Nelineární fotonické nanostruktury. Podporováno projektem MŠMT CZ.1.07/2.2.00/ Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky.

Transkrypt

1 Podporováno projektem MŠMT CZ.1.07/2.2.00/ Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky.

2 Obsah: 1 Maxwellovy rovnice v nelineárním prostředí 2 Dělení nelineárních jevů 3 Nelineární jevy druhého řádu 4 Proces generace druhé harmonické 5 Třímodový parametrický proces 6 Frekvenční konvertor 7 Parametrický zesilovač 8 Fotonová statistika zesíleného signálu 9 Parametrický generátor 10 Ramanův rozptyl 11 Brillouinův rozptyl 12 Čtyřvlnová interakce - fázová konjugace 13 Kerrův jev 14 Samovedený svazek 15 Generace 3. a vyšších harmonických 16 Vícefotonová absorpce, emise 17 Solitony

3 Maxwellovy rovnice v nelineárním prostředí Maxwellovy rovnice v nelineárním prostředí Materiálové veličiny jako dielektrická susceptibilita, permitivita, index lomu závisí na intenzitě dopadajícího záření. Maxwellovy rovnice jsou rovnicemi nelineárními v důsledku nelineárních materiálových vztahů objevují se nové nelineární efekty: roth rote = j+ D t, D = ε 0E+P = B t, B = µ 0H (nemagnetické materiály) j = 0 (dielektrika) Nelineární vlnová rovnice: E 1 2 E c 2 t 2 = µ 2 P 0 t 2, P = PL + P NL

4 Maxwellovy rovnice v nelineárním prostředí Spektrální rozklad do Fourierových složek: E(r, t) = j E(r,ω j) exp( iω j t), P(r, t) = j P(r,ω j) exp( iω j t) Lineární polarizace: P L (ω) = ε 0 χ (1) (ω)e(ω). Nelineární polarizace: P NL (ω i ) = ε 0 χ (2) (ω i = ω j +ω k ) : E(ω j )E(ω k ) j,k +ε 0 χ (3) (ω i = ω j +ω k +ω l ) : E(ω j )E(ω k )E(ω l )+... j,k,l E(r, t) je reálné [E (ω) = E( ω)]: χ (2) ijk (ω i,ω j,ω k ) = χ (2) ijk ( ω i, ω j, ω k ). V nedisipativním prostředí jsou susceptibility reálné: χ (1) ij (ω) = χ (1) ij (ω).

5 Maxwellovy rovnice v nelineárním prostředí Časoprostorový popis (nelokální odezva): P(r, t) = ε 0 dr 1 dt 1 χ (1) (r r 1, t t 1 )E(r 1, t 1 ) +ε 0 dr 1 dr 2 dt 1 dt 2 χ (2) (r r 1, r r 2, t t 1, t t 2 ) : E(r 1, t 1 )E(r 2, t 2 )+... U funkcí odezvy platí princip kauzality. V nedisperzním prostředí platí invariance vůči časové inverzi: χ (1) ij (τ) = χ (1) ij ( τ). Symetrie tenzorů nelineární susceptibility: χ (2) ijk (ω 3 = ω 1 +ω 2 ) = χ (2) jki (ω 1 = ω 3 ω 2 ). Typické hodnoty χ (2) susceptibility ve viditelné oblasti: LiIO 3 : 6± m/v, LiNbO 3 : 4.76± m/v, GaAs: 107± m/v.

6 Dělení nelineárních jevů Dělení nelineárních jevů podle řádu vektoru nelineární susceptibility χ Jevy druhého řádu (susceptibilita χ (2) ijk ): Generace druhé harmonické a sub-harmonické frekvence (ω +ω = 2ω), 2ω ω ω 2ω NLΚ NLΚ ω 2ω Generace součtové frekvence, frekvenční konverze nahoru (ω 1 +ω 2 = ω 3 ), ω 2 ω 1 NLΚ Generace rozdílové frekvence, frekvenční konverze dolů (ω 3 ω 2 = ω 1 ), ω2 ω =ω -ω NLΚ ω 3 ω 3

