2L n ; c) w pustej szklance o wysokości H można wzbudzić podłużne FS o dł. n 4H 2n 1

Transkrypt

1 WPPT; kier. Inż. Biom.; lista zad. nr 10 pt.: (z karty przedmiotu) Analizowanie i rozwiazywanie wybranych zadań/problemów dotyczących podstawowych właściwości fal mechanicznych i akustycznych, w szczególności związanych z transportem energii przez fale, zjawiskiem interferencji, wyznaczaniem wartości prędkości fal w płynach i ciałach stałych, falami stojącymi (źródła dźwięków), zjawiska Dopplera; pod koniec listy zadania do samodzielnego rozwiązania. Lista ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących ruchu falowego z wykorzystaniem dotychczas zdobytych kompetencji. y( x, t) = Asin t k x o długości λ = 1,56 m, A = 10-5 m biegnie w naciągniętej 61. Fala poprzeczna strunie o liniowej gęstości masy 10-4 kg/m. Punkty struny przebywają dystans od położenia równowagi do maksymalnego wychylenia (odkształcenia) w czasie 0,5 ms. Proszę obliczyć: okres, częstotliwość, prędkość tej fali, siłę naciągu struny, maksymalną prędkość i maksymalne przyspieszenie ruchu drgającego dowolnego elementu struny. Proszę napisać jawną postać matematyczną tej fali w SI. 6. A) W pręcie biegnie z prędkością 5 km/s fala podłużna o f=5 khz, A = 10-5 m. Jaka jest maksymalna prędkość fragmentów pręta o l=1 mm? B) Proszę wyznaczyć maksymalną bezwymiarową wartość odkształcenia podłużnego y x max. fragmentu tego pręta. C) Ile wynosi iloczyn y x l? D) Jaka jest max. maksymalna prędkość cząsteczek na powierzchni wody, gdy po jej powierzchni rozchodzi się z prędkością 1 m/s fala sinusoidalna o amplitudzie 15 cm i długości m? 63. A) W skorupie ziemskiej fale podłużne mają prędkość 8 km/s a poprzeczne 4,5 km/s. Stacja sejsmograficzna zarejestrowała oba typy fal wywołane trzęsieniem ziemi, przy czym fale podłużne odebrała o 18 min wcześniej. Oszacuj, w jakiej odległości od stacji znajdowało się epicentrum trzęsienia ziemi? B) W jakiej odległości znajduje się robotnik uderzający młotem w szynę kolejową, jeśli przykładając ucho do szyny usłyszymy dźwięk o s wcześniej niż w powietrzu. Prędkość dźwięku w powietrzu 330 m/s a w stali 5 km/s. 64. A) Falę stojącą tworzą dwie przeciwbieżne fale o f = 00 Hz i prędkościach 400 m/s. Proszę wyznaczyć odległość między najbliższymi siebie strzałką i węzłem tej fali. B) Proszę uzasadnić, że: w a) w pręcie metalowy o długości L zamocowanym na jednym końcu można wzbudzić fale stojące (FS) o długościach n 4L n1 ; b) w pręcie metalowym o dł. L zamocowany na obu końcach można wzbudzić FS o dł. n L n ; c) w pustej szklance o wysokości H można wzbudzić podłużne FS o dł. n 4H n 1, gdzie n 1,,3, Umocowana dwustronnie struna skrzypiec z L=15cm wydaje ton podstawowy. Prędkość dźwięku w strunie 50 m/s, w powietrzu 330 m/s. Proszę obliczyć częstość i długość dźwięku w strunie i w powietrzu. 