7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe

Transkrypt

1 7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 1 / 41

2 1 Papiery wartościowe: wstępne uwagi 2 Dyskonto handlowe (proste) 3 Weksle kupieckie: podstawowe informacje 4 Weksle: dykonto i redyskonto 5 Równoważność weksli i ich portfeli 6 Stopa procentowa i stopa zwrotu z weksli 7 Bony skarbowe rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 2 / 41

3 Papiery wartościowe: wstęp W ramach tego wykładu oraz wszystkich nadchodzących będziemy się zajmować szczególnymi narządziami inwestycyjnymi: papierami wartościowymi. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 3 / 41

4 Papiery wartościowe: wstęp W ramach tego wykładu oraz wszystkich nadchodzących będziemy się zajmować szczególnymi narządziami inwestycyjnymi: papierami wartościowymi. Są to dokumenty (o mniej lub bardziej ściśle określonej przez prawo formie) stwierdzające prawa do pewnego majątku (a w szczególności do pewnych płatności) należnego ich posiadaczowi. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 3 / 41

5 Papiery wartościowe: wstęp W ramach tego wykładu oraz wszystkich nadchodzących będziemy się zajmować szczególnymi narządziami inwestycyjnymi: papierami wartościowymi. Są to dokumenty (o mniej lub bardziej ściśle określonej przez prawo formie) stwierdzające prawa do pewnego majątku (a w szczególności do pewnych płatności) należnego ich posiadaczowi. Tematyką następnych wykładów będzie wycena takich papierów. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 3 / 41

6 Papiery wartościowe: motywacja Generalnie, płatności gwarantowane przez każdy z papierów wartościowych (oraz ich zakup) tworzą inwestycję finansową, która podlega tym samym sposobom wyceny (np. przez IRR), co każda inna inwestycja finansowa, więc w zasadzie nie potrzebowalibyśmy do ich badania żadnych nowych wzorów, a jedynie dokładnych informacji o wysokości i czasach płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 4 / 41

7 Papiery wartościowe: motywacja Generalnie, płatności gwarantowane przez każdy z papierów wartościowych (oraz ich zakup) tworzą inwestycję finansową, która podlega tym samym sposobom wyceny (np. przez IRR), co każda inna inwestycja finansowa, więc w zasadzie nie potrzebowalibyśmy do ich badania żadnych nowych wzorów, a jedynie dokładnych informacji o wysokości i czasach płatności. Jednakże, większość papierów wartościowych i zwyczajów związanych z handlem z nimi uformowała się zanim powstały matematyczne podstawy finansów, więc wiele z nich charakteryzuje się prawnymi lub tradycyjnymi oznaczeniami i definicjami, które niekoniecznie są zgodne z zasadami matematyki finansowej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 4 / 41

8 Papiery wartościowe: motywacja Generalnie, płatności gwarantowane przez każdy z papierów wartościowych (oraz ich zakup) tworzą inwestycję finansową, która podlega tym samym sposobom wyceny (np. przez IRR), co każda inna inwestycja finansowa, więc w zasadzie nie potrzebowalibyśmy do ich badania żadnych nowych wzorów, a jedynie dokładnych informacji o wysokości i czasach płatności. Jednakże, większość papierów wartościowych i zwyczajów związanych z handlem z nimi uformowała się zanim powstały matematyczne podstawy finansów, więc wiele z nich charakteryzuje się prawnymi lub tradycyjnymi oznaczeniami i definicjami, które niekoniecznie są zgodne z zasadami matematyki finansowej. Dopiero ich znajomość (i znajomość zależności między nimi, a poznanymi pojęciami) pozwala na swobodną ocenę wartości tych instrumentów. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 4 / 41

9 Papiery wartościowe: zastrzeżenie Przypominam, że o ile nie będzie wyraźnie powiedziane inaczej, we wszystkich rozważanych problemach zakładamy, że wszystkie momenty i wysokości przyszłych płatności są pewne. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 5 / 41

10 Papiery wartościowe: zastrzeżenie Przypominam, że o ile nie będzie wyraźnie powiedziane inaczej, we wszystkich rozważanych problemach zakładamy, że wszystkie momenty i wysokości przyszłych płatności są pewne. W kwestiach dotyczących papierów wartościowych jest to szczególnie delikatne założenie, gdyż zazwyczaj głównym problemem ich poprawnej wyceny jest brak informacji o przyszłości (np. o cenie akcji danej firmy w terminie sprzedaży, lub o tym, czy spółka, której obligacje wyceniamy nie zbankrutuje do czasu ich zapadalności). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 5 / 41

11 Papiery wartościowe: zastrzeżenie Przypominam, że o ile nie będzie wyraźnie powiedziane inaczej, we wszystkich rozważanych problemach zakładamy, że wszystkie momenty i wysokości przyszłych płatności są pewne. W kwestiach dotyczących papierów wartościowych jest to szczególnie delikatne założenie, gdyż zazwyczaj głównym problemem ich poprawnej wyceny jest brak informacji o przyszłości (np. o cenie akcji danej firmy w terminie sprzedaży, lub o tym, czy spółka, której obligacje wyceniamy nie zbankrutuje do czasu ich zapadalności). Uchylenie tego założenia wymaga jednak stosowania bardziej skomplikowanych technik matematyczno-statystycznych i wykracza poza ramy tego kursu (a być może w ogóle poza ramy nauki). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 5 / 41

