XIV International PhD Workshop OWD 2012, October Trójkątne Rozszerzanie, nowa metoda wyostrzania na skierowanych liczbach rozmytych

Transkrypt

1 XIV Interntonl PhD Workshop OWD 0, 0 3 Octoer 0 Trójkątne Rozszerzne, now metod wyostrzn n skerownych lczch rozmytych Trngulr Expndng, new defuzzfcton method on ordered fuzzy numers Wojcech Doroselsk, Unwersytet Kzmerz Welkego w Bydgoszczy (opekun nukowy prof. W. Kosńsk, Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technk Komputerowych w Wrszwe) Astrct Ths pper presents the geness of the ntroducton of new trend n rtfcl ntellgence, ssocted wth the fuzzy sets nd the ssocted dervtves solutons. Intl work dtng ck to the ncent phlosophers of modern logc dvlent dd not solve the prolems of the uncertnty, only the se concepts of ntroductory logc Lukszewcz multvlent nd groundrekng work of prof. Lotf Zdech gve soluton to ths prolem. The foundtons of those works hve gven nsprton to other solutons, whch cn nclude the of L-R numers of Duos nd Prde, under whch redefned theory hs opened new drecton n the form of ordered fuzzy numers OFN. Usng OFN numers provdes free opertons on themselves nd on the rel numers. They re more fetures tht chrcterze ordered fuzzy numers. Due to the nture of ths rtcle, whch s ssocted wth the proposed method of defuzzfcton, the uthor mentons the model of fuzzy controller, n prtculr the process of defuzzfcton. He shows the crter used for trdtonl solutons n terms of fuzzy numers nd ordered fuzzy numers. There defuzzfcton process hs een chrcterzed. Fetures such s contnuty, computtonl effcency re more desrle thn n the control systems nd of nference systems. In the followng defuzzfcton method clled Trngulr Expndng hs een presented. The uthor compres ths method Geometrcl Men, whch hs een nsprton of our new soluton. In the next secton the evdence tht the proposed method s senstve to the ordered s presented. The method hs een compred wth other methods of defuzzfcton. It s shown tht the new method s senstve to the orentton of fuzzy numers. The fnl pont rngs the summry, whch contns lessons lerned nd future drectons of reserch. Streszczene W rtykule n wstępe przedstwono genezę nowego trendu w sztucznej ntelgencj, zwąznego z zorm rozmytym orz towrzyszące temu pochodne rozwązn, do których zlczyć możemy lczy L-R utorstw Duos Prde. N ch podstwe przedefnown teor otworzył nowy kerunek w postc skerownych lcz rozmytych OFN. W dlszej częśc schrkteryzowno główne cechy skerownych lcz rozmytych. Z uwg n chrkter tego rtykułu, który zwązny jest z propozycją metody wyostrzn, utor wspomn o modelu sterownk rozmytego, w szczególnośc o procese wyostrzn. Przedstwono kryter stosowne dl trdycyjnych rozwązń lcz rozmytych jk skerownych lcz rozmytych. W dlszej częśc przedstwon jest metod wyostrzn nzywn Trójkątnym Rozszerznem (ng. Trngulr Expndng). Autor porównuje sę do wcześnejszej metody Średnej Geometrycznej (ng. Geometrcl Men), ędącej nsprcją swojego rozwązn. W prcy zostły przedstwone wynk porównn z nnym metodm FOM, LOM, COG. Kończącym punktem jest podsumowne, w którym zostją wycągnęte wnosk orz dlsze kerunk dń.. Wstęp Możlwość wyrżen sło zdefnownych pojęć, złożonych zjwsk, którym od dwen dwn posługuje sę człowek w klsycznej teor zorów czy logk zproponownej przez George Boole, nstręczły wele prolemów w zrozumłym opse rzeczywstośc pomędzy człowekem systemem komputerowym. Wyrżene łdn pogod doskonle rozumne przez kżdego człowek, stje sę dl mszyny nezrozumłą frzą. Dzęk prcom J. Łukszewcz [], dotychczsowy rchunek zdń oprty n dwuwrtoścowej logce, zostł przedstwony jko welowrtoścowy. Dlszym krokem w ewolucj welowrtoścowych logk, jest doroek prof. Lotf Zdech. Rozszerzon teor 38

