Uogólniona transformata Wignera-Weyla

Transkrypt

1 Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Praca inżynierska Paweł zońca kierunek studiów: Fizyka Techniczna Uogólniona transformata Wignera-Weyla Oiekun: dr hab. inż. Bartłomiej Sisak Kraków, styczeń 7

2 Oświadczam, świadomy odowiedzialności karnej za oświadczenie nierawdy, że niniejszą racę dylomową wykonałem osobiście i samodzielnie i nie korzystałem ze źródeł innych niż wymienione w racy.... (czytelny odis)

3 Merytoryczna ocena racy rzez oiekuna 3

4 Merytoryczna ocena racy rzez recenzenta 4

5 Pragnę serdecznie odziękować mojemu romotorowi doktorowi Bartłomiejowi Sisakowi za insirację, oświęcony czas, okazaną omoc oraz cenne wskazówki w trakcie isania racy. Podziękowania składam również mojej żonie za wyrozumiałość, cierliwość oraz okazane wsarcie w dążeniu do celu. 5

6 Sis treści Wstę 7 Nieklasyczne funkcje rozkładu w rzestrzeni fazowej 8. Funkcja Wignera i jej wybrane własności Bi-funkcja Wignera Uogólniona transformata Weyla oeratora gęstości 8 3. Transformata Weyla Macierz gęstości Transformata Weyla macierzy gęstości γ funkcja Wignera i jej wybrane własności σ funkcja Wignera i jej wybrane własności Zastosowania, wyniki i dyskusja 6 4. Parametryzowane funkcje Wignera dla oscylatora harmonicznego Miary nieklasyczności stanów Dyskusja wyników Podsumowanie 34 6 Dodatek matematyczny Wyrowadzenie funkcji Wignera dla oscylatora harmonicznego Wyrowadzenie Bi funkcji Wignera dla oscylatora harmonicznego Wyrowadzenie γ funkcji Wignera dla oscylatora harmonicznego Wyrowadzenie σ funkcji Wignera dla oscylatora harmonicznego

7 Wstę Funkcja Wignera została wrowadzona rzez E. P. Wignera w 93 roku w racy [] zatytułowanej On the Quantum Correction For Thermodynamic Equilibrium i dała ona oczątek sformułowaniu mechaniki kwantowej w rzestrzeni fazowej. Podejście to jest równoważne i niezależne od teorii kwantów w ujęciu rzestrzeni Hilberta [], czy metody całek o trajektoriach [3]. Sformułowanie rzestrzenno-fazowe teorii kwantowej oarte na funkcji Wignera uodabnia ois ilościowy układów fizycznych i zjawisk w nich zachodzących do metod wyracowanych na otrzeby mechaniki statystycznej w sformułowaniu Liouville a [4]. W ramach tego odejścia oeratory działające w rzestrzeni Hilberta zostają zastąione rzez odowiednie funkcje rzeczywiste, które rerezentują zmienne dynamiczne w rzestrzeni fazowej. Wyznaczanie ich wartości srowadza się do obliczania wartości oczekiwanych, odobnie zresztą jak w mechanice statystycznej z tym, że rolę funkcji rozkładu odgrywa funkcja Wignera. Niestety, funkcja Wignera może rzyjmować wartości ujemne w ewnych obszarach rzestrzeni fazowej i z tego owodu nie można myśleć o niej jak o klasycznym rozkładzie rawdoodobieństwa. Niewątliwą zaletą funkcji Wignera jest to, że jest ona funkcją rzeczywistą rzez co jest wygodnym narzędziem badawczym w rachunkach analitycznych lub numerycznych rzez co znajduje coraz to większe uznanie wśród fizyków i jest stosowana w różnych działach fizyki wsółczesnej, a w szczególności w fizyce fazy skondensowanej rzy oisie zjawisk transortowych [5, 6, 7]. Głównym celem niniejszej racy jest uogólnienie ojęcia funkcji Wignera oraz rzebadanie wybranych własności nowo skonstruowanej funkcji. W racy rzedstawione zostaną dwa takie uogólnienia. Polegają one na wrowadzeniu rzeczywistych arametrów do transformaty Weyla [8]. Jedno z nich umożliwia unifikację trzech różnych nieklasycznych funkcji rozkładu. Natomiast drugie ma na celu maniulację korelacjami ołożeniowo-ędowymi. Dodatkowo zostanie zarezentowana transformata Weyla dla iloczynu dwóch różnych stanów czystych. Otrzymany wynik został zastosowany do analizy kwantowego oscylatora harmonicznego i na jego odstawie rzedstawiono główne różnice dla wrowadzonych uogólnień. 7

8 Nieklasyczne funkcje rozkładu w rzestrzeni fazowej Choć odmiotem rozważań będą nieklasyczne funkcje rozkładu, to najierw zostanie wrowadzona funkcja rozkładu na gruncie klasycznej mechaniki statystycznej. Ma to na celu zobrazowanie zależności i odobieństw omiędzy oisem w teorii klasycznej, a oisem w teorii kwantowej, gdyż jak się owszechnie uważa, teoria klasyczna jest rzyadkiem granicznym teorii kwantowej. Klasyczne funkcje rozkładu Jednym ze sosobów scharakteryzowania układu mechanicznego jest odanie funkcji Hamiltona H(q, ), gdyż zawiera ona ełną informację o rozważanym układzie [4, 9]. Jeśli N oznacza ilość cząstek w układzie, to każdej z cząstek układu można rzyisać wsółrzędne uogólnione q i oraz srzężone z nimi ędy uogólnione i, gdzie i =,..., N. uch takiego układu mechanicznego jest określony rzez równania kanoniczne Hamiltona q i (t) = i (t) = H(q,, t) i H(q,, t). q i Dla rostoty będą rozważane układy jednowymiarowe. Uogólnienie na rzyadek o większej ilości stoni swobody jest natychmiastowe. Zbiór tak wrowadzonych wsółrzędnych ozwala skonstruować rzestrzeń stanów klasycznych rozatrywanego układu [9]. Definicja.. Przestrzenią fazową µ (molekularną) układu mechanicznego nazywamy arzysto-wymiarową rzestrzeń symlektyczną, której elementami są unkty fazowe o wsółrzędnych (q, ), które rerezentują stany klasyczne układu. Wsółrzędne q nazywamy wsółrzędnymi uogólnionymi, a wsółrzędne nazywamy ędami uogólnionymi. Układ składający się z N cząstek jest rerezentowany rzez N unktów w rzestrzeni µ. W rzyadku, gdy mamy do czynienia z dużą ilością cząstek N, gdzie N jest rzędu stałej Avogadra, rozwiązanie układu równań () jest raktycznie nieosiągalne. W związku z tym wygodnie jest odwołać się do metod rzybliżonych i zastosować ois statystyczny oarty na ojęciu funkcji rozkładu. Definicja.. Niech dµ = dqd. Funkcję f = f(q,, t) klasy C [µ] dla której wyrażenie () f(q,, t)dµ = dn () jest równe liczbie cząstek rzebywających w chwili t w elemencie objętości dµ rzestrzeni fazowej nazywamy funkcją rozkładu. Dla dużych N urawnione jest nastęujące rzybliżenie [9] f(q,, t)dqd = dqd f(q, ) = N(t), (3) gdzie sumowanie odbywa się o wszystkich centrach elementów dqd, natomiast całkowanie rozciąga się o całej rzestrzeni fazowej. 8