12 Dlaczego weksle i bony skarbowe? Zaczniemy od zagadnień związanych z wekslami kupieckimi i bonami skarbowymi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 6 / 41

13 Dlaczego weksle i bony skarbowe? Zaczniemy od zagadnień związanych z wekslami kupieckimi i bonami skarbowymi. Z jednej strony, są to dość proste papiery wartościowe, gdyż (przynajmniej w podstawowej formie) opierają się na modelu pojedynczego nakładu i pojedynczego przychodu (jak np. lokaty). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 6 / 41

14 Dlaczego weksle i bony skarbowe? Zaczniemy od zagadnień związanych z wekslami kupieckimi i bonami skarbowymi. Z jednej strony, są to dość proste papiery wartościowe, gdyż (przynajmniej w podstawowej formie) opierają się na modelu pojedynczego nakładu i pojedynczego przychodu (jak np. lokaty). Z drugiej strony, jako, że weksle kupieckie są jednymi z najstarszych papierów wartościowych (a bony skarbowe działają na tej samej zasadzie), reguły, które nimi rządzą są oparte na tradycji, a nie na matematycznej sensowności, więc ich wycena jest najbardziej niezgodna z zasadami matematyki finansowej spośród wszystkich, które będziemy omawiać. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 6 / 41

15 Dlaczego weksle i bony skarbowe? Zaczniemy od zagadnień związanych z wekslami kupieckimi i bonami skarbowymi. Z jednej strony, są to dość proste papiery wartościowe, gdyż (przynajmniej w podstawowej formie) opierają się na modelu pojedynczego nakładu i pojedynczego przychodu (jak np. lokaty). Z drugiej strony, jako, że weksle kupieckie są jednymi z najstarszych papierów wartościowych (a bony skarbowe działają na tej samej zasadzie), reguły, które nimi rządzą są oparte na tradycji, a nie na matematycznej sensowności, więc ich wycena jest najbardziej niezgodna z zasadami matematyki finansowej spośród wszystkich, które będziemy omawiać. W szczególności, narzędzia te nie są wyceniane za pomocą znanych nam zasad oprocentowania złożonego, ale raczej dyskonta handlowego prostego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 6 / 41

16 Dyskonto matematyczne (rzeczywiste) Samo pojęcie dyskontowania już się na tym kursie pojawiło w sensie aktualizacji wartości pewnego kapitału na termin wcześniejszy. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 7 / 41

17 Dyskonto matematyczne (rzeczywiste) Samo pojęcie dyskontowania już się na tym kursie pojawiło w sensie aktualizacji wartości pewnego kapitału na termin wcześniejszy. Technicznie było to oprocentowanie złożone kapitału w czasie ujemnym - i zazwyczaj w tym sensie będziemy używać słowa dyskonto. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 7 / 41

18 Dyskonto matematyczne (rzeczywiste) Samo pojęcie dyskontowania już się na tym kursie pojawiło w sensie aktualizacji wartości pewnego kapitału na termin wcześniejszy. Technicznie było to oprocentowanie złożone kapitału w czasie ujemnym - i zazwyczaj w tym sensie będziemy używać słowa dyskonto. Jednak na potrzeby tego zestawu slajdów, by uniknąć pomieszania pojęć, będę nazywał dyskonto zdefiniowane w ten sposób dyskontem matematycznym lub rzeczywistym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 7 / 41

19 Dyskonto handlowe Dyskonto handlowe Dyskonto handlowe (bankowe) to opłata za pożyczkę obliczona na podstawie kwoty, którą dłużnik zwróci po określonym czasie i zapłaconą z góry, czyli w chwili otrzymania pożyczki. Oznaczane jest przez D H. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 8 / 41

20 Dyskonto handlowe Dyskonto handlowe Dyskonto handlowe (bankowe) to opłata za pożyczkę obliczona na podstawie kwoty, którą dłużnik zwróci po określonym czasie i zapłaconą z góry, czyli w chwili otrzymania pożyczki. Oznaczane jest przez D H. Dla odróżnienia: odsetki (czyli znany nam już sposób opłaty za pożyczenie pieniędzy) zależą od kwoty otrzymanej i płaci się je z dołu, na końcu okresu pożyczki (nawet jeśli obliczane są w modelu kapitalizacji z góry), ale dyskonto zależy od kwoty oddawanej i płaci się je z góry (dłużnik po prostu dostaje mniejszą kwotę niż ma zwrócić: W nom D H ). Dlatego dyskonto czasem nazywa się procentem płatnym z góry. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 8 / 41

21 Dyskonto handlowe proste Na kolejnych slajdach omówię szczegółowo zasady dyskonta handlowego prostego, na którym oparta jest wycena weksli i bonów skarbowych. Dyskonto handlowe złożone nie jest używane w praktyce (choć pojawia się w niektórych książkach), gdyż generalnie inwestycje oparte o dyskonto handlowe nie są powtarzalne. Dlatego też nie będziemy go omawiać. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 9 / 41