2 zorów sformułown przez Zdech w połowe lt sześćdzesątych jko teor zorów rozmytych [], stł sę lterntywą dl dotychczsowych model mtemtycznych. N przestrzen lt, zproponown teor zyskł duże uznne, prowdzone prce nukowe jk równeż zstosown nżynerske ugruntowły koncepcje w welu dzedznch zwąznych z nformtyką, utomtyką. Umożlwjąc tym smym opsywne zjwsk neprecyzyjnych, których stot jest ne tylko wrtoścą tk, ne lecz zwer elementy pośredne. Wspomnne zngżowne środowsk nukowych przyczynło sę do powstn welu nowych teor rozszerzjących tą temtykę. Do jednych z nch nleży zproponown przez Duos Prde w prcch [3] wersję teor Zdech przez wprowdzene ogrnczonej klsy funkcj przynleżność z dwom funkcjm ksztłtu L R. Przy lnowych funkcjch ksztłtu opercje n lczch L-R dwły częścową możlwość odtworzen wynków dl trójkątnych funkcj przynleżnośc. W przypdku opercj mnożen, wynkow lcz L-R prowdzł do powększn przedzłu nośnk wprowdzjąc przedzły neprecyzyjne. Zoserwowne nedogodność w opercjch rytmetycznych doprowdzł do przedefnown wyżej wspomnnych rozwązń. Prekursorem nowej teor jest prof. W. Kosńsk wrz z swom doktorntem P. Prokopowczem współprcownkem D. Ślęzkem w ltch zproponowl nowe pojęce lczy rozmytej [4] jko skerown lcz rozmyt OFN (ng. Ordered Fuzzy Numer), gdze głównym tutem użytym w tym czse ył możlwość rozwązn równn lnowego () A B C () gdze A, B, są dowolnym skerownym lczm dl których w wynku pownn zchodz równość A C B () W przypdku posługwn sę lczm zproponownym przez Duos Prde równne () ędze neprwdzwe z fktu powększn sę neprecyzyjnośc lczy rozmytej. Stosowne lcz OFN umożlw nm swoodne wykonywne opercj rytmetycznych n nch smych jk n lczch rzeczywstych. N ze teor lcz rozmytych orz sterown rozmytego, gdze model sterownk dące z tym przesłnk ujęte w prcy A. Pegt [5], umożlwją schrkteryzowne sterownk, jko trzyetpowego procesu orók nformcj. Bzowy model systemu rozmytego przedstw rys.. Rys. Struktut sterownk rozmytego wg [5] Fg. The structure of fuzzy controller y [5] Sygnłm wejścowym są ostre nerozmyte wrtośc, które w sposó precyzyjny odzwercedlją stn rzeczywstośc. W perwszym etpe nstępuje proces rozmywn, zwązny z olczenem stopn przynleżnośc do poszczególnych zorów rozmytych. W etpe wnoskown z wejścowych stopn przynleżnośc olczmy wynkową funkcję przynleżnośc. Zrówno opercj rozmywn wnoskown zwer szereg szczególnych elementów, które ne ędą poruszne w tej prcy. Istotnym wnoskem, o jkm trze powedzeć, jest to, że oczekwnym wynkem jest określene przez system wynkowej funkcj przynleżnośc. Kończącym dzłnem systemu jest lok wyostrzn, chrkteryzuje sę tym, że n jego wyjścu mmy ostrą wrtość. Wrtość t ędze produktem dzłn metody n wynkowej funkcj przynleżnośc umożlwjącą nm wysterowne elementu wykonwczego w sposó pożądny. Istotnym elementem tej prcy jest propozycj metody wyostrzn. Chrkterystyk poszczególnych pojęć, powedzene o stotnych elementch wprowdzł czytelnk w główny wątek, który zostne omówony w nstępnych punktch.. Skerowne lcz rozmytych OFN, metody wyostrzn, porównne metod. Skerowne lczy rozmytej OFN We wstępe nnejszego oprcown zostł przedstwony główny postult skerownych lcz rozmytych, w tym punkcje zostne przedstwon szczegółow chrkterystyk skerownych lcz rozmytych. Skerowną lczą rozmytą A nzywmy uporządkowną prę funkcj: gdze: x up A x up, x ) (3) ( down, x :[0,] R są funkcjm cągłym down Funkcje te nzyw sę odpowedno: częścą up częścą down, oe te częśc są połączone funkcją stłą równą n przedzle [ up (), down( )]. 39