7 Dělení nelineárních jevů Parametrická generace a zesílení (signální a jalový svazky) (ω 3 = ω 1 +ω 2 ), ω ω NLΚ Dvoufotonová absorpce a emise (E 2 E 1 = 2 ω). 3 1 ω 2 ω ω E 2 E 1 Ε -Ε =2hω 2 1

8 Dělení nelineárních jevů Jevy třetího řádu (susceptibilita χ (3) ijkl ): Generace třetí harmonické a subharmonické frekvence (ω +ω +ω = 3ω), Optický Kerrův jev - autofokusace intenzivních laserových svazků (n(i) = n 0 + n 1 I), Ramanův rozptyl na optických vibracích (fononech) látky (ω S,A = ω L ω V ), Brillouinův rozptyl na akustických vlnách (ω B,n = ω L + nω V ) Čtyřvlnové směšování, fázová konjugace (ω 1 +ω 2 = ω 3 +ω 4 ) ω ω 1 ω 2 NLΚ Degenerovaný zpětný rozptyl (ω +ω = ω +ω) signál konjugovaný signál čerpání NLΚ čerpání Třífotonová absorpce a emise (E 2 E 1 = 3 ω). ω 3 4 3

9 Dělení nelineárních jevů Jevy vyšších řádů (susceptibilita χ (k) ): Vícefrekvenční směšování, Hyper-Ramanův rozptyl na optických vibracích (fononech) látky (ω S,A = ω L1 +ω L2 ω V ), Ramanův rozptyl vyšších řádů (ω S,A,k = ω L kω V ), Vícefotonová absorpce a emise (E 2 E 1 = k ω). Přechodové koherentní nelineární jevy: Autoindukovaná transparence, Optické solitony, Fotonové echo, Superradiance.

10 Nelineární jevy druhého řádu Nelineární jevy druhého řádu Vlnová rovnice v nelineárním prostředí: E 1 2 E v 2 t 2 = µ 2 P nl 0 dt 2, v = c n, 1+χ(1) = n 2. Předpoklad rovinné vlny ve směru osy z: P nl (z, t) P nl exp( iωt + ikz), E(z, t) E exp( iωt + ikz). Vlnová rovnice pro rovinné vlny (k j = n j ω j /c): 2 E j 2 + k 2 j E j = µ 0 ω 2 j P nl j. Aproximace pomalu se měnící obálkou ( 2 E j / z 2 k j E j / z ): E j = iε 0µ 0 ω 2 j 2k j k,l χ (2) jkl E k E l exp [ i(k k + k l k j )z ].

11 Proces generace druhé harmonické Proces generace druhé harmonické (ω 2 = 2ω 1 ) Rovnice vázaných vln (fázové rozladění k, k = k 2 2k 1 ): E 1 (z) E 2 (z) = iω2 1 k 1 c 2χ(2) E 1(z)E 2 (z) exp(i kz). = iω 2 2 2k 2 c 2χ(2) E 2 1(z) exp( i kz). Kvantový popis pomocí operátoru momentu hybnosti Ĝ(z) pro kvantovaná pole Êj (Êj(z, t) = ω j /(2ε 0 v j )â j (z) exp(ik j z iω j t]): Ĝ int (z) = gâ 2 1 (z)â 2 (z) g â 2 1 (z)â 2 (z). Kvantové pohybové rovnice (dê(z)/ = i/ [Ĝ(z), E(z)]): dâ 1 (z) = 2ig â 1 (z)â 2 (z), dâ 2 (z) Zákony zachování - relace Manley Rowe (ˆn j = â j âj): = igâ 2 1 (z). ˆn 1 (z) ˆn 2 (z) = ˆn 1 (0) ˆn 2 (0), ˆn 1 (z)+2ˆn 2 (z) = ˆn 1 (0)+2ˆn 2 (0).

12 Proces generace druhé harmonické Vliv fázového rozladění ( k 0) - řešení rovnic pro silný čerpací svazek na frekvenci ω 1 : E 2 (z) = ige 2 1(0) z 0 exp( i kz ) = gze1(0) 2 1 exp( i kz), kz E 2 (L) 2 = gl 2 4 E 1(0) 4 sin2 ( kl/2) ( kl/2) 2 = gl 2 4 E 1(0) 4 sinc 2 ( kl/2). 2 sinc (ΔkL/2) -2π -π π 2π ΔkL/2 Na koherenční délce L k interagují pole na frekvencích ω 1 a ω 2 = 2ω 1 a dochází k jednosměrnému přenosu energie, L k = 2π k = πc ω 1 (n 2 n 1 ) = λ 1 2(n 2 n 1 ).