22 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z dyskontem handlowym istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 10 / 41

23 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z dyskontem handlowym istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: W nom - wartość nominalna pożyczki, do spłacenia w danym momencie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 10 / 41

24 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z dyskontem handlowym istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: W nom - wartość nominalna pożyczki, do spłacenia w danym momencie. D H - dyskonto handlowe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 10 / 41

25 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z dyskontem handlowym istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: W nom - wartość nominalna pożyczki, do spłacenia w danym momencie. D H - dyskonto handlowe. W akt - wartość aktualna pożyczki, kwota za jaką można sprzedać prawa do niej w tym momencie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 10 / 41

26 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z dyskontem handlowym istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: W nom - wartość nominalna pożyczki, do spłacenia w danym momencie. D H - dyskonto handlowe. W akt - wartość aktualna pożyczki, kwota za jaką można sprzedać prawa do niej w tym momencie d - roczna stopa dyskontowa. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 10 / 41

27 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z dyskontem handlowym istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: W nom - wartość nominalna pożyczki, do spłacenia w danym momencie. D H - dyskonto handlowe. W akt - wartość aktualna pożyczki, kwota za jaką można sprzedać prawa do niej w tym momencie d - roczna stopa dyskontowa. n - czas do zwrotu pożyczki (zapadalności) w latach. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 10 / 41

28 Stopa dyskontowa Uwagę zwraca nowy rodzaj stopy: stopa dyskontowa, przy pomocy której oblicza się wartość dyskonta. Nie należy mylić jej ze stopą procentową (zależność między nimi obliczymy później). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 11 / 41

29 Stopa dyskontowa Uwagę zwraca nowy rodzaj stopy: stopa dyskontowa, przy pomocy której oblicza się wartość dyskonta. Nie należy mylić jej ze stopą procentową (zależność między nimi obliczymy później). W modelu dyskonta handlowego stopa dyskontowa nie podlega przeliczaniu na inne okresy za pomocą stopy efektywnej, tylko względnej (stąd dyskonto proste). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 11 / 41

30 Dyskonto handlowe - podstawowe zależności Zgodnie z definicją dyskonta handlowego, jeśli W akt jest wartością pożyczaną w momencie udzielenia pożyczki to: W akt = W nom D H ; D H = W nom W akt. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 12 / 41

31 Dyskonto handlowe - podstawowe zależności Zgodnie z definicją dyskonta handlowego, jeśli W akt jest wartością pożyczaną w momencie udzielenia pożyczki to: W akt = W nom D H ; D H = W nom W akt. Można definicję dyskonta dzięki temu uogólnić na dowolny moment, jako różnicę pomiędzy wartością nominalną a aktualną instrumentu dokumentującego pożyczkę. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 12 / 41

32 Zasada dyskonta handlowego prostego Takie uogólnione dyskonto oblicza się według następującej zasady: Zasada dyskonta handlowego prostego Dyskonto handlowe proste jest proporcjonalne do czasu pozostałego do spłaty pożyczki. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 13 / 41

33 Zasada dyskonta handlowego prostego Takie uogólnione dyskonto oblicza się według następującej zasady: Zasada dyskonta handlowego prostego Dyskonto handlowe proste jest proporcjonalne do czasu pozostałego do spłaty pożyczki. Dyskonto oblicza się ze wzoru D H = W nom dn. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 13 / 41

34 Zasada dyskonta handlowego prostego Takie uogólnione dyskonto oblicza się według następującej zasady: Zasada dyskonta handlowego prostego Dyskonto handlowe proste jest proporcjonalne do czasu pozostałego do spłaty pożyczki. Dyskonto oblicza się ze wzoru D H = W nom dn. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 13 / 41

35 Dyskonto handlowe - podstawowe zależności Skoro W akt = W nom D H i D H = W nom dn, to: W akt = W nom (1 dn). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 14 / 41

36 Dyskonto handlowe - podstawowe zależności Skoro W akt = W nom D H i D H = W nom dn, to: W akt = W nom (1 dn). Dyskonto handlowe - wzory W akt = W nom D H ; W akt = W nom (1 dn). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 14 / 41

37 Krótkoterminowość dyskonta handlowego Jako, że dyskonto z natury jest mniejsze od wartości nominalnej pożyczki, D H < W nom, to musi zajść: W nom dn = D H < W nom Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 15 / 41

38 Krótkoterminowość dyskonta handlowego Jako, że dyskonto z natury jest mniejsze od wartości nominalnej pożyczki, D H < W nom, to musi zajść: W nom dn = D H < W nom dn < 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 15 / 41

39 Krótkoterminowość dyskonta handlowego Jako, że dyskonto z natury jest mniejsze od wartości nominalnej pożyczki, D H < W nom, to musi zajść: W nom dn = D H < W nom dn < 1 n < 1 d. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 15 / 41

