OPTYMALNE PROJEKTOWANIE TARCZ WZMACNIANYCH RÓWNOMIERNIE ROZŁOŻONYMI ŻEBRAMI

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN X 32 str Gliwice 26 OPTYMALNE PROJEKTOWANIE TARCZ WZMACNIANYCH RÓWNOMIERNIE ROZŁOŻONYMI ŻEBRAMI KRZYSZTOF DEMS JAN TURANT Katedra Inżynierskich Zastosowań Informatyki Wyższa Szkoła Informatyki w Łodzi Streszczenie. W pracy rozpatrywany jest problem optymalnej dystrybucji materiału wzmacniającego w konstrukcjach tarczowych. Założono że rozkład materiału wzmacniającego następuje wzdłuż linii o dowolnym kształcie które tworzą linie funkcjonalnie odpowiadające żebrom. W etapie analizy konstrukcji wykorzystano metodę elementów skończonych a w etapie syntezy wykorzystano hybrydowy algorytm ewolucyjny w którym zastosowano gradientowe metody uczenia się osobników populacji macierzystej. 1. WSTĘP Ze względu na potrzebę zapewnienie korzystnych własności wytrzymałościowych i relatywnie niskich kosztów materiałowych konstrukcje mechaniczne charakteryzują się często nierównomiernością rozłożenia materiału a w konsekwencji własności wytrzymałościowych ich elementów. Nierównomierność ta ma na celu efektywne wykorzystanie materiału konstrukcji pracującej w zadanych warunkach eksploatacyjnych. Intuicyjne projektowanie odpowiedniego rozłożenia materiału jest przedsięwzięciem trudnym i zależy w dużej mierze od doświadczenia i wyczucia projektanta. W efekcie powstała konstrukcja musi oczywiście spełniać wymagane kryteria funkcjonalne natomiast nie musi być rozwiązaniem najlepszym spełniającym dodatkowe kryteria np. ekonomiczne. W konsekwencji aby zbliżyć się do rozwiązań najlepszych z określonego punktu widzenia i równocześnie spełniających kryteria funkcjonalne konieczne jest wykorzystywanie technik optymalizacyjnych realizujących proces odpowiedniej dystrybucji materiału w obszarze konstrukcji. Spośród metod optymalizacyjnych na szczególną uwagę zasługują metody bezgradientowe oparte na mechanizmach ewolucyjnych które w połączeniu ze standardowymi metodami gradientowymi tworzą efektywne algorytmy hybrydowe poszukiwania rozwiązań najlepszych. W prezentowanej pracy rozpatrywany jest problem dystrybucji materiału wzmacniającego w konstrukcjach tarczowych. Problem optymalnego kształtowania dyskretnych linii wzmocnień był analizowany między innymi w [234]. W prezentowanej pracy założono że rozkład materiału wzmacniającego następuje wzdłuż linii o dowolnym kształcie które tworzą linie funkcjonalnie odpowiadające żebrom. Skokowa zmiana własności mechanicznych materiałów z którą mamy do czynienia wprowadzając materiał wzmacniający wzdłuż

2 16 K. DEMS J. TURANT określonych linii wywołuje skok sił wewnętrznych w tarczy przy równoczesnym zachowaniu ciągłości przemieszczeń. Istotą efektywnego kształtowania wprowadzonych linii wzmocnień jest przejęcie przez nie obciążeń przenoszonych przez konstrukcję przy równoczesnym ich równomiernym wytężeniu. Celem przeprowadzonego procesu optymalnego projektowania jest określenie kształtu linii wzmacniających żeber które powodować będą możliwie równomierne wytężenie konstrukcji tarczowej. W etapie analizy pracy konstrukcji wykorzystano metodę elementów skończonych. W trakcie dyskretyzacji obszaru konstrukcji wykorzystano dwa typy elementów skończonych. Obszary tarczy wykonane z materiału słabszego pokryto siatką serendipowskich ośmiowęzłowych elementów tarczowych a linie wzmocnień modelowano jednowymiarowymi dwuwęzłowymi elementami typu cubic-cubic Hermit C 1. W etapie syntezy bazującej na algorytmie optymalizacyjnym wykorzystano hybrydowy algorytm ewolucyjny w którym zastosowano gradientowe metody uczenia się osobników populacji macierzystej. Podejście zaprezentowane w pracy zilustrowano przykładami optymalizacji kształtu wzmocnień w tarczach obciążonych siłami w swojej płaszczyźnie środkowej. 2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Rozpatrzmy tarczę pokazaną na rys. 1 zajmującą obszar Ω ograniczoną brzegiem zewnętrznym S. Założymy że tarcza jest podparta na brzegu S u i obciążona na brzegu S T siłami T i w obszarze tarczy siłami masowymi f. W obszar tarczy wprowadzono wzmocnienia których linie środkowe Γ i mogą być poddane procesowi modyfikacji kształtu. Zachowanie się takiej tarczy opisane jest poprzez równania równowagi związki kinematyczne i równanie konstytutywne dane odpowiednio w postaci: σ ε σ ij ij ij j + f 1 = 2 = F i ( ui j + u j i ) i i ( ε ε σ ) ij = mn mn mn w Ω oraz dodatkowymi warunkami wzdłuż linii wzmocnień w których założono ciągłość przemieszczeń i skok sił wewnętrznych (rys.2). Warunki te wzdłuż dowolnej linii wzmocnienia można zapisać w postaci: (1) T Γ = T u Γ 2Γ T = 1Γ na Γ i (2) T T 2Γ S T T 1Γ Γ i Ω f Γ i x 2 Γ i u S u x 1 Rys.1. Tarcza wzmocniona wieloma żebrami <TΓ>= T 2Γ T1 Rys.2. Dekompozycja tarczy Γ

