Wykłady z fizyki FIZYKA II

Transkrypt

1 POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I LOGISTYKI Istytt Matematyk Fzyk Katedra Fzyk Wykłady z fzyk FIZYKA II dr Barbara Klmesz Poltechka Opolska Opole Uversty of Techology Wydzał IżyerI Prodkcj Logstyk Faclty of Prodcto Egeerg ad Logstcs

2 SPRAWY ORGANIZACYJNE Wark ogóle zalczea zajęć (Reglam Stdów a PO): ) fgrowae azwska stdeta a protokołach zalczeowych egzamacyjych oraz posadae dokmet potwerdzającego tożsamość ( 5 RSPO); ) zalczee przedmot eobjętego egzamem dokoywae jest a podstawe zalczea wszystkch form zajęć prowadzoych w ramach tego przedmot ( 6 pkt.3 RSPO); 3) w przypadk różych form zajęć (w tym wykładów e kończących sę egzamem) zalczee zajęć dokoywae jest a podstawe weryfkacj efektów kształcea w forme prac kotrolych, sprawdzaów, projektów, referatów oraz ych form sprawdzaa wedzy, mejętośc kompetecj społeczych, a także obecośc a zajęcach, za wyjątkem wykładów ( 6 pkt.6 RSPO).

3 SPRAWY ORGANIZACYJNE Formalym potwerdzeem zalczea poszczególych form zajęć jest wps ocey do protokoł, z zastosowaem poższej skal oce ( 6 pkt.5 RSPO): ocea słowa skrót zaps lczbowy bardzo dobry bdb 5,0 dobry pls db pls 4,5 dobry db 4,0 dostateczy pls dst pls 3,5 dostateczy dst 3,0 edostateczy d,0

4 SPRAWY ORGANIZACYJNE Zalczee wykład: ) zalczea ższych form zajęć dydaktyczych oraz wykładów eobjętych egzamem dokoją prowadzący te zajęca, przed rozpoczęcem sesj egzamacyjej ( 6 pkt.7 RSPO), tj. przed 9 czerwca 09 r. (sem. let rok akademckego 08/09) ) kolokwm zalczeowe w forme psemej: 0 czerwca 09 r. (edzela ) Materały dydaktycze dotyczące wykładów:

5 EFEKTY KSZTAŁCENIA (WIEDZA) stdet ma podstawową wedzę w zakrese fzyk, obejmjącą fzykę atomową, w tym wedzę ezbędą do zrozmea fzyczych podstaw klczowych zagadeń z zakres stdowaego kerk stdów (w, l ) ; stdet ma elemetarą wedzę a temat plaowaa wykoywaa eksperymetów fzyczych, za rozme metody pomar podstawowych welkośc fzyczych oraz szacowaa epewośc pomarowych (l ).

6 EFEKTY KSZTAŁCENIA (UMIEJĘTNOŚCI) stdet potraf pozyskwać formacje z lteratry ych źródeł, tegrować zyskae formacje, dokoywać ch terpretacj, a także wycągać wosk oraz formłować zasadać ope (w, l ) ; stdet potraf zaplaować przeprowadzć eksperymety fzycze, opracować terpretować zyskae wyk, wycągać formłować właścwe wosk, zasadać ope oraz opracować dae w postac zwęzłego sprawozdaa (l ) ; stdet potraf pracować dywdale w zespole, stosować zasady bezpeczeństwa hgey pracy oraz oszacować czas potrzeby a realzację zlecoego zadaa zapewający dotrzymae termów ( l ).

7 EFEKTY KSZTAŁCENIA (KOMPETENCJE SPOŁECZNE) stdet ma śwadomość odpowedzalośc za pracę własą oraz gotowość podporządkowaa sę zasadom pracy w zespole pooszea odpowedzalośc za wspóle realzowae zadaa ( l ) ; stdet ma śwadomość ważośc przestrzegaa zasad etyk zawodowej społeczej, poszaowaa różorodośc poglądów oraz jest śwadom ważośc postępowaa zgodego z dchem profesjoalzm ( l ).

