Fizyka elektryczność i magnetyzm

Transkrypt

1 Fizya eletryzność i magnetyzm W4 4. Promieniowanie eletromagnetyzne 4.1.Równania Maxwella w postai ogólnej. Na zaońzenie wyładu zostały podane ztery równania stanowiąe podstawę wszystih zjawis eletromagnetyznyh wywoływanyh przez prądy i ładuni pozostająe w spozynu lub poruszająe się ze stałą prędośią. Równania te są nazywane równaniami Maxwella dla eletrostatyi i magnetostatyi. Podzas omawiania prawa Faradaya, w tórym pojawia się zmienny strumień magnetyzny (wywołany np. zmiennym w zasie prądem) oniezna była modyfiaja równania d Φ B E d s do postai E d s, gdzie Φ B B d A - jest strumieniem dt magnetyznym przez powierzhnię otozoną onturem. Wyażemy teraz, że pojawienie się zmiennego pola eletryznego wymaga również zmiany równania opisująego prawo Ampera. Rys Prąd wpływa do płasiego ondensatora. Powierzhnia na rys.a) obejmuje prąd I, natomiast powierzhnia otozona tym samym onturem z rys.b) nie obejmuje prądu. Rozpatrzmy przyład poazany na rys 4.1. Kondensator płasi złożony z dwóh orągłyh ołade ładujemy prądem I. Pole magnetyzne w punie P możemy otrzymać stosują prawo Ampere a do płasiej powierzhni ogranizonej oręgiem o promieniu r. 4π 4π 4π I B d s j d A B d s I B r I B π Jeżeli podobne rozumowanie r or zastosujemy. do powierzhni poazanej na rys 4.1b, to j d A B d s, bo prąd I przez ta zdefiniowaną powierzhnię nie, przepływa. Otrzymany rezultat jest sprzezny z poprzednim wyniiem, o tórym wiemy, że jest poprawny. Maxwell rozważają podobny przyład odrył, że niespójność tę można usunąć dodają do prawej strony równania opisująego prawo 1 d E Ampere a złon d A. d t prawdzimy zy rozwiązuje to problem. Pole eletryzne, tóre przeina powierzhnia jest polem ondensatora płasiego E 4 π Q / A C. tąd 1

2 E 4π Q 4π I. t AC t AC Po sałowaniu otrzymamy E 4π 1 d E d A I AC I d A 4 π 4π t A d t C Ja widać dopisany złon daje po prawej stronie równania Ampere a wyni analogizny ja w przyładzie z rysunu 4.1a. Zatem poprawione przez Maxwella prawo Ampera przyjmie postać 4π E 1 B d s j d A + d A. 4.1 t Pierwszy złon po prawej stronie jest rzezywistym prądem płynąym przez dowolną powierzhnię ogranizoną zamniętym onturem. Człon drugi Maxwell nazwał prądem przesunięia. Możemy teraz jeszze raz zapisać równania Maxwella w najogólniejszej postai. Za pomoą tyh równań możemy wyznazyć E i B jao funje położenia i zasu, jeżeli znamy położenia i prędośi ładunów wytwarzająyh pole. I. Prawo Gausa w tórym ρ dv Q WEW, gdzie ρ - gęstość objętośiowa ładunu E da 4π ρ dv I. II. Prawo Faradaya E d s B d t A III. Prawo iągłośi linii sił pola magnetyznego B d A IV. Prawo Ampere a (poprawione) 4π B d s j d A + 1 E d t A Podsumowanie: Równania Maxwela są spełnione zarówno w materii ja i w prózni. tosują się do wszystih możliwyh powierzhni i onturów, dają jednoznazne rozwiązanie dla danego rozladu ładunu i prądu.

3 Maxwell opisał zjwisa eletryzne za pomoą ztereh prostyh równań, tóryh matematyzną onsewenją było wyazanie, że przyspieszony ładune musi promieniować pole eletryzne i magnetyzne oddalająe się od źródla 1 z prędośią. µ ε Maxwell sformułował hipotezę, że światło to fale eletromagnetyzne o odpowiednih zęstotliwośiah, oraz, że powinny istnieć fale eletromagnetyzne o dowolnej zęstotliwośi od zera w górę. tworzył teorię pola pozwalająą wytłumazyć działanie na odległość. Przewidział możliwość omuniaji radiowej na długo przed tym, nim taie zjawiso zostało odryte. Dzięi temu, że praa Maxwella jest syntezą ta wielu rozmaityh zjawis fizyznyh, jest uważana przez wiele osób za najwięsze osiągnięie fizyi lasyznej. 4.. Promieniowanie eletromagnetyzne Z IV równania Maxwella wynia, że zmieniająy się prąd (zyli przyspieszane ładuni) daje zmieniająe się pole magnetyzne, tzn. B/ t jest różne od zera. Wtedy, zgodnie z rownaniem II musi pojawić się zmienne pole eletryzne E/ t różne od zera. Ta zmienność E daje ponownie wład do B i ta dalej nawet po wyłązeniu pierwotnego źródła. Jeżeli energia pola nie ma możliwośi rozproszenia się proes ten będzie trwał wieznie, a zaburzenia pola będą się rozhodzić w przestrzeni z prędośią będąa stałą proporjonalnośi w równaniah Maxwella. Rozważmy niesońzoną płaszzyznę yz o prądzie powierzhniowym J płynąym w ierunu ujemnyh y (rys.4.). Rys.4.. Wyine płaszzyzny z prądem powierzhniowym J 4.3. Kontury pomonize do oblizenia pola B woół płaszzyzny z prądem Z prawa Ampre a możemy dla ta zdefiniowanej powierzhni oblizyć B (rys 4.3). 4π 4π π B d s J b B b J b B J 4. Zależność 4. jest prawdziwa jedynie w pobliżu źródła, tzn. dla a dążąyh do zera, ponieważ wtedy powierzhnia onturu dąży do zera, o pozwala nam zaniedbać złon 3