3 OPTYMALNE PROJEKTOWANIE TARCZ WZMACNIANYCH RÓWNOMIERNIE ROZŁOŻONYMI...17 Skok sił wewnętrznych <T Γ > wywołany wprowadzeniem żebra wzdłuż linii Γ i generuje w nim uogólnione naprężenia spełniające równania równowagi krzywoliniowego elementu łukowego (rys 3). N 2 M 2 t <T > ns n Q 2 <T > nn Q 1 M 1 N 1 Rys.3. Łuk żebra obciążony siłami wewnętrznymi tarczy Równania te oraz związki kinematyczne i równanie konstytutywne dla takiego elementu uzupełniają równania opisujące zachowanie się użebrowanej tarczy. Związki te (por. [1]) można zapisać w postaci: N s M s K + TΓns = NK M ε = us s Kun θ = un s + Kus M = L ( κ) N = ( ε) κ L ε ss K + T Γnn = na Γ gdzie (.) s i (.) n oznaczają odpowiednio pochodną cząstkową po naturalnym parametrze łukowym oraz w kierunku do niego prostopadłym a K oznacza krzywiznę łuku żebra. Dodając do układu równań (1-3) warunki na brzegu podpartym S u i obciążonym S T zapisane w postaci: T = T u = u na ST na S otrzymujemy komplet zależności opisujących badaną konstrukcję. u i (3) (4) 3. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU OPTYMALIZACYJNEGO Głównym celem prowadzonego procesu optymalizacyjnego jest optymalne z kreślonego punktu widzenia ukształtowanie linii żeber. Jako zmienne projektowania przyjęto współrzędne wierzchołków wieloboku Beziera przy pomocy którego opisano kształt linii żeber. W procesie optymalnego projektowania tarcz wzmocnionych wieloma żebrami rozpatrywano dwa różne problemy optymalizacyjne pozwalające na poszukiwanie konstrukcji najmniej wytężonej oraz konstrukcji najsztywniejszej. W pierwszym przypadku problem optymalizacyjny sformułowano w postaci: k k 1 σ red ż G t 1 σ min d + A Ω t l 1 = σ σ przy ograniczeniu V f 1 red ż ( b) = V = const 1 k k dγ (5)

