Elementy symetrii. obiekt geometryczny taki jak linia, płaszczyzna lub punkt, względem którego dokonuje się operacji symetrii.

Transkrypt

1 ELEMENTY SYMETRII Element symetrii obiekt geometryczny taki jak linia, płaszczyzna lub punkt, względem którego dokonuje się operacji symetrii. ELEMENTY SYMETRII Elementy symetrii PŁASZZYZNA peracje symetrii odbicie w płaszczyźnie peracja symetrii przekształcenie ciała, po dokonaniu którego każdy punkt ciała pokrywa się z równoważnym punktem (w szczególności z samym sobą) przed wykonaniem transformacji. ŚRDEK SYMETRII (INWERSJI) Ś WŁAŚIWA Ś NIEWŁAŚIWA inwersja jeden lub kilka obrotów wokół tej osi jedna lub więcej następujących operacji złożonych: obrót, a po nim odbicie w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu ELEMENTY SYMETRII oś symetrii n płaszczyzna symetrii σ ELEMENTY SYMETRII oś właściwa n n krotność osi; największa wartość n, dla której obrót o kąt π/n prowadzi do konfiguracji równoważnej oś dwukrotna drugiego rzędu oś czterokrotna 4 czwartego rzędu środek symetrii i oś niewłaściwa (inwersyjna) S n cis-(r, R)-di-sec-butylocyklobutan r-,c-,c-,c-4-(r, R, R, R)-tetra-secbutylocyklobutan oś uniwersalny element symetrii operacja identyczności (E lub I)

2 ELEMENTY SYMETRII środek symetrii i punkt, w którym znajduje się początek układu kartezjańskiego; zamiana współrzędnych (x,y,z) każdego atomu na współrzędne (-x,-y,-z) prowadzi do konfiguracji równoważnej atomów cząsteczki ELEMENTY SYMETRII płaszczyzna symetrii σ przechodzi przez ciało, atomy leżące na płaszczyźnie zajmują szczególne położenie operacja odbicia względem płaszczyzny nie zmienia ich położenia, każda cząsteczka płaska musi mieć jedną płaszczyznę wyznaczoną przez atomy tworzące cząsteczkę, liczba atomów danego rodzaju nie leżących na płaszczyźnie symetrii musi być parzysta, jeżeli w cząsteczce mającej płaszczyznę symetrii jest tylko jeden atom danego rodzaju, to musi on znajdować się na każdej płaszczyźnie symetrii cząsteczki trans-(r, S)-di-sec-butylocyklobutan jedyny atom cząsteczki, który nie zmieniłby swojego położenia w wyniku operacji symetrii tzn. inwersji Inne atomy muszą występujępować w cząsteczce parami; każdy z nich musi mieć swój odpowiednik, z którym zamienia się miejscem podczas inwersji cis-(r, S)-di-sec-butylocyklobutan ELEMENTY SYMETRII środek symetrii i n-krotne wykonywanie operacji inwersji i n n parzyste i n =E n nieparzyste i n =i cząsteczki mające środek symetrii: cząsteczki typu AB 6 o strukturze ośmiościanu, płaskie cząsteczki AB 4, płaskie cząsteczki AB typu trans, cząsteczki liniowe typu ABA, eten, benzen środek symetrii nie występuje w cząsteczkach, w których występuje więcej niż jeden rodzaj nieparzystych atomów ELEMENTY SYMETRII płaszczyzna symetrii σ n-krotne wykonywanie operacji inwersji σ n n parzyste σ n =E n nieparzyste σ n = σ cząsteczki mające płaszczyzny symetrii: cząsteczki liniowe o nieskończonej liczbie płaszczyzn symetrii cząsteczki typu N, o trzech płaszczyznach symetrii kompleksy o strukturze płaskiej, np. [Pt 4 ] - o pięciu płaszczyznach symetrii cząsteczki o strukturze czworościanu foremnego mają sześć płaszczyzn symetrii cząsteczki o strukturze ośmiościanu foremnego mają dziewięć płaszczyzn symetrii cząsteczki o wysokiej symetrii nie mające środka symetrii: 5 5- (płaski pięciobok) cząsteczki typu AB 4 o strukturze czworościanu

