44 PAK 2/2007. Zastosowania dekompozycji SVD-DFT Część 2: Analiza stabilności układów niestacjonarnych w sprzężeniu zwrotnym

Transkrypt

1 44 PAK 2/27 Przemysław ORŁOWSKI POLITECHIKA SZCZECIŃSKA ISTYTUT AUTOMATYKI PRZEMYSŁOWEJ Zastosowania deompozycji SVD-DFT Część 2: Analiza stabilności uładów niestacjonarnych w sprzężeniu zwrotnym Dr inż. Przemysław ORŁOWSKI Uzysał dyplomy magistra inżyniera eletronia oraz magistra inżyniera eletrya w rou 999 na Wydziale Eletrycznym Politechnii Szczecińsiej. Stopień nauowy dotora nau technicznych uzysał na tym samym Wydziale w rou 22. Obecnie adiunt w Instytucie Automatyi Przemysłowej Politechnii Szczecińsiej. Główne ieruni badań nauowych to analiza i synteza uładów sterowania w szczególności ułady dysretne ułady niestacjonarne i ułady niepewne. orzel@ps.pl Streszczenie Głównym celem niniejszej pracy jest rozszerzenie ryterium yquista do badania stabilności uładów niestacjonarnych dysretnych w sprzężeniu zwrotnym. Rozważania niniejsze rozpoczyna róti przegląd literatury oraz przywołanie modelu uładu i aprosymowanych charaterysty Bode go z części pierwszej artyułu. W dalszej części pracy przytoczono definicje stabilności dla uładów niestacjonarnych w otwartej pętli oraz podano twierdzenie pozwalające na oreślanie stabilności uładu niestacjonarnego na podstawie aprosymowanych charaterysty Bode go. Wypracowane wynii uzupełniają szczegółowe wyjaśnienia oraz ilustrują przyłady numeryczne. Słowa luczowe: ułady dysretne ułady niestacjonarne ułady zmiennej strutury analiza stabilności analiza częstotliwościowa sończony horyzont czasowy. Applications of SVD-DFT decomposition Part 2: Feedbac stability analysis for time-varying systems Abstract The paper concerns on extending the classical yquist theorem to stability analysis of linear time-varying discrete-time feedbac control systems. We begin from short literature review model description and approximated Bode diagrams recalled from the first part of the article. Further we present stability concepts for open loop time-varying systems and then we state theorem for determining feedbac stability of time-varying systems. Theoretical considerations are complemented with detailed justification and numerical examples. Keywords: discrete-time systems time-varying systems non-stationary systems stability analysis finite time horizon frequency analysis.. Wprowadzenie Metody do badania stabilności oraz projetowania uładów stacjonarnych liniowych w oparciu o zapas amplitudy i fazy są szeroo znane i stosowane. iemniej analogiczne zagadnienia związane z analizą oraz wyznaczaniem zapasu stabilności dla uładów niestacjonarnych są w literaturze nieobecne. Spotyane metody badania stabilności są najczęściej adaptacją metod dla uładów nieliniowych i bazują na podejściu czasowym - ryterium Lapunova [-5]. Podstawową własnością uładów niestacjonarnych jest fat iż uład tai złożony z przełączających się uładów stacjonarnych stabilnych może być niestabilny. iestabilność może się pojawić w przypadu niesończonej ilości przełączeń. Przyład uładu zmiennego w czasie posiadającego niezmienne w czasie wartości własne znajdujące się we wnętrzu oręgu jednostowego tóre nie gwarantują stabilności został podany w pracach [4 5]. Problematya operacji przełączających cieszy się rosnącym zainteresowaniem w sterowaniu adaptacyjnym i predycyjnym. Głównym celem niniejszej pracy jest poazanie możliwości wyorzystania podejścia częstotliwościowego do analizy stabilności zewnętrznej tj. stabilności uładu ze sprzężeniem zwrotnym oraz wyznaczania zapasu stabilności dla uładów niestacjonarnych. Podstawowym narzędziem są omówione w pierwszej części artyułu przybliżone charaterystyi Bodego wyznaczane metodą SVD-DFT oraz analogie występujące w odniesieniu do lasycznego ryterium yquista. 