1 Wstęp. arytmetykę finansową (problemy związane z oprocentowaniem i dyskontowaniem, w szczególności plany spłaty kredytów);

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Wstęp. arytmetykę finansową (problemy związane z oprocentowaniem i dyskontowaniem, w szczególności plany spłaty kredytów);"

Transkrypt

1 Wstęp Zastosowania matematyki w ekonomii obejmują cały szereg zagadnień, poczynając od prostych operacji arytmetycznych. Dzięki matematyce ekonomiści są w stanie opisywać złożone zjawiska i formułować hipotezy i modele podlegające weryfikacji. Znaczna część wiedzy ekonomicznej ma postać rozmaitych modeli, w których występują w miarę jasno sprecyzowane założenia, z których przy pomocy pojęć i metod matematycznych otrzymuje się wnioski. Wykorzystywane dziedziny matematyczne, to oprócz arytmetyki statystyka matematyczna, rachunek różniczkowy (będący podstawą tzw. rachunku marginalnego), algebra liniowa (w szczególności tzw. model Leontiewa posługujący się macierzami wejścia i wyjścia). Do algebry można zaliczyć także programowanie liniowe, będące teorią opisującą problem minimalizacji lub maksymalizacji funkcji liniowej na zbiorze określonym przez układ warunków liniowych (tj. równań lub nierówności liniowych). Jest wreszcie cały szereg metod związanych z finansami i ubezpieczeniami. Termin matematyka finansowa pojawił się w 946 roku jako tytuł książki Richardsona Financial Mathematics. Współcześnie tą nazwą obejmuje się: arytmetykę finansową (problemy związane z oprocentowaniem i dyskontowaniem, w szczególności plany spłaty kredytów); matematykę ubezpieczeń (obliczanie wielkości składki, wielkości rezerw na wypłaty w oparciu o probabilistyczne modele i statystyki umieralności, czy wypadkowości); wycenę papierów wartościowych (akcji, obligacji, instrumentów pochodnych). Są w matematyce finansowej miejsca wymagające zaawansowanej wiedzy matematycznej teorii procesów stochastycznych, metody analizy danych, równań różniczkowych. Obecnie jest to jednak dział matematyki stosowanej, który w zasadzie nie wnosi nowych idei matematycznych, a raczej tylko korzysta z dorobku innych dziedzin matematyki. Warto jednak wspomnieć, że specjalizacja w tej dziedzinie jest dla matematyka szansą uzyskania nagrody Nobla (z ekonomii). Są liczne przykłady. Specjalistów od matematyki ubezpieczeń nazywamy aktuariuszami. Odpowiadają oni za kalkulację składek i rezerw firmy ubezpieczeniowej. W krajach zachodnich jest to całkiem spora grupa zawodowa np. w USA ok.

2 W Polsce jest obecnie kilkuset aktuariuszy. Aby zostać aktuariuszem trzeba ukończyć studia wyższe matematykę lub ekonomię, a następnie zdać egzamin państwowy, który Ministerstwo Finansów organizuje mniej więcej raz w roku. Egzamin jest czteroczęściowy i obejmuje: matematykę finansową; matematykę ubezpieczeń życiowych; matematykę ubezpieczeń majątkowych; prawdopodobieństwo i statystykę. 2 Wartość pieniądza jako funkcja czasu Pieniądz zmienia swoją wartość wraz z upływem czasu. Zmiany te wynikają z rozmaitych przyczyn. Np. pieniądz zmienia swoją wartość przy denominacji, ale tym nie będziemy się zajmować. Również nie będziemy się zajmować inflacją w istocie w większości rozważań zakłada się inflację zerową. Będzie nas głównie interesować zmiana realnej wartości pieniądza będąca skutkiem rozwoju gospodarki. Pieniądz jest ekwiwalentem towaru czy usługi możemy wymieniać jedno na drugie. Jeśli towarów przybywa, to pieniądz zwiększa swoją wartość, bo staje się ekwiwalentem większej niż przedtem ilości produktów. Wyrazem zmiany wartości pieniądza w czasie są zmiany wartości konta bankowego. Jeżeli do banku wpłacamy kwotę K 0 nazywaną wartością początkową lub teraźniejszą (ang. present value, P V ), to po pewnym okresie (miesiąc, kwartał, rok) przyjmuje ona wartość K nazywaną wartością końcową lub przyszłą (ang. future value, F V ). Różnicę Z = K K 0 nazywamy odsetkami (ang. interest). Odsetki wyrażamy w jednostkach pieniężnych. Są one formą zapłaty banku za udzielenie przez właściciela kapitału prawa dysponowania daną kwotą. Bank nie płaci właścicielowi bezinteresownie, liczy bowiem, że te pieniądze zainwestowane w jakieś przedsięwzięcie, czy pożyczone komuś w formie kredytu przyniosą mu dochód większy niż odsetki, które wypłaci właścicielowi pieniędzy. Odsetki zależą zarówno od okresu, na jaki została wpłacona dana kwota, jak i od wielkości tej kwoty. Konieczny jest więc obiektywny wskaźnik umożliwiający porównanie warunków oferowanych przez różne banki. Tym 2