8 ZALECANA LITERATURA R. Resck, D. Hallday: FIZYKA Warszawa; (tom ), PWN J. Massalsk, M. Massalska: FIZYKA DLA INŻYNIERÓW (część ), WNT Warszawa; J. Orear: FIZYKA (tom ), WNT Warszawa; Cz. Bobrowsk: FIZYKA - KRÓTKI KURS, WNT Warszawa; M. Skorko: FIZYKA, PWN Warszawa; A. Skeck, A. Zagórsk: FIZYKA CIAŁA STAŁEGO, WNT Warszawa; B. N. Bszmaow, J. A. Chromow: FIZYKA STAŁEGO, WNT Warszawa. CIAŁA

9 TEMATYKA WYKŁADÓW Fale elektromagetycze. Promeowae śwetle. Śwatło a zjawska kwatowo - optycze. Elektryczość magetyzm - rch aładowaych. Dalzm korpsklaro - falowy śwatła. cząstek Fzyka atom jądra atomowego. Promee RTG a promeotwórczość atrala. Podstawy krystalograf. Strktra cał stałych. Elemety teor przewodctwa elektryczego metal półprzewodków.

10 RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU W rok 995 Mędzyarodowa Orgazacja Normalzacyja (ISO) w porozme z szeregem śwatowych orgazacj akowo - techczych zgodła mędzyarodowe ormy dotyczące termolog sposob określea epewośc pomarowych ( Gde to Epresso of Ucertaty Measremet, Iteratoal Orgazato for Stadarzato (ISO), Geeva 995): a) rozróżee epewośc pomarowych od błędów pomarowych; b)przyjęce jako mary epewośc epewośc stadardowej, która odpowada odchyle stadardowem w rozkładze ormalym; c) rozróżee ocey epewośc wyków pomarowych opartych ścśle a rozkładze ormalym (metody typ A) od ych metod ocey (metody typ B); d)a klasyfkacja błędów w pomarach; e) rozróżee pomarów eskorelowaych skorelowaych w pomarach złożoych; f) wprowadzee owej welkośc: epewośc rozszerzoej ; g)określee sposob zaps wyków pomarowych ch epewośc.

11 EKSPERYMENT FIZYCZNY Pomary fzycze są dokoywae tylko ze skończoą dokładoścą. Im doskoalsze jest dośwadczee, tym mejsze są epewośc pomarowe. Rozbeżośc pomędzy teorą a eksperymetem zależą od: a) edoskoałość przyrządów pomarowych; b)edoskoałośc eksperymetatora (eprecyzyjość zmysłów osoby dokojącej pomar); c) edoskoałośc obektów merzoych; Każdą merzalą własość zjawska lb sbstacj azywamy welkoścą fzyczą. Zbór welkośc fzyczych występjących w daej dzedze wedzy azywamy kładem welkośc: a) welkośc podstawowe - mowe przyjęte welkośc wyrażające prawa przyrody defjące e welkośc fzycze daego kład (e mogą być określoe za pomocą rówań defcyjych); b) welkośc pochode - welkośc defowae za pomocą welkośc podstawowych.

12 EKSPERYMENT FIZYCZNY (c.d.) Pomar welkośc fzyczej polega a wyzacze lczbowego stosk daej welkośc do welkośc tego samego rodzaj, przyjętej za jedostkę: a) pomar bezpośred (p. t, l, m, I, tp. ), b)pomar pośred (p. R, T, g, tp. ). W fzyce steje klka kładów jedostek różących sę wyborem welkośc podstawowych ch jedostek (CGS, CGEES, CGSEM, kład Gassa - meszay). Od lat sześćdzesątych zaleca sę powszeche stawowe stosowae kład jedostek SI (System Iteratoal d Utes): a) jedostk podstawowe (7), b)jedostk zpełające (). Oprócz jedostek podstawowych pochodych moża żywać jedostek wtórych, które są ch welokrotoścam lb podwelokrotoścam. Jedostk wtóre wyraża sę przez dodae do azwy jedostk podstawowej odpowedego przedrostka, co jest rówoważe pomoże jedostk przez czyk rówy pewej potędze lczby 0.

