, pkt. MNiSW: brak (ostatnia lista jest z 2017), IF 2017 (brak danych za 2018, 2019): 2.110, Q2) (MDPI) * Po opublikowaniu tej pracy ukazała się informacja datowana na o zawieszeniu IF dla czasopisma Progress in Electromagnetics Research na liście ISI Journal Citation Report. Niemniej, wskazana praca pozostała indeksowana w bazie Web of Science, a jej IF przywrócono w 2014, dlatego podano IF obowiązujący w momencie opublikowania pracy. Aktualny współczynnik IF dla tego czasopisma wynosi IF 2017 = Lista z punktacją MNiSW za rok 2013 została ogłoszona , czyli po publikacji pracy z 2013 roku. Z tego powodu podano punktację z listy ogłoszonej , która obowiązywała w czasie publikacji pracy. Obecnie punktacja MNiSW dla tego czasopisma wynosi 25. Publikacje recenzowane (konferencje międzynarodowe): [7] G. Fotyga, K. Nyka, L. Kulas, Macromodels for efficient FEM simulations of waveguides and resonators, 2nd International Conference on Information Technology, Zeszyty Naukowe Wydziału Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki Politechniki Gdańskiej (ISSN ) Vol. 18, Nr 8 (2010), s (wkład: 45%) [8] G. Fotyga, K. Nyka, L. Kulas, Reduced order models in the finite element analysis, 18th International Conference on Microwaves, Radar and Wireless Communications (MIKON 2010), pp , June 2010 (wkład: 45%) (IEEE) [9] G. Fotyga; K. Nyka, L. Kulas, Macro elements and model order reduction for efficient threedimensional FEM analysis, 19th International Conference on Microwave Radar and Wireless Communications (MIKON 2012), vol.1, no., pp , May 2012 (nagroda EuMA) (wkład: 45%) (IEEE) [10] G. Fotyga, P. Bielski, K. Nyka, A 3D FEM Mesh Technique for Fast Analysis of Waveguide Problems Containing Rotatable Tuning Elements, th International Conference on Microwave Radar and Wireless Communications (MIKON 2014), vol.1, no., pp , June 2014 (wkład: 40%) (IEEE) 3

4 [11] G. Fotyga, K. Nyka, Wideband Model Order Reduction for Macromodels in Finite Element Method, st International Conference on Microwave, Radar and Wireless Communications (MIKON 2016), pp.1 4, May 2016 (wkład: 50%) (IEEE) [12] G. Fotyga, K. Nyka, An Algorithm for Enhancing Macromodeling in Finite Element Analysis of Waveguide Components, IEEE MTT S International Microwave Workshop Series on Advanced Materials and Processes for RF and THz Applications (IMWS AMP), Pavia, 2017, pp. 1 3, 2017 (wkład: 50%) (IEEE) [13] D. Szypulski, M. Mul, K. Nyka, G. Fotyga, Macromodels for Efficient Analysis of Open Region Problems Using the Finite Element Method, 13th European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP 2019), March 2019 (przyjęty) (wkład: 25%) (IEEE) Wszystkie publikacje wchodzące w skład jednotematycznego cyklu publikacji za wyjątkiem pozycji [7] są dostępne lub wkrótce będą dostępne online w odpowiednich bazach wydawnictw: (MDPI) (IEEE) (Radio) (JPIER) MDPI ( IEEE Xplore Digital Library (ieeexplore.ieee.org) Radioengineering ( JPIER ( c) omówienie celu naukowego/artystycznego ww. pracy/prac i osiągniętych wyników wraz z omówieniem ich ewentualnego wykorzystania. 4

5 Zakresy mikrofal od dawna wykorzystywane są w takich zastosowaniach specjalnych jak naziemne radiolinie, radary i komunikacja satelitarna, gdzie wymagane są wąskie wiązki fal radiowych. Pasma ISM (industrial scientific medical) 2.4 GHz są też powszechnie stosowane do grzania mikrofalowego w medycynie (hipertermia mikrofalowa), przemyśle i gospodarstwach domowych (kuchenki mikrofalowe). Wraz z powstaniem telefonii komórkowej, a później Internetu bezprzewodowego w standardach WiFi i WiMAX, również komunikacja naziemna w powszechnych zastosowaniach wkroczyła w zakres mikrofal. Gwałtowanie rosnąca liczba użytkowników oraz zapotrzebowanie na coraz szybsze przesyłanie danych sprawiły, że niskie zakresy mikrofal (do 2.4 GHz) stały na nadmiernie zatłoczone i niewystarczające do zapewnienia transmisji o coraz większych przepływnościach. W efekcie, systemy WiFi wkroczyły w pasma 5.x GHz, a telefonia komórkowa rozwija się w kierunku systemów 5G, dla których przewiduje się dodatkowe pasma powyżej 6 GHz, sięgające zakresów fal milimetrowych aż do 52.6 GHz, a w przyszłości nawet do 100 GHz. Z tego samego powodu telekomunikacja satelitarna wykorzystuje coraz częściej częstotliwości powyżej pasma X (8 12 GHz), czyli GHz oraz GHz. Fale milimetrowe upowszechniają się również z powodu coraz częściej stosowanych w samochodach radarów antykolizyjnych w systemach ADAS. Fale milimetrowe i częstotliwości teraherzowe (THz) łatwo przenikają przez ubrania będąc skutecznie zatrzymywane przez twardsze przedmioty i tkanki żywe, co wykorzystywane jest w do prześwietlania pasażerów na lotniskach. Dokładna analiza układów mikrofalowych wymaga uwzględnienia zjawisk polowych związanych z występującym w nich polem elektromagnetycznym (e m). O ile w niższych zakresach mikrofal (sub GHz, GSM do 4G, ISM) pewne rodzaje układów, takie jak zintegrowane układy mikrofalowe (monolityczne oraz hybrydowe przypominające tradycyjne płytki drukowane PCB) można w ograniczonym zakresie analizować i projektować za pomocą symulatorów obwodowych i przybliżonych modeli komponentów, to wraz z częstotliwością i wzrostem ich wymiarów elektrycznych (wymiary względem długości fali) coraz bardziej potrzebne jest podejście rygorystyczne oparte na pełnofalowej symulacji elektromagnetycznej. W największym stopniu dotyczy to komponentów i układów, których nie da się dokładnie scharakteryzować za pomocą napięć i prądów, takich jak falowody z rodzajami innymi niż TEM (np. falowody cylindryczne), czy anteny (zwłaszcza złożone systemy antenowe), które wymagają analizy występującego wokół nich pola e m. Mimo iż komponenty falowodowe, które od zawsze związane były z techniką mikrofalową, są w zastosowaniach powszechnych stopniowo wypierane przez układy zintegrowane, to pozostają one niezastąpione w technice satelitarnej oraz w zakresach fal milimetrowych z powodu bardzo małych strat i najwyższej odporności na dużą moc sygnału. Również zagadnienia kompatybilności elektromagnetycznej (EMC), gdzie bada się interakcję układów elektronicznych z ich otoczeniem za pośrednictwem fal e m, wymagają pełnofalowego modelowania problemów 3D. Wśród metod modelowania elektromagnetycznego najbardziej za najbardziej wszechstronną uznawana jest metoda elementów skończonych FEM (finite element method) w dziedzinie częstotliwości, która doskonale nadaje się do analizy skomplikowanych struktur 3D. FEM powszechnie znana jest z tego, że pozwala na dokładną symulację pełnofalową struktur o dowolnych kształtach i złożonych z dowolnych materiałów, przez co w wielu sytuacjach uznawana jest za metodę referencyjną. Ponieważ w FEM dyskretyzowaną dziedziną jest cały obszar 3D, w którym występuje pole e m związane z analizowaną strukturą, metoda ta prowadzi do wielkiego układu równań liniowych z macierzą rzadką. Siatka elementów skończonych musi być na tyle zagęszczona i drobna, aby odwzorować zarówno kształt struktury jak i zmienność występującego w niej pola 5