9 Jeżeli A(q, ) jest wielkością mierzalną w układzie, to wtedy średnia wartość wielkości mierzalnej jest wyrażona wzorem [9] A = dqd A(q, )f(q, ), (4) gdzie całkowanie rozciąga się o całej rzestrzeni fazowej. Nieklasyczne funkcje rozkładu W mechanice kwantowej, z owodu zasady nieokreśloności, cząstka nie może mieć jednocześnie dobrze określonego ołożenia q oraz ędu. Z tego owodu stan cząstki nie może być rerezentowany rzez unkt w rzestrzeni fazowej µ i tym samym uniemożliwia nam to skonstruowanie klasycznej funkcji rozkładu. Z drugiej strony ta trudność nie wystęuje w ujęciu hilbertowskim mechaniki kwantowej, gdyż stan cząstki jest oisywany za omocą abstrakcyjnego wektora stanu w obrazie Schrödingera ψ(t) w rzestrzeni Hilberta, a ściślej za omocą jego wsółrzędnej w odowiednio wybranej bazie. Najczęściej utworzonej z wektorów własnych oeratora ołożenia. Definicja.3. Jeśli oznacza wektor własny oeratora ołożenia ˆ, który sełnia równanie własne własne w ostaci ˆ =, (5) to rzut stanu ψ(t) na stan własny oeratora ołożenia,, rerezentowany rzez iloczyn skalarny ψ(t) jest nazywany funkcją falową cząstki w rerezentacji ołożeniowej i oznaczany jest symbolem ψ(, t), rzy czym zachodzi warunek unormowania w ostaci d ψ(, t) =. (6) Uwaga, w dalszej części racy będą rozatrywane wyłącznie unormowane funkcje falowe. Zgodnie ze szkołą koenhaską mechaniki kwantowej, tak zadana funkcja falowa ma nastęującą interretację fizyczną, wielkość ψ(, t) P (, t) (7) jest gęstością rawdoodobieństwa znalezienia cząstki w unkcie w chwili t []. Stąd wynika, że stan cząstki nie jest rerezentowany rzez ojedynczy unkt rzestrzeni konfiguracyjnej, a rzez odowiedni rozkład rawdoodobieństwa P (, t). Ponadto ujęcie hilbertowskie mechaniki kwantowej ostuluje, że mierzonej wielkości fizycznej (obserwabli) jest rzyorządkowany odowiedni liniowy oerator hermitowski Â, taki, że wartość ψ Â ψ Â = ψ ψ (8) jest interretowana jako wartość oczekiwana mierzonej wielkości fizycznej w stanie kwantowym ψ. W tym miejscu należy zauważyć analogię tej rocedury do odowiedniej rocedury obliczania wartości oczekiwanej w mechanice statystycznej (4). Na zakończenie tej części należy jeszcze zwrócić uwagę na fakt, że zmiana rerezentacji z ołożeniowej na ędową umożliwia wrowadzenie rozkładu gęstości rawdoodobieństwa w rzestrzeni ędowej, tzn. P (, t). Jednocześnie oznacza to, że nie ma możliwości 9

10 w ramach omawianego ujęcia skonstruowania klasycznej funkcji rozkładu, która zależałaby zarówno od zmiennych ołożeniowych jak i ędowych, tzn. f(,, t). Właśnie róba ominięcia tej trudności dorowadziła Wignera w 93 roku do stworzenia odwalin od mechanikę kwantową w rzestrzeni fazowej i skonstruowania ierwszej nieklasycznej funkcji rozkładu, która obecnie jest nazywana funkcją Wignera. Inne rzykłady nieklasycznych funkcji rozkładu można znaleźć w artykułach rzeglądowych [, ] lub książkach dotyczących sformułowania mechaniki kwantowej w rzestrzeni fazowej [, 3, ].. Funkcja Wignera i jej wybrane własności Z uwagi na różne sosoby definiowania funkcji Wignera w literaturze, rzyjmujemy za odręcznikiem [] nastęujące jej określenie. Definicja.4. Funkcją Wignera nazywamy transformatę Fouriera z biliniowej kombinacji funkcji falowej i funkcji do niej srzężonej f(,, t) = ( dx ψ X )ψ π, t rzy czym funkcja Wignera sełnia warunek ( + X, t ) [ e ix ], (9) dd f(,, t) =. () Poniżej zostaną rzedstawione i udowodnione odstawowe własności funkcji Wignera. Co rawda, większość z tych dowodów została już urzednio rzedstawiona w kilku racach [8,,, 3]. Mimo to zostały one tutaj rzytoczone z uwagi na wrowadzoną w rozdziale 3 uogólnioną transformatę Weyla dla oeratora gęstości za omocą której zostaną zdefiniowane nowe nieklasyczne funkcje rozkładu i orzez analogie srawdzone ich własności. Funkcja Wignera jest jedną z wielu nieklasycznych funkcji rozkładu ozwalających na obliczanie wartości oczekiwanych rzy użyciu ojęć znanych z klasycznej mechaniki statystycznej. Jednakże jest wyjątkowa od tym względem, że ma roste własności [3].. Funkcja Wignera jest funkcją rzeczywistą. Dowód. Z rzytoczonej definicji funkcji Wignera wynika, że jej srzężenie zesolone ma ostać {f(,, t)} = dx ψ ( X )ψ ( π, t + X ), t e ix. () Dokonanie zmiany zmiennych w tym wyrażeniu, zgodnie ze wzorem rowadzi do równości {f(,, t)} = π X = η, () ( dη ψ η )ψ (, t + η ), t e iη = f(,, t), (3)

11 z której wynika, że część urojona funkcji Wignera jest równa zeru, tzn. Im{f(,, t)} =. (4) Na tej odstawie można wnioskować, że funkcja Wignera f(,, t) jest funkcją rzeczywistą.. Funkcja Wignera jest funkcją unormowaną. Wynika ona z unormowania funkcji falowej. Dowód. Podstawienie wyrażenia definiującego funkcję Wignera (9) do warunku unormowania () i odowiednia zmiana kolejności całkowania rowadzi do nastęującego wyrażenia dd f(,, t) = ( dd dx ψ π = ddx ψ ( X ) (, t ψ X )ψ (, t + X ), t + X, t ) π e ix d e ix. W ostatnim czynniku wystęującym o lewej stronie tego wyrażenia można rozoznać rerezentację całkową δ Diraca [4], tzn. δ() = dk e ik = [ ] i d e. (6) π π Skorzystanie z własności skalowania dla delty Diraca oraz twierdzenia filtracyjnego (5) δ(a) = δ(). (7) a d g()δ( ) = g( ), (8) ozwala rzekształcić wyrażenie (5) do ostaci dd f(,, t) = ddx ψ ( X ) (, t ψ + X ) ( ) X, t δ = ddx ψ ( X ), t ψ ( + X ), t δ (X) = d ψ (, t)ψ(, t) =. Ostatnia równość wynika z warunku unormowania funkcji falowej (6).

12 3. Funkcja Wignera jest funkcją ograniczoną. Dowód. Ograniczoność funkcji można wykazać w oarciu o nierówność Cauchy ego- Schwarza, która dla dowolnych funkcji całkowalnych w kwadracie f() oraz g() rzyjmuje ostać [4] df()g() d f() d g( ). (9) Obliczając kwadrat modułu funkcji Wignera, a nastęnie szacując jego wartość w oarciu o nierówność (9). ( f(,, t) = (π ) dx ψ X )ψ (, t + X ), t ( dx (π ) ψ X ), t ( = dx (π ) ψ X ), t [ e ix ] dx ψ ( + X ) [, t e ix ) dx ψ ( + X, t. Dalej, dokonanie zmiany zmiennych w owyższym wyrażeniu zgodnie ze wzorami ] η = X = dx = dη rowadzi do nierówności ξ = + X f(,, t) (π ) = dx = dξ. dη ψ (η, t) dξ ψ(ξ, t). Z kolei uwzględnienie warunku unormowania funkcji falowej (6) rowadzi do nastęującego oszacowania funkcji Wignera f(,, t) (π ). () A stąd wynika, że funkcja Wignera rzyjmuje wartości skończone, które leżą w rzedziale określonym oniższą nierównością f(,, t) π. () 4. ozkłady brzegowe funkcji Wignera odowiadają rozkładom gęstości rawdoodobieństwa w rerezentacji ołożeniowej oraz ędowej. Są one określone odowiednio oniższymi wzorami d f(,, t) = ψ(, t), () d f(,, t) = π ψ(, t). (3) Własność ta jest o tyle ważna, że okazuje, iż rozkłady brzegowe funkcji Wignera są takie same jak rozkłady brzegowe klasycznej funkcji rozkładu.