3 Skerowne lczy rozmytej nzyw sę uporządkownem, że część up jest początkem OFN, zś down końcem tej lczy. Rys. ) Przykłd OFN, ) OFN przedstwon w nwąznu do klsycznej lczy rozmytej Fg. ) Exmple OFN, ) OFN descred wth reference to clsscl the fuzzy numer Grfczn nterpretcj skerownej lczy rozmytej przedstwon jest w lewej częśc rys., ntomst w prwej częśc to lcz skerown nwązując do klsycznych lcz rozmytych.. Chrkterystyk metod wyostrzn Proces wyostrzn, jko osttn krok w trzyetpowym modelu sterown rozmytego przeksztłc rozmyty zór do pojedynczej ostrej wrtośc, n którym funkcj przynleżnośc jest określon. Ponższe wyrżene w sposó formlny opsuje wyostrzene, czyl: W :{ f : X [0, ]} X (4) gdze: W opertor wyostrzen, f funkcj przynleżnośc orz X zór unwersum, n którym określone są funkcje przynleżnośc. Proces możemy schrkteryzowć n podstwe cech, które są rdzej pożądne dl konkretnego systemu. Z uwg n rodzj systemu, możemy powedzeć o rozmytym systeme wnoskown, dl którego cech jką jest np. wydjność olczenow, m mnejsze znczene nż w przypdku rozmytego systemu sterown, dl którego wydjność jest stotnym prmetrem. W prcy Werner Vn Leekwjck, Etenne E. Kerre [6] wprowdzono kryter wyostrzczy dl trdycyjnych lcz rozmytych, n podstwe których dokonno ocenę poszczególnych metod wyostrzn. Główne wnosk jke wycągnęto to stwerdzene, że ne stneje unwersln metod wyostrzn. Metod wyostrzn pownn yć ukerunkown n zstosowne, którego ędze dotyczył. Dl przykłdu metody mxmów, do których możemy zlczyć LOM (ng. Lst Of Mxm), FOM (ng. Frst Of Mxm), lepej ndją sę w systemch wnoskown. Bdn, które przeprowdzl utorzy wcześnej wspomnnej prcy, dowodły że metody rozkłdu pol są trfnejszym metodm w zstosownch, gdze są wykorzystywne systemy sterown. Do tych metod możemy zlczyć COG (ng. Center Of Grvty) czy COA (ng. Center Of Are). Wrz z oprcownem teor skerownych lcz rozmytych, utorzy prcy [7] zproponowl kryter metod wyostrzn. Djąc tym smym wytyczne, pozwljące tworzyć poprwne modele wyostrzczy. Dl wększośc metod pownny yć spełnone nstępujące trzy wrunk. ( c) c (5) ( A c) ( A) c (6) ( Ac) c ( A), dl c R A R (7) gdze: jest odwzorownem zdefnowną w zorze lcz rzeczywstych, (c) jest rozumne jko wyostrzene z wrtośc c w zorze lcz rzeczywstych, nnym słowy wyostrzene z 330

4 sngelton wnno dwć w wynku wrtość ostrą, stnowąc perwszy wrunek. Drug wrunek zwązny jest z ddytywnoścą, mówący nm, że wrtość wyostrzen dl sumy skłdnków pownn równć sę sume wyostrzeń poszczególnych skłdnków. Wrunek trzec wymg od odwzorown, y yło jednorodne stopn jeden, nczej: jeśl rgument zostne przemnożony przez współczynnk to wynk zostne równeż przemnożony przez pewną potęgę tego współczynnk. W nszym przypdku potęg równ sę jeden. 