66. Prędkość dźwięku w powietrzu c = 340 m/s. Źródłem dźwięku o częstotliwości 300 Hz jest syrena wozu policyjnego. (a) Wóz porusza się z prędkością 45 m/s. Proszę obliczyć częstotliwość i długość fal przed i za wozem. (b) Za wozem jadą dwa samochody: jeden w tym samym kierunku z prędkością 30 m/s, a drugi w przeciwnym kierunku z prędkością 15m/s. Jakie częstości fal słyszą pasażerowie samochodów? 67. Do portfolio. Fala podłużna u( x, t) = cos t 0,8 x biegnie w stalowym pręcie o gęstości masy 7900 kg/m 3 i polu przekroju porzecznego m. Ile wynosi: a) średnia energia wnoszona przez falę do fragmentu ośrodka o długości x = 0,001 m, b) średnia moc fali, (c) średnia intensywność fali, (d) średnia gęstość energii fali w pręcie, (e) ciśnienie, jakie wywiera ta fala na ściankę, do której jest przymocowany pręt, gdy fala odbija się całkowicie od ściany. Ws-ka: Patrz zad poniżej. 68. Do portfolio. Proszę opracować i włączyć do portfolio pisemny esej nt. fizycznych podstaw działania urządzeń USG (niedopplerowskich) używanych w medycynie opisując dwa wybrane zastosowania (np. angiografia); esej powinien liczyć co najmniej 3 tys. znaków bez spacji; źródła literaturowe proszę znaleźć samodzielnie; esej/opracowanie nie może wykazywać znamion plagiatu, co jest dzisiaj traktowane jako przestępstwo. Wrocław, 3 grudnia W. Salejda

2

3 Siłownia umysłowa. Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania 1. Wóz policyjny zbliża się z prędkością 5m/s do pionowej ściany odbijającej dźwięk syreny. Jaką częstotliwość dudnień słyszy policjant?. Huk wystrzału i kula równocześnie osiągnęły wysokość 680 m nad miejscem wystrzelenia. Proszę wyznaczyć prędkość początkową kuli, jeśli prędkość dźwięku c = 340m/s? 3. Powierzchnia czynna ucha ludzkiego wynosi 5 cm, a natężenie progu słyszalności dla 1000Hz wynosi I 0 =10-1 W/m. Ile wynosi minimalna moc, jaką może zarejestrować ludzkie ucho? 4. Zamocowana na obu końcach lina ma długość 8.4 m i masę 0,1 kg, jest naciągnięta siłą 96 N i wprawiona w drgania. Wyznacz: (a) prędkość fali w linie; (b) największą możliwą długość fali stojącej i podaj częstość tej fali. 5. Napisz równanie opisujące poprzeczną falę sinusoidalną biegnącą w sznurze w dodatnim kierunku osi OX, dla której k = 60 cm 1, T = 0, s, A = 3mm. Wyznacz maksymalną prędkość poprzeczną cząsteczek sznura. Jak wyznaczamy współrzędne punktów sznura, w których w danej chwili wychylenie jest maksymalne/zerowe? 6. Monochromatyczna fala akustyczna pada pod kątem na powierzchnię wody. Dla jakich kątów padania fala ta nie wnika do wody? Prędkość dźwięku w wodzie c =1500 m/s, a w powietrzu c 1 = 33 m/s; prawo załamania dla fal c sin c1 sin, gdzie kąt załamania. Komentarz: Zaskakujący na pozór wynik, bowiem powinno być tak, jak w optyce geometrycznej: Fala przechodząca z ośrodka rzadszego do gęstrzego nie powinna ulegać całkowitemu wewnętrznemu odbiciu! y( x, t) = 0,04sin 3 x 40 t. Liniowa gęstość masy tej 7. Po naciągniętej strunie biegnie fala poprzeczna struny wynosi kg/m. Oblicz prędkość fali i naprężenie struny. y( x, t) = 0,35 sin 10 t 6 x / 4. Ile wynosi prędkość c 8. Fala poprzeczna biegnąca w sznurze ma postać (w SI) i jaki jest kierunek rozchodzenia się tej fali? Jakie jest wychylenie punktów ośrodka dla t = 0 i x = 0,1 m? Ile wynosi długość i częstotliwość tej fali? Ile wynosi maksymalna wartość prędkości poprzecznej? 