13 Dowód. Postać rozkładów brzegowych wynikających z całkowania funkcji Wignera o odowiednich zmiennych zostanie wykazana niezależnie. W celu uzyskania własności określonej wzorem () należy zauważyć, że całka o zmiennej ędowej z funkcji Wignera może zostać rzekształcona w nastęujący sosób d f(,, t) = ddx ψ ( X ) π, t ψ ( + X ) [, t e ix ] ( = dx ψ X ( )ψ, t + X ) [, t d e ix π Uwzględnienie w owyższym wyrażeniu własności delty Diraca, określonych wzorami (8) oraz (7), ozwala je rzekształcić ostatecznie do ostaci ( d f(,, t) = dx ψ X ( )ψ, t + X ) ( ) X, t δ ( = dx ψ X )ψ (, t + X ), t δ (X) z której wynika dowodzona własność. = ψ (, t)ψ(, t) = ψ(, t), Przed rzystąieniem do wykazania własności określonej wzorem (3) zostanie wrowadzona ara transformat Fouriera. Dzięki temu rzekształceniu unitarnemu będzie można dokonać zmiany rerezentacji funkcji falowej z ołożeniowej na ędową i vice versa, według wzorów ψ() = [ ] i d ψ() e π, (4) ψ() = d ψ() e [ i ]. (5) Całkowanie o zmiennej ołożeniowej funkcji Wignera wyrażonej, zgodnie z definicją (9), za omocą funkcji falowej rowadzi do nastęującego wyrażenia d f(,, t) = ddx ψ ( X ) π, t ψ ( + X ), t = ddx d ψ (, t)e i (π ) 3 ( X) d ψ(, t)e i (+ X) e i X. e i X Zmiana kolejności całkowania w owyższym wyrażeniu, a nastęnie zastosowanie rerezentacji całkowej delty Diraca (6) jak i jej własności (7) oraz (8) rowadzi, ]. 3

14 o wykonaniu odowiednich rzekształceń, do końcowego wyniku d f(,, t) = dx e i (π ) 3 X d ψ (, t)e i X [ ] d ψ(, t)e i i X d e ( ) }{{} π δ( ) = dx e i (π ) X d ψ (, t)e i X d ψ(, t)e i X δ( ) = dx e i (π ) X d ψ (, t)ψ(, t)e i X = d ψ (, t)ψ(, t) dx e i (π ) X( ) }{{} π δ( ) = d ψ (, t)ψ(, t)δ( ) (π ) = (π ) ψ(, t). Funkcja Wignera jest więc unormowaną funkcją rzeczywistą określoną na rzestrzeni fazowej oraz osiada dobrze zdefiniowane rozkłady brzegowe. Tym samym, mogłaby być dobrym kandydatem na funkcję rozkładu rawdoodobieństwa, jednakże nie zawsze rzyjmuje wartości dodatnie, tzn. są takie obszary jej określoności w rzestrzeni fazowej, gdzie rzyjmuje wartości ujemne. To srawia, że nie można jej w ełni traktować jako funkcji rozkładu lecz jako jej namiastkę i stąd bierze się określenie: nieklasyczna funkcja rozkładu. 5. Niech f ψ (,, t) oznacza funkcję Wignera odowiadającą funkcji falowej ψ(, t), a f ϕ (,, t) oznacza funkcję Wignera odowiadającą funkcji falowej ϕ(, t). Między wrowadzonymi funkcjami Wignera, a odowiadającymi im funkcjami falowymi zachodzi nastęująca równość dd f ψ (,, t)f ϕ (,, t) = π d ψ (, t)ϕ(, t). (6) Dowód. Po skorzystaniu z definicji funkcji Wignera, lewą stronę równania (6) można rozisać w nastęujący sosób L = dd f ψ (,, t)f ϕ (,, t) [ = dd π [ ( dv ϕ v ) π, t ϕ du ψ ( u, t ) ψ ( + v, t ) e i v ]. ( + u, t ) e i u ] 4

15 Nastęnie zmieniając kolejność całkowania ( L = d du ψ u ) (π ), t ψ ( + u ), t ( dv ϕ v ) (, t ϕ + v ), t d e i v i u }{{} = ddu ψ ( u ) π, t ψ i dokonując zmiany zmiennych według wzorów z których wynika, że π δ(u+v) η = u, ξ = + u, = η + ξ, u = ξ η, rzy czym jakobian tego rzekształcenia wynosi J = =, ( + u, t ) ϕ ( + u, t ) ϕ uzyskuje się wyrażenie w ostaci L = dηdξ ψ (η, t) ψ (ξ, t) ϕ (ξ, t) ϕ (η, t). π Odowiednie uorządkowanie całek rowadzi do wyrażenia L = dηdξ ψ (η, t) ϕ (η, t) ψ (ξ, t) ϕ (ξ, t) π = [ dη ψ (η, t) ϕ (η, t) dξ ψ (ξ, t) ϕ (ξ, t) π = π dη ψ (η, t) ϕ (η, t) = P. Należy zauważyć, że lewa strona równości (6) jest nieujemna, tj. ( u, t ). dd f ψ (,, t)f ϕ (,, t). (7) Co więcej osiąga ona zero dla stanów ortogonalnych. ówność (6) oznacza również, iż funkcja Wignera jest całkowalna z kwadratem. Istotnie, jeśli ołożyć ψ(, t) = ϕ(, t), to rawa strona jest równa (π ), czyli dd f ψ (,, t) = π ] <. (8) 5

16 . Bi-funkcja Wignera W tym odrozdziale zostanie zarezentowana transformacja Wignera dla dwóch różnych stanów czystych. Uogólnienie to zostało ierwotnie wrowadzone rzez Moyala w racy [5]. Definicja.5. Niech ψ(, t) oraz ϕ(, t) są unormowanymi funkcjami falowymi. Bifunkcją Wignera nazywamy transformatę Fouriera z iloczynu tych funkcji określoną wzorem F (,, t) = ( dx ψ ) π X, t ϕ ( + ) X, t e [ i ] X. (9) W szczególności, z odanej definicji wynika, że jeżeli sełniony jest warunek ψ(, t) = ϕ(, t), to funkcja Wignera może być uważana za szczególny rzyadek Bi-funkcji Wignera. Poniżej zostaną rzedstawione, bez dowodów, wybrane własności Bi transformacji Wignera. Powodem rezygnacji z rzedstawienia tych dowodów na rzecz odowiednich komentarzy jest ich odobieństwo do odowiednich dowodów dotyczących funkcji Wignera omawianej w orzednim odrozdziale.. W ogólnym rzyadku, funkcja F (,, t) określona rzez Bi funkcję Wignera jest zesolona. Natomiast, jeżeli sełnia ona warunek to jest rzeczywista. F (,, t) = F (,, t), (3) Sełnienie tego warunku ociąga za sobą obliczenie srzężenia zesolonego funkcji F (,, t), które jest równe { ( F (,, t) = dx ψ ) π X, t ϕ ( + ) X, t = dx ψ ( ) π X, t ϕ ( + ) X, t = ( dx ϕ ) π X, t ψ ( + ) X, t e e [ i ] } X ] [ i e X [ i ] X. Z ostatniej równości wynika, iż srzężenie Bi-funkcji Wignera jest Bi-funkcją Wignera wziętą dla funkcji falowych w odwrotnej kolejności w stosunku do definicji (.5). Wobec tego warunek (3) jest sełniony, gdy można zmienić miejscami funkcje falowe ψ(, t) i ϕ bez zmiany ostaci F (,, t), co zachodzi między innymi dla szczególnego rzyadku ψ(, t) = ϕ(, t).. Jeżeli stany są ortogonalne, to funkcji F (,, t) nie da się unormować oraz dd F (,, t) =. (3) Komentarz. Wykonanie całkowania o zmiennych ędowych rowadzi do równości d ψ (, t)ϕ(, t) =. 6

