WYKŁAD 4 STAN JAŁOWY I ZWARCIE TRANSFORMATORA

Transkrypt

1 WYKŁAD 4 STA JAŁOWY ZWARCE TRASFORMATORA 4.. Moc pozorna transformatora jednofazowego. Rozpatrzmy transformator jednofazowy z rdzeniem płaszczowym pokazany na rys.4.. Przekrój kolumny rdzenia wynosi S a w obwodzie magnetycznym wytyczono zamknięty kontur l. U U l S U U Rys.4.. Geometria transformatora jednofazowego. a podstawie prawa Faraday a (.) otrzymano zależność pomiędzy SEM indukowanymi w obydwu uzwojeniach E E ϑ Zastosujmy obecnie prawo Ampere a do konturu l f (4.) l H dl l dl μ μ r i ( t) + i ( t) (4.) Okazuje się, że wartość lewej strony równania (.3) jest równa dla współczesnych blach zimnowalcowanych około *l, natomiast amperozwoje strony G bądź D jednostek o mocy od kilkudziesięciu kva w warunkach znamionowych są rzędu 4-5. Można więc zapisać ( ) + ( ) i t i t (4.3) Przyjmując, że iloraz napięć znamionowych praktycznie nie odbiega od wartości przekładni

2 fazowej uzyskuje się z wymnożenia stronami równań (4.)(4.3) S U U S S (4.4) S moc znamionowa (pozorna) transformatora jednofazowego, [ VA ]. Stan jałowy i zwarcia są granicznymi stanami pracy transformatora, w których moc pozorna wyjściowa S jest równa zeru. Oznaczając stronę zasilaną indeksem () mamy - w stanie jałowym S U ponieważ (4.5) U U U U U U Rys.4.. Transformator w stanie jałowym zasilany od strony G - w stanie zwarcia S U ponieważu (4.6) U k U k U U k U Rys.4.3. Transformator w stanie zwarcia zasilany od strony G

3 4.. Stan jałowy transformatora jednofazowego Jedno z uzwojeń transformatora (G bądź D) jest zasilane napięciem () t U sin( ωt) u (4.7) Pod wpływem tego napięcia w zamkniętym obwodzie zasilanego uzwojenia o zwojach płynie prąd, który wytwarza strumień magnetyczny Φ w rdzeniu Φ () t μ ( ωt ϕ ) sin (4.8) R m + gdzie R μ - reluktancja obwodu magnetycznego. Strumień ten jest skojarzony z uzwojeniem zasilającym i wytwarza w nim siłę elektromotoryczną (SEM) e(t) () t dφ (4.9) d t e ilans napięć w obwodzie (w opisie odbiornikowym) daje () t dφ e(t) + i(t)r (4.) d t u Jak pokazują obliczenia rzeczywistych obiektów, pominięcie w (4.) spadku napięcia na rezystancji daje znikomy błąd rzędu części procenta. Całkując to równanie otrzymuje się Φ() t u () t dt U cos( ωt) + C (4.) π f Stała całkowania w stanie ustalonym równa się zeru. Ostatecznie przebieg czasowy strumienia wynosi U π Φ() t sin ωt (4.) π f Porównując (4.8) i (4.) widzimy, że prąd μ, zwany prądem magnesującym, jest opóźniony w stosunku do napięcia o kąt π/, a amplituda strumienia jest równa U Φ m π f We wzorze (4.3) U jest wartością skuteczną. (4.3) U 4.44 f

4 Łącząc (4.8) i (4.) otrzymuje się μ R μ U πf (4.4) co daje wyrażenie na tzw. reaktancję magnesującą ( ) πf ωlμ Xμ μ R μ U (4.5) Uzwojenie wtórne jest skojarzone z tym samym strumieniem Φ i wartość skuteczna napięcia indukowanego w tym uzwojeniu wynosi U (4.6) π f Φm apięcia U oraz U są ze sobą w fazie, ponieważ są związane z przebiegiem czasowym tego samego strumienia magnetycznego dφ u( t ) dt u( t ) (4.7) U jωl μ μ U μ Φ L μ μ / Rys.4.4. Wykres wskazowy transformatora w idealnym stanie jałowym Własności magnetyczne blach rdzenia są silnie nieliniowe i zależą znacznie od stopnia zaawansowania technologii jej wykonania. Dla małych transformatorów decyduje poziom kosztów wielkoseryjnej produkcji, w jednostkach największych mocy istotne są poziom strat oraz gabaryty transformatora.