3 ELEMENTY SYMETRII oś niewłaściwa (inwersyjna) S n złożenie dwóch operacji symetrii: obrotu właściwego oraz następującego po nim odbicia w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu; obrót niewłaściwy o kąt π/n oznacza się symbolem S n jeżeli cząsteczka ma oś n i prostopadłą do niej płaszczyznę symetrii, to ma także i oś inwersji S n cząsteczka może mieć oś S n wtedy, gdy nie ma, ani osi n, ani prostopadłej do niej płaszczyzny symetrii σ prosta jest osią trzeciego rzędu cząsteczki etanu ELEMENTY SYMETRII oś niewłaściwa (inwersyjna) S n element symetrii oś inwersyjna S n operacje S n, S n, S n,... dla n parzystego S n n wykonywane są operacje n, σ, n, σ,...n razy n parzyste, to wykonanie n razy odbicia daje jedność czyli operacje S n, S n, S n,... Sn n S n n = n n n n = E tym samym Sn n = E konformacja II = konformacja III oraz konformacja I = konformacja IV ALE konformacja II konformacja I oś właściwa 6 i płaszczyzna symetrii σ nie są elementami symetrii cząsteczki etanu ALE złożenie tych dwóch elementów symetrii jest elementem symetrii cząsteczki osią niewłaściwą S 6 ELEMENTY SYMETRII oś niewłaściwa (inwersyjna) S n Zbiór operacji S 6, S 6, S 6, S4 6, S5 6, S6 6 można, np. zapisać S 6, obrót o kąt π/ S 6 = 6 =, S 6 = S = i, A A obrót o kąt π/ B S 4 6 =, S 5 6, S 6 6 = E czyli S6,, i,, S5 6, E peracje,, E są generowane przez oś Z istnienia osi S 6 wynika istnienie osi obrót o kąt π/ A D = A z istnienia osi S n parzystego rzędu wynika istnienie osi n/

4 ELEMENTY SYMETRII oś niewłaściwa (inwersyjna) S n Zbiór operacji S 5, S 5, S 5, S4 5,... można, np. zapisać S 5 = 5, a następnie σ, S 5 = 5, S 5 = 5, a następnie σ, S 4 5 = 4 5, S 5 5 = σ S 6 5 = 5, S 7 5 = 5,a następnie σ, S 8 5 = 5, S 9 5 = 4 5, a następnie σ, S 0 5 = E S 5 = 5, a następnie σ, od operacji S n+ n ciąg operacji zaczyna powtarzać się Grupy punktowe zawierające cząsteczki chiralne Grupy punktowe n jeden element symetrii oś właściwa n grupa punktowa np. ( )- i (+)-kwas winowy, chiralne bifenyle,,-dipodstawione alleny,-dichloroallen element S n dla n nieparzystego generuje n operacji Grupy punktowe zawierające cząsteczki chiralne Grupy punktowe zawierające cząsteczki chiralne Zbiór niepowtarzających się operacji symetrii danej cząsteczki tworzy grupę; różne grupy odpowiadają różnym rzeczywistym cząsteczkom Grupy punktowe n grupa punktowa jeden element symetrii oś właściwa n Grupa punktowa charakteryzują się najniższym stopniem symetrii; jedyny element symetrii identyczność równoważna z osią symetrii. cząsteczki typu abcd, np. F ipr Me Me ipr tri-o-tymotyd cztery konformacje, z których dwie mają symetrię a dwie ; energia racemizacji ok. kcal/mol ipr Me X Y Pochodne cyklotriweratrylenu są stosunkowo optycznie trwałe (energia aktywacji dla racemizacji wynosi ok. 6.5 kcal/mol) Y X X = Y =, X Y trans,trans,trans-,7,-trimetylo-,5,9-dodekatrien otrzymano poprzez trimeryzację (typu głowa-do-głowy),-pentadienu. 4

5 Grupy punktowe zawierające cząsteczki chiralne Grupy punktowe zawierające cząsteczki chiralne Grupy punktowe n jeden element symetrii oś właściwa n Grupy punktowe D n n osi symetrii głównej osi właściwej n grupa punktowa D grupa 6 trishomokuban... cykloheksaamyloza, tzw. α-cyklodekstryna trans- transoid-trans-transoidtrans-perhydrotrifenylen pierwszy związek z grupy D otrzymany w optycznie czynnej formie dimer cyklotriweratrylenu Grupy punktowe zawierające cząsteczki chiralne Grupy punktowe D n grupa punktowa D n osi symetrii głównej osi właściwej n np. twistan, zmostkowane bifenyle, X Grupy punktowe inne niż n i D n posiadają płaszczyzny, środki symetrii czy osie. cząsteczki należące do nich są achiralne X X =, S, = 5