17 Ostatnia całka jest równa zero tylko w rzyadku ortogonalnych funkcji falowych. Oznacza to, że dla takich funkcji falowych F (,, t) nie daje się unormować. Można tutaj zauważyć ewną analogię zachowania funkcji rozkładu do samej funkcji falowej. Mianowicie, dla ortonormalnego zbioru funkcji falowych {ψ i }, zbiór utworzony orzez transformację zadającą Bi-funkcję Wignera jest samo-ortonormalny [5], dd F ij (,, t) = δ ij. (3) 3. Amlituda funkcji zesolonej F (,, t) jest ograniczona nierównością F (,, t) π. (33) Komentarz. Ograniczenie amlitudy Bi-funkcji Wignera jest takie, jak ograniczenie samej funkcji Wignera (). 4. ozkłady brzegowe funkcji zesolonej F (,, t) są określone wzorami d F (,, t) = ψ (, t)ϕ(, t), (34) d F (,, t) = π ψ (, t)ϕ(, t). (35) Komentarz. ozkłady brzegowe można otrzymać ostęując analogicznie jak w dowodzie własności (4) dla funkcji Wignera. 5. Funkcja zesolona F (,, t) jest całkowalna z kwadratem, tzn. dd F (,, t) = d ψ(, t) d ϕ(, t) = π π. (36) Komentarz. Tę własność można udowodnić, ostęując analogicznie jak w dowodzie własności (5) dla funkcji Wignera. W rezultacie uzyskuje się iloczyn całek z kwadratów modułów funkcji falowych. Ponieważ funkcje falowe są unormowane zgodnie ze wzorem (6), więc wartość każdej z owyższych całek jest równa jedności. 7

18 3 Uogólniona transformata Weyla oeratora gęstości W tym rozdziale zostaną rzedstawione i omówione dwie różne modyfikacje transformaty Weyla. Każda z nich jest sowodowana odowiednio dobraną arametryzacją oryginalnej transformaty Weyla. 3. Transformata Weyla 3.. Macierz gęstości ozważane dotychczas stany były oisane funkcją falową, zawierającą ełną informację o układzie. Takie stany noszą nazwę stanów czystych. W celu uwzględnienia stanów, o których brakuje ełnej informacji, wrowadza się koncecję stanów mieszanych. Przykładem układu znajdującego się w stanie mieszanym, jest układ, który znajduje się w jednym z dwóch stanów: stanie ψ z rawdoodobieństwem lub w stanie ψ z rawdoodobieństwem, rzy czym między rawdoodobieństwami zachodzi warunek + =. Odowiednik klasyczny takiego stanu mieszanego może być oisany za omocą klasycznej funkcji rozkładu będącej średnią ważoną funkcji rozkładu dla stanów i z wagami odowiednio i. Dla wygodnego oisu stanów mieszanych wrowadza się oerator gęstości [, 6]. Definicja 3.. Oeratorem gęstości nazywamy oerator ˆρ taki, że ˆρ = i i ψ i (t) ψ i (t), (37) rzy czym i i =. Wartość oczekiwana oeratora  dana jest wzorem  ) = Tr (ˆρ. (38) Macierz gęstości to oerator gęstości zaisany w odowiedniej rerezentacji. W rerezentacji ołożeniowej macierz gęstości ma ostać ρ(,, t), t ˆρ, t = i ρ i ψ i (t) ψ i (t) i ρ i ψ i (, t)ψ (, t). (39) Elementy diagonalne macierzy gęstości w rerezentacji ołożeniowej ρ(,, t) = i ρ i ψ i (, t)ψ i (, t) = i ρ i ψ i (, t) (4) dostarczają informacji o rozkładzie gęstości rawdoodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w ołożeniu w oszczególnych stanach. Są to informacje klasyczne [7]. Analogicznie można zaisać macierz gęstości w rerezentacji ędowej. elacja omiędzy wsomnianymi rerezentacjami jest dana rzez odwójną transformatę Fouriera, co można łatwo srawdzić korzystając ze wzorów (5) i (4) oraz z zuełności baz ołożeniowej oraz ędowej. [ ] i ρ(,, t) = d d ρ(,, t) e ( ), (4) ρ(,, t) = (π ) [ d d ρ(,, t) e i ] ( ). (4) 8

19 Za omocą wzorów (4) i (4) można obliczyć elementy diagonalne macierzy gęstości [ ] i ρ(,, t) = d d ρ(,, t) e ( ), (43) ρ(,, t) = (π ) d d ρ(,, t) e [ i ] ( ). (44) Całkowanie zbiera informacje z elementów ozadiagonalnych macierzy gęstości w rerezentacji ędowej i wtłacza je do elementów diagonalnych macierzy gęstości w rerezentacji ołożeniowej i vice versa. Oznacza to, że elementy ozadiagonalne macierzy gęstości tychże rerezentacji zawierają informacje o korelacjach. 3.. Transformata Weyla macierzy gęstości Definicja 3.. Transformatą Weyla nazywamy odwzorowanie w ostaci [8] A(, ) = dx X π  + X e [ ih ] X, (45) które każdemu liniowemu oeratorowi hermitowskiemu  rzyisuje funkcję A(, ). Jeżeli A(, ) oraz B(, ) są transformatami Weyla oeratorów  i ˆB, to zachodzi równość [8] Tr[ ˆB] = dd A(, )B(, ). (46) Z owyższej równości wynika, że ) (ˆρ  = Tr = dd A(, ) ρ(, ), (47) gdzie ρ(, ) jest transformatą Weyla oeratora gęstości. Funkcję Wignera można zdefiniować jako transformatę Weyla macierzy gęstości [8]. Wobec tego można obliczać wartość oczekiwaną oeratora  w sosób zbliżony do mechaniki statystycznej zastęując klasyczną funkcję rozkładu, funkcją Wignera  = dd A(, )f(, ). (48) Z uwagi na to, że w większości rozatrywanych tutaj rzyadków będzie wrowadzana uogólniona transformata Weyla dla oeratora gęstości, to rzedmiotem analizy będzie odowiednik funkcji Wignera oraz jego wybrane własności. W dalszej części racy rozatrywane będą wyłącznie stany czyste, ˆρ = ψ(t) ψ(t). (49) 9

20 3. γ funkcja Wignera i jej wybrane własności W racy [8] wrowadzono transformatę Weyla zależną od rzeczywistego arametru γ. Definicja 3.3. Uogólnioną transformatę Weyla z arametrem γ definiuje się w nastęujący sosób f γ (,, t) = π ( dx ψ )ψ ( ( γ)x, t + ) [ ( + γ)x, t e ix ]. (5) Dla γ = transformata (5) rzechodzi w zwykłą funkcję Wignera (9). Poniżej zostanie okazanych kilka odstawowych własności transformaty (5) wybranych rzez analogie do wcześniej wykazanych własności funkcji Wignera.. Uogólniona transformata Weyla f γ (,, t) jest w ogólności zesolona. Komentarz. {f γ (,, t)} = dx ψ ( )ψ ( π ( γ)x, t + ) ( + γ)x, t = dx ψ ( + )ψ ( π ( γ)x, t ) ( + γ)x, t Transformata jest rzeczywista jeśli zachodzi równość e ix e ix. {f γ (,, t)} = f γ (,, t). (5) Ponieważ w ogólności, dla γ, równość (5) nie zachodzi, to transformata (5) nie jest rzeczywista.. Funkcja f γ (,, t) jest unormowana. Komentarz. Własność wynika z warunku unormowania funkcji falowej, a jej dowód rzebiega analogicznie jak dla własności () funkcji Wignera, dlatego zostanie tutaj ominięty. 3. Amlituda funkcji f γ (,, t) jest ograniczona dla γ ±. Komentarz. Własność można udowodnić ostęując analogicznie jak dla własności (3) funkcji Wignera. Skorzystanie z nierówności Cauchy ego-schwarza oraz odowiedniej zmiany zmiennych rowadzi do nierówności f(,, t) dη ψ (η, t) (π ) ( γ)( + γ) dξ ψ(ξ, t) f(,, t) (π ) γ Wartość ograniczenia zależy elicite od kwadratu arametru gamma. 4. ozkłady brzegowe transformaty (5) odowiadają odowiednim rozkładom gęstości rawdoodobieństwa zgodnie ze wzorami d f γ (,, t) = ψ(, t), (53) (5) d f γ (,, t) = π ψ(, t). (54)