5 [ T ].5 M6.5 MVA VA M H [A/m ] Rys.4.5. Charakterystyka magnesowania blachy transformatorowej M9 z zaznaczonym zakresem typowych punktów pracy dla różnych mocy transformatorów. ndukcja magnetyczna i natężenie pola magnetycznego H są proporcjonalne do strumienia skojarzonego i natężenia prądu w obwodzie, który wytworzył strumień i μ H dl Ψ l S Hl ds S (4.8) Z kolei strumień skojarzony jest proporcjonalny do napięcia (3.7), przy czym jest opóźniony w fazie o π/. W większości wypadków napięcie zasilające jest sinusoidalne w czasie, stąd dla nieliniowej charakterystyki magnesowania prąd magnesujący musi być odkształcony w stopniu zależnym od amplitudy wymuszającego napięcia. i μ ( m.5 T) i μ ( m.75 T) Ψ( m.5 T) Ψ( m.75 T) T u( m.75 T) u( m.5 T) Rys.4.8. Przebiegi czasowe napięcia u, strumienia skojarzonego Ψ oraz prądu magnesującego i μ dla nieliniowego obwodu magnetycznego transformatora

6 4.3. Straty mocy w rdzeniu transformatora. Rozpatrzmy fragment elementarnego obwodu magnetycznego, w którym wzbudzono okresowy strumień magnetyczny przy pomocy skupionej cewki o zwojach i pomijalnie małej rezystancji. Dysponujemy pomiarami mocy, napięcia zasilającego i prądu wykonanymi dla różnych częstotliwości od znikomo małej do sieciowej. μ μ r H S U i l d Ψ u dt Ψ a. b. Rys.4.9. Zasada wyznaczania strat w ferromagnetykach a. szkic układu pomiarowego, b. wykres wskazowy Przesunięcie fazowe pomiędzy prądem i napięciem φ U jest mniejsze od π/, tak więc przy pomijalnej rezystancji uzwojenia, moc czynna pobrana ze źródła jest związana ze zjawiskami w rdzeniu a oblicza się ją (dla przebiegów sinusoidalnych) ze wzoru P U cos ( φ ) (4.9) lub w przypadku przebiegów odkształconych z ogólnej zależności P T T U u () t i()dt t Moc elektryczna jest związana z energią ogólną zależnością stąd elementarna zmiana energii (4.) dw P (4.) d t dψ δ W i δt iδψ d t (4.)

7 Całkowita energia pobrana ze źródła i zmagazynowana w polu magnetycznym przy zmianie strumienia skojarzonego od zera do Ψ m wynosi W Ψ m i d Ψ (4.3) Uwzględniając definicyjne zależności i μ Hdl dψ S l d H l (4.4) Wyrażenie (4.3) przekształca się do M W l S H d (4.5) m m H d ρ gdzie M jest masą rdzenia a ρ jego gęstością. Elementarne zmiany energii przypadające na jednostkę objętości δw [J/m 3 ] δ w H δ (4.6) mogą być dodatnie (w opisie odbiornikowym - energia pobrana ze źródła) lub ujemne energia zwrócona do źródła. Rozpatrzmy obecnie przypadek, kiedy strumień skojarzony jest opóźniony o niewielki kąt (z reguły kilka stopni) a amplituda strumienia jest na tyle mała, że przebiegi (t) oraz H(t) są sinusoidalne. H p q q r r s s p H>, δ> H>, δ< H<, δ< H<, δ> q r s p r q p H s energia pobrana (p q) oraz (r s) energia zwrócona (q r) oraz (s p) Rys.4.. Powstawanie strat histerezowych w ferromagnetykach a. przebiegi czasowe indukcji i natężenia pola magnetycznego H, b. ilustracja wymiany energii ze źródłem