13 UKŁAD JEDNOSTEK SI Lp. azwa jedostka welkość fzycza. metr m dłgość. klogram kg masa 3. sekda s czas 4. amper A atężee prąd elektryczego 5. kelw K temperatra 6. kadela cd atężee śwatła 7. mol mol lość mater 8. rada rad kąt płask 9. sterada sr kąt bryłowy

14 JEDNOSTKI WTÓRNE przedrostek ozaczee możk eksa E 0 8 peta P 0 5 tera T 0 gga G 0 9 mega M 0 6 klo k 0 3 hekto h 0 deka da decy d 0 - cety c 0 - ml m 0-3 mkro μ 0-6 ao 0-9 pko p 0 - femto f 0-5 atto a 0-8

15 PODSTAWOWE POJĘCIA Każda welkość fzycza jest welkoścą rzeczywstą, tz. posada wartość rzeczywstą zwaą wartoścą prawdzwą. Nepewość pomar jest zwązaym z wykem pomar parametrem, charakteryzjącym rozrzt wartośc wyków pomarów, które moża w zasadoy sposób przypsać wartośc merzoej. Nepewość występjąca w pomarze akowym ozacza emożlwy do kęca czyk erozerwale zwązay z stotą samego pomar. Rachek epewośc jest eodłączym składkem opracowaa daych pomarowych, którego zadaem jest choćby przyblżoe oszacowae rozrzt wyków pomarów. Nepewość a błąd pomar: a) błąd pomar (błąd bezwzględy pomar) - lczba losowa, której wartośc przewdzeć sę e da (różca mędzy wykem pomar a wartoścą mowe prawdzwą 0 ) ( ) b)epewość stadardowa - mara dokładośc pomar, czyl oszacowae odchylea stadardowego (oz., (), (stężee NaCl)). 0

16 PODSTAWOWE POJĘCIA (c.d.) Rozróżamy: a) błędy przypadkowe - rozłożoe statystycze rozmae jako różca mędzy daym wykem pomar a średą z eskończoej ch lczby; b)błędy grbe - dające sę elmować (łatwo zaważale), powstają wsktek fałszywego odczyt przyrząd lb ewdetej pomyłk merzącego; c) błędy systematycze - wykające z wadlwego dzałaa przyrząd pomarowego lb źle zaprojektowaego dośwadczea, możlwe do skorygowaa (stała, co do zak, różca mędzy wartoścam zmerzoym a wartoścą prawdzwą). Wymar epewośc stadardowej () jest tak sam jak wymar welkośc merzoej, zaś wymagay przed symbolem epewośc zak ± meśc sę w jej defcj dlatego jest pomjay w zapse. Nepewość stadardowa względa, czyl loraz epewośc stadardowej welkośc merzoej jest welkoścą bezwymarową, często wyrażaą w procetach: r ()[%] () 00%

17 NIEPEWNOŚĆ POMIARU Isteje wele źródeł epewośc pomar: a) epeła defcja welkośc merzoej (określee daej welkośc fzyczej lega zmae wraz z rozwojem ak); b)fakt, że przyrząd, merk, wzorzec e jest dealą realzacją defcj welkośc fzyczej (p. ścśle zwązay z prędkoścą śwatła w próż wzorzec czas, którego wartość welokrote zmeao a sktek rozwoj coraz dokładejszych metod pomarowych); c) ereprezetatywość ser wyków pomarów (p. zbyt mała lczba); d)edokłada zajomość czyków zewętrzych mających wpływ a pomar (p. dryft temperatry, estable zaslae); e) błędy obserwatora podczas odczytów wskazań przyrządów; f) skończoa zdolość rozdzelcza przyrządów stosowaych w pomarach; g)edokładość stosowaych wzorców materałów odesea; h)edokłade wartośc stałych lb parametrów pochodzących z ych źródeł; ) przyblżea praszczające przyjęte w procedrze pomarowej; j) zmay kolejych wyków pomarów welkośc merzoej w pozore detyczych warkach.

18 OCENA NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Metoda typ A: opera sę a statystyczej aalze ser pomarów bezpośredch (p. rozkład prawdopodobeństwa Gassa); wymaga odpowedo dżej lczby powtórzeń pomar (wark pomar lb merzoy obekt mogą legać zmaom podczas trwaa eksperymet); ma zastosowae główe do błędów przypadkowych. Metoda typ B: opera sę a akowym osądze eksperymetatora wykorzystjącym wszystke formacje o pomarze źródłach jego epewośc (rozkład prawdopodobeństwa przyjętego przez obserwatora); stosje sę gdy statystycza aalza e jest możlwa (dostępy jest tylko jede wyk pomar lb sera wyków e wykazje rozrzt); ma zastosowae główe do błęd systematyczego.