21 Komentarz. Dowód rzebiega analogicznie jak dla (4) własności funkcji Wignera. Oznacza to, że wrowadzając arametr γ nie zostają zmienione rozkłady brzegowe w stosunku do funkcji Wignera. A zatem zachowane są rozkłady rawdoodobieństwa w rzestrzeniach: ołożeniowej i ędowej. 5. Iloczyn uogólnionych transformat Weyla z arametrem γ (5) dla różnych stanów. Jeżeli rzez f ψ γ (,, t) oznaczymy transformatę odowiadającą funkcji falowej ψ(, t) oraz f ϕ γ (,, t) transformatę odowiadającą funkcji falowej ϕ(, t), to zachodzi oniższa równość dd f ψ γ (,, t)f ϕ γ (,, t) = π d ψ (, t)ϕ(, t). (55) Komentarz. Oznacza to, iż uogólnienie zachowuje własność (5) funkcji Wignera. Zatem lewa strona równości (55) jest zawsze nieujemna oraz osiąga zero dla stanów ortogonalnych. dd f ψ (,, t)f ϕ (,, t) (56) Dowód. Korzystając z definicji (5) można zaisać lewą stronę równości (55) w nastęujący sosób L = dd fγ ψ (,, t)fγ ϕ (,, t) [ ( = dd du ψ ) π ( γ)u, t ψ ( + ) ] ( + γ)u, t e i u [ ( dv ϕ ) π ( γ)v, t ϕ ( + ) ] ( + γ)v, t e i v. Nastęnie zmieniając kolejność całkowania ( L = d du ψ ) (π ) ( γ)u, t ψ ( + ) ( + γ)u, t ( dv ϕ ) ( γ)v, t ϕ ( + ) ( + γ)v, t d e i v i u }{{} = ddu ψ ( ) π ( γ)u, t ϕ ( + ( + γ)u, t ) ϕ ( ( γ)u, t ). Nastęnie dokonując zmiany zmiennych zgodnie ze wzorami π δ(u+v) ψ ( + ) ( + γ)u, t η = ( γ)u, ξ = + ( + γ)u, z których wynika, że = η + ξ γ(ξ η), u = ξ η.

22 Jakobian tegoż rzekształcenia ma ostać J = γ + γ =, wobec czego L = dηdξ ψ (η, t) ψ (ξ, t) ϕ (ξ, t) ϕ (η, t). π Odowiednie uorządkowanie całek rowadzi do wyrażenia L = dη ψ (η, t) ϕ (η, t) ψ (ξ, t) ϕ (ξ, t) π = [ dη ψ (η, t) ϕ (η, t) dξ ψ (ξ, t) ϕ (ξ, t) π = π dη ψ (η, t) ϕ (η, t) = P. ] 3.3 σ funkcja Wignera i jej wybrane własności Definicja 3.4. Uogólnioną transformatę Weyla z arametrem σ nazywamy transformatę zgodną ze wzorem f σ (,, t) = π ( dx ψ σ )ψ ( X, t + σ ) [ X, t e i ] X. (57) Przyjęto, że arametr σ jest rzeczywisty i nieujemny. Dla σ = transformata (57) rzechodzi w funkcję Wignera. Motywacją do wrowadzenia takiej arametryzacji jest chęć wyeliminowania korelacji. Jak okazano wcześniej, elementy ozadiagonalne macierzy gęstości odowiadają za korelacje. Przechodząc z arametrem σ do zera elementy ozadiagonalne od całką (57) są eliminowane. W efekcie ołożenie i ęd owinny stać się zmiennymi niezależnymi. Przejście graniczne σ rowadzi do równości lim f σ(,, t) = lim dx ψ ( σ σ σ X)ψ( + σ i X)e X Zatem zachodzi równość = π π dx lim ψ ( σ σ X, t)ψ( + σ X, i t)e X dx e i X = ψ(, t) δ(). = ψ (, t)ψ(, t) π lim f σ(,, t) = ψ(, t) δ(). (58) σ Otrzymany rozkład (58) składa się z rozkładu zmiennej ołożeniowej rzemnożonego rzez deltę Diraca. Oznacza to, że zmienne, tj. ołożenie i ęd są niezależne. Niezależnie od funkcji falowej, rozkład ten jest zawsze dodatni.

23 Prosta zmiana zmiennych w wyrażeniu (57) daje f σ (,, t) = ( dx ψ σ )ψ ( π X, t + σ ) [ ] X, t e ix. (59) We wzorze (59) stała znajduje się wyłącznie obok arametru σ. Zatem rzejście graniczne σ odowiada rzejściu granicznemu. Poniżej rzedstawiono własności transformaty (57) analogiczne do badanych dla funkcji Wignera.. Transformata f σ (,, t) jest rzeczywista. Dowód. Poniżej rzedstawione ostęowanie jest analogiczne do dowodu własności () funkcji Wignera. { ( {f σ ((,, t)} = dx ψ σ )ψ ( π X, t + σ } )e X, t i X = dx ψ ( σ )ψ ( π X, t + σ ) X, t e i X = ( dη ψ σ )ψ ( π η, t + σ ) η, t e i η = f σ (,, t). Zatem sełniony jest warunek {f σ ((,, t)} = f σ (,, t). (6). Transformata f σ (,, t) jest unormowana. Komentarz. Własność wynika z warunku unormowania funkcji falowej, a jej dowód rzebiega analogicznie jak dla własności () funkcji Wignera, dlatego zostanie tutaj ominięty. 3. Transformata f σ (,, t) jest ograniczona dla σ. Komentarz. Własność można udowodnić ostęując analogicznie jak dla własności (3) funkcji Wignera. Skorzystanie z nierówności Cauchy ego-schwarza oraz odowiedniej zmiany zmiennych rowadzi do nierówności f(,, t) π σ. (6) Wartość ograniczenia zależy elicite od arametru σ. Dla σ funkcja rzestaje być ograniczona co ozostaje konsystentne ze wzorem (58), według którego funkcja rzechodzi w deltę Diraca mnożoną rzez rozkład rawdoodobieństwa. 3

24 4. ozkłady brzegowe transformaty (57) odowiadają odowiednim rozkładom gęstości rawdoodobieństwa zgodnie ze wzorami d f σ (,, t) = ψ(, t), (6) d f σ (,, t) = ( ) ψ π σ σ, t. (63) Komentarz. Warto zauważyć, że rozkład brzegowy dla zmiennej ędowej jest rzeskalowany względem argumentu oraz wartości rzez czynnik /σ. Dowód własności rzebiega analogicznie do własności (4) funkcji Wignera. Zamiast dowodu rzedstawiono oniżej uzasadnienie. Dokonanie zmiany zmiennych w całce (57) tak, aby rzeskalować zmienną ędową o czynnik /σ daje równość f σ (,, t) = ( dx ψ σ )ψ ( π X, t + σ ) [ X, t e i ] X ( = dx ψ )ψ ( π σ X, t + ) [ X, t e i ] σ X = f(, /σ, t) σ f σ (,, t) = f(, /σ, t) (64) σ Związek ten omiędzy uogólnioną transformatą (57), a zwykłą funkcją Wignera (64) tłumaczy, w ewnym sensie, skalowanie rozkładu brzegowego. 5. Iloczyn uogólnionych transformat Weyla z arametrem σ (57) dla różnych stanów. Jeśli rzez f ψ σ (,, t) oznaczymy transformatę odowiadającą funkcji falowej ψ(, t) oraz f ϕ σ (,, t) transformatę odowiadającą funkcji falowej ϕ(, t), to zachodzi oniższa równość dd f ψ σ (,, t)f ϕ σ (,, t) = π σ d ψ (, t)ϕ(, t). (65) Dowód. Korzystając z definicji (57) można zaisać lewą stronę równania (65) nastęująco L = = dd fσ ψ (,, t)fσ ϕ (,, t) [ dd π [ ( dv ϕ σ ) π v, t ϕ du ψ ( σ u, t ) ψ ( + σ u, t ) e i u ] ( + σ v, t ) e i v ]. Zmieniając kolejność całkowania ( L = d du ψ σ ) (π ) u, t ψ ( + σ ) u, t ( dv ϕ σ ) ( v, t ϕ + σ ) v, t d e i v i u }{{} = ddu ψ ( σ ) π u, t ψ 4 π δ(u+v) ( + σ u, t ) ϕ ( + σ u, t ) ϕ ( σ u, t ).