6 Grupa punktowa s (lub h ) elementy symetrii płaszczyzna symetrii σ operacje symetrii dla cząsteczek należących do tej grupy: E i σ przykłady cząsteczek należących do tej grupy: cząsteczki typu XY i R XY, aldehydy (R=) chloroeten = m-bromochlorobenzen Grupy punktowe S n elementy symetrii n-krotna inwersyjna oś symetrii S n Grupa punktowa S (lub i ) elementy symetrii oś inwersyjna S (i) operacje symetrii dla cząsteczek należących do tej grupy: E i i przykłady cząsteczek należących do tej grupy: mezo-,-dibromobutan w konformacji antiperiplanarnej dichloro[.]paracyklofan trans-diketopiperazyna (powstała z L- oraz D-Ala) N R S N Grupy punktowe S n elementy symetrii n-krotna inwersyjna oś symetrii S n Grupy punktowe S n elementy symetrii n-krotna inwersyjna oś symetrii S n Grupa S 4 n parzyste brak płaszczyzn symetrii niezbędna oś symetrii n/ towarzysząca osi S n operacje symetrii dla cząsteczek należących do tej grupy: E, S 6, i S 4 n = 4m+ gdzie m = 0,,,... występuje także środek inwersji n = 4m gdzie m = 0,,,... brak środka inwersji przykładem cząsteczki należącej do tej grupy jest np. związek typu spiro czy pochodna bifenylu L n nieparzyste S n towarzyszy zawsze oś n pozioma płaszczyzna σ h (grupy nazywają się nh ) N L L: S N Ph : N R Ph 6

7 płaszczyzny symetrii wertykalna σ v zawiera główną oś symetrii diagonalna σ d zawiera główną oś symetrii horyzontalna σ h prostopadła do głównej osi symetrii grupa punktowa v oś symetrii, w której przecinają się płaszczyzny symetrii, ale brak innych elementów symetrii Kombinacje tych płaszczyzn z osiami symetrii generują większość grup punktowych symetrii n lub D n przykłady cząsteczek należących do tej grupy (tzw. symetria stożkowa): chlorowodór tlenek węgla chloroetyn oś symetrii obrót o nieskończenie mały kąt grupy punktowe nv v jedna oś symetrii n n wertykalnych (pionowych) płaszczyzn symetrii σ v, które zawierają oś symetrii n oraz przecinają się na niej grupy punktowe nh oś symetrii n płaszczyzna symetrii σ h, która jest prostopadła do osi symetrii n v grupy punktowe h operacje symetrii E,, i, σ N F F F przykłady cząsteczek należących do tej grupy: trans-dibromoeten s-trans-,-butadien 4v 5v,4-dibromo-,5-dichlorobenzen ' dla planarnych pierscieni 7

8 grupy punktowe nh grupy punktowe D nd grupa punktowe D d wyższe grupy punktowe nh grupa punktowe h należą do nich cząsteczki występujące w określonych konformacjach grupa punktowe 6h wyższe grupy punktowe D nd cząsteczki występują w takich grupach raczej rzadko D 5d D 5h D 6h D 8h Fe Fe r U grupy punktowe D nd jedna oś symetrii n grupy punktowe D nh jedna oś symetrii n n prostopadłych do niej osi symetrii n prostopadłych do niej osi symetrii n płaszczyzn symetrii σ d (diagonalne, przekątne) które przecinają się na osi głównej symetrii n płaszczyznę symetrii σ h grupy punktowe D d operacje symetrii E,,, σ d, S 4, S 4 grupa punktowa D h operacje symetrii E,,, σ v, σ h, i D d przykłady cząsteczek należących do tej grupy: przykłady cząsteczek należących do tej grupy: alleny spirany eten,4-dichlorobenzen bifenyle naftalen, antracen 8