19 METODA TYPU A W metodze typ A dobrym oszacowaem (estymatorem) wartośc mowe prawdzwej 0 (w rzeczywstośc e zamy prawdzwej wartośc merzoej) ser pomarów,,..., (gdze jest lczbą pomarów) jest średa arytmetycza: * teoretycze, jeżel metoda pomarowa pozbawoa jest wpływów błędów systematyczych dla średa arytmetycza staje sę wartoścą prawdzwą; Wartość eksperymetalego odchylea stadardowego (dla pojedyczego pomar) charakteryzjącego rozrzt wyków ser pomarów tej samej welkośc merzoej: s( Nepewość stadardowa wyk (odchylee stadardowe eksperymetale średej arytmetyczej): * dokładość 0-30% (5-0 pomarów) ) A ( () s( ) ) ( ) ()

20 ROZKŁAD NORMALNY GAUSSA Jeżel wyk ser pomarów są otrzymae w sposób ezależy w warkach zapewających taką samą dokładość pomar, a także jeżel lczba pomarów staje sę zacząco dża (w praktyce wystarcza 0-30) to zmea losowa jaką jest wyk pomar podlega tzw. rozkładow ormalem (Gassa). Rozkład te określa fkcja gęstośc prawdopodobeństwa f(): f() () σ π e (μ) σ (wartość oczekwaa) (odchylee stadardowe) * Prawdopodobeństwo zyskaa wyków: w przedzale ( ) ok. 68,7 % ( 68,3 ); w przedzale ( ) ok. 95,45 %; w przedzale ( ) ok. 99,73 %; poza przedzałem ( ) jest estote (mejsze od 0,3 %). f()

21 A () ( ( -) ) 6,360(58) PRZYKŁAD W wyk przeprowadzea ser ezależych pomarów pewej welkośc fzyczej otrzymao astępjące wyk: = 6,, = 6,4, 3 = 6,0, 4 = 6,4, 5 = 6,6, 6 = 6,4, 7 = 6,, 8 = 6,6, 9 = 6,4, 0 = 6,4 = 4,6. Podaj ajlepsze przyblżea wykoaego pomar jego epewość stadardową. Za wyk pomar przyjmjemy wartość lczbową estymatora wartośc oczekwaej, czyl wartość średej arytmetyczej wyków ( 6,36 ), a epewość stadardową lczymy astępjąco: 0, * Decyzja, gdze wyzaczyć grace absrdalego eprawdopodobeństwa (odrzcea daych pomarowych) zależy od eksperymetatora. 0,058 ( ) 6, -0,6 0,056 6,4 0,04 0, ,0-0,36 0,96 4 6,4 0,04 0, ,6 0,4 0, ,4 0,04 0, , -0,6 0, ,6 0,4 0, ,4 0,04 0, ,4 0,04 0, ,6 0 ( ) 0,304

22 METODA STUDENTA Do określea epewośc małej lczby pomarów tzw. próbk losowej (p. < 5) stosjemy metodę stdeta. Oblczamy wartość średą, eksperymetale odchylee stadardowe s( ) oraz odchylee stadardowe eksperymetale średej arytmetyczej () określamy a le ależy rozszerzyć przedzał (), aby prawdopodobeństwo zalezea wartośc rzeczywstej w rozszerzoym przedzale było rówe prawdopodobeństw zalezea wartośc rzeczywstej w przedzale określoym dla bardzo dżej lczby pomarów. [ t(,α) ()] t (, α) - współczyk stdeta, - lczba pomarów, α - postloway pozom fośc. = 0,5 = 0,68 = 0,95 = 0,99,00,0,7 636,6 3 0,8,3 4,3 3,6 4 0,77,3 3,,9 5 0,74,,8 8,6 0 0,70,,3 4,8 0 0,68,0,0 3,3 0,674,036,960 3,9

23 METODA TYPU B Najważejszym zadaem ocey typ B jest określee epewośc wykających ze skończoej dokładośc przyrządów pomarowych wśród, których możemy wyróżć dwe grpy: a) przyrządy proste (różego rodzaj przymary, swmark, śrby mkrometrycze, klasycze stopery, termometry, wag szalkowe oraz wskazówkowe merk welkośc elektryczych) - epewość wzorcowaa d (blżej esprecyzowaa dokładość ) stosowaego przyrząd jest rówa wartośc jego dzałk elemetarej; * zwększee lb zmejszee wartość epewośc wzorcowaa poza wartość ajmejszej dzałk (p. ½, ¼ lb jej welokrotość) zależy wyłącze od tcj eksperymetatora Δ d klasa zakres 00 (klasa dokładośc merka aalogowego) b)elektrocze merk cyfrowe (p. merk elektrycze, wag elektrocze, stopery) - podawaa z regły przez prodceta rzeczywsta epewość pomar jest eco wększa ż odpowadająca zmae ostatej cyfry wartość ajmejszej dzałk Δ d C C C - łamek welkośc merzoej (klasa merka, k p.r. = 3); C - łamek zakres.