4 1 d E d A w IV równaniu Maxwella. Wyorzystanie równań Maxwella do oblizenia d t pola w punie P (rys.4.3) jest nieo bardziej sompliowane i prowadzi do wyznazenia zależnośi E y Bz Bz 1 Bz oraz. 4.3 x t x t Prawa zęść zależnośi 4.3 jest lasyznym różnizowym równaniem falowym. Jego rozwiązaniem jest fala rozhodząa się od źródła z prędośią. Z lewej zęśi zależnośi 4.3 wynia ponadto, że polu B toważyszy pole eletryzne E B oraz, że pola E i B są do siebie prostopadłe. Jeżeli prąd powierzhniowy będzie miał przebieg opisany zależnośią J J os ω t to rozwiązania równania falowego 4.3 będą miały postać B oraz E z y π x x z ( x t) J osω t B ( x, t) B osω t, π x x z y ( ) x t B J osω t E ( x, t) E osω t, Ja widać z zależnośi 4.4 i 4.5 niesońzona płaszzyzna z sinusoidalnie zmiennym prądem J J os ω t będzie źródłem rozhodząyh się w przestrzeni z prędośią sinusoidalnie zmiennyh wzajemnie sprzeżonyh poł eletryznrgo i magnetyznego. Amplituda tyh pól będzie stała w zasie i przestrzeni i zależna jedynie od amplitudy prądu wymuszająego E π J /. Wprowadzimy teraz do zależnośi 4.4 i 4.5 pojęie długośi fali λ, zyli odległośi między olejnymi masimami pola np. eletryznego. Przyjmijmy, że pole E osiąga masimum w hwili t i w punie x 1. Zgodnie z definiją olejne masimum powinniśmy znaleść w tej samej hwili w punie x x 1 +λ stąd λ x x 1. Na tym odinu argument funji os musi zmienić się o π. Po podstawieniu otrzymamy λ t f t λ π ω π ω π ω π λ λ 4.6 ω f Przeształają równanie 4.5 i podstawiają długość fali otrzymamy x π E y ( x, t) E os ω t ω E y ( x, t) E os ω t x. 4.7 λ Często używana jest jeszze jedna wielość π / λ nazywana lizbą falową. Po podstawieniu otrzymamy ( x, t) E os( ω t x). 4.8 E y Ostatnie równanie jest zęsto używane do opisu rozhodząej się w przestrzeni fali eletromagnetyznej. Należy jedna pamiętać, że sładowej eletryznej pola zawsze towarzyszy prostopadła do niej sładowa magnetyzna. Do opisu zęśiej używamy 4

5 sładowej eletryznej pola, bo ona jest łatwiej mierzalna i to ona odpowiada za namaalne suti działania pola w postai prądów induowanyh w antenah. Rys.4.4. Wzajemne położenie wetorów E i B płasiej fali eletromagnetyznej 4.3. Energia promieniowania Ja wyazaliśmy wześniej w polu eletryznym i magnetyznym gromadzi się energia, tórej gęstość może być opisana zależnośią W 1 ( E + B ) π Rozhodząa się od źródła fala eletromagnetyzna również unosi ze sobą energię. Do oeny moy promieniowania eletromagnetyznego przypadająego na jednostę powierzhni używa się wetora Poyntinga oznazanego symbolem i będąego ilozynem wetorowym E i B pomnożonym przez stałą / 4π. ( E B) 4.1 4π Wyażemy że wetor Poyntinga jest w zgodzie z gęstośią energii zawartej w polu eletromagnetyznym, a wyrażonej wzorem 4.9. Jeżeli powierzhnia na tóra pada promieniowanie jest prostopadła do ierunu rozhodzenia się fali, to możemy w zależnośi 4.1 zrezygnować z zapisu wetorowego E B. 4π Zauważmy, że jeżeli mo opisaną wetorem Poyntinga podzielimy przez jednostową odległość i pomnożymy przez zas jai potrzebny jest fali niosąej energię na poonanie tej odległośi, zyli podzielimy przez prędość światła, to otrzymamy średnią gęstość energii przypadająej na jednostę objętośi. W 4π 1 E B E B 4π E B E B + E Dowodzą powyższe sorzystaliśmy z zależnośi E B 4.4. Oddziaływanie promieniowania z materią B + 1 ( E + B ) Jeżeli promieniowanie eletromagnetyzne napotya na swej drodze iało materialne, to w zależnośi od właśiwośi eletryznyh (optyznyh) tego iała będziemy obserwować trzy rodzaje zahowań: 1. promieniowanie będzie wniać w iało, a niesiona energia zostanie stopniowo rozproszona, zamieniają się na energię wewnętrzną iała, 5