3. Propozycj metody wyostrzn w OFN Propozycj metody wyostrzn n skerownych lczch rozmytych to metod Trójkątnego Rozszerzn, któr zostne przedstwon w dlszej częśc tego rozdzłu. Insprcją do powstn metody, jest metod Średnej Geometrycznej (ng. Geometrcl Men), której utorką jest D. Wlczyńsk- Sztym [8]. Grfczn reprezentcj proponownej metody przedstwon jest n rys. 3, który w sposó ntucyjny oddje jej chrkter w dlszej nlze, w przypdku uproszczonym, gdy oe funkcje w reprezentcj OFN są fnczne (tzn. ch wykresy są lnm prostym). Równocześne trze powedzeć, że skerowne, które oserwujemy w lcze OFN jest szczególne uwdocznone w tej metodze. Kerunek skerown dący z rmen UP do DOWN wyzncz mejsce tworzen rozszerzen. Powstły w tym mejscu trójkąt z częśc DOWN jko ok, rozszerz możlwe wrtośc wyostrzen. Rys. 3 Grfczn nterpretcj metody Trójkątnego Rozszerzn Fg. 3 Grphcl nterpretton method of the Trngulr Expndng Dl lczy H ( f H, gh ), gdze oe funkcje są cągłe orz fh, gh :[0,] R, erzemy część DOWN lczy OFN wyrżonej jko g H, nzywną dlej zoczem opdjącym. Wyór rmen DOWN zwązny jest z podkreślenem skerown jko trendu, który m yć osągnęty. Proces wyostrzn z lczy przeeg nstępująco. Dw punkty, g ()) 0, g (0)) ( H ( H tworzą odcnek o długośc wyrżonej, jko, wrtość t ędze stnowć promeń r. Promeń 33

5 użyty do udowy okręgów n końcch odcnk, odpowedno dl punktu promeń nzywmy r jest równy r, odpowedno dl punktu promeń r jest równy r. Dl punktu tworzymy okrąg (, r o ), dl punktu tworzymy okrąg o, r ). ( Punkty przecęc sę okręgów określą punkty c c, przy złożenu, że odcnek spełn nerówność: r r r r (8) Spełnene nerównośc 8 pozwol uzyskć dw punkty przecęc. Wykluczon zostje sytucj jednego lu rku punktu przecęc okręgów. W przypdku rku punktu przecęc okręgów, wyostrzene metodą stje sę nemożlwe. Utworzone punkty c ( x, ) c ( x, ) z przecęc sę okręgów wyznczą punkt c werzchołk trójkąt, zleżność wyoru punktów c c n werzchołek c wyrżmy jko wrunek: lu c c x x R 0 0 (9), c c x x R 0 0 (0), gdze: x x są współrzędnym os OX, współrzędnym os O Spełnene wrunku 9 lu 0 umożlw wykluczene sytucj, w której punkt c ędze znjdowł sę pod osą odcętych. Unemożlwjąc tym smym uzyskne przecęc z prostą l d. Dl określonego w ten sposó trójkąt o werzchołkch c, przeprowdzmy proste. Perwsz prost z wyznczonego punktu c do punktu e ( 0, fh (0)) zwną prostą l ec, ntomst dl punktu d (, fh ()) ( 0, gh (0)) otrzymujemy prostą l d. Przecęce sę prostych l ec l d w punkce w wskże wrtość wyostrzen dl metody trójkątnego rozszerzn. Uogólnjąc dzłne lgorytmu, wyznczene werzchołk c możn sprowdzć do rozwązn ukłdu dwóch równń okręgu o o orz określen dwóch funkcj lnowych. Przedstwonych w tym przykłdze jko lne l ec l d. Przecęce sę prostych wskże wrtość wyostrzen w odczytną z os OX. 4. Porównne metod Propozycj metody wyostrzn jko Trójkątnego Rozszerzn (ng. Trngulr Expndng) przedstwon w punkce trzecm prcy mł w złożenu yć czuł n skerowne lczy rozmytej, występującej w rgumence. Chcemy to wykzć dlej. W tym rozdzle zostne przedstwone porównne proponownej metody z metodm FOM, LOM, GM orz COG. Dwe perwsze metody są z grupy metod mxmów. W metodze FOM (ng. Frst Of Mxm) wrtość wyostrzen ustlon jest dl perwszego elementu jądr, gdze przez jądro rozumemy ten odcnek dzedzny, w której funkcj przynleżnośc osąg wrtość mksymlną jeden. W przypdku, gdy wrtość wyostrzen zwązn jest z osttnm elementem jądr, mmy metodę LOM (ng. Lst Of Mxm). Metod średnej geometrycznej GM (ng. Geometrcl Men) utorstw D. Wlczyńsk jest szczegółowo opsn w prcy [8]. Bzuje on n wyznczenu przecęc sę dwóch ln umeszczonych w egunch lczy OFN. Osttną metodą, wyrną do porównn jest metod środk cężkośc COG (ng. Centrl Of Grvty). Metod t dje dore wynk zrówno w skerownych jk wypukłych lczch rozmytych. Olczen dl tej metody wykonno przy użycu oprogrmown utorstw Ł. Lewńskego M. Szymńskego. Dl pozostłych metod, wrtość wyostrzen zostł ustlon geometryczne przy wykorzystnu nrzędz GeoGer - Dynmc Mthemtcs for EveryoneFFFF. N potrzey dośwdczen użyto dwóch lcz H [,3,4,7] orz Z [7,4,3, ]. Grfczn nterpretcj pokzn jest n rys. 4, gdze ) lcz H orz ) przecwne skerown lcz Z. Rys. 4 Dwe lczy OFN, ) lcz H, ) przecwne skerown lcz Z Fg. 4 Two numers OFN, ) numer H, ) otherwse numer Z HHUUhttp:// 33