6 elektromagnetycznego, co bezpośrednio wiąże się z maksymalną częstotliwością, dla której układ ma być scharakteryzowany. Przy gwałtownie rozrastającej się siatce, co ma miejsce zwłaszcza w przypadku złożonej geometrii zawierające drobne elementy, znacznie rośnie liczba niewiadomych, a za nią koszt numeryczny rozwiązywania układu równań, zarówno pod względem czasu obliczeń jak i zapotrzebowania a pamięć operacyjną. Wprawdzie komercyjne symulatory pełnofalowe oparte na FEM rozpowszechniają się dzięki stale rosnącym mocom obliczeniowym i rozmiarom pamięci komputerów osobistych, to jednak symulacje nie są na wystarczająco szybkie. W efekcie, ich bezpośrednie stosowanie do projektowania układów jest nadal problematyczne, gdyż wymaga dziesiątek powtarzających się symulacji dla modyfikowanych parametrów projektowanego układu, niezależnie od tego, czy wykonuje się ręczne strojenie układu, czy też jego automatyczną optymalizację. W pojedynczym kroku strojenia lub optymalizacji układ charakteryzuje się w paśmie częstotliwości, co przekłada się na obliczenia powtarzane w bardzo dużej liczbie punktów częstotliwości, zwłaszcza w strukturach zawierających wiele rezonatorów, takich jak filtry. Naturalnym podejściem do przyspieszenia symulacji metodą FEM jest zmniejszenie rozmiaru wynikowego układu równań liniowych, co można osiągnąć stosując techniki redukcji rzędu modelu (MOR, model order reduction). Metody MOR pierwotnie opracowywano w kontekście liniowych stacjonarnych układów dynamicznych (LTI, linear time invariant) i z powodzeniem wykorzystywano do przyspieszania symulacji układów elektronicznych w postaci wielkich sieci RLC [14,15,16], a od ponad dekady są coraz powszechniej adaptowane i rozwijane w numerycznej analizie elektromagnetycznej metodami bazującymi na równaniach Maxwella w postaci różniczkowej, takimi jak FDTD, FDFD (finite difference time/frequency domain), FEM [17,18]. W ogólnym zarysie, MOR polega na zastąpieniu oryginalnego modelu w postaci wielkiego układu równań liniowych przez model zredukowany w formie układu równań o znacznie mniejszej liczbie niewiadomych, przy zachowaniu wymaganej dokładności modelu. Redukcja taka możliwa jest dzięki ograniczeniu pasma częstotliwości oraz dokładności, ale przede wszystkim dzięki sprowadzeniu pierwotnego modelu do opisu zachowania układu wyłącznie względem niewiadomych na jego brzegu za pomocą modelu typu black box. W kontekście analizy 3D e m, model zredukowany jest zdefiniowany w odniesieniu do pól we wrotach 2D struktury. Pierwotne niewiadome odpowiadające rozkładowi 3D pola wewnątrz struktury zastępowane są przez znacznie mniej liczne niewiadome parametry modelu reprezentowanego przez zredukowany układ równań z macierzą gęstą. Pod tym względem, układ równań zredukowany w MOR można przyrównać do układu z macierzą gęstą uzyskanego przy rozwiązywaniu równań Maxwella w postaci całkowej metodami typu BEM (boundary element metod), takimi jak MoM (method of moments), gdzie niewiadome odnoszą się właśnie do brzegu struktury. Przedmiotem prezentowanego jednotematycznego cyklu publikacji habilitanta jest redukcja rzędu modelu wykonywana lokalnie, czyli w podobszarach analizowanej struktury. Uzyskane w ten sposób modele zredukowane nazywamy makromodelami zredukowanymi, lub w skrócie makromodelami. Zależnie od przyjętej strategii, makromodele ogranicza się do obszarów zawierających nieciągłości, które wymagają znacznego zagęszczenia siatki, ale można też je tworzyć we wszystkich poddziedzinach, na które cała struktura zostanie podzielona. Zaletą makromodeli w porównaniu do redukcji całej struktury jest to, że problem macierzowy rozwiązywany podczas generacji makromodelu jest mniejszy. Podobnie, wymagany rząd redukcji dla mniejszego obszaru może być obniżony, a ponadto można go dobierać indywidualnie dla każdego makromodelu. Ostatecznie, oba te czynniki decydują o znacznej oszczędności wypadkowego czasu obliczeń i pamięci operacyjnej, gdyż koszt generacji makromodeli wyraźnie przewyższa czas rozwiązywania wynikowego układu równań. Pod tym 6