9 grupy punktowe D nh jedna oś symetrii n n prostopadłych do niej osi symetrii płaszczyznę symetrii σ h Grupy punktowe odpowiadające bryłom platońskim Aby zbudować wielościan foremny należy w jednym punkcie połączyć co najmniej trzy ściany. Dla trójkątów równobocznych: trzy trójkąty o wspólnym wierzchołku (czworościan) D h D 6h ściany: 4 trójkąty równoboczne wierzchołki: 4 krawędzie: 6 cztery trójkąty o wspólnym wierzchołku (ośmiościan) ściany: 8 trójkątów równobocznych wierzchołki: 6 krawędzie: pięć trójkąty o wspólnym wierzchołku (dwudziestościan) trifenylen koronen kekulen grupa punktowa D h oś symetrii, w której przecinają się płaszczyzny symetrii osi symetrii prostopadłych do osi głównej symetrii płaszczyzna symetrii prostopadła do osi głównej symetrii Grupy punktowe odpowiadające bryłom platońskim Dla kwadratów: trzy kwadraty o wspólnym wierzchołku sześcian ściany: kwdraty wierzchołki: 8 krawędzie: przykłady cząsteczek należących do tej grupy (tzw. symetria cylindryczna): wodór cząsteczkowy ditlenek węgla etyn Dla pięciokątów foremnych: trzy pięciokąty o wspólnym wierzchołku dwunastościan ( x08 = 4 < 60 ) 9

10 Grupy punktowe odpowiadające bryłom platońskim Tetraedr (czworościan) ma następujące elementy i operacje symetrii: Td trzy osie S 4, które pokrywają się z osiami x, y, z (generowane operacje S 4, S 4 =, S 4 ) trzy osie, które pokrywają się z osiami x, y, z (każda generuje operację ) cztery osie, z których każda przechodzi przez jeden wierzchołek i środek czworościanu (każda generuje operację i razem osiem) sześć płaszczyzn symetrii grupa punktowa T d R R R Przykłady cząsteczek: metan adamantan cząsteczka hipotetyczna R Grupy punktowe odpowiadające bryłom platońskim grupa punktowa I h Dodekaedr (dwunastościan) oraz zikosaedr (dwudziestościan) mają taka samą symetrię; Należą do grupy punktowej I h, która charakteryzuje się 0 operacjami (E, 5, 5, 0, 5, i, S 0, S 0, 0S 6, 5σ) A B, R = Grupy punktowe odpowiadające bryłom platońskim KREŚLANIE SYMETRII ZĄSTEZEK grupa punktowa h ZĄSTEZKA ETAP I ZĄSTEZKI LINIWE: v, D h ktaedr (ośmiościan) ma następujące elementy i operacje symetrii: trzy osie S 4, które przechodzą przez przeciwległe wierzchołki (każda generuje operacje S 4, S =, 4 S ) 4 trzy osie, które pokrywają się z osiami S 4 (każda generuje operację ) trzy osie 4, które pokrywają się z osiami S 4 i (każda generuje operacje 4, i, 4 ale tylko 4, 4 nie zostały jeszcze wymienione) sześć osi, które przechodzą przez środki przeciwległych krawędzi (każda generuje operację ) cztery osie S 6, które przechodzą przez środki przeciwległych ścian trójkątnych (każda generuje operacje S 6, S = 6, i,, S5 ) 6 cztery osie, które pokrywają się z osiami S 6 (każda generuje operacje,, generowane również przez S 6 ) środek inwersji (wymieniony w pcie 5) trzy płaszczyzny symetrii, które przechodzą przez cztery spośród sześciu wierzchołków ośmiościanu (operacje σ h ) sześć płaszczyzny symetrii, które przechodzą przez dwa wierzchołki i dzielą na połowy przeciwległe krawędzie nie zawierające tych wierzchołków(operacje σ d ) ETAP II ETAP III oś n nie będąca konsekwencją S n σ h nh ETAP IV BRAK n GRUPY KILKU SIA WYŻSZEG RZĘDU: T, T h, T d,, h, I, I h, BRAK SI BRTÓW, s, i Ś NIEWŁAŚIWA S 4, S 6,S 8... n parzyste ETAP V σ h D nh nσ v nv BRAKσ n n n nσ d D nd BRAKσ D n 0