3 wskaźnikiem jest stopa procentowa (ang. interest rate) oznaczana literą r. Określamy ją jako stosunek odsetek do wartości początkowej: r = Z K 0 = K K 0 K 0. Jest to więc liczba niemianowana, np. r = 0,. Można ją wyrażać w procentach, mnożąc przez 00%. Zapisy: r = 0, i r = 0% są równoważne. Jednak we wszystkich wzorach należy traktować r jako liczbę niemianowaną. Mamy więc zależności: Z = K 0 r, K = K 0 ( + r). W określeniu r nie występuje czas, ale przecież musimy go uwzględniać. Robimy to mówiąc o stopie rocznej, kwartalnej, miesięcznej, czy jednodniowej. Przedział czasu, którego stopa dotyczy nazywamy okresem stopy procentowej.wyjaśnimy pewne pojęcia. Oprocentowaniem nazywamy wyznaczanie odsetek. Odsetki mogą być wypłacone na końcu okresu wypożyczenia (oprocentowanie z dołu) lub na początku (oprocentowanie z góry). Przykład. Jeżeli stopa roczna wynosi 3%, to osoba wpłacająca do banku 00 zł otrzyma przy oprocentowaniu z dołu za rok kwotę 3 zł; przy oprocentowaniu z góry od razu kwotę 3 zł, i za rok 00 zł. Kapitalizacja jest to dopisywanie odsetek do kapitału. Czas, po którym dopisuje się odsetki nazywamy okresem kapitalizacji. Okres ten może być równy okresowi stopy procentowej (mówimy wtedy o kapitalizacji zgodnej) lub inny (kapitalizacja niezgodna). Po kapitalizacji wartość przyszła staje się wartością teraźniejszą. Jeśli kapitalizacji podlega tylko kapitał początkowy, to nazywamy ją prostą. W tym modelu odsetki nie podlegają oprocentowaniu. Jeśli oprocentowaniu podlega cała zgromadzona do tej pory kwota, to nazywamy ją złożoną. Oprocentowaniu podlega więc i kapitał początkowy, i nagromadzone odsetki. Reasumując, stopę procentową podaje się zawsze w związku z podstawowym okresem czasu, np. można mówić o stopie rocznej 6%. Trzeba także podać okres kapitalizacji (konwersji) jest to przedział czasowy na końcu którego dopisuje się odsetki. 3

4 Stopa procentowa nazywa się efektywną jeśli jej okres pokrywa się z okresem konwersji oznacza to, że odsetki dopisuje się na koniec okresu podstawowego. Niech r oznacza efektywną roczną stopę procentową. Rozważmy rachunek, na który wpłacono K 0 j.p. i na który na koniec okresu (roku) i wpłaca się dodatkowo kwotę p i. Jaki jest stan rachunku po n latach? Niech K i będzie stanem na koniec roku i (łącznie z płatnością p i ). Odsetki za rok poprzedni wynoszą rk i, więc K i = K i + rk i + p i. () Ten wzór rekurencyjny można przepisać w postaci: K i ( + r)k i = p i. Pomnóżmy to równanie przez ( + r) n i : ( + r) n i K i ( + r) n i+ K i = ( + r) n i p i. Stąd n n n ( + r) n i K i ( + r) n i+ K i = ( + r) n i p i, n n ( + r) n i K i + ( + r) 0 n K n ( + r) n i K i ( + r) n K 0 = ( + r) n i p i, czyli n K n = ( + r) n K 0 + ( + r) n i p i. Potęgi ( + r) nazywamy czynnikami pomnażającymi. Początkowy kapitał K po h latach wynosi ( + r) h K. Przykład. Jaka wartość osiągnie kapitał 000 zł przy oprocentowaniu złożonym rocznym przy stopie 6% po 3. latach? Odp.: K 3 = ( + 0, 06) = 9, 02 Jeżeli wzór () napiszemy w postaci K i K i = rk i + p i i zsumujemy po i, to otrzymamy n n K n K 0 = rk i + p i. Zatem przyrost wartości jest sumą wszystkich odsetek i wszystkich wpłat. 4