25 Nastęnie dokonując zmiany zmiennych wobec czego η = σ u, ξ = + σ u, = η + ξ, u = (ξ η). σ Jakobian tegoż rzekształcenia ma ostać J = σ σ = σ. L = dηdξ ψ (η, t) ψ (ξ, t) ϕ (ξ, t) ϕ (η, t). π σ Odowiednie uorządkowanie całek rowadzi do wyrażenia L = dη ψ (η, t) ϕ (η, t) ψ (ξ, t) ϕ (ξ, t) π σ [ = dη ψ (η, t) ϕ (η, t) dξ ψ (ξ, t) ϕ (ξ, t) π σ = π σ dη ψ (η, t) ϕ (η, t) = P. ówność (65) oznacza, iż lewa jej strona jest zawsze nieujemna, tj. dd f ψ σ (,, t)f ϕ σ (,, t). (66) ] 5

26 4 Zastosowania, wyniki i dyskusja 4. Parametryzowane funkcje Wignera dla oscylatora harmonicznego Jednym ze sztandarowych rzykładów ojawiających się w wielu racach dotyczących sformułowania mechaniki kwantowej w rzestrzeni fazowej jest kwantowy oscylator harmoniczny [8, 9,, ]. Unormowana funkcja falowa odowiadająca n-temu stanowi własnemu oscylatora harmonicznego ma ostać [] ( ) ψ n () = n n! ( ) e H n, (67) π gdzie = /(mω) jest długością oscylatorową, H n (/ ) jest n-tym wielomianem Hermite a. W dalszej części zostaną rzedstawione funkcje Wignera oraz wrowadzone w orzednich odrozdziałach uogólnienia funkcji Wignera dla oscylatora harmonicznego. Funkcja Wignera dla oscylatora harmonicznego Funkcja Wignera odowiadająca n-temu stanowi wzbudzonemu oscylatora harmonicznego ma ostać f n (,, t) = ( )n ( ) π e e ( ( ) ] ( ) ) L n [ +, (68) gdzie L α n() to stowarzyszony wielomian Laguerra, rzy czym dla α = zachodzi utożsamienie: L n() L n (), gdzie L n () to wielomian Laguerra. Bi-funkcja Wignera dla oscylatora harmonicznego Bi funkcja Wignera dla stanów n oraz m jest wyrażona wzorem [ F nm (,, t) = ( )n ( ) n! π m! n m e e ( ( ) ] ( ) L m n ) n +. (69) Postać tej funkcji (69) jest bardzo zbliżona do ostaci zwykłej funkcji Wignera (68). óżnica olega na zmianie wielomianu Laguerra na odowiedni stowarzyszony wielomian Laguerra oraz innej stałej normalizacji. γ funkcja Wignera dla oscylatora harmonicznego Postać uogólnionej transformaty Weyla z arametrem γ dla dwóch ierwszych stanów oscylatora harmonicznego, o wrowadzeniu oznaczeń z = (i/ ) + γ/ oraz β = + γ ma ostać f n γ (,, t) = π β ( ) n n! π e e ( z β ) Iγ n (,, t), (7) 6

27 gdzie całka I n γ (,, t) jest wyrażona wzorem ( Iγ n (,, t) = dη e η H n + z β ( γ) ) ( γ)η β ( H n z β ( + γ) + ) ( + γ)η. (7) β Dla stanów n =, funkcja f γ ma ostać fγ n= (,, t) = ( ) π β e e ( z β ), (7) [ fγ n= (,, t) = ( ) ( π β e e ( ) z β ) γ z β ( γ z + ) ]. (73) β β σ funkcja Wignera dla oscylatora harmonicznego Dla n tego stanu oscylatora harmonicznego σ funkcja Wignera ma ostać fσ n (,, t) = ( )n ( ) πσ e e ( ( ) ] σ ( ) ) L n [ + σ. (74) Powyższy wzór można łatwo otrzymać ze zwykłej funkcji Wignera za omocą równości (64). 4. Miary nieklasyczności stanów W tym odrozdziale zostanie wyznaczony arametr nieklasyczności dla wybranych stanów kwantowych oscylatora harmonicznego oisanych funkcją Wignera oraz wrowadzonych jej uogólnień. Dla zbadania rzeczywistych nieklasycznych funkcji rozkładu f(,, t) użyto arametru nieklasyczności: δ = dd { f(,, t) f(,, t)} (75) zaroonowanego rzez A. Kenfacka i K. Życzkowskiego []. Idea wrowadzenia tego arametru oiera się na sostrzeżeniu, iż wskaźnikiem nieklasyczności są obszary w których funkcja Wignera rzyjmuje wartości ujemne. Takie obszary nie wystęują w klasycznych funkcjach rozkładu, gdyż oznaczałyby istnienie ujemnych gęstości rawdoodobieństwa. W związku z tym są one interretowane jako rzejawy nieklasyczności w oisie za omocą nieklasycznych funkcji rozkładu. Z rzyjętej definicji wynika, że arametr nieklasyczności jest zawsze nieujemny. Gdy funkcja rozkładu jest klasyczna, to jest dodatnio określona i arametr nieklasyczności jest równy zero. Wraz ze wzrostem obszarów ujemnych funkcji rozkładu, rośnie arametr nieklasyczności. Dla zilustrowania owyższego stwierdzenia można owołać się na twierdzenie Hudsona [], z którego wynika, że jedynie funkcje Wignera odowiadające stanom gaussowskim są dodatnio określone. 7

28 Parametr nieklasyczności wrowadzony rzez Kenfacka i Życzkowskiego można uogólnić na rzyadek funkcji zesolonych w nastęujący sosób δ = δ + iδ I, (76) gdzie część rzeczywista δ oraz część urojona δ I są określone w nastęujący sosób: δ = dd { f (,, t) f (,, t) }, (77) δ I = dd { f I (,, t) f I (,, t) }, (78) rzy czym f (,, t) oraz f I (,, t) są odowiednio częścią rzeczywistą i urojoną nieklasycznej funkcji rozkładu f(,, t). Parametr nieklasyczności δ dla Bi funkcji Wignera W związku z własnością () dla Bi funkcji Wignera można wnioskować, że dla stanów ortonormalnych jakimi są ierwsze dwa stany własne oscylatora harmonicznego, odowiadające im normalizacje Bi funkcji Wignera wynoszą dd F = dd F =. (79) Na tej odstawie należy wnioskować, że arametr nieklasyczności δ zdefiniowany jako (76) nie jest miarodajny. Istotnie, gdy F nm (,, t) nie jest normowalna, to arametr δ wyznaczamy z dokładnością do nieznanej stałej multilikatywnej. Parametr nieklasyczności δ dla σ funkcji Wignera Z wrowadzonej definicji arametru nieklasyczności oraz własności () dla σ funkcji Wignera (or.wzór (64)) wynika, że δ + = dd f σ (,, t) = dd f(, /σ, t) σ. Zmiana zmiennych /σ = w owyższym wyrażeniu rowadzi do δ + = dd f(,, t), skąd wynika, że arametr nieklasyczności δ nie zależy od arametru σ, jak to zostało rzedstawione na rys.. Z własności (4) dla σ funkcji Wignera wynika, że wraz z malejącym arametrem σ rozkład brzegowy dla zmiennej ędowej zostaje ściskany. Efektywnie wraz ze zmniejszaniem arametru σ funkcja rozkładu zostaje ściśnięta wzdłuż osi ędów tak, że w granicy otrzymujemy rozkład brzegowy dla zmiennej ołożeniowej rzemnożony rzez deltę Diraca. Na rys. i 3 rzedstawiono ściskanie funkcji Wignera dla oscylatora harmoniczego rzy malejącym σ. 8

29 arametry nieklasyczności δ.5 n= n= arametr σ ysunek : Zależność arametru nieklasyczności od arametru σ dla funkcji fσ odowiadającej oscylatorowi harmonicznemu w stanach własnych n =, σ= σ=.6 σ= γ= γ= - γ= γ=.6 γ=.6 γ= γ= - γ=.33 - σ= ysunek : Funkcja Wignera dla oscylatora harmonicznego w stanie własnym n = oraz jej arametryzacje dla różnych wartości σ oraz γ. Od góry kolejno: funkcja Wignera, σ funkcja Wignera, część rzeczywista i część urojona γ funkcji Wignera. 9