13 Proces generace druhé harmonické Podmínka na sfázování nelineární interakce: k = 0: v synchronizačním režimu platí n 2 (2ω) = n 1 (ω) a L k Splnění podmínky v anizotropních prostředích s řádnými (n o ) a mimořádnými (n e ) vlnami - pozitivní (n o < n e ) a negativní krystaly: 1 ne(θ) 2 = cos2 (θ) n0 2 + sin2 (θ) ne 2 Kvazi-sfázování nelineární interakce pomocí periodické závislosti nelinearity [χ(z) = χ(0) exp(ik n z)]: k = k 2 2k 1 K n = 0.

14 Proces generace druhé harmonické Rovnice pro generaci druhé harmonické s k = 0) - substituce â j α j = j exp(iϕ j ), j = 1, 2: d 1 exp(iϕ 1)+i 1 exp(iϕ 1 ) dϕ 1 d 2 exp(iϕ 2)+i 2 exp(iϕ 2 ) dϕ 2 Po úpravě: = 2ig 1 2 exp[i(ϕ 2 ϕ 1 )], = ig 21 exp(2iϕ 1). d 1 d 2 dϕ 1 dϕ 2 = 2g 1 2 sin(ϕ 2 2ϕ 1 ), = g 21 sin(ϕ 2 2ϕ 1 ), = 2g 2 cos(ϕ 2 2ϕ 1 ), = g 21 2 cos(ϕ 2 2ϕ 1 ),

15 Proces generace druhé harmonické Rovnice pro fázi a jejich řešení: d(ϕ 2 2ϕ 1 ) ϕ 2 Rovnice pro amplitudy a jejich řešení: ) = 1 g( cos(ϕ 2 2ϕ 1 ), 2 = 2ϕ 1 +π/2. d 1(z) = 2g 1(z) 2(z), d 2(z) [ ] = g 21 (z) = g 21 (0) 2 22 (z), 1 1(z) = 1(0), cosh( 2g 1(0)z) 2(z) = 1(0) tanh( 2g 1(0)z), 2

16 Proces generace druhé harmonické Řešení: ρ 1 2, ρ ρ 1(0) ρ 1 2 ρ 2 2 Obecné řešení lze vyjádřit Jacobiho eliptickými integrály. gz ρ 2 Δk= gz

17 Třímodový parametrický proces Třímodový parametrický proces Rovnice vázaných vln ( k = k 3 k 2 k 1 ): E 1 (z) E 2 (z) E 3 (z) = = = iω1 2 2k 1 c 2χ(2) E2 (z)e 3(z) exp(i kz), iω2 2 2k 2 c 2χ(2) E1 (z)e 3(z) exp(i kz), iω3 2 2k 3 c 2χ(2) E 1 (z)e 2 (z) exp( i kz), Podmínka fázové synchronizace: n 3 (ω 3 )ω 3 = n 1 (ω 1 )ω 1 + n 2 (ω 2 )ω 2.

18 Třímodový parametrický proces Kvantový popis - elementární kvantová událost : ω 2 ω ω ω 3 ω3 1 ω 2 + hga 1a 2a 3 hg * + + a a a Kvantový popis - operátor momentu hybnosti Ĝ, a - anihilační operátor fotonu a + - kreační operátor fotonu Ĝ(z) = g(z)â 1 (z)â 2 (z)â 3 (z) H.c., ω1 ω 2 ω 3 v3 2 g(z) = i 8ε 0 v 1 v 2 v 3 c 2χ(2) exp( i kz) vede k rovnicím: dâ 1 (z) = ig â 2 (z)â 3 (z), dâ 3 (z) = igâ 1 (z)â 2 (z) dâ 2 (z) = ig â 1 (z)â 3 (z),

19 Třímodový parametrický proces Zákony zachování - relace Manley-Rowe: ˆn j (z)+ ˆn 3 (z) = ˆn j (0)+ ˆn 3 (0), j = 1, 2, ˆn 1 (z) ˆn 2 (z) = ˆn 1 (0) ˆn 2 (0).