24 METODA TYPU B (c.d.) Zając wartość epewośc wzorcowaa d możemy wyzaczyć epewość stadardową () welkośc merzoej bezpośredo metodą typ B: B () B Δ () d 3 0,58 Δ Δ d 6 (jedostajy rozkład prostokąty) (symetryczy rozkład trójkąty) Drgm przyczykem epewośc pomarów e wykazjących rozrzt jest epewość eksperymetatora e spowodowaa przyczyam zaym eksperymetatorow od ego ezależym (p. refleks, podzelość wag, zdolość do kocetracj czy metalość). W cel określea tej epewośc e eksperymetator ms skorzystać ze swojego dośwadczea wedzy, a wykającą stąd epewość stadardową wyzaczyć z wzor: Nepewoścam obarczoe są róweż wyk zaczerpęte z lteratry t (wartość prędkośc dźwęk, prędkość śwatła, gęstość materał, tp.): B () B d () Δ t 3 Δ e 3

25 METODA TYPU B (c.d.) Jeżel występją wszystke wcześej opsae epewośc razem, to epewość stadardowa daa jest wzorem: B () (Δ d ) (Δe ) 3 PRZYKŁAD (Δ ) Woltomerzem wskazówkowym o zakrese pomarowym z = 00 V zmerzoo apęce U = 80 V. Wedząc, że skala przyrząd posada 00 dzałek, oblcz epewość stadardową pomar względając epewość eksperymetatora. t Δ U d V Δ U e 00V 00 dz 0,5V B () (Δ U) d (ΔeU) 3 0,5 3,5 3 0,65 V

26 METODY TYPU A B Jeżel występją obydwa typy epewośc A B rówocześe, to ależy posłżyć sę wzorem a epewość stadardową całkowtą: c () A () B () ( (-) PRZYKŁAD 3 Sekdomerzem o dzałce elemetarej rówej 0, s zmerzoo 5-krote czas trwaa pewego zjawska otrzymjąc astępjące wyk: t = 4,8 s, t = 5,0 s, t 3 = 5, s, t 4 = 5, s, t 5 = 5,4 s. Eksperymetator oceł epewość systematyczą zwązaą z wyborem chwl włączea wyłączea stopera a 0,4 s oraz dokładość odczyt ze skal 0, s. Podaj ajlepsze przyblżee wyk pomar określ jego epewość. 5 (średa arytmetycza) t t 5 5,s ) (Δd ) 3 (Δe ) 3 (Δt ) 3 A (t) 54 5 (t t) 0,0s (odchylee stadardowe typ A)

27 METODY TYPU A B (c.d.) (epewośc typ B) Δ Δ Δ d e e t t t 0,s 0,4s 0,s Odchylee stadardowe typ B: B (t) (Δ d t) (Δet 3 Δ e t) (0,) (0,4 0,) 3 0,36s Nepewość stadardowa całkowta: c (t) A (t) A (t) (0,0) (0,36) 0,37s Ostateczy wyk pomar: t 5,(37)s

28 PRAWO PRZENOSZENIA NIEPEWNOŚCI Jeżel y jest welkoścą merzoą pośredo zależy od k welkośc merzoych bezpośredo, to złożoą epewość stadardową c (y) wyzaczoej welkośc y = f( k ) lb y = f(,, 3,, k ) oblczamy a podstawe prawa przeoszea (propagacj) epewośc. Bardzo ważym jest jedak w tym przypadk, rozróżee czy welkośc były zmerzoe bezpośredo w pomarach eskorelowaych czy też w pomarach skorelowaych: a) pomary pośrede eskorelowae - każdą z welkośc { k } merzymy ezależe za pomocą ego przyrząd (każdą z welkośc możemy merzyć w ym czase przy zmae stotych czyków, ale zachowjąc wark odtwarzalośc pomarów); b)pomary pośrede skorelowae - pomar polega a odczyta wartośc wszystkch welkośc { k } w tych samych warkach, bez wprowadzea jakchkolwek zma w kładze pomarowym w tym samym czase (w warkach gwaratjących powtarzalość wyków). W przypadk pomarów skorelowaych, dodatkowo możemy przeprowadzć oblczea ścsłe lb proszczoe.