7 względem, tworzenie makromodeli we wszystkich poddziedzinach całej podzielonej struktury można uważać za połączenie MOR i dekompozycji dziedziny, które łączy zalety obu tych technik. Stosowanie makromodeli pozwala na znaczne dodatkowe przyspieszenie obliczeń w przypadku struktur zawierające wiele powtarzających się fragmentów. Możliwe jest wtedy tzw. klonowanie makromodeli, czyli wielokrotne kopiowanie raz wygenerowanego makromodelu w różnych miejscach struktury. Wprawdzie rozmiar wynikowego układu równań, jak i czas jego rozwiazywania nie zmienia się, ale wielokrotnie maleje koszt samej redukcji, który ma przeważający wpływ na całkowity czas obliczeń. Podobną korzyść przynosi stosowanie makromodeli w przypadku optymalizacji lub strojenia projektowanej struktury. Jeżeli w pojedynczym kroku optymalizacji modyfikowany jest jej wybrany fragment zamknięty w postaci makromodelu, to tylko ten makromodel wymaga ponownej generacji, podczas gdy makromodele reprezentujące pozostałe podobszary pozostają niezmienione i mogą być wykorzystywane wielokrotnie. Do najwcześniejszych prac, w których zaproponowano zastosowanie MOR z makromodelami w FEM należy [18], gdzie makromodele, zwane również makroelementami, tworzone były tylko wokół nieciągłości wymagających szczególnie dużego zagęszczenia siatki. W makromodelach zastosowano sformułowanie FEM dla układu równań Maxwella, a każdy z nich reprezentował funkcję przenoszenia między polem elektrycznym i magnetycznym na jego brzegu. Makromodele miały formę ogólnej macierzy impedancyjnej (GIM, general impedance matrix), które zredukowane były za pomocą algorytmu PRIMA (passive reduced order interconnect macromodelling algorithm) [15]. Makromodele wypełniające całkowicie zdekomponowaną strukturę, zaproponowano w [19], gdzie były one zdefiniowane jako ogólna macierz admitancyjna (GAM, general admitance matrix) zredukowana metodą PVL (Pade approximation via Lanczos) [20]. W obu tych metodach zastosowano podobne sformułowanie dla makromodeli, a algorytmy MOR odnoszą się do układów równań różniczkowych pierwszego rzędu. Wprawdzie najbardziej czasochłonne operacje MOR wykonywane są dla jednej częstotliwości w pasmie analizy, ale makromodele GIM i GAM zawierają elementy będące nieliniowymi funkcjami częstotliwości. Ogranicza to szybkie przemiatane częstotliwości (FFS, fast frequency sweeping) oraz zasadniczo utrudnia rozwiązywanie problemów własnych, gdyż wymaga stosowania kosztownych numerycznie metod nieliniowych. Głównym celem naukowym jednotematycznego cyklu publikacji habilitanta było opracowanie nowych, bardziej wydajnych i dokładniejszych technik lokalnej redukcji rzędu modelu MOR opartej na makromodelach pozwalających na znaczące przyspieszenie analizy pasywnych struktur mikrofalowych metodą FEM. W szczególności, poszukiwano takich sformułowań i algorytmów lokalnej MOR dla FEM, w wyniku których tworzone makromodele pozwoliłyby na bardzo szybkie rozwiązanie zredukowanego układu równań FEM, co jest szczególnie ważne w projektowaniu układów mikrofalowych za pomocą optymalizacji lub ręcznego strojenia. Odniesieniem dla tych rozwiązań były jedyne znane przed podjęciem niniejszych badań techniki FEM MOR takie jak PRIMA i PVL, które wykorzystywały algorytmy redukcji układów pierwszego rzędu. Wynikiem prac zrealizowanych przez habilitanta w ramach jednotematycznego cyklu publikacji p.t.: Nowe makromodele zredukowane w szybkiej analizie elektromagnetycznej struktur mikrofalowych metodą elementów skończonych były nowe i oryginalne koncepcje, algorytmy i procedury lokalnej redukcji rzędu modelu opracowane dla FEM, pozwalające na znaczne przyspieszenie symulacji e m, a tym samym zwiększające ich przydatność w zastosowaniach CAD do projektowania pasywnych struktur mikrofalowych. Dzięki opracowanym technikom MOR czasy 7

8 symulacji są wielokrotnie krótsze niż w komercyjnych symulatorach FEM. W szczególności, opracowane przez habilitanta matematyczne sformułowanie metody MOR w analizie metodą FEM dla problemu drugiego rzędu w postaci równania falowego pozwoliło na uzyskanie makromodeli niezależnych od częstotliwości, które zapewniają lepszą dokładność niż wcześniej stosowane techniki MOR oraz bardzo szybkie przemiatanie częstotliwości i umożliwiają rozwiązywanie problemów własnych za pomocą standardowych metod bez konieczności stosowania metod nieliniowych. Znaczne przyspieszenie generacji makromodeli i redukcję ich rozmiaru w analizie 3D uzyskano poprzez kompresję wrót makromodelu polegającą na ograniczeniu liczby zmiennych za pomocą projekcji modalnej oraz uogólnionej projekcji ortogonalnej wykorzystującej analityczne rozwinięcia funkcyjne dobierane w zależności od kształtu powierzchni wrót. W celu dalszej poprawy wydajności i wszechstronności opracowanych technik MOR zaproponowano też następujące rozwiązania: zagnieżdżanie makromodeli i redukcja wielopoziomową, wydajne obracanie makromodeli cylindrycznych, automatyczny wybór rzędu redukcji na podstawi estymatora lokalnego błędu oraz makromodele szerokopasmowe o zwiększonej dokładności. Finalnym wynikiem prac było samodzielne opracowanie przez habilitanta nowej koncepcji makromodeli zdiagonalizowanych oraz algorytmów do ich tworzenia i wykorzystywania. Pozwalają one na znaczące przyspieszenie rozwiązywania zredukowanego układu równań FEM, zwłaszcza w przypadku projektowania złożonych struktur o wielu makromodelach. Uzyskiwane przyspieszenie w stosunku do zwykłej metody FEM waha się od kilkudziesięciu do ponad stu razy. Część prac prowadzona była w ramach projektu, którego habilitant jest kierownikiem: Productive 4.0 Electronics and ICT as enabler for digital industry and optimized supply chain management covering the entire product lifecycle (Systemy elektroniczne i teleinformatyczne dla cyfryzacji przemysłu i optymalizacji zarządzania łańcuchem dostaw w całym cyklu życia produktu), nazwa programu finansującego: HORYZONT 2020, numer projektu: , liczba partnerów projektu: 114 (z 18 krajów UE oraz Turcji), całkowity budżet projektu: ,75 EUR ( ,32 PLN), okres realizacji projektu: , budżet projektu realizowanego w Politechnice Gdańskiej: ,12 PLN Prace prowadzone były także w ramach dwóch innych projektów, w których habilitant był lub jest głównym wykonawcą lub koordynatorem zadania badawczego: Rozwój metod redukcji rzędu modelu dla wieloskalowych problemów elektrodynamiki i fotoniki obliczeniowej, grant badawczy MNiSW, numer projektu N (data zakończenia ), budżet projektu: PLN AFarCloud Aggregate Farming in the Cloud (Zagregowane rolnictwo w chmurze), nazwa programu finansującego: HORYZONT 2020, numer projektu: , liczba partnerów projektu: 59 (z 10 krajów UE), całkowity budżet projektu: ,25 EUR ( ,88 PLN), okres realizacji projektu: , budżet projektu realizowanego w Politechnice Gdańskiej: ,50 PLN Poniżej zestawiono najważniejsze osiągnięcia i wyniki badań zawarte w jednotematycznym cyklu publikacji wchodzącym w skład głównego osiągnięcia naukowego habilitanta: A. Opracowanie koncepcji i sformułowania matematycznego lokalnej redukcji rzędu modelu w analizie metodą FEM dla problemu drugiego rzędu w postaci równania falowego. Makromodele mają postać bloków macierzy masy i sztywności FEM, których redukcję do 8