20 Frekvenční konvertor Frekvenční konvertor čerpání ω signál ω 2 1 NLΚ filtr ω 3=ω +ω 1 2 Uvažujeme silné čerpání v módu 2, â 2 α 2 ; operátor momentu hybnosti Ĝ: Ĝ int (z) = gâ 1 (z)α 2 â 3 (z) H.c.. Pohybové rovnice (κ = gα 2 = κ exp(iφ κ )): dâ 1 (z) d 2 â 1 (z) 2 = iκ â 3 (z), = iκ dâ 3 (z) dâ 3 (z) = κ 2 â 1 (z), = iκâ 1 (z),

21 Frekvenční konvertor Řešení pohybových rovnic: â 1 (z) = C 1 exp(i κ z)+c 2 exp( i κ z) C 1 + C 2 = â 1 (0), iκ â 3 (0) = i κ C 1 i κ C 2, C 1 = 1 2 [â 1 (0)+exp( iφ κ )â 3 (0)], C 2 = 1 2 [â 1 (0) exp( iφ κ )â 3 (0)] Řešení: â 1 (z) = â 1 (0) cos( κ z)+iâ 3 (0) exp( iφ κ ) sin( κ z), â 3 (z) = â 3 (0) cos( κ z)+iâ 1 (0) exp(iφ κ ) sin( κ z).

22 Frekvenční konvertor Frekvenční konverze nahoru ω 1 ω 3, â 3 (0) = 0; řešení: n 1 (z) = a 1 (z) 2 = a 1 (0) 2 cos 2 ( κ z), n 3 (z) = a 3 (z) 2 = a 1 (0) 2 sin 2 ( κ z), n 1 (z)+n 3 (z) = n 1 (0). n,n 1 3 n (0) 1 n 1 n 3 n 2 π/2 π κ z

23 Frekvenční konvertor Frekvenční konverze dolů ω 3 ω 1, â 1 (0) = 0; řešení: n 1 (z) = a 1 (z) 2 = a 3 (0) 2 sin 2 ( κ z), n 3 (z) = a 3 (z) 2 = a 3 (0) 2 cos 2 ( κ z), n 1 (z)+n 3 (z) = n 3 (0). Počáteční fotonová statistika se zachovává, protože v rovnicích jsou jen anihilační operátory - možnost frekvečně posouvat i neklasické stavy záření (stlačené světlo).

24 Parametrický zesilovač Parametrický zesilovač čerpání ω 3 signál ω NLΚ filtr jalový mód ω zesílený signál ω 1 1 Uvažujeme silné čerpání v módu 3, â 3 α 3 ; operátor momentu hybnosti Ĝ: Pohybové rovnice (κ = gα 3 ): Ĝint(z) = gâ1(z)â2(z)α 3 H.c.. 2 dâ 1 (z) d 2 â 1 (z) 2 = iκâ 2 (z), dâ 2 (z) = κ 2 â 1 (z). = iκâ 1 (z),

25 Parametrický zesilovač Řešení: â 1 (z) = â 1 (0) cosh( κ z)+iâ 2 (0) sinh( κ z), â 2 (z) = â 2 (0) cosh( κ z)+iâ 1 (0) sinh( κ z). Střední počet zesílených signálových fotonů: â 1 (z)â 1(z) = ˆn 1 (0) cosh 2 (κz)+[ ˆn 2 (0) +1] sinh 2 (κz) ] +i/2 [ â 1 (0)â 2 (0) c.c. sinh(2κz). Superfluorescence, ˆn 1 (0) = ˆn 2 (0) = 0) - spontánní kvantový jev: ˆn 1 (z) = sinh 2 (κz). Řešení pro velká z - není saturace: ˆn 1 (z) = [ ˆn 1 (0) + ˆn 2 (0) +1] exp(2κz)/4.