29 ) )( ( y y y ) ( y (y) ) ( y (y) () d dy (y) j k k j j 3 j k c k c Jeżel zae są wyk pomarów określoe w pojedyczym pomarze lb w ser pomarów (w tym przypadk za wyk pomar ależy przyjąć wartość średej arytmetyczej) oraz odpowede epewośc stadardowe ( ), ( ), ( 3 ),...( k ) wyzaczoe w tak sposób jak dla pomar bezpośredego (metodam typ A lb B), to epewość złożoą lczymy: fkcja jedej zmeej f. wel zmeych (szereg Taylora względający tylko wyraz lowy rozwęca) f. elowa (rozwęce w szereg Taylora względający wyrazy wyższego rzęd) POMIARY POŚREDNIE NIESKORELOWANE

30 PRZYKŁAD 4 Nech welkość fzycza y będze fkcją welkośc, zmerzoych w bezpośredch pomarach eskorelowaych, zadaą wzorem: gdze a b są welkoścam stałym. Oblcz epewość złożoą welkośc y zając wartośc zmerzoe, epewośc stadardowe ( ) ( ) oraz stałe a b. pochode cząstkowe y po zmeych epewość złożoa welkośc y (prawo przeoszea epewośc) ) ( ) (36b ) ( ) (4a ) ( y ) ( y (y) 6b y a y b a y 4 c 3

31 ZŁOŻONA NIEPEWNOŚĆ WZGLĘDNA Prawo przeoszea epewośc możemy róweż zastosować do oblczea złożoej epewośc względej r (y): r y = c y y = k = y y r y = k = y y w = y y bezwymarowe wag zależe od postac fkcj y = f( k ) k = w =, r = epewośc względych welkośc merzoych bezpośredo

32 NIEPEWNOŚĆ WZGLĘDNA (c.d.) Najprostszy waży w praktyce przypadek prawo przeoszea epewośc względej zachodz, gdy welkość merzoą pośredo moża przedstawć w postac loczy dowolych potęg welkośc merzoych bezpośredo. y A a 3... k a a3 ak gdze A - ozacza stałą a, a,, a k - wykładk potęgowe (dodate, jeme lb potęgowe) k k c(y) ( ) r (y) a a r( ) y

33 Załóżmy, że welkość fzyczą y moża przedstawć w postac wzor: gdze,, 3 ozaczają welkośc wyzaczoe w pomarach bezpośredch (w pomarze pojedyczym lb ser pomarów), a A to pewa stała. Oblcz względą złożoą epewość stadardową pomar. UWAGA!!! Nepewośc stadardowe ( ), ( ) ( 3 ) oblczamy przedo opsaym metodam (p. dla ser pomarów metodą typ A lb typ B dla pojedyczego pomar). W mejsce,, 3 dla pojedyczego pomar wstawamy jego wartość, a dla ser pomarów - wartość ch średej arytmetyczej. 3 3 r c y (y) (y) A y PRZYKŁAD 5

34 POMIARY POŚREDNIE SKORELOWANE Oblczea ścsłe przeprowadzamy w dwóch etapach: a) etap perwszy - postępjemy tak jak w przypadk pomarów eskorelowaych (określamy epewośc stadardowe ( k ) dla każdej welkośc merzoej bezpośredo); b)etap drg - przy oblcza epewośc c (y) względamy korelacje mędzy wykam pomarów welkośc merzoych bezpośredo, korzystając (przy rozwęc w szereg Taylora) z rozszerzoego wzor: c (y) k y ) y y gdze r(, j ) jest estymatorem współczyka korelacj: ( k- k j j ( )( j ) r(, j ) r(, j ) ) ( (, j ) - estymator kowaracj (kowaracja eksperymetala) welkośc, j. ( (, j ) j )

35 POMIARY SKORELOWANE (c.d.) Ze względ a skomplkoway charakter oblczeń szczegółowych (ścsłych) w pracowach stdeckch stosjemy oblczea proszczoe: a) korzystając z komplet wyków pomarów bezpośredch k welkośc zyskaych w -tym pomarze oblczamy poszczególe wartośc y ; b)sera wyków y zyskaych w pomarach staow (podobe jak w pomarach bezpośredch) próbkę statystyczą; (y) y c) za wyk pomar pośredego przyjmje sę, zatem średą arytmetyczą, a złożoą epewość stadardową oblczmy p. metodą typ A: ( ) y (y y)