9 postaci małych macierzy gęstych uzyskuje się poprzez projekcję za pomocą bazy ortogonalnej tworzonej metodą ENOR [16] w taki sposób, że makromodele są niezależne od częstotliwości. B. Opracowanie sformułowań matematycznych i procedury kompresji wrót makromodeli 3D polegającej na znaczącej redukcji liczby niewiadomych poprzez zastąpienie oryginalnego rozwinięcia pól za pomocą bazy FEM przez rozwinięcia modalne uzyskane jako wynik rozwiązania problemu własnego 2D w przekroju poprzecznym falowodu. Dzięki kompresji wrót znacząco ogranicza się rozmiar makromodelu i koszt numeryczny jego tworzenia. C. Opracowanie uogólnionego sformułowania matematycznego i procedury kompresji wrót za pomocą projekcji ortogonalnej wykorzystującej analityczne rozwinięcia funkcyjne dobierane w zależności od kształtu powierzchni wrót. Technika ta pozwala na kompresję wrót makromodeli dowolnie osadzonych wewnątrz struktury. D. Opracowanie procedury tworzenia makromodeli zagnieżdżonych FEM poprzez redukcję wielopoziomową, która jest szczególnie przydatna w analizie złożonych struktur. E. Opracowanie techniki obracania elementów zamkniętych w makromodelach cylindrycznych, która pozwala na wielokrotne wykorzystywanie raz wygenerowanego makromodelu dla dowolnych kątów obrotu. F. Opracowanie koncepcji i modelu matematycznego poprawy dokładności makromodeli FEM w szerokim paśmie dla funkcji przejścia zawierającej kwadratową zależność od częstotliwości we współczynnikach pól na brzegu makromodelu. W stosunku do redukcji za pomocą bazy projekcyjnej uzyskanej metodą ENOR, jest to alternatywne sformułowanie MOR, które przydatne jest w przypadkach, gdy wymagana jest szczególnie duża dokładność makromodelu w bardzo szerokim paśmie pracy. G. Opracowaniem procedury automatycznego wyboru rzędu redukcji niezależnie w każdym z makromodeli na podstawie estymatora błędu lokalnego, z uwzględnieniem globalnego błędu redukcji dla całej struktury. H. Opracowanie nowej koncepcji makromodeli zdiagonalizowanych oraz procedury ich tworzenia i wykorzystywania do znacznego przyspieszania rozwiązania wynikowego zredukowanego układu równań, zwłaszcza w przypadku dekompozycji struktur na wiele makromodeli. Do efektywnego rozwiązania tak powstałego układu równań z dominującym blokiem diagonalnym opracowano dodatkowo algorytm oparty na uzupełnieniu Schura. Opierając się na zdobytych w trakcie prac nad rozprawą doktorską doświadczeniach związanych z metodą FEM w analizie statycznej, habilitant rozpoczął w 2008 badania nad innymi sposobami przyspieszania symulacji e m prowadzonych metodą FEM. O ile prace prowadzone w ramach doktoratu dotyczyły poprawy zbieżności iteracyjnego rozwiązywania układu równań uzyskanego w statycznej analizie FEM, to nowy rozdział badań nakierowany został na przyspieszenie pełnofalowej analizy FEM poprzez znaczące ograniczenie rozmiaru wynikowego układu równań, co umożliwiłoby zastosowanie wydajnych metod bezpośrednich do jego rozwiązania. W tym celu habilitant sięgnął po technik redukcji rzędu modelu (MOR), które z powodzeniem rozwijane były w Katedrze Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej (KIMiA) jednak wyłącznie w metodach różnicowych, zwłaszcza w dziedzinie czasu (FDTD). 9

10 Kontynuując rozpoczęte samodzielnie prace nad nowymi sformułowaniami MOR w FEM, habilitant zaproponował w 2008 temat dyplomu magisterskiego Zastosowanie makromodeli w analizie elektromagnetycznej metodą elementów skończonych, który został podjęty przez Grzegorza Fotygę. To zapoczątkowało prowadzone razem z nim badania pod moim kierunkiem, a Grzegorz Fotyga był z tego powodu głównym współautorem wszystkich publikacji wspólnych. Do prac włączył się dr Łukasz Kulas, jako konsultant w zakresie narzędzi MOR stosowanych w metodzie FDTD. Pierwsze wyniki uzyskane do roku 2010 były bardzo obiecujące i zaowocowały publikacjami konferencyjnymi [7,8]. Praca dyplomowa Grzegorza Fotygi zajęła II miejsce w odbywającym się co 2 lata, ogólnopolskim konkursie organizowanym przez polski Chapter IEEE AES/AP/MTT Society na najlepszą pracę dyplomową magisterską dotyczącą techniki mikrofalowej, anten i radiolokacji i systemów bezprzewodowych. W publikacjach tych zaproponowano nowe i oryginalne sformułowanie MOR do tworzenia makromodeli FEM w przypadku skalarnym dla problemów własnych 1D [7] i 2D [8]. Inaczej niż w znanych dotychczas rozwiązań, redukcja dotyczyła sformułowania FEM dla równania falowego, co wymagało zastosowania techniki MOR dla problemów 2 rzędu. Procedurę tę przedstawiono w skrócie poniżej na przykładzie problemu własnego 2D w falowodzie prostokątnym zawierającym podłużną płetwę metalową, wokół końca której wymagane jest silne zagęszczenie siatki (rys. 1a). (a) (b) Rysunek 1. Struktura zawierająca fragment wymagający silnego zagęszczenia siatki który zastępuje się makromodelem zobrazowanym jako szary obszar (b). (a), Zastosowanie metody FEM prowadzi do równania macierzowego w formie następującego uogólnionego problemu własnego ze względu na wektor reprezentujący rozkład składowej wzdłużnej pola elektrycznego:, gdzie K i M są macierzami masy i sztywności. Celem jest wyznaczenie częstotliwości odcięcia rodzajów TM w formie liczby falowej. Aby obszar z zagęszczoną siatką zastąpić makromodelem (szary obszar na rys. 1b), należy wyizolować w pierwotnym problemie własnym odpowiadające mu odrębne bloki macierzowe, które zaznaczono daszkiem: (1) gdzie bloki zaznaczone apostrofem oznaczają pozostały obszar niepodlegający redukcji. Z powodu silnego zagęszczenia siatki bloki z daszkiem dominują w powyższym równaniu, więc ich redukcja przyniesie znaczne zmniejszenie rozmiaru całego problemu. MOR polega na zastąpieniu wektora niewiadomych w obszarze makromodelu o długości znacząco krótszym wektorem o długości. W tym celu rzutuje się na przestrzeń wymiarową za pomocą odpowiednio 10