40 Krótkoterminowość dyskonta handlowego Jako, że dyskonto z natury jest mniejsze od wartości nominalnej pożyczki, D H < W nom, to musi zajść: W nom dn = D H < W nom dn < 1 n < 1 d. Ta nierówność wyjaśnia dlaczego dyskonta używa się generalnie tylko dla pożyczek krótkoterminowych. W praktyce prawie zawsze n < 1. Dlatego w zadaniach rozwiązywanych za pomocą dyskonta handlowego warto pamiętać o stosowaniu reguły bankowej co do czasu (każdy miesiąc=30 dni, rok=52 tygodnie=360 dni). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 15 / 41

41 Weksle - wstęp Weksel Weksel (kupiecki) jest to zobowiązanie do zapłaty określonej kwoty w określonym terminie i ma formę dokumentu (uregulowanego prawnie, acz ogólnego wzoru w Polsce nie ma od 2007 roku). Musi zawierać wartość nominalną (sumę) weksla - czyli wysokość udzielonej pożyczki - oraz termin zapadalności (termin wykupu) - czyli czas, w którym tę kwotę trzeba spłacić. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 16 / 41

42 Weksle - wstęp Weksel Weksel (kupiecki) jest to zobowiązanie do zapłaty określonej kwoty w określonym terminie i ma formę dokumentu (uregulowanego prawnie, acz ogólnego wzoru w Polsce nie ma od 2007 roku). Musi zawierać wartość nominalną (sumę) weksla - czyli wysokość udzielonej pożyczki - oraz termin zapadalności (termin wykupu) - czyli czas, w którym tę kwotę trzeba spłacić. Często zawiera też stopę dyskontową, według której była obliczona wartość początkowa weksla lub też wartość aktualną weksla w pewnym dniu (zazwyczaj dokonywania transakcji), na podstawie której tę stopę dyskontową można obliczyć. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 16 / 41

43 Weksle - wstęp Weksel Weksel (kupiecki) jest to zobowiązanie do zapłaty określonej kwoty w określonym terminie i ma formę dokumentu (uregulowanego prawnie, acz ogólnego wzoru w Polsce nie ma od 2007 roku). Musi zawierać wartość nominalną (sumę) weksla - czyli wysokość udzielonej pożyczki - oraz termin zapadalności (termin wykupu) - czyli czas, w którym tę kwotę trzeba spłacić. Często zawiera też stopę dyskontową, według której była obliczona wartość początkowa weksla lub też wartość aktualną weksla w pewnym dniu (zazwyczaj dokonywania transakcji), na podstawie której tę stopę dyskontową można obliczyć. Wartością aktualną weksla jest wartość obliczona na podstawie jego wartości nominalnej, stopy dyskontowej, dnia na który tę wartość obliczamy i modelu dyskonta handlowego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 16 / 41

44 Weksle - wstęp Weksel Weksel (kupiecki) jest to zobowiązanie do zapłaty określonej kwoty w określonym terminie i ma formę dokumentu (uregulowanego prawnie, acz ogólnego wzoru w Polsce nie ma od 2007 roku). Musi zawierać wartość nominalną (sumę) weksla - czyli wysokość udzielonej pożyczki - oraz termin zapadalności (termin wykupu) - czyli czas, w którym tę kwotę trzeba spłacić. Często zawiera też stopę dyskontową, według której była obliczona wartość początkowa weksla lub też wartość aktualną weksla w pewnym dniu (zazwyczaj dokonywania transakcji), na podstawie której tę stopę dyskontową można obliczyć. Wartością aktualną weksla jest wartość obliczona na podstawie jego wartości nominalnej, stopy dyskontowej, dnia na który tę wartość obliczamy i modelu dyskonta handlowego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 16 / 41

45 Weksle - zastosowanie Weksle najczęściej są używane jako forma rozliczenia handlowego. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 17 / 41

46 Weksle - zastosowanie Weksle najczęściej są używane jako forma rozliczenia handlowego. Jest to po prostu wygodny sposób na sformalizowanie odroczenia terminu płatności za zakupione dobra np. sklep, który nie może pozwolić sobie na natychmiastową zapłatę gotówkową w wysokości W akt za jakiś towar, wystawia weksel na kwotę W nom > W akt płatny za jakiś czas i liczy, że do tego czasu sprzeda towar z zyskiem, co pozwoli spłacić weksel w terminie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 17 / 41

47 Weksle - zastosowanie Weksle najczęściej są używane jako forma rozliczenia handlowego. Jest to po prostu wygodny sposób na sformalizowanie odroczenia terminu płatności za zakupione dobra np. sklep, który nie może pozwolić sobie na natychmiastową zapłatę gotówkową w wysokości W akt za jakiś towar, wystawia weksel na kwotę W nom > W akt płatny za jakiś czas i liczy, że do tego czasu sprzeda towar z zyskiem, co pozwoli spłacić weksel w terminie. Weksel może też w gospodarce pełnić inne funkcje - np. za zgodą stron, prawa do niego mogą być przeniesione na inną osobę, więc może być używany jako zapłata w transakcjach handlowych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 17 / 41