9. Dwie fale biegnące opisują równania (w SI): y 1 = 0,3 sin[π(5x 00t)] oraz y = 0,3 sin[π(5x 00t)+π/3]. W wyniku ich nałożenia powstaje fala biegnąca. Wyznaczyć amplitudę, prędkość i długość fali biegnącej. 10. Struna ma długość 1,5 m, masę 8,7 g, a jej naprężenie wynosi 10 N. Zamocowano jej końce i wzbudzono drgania. Obliczyć: (a) prędkość rozchodzenia się fal poprzecznych w tej strunie; (b) długość i częstotliwość dwóch fal interferujących ze sobą i wytwarzających na strunie falę stojącą o: b1) jednej strzałce; b) dwóch strzałkach. Jakie są długości fal akustycznej, których źródłem jest ta struna? 11. Jednorodna struna o masie m i długości L zwisa pionowo w dół. Pokazać, że prędkość fali poprzecznej w tej strunie zależy od odległości y od dolnego końcu jak c(y) = (gy) 1/. Ile wynosi czas potrzebny fali poprzecznej na przebycie odległości od dolnego do górnego końca struny? Rozwiązanie: Na element struny o długości y odległy od dolnego końca struny o y działa siła naciągu N(y) = y g będąca ciężarem struny o długości y, gdzie = m/l. Dla y = L wartość siły naciągu jest równa ciężarowi struny i wynosi N(y = L) = m L g/l = mg. Prędkość fali wyraża się wzorem c y = N y, z którego po prostych podstawieniach i uproszczeniach otrzymujemy c(y) = (gy) 1/. Na przebycie y y y drogi y fala potrzebuje czasu t = y/c(y), tj. t = ; całkowity czas przebiegu fali c y N y gy y wzdłuż struny od jej jednego do drugiego końca jest sumą czasów t, gdy wartość y zmienia się od zera do L gy yl y a y zmierza do zera, innymi słowy, należy policzyć sumę T t lim y0, y0 gy wyniku co prowadzi do końcowego L dy 1 L dy L L T y L 0. gy g y g g g 1. Dwie fale y 1 (x, t) = 4, sin(3,0x 0t) oraz y (x, t) = 8, cos(3,0x 0t) rozchodzą się jednocześnie w ośrodku sprężystym. Pokaż, że wypadkowa fala y(x, t) = y 1 (x, t)+y (x, t) jest także falą sinusoidalną oraz oblicz jej fazę i amplitudę. Rozwiązanie: Niech α(t) = 3,0x 0t. Wypadkowa fala y(x, t) = 4,0 sin α(t) + 8,0 cos α(t); z drugiej strony ma mieć ona postać y(x, t) = Asin[α(t) + β], gdzie β = const faza początkowa. Porównując oba wyrażenia i stosując tożsamość sin(α + β) = sinα cos β + sin β cos α, otrzymujemy układ równań {Acos β = 4, Asin β = 8}, z którego mamy A (sin β + cos β) = i dalej A = 4 5, oraz tg β =, co dla sin β > 0 i cos β > 0 daje β = arc tg 63 o. 3

4 13. Wyznaczyć prędkość poprzeczną v = y/ t oraz przyspieszenie poprzeczne a = y/ t fragmentów struny w chwili czasu t = 0, s w punkcie x = 1,6m struny, w której rozchodzi się fala y(x, t) = 0,1 sin[π(x/8 + 4t)]. Ile wynoszą wartości maksymalne wyznaczonych wielkości? Dla jakich chwil czasu wielkości v oraz a osiągają w tym punkcie wartości ekstremalne? Czy spełniona jest relacja a = ω y? Ile wynoszą: długość, okres i prędkość fazowa tej fali? 14. Sprawdzić, że równanie fali kosinusoidalnej y(x, t) = Acos(ωt kx), gdzie ω/c = k = π/λ jest rozwiązaniem