11 skonstruowanej bazy projekcyjnej V, będącej macierzą o wymiarach złożoną wektorów ortonormalnych. W efekcie równanie (1) zostanie zastąpione zredukowanym równaniem (2): (2) gdzie podmacierze oznaczone tyldą otrzymuje się w wyniku projekcji za pomocą bazy V: (3) Bloki i reprezentujące makromodel są macierzami gęstymi znacznie mniejszymi niż i. Do połączenia makromodelu z blokami macierzy reprezentującymi otaczający je obszar służą skojarzone z makromodelem bloki sprzęgające i. Kluczowym krokiem w tej procedurze MOR był wybór odpowiedniej metody do tworzenia bazy projekcyjnej V. Zastosowano metodę ENOR [16], która opracowana była pierwotnie do redukcji w wielkich sieciach układów RLC. Aby zaadaptować ją do powyższej procedury redukcji w FEM, równanie (1) należało przedstawić jako funkcję przenoszenia łącząca zmienne reprezentujące pole w obszarze makromodelu i na zewnątrz niego: (4) Metodę ENOR stosuje się do problemów o analogicznej funkcji przenoszenia dla częstotliwości zespolonej s w dziedzinie transformaty Laplace a: (5) ENOR można zatem zastosować w do równania (4) dla następującego podstawienia: Dla założonego rzędu redukcji q ENOR generuje bazę projekcyjną V, której kolumny składają się z q pierwszych momentów wektora rozwijanych wokół jednej częstotliwości s = s 0. Dokładność makromodelu rośnie wraz z q, ale rośnie też wtedy jego rozmiar, który dodatkowo zależy od liczby niewiadomych (węzłów siatki) p na brzegu makromodelu:. W stosunku do istniejących wcześniej metod PRIMA i PVL, najważniejsza przewagą makromodeli tworzonych zaproponowaną procedurą opartą na ENOR jest to, że nie zawierają one elementów zależnych od częstotliwości. Dzięki temu, nie trzeba stosować skomplikowanych i powolnych metod do rozwiązywania nieliniowych problemów własnych (w których macierze zalezą od częstotliwości). Diagram wypełnienia obu macierzy FEM jest taki sam, a jego zmianę po zastosowaniu MOR przedstawia przykład na rys. 2. Widać stopień redukcji makromodelu, który jest znaczny i wynosi 11.2 razy oraz to, że po redukcji w macierzy dominuje obszar otaczający makromodel. Z tego powodu liczba niewiadomych całego układu równań zmalała tylko 4.2 razy. (6) 11

12 (a) (b) Rysunek 2. Przykładowy obraz wypełnienia macierzy K przed redukcją (a) i po redukcji (b). Zaznaczono bloki reprezentujące obszar makromodelu (linia ciągła) i jego otoczenia (linia przerywana) Główny wkład habilitanta w przygotowanie omawianych powyżej publikacji [7,8] obejmował: zaproponowanie tematyki badawczej, opracowanie koncepcji oraz sformułowanie matematycznego procedury MOR i tworzenia makromodeli zredukowanych w metodzie FEM za pomocą metody ENOR dla jedno i dwuwymiarowego problemu własnego; konsultacje w pozostałych częściach i nadzór nad implementacją numeryczną opracowanych procedur. Od 2010 Grzegorz Fotyga brał udział w dalszych badaniach dotyczących MOR w FEM (FEM MOR) pod kierunkiem habilitanta w ramach prac nad swoim doktoratem. Pierwszym krokiem było rozwiniecie opracowanych wcześniej sformułowań MOR i przygotowanie procedur redukcji do analizy charakterystyk częstotliwościowych parametrów rozproszenia układów, co w 2011 zaowocowało artykułem w czasopiśmie JCR [1]. Przedstawiono w nim opracowane sformułowanie MOR dla skalarnej metody 2D FEM oparte na algorytmie ENOR dla problemów e m z pobudzeniem. Wyjściowy problem FEM ma postać: (7) Wektor b reprezentuje warunki brzegowe we wrotach zewnętrznych struktury związane z pobudzeniem i obciążeniami wrót. Redukcja przeprowadzana jest w sposób analogiczny do problemu własnego dla podstawienia. W porównaniu z istniejącą wcześniej metodą opartą na zależnych od częstotliwości makromodelach GIM (zwanych też makroelementami) i redukcji algorytmem PRIMA [18], w zaproponowanym podejściu makromodele były całkowicie niezależne od częstotliwości. Zapewniało to bardziej wydajne przemiatanie częstotliwości, gdyż wszystkie obliczenia potrzebne do generacji makromodeli mogły być wykonywane poza pętlą częstotliwości. Ponadto, zaproponowano procedurą zmniejszania liczby niewiadomych na brzegu poprzez dodanie do silnie zagęszczonego obszaru makromodelu bufora rozrzedzającego siatkę (rys. 3) dla nieregularnej siatki FEM. Sformułowanie FEM MOR dla skalarnego problemu 2D FEM wykorzystano do analizy falowodowych struktur 3D jednorodnych w jednym z kierunków poprzecznych przy założeniu rodzajów TE x0. Wykonano testy numeryczne dla struktury falowodowej z wieloma jednorodnymi prętami dielektrycznymi, które zamknięto w postaci makromodeli reprezentujących podobszary o 400 krotnym 12