5 3 Stopy nominalne Jeżeli okres konwersji nie pokrywa się z okresem podstawowym, to mówimy o kapitalizacji niezgodnej. Stopa procentowa nazywa się wtedy stopą nominalną. Przykładowo, stopa roczna 6% z kwartalnym okresem konwersji oznacza, że co trzy miesiące do rachunku dopisuje się, 5% kapitału. Oznacza to, że początkowy kapitał wzrasta do (, 05) 4 =, 0636 na koniec roku. Inaczej, nominalna stopa 6% z okresem kapitalizacji 3 miesiące jest równoważna efektywnej stopie 6,36%. Niech r będzie daną roczną efektywną stopą procentową. Określamy r (m) jako stopę nominalną kapitalizowaną m razy w roku, równoważną stopie r. Z równości czynników pomnażających mamy skąd ( r (m) ) m + = + r, m r (m) = m[( + r) m ]. W granicy, gdy m otrzymujemy kapitalizację ciągłą. Niech δ = lim m r(m). Liczbę δ nazywamy intensywnością (natężeniem) oprocentowania równoważną stopie r. Ponieważ więc r (m) = ( + r) m ( + r) 0, m ( + r) m ( + r) 0 ( + r) x ( + r) 0 δ = lim m r(m) = lim m = lim x 0 x m = d dx (( + r)x ) x=0 = [( + r) x ln( + r)] x=0 = ln( + r), lub e δ = + r. Zatem czynnik pomnażający dla okresu h lat wynosi ( + r) h = e δh (h może być dowolną liczbą rzeczywistą). 5 =

6 Można uzasadnić, że r (m) jest malejącą funkcją m, np. interpretując r (m) jako współczynnik kierunkowy siecznej do krzywej ( + r) x, która jest wypukła. Mamy więc nierówności: Przykład liczbowy dla r = 6%: m r (m) 0, , , , , ,0584 0,05827 δ <... < r (2) <... < r (2) < r Uwaga. Stopa efektywna dla stopy nominalnej kapitalizowanej m razy w roku wynosi r ef = ( + r m) m, a w granicy, gdy m, r ef = e r. 4 Wpłaty ciągłe Rozważmy rachunek, na który dokonywane są wpłaty ciągłe w wysokości p(t). Zatem wpłaty na rachunek dla małego przedziału czasu od t do t+dt wynoszą p(t)dt. Niech K(t) oznacza stan rachunku w chwili t. Załóżmy, że odsetki są również dopisywane w sposób ciągły z intensywnością oprocentowania δ(t) (może ona zależeć od czasu t). Wtedy kwota odsetek w przedziale [t, t + dt] wynosi K(t)δ(t)dt. Całkowity przyrost kapitału w tym przedziale jest więc równy dk(t) = K(t)δ(t)dt + p(t)dt. Otrzymujemy równanie liniowe Przepiszmy je w postaci K (t) = K(t)δ(t) + p(t). e t 0 δ(s)ds K (t) e t 0 δ(s)ds K(t)δ(t) = e t 0 δ(s)ds p(t). 6