8 Jak wynika z rys.4., w ciągu jednego cyklu przemagnesowania ulega rozproszeniu na ciepło pewna ilość energii ΔW o wielkości proporcjonalnej do pola pętli histerezy (H). Średnie za okres napięcia zasilającego straty mocy P h wynoszą M Δ W H d (4.7) ρ pqrsp M P Δ W f f h H d (4.8) ρ pqrsp gdzie f jest częstotliwością napięcia zasilania. W przypadku, kiedy indukcja w ferromagnetyku jest na tyle duża, że prąd magnesujący jest odkształcony, kształt pętli histerezy ulega zmianie. Metodyka wyznaczania strat histerezowych jest taka sama i również obowiązuje wzór (4.8). H p q q r r s s p H>, δ> H>, δ< H<, δ< H<, δ> q s p r q r p H s energia pobrana (p q) oraz (r s) energia zwrócona (q r) oraz (s p) Rys.4.. Powstawanie strat histerezowych w ferromagnetykach nasyconych a. przebiegi czasowe indukcji i natężenia pola magnetycznego H, b. ilustracja wymiany energii ze źródłem W zastosowaniach praktycznych wzór (4,8) jest podawany w nieco innej postaci n f Ph ph, M re fre Δ (4.9) re Δp h,re stratność blachy [ W/kg ], pomierzona przy indukcji o amplitudzie re (zwykle re.5 lub.75 T) i częstotliwości f re, M jest masą badanego obiektu. Wartość wykładnika n zmienia się od.8 do.. Typowe wartości stratności wynoszą: - dla blach transformatorowych (zimnowalcowanych, wzdłuż kierunku walcowania) Δp h,.5.8. W/kg, - dla blach prądnicowych (gorącowalcowanych,) Δp h, W/kg

9 Oprócz strat histerezowych w przemagnesowywanym pakiecie blach elektrotechnicznych występują również straty związane z przepływem prądów wirowych w pojedynczych blachach. ch wyznaczenie otrzymać można na drodze następującego rozumowania zakłada się, że kolejne blachy o grubości d są od siebie odizolowane elektrycznie a w każdej z nich występuje równomierne pole indukcji o amplitudzie (założenie jest poprawne tylko dla cienkich blach, w których reakcja prądów wirowych nie deformuje istotnie pola źródłowego). Przyjmuje się też, że wszystkie przebiegi są sinusoidalne w czasie. Δy O -d/ E y E d/ x O x Rys.4.. Układ współrzędnych do wyznaczania reakcji prądów wirowych w cienkich blachach Dla pewnego zamkniętego konturu o rozmiarach Δx, Δy całkowa postać prawa Kirchoffa jest następująca l d E dl ds (4.3) dt gdzie E jest wektorem natężenia pola elektrycznego. Dla dostatecznie cienkich blach droga całkowania w kierunku x jest pomijalnie mała. Uwzględniając ponadto zależność pomiędzy gęstością prądu J a natężeniem E poprzez konduktywność elektryczną γ otrzymuje się S(l) J γ E (4.3) J Δ y π f Δ y(x) (4.3) γ Ostatecznie rozkład gęstości prądu wzdłuż grubości blachy jest linią prostą J(x) π fγ x (4.33)