13 zagęszczeniu siatki. Ponieważ były one identyczne, można było zastosować klonowanie makromodeli, co oznaczało, że na 80 prętów wystarczyło wygenerować tylko jeden makromodel i skopiować go w pozostałych 79 miejscach struktury. Dzięki temu, sumaryczny czas MOR skrócono 80 krotnie do 0.5s dla rzędu redukcji q=3. Pierwotny problem FEM liczył niewiadomych, z czego przypadała na obszary makromodeli. Dla q=3, co gwarantowało błąd parametrów rozproszenia poniżej 2e 7 w paśmie GHz, liczba niewiadomych związanych z wszystkimi makromodelami została zredukowana do 1920, a czas symulacji zmalał 5 razy z 380s do 77s. Zaproponowana metoda okazała się również wyraźnie dokładniejsza od [18], gdzie bezwzględny błąd charakterystyk współczynników rozproszenia sięgał 5e 2. Rysunek 3. Bufor rozrzedzający siatkę na brzegu makromodelu (miedzy liniami przerywanymi i kropkowanymi), dodany do makromodelu obejmującego obszar silnego zagęszczenia siatki. Główny wkład habilitanta w przygotowanie powyższej publikacji [1] obejmował: opracowanie sformułowania matematycznego lokalnej redukcji rzędu modelu z algorytmem ENOR dla skalarnej metody FEM w dwuwymiarowej analizie charakterystyk rozproszenia struktur falowodowych; opracowanie procedury redukcji liczby zmiennych na granicy makromodelu poprzez dodanie bufora rozrzedzającego siatkę nieregularną FEM oraz konsultacje i pomoc w implementacji opracowanych procedur i interpretacji wyników. Wyniki pierwszych prób adaptacji techniki MOR opracowanych dla 2D FEM do analizy 3D opublikowano w artykule konferencyjnym [9], który zdobył nagrodę EuMA w konkursie dla młodych naukowców. Ponieważ macierz układu równań wektorowego sformułowania 3D FEM ma taką samą ogólną postać, jak w analizie skalarnej 2D, habilitant zaproponował zastosować procedurę FEM opisana w [1] z tą różnicą, że na powierzchni brzegu makromodelu niewiadome odpowiadające węzłom siatki 1D zastąpiono zmiennymi związanymi z krawędziami trójkątów tworzących siatkę 2D. W testach numerycznych przeanalizowano falowód prostokątny zawierający rezonator dielektryczny o kształcie zmieniającym się we wszystkich kierunkach, który został zamknięty jako makromodel ograniczony ściankami falowodu oraz dwiema płaszczyznami przekroju poprzecznego. Strukturę macierzy K systemu FEM przedstawia rys. 4. Mimo zastosowanego rozrzedzania przy przejściu do gęstej siatki wewnątrz obszaru makromodelu, liczba niewiadomych na brzegu makromodelu p była znacząco większa niż w analizie 2D, co nieuchronnie poskutkowało zwiększeniem rozmiaru makromodelu oraz czasu jego tworzenia. W testowanym przypadku p = 91, dla rzędu redukcji q = 6 czas redukcji wyniósł 325 s. Czas rozwiązania zredukowanego układ równań dla 101 punktów częstotliwości wyniósł 44 s. Jest on znacząca krótszy niż czas rozwiązania oryginalnego układu FEM, który wyniósł 1220 s, jednak 13

14 uwzględniając dość długi czas redukcji, całkowite przyspieszenie wyniosło 1220/(325+44) = 3.3 razy. Błąd charakterystyk rozproszenia był poniżej 1e 3 w paśmie GHz. Rysunek 4. Struktura macierzy K dla makromodelu utworzonego w obszarze i jej zmiana po MOR Po tej publikacji, w 2012, został otwarty przewód rozprawy doktorskiej Grzegorza Fotygi Metody redukcji rzędu modelu w analizie elektromagnetycznej metodą elementów skończonych. Habilitant, będąc autorem zaproponowanej doktorantowi tematyki oraz opiekunem merytorycznym i głównym współautorem dotychczasowych publikacji, został powołany do pełnienia funkcji promotora pomocniczego. Roli promotora podjął się prof. Michał Mrozowski. Ważnym wnioskiem, który płynął z powyższej publikacji było to, że w analizie 3D trudno jest skutecznie obniżyć liczbę zmiennych na brzegu makromodelu stosując rozrzedzanie geometryczne siatki analogiczne do analizy 2D, co znacząco obniża wydajność MOR w odniesieniu do czasu redukcji oraz rozmiaru makromodelu. Ostatecznie, przekłada się to również na spowolnienie rozwiązania zredukowanego układu równań. Pierwsze wyniki prac nad rozwiązaniem tego problemu opublikowano w 2012 w czasopiśmie JCR [2]. W publikacji przedstawiono procedurę MOR dla analizy 3D FEM struktur falowodowych i rezonatorów. W celu poprawy dokładności aproksymacji FEM, zastosowano sformułowanie z krzywoliniowymi elementami 3 rzędu. Redukcję rzędu modelu połączono z dekompozycją dziedziny, co oznacza, że makromodele są tworzone we wszystkich obszarach, na które analizowana struktura jest podzielona. W tym celu, zamiast makromodelu połączonego z obszarem nie redukowanym, sformułowanie MOR przedstawiono dla podstawowej struktury zawierające dwa makromodele w obszarach ograniczonych za pomocą wrót P 1, P 2, P 3, będących powierzchniami przekroju poprzecznego falowodu, które połączono ze sobą za pomocą wrót wspólnych P 3. Fragmenty macierzy FEM odpowiadające wrotom makromodelu zostały wyodrębnione jako oddzielne bloki, którym odpowiadają wektory niewiadomych. W porównaniu do wcześniejszej procedury, najważniejszym rozwinięciem zaproponowanym w tej publikacji było wprowadzenie projekcji modalnej we wrotach makromodelu w celu kompresji wrót polegającej na znaczącym zmniejszeniu liczby niewiadomych p, która ma istotny wpływ na wydajność redukcji. Projekcja modalna we wrotach P k oznacza, że oryginalne rozwiniecie rozkładu 2D składowych stycznych pola we wrotach za pomocą funkcji bazowych FEM zostaje zastąpione przez rozwiniecie modalne: (8) 14

15 gdzie jest rozkładem i tego rodzaju pola zdyskretyzowanego na siatce 2D FEM we wrotach P k. Rozkłady te uzyskuje się bezpośrednio rozwiązując problem własny 2D we wrotach, co pozwala na określnie rozwinięcia modalnego dla dowolnego kształtu przekroju falowodu. Spośród uzyskanych w ten sposób wszystkich rodzajów, których liczba jest równa liczbie niewiadomych FEM we wrotach, wybiera się tylko kilka ( ) pierwszych rodzajów ( ), co wystarcza do dokładnego odwzorowania pola. Dzięki temu nowe wektory niewiadomych zostają znacznie skrócone. Rysunek 5. Przykładowe struktury filtrów falowodowych użyte do testów numerycznych MOR z kompresją modalną wrót z rezonatorami dielektrycznymi (a), z prętami metalowymi (b). Testy numeryczne wykonano na dwóch rodzajach filtrów falowodowych (a) z rezonatorami dielektrycznymi i (b) z prętami metalowymi (rys. 5). W obu przypadkach zastosowano rząd redukcji q = 4 oraz 10 i 6 rodzajów rozwinięcia modalnego w przypadku (a) i (b), odpowiednio. Kompresja wrót zredukowała czas MOR i rozmiar makromodeli na tyle, że wypadkowy czas symulacji w 73 i 55 punktach częstotliwości dla (a) i (b) został skrócony 42 razy z 400 min do 570 s dla (a) oraz 57 razy z 66 min do 69 s dla (b). Główny wkład habilitanta w powstanie tej pracy [2] obejmował: sformułowanie metody redukcji rzędu modelu (MOR) opartej na metodzie ENOR dla 3D FEM (3D FEM MOR) do analizy struktur falowodowych i rezonatorów jako uogólnienie metody 2D FEM MOR; opracowanie koncepcji projekcji modalnej do kompresji liczby zmiennych we wrotach makromodeli w 3D FEM MOR za pomocą funkcji bazowych będących rozkładami pola rodzajów TE i TM uzyskanych z rozwiązania problemów własnych 2D FEM we wrotach makromodeli. W kolejnej publikacji JCR [3] rozwinięto opracowaną wcześniej metodę 3D FEM MOR tak, aby umożliwić wydajna analizę struktur bardziej złożonych niż kaskadowe połączenie makromodeli. W tym celu wprowadzono sformułowanie MOR dla makromodelu całkowicie wyodrębnionego ze struktury oraz procedurę redukcji wielopoziomowej i makromodeli zagnieżdżonych, w której makromodele tworzone na niższych poziomach wchodzą do makromodeli definiowanych na poziomach wyższych. Koncepcję redukcji wielopoziomowej przedstawia graficznie rys. 6. Dodatkowo, aby umożliwić wyodrębnienie makromodelu w dowolnym miejscu struktury, wprowadzono uogólnioną kompresję wrót za pomocą rozwinięć względem funkcji analitycznych. 15