48 Uzasadnienie zastosowania dyskonta handlowego Na podstawie definicji, dla wyceny weksli obowiązują wzory ze slajdu 14. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 18 / 41

49 Uzasadnienie zastosowania dyskonta handlowego Na podstawie definicji, dla wyceny weksli obowiązują wzory ze slajdu 14. Wycena wartości aktualnej weksla za pomocą modelu kapitalizacji prostej rodzi różne problemy (co za chwilę zobaczymy). Jakie są zatem powody stosowania tak nieporęcznego modelu? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 18 / 41

50 Uzasadnienie zastosowania dyskonta handlowego Na podstawie definicji, dla wyceny weksli obowiązują wzory ze slajdu 14. Wycena wartości aktualnej weksla za pomocą modelu kapitalizacji prostej rodzi różne problemy (co za chwilę zobaczymy). Jakie są zatem powody stosowania tak nieporęcznego modelu? Weksel jest instrumentem jednorazowym o ustalonej wartości i nie daje się skalować jako inwestycja. Możliwość reinwestowanie zysków z weksla w weksel o dokładnie takiej samej procentowej stopie zwrotu jest skrajnie nieprawdopodobna. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 18 / 41

51 Uzasadnienie zastosowania dyskonta handlowego Na podstawie definicji, dla wyceny weksli obowiązują wzory ze slajdu 14. Wycena wartości aktualnej weksla za pomocą modelu kapitalizacji prostej rodzi różne problemy (co za chwilę zobaczymy). Jakie są zatem powody stosowania tak nieporęcznego modelu? Weksel jest instrumentem jednorazowym o ustalonej wartości i nie daje się skalować jako inwestycja. Możliwość reinwestowanie zysków z weksla w weksel o dokładnie takiej samej procentowej stopie zwrotu jest skrajnie nieprawdopodobna. Taka wycena weksla jest zapisana w prawie bankowym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 18 / 41

52 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla Generalnie nie zajmujemy się subtelnymi techniczno-prawnymi aspektami różnych rodzajów weksli, ale warto wiedzieć, że legalnie zapisany weksel może być odsprzedany bankowi komercyjnemu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 19 / 41

53 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla Generalnie nie zajmujemy się subtelnymi techniczno-prawnymi aspektami różnych rodzajów weksli, ale warto wiedzieć, że legalnie zapisany weksel może być odsprzedany bankowi komercyjnemu. Większość banków świadczy usługi wykupu weksli po zadanych przez siebie stopach dyskontowych, gdyż mogą natychmiast dokonać redyskonta weksla po korzystniejszej stopie w banku centralnym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 19 / 41

54 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla Generalnie nie zajmujemy się subtelnymi techniczno-prawnymi aspektami różnych rodzajów weksli, ale warto wiedzieć, że legalnie zapisany weksel może być odsprzedany bankowi komercyjnemu. Większość banków świadczy usługi wykupu weksli po zadanych przez siebie stopach dyskontowych, gdyż mogą natychmiast dokonać redyskonta weksla po korzystniejszej stopie w banku centralnym. Stopa redyskontowania weksli jest jedną ze stóp procentowych, o których wysokości decyduje bank centralny. Niestety, zwykły obywatel nie może bezpośrednio dyskontować weksli po tej stopie w banku centralnym. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 19 / 41

55 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie Zamiast zapłaty kwoty 965 jp za towar wystawiono weksel płatny za pół roku ze stopą dyskontową 7%. 4 miesiące później, posiadacz weksla potrzebował gotówki, więc zdyskontował weksel w banku komercyjnym po stopie dyskontowej 10%. Dzień później, bank komercyjny zredyskontował ten weksel w banku centralnym po stopie redyskontowania weksli równej 5%. Jakie były ceny, za które bank komercyjny i bank centralny nabyły ten weksel? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 20 / 41

56 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie Zamiast zapłaty kwoty 965 jp za towar wystawiono weksel płatny za pół roku ze stopą dyskontową 7%. 4 miesiące później, posiadacz weksla potrzebował gotówki, więc zdyskontował weksel w banku komercyjnym po stopie dyskontowej 10%. Dzień później, bank komercyjny zredyskontował ten weksel w banku centralnym po stopie redyskontowania weksli równej 5%. Jakie były ceny, za które bank komercyjny i bank centralny nabyły ten weksel? Zacznijmy od obliczenia wartości nominalnej tego weksla. W momencie wystawienia: W akt1 = 965, d 1 = 0, 07, n 1 = 1 2. Zatem: 965 = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 20 / 41

57 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie Zamiast zapłaty kwoty 965 jp za towar wystawiono weksel płatny za pół roku ze stopą dyskontową 7%. 4 miesiące później, posiadacz weksla potrzebował gotówki, więc zdyskontował weksel w banku komercyjnym po stopie dyskontowej 10%. Dzień później, bank komercyjny zredyskontował ten weksel w banku centralnym po stopie redyskontowania weksli równej 5%. Jakie były ceny, za które bank komercyjny i bank centralny nabyły ten weksel? Zacznijmy od obliczenia wartości nominalnej tego weksla. W momencie wystawienia: W akt1 = 965, d 1 = 0, 07, n 1 = 1 2. Zatem: 965 = W nom (1 d 1 n 1 ) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 20 / 41