36 POMIARY PROMIENIOWANIA JĄDROWEGO Podczas badaa procesów przypadkowych eskorelowaych takch jak rozpady jąder promeotwórczych, czy promeowae kosmcze wyk welokrote powtarzaych pomarów wykazją flktacje statystycze (są przypadkowe w jedostkowym przedzale czas mogą różć od oczekwaej wartośc średej). Merząc welokrote w małych przedzałach czas tego typ welkośc, otrzymjemy rozkład określoy rozkładem Possoa: p ( ) e! gdze w określoym przedzale czas, jest lczbą zlczeń, a - oczekwaą średą lczbą zlczeń. () odchylee stadardowe (estymator epewośc stadardowej wartośc ) r () () epewość względa

37 NIEPEWNOŚĆ ROZSZRZONA Dla wel praktyczych zastosowań zachodz koeczość podaa mary epewośc, która określa przedzał otaczający wyk pomar zawerający dżą (z góry określoą) część wyków pomarów, jest to tzw. epewość rozszerzoa: U(y) = k c (y) * k - współczyk rozszerzea czyl tak wybraa, mowe przyjęta lczba, aby w przedzale y (y) zalazła sę wększość wyków pomar. Zgode z mędzyarodową praktyką do oblczea U przyjmje sę mową wartość k = (e wartośc k mogą być stosowae tylko w przypadkach szczególych wy być podyktowae przez staloe, dobrze dokmetowae wymagaa). Wartośc k = odpowada prawdopodobeństwo realzacj zmeej losowej w przedzale U rówe 00 % (dla rozkład jedostajego) lb 95 % (dla rozkład Gassa).

38 ZAOKRĄGLANIE WYNIKÓW OBLICZEŃ Dokojąc oblczeń (p. wartośc średej czy epewośc pomar) za pomocą kalklatora lb komptera otrzymjemy lczby welocyfrowe: śr = 9, ± 0, , w których warygode są tylko ektóre cyfry azywae cyfram zaczącym. Cyfry zaczące cyfry od do 9 oraz 0, gdy zajdje sę mędzy dwema cyfram e będącym zeram lb a dowolym mejsc po cyfrze e będącej zerem, ale zawartej w lczbe z przeckem (e jest cyfrą zaczącą, jeżel w dowolym mejsc lczby a lewo od ego e ma cyfry e będącej zerem): 0, trzy cyfry zaczące, cztery cyfry zaczące, 5, dwe cyfry zaczące.

39 ZAOKRĄGLANIE WYNIKÓW (c.d.) Z matematyczego pkt wdzea wszystke wyk pomarów są lczbam przyblżoym, stąd stosowae do opracowaa wyków operacje (dzałaa) matematycze są rachkam a lczbach przyblżoych. Jeśl e zamy epewośc daej welkośc, to przyjmjemy epewość maksymalą (cyfrę ajmej zaczącą), rówą 0 jedostkom mejsca dzesętego zajmowaego przez ostatą cyfrę zaczącą (p. maksymala epewość dla lczby 74 to lczba 0, a dla lczby 3,745 - lczba 0,00). Z aalzy fkcj rozkład epewośc wyka, że stote zaczee ma właścwe perwsza cyfra zacząca epewośc, ale zalecae jest podawae epewośc do dwóch cyfr zaczących (maksymala epewość zawera sę wówczas w przedzale od 5% do 0,5% odpowedo, dla cyfr 0 99).

40 ZAOKRĄGLANIE WYNIKÓW (c.d.) Zatem, zaokrąglea dokojemy zgode z astępjącym zasadam: a)epewość: oblczamy do trzecego mejsca zaczącego; zaokrąglamy zawsze w górę, do drgej cyfry zaczącej (ewetale możemy zaokrąglć wyk do jedego mejsca zaczącego, jeśl e zwększy to epewośc o węcej ż 0 %). b)wyk: oblczamy z dokładoścą o jedo mejsce węcej, ż w przypadk zaokrągloej epewośc (zwykle ajwyżej do czterech mejsc zaczących); zaokrąglamy do tego samego mejsca, co w przypadk epewośc; zaokrąglamy wedłg ormalych zasad zaokrąglaa: - cyfry,, 3, 4 - w dół; - cyfry 6, 7, 8, 9 - w górę; - cyfrę 5 - w górę, jeśl poprzedza ją lczba eparzysta w dół, jeśl jest poprzedzoa cyfrą parzystą.