4 18 K. DEMS J. TURANT gdzie A jest polem tarczy l długością żeber σ t red i σ ż red oznaczają odpowiednio naprężenia zredukowane w tarczy i żebrach a σ t i σ ż ich poziomy dopuszczalne k oznacza zaś parzystą liczbę naturalną. Zauważmy że gdy k funkcjonał G 1 staje się miarą maksymalnych lokalnych naprężeń zredukowanych. W problemie optymalizacyjnym (5) wprowadzono ograniczenie na całkowitą objętość materiału wzmacniającego. W przypadku projektowaniu sztywnościowego wykorzystano funkcjonał opisujący pracę sił zewnętrznych a problem optymalizacyjny zapisano w formie: min G2 = T uds przy ograniczeniu stawiając podobne ograniczenie jak w problemie (5). T V f ( b) = V = const (6) 4. STRATEGIA OPTYMALIZACYJNA W procesie rozwiązania problemów optymalizacyjnych (5) i (6) wykorzystano hybrydowy algorytm ewolucyjny z kodowaniem zmiennoprzecinkowym. Zaproponowany schemat algorytmu został przedstawiony na rysunkach 4 i 5. Populacja początkowa Ocena przystosowania Gradientowe uczenie wybranych osobników populacji (rys.5) Selekcja deterministyczna Krzyżowanie heurystyczne Gradientowe uczenie Wyznacz kierunek najszybszego wzrost wybranych osobników Wykonaj jedną iterację metodą interpolacji populacji kwadratowej Mutacja gaussowska niejednorodna NIE STOP TAK Najlepszy osobnik Rys.4 Schemat zastosowanego algorytmu Rys.5. Schemat gradientowego procesu ewolucyjnego uczenia się osobników W zaproponowanym algorytmie ewolucyjnym zastosowano standardowe dla kodowania zmiennoprzecinkowego operatory genetyczne takie jak krzyżowanie heurystyczne i mutację gaussowską niejednorodną. W etapie uczenia osobników zastosowano metodę najszybszego spadku wykonując jedną iterację metodą interpolacji kwadratowej w wyznaczonym kierunku poprawy. Procesowi uczenia poddano 1% najlepszych osobników każdej populacji.

5 OPTYMALNE PROJEKTOWANIE TARCZ WZMACNIANYCH RÓWNOMIERNIE ROZŁOŻONYMI...19 Jako funkcję przystosowania wybrano funkcję wykładniczą w postaci: ( G Gmin ) ( G ) max G a min = e f (7) gdzie G jest funkcjonałem celu wprowadzonym w (5) lub (6) a G max i G min oznaczają odpowiednio maksymalną i minimalną wartość tego funkcjonału w aktualnym pokoleniu. Współczynnik a ma tutaj znaczenie skalujące i pozwala mniej lub bardziej uwypuklić maksimum globalne zaś znak minus przy tym współczynniku zamienia oryginalny problem minimalizacyjny na problem poszukiwania maksimum. 5. PRZYKŁADY ILUSTRACYJNE Na podstawie strategii przedstawionej w punkcie 4. zrealizowano dwa przykłady optymalnego kształtowania linii żeber ze względu na dwa różne kryteria optymalizacyjne wprowadzone w punkcie Wytężeniowe projektowanie tarczy Jako pierwszy przykład rozpatrzmy tarczę wirującą ze stałą prędkością kątową zamocowaną na brzegu wewnętrznym S w w ten sposób że odebrane zostały styczne przemieszczenia punktów tego brzegu (rys.6). Jako zmienne projektowania wybrano 5 współrzędnych biegunowych wieloboku Beziera opisującego kształt każdego żebra tarczy. Jako miarę jakości takiej tarczy przyjęto jej wytężenie przy zadanym obciążeniu. Tak więc tarcza optymalna będzie konstrukcją której można nadać najwyższe obroty co w prosty sposób przekłada się na ilość energii kinetycznej gromadzonej w takiej tarczy i jej jakość jako akumulatora energii. Zatem problem optymalizacyjny przyjęto w postaci (5). Wprowadzone w (5) ograniczenie zrealizowano zakładając że przekrój poprzeczny żebra jest prostokątny o stałej szerokości równej grubości tarczy zaś jego wysokość zmienia się tak aby przy zmieniającej się w procesie optymalizacyjnym długości żebra jego objętość pozostawała niezmienna. Obliczenia przeprowadzono metodą elementów skończonych wprowadzając w obszar tarczy 8 16 lub 32 żebra. W procesie optymalizacyjnym gradienty funkcji przystosowania były obliczane metodą różnic skończonych centralnych. Optymalne kształty linii żeber naniesione na zastosowaną siatkę elementów skończonych przedstawiono na rysunkach 7. Porównując wyniki otrzymane przy różnej liczbie żeber otrzymano 2.5% zmniejszenia poziomu maksymalnych naprężeń zredukowanych przy przejściu z 8 do 16 żeber i kolejne 3.2% zwiększając ich liczbę do 32 przy zachowaniu stałej objętości materiału wzmacniającego.