30 σ= σ=.6 σ= γ= γ= γ= γ=.6 - γ=.6 γ= γ= - γ=.33 - σ= ysunek 3: Funkcja Wignera dla oscylatora harmonicznego w stanie własnym n = oraz jej arametryzacje dla różnych wartości σ oraz γ. Od góry kolejno: funkcja Wignera, σ funkcja Wignera, część rzeczywista i część urojona γ funkcji Wignera. Parametr nieklasyczności δ dla γ funkcji Wignera Na rysunkach 4, 5, 6 oraz 7 rzedstawiono zależności arametru nieklasyczności δ od arametru γ uzyskane na drodze obliczeń numerycznych. ysunki 4 oraz 5 rzedstawiają ową zależność na łaszczyźnie zesolonej. Z kolei na rysunkach 6 i 7 rzedstawiono biegunowy diagram Arganda dla zesolonego arametru nieklasyczności. Ponadto na rysunkach i 3 rzedstawiono zmiany kształtu funkcji Wignera dla wybranych stanów własnych oscylatora harmonicznego oscylatora harmonicznego indukowane zmieniającą się wartością arametru γ. Na odstawie tych wyników można wnioskować, że arametr nieklasyczności δ nie zależy od znaku γ, ale tylko od γ. Na wykresach, dla zachowania rzejrzystości, ograniczono się jedynie do dodatnich wartości arametru γ. 3

31 ..5.8 δ I δ ysunek 4: Zesolony arametr nieklasyczności δ dla funkcji f γ odowiadającej oscylatorowi harmonicznemu w stanie własnym n =, dla γ [; ]. Wartości arametru γ rerezentuje kolor według skali z rawej strony rysunku..8.6 δ I δ.5.5 ysunek 5: Zesolony arametr nieklasyczności δ dla funkcji f γ odowiadającej oscylatorowi harmonicznemu w stanie własnym n =, dla γ [; ]. Wartości arametru γ rerezentuje kolor według skali z rawej strony rysunku. 3

32 Arg(δ) δ ysunek 6: Zesolony arametr nieklasyczności δ dla funkcji f γ odowiadającej oscylatorowi harmonicznemu w stanie własnym n =, dla γ [; ]. Wartości arametru γ rerezentuje kolor według skali z rawej strony rysunku Arg(δ) δ ysunek 7: Zesolony arametr nieklasyczności δ dla funkcji f γ odowiadającej oscylatorowi harmonicznemu w stanie własnym n =, dla γ [; ]. Wartości arametru γ rerezentuje kolor według skali z rawej strony rysunku. 3

33 4.3 Dyskusja wyników σ funkcja Wignera W rzyadku tej nieklasycznej funkcji rozkładu otrzymano niezależność arametru nieklasyczności δ od arametru σ w rawie całym obszarze jego zmienności. Zmniejszanie wartości σ nie zmniejsza obszarów ujemnych funkcji Wignera. Z wyników rzedstawionych na rys. oraz 3 wynika, że σ funkcja Wignera dla σ rzechodzi w deltę Diraca względem zmiennej ędowej. Należy w tym miejscu odkreślić, iż motywacją wrowadzenia arametru σ było rzyuszczenie, że w rzejściu granicznym σ zostaną usunięte korelacje ołożeniowo-ędowe. Wynika to stąd, że zmniejszenie wartość arametru σ rowadzi do usunięcia elementów ozadiagonalnych macierzy gęstości, które to elementy odowiadają za korelacje. Należy zauważyć, że arametr σ, wystęuje zawsze razem ze stałą Plancka (or. (59)). Oznacza to, iż można interretować zmniejszanie arametru σ jako rzechodzenie ze stałą Plancka do zera, a tym samym uzyskać rzejście do klasycznej funkcji rozkładu. W związku z tym co zostało naisane wcześniej, sodziewano się, że wraz ze zmniejszaniem się arametru σ, arametr nieklasyczności będzie zmierzał monotonicznie do zera. Tymczasem uzyskany wynik wskazuje na to, że usuwanie korelacji tkwiących w elementach ozadiagonalnych macierzy gęstości za omocą arametru σ rowadzi do skokowej zmiany rozatrywanego arametru nieklasyczności δ. γ funkcja Wignera Dla tego rzyadku, wyniki rzedstawiające zależność arametru nieklasyczności od arametru γ zestawiono na rysunkach 4, 5, 6 oraz 7. Na rysunkach 6 oraz 7 można zauważyć, że dla γ = krzywa rerezentująca arametr nieklasyczności zmienia charakter. Należy amiętać, że γ = ± odowiadają nieklasycznym funkcjom rozkładu związanym z innym orządkiem oeratorów niż funkcja Wignera [8]. Warto zaznaczyć, że wraz ze wzrostem γ moduł arametru nieklasyczności δ jest silnie rosnący, a minimum osiąga dla γ = czyli dla funkcji Wignera. 33

34 5 Podsumowanie W niniejszej racy rzedstawiono i omówiono uogólnienie ojęcia funkcji Wignera orzez odowiednią arametryzację transformaty Weyla. W rezultacie wrowadzono na bazie rozważanej nieklasycznej funkcji rozkładu dwie inne arametryzowane nieklasyczne funkcje rozkładu, mianowicie γ funkcję Wignera oraz σ funkcję Wignera. W obu rzyadkach rzedyskutowano ich wybrane własności. W szczególności zauważono, że γ funkcja Wignera rzechodzi w funkcję Wignera dla arametru γ =. Natomiast analogiczne rzejście graniczne (tj. σ ) w rzyadku σ funkcji Wignera rowadzi do jej faktoryzacji, tzn. uogólniona funkcja może zostać zaisana w ostaci iloczynu funkcji zależnej tylko od zmiennych ołożeniowych oraz delty Diraca zależnej od zmiennych ędowych. Taka searacja zmiennych ęd ołożenie sugeruje niezależność zmiennych ędowych od zmiennych ołożeniowych, co można interretować jako zanik korelacji ędowo-ołożeniowych. Ponadto rzebadano arametr nieklasyczności dla obu wrowadzonych nieklasycznych funkcji rozkładu na rzykładzie dwóch najniższych stanów własnych oscylatora harmonicznego oraz rzeanalizowano zachowanie tego arametru jako funkcji zmiennych γ oraz σ dla odowiednich rzyadków. Powyższa analiza została orzedzona wyrowadzeniem jawnych wyrażeń dla odowiednich uogólnionych funkcji Wignera. W racy rzedstawiono także wyniki dotyczące Bi funkcji Wignera, a w szczególności rzedyskutowano jej odstawowe własności z których wynika, że w ogólnym rzyadku jest ona funkcją zesoloną zmiennych rzeczywistych. Dla stanów ortogonalnych, które były rozatrywane w tej racy (stany własne oscylatora harmonicznego) taka funkcja jest tożsamościowo równa zeru, co wynika wrost z rzyjętej definicji. Wyniki rzerowadzonych badań dotyczących wybranych nieklasycznych funkcji rozkładu zebrano w tabeli. Tabela : Wybrane własności nieklasycznych funkcji rozkładu: funkcji Wignera, Bi funkcji Wignera, γ funkcji Wignera oraz σ funkcji Wignera. f(,, t) F nm (,, t) f γ (,, t) f σ (,, t) rzeciwdziedzina C C unormowanie ddf(,, t) δnm ograniczenie f(,, t) π π π γ π σ rozkłady df(,, t) ψ() ψn()ψ m () ψ() ψ() brzegowe df(,, t) ϕ() ϕ n()ϕ m () ϕ() (π σ) ϕ(/σ) Dla Bi funkcji Wignera rzyjęto ortonormalność stanów ψ n i ψ m. 34