jednowymiarowego równania falowego y/ t = c y/ x. Pokaż, że dla tej fali średnia prędkość cząsteczek ośrodka liczona w czasie jednego okresu źródła fali jest równa zeru, tj. T 1 vx, t A sin t k xdt 0. T Prędkość dźwięku w powietrzu c = 33 m/s. Źródłem dźwięku o częstotliwości 300 Hz jest syrena wozu policyjnego. (a) Wóz porusza się z prędkością 45 m/s. Obliczyć częstotliwość i długość fal przed i za wozem. (b) Za wozem jadą dwa samochody: jeden w tym samym kierunku z prędkością 30 m/s, a drugi w przeciwnym kierunku z prędkością 15m/s. Jakie częstości fal słyszą pasażerowie samochodów? (c) Wóz policyjny zbliża się z prędkością 5m/s do pionowej ściany odbijającej dźwięk syreny. Jaką częstotliwość dudnień słyszy policjant? Ws-ka do zad. (c): Wyznacz najpierw częstotliwość dźwięku docierającego do ściany (i odbijającego się od niej) ściana jest źródłem/nadajnikiem fali odbieranej przez policjantów, a następnie częstotliwość fali odbieranej przez policjantów. Należy pamiętać o tym, że częstotliwość odbieranej fali akustycznej zależy zarówno od prędkości detektora/odbiornika jak i od źródła/nadajnika względem powietrza i liczona jest ze wzoru. Jeśli skierujemy wektor R detektorźródło o początku w miejscu położenia detektora i o zwrocie od detektora do źródła, to częstość odbieranej c v fali przez odbiorcę określa wzór detektora/odbiornika fdetektora/odbiornika f ; znaki plus wybieramy pod źródla/nadajnika c v źródla/nadajnika warunkiem, że prędkości mają zwroty zgodne z dodatnim zwrotem wektora R detektorźródło. 16. Akustyczny alarm przeciwwłamaniowy samochodu emituje falę o częstości 10 khz. Jaka jest częstość dudnień powstających po nałożeniu się fali alarmu i fali odbitej od intruza, tj. potencjalnego złodzieja, oddalającego się od źródła z prędkością 3m/s? Prędkość dźwięku 33 m/s. 17. Podwodne okręty Czerwony Październik (CP) i Blue Shark () płyną naprzeciw siebie po tym samym kursie w nieruchomej wodzie oceanu. Ich prędkości wynoszą: v CP = 50 km/h, v = 70 km/h. CP wysyła sygnały sonaru o częstotliwości 1 khz, których prędkość w wodzie wynosi 5470 m/s. Jaka jest częstotliwość odbieranych przez? Jaka jest częstotliwość f CP odb. f CP odb. f odb. sygnałów odbieranych na pokładzie CP fal odbitych od? Jak mierząc wyznaczamy (nie znając prędkości V ) prędkość? Rozwiązanie. Równanie, które pozwala wyznaczyć nieznaną prędkość x = v ma postać c + x c + v f f x CP odb. nad c vcp c x CP odb. nad + CP f c + v c v f c c v f f c v c. nad odb. Wniosek: Za pomocą sonaru CP może namierzać cudzy okręt podwodny i zmierzyć jego prędkość. Wyprowadzenie powyższego wzoru. odbiera sygnał (patrz zadanie 151.) o częstotliwości (uwaga, v [m/s] = v [km/h]/3,6) CP c + v fodb. fnad 1,1048 khz. Fale te odbijają się od, który staje się ruchomym źródłem fal sprężystych c vcp CP c + vcp dla CP odbieranych z częstością fodb. fodb. 1,6 khz. Traktując v jako niewiadomą, możemy c v wyznaczyć ją w oparciu o dane będące w dyspozycji CP, ponieważ c + v c + v f f f f CP CP CP odb. odb., odb. nad, c v c vcp c + v c + v c + x c + v f f, f f, CP CP odb. nad odb. nad c vcp c v c vcp c x 4