2. Model matematyczny iech model uładu będzie dany w formie identycznej ja w pierwszej części artyułu [6] tj. w następującej postaci: gdzie x( + ) = A( ) x( ) + B( ) v( ) () y( ) = ( ) ( ) C x {... } { ( ) n {... }} { ( ) m {... }} { ( ) p {... }} x R jest stanem x p ()= (2) v R jest sterowaniem y R jest wyjściem. Macierze uładu są oreślone następująco { ( ) n n ( ) n m ( ) p n {... }} A R B R C R. Charaterystyi amplitudowa i fazowa dane są następującymi zależnościami = j u j = i ni j= i= n= G ( ω ) σ DFT [ ] σ u e uni e DFT [ u ] j n= = j = i j DFT [ j ] = v i= vni e n= ϕω ( ) arg σ arg σ 3. Stabilność uładu otwartego (3) (4) Stabilność uładu niestacjonarnego można zdefiniować przez analogię do uładów stacjonarnych. Można tu rozróżnić 2 typy stabilności: wejściowo-wyjściową oraz asymptotyczną. Uład liniowy jest stabilny w sensie wejściowo-wyjściowym jeżeli operator CL ˆ ˆˆB jest ograniczonym operatorem z V do Y. Definicja ta może być stosowana tylo dla operatorów oreślonych na niesończonym horyzoncie czasowym. Ponieważ operator CL ˆ ˆˆB dla uładu (-2) jest oreślony na sończonym horyzoncie czasowym zatem jest on zawsze ograniczony. Uład jest stabilny asymptotycznie jeżeli operator ewolucyjny Φ( i ) = A( ) A( ) K A( i) jest espotencjalnie stabilny tzn.

2 PAK 2/27 45 ( i) Φ( i ) M e β dla pewnych dodatnich parametrów β> M> i dla wszystich. i Do oreślania stabilności uładów niestacjonarnych wyorzystuje się zazwyczaj stabilność asymptotyczną [7 8]. Uład niestacjonarny jest asymptotycznie stabilny jeżeli spełniony jest następujący warune: Φ( ) dla Impliuje on że dla dowolnych niezerowych warunów początowych odpowiedź swobodna uładu asymptotycznie stabilnego osiągnie zero po niesończenie długim czasie. Warune ten jest spełniony jeżeli wszystie wartości własne operatora ewolucyjnego Φ > znajdują się wewnątrz oręgu ( ) jednostowego na płaszczyźnie zespolonej tzn. λ i( ) < dla wszystich i oraz. W przypadu gdy dla pewnych i wartości własne operatora Φ( znajdują się na zewnątrz oręgu jednostowego uład może być momentami ) niestabilny. 4. Stabilność uładów niestacjonarnych w sprzężeniu zwrotnym - analogia do ryterium yquista Stabilność uładów niestacjonarnych bez sprzężenia zwrotnego była rozważana m.in. w pracach [9-2]. Uzupełnieniem tych rozważań jest analiza stabilności uładu niestacjonarnego w zamniętej pętli sprzężenia zwrotnego. Jaolwie zawsze możliwa jest onwersja całej pętli do jednego zastępczego uładu niemniej jedna w wielu zastosowaniach wygodniejsze jest posłużenie się przybliżoną proponowaną w niniejszej pracy metodą graficzną stanowiącą analogię do lasycznego ryterium yquista. U podstaw lasycznego podejścia do stabilności uładów stacjonarnych w zamniętej pętli leży teoria generacji (regeneration theory) zapoczątowana przez yquista [3]. Zgodnie z nią waruniem oniecznym wzbudzenia uładu jest jednoczesne występowanie oreślonych wartości przesunięcia fazowego i wzmocnienia uładu w otwartej pętli sterowania. Wyorzystując rezultaty analizy SVD-DFT możliwe jest przeprowadzenie analogicznego rozumowania dla uładów niestacjonarnych. Możliwe jest wyznaczenie widm częstotliwościowych wejściowych i wyjściowych oraz funcji wiążących. W przypadu gdy w widmie następuje przesuniecie fazowe o 8 przy wzmocnieniu >= wówczas uład w zamniętej pętli może być niestabilny. Posługiwanie