58 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie Zamiast zapłaty kwoty 965 jp za towar wystawiono weksel płatny za pół roku ze stopą dyskontową 7%. 4 miesiące później, posiadacz weksla potrzebował gotówki, więc zdyskontował weksel w banku komercyjnym po stopie dyskontowej 10%. Dzień później, bank komercyjny zredyskontował ten weksel w banku centralnym po stopie redyskontowania weksli równej 5%. Jakie były ceny, za które bank komercyjny i bank centralny nabyły ten weksel? Zacznijmy od obliczenia wartości nominalnej tego weksla. W momencie wystawienia: W akt1 = 965, d 1 = 0, 07, n 1 = 1 2. Zatem: 965 = W nom (1 d 1 n 1 ) = W nom (1 0, ) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 20 / 41

59 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie Zamiast zapłaty kwoty 965 jp za towar wystawiono weksel płatny za pół roku ze stopą dyskontową 7%. 4 miesiące później, posiadacz weksla potrzebował gotówki, więc zdyskontował weksel w banku komercyjnym po stopie dyskontowej 10%. Dzień później, bank komercyjny zredyskontował ten weksel w banku centralnym po stopie redyskontowania weksli równej 5%. Jakie były ceny, za które bank komercyjny i bank centralny nabyły ten weksel? Zacznijmy od obliczenia wartości nominalnej tego weksla. W momencie wystawienia: W akt1 = 965, d 1 = 0, 07, n 1 = 1 2. Zatem: 965 = W nom (1 d 1 n 1 ) = W nom (1 0, ) W nom = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 20 / 41

60 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie (...) weksel płatny za pół roku (...) 4 miesiące później, posiadacz weksla potrzebował gotówki, więc zdyskontował weksel w banku komercyjnym po stopie dyskontowej 10%. (...) W momencie sprzedaży bankowi komercyjnemu: W nom = 1000, d 2 = 0, 1, n 2 = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 21 / 41

61 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie (...) weksel płatny za pół roku (...) 4 miesiące później, posiadacz weksla potrzebował gotówki, więc zdyskontował weksel w banku komercyjnym po stopie dyskontowej 10%. (...) W momencie sprzedaży bankowi komercyjnemu: W nom = 1000, d 2 = 0, 1, n 2 = 1 (uwaga! n oznacza czas pozostały do momentu 6 zapadalności weksla, a więc 2 miesiące, a nie czas od jego wystawienia, czyli 4 miesiące!). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 21 / 41

62 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie (...) weksel płatny za pół roku (...) 4 miesiące później, posiadacz weksla potrzebował gotówki, więc zdyskontował weksel w banku komercyjnym po stopie dyskontowej 10%. (...) W momencie sprzedaży bankowi komercyjnemu: W nom = 1000, d 2 = 0, 1, n 2 = 1 (uwaga! n oznacza czas pozostały do momentu 6 zapadalności weksla, a więc 2 miesiące, a nie czas od jego wystawienia, czyli 4 miesiące!). Zatem: W akt2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 21 / 41

63 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie (...) weksel płatny za pół roku (...) 4 miesiące później, posiadacz weksla potrzebował gotówki, więc zdyskontował weksel w banku komercyjnym po stopie dyskontowej 10%. (...) W momencie sprzedaży bankowi komercyjnemu: W nom = 1000, d 2 = 0, 1, n 2 = 1 (uwaga! n oznacza czas pozostały do momentu 6 zapadalności weksla, a więc 2 miesiące, a nie czas od jego wystawienia, czyli 4 miesiące!). Zatem: W akt2 = W nom (1 d 2 n 2 ) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 21 / 41

64 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie (...) weksel płatny za pół roku (...) 4 miesiące później, posiadacz weksla potrzebował gotówki, więc zdyskontował weksel w banku komercyjnym po stopie dyskontowej 10%. (...) W momencie sprzedaży bankowi komercyjnemu: W nom = 1000, d 2 = 0, 1, n 2 = 1 (uwaga! n oznacza czas pozostały do momentu 6 zapadalności weksla, a więc 2 miesiące, a nie czas od jego wystawienia, czyli 4 miesiące!). Zatem: W akt2 = W nom (1 d 2 n 2 ) = 1000(1 0, 1 1 ) = 983, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 21 / 41

65 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie (...) weksel płatny za pół roku (...) 4 miesiące później, (...) Dzień później, bank komercyjny zredyskontował ten weksel w banku centralnym po stopie redyskontowania weksli równej 5%. Jakie były ceny, za które bank komercyjny i bank centralny nabyły ten weksel? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 22 / 41

66 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie (...) weksel płatny za pół roku (...) 4 miesiące później, (...) Dzień później, bank komercyjny zredyskontował ten weksel w banku centralnym po stopie redyskontowania weksli równej 5%. Jakie były ceny, za które bank komercyjny i bank centralny nabyły ten weksel? W momencie sprzedaży bankowi centralnemu: W nom = 1000, d 3 = 0, 05, n 2 = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 22 / 41