7 czyli d t dt [e δ(s)ds 0 K(t)] = e t δ(s)ds 0 p(t). Całkujemy od 0 do h: e h h δ(s)ds 0 K(h) K(0) = e t δ(s)ds 0 p(t)dt. 0 Stąd h h K(h) e δ(s)ds h 0 K(0) = e δ(s)ds 0 e t δ(s)ds 0 p(t)dt, 0 więc h h K(h) = e δ(s)ds h 0 K(0) + e δ(s)ds t p(t)dt. 0 Szczególne przypadki: ) Jeżeli w chwili t = 0 wpłacamy kwotę K(0), a potem nic więcej (tzn p(t) = 0), to h K(h) = e δ(s)ds 0 K(0). Tyle wynosi zakumulowana wartość wpłaty K(0). 2) Jeżeli δ(t) = δ (stała intensywność oprocentowania), to 5 Czas bankowy h K(h) = e δh K(0) + e δh e δt p(t)dt. Ponieważ banki posługują się na ogół rocznymi stopami procentowymi, podstawowe znaczenie mają dwie (wydawałoby sie proste) operacje: obliczenie ile jest dni między dwiema ustalonymi datami zamiana liczby dni na liczbę lat. Otóż w praktyce bankowej, a także w matematyce finansowej oprócz zwykłego czasu kalendarzowego występuje czas bankowy. Jednostkami tego czasu są: rok bankowy o długości 360 dni oraz miesiąc bankowy o długości 30 dni. Przyjmujemy oznaczenia: t K dokładna liczba dni (według czasu kalendarzowego), t B bankowa liczba dni (według czasu bankowego), n K liczba lat kalendarzowych, 7 0

8 n B liczba lat bankowych. Np. między 3 marca i 7 czerwca jest 96 ( ) dni kalendarzowych, ale tylko 94 ( ) dni bankowych. Przeliczając na lata otrzymujemy: n K = 96 = 0, 2630 i n 365 B = 94 = 360 0, 26. Możliwe są więc cztery warianty obliczania dni i lat: (n K, t K ), (n K, t B ), (n B, t K ), (n B, t B ). Banki najchętniej stosują wariant (n B, t K ), tzn. rachunek dni według czasu kalendarzowego i rachunek lat według czasu bankowego. Jest to bowiem wariant najkorzystniejszy dla wierzyciela (a głównie w takiej roli występują banki). Nie wszystko jednak od nich zależy. Ustawa o kredycie konsumenckim (dotycząca kredytów do wysokości zł, ale nie hipotecznych) narzuca bankom wzór obliczania stopy procentowej według reguły (n K, t K ). 6 Metoda liczb procentowych Stosuje się ją w przypadku kapitalizacji prostej przy oprocentowaniu konta z często zmieniającym się wkładem (np. a vista). Niech r będzie roczną stopą procentową. Przyszła wartość kwoty K 0 po t dniach oprocentowania wynosi a odsetki za ten okres K t = K 0 ( + t r 360 ), Z t = K 0 t r 360. Czynnik K 0 t to liczba procentowa, a 360 to dzielnik procentowy. r Przyjmijmy, że na rachunku bankowym dokonano N operacji bankowych wpłat (+) i wypłat (-). Wysokość kwoty i-tej operacji oznaczamy S i. Niech t i oznacza liczbę dni, które upłynęły między dniem dokonania i-tej operacji a dniem rozrachunku t. Przy tych oznaczeniach wartość końcowa, w chwili t, wynosi r K t = S ( + t 360 ) + S r 2( + t ) + + S r N( + t N 360 ) N r N = S i ( + t i 360 ) = S i + r N S i t i

9 Sumę L = N S i t i nazywamy sumaryczną liczbą procentową. Zatem N K t = S i + r 360 L. Przykład. Na rachunku bankowym dokonano następujących operacji: wpłata 860 zł, wpłata 340 zł, wypłata 600 zł. Jaką maksymalną kwotę będzie można pobrać z tego rachunku w dniu 29.05, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 9%? Oper. Data Stan k. Wpłaty Wypłaty L. dni L. proc Tutaj: 3 L = S i t i = 0700, a więc odsetki wynoszą Stan konta: Z t = r 360 r L = 27, = 0, 00025, K = , 675 = 627, Kapitalizacja złożona z góry, zgodna Przypomnijmy, że oprocentowanie z góry oznacza, że odsetki są wypłacane na początku okresu kapitalizacji. Przyszłą wartość kapitału K 0 na początku n-tego okresu kapitalizacji oznaczymy symbolem W n. Obliczmy W : wpłacana kwota K 0 podlega oprocentowaniu z góry dając odsetki K 0 r. Odsetki te, dołączane do kapitału można traktować jako następną wpłatę, która daje odsetki Kr 2, itd. Zatem W = K 0 + K 0 r + K 0 r 2 + = K 0 r, 9