się lasycznym ryterium yquista dla uładów stacjonarnych wymaga znajomości ilości niestabilnych biegunów oraz ilości nieminimalnofazowych zer tj. zer i biegunów leżacych poza oręgiem jednostowym lub w prawej półpłaszczyźnie dla uładów ciągłych). O ile nie jest problemem oreślenie czy uład niestacjonarny jest stabilny oraz czy ma charater nieminimalnofazowy o tyle wyznaczenie doładnej analogii ilości zer i biegunów poza oręgiem jednostowym stanowi w przypadu uładów niestacjonarnych znaczący problem. W związu z tym przyjęto że uład w otwartej pętli musi być stabilny i minimalnofazowy. Twierdzenie. Zamnięta pętla sprzężenia zwrotnego z uładem niestacjonarnym jest stabilna jeżeli obiet niestacjonarny w otwartej pętli jest stabilny minimalnofazowy i przybliżona charaterystya SVD-DFT yquista nie orąża z lewej strony puntu -. Innymi słowy uład w zamniętej pętli sprzężenia zwrotnego będzie stabilny jeżeli wzmocnienie na przybliżonej charaterystyce Bode go dla przesunięcia fazowego 8 ± 36 Z będzie mniejsze od (< db). Specyfia uładów niestacjonarnych pozwala na wzbudzanie się drgań również w sposób niestacjonarny tj. przechodzenie pomiędzy różnymi wetorami własnymi w tracie generacji drgań. Ta więc drgania generowane przez uład zmienny (5) w czasie mogą być również drganiami niestacjonarnymi tzn. zawierać szeroie spetrum częstotliwości. Istnienie orelacji pomiędzy spetrami może wprowadzać pewne niedoładności do rezultatów proponowanej metody podobnie ja analiza przy zbyt rótim horyzoncie czasowym może prowadzić do niedoładnych (niedoszacowanych) wyniów. Adaptacja lasycznego ryterium yquista dla uładów niestacjonarnych wymaga pewnych wyjaśnień. Jaie są różnice pomiędzy zdeompowanymi uładami stacjonarnym i niestacjonarnym w sensie wejściowo-wyjściowym? Wyniiem rozładu według wartości szczególnych (SVD) są 3 macierze: wejścia V= [ v K v ] przejścia diagonalna S oraz wyjścia U= [ u K u ]. Macierze wejścia i wyjścia sładają się z olumnowych wetorów własnych wejścia i wyjścia odpowiednio. Jeżeli na wejście uładu zostanie podany dowolny wetor własny v wówczas na wyjściu uładu pojawi się wetor y = u s. Jeżeli obiet pracuje w pętli ujemnego sprzężenia zwrotnego wówczas sygnał ten zostanie odjęty od sygnału odniesienia. Po przejściu przez uład stacjonarny będzie to sygnał A v n natomiast dla uładu niestacjonarnego w ogólności będzie to A vn + B v n+ B2 v2 n2 + K gdzie n oznacza przesunięcie oraz numer wetora własnego. Widoczne jest że uład niestacjonarny może nie tylo zmieniać amplitudę i fazę sygnału ale również może wprowadzać nowe wetory sojarzone (2 ). Przyład: iech w pewnym uładzie niestacjonarnym jeden prąże o pulsacji ω będzie wzmacniany o wartość niewiele mniejszą od jedności przy jednoczesnym przesunięciu fazowym o 8. Ze względu na występujące w uładach niestacjonarnych zjawisa modulacji w widmie wyjściowym może się pojawić dodatowy prąże ω. Podobna sytuacja może mieć miejsce dla sładowej ω tzn. po przejściu przez uład może stać się widmem zawierającym w sobie dodatowo sładową ω. Przy sprzyjających wartościach przesunięć fazowych i amplitud odpowiednich harmonicznych prążów ω ω może nastąpić wzrost pozornego wzmocnienia uładu dla częstotliwości ω do lub powyżej wartości. Może to już sutować niestabilnością zamniętej pętli sprzężenia zwrotnego. Do wyznaczania pozornego wzmocnienia uładu niestacjonarnego nie wystarcza pomiar wzmocnień i przesunięć fazowych poszczególnych prążów lecz analiza całego widma wyjściowego generowanego przez sygnał wejściowy uładu. Do wyznaczania pozornego wzmocnienia i