67 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie (...) weksel płatny za pół roku (...) 4 miesiące później, (...) Dzień później, bank komercyjny zredyskontował ten weksel w banku centralnym po stopie redyskontowania weksli równej 5%. Jakie były ceny, za które bank komercyjny i bank centralny nabyły ten weksel? W momencie sprzedaży bankowi centralnemu: W nom = 1000, d 3 = 0, 05, n 2 = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 22 / 41

68 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie (...) weksel płatny za pół roku (...) 4 miesiące później, (...) Dzień później, bank komercyjny zredyskontował ten weksel w banku centralnym po stopie redyskontowania weksli równej 5%. Jakie były ceny, za które bank komercyjny i bank centralny nabyły ten weksel? W momencie sprzedaży bankowi centralnemu: W nom = 1000, d 3 = 0, 05, n 2 = Zatem: W akt3 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 22 / 41

69 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie (...) weksel płatny za pół roku (...) 4 miesiące później, (...) Dzień później, bank komercyjny zredyskontował ten weksel w banku centralnym po stopie redyskontowania weksli równej 5%. Jakie były ceny, za które bank komercyjny i bank centralny nabyły ten weksel? W momencie sprzedaży bankowi centralnemu: W nom = 1000, d 3 = 0, 05, n 2 = Zatem: W akt3 = W nom (1 d 3 n 3 ) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 22 / 41

70 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie (...) weksel płatny za pół roku (...) 4 miesiące później, (...) Dzień później, bank komercyjny zredyskontował ten weksel w banku centralnym po stopie redyskontowania weksli równej 5%. Jakie były ceny, za które bank komercyjny i bank centralny nabyły ten weksel? W momencie sprzedaży bankowi centralnemu: W nom = 1000, d 3 = 0, 05, n 2 = Zatem: W akt3 = W nom (1 d 3 n 3 ) = 1000(1 0, ) = 991, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 22 / 41

71 Dyskontowanie i redyskontowanie weksla - przykład Zadanie (...) weksel płatny za pół roku (...) 4 miesiące później, (...) Dzień później, bank komercyjny zredyskontował ten weksel w banku centralnym po stopie redyskontowania weksli równej 5%. Jakie były ceny, za które bank komercyjny i bank centralny nabyły ten weksel? W momencie sprzedaży bankowi centralnemu: W nom = 1000, d 3 = 0, 05, n 2 = Zatem: W akt3 = W nom (1 d 3 n 3 ) = 1000(1 0, ) = 991, Odp: Bank komercyjny nabył weksel za 983, 3333 jp, a bank centralny za 991, 8055 jp. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 22 / 41

72 Portfel weksli i jego wartość Portfel weksli Portfel weksli to zbiór weksli będących w posiadaniu jednej osoby, najczęściej wystawionych przez tego samego dłużnika. Wartość aktualna portfela weksli jest sumą wartości aktualnych wszystkich weksli w porfelu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 23 / 41

73 Portfel weksli i jego wartość Portfel weksli Portfel weksli to zbiór weksli będących w posiadaniu jednej osoby, najczęściej wystawionych przez tego samego dłużnika. Wartość aktualna portfela weksli jest sumą wartości aktualnych wszystkich weksli w porfelu. Typowym zagadnieniem rachunku weksli jest odnowienie weksla lub portfela weksli, czyli jego zamiana na tzw. równoważny weksel/portfel weksli. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 23 / 41

74 Równoważność weksli i ich portfeli Równoważność weksli Dwa weksle (dwa portfele weksli, weksel i portfel weksli są równoważne dla zadanej stopy dyskontowej d i w zadanym dniu, jeśli ich wartości aktualne obliczone na ten dzień przy tej stopie są równe. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 24 / 41

75 Równoważność weksli i ich portfeli Równoważność weksli Dwa weksle (dwa portfele weksli, weksel i portfel weksli są równoważne dla zadanej stopy dyskontowej d i w zadanym dniu, jeśli ich wartości aktualne obliczone na ten dzień przy tej stopie są równe. Oczywiście, weksle lub ich portfele równoważne dla danej stopy dyskontowej niekoniecznie są równoważne dla innej. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 24 / 41

76 Równoważność weksli i ich portfeli Równoważność weksli Dwa weksle (dwa portfele weksli, weksel i portfel weksli są równoważne dla zadanej stopy dyskontowej d i w zadanym dniu, jeśli ich wartości aktualne obliczone na ten dzień przy tej stopie są równe. Oczywiście, weksle lub ich portfele równoważne dla danej stopy dyskontowej niekoniecznie są równoważne dla innej. To było też prawdą dla kapitałów aktualizowanych różnymi stopami procentowymi, więc to nie stanowi problemu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 24 / 41