10 (o ile r < ). Analogicznie: Zatem W n+ = W n r. W n = K 0, n =, 2,.... ( r) n Liczbę nazywamy czynnikiem wartości przyszłej lub współczynnikiem r akumulacji. Przykład. Ile wynosi roczna stopa procentowa jeżeli przy rocznej stopie złożonej z góry z kapitału 600 j.p. uzyskano po jednym roku wartość 750 j.p.? 750 = 600 r, r = 60 75, r = 5 75 = 0, 2. Przykład. Ile wynosi roczna stopa procentowa jeżeli przy rocznej stopie złożonej z góry odsetki za drugi rok od kwoty początkowej K 0 = 400 j.p. wynoszą 44 j.p. Z 2 = W 2 W 44 = 400 ( r) r, stąd r = 0, Kapitalizacja przy zmiennej stopie procentowej Załóżmy, że przez n okresów obowiązywała stopa r, przez n 2 okresów obowiązywała stopa r 2, itd. Jaka jest przyszła wartość kapitału K 0 po n okresach, gdzie n = p n i? Zakładamy, że okres stopy procentowej jest zawsze taki sam i równy okresowi kapitalizacji. Jeżeli obowiązuje model kapitalizacji prostej, to: p Z = K 0 n r + K 0 n 2 r K 0 n p r p = K 0 n i r i. 0

11 Zatem wartość przyszła po czasie n: p K n = K 0 + Z = K 0 ( + n i r i ). Dla modelu kapitalizacji złożonej (z dołu, z góry) oraz kapitalizacji ciągłej wartość kapitału po danym okresie staje się wartością początkową dla okresu następnego. Zatem dla kapitalizacji złożonej z dołu: K n = K 0 ( + r ) n ( + r 2 ) n2 ( + r p ) np ; dla kapitalizacji złożonej z góry: dla kapitalizacji ciągłej: W n = K 0 ( r ) n ( r 2 ) n2 ( r p ) np ; K(n) = K 0 e n r e n 2r2 e nprp = K 0 e p n ir i. W przypadku występowania zmiennej stopy procentowej uzasadnione jest wprowadzenie pojęcia przeciętnej stopy procentowej. Definicja Przeciętną stopą procentową nazywamy taką stałą stopę r prz dla której przyszła wartość kapitału jest taka sama jak przyszła wartość tego kapitału przy zmieniającej się stopie procentowej. Stąd: dla modelu kapitalizacji prostej: p K 0 ( + nr prz ) = K 0 ( + n i r i ), r prz = p n i r i ; n dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu: ( + r prz ) n = ( + r ) n ( + r 2 ) n2 ( + r p ) np, r prz = n ( + r ) n ( + r2 ) n 2 ( + rp ) np ;

12 dla modelu kapitalizacji złożonej z góry: ( r prz ) n = ( r ) n ( r 2 ) n2 ( r p ) np, r prz = n ( r ) n ( r2 ) n 2 ( rp ) np ; dla modelu kapitalizacji ciągłej: 9 Dyskonto K 0 e nrprz = K 0 e p n ir i, r prz = p n i r i. n Do tej pory zakładliśmy, że odsetki dopisuje się na końcu okresu kapitalizacji (z dołu). Czasem odsetki są wypłacane na początku okresu (z góry). Wtedy nazywamy je dyskontem, a odpowiadająca stopa nazywa się stopą dyskontową. Niech d będzie roczną stopą dyskontową. Osoba inwestująca kapitał K otrzymuje z góry odsetki równe dk, a kapitał K jest wypłacany na koniec okresu. Inwestując otrzymane odsetki, dk, na tych samych warunkach, otrzymuje się dodatkowe odsetki Kd d = Kd 2 i dodatkowo zainwestowana kwota będzie zwrócona na koniec roku. Reinwestując otrzymane odsetki, Kd 2 otrzymuje się z góry Kd 3, itd. Zatem widzimy, że na koniec okresu inwestor wpłacający kwotę K otrzyma K + Kd + Kd 2 + = d K. Równoważną efektywną stopę procentową można obliczyć z równości r. +r d = + r, skąd d = Ten wynik ma prostą interpretację: jeżeli inwestuje się kapitał w wysokości, to d (czyli odsetki płatne z góry) jest równe zdyskontowanej wartości odsetek r (płatnych z dołu). Równoważną równość: r = d d 2