przesunięcia fazowego uładu z pomocą przychodzą tu zależności (3-4) oraz pojęcia wprowadzone w pierwszej części artyułu [6]. Operator uładu CLB ˆ ˆˆ może być wyznaczony zarówno teoretycznie na podstawie danego modelu matematycznego [6] ja również na podstawie pomiarów zbioru przesuniętych w czasie odpowiedzi impulsowych uładu niestacjonarnego htτ ( ). Zgodnie z zależnością (3) wypadowa charaterystya amplitudowa uładu jest ważoną średnią wadratową charaterysty poszczególnych wetorów własnych. Charaterystya fazowa (4) jest natomiast średnią ważoną przesunięć fazowych wprowadzanych przez poszczególne wetory własne. Wpływ na stabilność uładu w zamniętej pętli sprzężenia zwrotnego mają zarówno poszczególne wetory własne ja również występujące w uładzie interacje (modulacje przesoi częstotliwości itp.). Zjawisa te są uwzględnione przy wyznaczaniu aprosymowanych charaterysty amplitudowofazowych właśnie dzięi opisanym wyżej ważonym uśrednieniom. ależy tu podreślić że dla ta wyznaczonych charaterysty uład może ale nie musi znaleźć się na granicy stabilności przy warunach analogicznych ja dla uładu stacjonarnego - wzmocnienie przesunięcie fazowe 8. Jest to spowodowane zarówno czynniami związanymi z ograniczeniami natury numerycznej taimi ja sończony horyzont czasowy analizy ale również pewnymi własnościami uładu tóre nie znajdują swego odzwierciedlenia na charaterystyce wypadowej taimi ja np. przesunię-

3 46 PAK 2/27 cia fazowe wzajemne i wzmocnienia srośne pomiędzy różnymi prążami lub wręcz widmami. Czynnii te nie wpływają jedna w istotny nieorzystny sposób na wyorzystanie zdefiniowanych charaterysty gdyż rzeczywista rytyczna wartość wzmocnienia jest równa lub więsza od wartości odczytanej z charaterysty. Jedna nawet jeżeli wartość rzeczywista jest więsza to w więszości przypadów różnice są nieznaczne szczególnie w uładach dla tórych zmiany parametrów nie następują w sposób estremalny. Ponadto odczytana wartość niesie ze sobą informacje o szacunowej wartości wzmocnienia od tórej należy rozpocząć poszuiwania rzeczywistej wartości wzmocnienia. 5. Przyład numeryczny uład przełączający o stałych wartościach własnych Przyłady analizowane poniżej są szczególnymi przypadami uładu niestacjonarnego sonstruowanymi ta aby zmiany współczynniów macierzy uładu A() nie powodowały zmian wartości własnych tej macierzy. Wartości własne macierzy uładu A() znajdują się wewnątrz oręgu jednostowego jedna ze względu na występujące w struturze uładu przełączenia może on być zarówno wewnętrznie stabilny ja i niestabilny. Czynniiem decydującym jest wartość parametru ε oreślającego interwał czasowy pomiędzy przełączeniami. Macierze modelu (-2) są następujące będzie się znajdował na granicy stabilności lub będzie stabilny. a rys. 2 wyreślono charaterystyi impulsowe dla uładu ze sprzężeniem zwrotnym z wartościami wzmocnienia rytycznego przeliczonego do sali liniowej crit=.58 oraz wzmocnień różniących się od crit o ± % i ± 2% w sali liniowej Rys.. Charaterystyi Bodego SVD-DFT wyznaczone dla =5 ε=5 Fig.. Bode SVD-DFT diagrams for =5 ε=5 gdzie A( ) = A ( ) = [ ] T κ B ( ) = [ ] C (6) A = 2 3 κ =floor rem 4 2 A = = =.2 2 A 2 2 A.2 ε (7) * *.58. *.58. *.58.2 *.58 Zmienna pomocnicza κ przyjmuje wartości {23} i służy do wyboru odpowiedniej macierzy A modelu. Jest ona wyznaczona przez zaorąglenie w dół (funcja floor) części całowitej z dzielenia (funcja rem) współczynnia /ε przez 4 gdzie jest dysretnym czasem. Ores próbowania jest równy T p =.4 s. Wartości własne macierzy A() są niezależne od parametru ε i równe.5 ±.3873i dla wszystich. Aby