26 Parametrický zesilovač <n (0)> 1 <n 1(z)> signál <n (z)> 2 jalový mód κz

27 Fotonová statistika zesíleného signálu Fotonová statistika zesíleného signálu Kvantová charakteristická funkce s počátečním koherentním stavem α 1,α 2 : C N (β, z) = exp[βâ 1 (z)] exp[ β â 1 (z)] = exp[ sinh 2 (κz) β 2 +βα (z) β α(z)], Rozdělovací funkce ve fázovém prostoru: Φ N (α, z) = 1 π 2 d 2 βc N (β, z) exp(αβ α β) [ ] = 1 π sinh 2 (κz) exp α α(z) 2 sinh 2 (κz) α(z) = exp( ik 1 z)[α 1 cosh(κz)+iα 2 sinh(κz)].,

28 Fotonová statistika zesíleného signálu Bakerova Hausdorffova identita: exp(â+ ˆB) = exp(â) exp(ˆb) exp( 1/2[Â, ˆB]); [[Â, ˆB], Â] = 0, [[Â, ˆB], ˆB] = 0. Integrál z Gaussovské funkce (R(a) > 0): d 2 β exp[ a β 2 αβ +α β] = π [ ] a exp α 2. a Vývoj rozdělovací funkce podél krystalu: Φ N α,0> 1 Im(α) Re(α)

29 Parametrický generátor Parametrický generátor čerpání ω 3 NLΚ jalový mód ω 2 generovaný signál ω1 Silné čerpání v módu 3 (â 3 α 3 ), ztráty v rezonátoru (γ 1, γ 2 ): signál je generovaný ze superfluorescence. Rovnice (κ = gα 3 ): dâ 1 = γ 1â1(z)+iκâ 2 (z), dâ 2 = γ 2â2(z)+iκâ 1 (z). Práh generace oscilací, dâ 1 /() = dâ 2 /() = 0: â 1 (z) â 2 (z) = i κ γ 1, â 1 (z) â 2 (z) = iγ 2 κ, κ 2 > γ 1 γ 2 α 3 2 > γ 1γ 2 g 2. Ladění frekvence otáčením krystalu.

30 Ramanův rozptyl Ramanův rozptyl ω L ω S ω A ω L b ω L ω = ω + -ω S,A L V Δk = 2k -k -k L S A ω V ω V a Vzniká Stokesovské (ω S = ω L ω V ) a anti-stokesovské (ω A = ω L +ω V ) záření za podmínky k = 2k L k S k A = 0. Kvantový popis s operátorem momentu hybnosti Ĝ: Ĝ int = gâ L (z)â S (z)â V (z) κ â L (z)â A (z)â V (z) H.c..

31 Ramanův rozptyl Heisenbergovy rovnice: dâ S (z) = igâ L (z)â V (z), dâ A (z) = iκ â L (z)â V (z), dâ L (z) = ig â S (z)â V (z)+iκâ A (z)â V (z), dâ V (z) = γ V â V (z)+igâ L (z)â S (z)+iκâ L (z)â A (z) = 0. Zákony zachování: d [ˆn L(z)+ ˆn S (z)+ ˆn A (z)] = 0, d [ˆn V(z)+ ˆn A (z) ˆn S (z)] = 0

32 Ramanův rozptyl Rovnice po vyloučení fononových proměnných: γ S â S (z)+ dâ S(z) γ A â A (z)+ dâ A(z) = g 2 â L (z) 2 â S (z)+ gκ âl 2 γ (z)â A (z) exp(iδkz), V γ V = κ 2 â L (z) 2 â A (z) gκ âl 2 γ (z)â S (z) exp(iδkz),. V γ V Stokesovská interakce (κ = 0) - zesílení pro a L 2 > γ S γ V / g 2 : ) ] â S (z) = â S (0) exp [( γ S + g 2 a L 2 z. γ V Anti-Stokesovská interakce (g = 0) - je vždy tlumena: [ ) ] â A (z) = â A (0) exp (γ A + κ 2 a L 2 z. γ V

33 Ramanův rozptyl Spontánní a stimulované rozptyly - pravděpodobnosti přechodu: P (e) S = i â S â LâV â V âlâ S i n L(n S + 1)(n V + 1), P (a) S = i â SâLâ V âv â LâS i (n L + 1)n S n V, P (e) A = i â A â Lâ V âv âlâ A i (n A + 1)n L n V, P (a) A = i â AâLâV â V â LâA i n A (n L + 1)(n V + 1), 1 n V = exp[ ω V /(kt)] 1. Kinetické rovnice: dn S (z) dn A (z) = g S [n L (z)(n S (z)+1)(n V (z)+1) n S (z)(n L (z)+1)n V (z)], = g A [(n A (z)+1)n L (z)n V (z) n A (z)(n L (z)+1)(n V (z)+1)].