16 Rysunek 6. Struktura ilustrująca schemat redukcji wielopoziomowej (a). W kolejnych krokach MOR na trzech poziomach (b d) makromodele tworzone są w zaciemnionych obszarach. Do utworzenia pojedynczego makromodelu odpowiadającego podobszarowi i wyodrębnionego ze struktury zmodyfikowano sformułowanie układu równań liniowych, w którym wykonywana jest redukcja, do następującej postaci: (9) gdzie indeksy P oznaczają zagregowane bloki odpowiadające wszystkim wrotom makromodelu. W pierwszym kroku wykonuje się kompresję wrót za pomocą funkcji analitycznych: (10) gdzie: Macierz projekcyjną F tworzy się poprzez rzutowanie nowej bazy funkcji ortogonalnych na funkcje bazowe FEM związane z siatką 2D wrót. Pierwotne rozwiniecie pól we wrotach za pomocą funkcji bazowych FEM zastępuje się więc znacznie krótszym rozwinięciem względem bazy : (11) gdzie zmienne i wersory odnoszą się do lokalnego układu współrzędnych wybranego indywidualnie dla wrót. Aby uprościć definicje funkcji bazowych rozwinięcia (11), powierzchnie wrót dobiera się tak, aby były zgodne z podstawowymi układami współrzędnych, takimi jak kartezjański, cylindryczny lub sferyczny. Jeżeli powierzchnia wrót opiera się na brzegu struktury, gdzie zdefiniowane są warunki Dirichleta lub Neumanna (np. PEC lub PMC), można użyć funkcji sinus/cosinus. W ten sposób definuje się np. funkcje odpowiadające rodzajom falowodowym, co oznacza projekcję modalną bez konieczności rozwiazywania problemu własnego we wrotach makromodelu. Dla kierunków, na których nie zdefiniowano warunków brzegowych, opracowano rozwinięcia za pomocą wielomianów Legendre. Dzięki temu makromodel można zamknąć w pudełku wewnątrz struktury, jak na rys. 6a. Redukcję dla układu (10) wykonuje się analogicznie wcześniej przedstawionej procedury MOR. 16

17 Rysunek 7. Przykładowa struktura filtru falowodowego i porównanie charakterystyk uzyskanych z FEM i wielopoziomowego algorytmu MOR. Dla filtru złożonego z rezonatorów falowodowych (rys. 7) porównano wydajność wielopoziomowej redukcji na 2 i 3 poziomach. W pierwszym przypadku MOR wykonywane jest najpierw we wszystkich obszarach niezależnie, a na następnym poziomie MOR dotyczy utworzonych tak pięciu makromodeli, przy czym obszary przetwarzane są razem. W przypadku drugim dodano trzeci, najniższy poziom redukcji, w którym MOR wykonywany jest tylko w. Dzięki temu przyspieszenie w stosunku do FEM dla 101 punktów częstotliwości wzrosło z 6 razy do 27 razy. Główny wkład habilitanta w powstanie tej pracy [3] obejmował: modyfikację sformułowania redukcji rzędu modelu (MOR) dla 3D FEM (3D FEM MOR) do postaci odpowiadającej pojedynczemu makromodelowi; opracowanie algorytmu wielopoziomowej redukcji 3D FEM MOR i makromodeli zagnieżdżonych w strukturach o złożonej geometrii; sformułowanie modelu matematycznego kompresji wrót makromodeli z zastosowaniem uogólnionej projekcji ortogonalnej za pomocą funkcji analitycznych, takich jak funkcje trygonometryczne i wielomiany Legendre; Rysunek 8. Obracany element strojący zamknięty w cylindrycznym makromodelu z warstwą bufora. Kolejnym krokiem w rozwoju technik lokalnej MOR w FEM było opracowanie procedury wydajnego strojenia i optymalizacji struktur poprzez wielokrotne wykorzystywanie raz wygenerowanych makromodeli. W tym celu zaproponowano nowy algorytm pozwalający na obracanie elementów strojących wewnątrz struktury w taki sposób, że każdy z zawierających je podobszarów ma postać walca (obszar na rys. 8). Ponieważ zawiera nieciągłość, to wymaga on największego zagęszczenia siatki. W obszarze tym generowany jest makromodel, który następnie w toku dostrajania/optymalizacji 17