zbadać wpływ parametru ε na stabilność uładu analiza została przeprowadzona dla 3 różnych wartości ε wynoszących odpowiednio 2 5 oraz 4. Wartość ε=2.9 jest graniczna z puntu widzenia stabilności wewnętrznej uładu. Dla wartości więszych uład jest stabilny dla mniejszych niestabilny. Analizę stabilności zewnętrznej przeprowadzono ażdorazowo w oparciu o wyznaczone charaterystyi amplitudową i fazową oraz odpowiedzi czasowe uładu: soową i impulsową. a rys. przedstawiono charaterystyi amplitudową i fazową dla wartości parametru ε=5. Uład jest wewnętrznie stabilny co stwierdzono na podstawie charaterystyi impulsowej zatem można poszuiwać taiej wartości wzmocnienia regulatora w zamniętej pętli sterowania dla tórego znajdzie się on na granicy stabilności. Z rys. można odczytać ila wartości wzmocnienia odpowiadające przesunięciu fazowemu ± 8 ± m 36 deg przy czym wartością najwięszą jest mdb ( ) = G f = =8.2 db. m db Dla wartości wzmocnienia zreduowanej do uład jest stabilny. Krytyczna wartość wzmocnienia znaleziona esperymentalnie wynosi. Jest ona więsza od wyznaczonej crit _ db = 6 db z rys. (-8.2 db) niemniej należy tu uwzględnić że uład ma charater silnie niestacjonarny i uzysany wyni może być obarczony pewnym błędem. Przeprowadzone badania symulacyjne dla innych uładów oraz rozumowanie przeprowadzone w secji 2 pozwalają stwierdzić że błąd ten będzie miał zawsze charater nadmiarowy tzn. uład dla wyznaczonej wartości wzmocnienia Rys. 2. Fig Czas (s) Charaterystyi impulsowe uładu w sprzężeniu zwrotnym wyznaczone dla =5 ε=5 i wzmocnienia regulatora -6dB (.58) Impulse responses for feedbac systems for =5 ε=5 and controller gain -6dB (.58) a rys. 3 przedstawiono charaterystyi amplitudową i fazową dla wartości parametru ε=4. Charaterystyi te podobnie ja poprzednie zostały wyznaczone dla horyzontu analizy 5 roów. iemniej jedna dla uładów stabilnych charaterystyi te nie ulegają istotnym zmianom przy wydłużaniu horyzontu czasowego co świadczy to o dobrej stabilności numerycznej proponowanej metody. Odpowiedź impulsowa w otwartej pętli sterowania wsazuje na stabilny charater tego uładu zatem posługując się rys. 3 można odczytać wartości wzmocnienia w decybelach odpowiadające przesunięciu fazowemu ± 8 ± m 36 deg. ajwięszą z nich jest mdb = G( f = ) =3.4 db. Krytyczna wartość wzmocnienia znaleziona esperymentalnie jest zbliżona do -m db i wynosi. a rys. 4 wyreślono charaterystyi crit _ db = db impulsowe dla uładu ze sprzężeniem zwrotnym z wartościami wzmocnienia rytycznego przeliczonego do sali liniowej crit=.282 oraz wzmocnień różniących się od crit o ± % i ± 2% w sali liniowej. Dla uładu o wartości parametru ε=2 uład w otwartej pętli jest niestabilny. Potwierdzają to odpowiedzi impulsowe niemniej wyznaczniiem taiego stanu rzeczy są również wartości wzmocnień na charaterystyce amplitudowej przedstawionej na rys. 5 dla ε=2 =. Zależą one silnie od długości horyzontu czasowego

4 PAK 2/27 47 osiągając przy jego wzroście bardzo duże wartości podczas gdy dla uładów stabilnych są zbieżne do pewnej charaterystyi. Jest to olejny wyznaczni niestabilności tego uładu Rys. 3. Charaterystyi Bodego SVD-DFT wyznaczone dla =5 ε=4 Fig. 3. Bode SVD-DFT diagrams for =5 ε= * *.282. *.282. * * nie istnieje graniczna charaterystya amplitudowo-fazowa do tórej byłyby zbieżne charaterystyi dla dużych dążących do niesończoności - założenie doonane w twierdzeniu 4 o stabilności uładu w otwartej pętli sterowania. Dobór wzmocnienia regulatora proporcjonalnego stabilizującego uład nie jest możliwy. Symulacje przeprowadzone dla różnych wartości wzmocnień potwierdziły niestabilność zamniętego uładu regulacji dla dowolnych wartości wzmocnień regulatora. 