77 Równoważność weksli i ich portfeli Równoważność weksli Dwa weksle (dwa portfele weksli, weksel i portfel weksli są równoważne dla zadanej stopy dyskontowej d i w zadanym dniu, jeśli ich wartości aktualne obliczone na ten dzień przy tej stopie są równe. Oczywiście, weksle lub ich portfele równoważne dla danej stopy dyskontowej niekoniecznie są równoważne dla innej. To było też prawdą dla kapitałów aktualizowanych różnymi stopami procentowymi, więc to nie stanowi problemu. Niestety, ze względu na archaiczny sposób obliczania wartości aktualnej weksli, weksle sobie równoważne jednego dnia mogą nie być równoważne innego dnia. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 24 / 41

78 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 25 / 41

79 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. Obliczmy wartość aktualną weksla A dziś: W akta1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 25 / 41

80 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. Obliczmy wartość aktualną weksla A dziś: W akta1 = 1000(1 0, ) = 970. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 25 / 41

81 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 26 / 41

82 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. Oczywiście, wartości aktualne obu weksli dziś są równe: W akta1 = W aktb1. Obliczmy wartość nominalną weksla B: W aktb1 = 970 = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 26 / 41

83 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. Oczywiście, wartości aktualne obu weksli dziś są równe: W akta1 = W aktb1. Obliczmy wartość nominalną weksla B: W aktb1 = 970 = W nomb (1 0, ) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 26 / 41

84 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. Oczywiście, wartości aktualne obu weksli dziś są równe: W akta1 = W aktb1. Obliczmy wartość nominalną weksla B: W aktb1 = 970 = W nomb (1 0, ) W nomb = 1031, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 26 / 41

85 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 27 / 41

86 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. Łatwo obliczyć wartości aktualne obu weksli W akta2, W aktb2 za 2 miesiące. W akta2 = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 27 / 41

87 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. Łatwo obliczyć wartości aktualne obu weksli W akta2, W aktb2 za 2 miesiące. W akta2 = 1000(1 0, ) = 990. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 27 / 41

88 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 28 / 41

89 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. W aktb2 = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 28 / 41

90 Równoważność weksli - przykład Przykład Weksel A ma wartość nominalną 1000 jp i datę zapadalności za 3 miesiące. Weksel B, który jest dziś równoważny wekslowi A, ma datę zapadalności za 6 miesięcy. Jaka będzie wartość obydwu weksli za 2 miesiące, jeśli obowiązuje stopa dyskontowa d = 12%. W aktb2 = 1031, 9149(1 0, 12 4 ) = 990, Tak więc, jakkolwiek nieznacznie, W aktb2 > W akta2, więc te dwa weksle za 2 miesiące nie są już równoważne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 28 / 41

91 Problemy z dyskontem handlowym Podobnie, dość łatwo można skonstruować przykład weksli takich, że weksel C ma większą wartość aktualną niż weksel D w jednym momencie, a w innym momencie weksel D ma większą wartość aktualną niż weksel C. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 29 / 41

92 Problemy z dyskontem handlowym Podobnie, dość łatwo można skonstruować przykład weksli takich, że weksel C ma większą wartość aktualną niż weksel D w jednym momencie, a w innym momencie weksel D ma większą wartość aktualną niż weksel C. Takie paradoksy byłyby niemożliwe przy stosowaniu dyskonta złożonego, jak w rozdziale 3a. Jeśli dwa weksle miałyby wartość x w momencie t 1, to przy dowolnej stopie procentowej zgodnej r (OK=OS=1) miałyby wartość Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 29 / 41

93 Problemy z dyskontem handlowym Podobnie, dość łatwo można skonstruować przykład weksli takich, że weksel C ma większą wartość aktualną niż weksel D w jednym momencie, a w innym momencie weksel D ma większą wartość aktualną niż weksel C. Takie paradoksy byłyby niemożliwe przy stosowaniu dyskonta złożonego, jak w rozdziale 3a. Jeśli dwa weksle miałyby wartość x w momencie t 1, to przy dowolnej stopie procentowej zgodnej r (OK=OS=1) miałyby wartość x(1 + r) t 2 t 1, a więc też równą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 29 / 41

94 Problemy z dyskontem handlowym Podobnie, dość łatwo można skonstruować przykład weksli takich, że weksel C ma większą wartość aktualną niż weksel D w jednym momencie, a w innym momencie weksel D ma większą wartość aktualną niż weksel C. Takie paradoksy byłyby niemożliwe przy stosowaniu dyskonta złożonego, jak w rozdziale 3a. Jeśli dwa weksle miałyby wartość x w momencie t 1, to przy dowolnej stopie procentowej zgodnej r (OK=OS=1) miałyby wartość x(1 + r) t 2 t 1, a więc też równą. Podobnie zachowane byłyby nierówności pomiędzy ich wartościami aktualnymi. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 29 / 41

95

96 Problemy z dyskontem handlowym Odsetki i dyskonto są różnymi rodzajami opłat za pożyczkę, obliczanymi odpowiednio według stopy procentowej i dyskontowej. Przykładowo, sytuację, gdy osoba A pożycza osobie B kwotę x na czas n i po tym czasie otrzymuje kwotę y można opisać na 2 sposoby. Albo x jest kwotą pożyczaną, a y x to odsetki od tej kwoty naliczane według nominalnej rocznej stopy procentowej r (przy OK = n), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe: weksle i bony skarbowe Matematyka finansowa 30 / 41