34 Ramanův rozptyl Spontánní rozptyly, n S = n A = 0: dn S (z) dn A (z) = g S n L (z)(n V (z)+1) = dn L(z), n L (z) = n L (0) exp[ g S (n V + 1)z], n S (z) = n L (0)(1 exp[ g S (n V + 1)z]), = g A n L (z)n V (z) = dn L(z), n L (z) = n L (0) exp( g A n V z), n A (z) = n L (0)[1 exp( g A n V z)]. Stimulované rozptyly, n L, n S, n A 1: dn S (z) dn A (z) = g S n L n S (z), n S (z) = n S (0) exp(g S n L z), = g A n L n A (z), n A (z) = n A (0) exp( g A n L z).

35 Ramanův rozptyl Při započtení SA vazby je zesílení Stokesova módu právě kompenzováno zeslabením anti-stokesova módu. Vliv rozfázování: I S,A I S I A Δk Δk=2k -k -k L S A

36 Brillouinův rozptyl Brillouinův rozptyl ω L-ω V ω -ω L V NLΚ ω L L ω +ω V L ωv ω +ω L V Rozptyl vzniká po dopadu krátkého laserového pulzu na látku, kde tlakem vybuzuje akustické fonony. Popis je analogický jako u Ramanova rozptylu.

37 Čtyřvlnová interakce - fázová konjugace Čtyřvlnová interakce - fázová konjugace hω 1 hω 3 k 3 k 4 hω 2 hω 4 k 1 k2 ω 1+ ω 2= ω 3+ ω4 k 1+ k 2= k 3+ k4 Operátor momentu hybnosti Ĝ: Ĝ(z) = gâ 1 (z)â 2 (z)â 3 (z)â 4 (z) H.c. Uvažujeme silné čerpání módů 3 a 4, â 3,4 = α 3,4. Dopředný rozptyl - platí závěry pro parametrický generátor a zesilovač.

38 Čtyřvlnová interakce - fázová konjugace Zpětný rozptyl (ω 1 = ω 2 = ω 3 = ω 4 ): L čerpání NLΚ signál konjugovaný signál Pohybové rovnice (κ = g α 3 α 4 ): dâ 1 (z) d 2 â 1 (z) 2 = iκâ 2 (z), dâ 2 (z) = κ 2 â 1 (z), Řešení pohybových rovnic: â 1 (z) = C 1 exp(i κ z)+c 2 exp( i κ z) C 1 + C 2 = â 1 (0), = iκâ 1 (z), iκâ 2 (L) = i κ C 1 exp(i κ L) i κ C 2 exp( i κ L),

39 Čtyřvlnová interakce - fázová konjugace Řešení [κ = κ exp(iφ κ )]: â 1 (z) = â 2 (z) = 1 cos( κ L) 1 cos( κ L) Pro â 2 (L) = 0 dostáváme: â 1 (L) = [ ] â 1 (0) cos[ κ (z L)]+iâ 2 (L) exp(iφ κ) sin( κ z), [ ] â 2 (L) cos( κ z) iâ 1 (0) exp(iφ κ) sin[ κ (z L)]. â 1 (0) cos( κ L), â 1 (L) â 1 (0) ; â 2 (0) = i exp(iφ κ )â 1 (0) tan( κ L), â 2 (0) â 1 (0). a (0) 2 a (0) 1 0 L a (L) 1 κ L > π/4 a (L) 2

40 Čtyřvlnová interakce - fázová konjugace Odraz vlny od rozhraní: normální zrcadlo fázově konjugované zrcadlo