6 . promieniowanie ulegnie odbiiu od powierzhni iała, 3. promieniowanie przejdzie przez iało bez strat energii z ewentualną zmiana ierunu rozhodzenia się fali. W rzezywistośi najzęśiej spotamy iała, w tóryh w różnym nasileniu zaobserwujemy wszystie opisane proesy. Zahowanie iała w polu promieniowania zależy od tego zy zawiera ono w sobie i w jaiej lizbie swobodne ładuni mogąe wziąć udział w przepływie prądu induowanego pod wpływem sładowej eletryznej pola (rys.4.5). Rys.4.5. Padająa fala induuje w płyte prąd, tóry wytwarza własne pole promieniowania Ad.1. Pierwsza grupa to iała w tóryh istnieją swobodne eletrony, ale ih przewodnitwo nie jest duże. Poruszająe się pod wpływem sładowej eletryznej pola eletrony traą energię w zderzeniah z sieią rystalizną iała, o sutuje zaniiem promieniowania. Ad.. Odbiie promieniowania będzie miało miejse w przypadu iał dobrze przewodząyh prąd (metale, nadprzewodnii). Doierająe do taiego iała pole eletryzne fali induuje w warstwie przypowierzhniowej prąd o taim natężeniu, że towarzysząa mu własna fala eletromagnetyzna ma natężenie porównywalne z falą pierwotną (rys 4.6). Kieruni wetorów pola pierwotnego i wtórnego są taie, że wypadowe pole wewnątrz metalowej płyti będzie równe zero, a w ierunu źródła wrói fala o amplitudzie zbliżonej do fali padająej. Rys.4.6. Fala padająa na płytę z bardzo dobrego przewodnia Ad.3. Trzeia grupa iał to izolatory (dieletryi), tóre nie zawierają swobodnyh eletronów mogąyh brać udział w przepływie prądu. W iałah tyh jedna zewnętrze eletrony w poszzególnyh atomah mogą pod wpływem pola eletryznego ulegać przesunięiu względem położenia równowagi. Energia zabrana fali podzas tego przesunięia zostanie zwróona, gdyż eletron wrói do położenia równowagi generują przy tym własną falę przesuniętą w fazie o 9 o w stosunu do fali pierwotnej. Fala opuszzająa płytę izolatora będzie superpozyją fali pierwotnej 6

7 i przesuniętyh w fazie fal wtórnyh w efeie zego fala ulegnie opóźnieniu. To opóźnienie będziemy obserwować jao zmniejszenie prędość rozhodzenia się fali w dieletryu. tosune prędośi rozhodzenia się fal eletromagnetyznyh w próżni do prędośi v w danym iele jest wielośią haraterystyzną dla tego iała i nazywa się współzynniiem załamania n. v Opróz zmiany prędośi współzynni załamania oreśla również ąt załamania jaiemu ulega wiąza promieni przehodzą przez dany ośrode. W tym przypadu sin α obowiązuje zależność n ; gdzie α i β są odpowiednio atami padania sin β i załamania wiązi (rys 4.7). Rys 4.7. Współzynni załamania światła Analizują matematyznie drgania eletronów w płyte dieletrya można wyprowadzić zależność opisująą współzynni załamania w funji zęstośi padająej fali eletromagnetyznej ω. π N e n ( ω) m ω ω ( ) gdzie: N onentraja drgająyh eletronów, m masa eletronu, ω zęstotliwość drgań własnyh eletronów. Ja widać z analizy zależnośi 4.11 współzynni załamania dieletryów zależy przede wszystim od zęstotliwość drgań własnyh jego eletronów. Zależność współzynnia załamania od zęstotliwośi nazywa się dyspersją. Przebieg tej zależnośi poazuje rys 4.8. Rys 4.8. Krzywa dyspersji normalnej według zależnośi

8 Dla więszośi iał dieletryznyh i dla zęstośi fal z zaresu widzialnego obowiązuje zależność (ω >ω) o daje współzynni załamania więszy od jednośi i rosnąy wraz z przehodzeniem od zerwieni do fioletu. Wyład opraowany na podstawie siążi: Orear Jay Fizya - tom 8