18 struktury może być obracany bez konieczności jego ponownego tworzenia. Aby to osiągnąć zaproponowano oryginalne rozwiązanie polegające na dodaniu cienkiej warstwy bufora FEM (obszar ), którego modyfikacja służy zmianie kąta orientacji makromodelu. Wstępną koncepcję bufora w odniesieniu do samej analizy FEM przedstawiono w publikacji konferencyjnej [10], aby następnie rozwinąć ją o dodanie wielopoziomowej redukcji rzędu modelu, co zaowocowało publikacją JCR [4]. Do kompresji wrót makromodeli w kształcie walców zastosowano rozwinięcia trygonometryczne, zarówno w kierunku osi walca, jak i wzdłuż jego obwodu. W pierwszym kroku analizy (etap przygotowawczy) tworzone są macierze FEM w obszarach makromodeli, gdzie dodatkowo generowane są makromodele, oraz w otaczających je buforach i w pozostałym obszarze. Następnie, w kolejnych krokach dla zmienianych kątów obrotu makromodeli modyfikowana jest tylko siatka i macierz FEM buforów i wykonywana jest redukcja całej struktury. Ponieważ najbardziej wymagające obliczeniowo makromodele nie są tworzone na nowo, uzyskuje się wyraźne przyspieszenie analizy. Dla przykładu, w falowodzie zawierającym cztery obracane makromodele, przyspieszenie zaproponowanej analizy w stosunku do FEM dla 51 punktów częstotliwości i 10 kroków strojenia wynosi 25 razy. Przy przydłużeniu strojenia do 100 kroków, przyspieszenie to wzrośnie do 39 razy. Należy zauważyć, że zaproponowana koncepcja wąskiego bufora siatki FEM może być zastosowana również do drobnych przemieszczeń makromodeli o innych kształtach, np. w celu obliczania gradientów w procesie optymalizacji. Główny wkład habilitanta w powstanie powyższych prac [10, 4] obejmował: opracowanie koncepcji i algorytmu obracania elementów struktury sprowadzonych do postaci makromodeli cylindrycznych połączonych z otoczeniem za pomocą bufora siatki FEM; sformułowanie modelu matematycznego redukcji rzędu modelu (MOR) dla makromodelu zagnieżdżonego oraz kompresji wrót makromodelu na powierzchni walca za pomocą rozwinięć trygonometrycznych. Dokładność zaproponowanej metody MOR opartej na ENOR jest wystarczająca, aby otrzymane charakterystyki parametrów rozproszenia pokrywały się i były nie do odróżnienia w paśmie sięgającym oktawy. Odpowiada temu błąd bezwzględny rzędu 1e 3, co jest wystarczające w większości przypadków. Gdyby potrzebna była większa dokładność lub jeszcze szersze pasmo analizy, to okazuje się, że dalsze zwiększanie rzędu redukcji nie daje zauważalnej poprawy. Ma to związek z faktem, iż ENOR oryginalnie przeznaczony jest do funkcji przenoszenia, która określa związek między polem wewnątrz obszaru makromodelu Ω i na jego brzegu P: w taki sposób, że wyrażenie po prawej stronie zawiera liniową zależność od częstotliwości. Dotychczas warunek ten formalnie spełniano zapisując prawa stronę tak jak w równaniu (5), jednak z tego powodu macierz wprowadza zależność od częstotliwości. Ponieważ wyrażają ją wyrazy proporcjonalne do s i s 1, to przy rozwijaniu momentów funkcji przenoszenia wokół s 0 występuje efekt częściowej kompensacji i w rezultacie w niezbyt szerokim paśmie osiągana jest dokładność redukcji akceptowalna w większości problemów. W publikacji konferencyjnej [11] habilitant wraz ze współautorem zaproponował sformułowanie MOR dla szerokopasmowych makromodeli o większej dokładności niż uzyskiwanych w ENOR. W procedurze tej wprowadzono przesuniecie częstotliwości względem częstotliwości środkowej s 0 :, w wyniku czego otrzymuje się funkcję przenoszenia: (12) 18

19 (13) gdzie: (14) Szerokopasmowa baza projekcyjna V rzędu q tworzona jest jako rozkład na wartości szczególne:, gdzie są kolejnymi momentami blokowymi funkcji, a jednocześnie współczynnikami rozwinięcia tej funkcji w szereg Taylora:. Trzy pierwsze momenty oblicza się więc bezpośrednio z (13), a kolejne wykonując rekurencyjne podstawienia. Analiza struktury filtru z rys. 5a w pasmie 9 18 GHz pokazała, że zwiększając rząd redukcji do q = 35 błąd redukcji miarowo maleje do poziomu precyzji maszynowej, czyli ok. 1e 12. Należy zaznaczyć, że wzrost q pociąga za sobą wydłużenie czasu generacji i wzrost rozmiaru makromodelu, więc w przypadku umiarkowanej szerokości pasma i wymaganych dokładności nieprzekraczających 1e 3 można wykorzystywać redukcję opartą na ENOR. Z poprawą dokładności MOR wiąże się problem wyboru optymalnej wartości rzędu redukcji q, czyli najmniejszej wartości, która gwarantuje błąd poniżej wymaganego poziomu. W tym celu należy powtarzać procedurę MOR zwiększając stopniowo q i monitorując wartość błędu. Każdorazowy wzrost q o jeden wymaga nie wymaga jednak obliczania całej bazy projekcyjnej V od nowa, a jedynie dodania do wcześniej wygenerowanej bazy nowego bloku związanego z kolejnym momentem redukowanej funkcji przenoszenia. Ponieważ zwykle koszt samej projekcji za pomocą bazy V i rozwiązania zredukowanego układu równań jest wyraźnie niższy niż tworzenie bazy, proces automatycznego wybory q można wykonywać bez istotnego zwiększania kosztu numerycznego całej procedury MOR. Konieczne do tego jest jednak zastosowanie wydajnego estymatora błędu bez kosztownego rozwiązywania referencyjnego problemu FEM przed redukcją. W tym celu, w kolejnym artykule JCR [5] habilitant we współpracy z głównym współautorem zaproponował metodę selektywnego wyboru rzędu redukcji w każdym makromodelu w oparciu zaproponowany sposób obliczania estymatora lokalnego błędu redukcji. Habilitant opracował też sposób wykorzystania tego estymatora lokalnego do efektywnej estymacji błędu globalnego. Z jednej strony, oszacowanie błędu globalnego jest konieczne, gdyż kryterium dokładności całej procedury MOR sformułowane jest właśnie dla błędu globalnego, z drugiej jednak, wymagany rząd redukcji ma być ustalany indywidualnie dla każdego makromodelu. Aby uniknąć konieczności kosztownej redukcji globalnej, zaproponowana procedura godzi te dwa postulaty w taki sposób, że estymator globalny wykorzystuje bazy projekcyjne dla każdego z makromodeli tworzone wcześniej przy obliczaniu estymatora lokalnego. Testy numeryczne pokazały, że rzeczywisty błąd jest zawsze nieznacznie mniejszy niż błąd estymowany, co potwierdza poprawność definicji zaproponowanych estymatorów do automatycznego wyboru rzędu redukcji. Zagadnieniem, które habilitant zajął się w samodzielnej publikacji JCR [6] jest problem rosnącego czasu samego rozwiązania zredukowanego układu równań, który występuje zwłaszcza w przypadku złożonych struktur wymagających wielu makromodeli o wysokich rzędach redukcji. Wówczas, rozmiar macierzy zredukowanej rośnie na tyle, że czas rozwiązania układu równań staje się porównywalny z czasem MOR, a nawet go przerasta, szczególnie oraz przy przemiataniu z dużą liczbą punktów częstotliwości. Problem staje się szczególnie dotkliwy w przypadku projektowania struktury za pomocą 19