5 v : CP odb. nad + + CP c v x f c c v f f c + v x f c + v c i kolejno otrzymujemy c v c x f f c x c v CP odb. CP odb. nad CP nad CP + + cc vcp fodb. fnad c + vcpc f c + v c v f c c v f f c v c f c v x c v x f CP odb. nad CP nad CP CP odb. x v podstawiamy i liczymy nad odb m/s 33m/s m/s 1,6 10 Hz 10 Hz 33m/s 33m/s + m/s 3,6 3, Hz33m/s + m/s 33m/s m/s 1,6 10 Hz 3,6 3,6 191, ,111 x v 19,45m / s 70km/ h. 345, , Wniosek: Kapitan CP zna prędkość, którą wyznacza oprogramowanie sonaru na podstawie własnej prędkości oraz zmierzonych wartości częstotliwości wysyłanych i odbieranych przez sonar. 18. Studnia rezonuje przy najniższej częstości 7Hz. Jak głęboka jest ta studnia? 19. Otwarta obustronnie piszczałka organowa A ma częstość podstawową 300 Hz (dla n = 1). Trzecia harmoniczna piszczałki organowej B (dla n = 3), mającej jeden koniec otwarty, ma taką samą częstość, jak druga harmoniczna piszczałki A. Wyznaczyć długości obu piszczałek. 0. Natężenie fali akustycznej w powietrzu wynosi I = (p max ) /(c), gdzie (p max ) amplituda zmian ciśnienia. Oszacować wartość (p max ) dla dźwięku o częstotliwości 4 khz i intensywności I = 10 8 W/m. Jakie ciśnienie wywiera ta fala padając prostopadle na powierzchnię, która: a) całkowicie pochłania, b) całkowicie odbija dźwięk? 1. Poziom głośności L fali dźwiękowej L = 10 lg(i/i 0 ), gdzie I 0 = 10 1 W/m. Wyznaczyć, ile razy większa jest amplituda zmian ciśnienia dźwięku o poziomie głośności L = 100 db od amplitudy zmian ciśnienia fali akustycznej L 0 = 0? Ile wynosi (p max ) dla tego dźwięku, jeśli I = (p max ) /(c)? (B) Poziom głośności źródła dźwięku wzrósł o 30 db. O jaki czynnik wzrosły jego natężenie oraz amplituda zmian ciśnienia ośrodka?. Głośniki A i B umieszczono na pionowym słupie, z których A znajduje się na wysokości Twoich uszu w odległości 3,75m od nich, a B wisi na wysokości m bezpośrednio nad A. Amplitudy dźwięków o zgodnej fazie (dźwięki koherentne) docierające do Twoich uszu są takie same. Częstotliwość emitowanych dźwięków przez głośniki zmienia się od 0Hz do 0kHz. Jakie częstotliwości słyszysz słabo, a które słyszysz głośniej? 3. Dwa głośniki stoją na estradzie w odległości 3,35 m od siebie. Znajdujesz się w odległości 18,3m od pierwszego i 19,5 m od drugiego. Akustyk zasila oba głośniki sygnałem koherentnym, którego częstotliwość zmienia się od 0Hz do 0 khz. Jakich częstości o trzech najmniejszych częstościach nie słyszysz, a które słyszysz najlepiej? 4. Fala sinusoidalna o długości 1,56 m biegnie w napiętej linie. Punkty liny przebywają drogę od swego położenia równowagi do maksymalnego wychylenia (odkształcenia) w czasie 0,4 s. Oblicz T i v tej fali. 5. Równanie fali poprzecznej propagującej się wzdłuż naciągniętej długiej struny ma postać (w SI) y( x, t) = 0,04cos 0,05 x 6 t. Wyznacz lub oblicz: amplitudę, długość, częstotliwość, prędkość fazową, kierunek rozchodzenia się fali, maksymalną prędkość poprzeczną elementów struny. Jakie jest wychylenie elementów struny o współrzędnej x = 0,038 m w chwili t = 0,37 s? 6. Liniowa gęstość masy struny wynosi, 10-4 kg/m. Po tej strunie biegnie fala (w SI) y( x, t) = 0,04sin 3 x 40 t. Podaj/oblicz: prędkość fali i naprężenie struny. 