35 6 Dodatek matematyczny 6. Wyrowadzenie funkcji Wignera dla oscylatora harmonicznego Podstawienie jawnej ostaci funkcji falowej dla oscylatora harmonicznego (67) do definicji funkcji Wignera (9) rowadzi do nastęującego wyrażenia f(,, t) = dx ψn ( ) π X ψ n ( + ) X e i X = π = π n n! π ( dx e ( X) H n X n n! π ( ) e dx e ( X ) i X H n ( X ) ( e (+ X) H n + X ) e i X ) ( H n + X ). Wykładnik eksonenty można zaisać nastęująco ( ) X i ( X X = + i ) ( ) i +. (8) Skorzystanie z owyższej równości oraz odstawienie daje w efekcie równość η = X + i, dη = dx, f(,, t) = ( ) π n n! π e e ( ) ( dη e η H n + i ) ( η H n i ) + η. Skorzystanie z własności oraz z równości H n ( ) = ( ) n H n () (8) dη e η H m (η + µ)h n (η + ε) = m πm!l n m m ( µε), (8) gdzie L n m m () to stowarzyszony wielomian Laguerra [3], daje w efekcie f(,, t) = ( )n ( ) π e e ( ( ) L n [ i ) ( + i )] = ( )n ( ) π e e ( ( ) ] ( ) ) L n [ +. 35

36 6. Wyrowadzenie Bi funkcji Wignera dla oscylatora harmonicznego Podstawienie jawnych ostaci funkcji falowych odowiadających n temu oraz m temu stanowi własnemu oscylatora harmonicznego (67) do definicji Bi funkcji Wignera (9) rowadzi do nastęującego wyrażenia F nm (,, t) = = π π dx ψ n n+m n!m!π ( X ) ψ m ( + X ) e i X ( e (+ X) H m + X = π n+m n!m!π e ( dx e ( X) H n X ( ) ) e i X dx e ( X ) i X H n ( X ) ( H m + X ). ) Wykładnik eksonenty można zaisać nastęująco ( ) X i ( X X = + i ) ( ) i +. (83) Skorzystanie z owyższej równości oraz odstawienia daje w efekcie równość η = X + i, dη = dx, F nm (,, t) = ( ) e e ( ) π n+m n!m!π ( dη e η H n + i ) η ( H m i ) + η. Nastęnie skorzystanie z równości (8) oraz (8) rowadzi do równości F nm (,, t) = ( )n ( ) n! π m! n m e e ( [ ( ) L m n n i ) ( + i )] [ = ( )n ( ) n! π m! n m e e ( ( ) ] ( ) L m n ) n +. 36

37 6.3 Wyrowadzenie γ funkcji Wignera dla oscylatora harmonicznego Podstawiając funkcję falową dla oscylatora harmonicznego (67) do definicji γ funkcji Wignera (5) otrzymuje się f γ (,, t) = dx ψn ( ) π ( γ)x ψ n ( + ) ( + γ)x e i X = = π n n! π e (+ (+γ)x) H n ( + X π n n! π ( dx e ( ( γ)x) H n X ( γ) ) ( ) e ) H n ( X ( γ) ( + γ) dx e e i X ( ) X (+γ ) ( i +γ )X H n ( + X ( + γ) ) ) Zastosowanie odstawienia z = i + γ/ oraz β = + γ umożliwia rzekształcenie wykładnika eksonenty w nastęujący sosób ( βx ) ( βx zx = + z ) + β Skorzystanie z owyższej równości oraz odstawienia rowadzi do równości η = βx + z β, dη = β dx, ( ) z. (84) ( ) f γ (,, t) = π β n n! π e e ( z β ) ( dη e η H n + z β ( γ) ) ( γ)η β ( H n z β ( + γ) + ) ( + γ)η. β β Dla stanów n =, funkcja f γ ma ostać fγ n= (,, t) = ( ) π β e e ( z β ) (85) [ fγ n= (,, t) = ( ) ( π β e e ( ) z β ) γ z β ( γ z + ) ]. (86) β β 37

38 6.4 Wyrowadzenie σ funkcji Wignera dla oscylatora harmonicznego Podstawienie jawnej ostaci funkcji falowej dla oscylatora harmonicznego (67) do definicji σ funkcji Wignera (57) rowadzi do nastęującego wyrażenia f σ (,, t) = dx ψn ( σ ) π X ψ n ( + σ ) X e i X = π n n! π ( dx e ( σ X) H n σx = ( ) π n n! e π ( ) dx e σx ( i X H n σx ) e ( (+ σ X) H n + σx ) ( H n + σx ). ) e i X Wykładnik eksonenty można zaisać nastęująco ( ) σx i ( σx X = + i ) ( ) i σ + σ. (87) Skorzystanie z owyższej równości oraz odstawienia rowadzi do równości η = σx + i, dη = σ dx, f σ (,, t) = σπ ( ) n n! π e e ( σ ) dη e η H n ( + i σ η ) ( H n i ) σ + η. Nastęnie skorzystanie z własności (8) oraz (8) rowadzi do równości f(,, t) = ( )n ( ) πσ e e ( ( σ ) L n [ i ) ( σ + i )] σ = ( )n ( ) πσ e e ( ( ) ] σ ( ) ) L n [ + σ. 38

39 Literatura [] E. Wigner. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium. Phys. ev., 4:749, 93. [] I. Białynicki-Birula, M. Cielak, and J. Kamiński. Teoria kwantów: mechanika falowa. Wyd. Naukowe PWN,. [3].P. Feynman and A.. Hibbs. Quantum Mechanics and Path Integrals. International series in ure and alied hysics. McGraw-Hill, 965. [4] Białkowsi. Mechanika klasyczna. Wyd. Naukowe PWN, 975. [5] C. Jacoboni and P. Bordone. The Wigner-function aroach to non-equilibrium electron transort. e. Prog. Phys., 67:33, 4. [6] D. Querlioz, J. Saint-Martin, A. Bournel, and P. Dollfus. Wigner Monte Carlo simulation of honon-induced electron decoherence in semiconductor nanodevices. Phys. ev. B, 78:6536, 8. [7]. osati, F. Dolcini,. C. Iotti, and F. ossi. Wigner-function formalism alied to semiconductor quantum devices: Failure of the conventional boundary condition scheme. Phys. ev. B, 88:354, 3. [8] W. B. Case. Wigner functions and Weyl transforms for edestrians. Am. J. Phys., 76:937, 8. [9] K. Huang. Statistical mechanics. Wiley, 987. [] M. Hillery,. F. O Connell, M. O. Scully, and E. P. Wigner. Distribution functions in hysics: Fundamentals. Phys. e., 6:, 984. [] H.-W. Lee. Theory and alication of the quantum hase-sace distribution functions. Phys. e., 59:47, 995. [] C. Zachos, D. Fairlie, and T. Curtright. Quantum Mechanics in Phase Sace: An Overview with Selected Paers. World Scientific series in th century hysics. World Scientific, 5. [3] W. P. Schleich. Quantum Otics in Phase Sace. Wiley,. [4] F. W. Byron and. W. Fuller. Mathematics of Classical and Quantum Physics. Number t. -. Dover Publications, 99. [5] J. E. Moyal. Quantum mechanics as a statistical theory. Proc. Cambridge Philos. Soc., 45:99, 949. [6] J.D. Garcia, A. Galindo, L. Alvarez-Gaume, and P. Pascual. Quantum Mechanics I. Theoretical and Mathematical Physics. Sringer Berlin Heidelberg,. [7] L. I. Schiff. Quantum mechanics. [8] J.-S. Wang, H.-Y. Fan, and X.-G. Meng. A generalized Weyl-Wigner quantization scheme unifying P Q and Q P ordering and Weyl ordering of oerators. Chin. Phys. B, :644,. 39

40 [9] V. I. Tatarski. The Wigner reresentation of quantum mechanics. Sov. Phys. Us., 6:3, 983. [] S. Nouri. Wigner hase-sace distribution function for the hydrogen atom. Phys. ev. A, 57:56, 998. [] A. Kenfack and K. Życzkowski. Negativity of the Wigner function as an indicator of non-classicality. J. Ot. B, 6:396, 4. []. L. Hudson. When is the Wigner quasi-robability density non-negative? e. Math. Phys., 6:49, 974. [3] I. S. Gradshteyn and I. M. yzhik. Table of Integrals, Series, and Products. Elsevier Science, 4. 4