6. Podsumowanie Ważnym wypracowanym osiągnięciem niniejszej pracy jest uogólnienie dobrze znanego twierdzenia yquista o stabilności uładu w zamniętej pętli na ułady niestacjonarne przy wyorzystaniu metody SVD-DFT. Korzystając z przybliżonych charaterysty Bodego wyznaczonych metodą SVD-DFT możliwe jest wyznaczenie przybliżonej wartości rytycznej wzmocnienia dla tórej uład w sprzężeniu zwrotnym osiągnie granicę stabilności. W istocie wyznaczona wartość rytyczna jest jednocześnie zapasem stabilności uładu. Uzysane rezultaty nie zawsze odpowiadają doładnie tym otrzymywanym dla uładów stacjonarnych w tórych powyższe zależności nie mają charateru przybliżonego a doładny. Pamiętając jedna o możliwości przeszacowania wyniów proponowana metoda może być stosowana do analizy stabilności uładów niestacjonarnych w sprzężeniu zwrotnym. Rozszerzenie ryterium yquista na ułady zmienne w czasie powinno stanowić istotne ułatwienie syntezy niestacjonarnych uładów sterowania lub co najmniej pewnej szeroiej ich lasy. W taim przypadu ułady te można tratować podobnie ja ułady stacjonarne i stosować dobrze znane metody syntezy. Przejrzyste i łatwe do implementacji algorytmy obliczeniowe stanowią dodatową zaletę proponowanej metody. 7. Literatura Rys. 4. Fig Czas (s) Charaterystyi impulsowe uładu w zamniętej pętli sprzężenia zwrotnego wyznaczone dla =5 ε=4 i wzmocnienia regulatora -db (.282) Impulse responses for feedbac systems for =5 ε=4 and controller gain -db (.282) Rys. 5. Charaterystyi Bodego SVD-DFT wyznaczone dla uładu niestabilnego = ε=2 Fig. 5. Bode SVD-DFT diagrams for unstable system = ε=2 Artyuł recenzowany Z uwagi na dowolny z następujących fatów: [] Miller D. E. Davison E. J. (989) An adaptive controller which provides Lyapunov stability. IEEE Trans. Automat. Control [2] arendra K. S. Balarishnan J. (989) Adaptive control using multiple models. IEEE Trans. Automat. Control [3] Shorten R.. arendra K. S. (998) On the stability and existence of common Lyapunov functions for stable linear switching systems Proc. of the 37th IEEE Conference on Decision and Control. Tampa FL pp [4] M. de la Sen Robust stability of a class of linear time-varying systems IMA Journal of Mathematical Control and Information (22) [5] Khalil H. K. (996) onlinear Systems (Second Edition). Englewood Cliffs J: Prentice-Hall. [6] P. Orłowsi (27). Zastosowania deompozycji SVD-DFT. Część : Wprowadzenie do analizy częstotliwościowej dla uładów niestacjonarnych. PAK 2/27. [7] K. Liu (999). Extension of modal analysis to linear time-varying systems. Journal of Sound and Vibration [8] Shooohi S. Silverman L. (987). Linear time-variant systems: stability of reduced models. Automatica Vol. 2 pp [9] B. D. O. Anderson Internal and external stability of linear time varying systems. SIAM Journal on Control and Optimization 2: [] P. Iglesias. Input-output stability of sampled-data linear time-varying systems. IEEE Trans. Aut. Cont. 4(9): [] H. S. Han and J. G. Lee ecessary and sufficient conditions for stability of time-varying discrete interval matrices Int. J. Control vol. 59 no. 4 pp [2] P. Orłowsi (26). Methods for stability evaluation for linear time varying discrete-time systems on finite time horizon. International Journal of Control. Vol. 79 o. 3 pp [3] yquist H. (932). Regeneration theory Bell Laboratories Technical Journal

5 6 PAK 2/27 Przemysław ORŁOWSKI POLITECHIKA SZCZECIŃSKA ISTYTUT AUTOMATYKI PRZEMYSŁOWEJ