7. Fala poprzeczna biegnąca w sznurze ma postać (w SI) y( x, t) = 0,35sin(10 t 3 x/4). Ile wynosi prędkość c i jaki jest kierunek rozchodzenia się tej fali? Jakie jest wychylenie punktów ośrodka dla t = 0 i x = 0,1 m? Ile wynosi długość i częstość tej fali? Ile wynosi maksymalna wartość prędkości poprzecznej? 5

6 8. Fala podłużna biegnąca w stalowym pręcie o gęstości 7900 kg/m 3 i polu przekroju porzecznego m postaci 6 3 (w SI) u( x, t) = 310 cos(410 t 0,8 x). Ile wynosi średnia energia fali we fragmencie ośrodka o długości x = 0,001 m? Ws-ka: Posłużyć się wzorem Emech = ( S x)( A) /. 9. Ile wynosi średnia moc fali z zadania 8? Ws-ka. Skorzystać ze wzoru W = Sc( A) /. 30. Ile wynosi średnia intensywność fali z zadania 8? Ws-ka: Wykorzystać wzór I = c( A) /. 31. Ile wynosi średnia gęstość energii fali w pręcie z zad. 8? Ws-ka: Stosowny wzór E = A /. 3. Jednorodna struna o masie m i długości L zwisa pionowo w dół. Pokazać, że prędkość fali poprzecznej w tej strunie zależy od odległości y od dolnego końcu jak c = (gy) 1/. Ile wynosi czas potrzebny fali poprzecznej na przebycie odległości od dolnego do górnego końca struny? Ws-ka: Na element struny m odległy o y od dolnego jej końca działa siła Q(y) będąca ciężarem struny o długości y o wartości Q(y) = y g, gdzie = m/l. Na przebycie drogi dy fala potrzebuje czasu dt = dy/c(y). 33. Jednorodna struna o masie m i długości L zwisa pionowo w dół. Do tej struny podwieszono masę M. Ile wynosi prędkość fali poprzecznej w tej strunie w punkcie w odległości y od dolnego końcu. Ile wynosi czas potrzebny fali poprzecznej na przebycie odległości od dolnego do górnego końca struny? Wyznaczyć długości i częstości rezonansowe fal akustycznych w tubie o długości 0,57 cm wypełnionej powietrzem: a) dwustronnie otwartej, b) jednostronnie zamkniętej. 39. Zamkniętą z obu stron rurę o długości L=3m wypełniono nieznanym gazem, a następnie wytworzono w niej falę stojącą. Stwierdzono, że czwarta częstość rezonansowa licząc od najniższej (podstawowej pierwszej) wyniosła f 3 =100 Hz. Jaka jest prędkość dźwięku w tym gazie? 40. Częstotliwość tonu podstawowego wydawanego przez strunę wynosi f 0 = 00 Hz. Jak zmieni się częstotliwość tonu podstawowego, gdy strunę skrócimy o 1/4 długości? 41. Biegnąca fala monochromatyczna ma postać ux, t 60sin1800t 5,3x, gdzie u jest dane w mikrometrach, t w sekundach, x w metrach. Proszę wyznaczyć: a) prędkość c tej fali oraz stosunki: b) amplitudy przemieszczenia elementów ośrodka do długosci tej fali; b) amplitudy prędkości u t drgań elementów xconst ośrodka do prędkości fali c. Proszę także wyznaczyć wartości pochodnych (prędkosć czasteczek osrodka) oraz (miara odksztalcenia) const u t x const u t c u x =. xconstmax tconst max Wrocław, 3 grudnia 018 i zweryfikować równość u x t W. Salejda 6

7 7