6 Przedstwone lczy mją ten sm ksztłt, lecz różną sę skerownem. Dl tych lcz przeprowdzono wyostrzne z wykorzystnem poszczególnych metod. Wynk olczeń znjdujące sę w t.. Dl metody GM COG skerowne ne wpływ n wrtość wyostrzen. W przypdku, gdy używmy metody mxmów FOM czy LOM, wrtość wyostrzen uzleżnon jest od skerown lczy, djąc tym smym skrjne wrtośc wyostrzeń w oszrze jądr. Pomry wyostrzeń dwóch lcz OFN T.. Mesurements of defuzzfcton two numers OFN Metod wyostrzn Skerown lcz rozmyt TE FOM LOM GM COG H=[,3,4,7] 3, ,67 4, Z=[7,4,3,] 3, ,67 4, Wynk odnoszące sę do metody trójkątnego rozszerzn wskzują, że metod jest czuł n skerowne. Dl lczy H wrtość wyostrzen to 3.3, dl lczy Z to Możemy równeż zoserwowć, że metod TE dl lczy Z dje tke sme wyostrzene co metod GM dl oydwu lcz H Z. Potwerdzjąc tym smym czułość metody TE n skerowne. 5. Wnosk Skerowne lcz rozmyte jko prt mtemtyczny djący szeroko dące możlwośc w procese opsywn, przetwrzn nformcj, stję sę nowym rozwąznem w udowe model sterownków, wykorzystywnych jko nrzędz wnoskujące czy sterujące. Do głównych zlet stosown tego podejśc możn zlczyć płynne stosowne lgery lcz rzeczywstych. Proponown metod wyostrzn jko Trójkątnego Rozszerzene dl skerownych lcz rozmytych, może yć lterntywą dl stnejących rozwązń, które ne uwzględnją skerown. W prcy wykzno, że metod jest czuł n skerowne. Przedstwone wynk, jednoznczne pokzują jk sę zmen wrtość wyostrzen. Dlsze dn, które utor zmerz podjąć, ędą zwązne z określenem wydjnośc orz porównne z ogólne używnym metodm tkm jk COA. W swojej prcy utor zmerz stworzyć język dl sterownk rozmytego przy użycu skerownych lcz rozmytych OFCL (ng. Ordered Fuzzy Controll Lnguge). Mmo, że stneje specyfkcj FCL (ng. Fuzzy Control Lnguge) dl trdycyjnej logk rozmytej, którą wykorzystują producenc sterownków reprogrmowlnych, możlwość porównn sę orz upowszechnne technolog jest wystrczjącym odźcem do dlszych dzłń. Ltertur. Łuksewcz J., Elementy logk mtemtycznej, Koło Mtemtyczno-Fzyczne Słuchczów Unwersytetu Wrszwskego, Wrszw, 99; II wyd., PWN, Wrszw, Zdeh Lotf, Fuzzy sets, Informton nd Control, vol. 8, 965, pp Duos D., Prde H., Opertons on fuzzy numers, Int. J. System Scence 9 (978), pp Kosńsk W., Prokopowcz P., Alger lcz rozmytych, Mtemtyk Stosown Mtemtyk dl Społeczeństw, 5 (46), 004, str Pegt A., Modelowne sterowne rozmyte, Akdemck Ofcyn Wydwncz EXIT, Wrszw 999r. 6. Leekwjck Vn Werner, Kerre Etenne E., Defuzzfcton: crter nd clssfcton, Fuzzy Sets nd Systems 08 (999), pp Kosńsk Wtold, Ros Agneszk, Cendrowsk Dorot, Węgrzyn-Wolsk Ktrzyn, Defuzzcton functonls re homogeneous, restrctve ddtve nd normlzed functons, Artfcl Intellgence nd Soft Computng, Lecture Notes n Computer Scence, 0, Volume 767/0, pp Wlczyńsk-Sztym Dorot, Drecton of Reserch nto Methods of Defuzzfcton for Ordered Fuzzy Numers, XII Interntonl PhD Workshop OWD 00, 3 6 Octoer 00, pp Adres służowy Autor: Mgr nż. Wojcech Tomsz Doroselsk Unwersytet Kzmerz Welkego w Bydgoszczy ul. Chodkewcz 30, Bydgoszcz eml: HHUUwdoroselsk@ukw.edu.plUU 333