10 J O y x O J a. b. Rys.4.3. Rozkład prądów wirowych w cienkich blachach a. fragment pojedynczej blachy, b. pakiet izolowanych blach Objętościowa gęstość strat mocy [W/m 3 ] wynosi pec ( x) J ( x) (4.34) γ Gęstość tę można uśrednić na grubości blachy jako.5d.5d ( x) J p ec av dx π d γ 3 f γ d (4.35) Całkowite straty w pakiecie o masie M są równe γ Pec π f d M 3 ρ (4.36) Do zastosowań praktycznych wykorzystywana jest zależność podobna do równania określającego straty histerezowe f Pec pec, M re fre Δ (4.37) re Δp ec,re stratność blachy (dla prądów wirowych) [W/kg], pomierzona przy indukcji o amplitudzie re (zwykle re.5 lub.75 T) i częstotliwości f re. W katalogach często podaje się łączną stratność Δp re Δp h,re + Δp ec,re. Przy rozdziale strat można w takim przypadku założyć, że dla f5 Hz Δp h,re Δp ec,re. ależy pamiętać, że prosta struktura wzorów (4.9) (4.37) została uzyskana dzięki szeregu założeń upraszczających, dlatego też ich zastosowanie jest ograniczone dla indukcji i częstotliwości niezbyt odległych (% - 3%)od re i f re.

11 4.4. Stan zwarcia transformatora. Zwarcie zacisków strony wtórnej przy pełnym napięciu zasilania po stronie pierwotnej grozi nieodwracalnymi uszkodzeniami cieplnymi i dielektrycznymi uzwojeń. ie dotyczy to wąskiej klasy transformatorów specjalnych (np. piecowych), lecz dla znakomitej większości jednostek jest to stan awaryjny i musi być natychmiast wyłączony przez zabezpieczenia. Zagadnienia te nie będą tu omawiane, natomiast tzw. zwarcie pomiarowe, kiedy napięcie zasilania jest znacznie (kilku- a nawet czasem kilkunastokrotnie) obniżone jest typową próbą podczas badań transformatorów energetycznych. Ze względu na obniżone napięcie można przyjąć, że prąd magnesujący jest znikomy i zachodzi tzw. pełna kompensacja amperozwojów Θ (4.38) h X X (x) x a a a. b. Rys.3.9. Rozkład linii strumienia podczas zwarcia transformatora a. rzeczywisty kształt strumienia magnetycznego, b. idealizowany kształt strumienia magnetycznego w oknie transformatora. δ Przyjmując uproszczony prostoliniowy przebieg linii pola w oknie transformatora, amplituda czasowa indukcji m w obszarze uzwojeń zależeć będzie od miejsca Θ x m (x) μ k, (4.39) h a gdzie x jest mierzone od skraju uzwojenia (przy powierzchni kolumny rdzenia). k

12 Zgodnie z zależnościami (4.3)(4.6) energia zmagazynowana w polu magnetycznym wynosi W m m H d dv dv (4.4) μ V V Wykonując całkowanie kolejno dla trzech obszarów o szerokościach a, δ, a otrzymuje się lsr a a μ Θ kr + δ + (4.4) h 3 3 W gdzie l śr jest średnią długością zwoju obydwu uzwojeń, a k R, nazywany współczynnikiem Rogowskiego, szacuje zmiany indukcji wzdłuż wysokości kolumny w rzeczywistym transformatorze. Dla typowych uzwojeń cylindrycznych wynosi on a + δ + a (4.4) π h kr Wykorzystując energetyczną definicję indukcyjności, wynikającą wprost z (4.3) mamy L W j j, (4.43) Θ k j W zależności które uzwojenie zostanie wykorzystane w obliczeniach (4.43) do wyznaczenia L kj, mówimy o indukcyjności sprowadzonej na stronę pierwotną lub wtórną. Straty mocy w stanie zwarcia wydzielają się w większości w obszarach uzwojeń i wynoszą P k R + k R (3.4) k d d gdzie R, R są rezystancjami uzwojeń mierzonymi prądem stałym, a współczynniki k d, k d > ujmują tzw. straty dodatkowe wynikające z indukowanych prądów wirowych zarówno w poszczególnych drutach cewek jak i w obwodach równoległych uzwojenia.