6 11 K. DEMS J. TURANT Rys.6. Wirująca tarcza wzmocniona zebrami opis kształtu żebra wielobok Beziera Rys.7. Optymalne kształty linii żeber na zastosowanej siatce elementów skończonych dla różnej liczby żeber 5.2. Sztywnościowe projektowanie tarczy W przykładzie tym rozpatrzono obecnie tarczę pokazaną na rysunku 8 obciążoną rozciągającymi siłami q 1 i q 2 wzdłuż krótszych boków i podpartą wzdłuż boków dłuższych. W obszar tarczy zostały wprowadzone żebra które zaczynają się i kończą na brzegach obciążonych. Celem projektowania było takie ukształtowanie zadanej liczby żeber aby sztywność całej konstrukcji była jak największa. W konsekwencji jako zmienne projektowania zostały wybrane 4 niezależne współrzędne wierzchołków wieloboku Beziera (rys.8) opisujące kształt pojedynczego wzmocnienia. W efekcie w zależności od liczby żeber zmieniała się całkowita liczba zmienny projektowania. I tak dla konstrukcji z trzema żebrami wynosiła ona 12 z siedmioma 21 aż wreszcie dla konstrukcji z piętnastoma żebrami wynosiła ona 6 zmiennych projektowania. Problem optymalizacyjny przyjęto tym razem w postaci (6). Ograniczenie występujące w sformułowaniu (6) zostało wyeliminowane podobnie jak w przykładzie poprzednim. Gradienty funkcji przystosowania niezbędne w procesie uczenia osobników były pozyskane przy pomocy różnic skończonych. Obliczenia przeprowadzono dla dwóch wariantów obciążeń a mianowicie: 1. q 1 =q 2 oraz 2. q 1 =1q 2

7 OPTYMALNE PROJEKTOWANIE TARCZ WZMACNIANYCH RÓWNOMIERNIE ROZŁOŻONYMI q 1 b 4 b 3 b 2 q 2 b 1 Rys.8. Tarcza wzmocniona żebrami i opis kształtu żeber Wyniki przeprowadzonych obliczeń dla przypadku 1 i 2 pokazano odpowiednio na rysunkach 9 i 1. Otrzymany kształt linii żeber naniesiono ponownie na rzeczywistą siatkę elementów skończonych zastosowaną w trakcie analizy pracy konstrukcji. Porównując w przypadku obciążenia pierwszego wyniki otrzymane przy rozkładzie całkowitej objętości materiału wzmocnień na różną liczbę żeber otrzymano zwiększenie sztywności konstrukcji o 4.2% przy przejściu z 3 do 7 żeber i dalsze 6.3 % przy zwiększeniu ich liczby do 15. Dla przypadku drugiego obciążenia podobne porównania dały wyniki 2.% i 9.%. Rys.9. Optymalne kształty linii żeber dla przypadku q 1 =q 2 Rys.1. Optymalne kształty linii żeber dla przypadku q 1 =1q 2

8 112 K. DEMS J. TURANT 6. PODSUMOWANIE Przeprowadzone obliczenia wykazały skuteczność zaproponowanego algorytmu optymalizacyjnego do rozpatrywanej klasy zadań. Skuteczność zaproponowanej metody jak wykazują symulacje na funkcjach testowych jest silnie zależna od dokładności wyznaczania gradientów funkcji celu co może wskazywać na sensowność wykorzystania bardziej precyzyjnych i efektywnych mechanizmów obliczania gradientów funkcji przystosowania bazujących np. na metodzie sprzężonej analizy wrażliwości. Metoda ta wymaga bez względu na liczbę zmiennych projektowania rozwiązania tylko jednego problemu dodatkowego. Wyniki obliczeń potwierdziły ogólnie przyjęty pogląd że większa równomierność rozłożenia materiału wzmacniającego w konstrukcji wpływa korzystnie na jej parametry użytkowe. LITERATURA 1. Dems K. Mróz Z: A variational approach to sensitivity analysis and structural optimization of plane arches Mech. Struct. Mach. 15(3) Dems K. Mróz Z. Szeląg D.: Optimal design of rib-stiffeners in disks and plates Int. J. Solids Structures Mróz Z. Dems K.: Discret and continuous reinforcement of materials (in Optimal Design in Advanced Materials Ed. P. Pedersen) Elsevier Amsterdam Turant J. Dems K. Sensitivity and Optimal Design of Reinforcing Interfaces in Composite Disks FIBRES & TEXTILES in Eastern Europe Vol.9 No.32 p THE OPTIMAL DESIGN OF DISKS REINFORCED WITH UNIFORMLY SPACED RIBS Summary. In the paper the problem of reinforcing material distribution in disk like structures is considered. It was assumed that reinforcing material is distributed along lines of arbitrary shape corresponding functionally with ribs. In analysis step of the structure behaviour the finite element method was used. In synthesis step based on optimization algorithm hybrid evolutionary algorithm was used in which gradient learning methods of parent population individuals were incorporated. The presented approach was illustrated with some examples of optimal design of reinforcements in disks loaded in their plane.