41 REGUŁY ARYTMETYKI LICZB PRZYBLIŻONUCH Przy odejmowa dodawa zaokrąglae przeprowadza sę do rzęd o mejszego od rzęd ajmej dokładej lczby, a w wyk zachowjemy tylko tyle zaków dzesętych, le ch jest w lczbe o ajmejszej lczbe zaków dzesętych: 0,3 + 5, , = 0,3 + 5, , = 48,77 = 48,8; Przy może dzele w wyk zachowje sę tyle cyfr zaczących, le zawera ch lczba o ajmejszej lośc cyfr zaczących: 56,9 :,4 = 3,60 = 3,6 5,434 = 4,34 =4; Przy podosze do potęg w wyk zachowje sę tyle cyfr zaczących, le ch zawera lczba podoszoa do potęg: (9,36) = 87,6096 = 87,6 (0,68) 3 = 0,344 = 0,3; Przy logarytmowa ależy brać tylko tyle zaków, le cyfr zaczących zawera lczba logarytmowaa: log 77,3 =,8878 =,888; Przy perwastkowa wyk ma taką samą lczbę cyfr zaczących, jaką mała lczba perwastkowaa: 3,97,73,7 0,0063 0,847 0,8

42 ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW W zapse wyk oblczeń zaleca sę stosowae odpowedch przedrostków jedostek welokrotośc potęgowe (tzw. zaps akowy,0-5 ) tak, aby epewoścą obarczoe były mejsca dzesęte sete (żeby perwsza cyfra zacząca epewośc zalazła sę a perwszym mejsc po przeck). PRZYKŁAD 6 W wyk oblczeń otrzymalśmy wartość: = 4,84 () =,34. Zapsz poprawe wyk pomar.,34,34 przy zaokrągle do perwszej cyfry zaczącej () = (epewość ok. 5%),3,34,34 0,5 0,03 przy zaokrągle do drgej cyfry zaczącej () =,3 (epewość ok. 3%) ostatecze wyk zapsjemy: = (4,3 ± 0,3) 0

43 ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW (c.d.) Wyk pomar powe zawerać wartość, epewość pomarową odpowedą jedostkę: a) epewość stadardowa dłgość drt jest rówa 36,43 cm z epewoścą stadardową 0,5 cm (zaps słowy); l = 36,43 cm; (l) = 0,5 cm (zaps przy życ symbol); l = 36.43(0,5) cm = 36,43(5) 0 - m (zaps skrócoy). b) epewość rozszerzoa dłgość drt jest rówa 36,43 cm z epewoścą stadardową 0,50 cm (zaps słowy); l = 36,43 cm; U(l) = 0,50 cm (zaps przy życ symbol); l = ± 0,50 cm = (36,43 ± 0,50 ) 0 - m (zaps skrócoy). Zasady zaps wyków zalecae przez ormy mędzyarodowe: a) epewość zapsjemy z dokładoścą dw cyfr zaczących, a wartość merzoą zaokrąglamy do tego samego mejsca, co epewość. b) zaps z życem stosjemy do epewośc rozszerzoej. przedzałów o wysokm pozome fośc, zaps z życem awasów - dla epewośc stadardowej.

44 REGRESJA LINIOWA Bardzo często, merzoe welkośc fzycze y zwązae są zależoścą lową (p. zależość opor elektryczego metal od temperatry) postac: y = a + b * gdze współczyk a b moża wyzaczyć bezpośredo z wykres lb oblczyć metodą regresj lowej (zw. metodą ajmejszych kwadratów).

45 Współczyk regresj lowej a b zajdjemy metodą ajmejszych kwadratów (przy założe, żeby sma kwadratów odchyleń pktów dośwadczalych od wykreśloej krzywej była jak ajmejsza). Jeżel y jest lową fkcją welkośc, to w wyk przeprowadzea ser pomarów przy założe, że welkośc zmerzoe obarczoe są tylko błędam przypadkowym (tzw. regresja klasycza) otrzymjemy szereg par welkośc y ( =,,3,, ) dla których ajlepszym przyblżeem są tzw. estymatory regresj lowej: gdze: REGRESJA LINIOWA (c.d.) ε b) a (y σ X X σ S X y y b X σ S X y y a b a