13 interpretujemy tak: odsetki płatne na koniec okresu są zakumulowaną wartością odsetek płatnych na początku okresu. Niech d (m) będzie równoważną nominalną stopą dyskontową naliczaną m razy w roku. Zatem inwestor otrzymuje d(m) K na początku okresu, a kapitał K na koniec. Równość czynników pomnażających dla m-tej części roku m wyraża się przez co daje d(m) m = + r(m) m = ( + r) m, ( ) d (m) = m, ( + r) m a także (przypomnijmy, że r (m) = m ( ( + r) m ) : Stąd mamy prosty związek: d (m) = r(m) + r(m) m d = (m) m + r. (m) Stąd lim m d(m) = lim m r(m) = δ, co nie powinno dziwić: przy ciągłym naliczaniu odsetek różnica między odsetkami z góry i z dołu znika. Mamy nierówności: Przykład. Dla r = 6: d (m) 0, , , , , ,0583 0,05827 d <... < d (2) <... < d (2) < δ. 3

14 0 Dyskonto handlowe (bankowe, przybliżone) Dyskonto handlowe, D H, stosuje się w przypadku korzystania z weksli, czeków, obligacji sprzedawanych z dyskontem. Wartość nominalna papieru wartościowego jest znana i jest to wartość końcowa. Dyskonto handlowe powoduje obniżenie wartości nominalnej do tzw. wartości aktualnej. Dyskonto handlowe jest proporcjonalne do wartości nominalnej danego papieru wartościowego (i czasu, którego dotyczy). Współczynnik proporcjonalności nazywa się stopą dyskontową, i ozn. d. Zatem: D H = W nom dn gdzie n jest liczbą okresów. Najczęściej dyskonto handlowe stosuje się w obrocie wekslami. Weksel jest papierem wartościowym stwierdzającym zobowiązanie do zapłacenia pewnej określonej kwoty w określonym terminie. Posiadacz weksla może go sprzedać (zdyskontować) przed terminem w banku komercyjnym. Bank ten może z kolei redyskontować go w banku centralnym. Te operacje związane są z pomniejszeniem wartości weksla o wartość odpowiedniego dyskonta. Jeżeli d oznacza roczną stopę dyskontową, a n liczbę dni między datą spłaty weksla a datą jego zakupu, to Odstępujący weksel otrzyma kwotę: d D H = W nom 360 n. W akt = W nom D H, czyli W akt = W nom ( d 360 n). Dalej n będzie znowu oznaczało liczbę okresów (a nie liczbę dni). Dyskontowanie handlowe nie jest działaniem odwrotnym do oprocentowania przy tej samej stopie procentowej. Dla oprocentowania prostego mamy: K n D H = K n K n rn = K n ( rn) = K 0 ( + nr)( nr) = = K 0 ( n 2 r 2 ) < K 0 4

15 czyli dodanie odsetek prostych do K 0 daje K n, ale odjęcie D H od K n nie daje K 0. Stopę procentową r i stopę dyskontową d, dla których dyskonto matematyczne proste jest równe dyskontu handlowemu, nazywamy stopami równoważnymi. Obliczmy zależność między nimi: oraz D H = D M, K n dn = K 0 rn, K 0 ( + nr)d = K 0 r, d = r + nr d r = nd. Stąd wynika, że równoważność stopy procentowej i dyskontowej zależy od liczby okresów n. Przykład. Firma A dostarczyła firmie B towary o wartości zł. Firma B zaproponowała uiszczenie zapłaty za dwa miesiące, przy czym za okres zwłoki zobowiązała się zapłacić odsetki proste wg rocznej stopy 6%. Wyrazem przeprowadzonej transakcji był weksel kupiecki. Przeanalizować. Weksel wystawiony przez B ma wartość nominalną: K = 40000( + 2 0, 6 ) 4066, Jeżeli firma A potrzebuje gotówki natychmiast, to przedstawia weksel do dyskonta w banku. Dyskonto handlowe wyznaczone przy stopie dyskontowej równej stopie procentowej wynosi Firma A otrzyma D H = 4066, 67 0, ,. W akt = 4066, , = 3997, 56. Dyskonto handlowe jest zarobkiem banku. Przykład. W dniu lipca hurtownia A sprzedała towar sklepowi B, przy czym zobowiązanie zapłaty zostało potwierdzone wekslem kupieckim o 5