41 Čtyřvlnová interakce - fázová konjugace Dynamická holografie - signální svazek vytváří s čerpacím svazkem interferenční mřížku, na které se rozptyluje druhý čerpací svazek a tak vytváří konjugovaný signál. Adaptivní optika - korekce distorze vlnoplochy pomocí fázově konjugovaného zrcadla. transparentní objekt fázově konjugované zrcadlo

42 Kerrův jev Kerrův jev Index lomu závisí na intenzitě svazku: n = n 0 + n 2 E 2 samoovlivnění svazku. Potřebné vysoké intenzity svazku (n m 2 /W) Pro n 2 > 0 dochází k samofokuzaci laserového svazku. Pro n 2 < 0 pozorujeme samodefokuzaci. Nelineární vlnová rovnice: E 1 2 ( c 2 z 2 n 0 + n 2 E 2) E = 0. Adiabatická aproximace pro šíření kolem osy z do 3. řádu: E z = i n 0n 2 ω 2 kc 2 E 2 E. Řešení s využitím vztahu E (z)e(z) = E (0)E(0): E(z) = E(0) exp [i n 0n 2 ω 2 ] kc 2 E 2 (0)z.

43 Kerrův jev Kvantový popis analogický: Ĝ int (z) = gâ 2 (z)â 2 dâ(z) (z), = 2igâ (z)â 2 (z), [ ] â(z) = â(0) exp 2igzâ (0)â(0). Samozachycení svazku - difrakci kompenzuje nelinearita. Kvazistacionární samofokuzace - nelin. odezva je okamžitá. Přechodová samofokuzace - nelin. odezva je pomalejší a pulz se transformuje do nátrubku.

44 Samovedený svazek Samovedený svazek Nelineární vlnová rovnice pro monochromatickou vlnu: E 1 v 2 2 E z 2 = µ 0ω 2 P (NL) (ω) exp( iωt). Aproximace rovinnou vlnou podél osy z, SVEA: E(ω)+k 2 E(ω) = µ 0 ω 2 P (NL) (ω). Nelineární Schrödingerova rovnice: 2 x 2 E(x, z,ω)+k 2 χ (3) E(x, z,ω) 2 E(x, z,ω) = 2ik E(x, z,ω). z Řešení - prostorový soliton s konstantou W : [ 2 1 E(x, z,ω) = χ (3) kw exp iz ] [ x ] 2kW 2 sech exp( iωt). W

45 Samovedený svazek Gaussovský svazek se rozplývá v lineárním prostředí v nelineárním prostředí se sám vede

46 Generace 3. a vyšších harmonických Generace 3. a vyšších harmonických Operátor momentu hybnosti Ĝ(z): Ĝ(z) = gâ1 k (z)â 2 (z) H.c., g χ(k). Účinnost generace s řádem rychle klesá. Nelineární polarizace: P (NL) (ω) = 3ǫ 0 χ (3) E(ω) 2 E(ω), P (NL) (3ω) = ǫ 0 χ (3) E(ω) 3.

47 Vícefotonová absorpce, emise Vícefotonová absorpce, emise { Pravděpodobnost P (n) I n I n koherentní pole = n! I n chaotické pole Vícefotonová absorpce redukuje vysoké intenzity, nemění nízké intenzity. Rozdělení integrované intenzity P(I/ I ): I/ 1 I/ 1 dvoufotonová absorpce t P(I/) Gaussovské světlo třífotonová absorpce třífotonová absorpce t dvoufotová absorpce I/ 1 1 I/ t

48 Solitony Solitony Nelineární vlnová rovnice: E 1 2 E v 2 t 2 = µ 2 P (NL) 0 t 2 γ E 2 E. Aproximace rovinnou vlnou podél osy z, SVEA: 2ik E z 1 v 2 2 E t 2 = ( k 2 +γ E 2) E γ E 2 E. Nelineární Schrödingerova rovnice [γ = γ /(2k), τ = vt 2k]: 2 E(z, t) τ 2 +γ E(z, t) 2 E(z, t) = i E(z, t). z Řešení - časový soliton s konstantami a, b, W : [ ] τ az E(z, t) = E 0 sech exp [ i a ] W 2 (τ bz).

49 Solitony lineární šíření nelineární šíření: sec( ξ) t t