Zastosowanie Excela w obliczeniach inżynierskich.

Transkrypt

1 Zastosowanie Excela w obliczeniach inżynierskich. Część I Różniczkowanie numeryczne. Cel ćwiczenia: Zapoznanie się z ilorazami różnicowymi do obliczania wartości pochodnych. Pochodna jest miarą szybkości zmian wielkości funkcji w stosunku do zmian jej argumentu. W zagadnieniach inżynierskich często spotykamy się z wielkościami które wyznacza się za pomocą pochodnych np. prędkość jest funkcją zmiany przemieszczenia w pewnym przedziale czasowym, druga pochodna po przemieszczeniu jest przyspieszeniem, szybkość chłodzenia jest funkcją zmiany temperatury w przedziale czasowym. Jeżeli mamy funkcję =() to pierwszą pochodną tej funkcji oznaczamy: = () lub /. Pochodne wyższego rzędu zapisujemy: drugiego rzędu: = () lub / trzeciego rzędu = () lub / itp. Pierwsza pochodna funkcji =() zdefiniowana jest następująco: = =lim =lim. Jeżeli funkcja jest opisana wzorem, to jej pochodną także można opisać pewnym wzorem. Czasem wzór ten może być bardzo złożony i niedogodny do obliczeń. Wówczas wygodniej jest zastosować różniczkowanie numeryczne. Różniczkowanie numeryczne stosuje się również gdy funkcja dana jest jako zbiór punktów, np. wyników pomiarów. Różniczkowanie numeryczne wykonuje się w oparciu o ilorazy różnicowe. Stosuje się trzy ilorazy różnicowe: wsteczny: przedni: centralny: = = = Pochodne drugiego stopnia oszacować możemy wzorami: różnica wsteczna:

2 = 2 + ( ) różnica przednia: = 2 + ( ) iloraz różnicowy centralny: = 2 + 0,25( ) Przykład: Dla funkcji ()= oszacować pochodne pierwszego i drugiego stopnia w punkcie =2 przyjmując =0,1. Rozwiązanie analityczne: Oszacowanie ilorazami różnicowymi: 1. wstecznym 2. przednim 3. centralnym Druga pochodna: Analitycznie: ()=3 (2)=3 2 =12 =( )=2 =8 =( )=(20,1) =6,859 ( ) ( )( ) = 86,859 0,1 =( +)=(2+0,1) =9,261 ( ) ( +)+( ) ( ) ( +)+( ) 2 ()=6 = 9,2618 0,1 =11,41 =12,61 = 9,2616,859 0,2 =12,01

3 (2)=6 2=12 Oszacowanie ilorazami różnicowymi: 1. wstecznym =( 2)=(20,2) =5,832 ( ) ( )2( )+( 2) 2. przednim = 82 6,859+5,832 =( +2)=(2+0,2) =10,648 ( ) ( +2)2( +)+( ) 3. centralnym ( ) ( +)2( )+( ) = 10,6489,261+8 = 9, ,859 =11,40 =12,60 =12,00 Zadanie I: 1. Utworzyć plik arkuszu kalkulacyjnego którego nazwa składać się będzie z nazwisko_studenta_cw1 (np. kowalski_cw1). Utworzonym pliku zmienić nazwę Arkusz 1 na Zadanie Analitycznie obliczyć wartość pierwszej oraz drugiej pochodnej funkcji,(-) = w punkcie =1. 3. Wyniki zapisać w utworzonym arkuszu kalkulacyjnym w zakładce zadanie Oszacować wartość pierwszej oraz drugiej pochodnej funkcji,(-) w oparciu o ilorazy różnicowe dla przedziałów : Obliczyć błąd względny (różnica między wartością pochodnej wyznaczonej analitycznie a wartościami pochodnych wyznaczonych w oparciu o ilorazy różnicowe). 6. Błąd względny przedstawić w postaci wykresupunktowego z wygładzonymi liniami, w którym będzie na osi odciętych a błąd względny na osi rzędnych. 7. Wyniki zapisać w utworzonym arkuszu. Przykładowy arkusz kalkulacyjny może wyglądać w jak pokazano na rysunku:

4 Wykres: Zadanie II: 1. W utworzonym pliku MS Excel utworzyć arkusz o nazwie Zadanie Zgłosić się do prowadzącego zajęcia po przykład zadania do rozwiązania. 3. Wybrane przez siebie zadanie rozwiązać wg schematu z zadania 1 (punkty 2 7). UWAGA liczymy wartość tylko dla pierwszej pochodnej. 4. Punkt obliczamy z sumy cyfr nr albumu studenta aż otrzymamy liczbę jednocyfrową. Przykładowo jeśli nr albumu jest: to obliczamy : = 29, = 11, = 2 cyfra 2 jest punktem. 5. Jeśli wybrana funkcja jest funkcją trygonometryczną to liczbę którą obliczyliśmy w punkcie 4 traktujemy jako radiany a więc musimy zamienić ją na stopnie. 6. Analizujemy otrzymane wyniki i przedstawiamy główne spostrzeżenia wnioski w arkuszu kalkulacyjnym. 7. Wszystko zapisujemy i zachowujemy do następnych zajęć. Przykłady zadań pochodzą z książki Analiza matematyczna tom 1 Włodarski, Krysicki gdyby były problemy z analitycznym obliczeniem pochodnej danej funkcji odsyłam do wyżej wymienionej książki.

5 Zagadnienia które będą wymagane na kolokwium: 1. Zapisać ilorazy różnicowe (wsteczny, przedni, centralny) dla pierwszej oraz drugiej pochodnej. 2. Umiejętność oszacowania pochodnych poznanymi metodami.