16 wartości nominalnej zł płatnym.09. Hurtownia A zdyskontowała ten weksel w banku.08, przy czym stopa dyskontowa wynosiła 20%. Bank zdyskontował ten weksel w NBP dnia 6.08 wg stopy redyskontowej 5%. Wyznaczyć zysk hurtowni A oraz zarobek (marżę) banku na tej transakcji. W dniu.08: W akt = 20000( 0, 2 3) 9655, Tyle otrzymuje hurtownia A. Jej zysk wiąże się z możliwością zainwestowania tej kwoty na okres jednego miesiąca. Jeżeli stopa zwrotu z tej inwestycji wynosi 2% miesięcznie, to jej wartość wynosi.09: W akt ( + 0, 02) = 20048, 67, więc zysk hurtowni wynosi 393,. Natomiast marża banku komercyjnego jest różnicą wartości aktualnych weksla 6.08 wynikającą z różnicy stóp dyskontowych, czyli: 20000( 0, , 2 0, 2 0, 5 5) 20000( 5) = = 4,

Oprocentowanie, dyskonto, inflacja

Oprocentowanie, dyskonto, inflacja Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Oprocentowanie, dyskonto, inflacja. Wstęp Zastosowania matematyki w ekonomii obejmują cały szereg zagadnień, poczynając od prostych operacji

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej

Elementy matematyki finansowej ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2 Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane

Bardziej szczegółowo

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014 Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

I = F P. P = F t a(t) 1

I = F P. P = F t a(t) 1 6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN

[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN [2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN [3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet [4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej,

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Wartość pieniądza w czasie

Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Inwestycja jest w istocie bieżącym wyrzeczeniem się dla przyszłych korzyści. Ale teraźniejszość jest względnie dobrze znana, natomiast przyszłość to zawsze tajemnica.

Bardziej szczegółowo

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej

Bardziej szczegółowo

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku 1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Ćwiczenia 5 Pojęcie benchmarku, tracking error Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Renata Karkowska, Wydział Zarządzania UW 1 Współczynnik Sharpe a Renata Karkowska,

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w

Bardziej szczegółowo

7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe

7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe 7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

2a. Przeciętna stopa zwrotu

2a. Przeciętna stopa zwrotu 2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka

Bardziej szczegółowo

Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995.

Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych,

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy

Bardziej szczegółowo

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień)

Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 06 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 06. Rola współczynnika procentowego i współczynnika dyskontowego

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu)

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we wzorach oznaczamy

Bardziej szczegółowo

WIBOR Stawka referencyjna Polonia Stopa referencyjna Stopa depozytowa Stopa lombardowa

WIBOR Stawka referencyjna Polonia Stopa referencyjna Stopa depozytowa Stopa lombardowa WIBOR (ang. Warsaw Interbank Offered Rate) - referencyjna wysokość oprocentowania kredytów na polskim rynku międzybankowym. Wyznaczana jest jako średnia arytmetyczna wielkości oprocentowania podawanych

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję: Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne -

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Matematyka finansowa wokół nas dr Agnieszka Bem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 20 listopada 2017 r. Wartość pieniądzaw czasie Wartość

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Uniwersytet Szczeciński 7 grudnia 2017 r. Wartość pieniądza w czasie, siła procentu składanego, oprocentowanie rzeczywiste, nominalne i realne

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Matematyka Ekonomiczna

Matematyka Ekonomiczna Matematyka Ekonomiczna David Ramsey, Prof. PWr e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Poniedziałek 14-16, Wtorek 16-18

Bardziej szczegółowo

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

System bankowy i tworzenie wkładów

System bankowy i tworzenie wkładów System bankowy i tworzenie wkładów Wykład nr 4 Wyższa Szkoła Technik Komputerowych i Telekomunikacji w Kielcach 2011-03-29 mgr Wojciech Bugajski 1 Prawo bankowe z dn.27.08.1997 Definicja banku osoba prawna

Bardziej szczegółowo

Matematyka Ekonomiczna

Matematyka Ekonomiczna Matematyka Ekonomiczna Dr. hab. David Ramsey e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Wtorek 11-13, Czwartek 11-13 28 września

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Piotr Szczepankowski Poziom studiów (I lub II stopnia): I stopnia

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Podstawy teorii oprocentowania. Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk

Podstawy teorii oprocentowania. Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk Podstawy teorii oprocentowania Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk Cykl produkcyjny zakładów ubezpieczeń Ryzyko działalności zakładu ubezpieczeń Ryzyko finansowe działalności

Bardziej szczegółowo

WACC Montaż finansowy Koszt kredytu

WACC Montaż finansowy Koszt kredytu WACC Montaż finansowy Koszt kredytu PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Zdefiniuj stopę procentową i dyskontową Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 17.05.2003

Matematyka finansowa 17.05.2003 1. Na początku roku (w chwili t = 0 ) portfel pewnego funduszu inwestycyjnego składa się z 40% obligacji typu I oraz 60% obligacji typu II. O obligacjach typu I oraz typu II wiadomo, że: (i) obligacja

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Matematyka I dla DSM zbiór zadań

Matematyka I dla DSM zbiór zadań I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171)

MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Przedmiot: MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Prowadzący wykład: dr Krzysztof Samotij, e-mail: krzysztof.samotij@pwr.edu.pl Czas i miejsce wykładu: poniedziałki (wg definicji J.M. Rektora) g. 9:15-11:00,

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3 Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1.

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1. Grupy 1-2 Zadanie 1. Sprawdźcie ofertę dowolnych 5 banków i wybierzcie najlepszą ofertę oszczędnościową (lokatę lub konto oszczędnościowe). Obliczcie, jaki zwrot przyniesie założenie jednej takiej lokaty

Bardziej szczegółowo

Polityka monetarna państwa

Polityka monetarna państwa Polityka monetarna państwa Definicja pieniądza To miara wartości dóbr i usług To ustawowy środek zwalniania od zobowiązań Typy pieniądza Pieniądz materialny: monety, banknoty, czeki, weksle, akcje, obligacje

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa 2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i

Bardziej szczegółowo

METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE. Ćwiczenia nr 1 i 2

METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE. Ćwiczenia nr 1 i 2 METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Ćwiczenia nr 1 i 2 - Cel ćwiczeń - Komunikacja email: i.ratuszniak@efficon.pl, w temacie - mopi - Konsultacje: pokój: 428,

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje System finansowy gospodarki Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje Krzywa rentowności (dochodowości) Yield Curve Krzywa ta jest graficznym przedstawieniem

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k 2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa 1a. Lokaty - wstęp Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 1 / 44 1

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3 Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa V. Ciągi

Matematyka podstawowa V. Ciągi Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2

Bardziej szczegółowo

Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r.

Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 7 grudnia 1996 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:....... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu Załącznik nr 1 do Uchwały Nr 27/Z/2014 Zarządu Banku Spółdzielczego w Podegrodziu z dnia 09-10-2014 r Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH Dla klientów indywidualnych

Bardziej szczegółowo

dr hab. Marcin Jędrzejczyk

dr hab. Marcin Jędrzejczyk dr hab. Marcin Jędrzejczyk Przez inwestycje należy rozumieć aktywa nabyte w celu osiągnięcia korzyści ekonomicznych, wynikających z przyrostu wartości tych zasobów, uzyskania z nich przychodów w postaci

Bardziej szczegółowo

Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.

Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia Kadr

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Temat spotkania: Matematyka finansowa dla liderów Temat wykładu: Matematyka finansowa wokół nas Prowadzący: Szkoła Główna Handlowa w Warszawie 14 października 2014 r. Matematyka finansowa dla liderów Po

Bardziej szczegółowo

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd. Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Maciej Wolny I. Kalkulacja wartości pieniądza w czasie... 1 II. Nominalna, efektywna i realna stopa procentowa... 4 III. Spłata kredytów w równych i różnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1. Rozważamy

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ 1 DEFINICJA RYZYKA STOPY PROCENTOWEJ Ryzyko stopy procentowej to niebezpieczeństwo negatywnego wpływu zmian rynkowej stopy procentowej na sytuację finansową banku

Bardziej szczegółowo

Egzamin dla Aktuariuszy z 26 października 1996 r.

Egzamin dla Aktuariuszy z 26 października 1996 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 26 października 1996 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:.... Czas egzaminu: l OO minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 6 listopada 2017 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

0.2 Oprocentowanie, kapitalizacja i dyskontowanie

0.2 Oprocentowanie, kapitalizacja i dyskontowanie 0.1 Literatura 1 M. Podgórska J. Klimkowska Matematyka finansowa PWN. 2 S. G. Kellison The Theory of Interest McGraw-Hill Int. Ed. 3 E. Smaga Arytmetyka finansowa PWN. 0.2 Oprocentowanie kapitalizacja

Bardziej szczegółowo

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej 5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych

Bardziej szczegółowo