3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych
|
|
- Tadeusz Sobczyk
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 1 / 57
2 1 Inwestycja finansowa 2 Wartość bieżąca netto 3 Wewnętrzna stopa zwrotu - IRR 4 Średni czas trwania 5 Średni czas trwania - interpretacja ekonomiczna rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 2 / 57
3 Motywacja Powtarzam to do znudzenia, ale zawsze warto jeszcze raz: głównym celem całego kursu jest porównywanie opłacalności różnych inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 3 / 57
4 Motywacja Powtarzam to do znudzenia, ale zawsze warto jeszcze raz: głównym celem całego kursu jest porównywanie opłacalności różnych inwestycji. W tej części wykładu precyzyjnie zdefiniujemy, co rozumiemy przez inwestycję i jakie kryteria jej opłacalności możemy przyjąć. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 3 / 57
5 Motywacja Powtarzam to do znudzenia, ale zawsze warto jeszcze raz: głównym celem całego kursu jest porównywanie opłacalności różnych inwestycji. W tej części wykładu precyzyjnie zdefiniujemy, co rozumiemy przez inwestycję i jakie kryteria jej opłacalności możemy przyjąć. W szczególności matematycznie doprecyzujemy definicję stopy zwrotu dla dowolnej inwestycji, która będzie naszym podstawowym kryterium wyceny opłacalności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 3 / 57
6 Motywacja Powtarzam to do znudzenia, ale zawsze warto jeszcze raz: głównym celem całego kursu jest porównywanie opłacalności różnych inwestycji. W tej części wykładu precyzyjnie zdefiniujemy, co rozumiemy przez inwestycję i jakie kryteria jej opłacalności możemy przyjąć. W szczególności matematycznie doprecyzujemy definicję stopy zwrotu dla dowolnej inwestycji, która będzie naszym podstawowym kryterium wyceny opłacalności. Skonstruujemy też kilka innych przykładowych kryteriów, wedle których można oceniać inwestycję. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 3 / 57
7 Inwestycja finansowa Inwestycja finansowa Inwestycją finansową nazywamy ciąg płatności znanych co do wielkości i momentów występowania. W praktyce, możemy tak nazwać dowolne przedsięwzięcie związane z wykorzystaniem posiadanych zasobów kapitałowych, które zostają zaangażowane w postaci nakładu, dającego inwestorowi prawo do ewentualnych dochodów w przyszłości. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 4 / 57
8 Inwestycja finansowa Inwestycja finansowa Inwestycją finansową nazywamy ciąg płatności znanych co do wielkości i momentów występowania. W praktyce, możemy tak nazwać dowolne przedsięwzięcie związane z wykorzystaniem posiadanych zasobów kapitałowych, które zostają zaangażowane w postaci nakładu, dającego inwestorowi prawo do ewentualnych dochodów w przyszłości. Przykłady inwestycji finansowych, którymi się zajmowaliśmy lub będziemy wkrótce zajmować to: założenie lokaty, wykup bonu skarbowego lub weksla, inwestycja w fundusz rentowy, czy pożyczenie kapitału dłużnikowi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 4 / 57
9 Inwestycja finansowa Inwestycja finansowa Inwestycją finansową nazywamy ciąg płatności znanych co do wielkości i momentów występowania. W praktyce, możemy tak nazwać dowolne przedsięwzięcie związane z wykorzystaniem posiadanych zasobów kapitałowych, które zostają zaangażowane w postaci nakładu, dającego inwestorowi prawo do ewentualnych dochodów w przyszłości. Przykłady inwestycji finansowych, którymi się zajmowaliśmy lub będziemy wkrótce zajmować to: założenie lokaty, wykup bonu skarbowego lub weksla, inwestycja w fundusz rentowy, czy pożyczenie kapitału dłużnikowi. Będziemy analizować deterministyczne ciągi płatności tj. inwestycje, które można opisać w postaci ciągu znanych z góry kwot płatności i momentów ich występowania. Nie analizujemy na razie czynników ryzyka. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 4 / 57
10 Inwestycja finansowa o pojedynczym nakładzie Większość inwestycji, którymi się zajmiemy się na tych zajęciach to inwestycje o pojedynczym nakładzie. Inwestycja finansowa o pojedynczym nakładzie Inwestycją finansową o pojedynczym nakładzie nazywamy inwestycję wymagająca od inwestora tylko jednego wydatku, w momencie początkowym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 5 / 57
11 Inwestycja finansowa - oznaczenia W tym rozdziale, przez C j będziemy oznaczać płatności składające się na inwestycję. Jeśli są to nakłady inwestora, przypisujemy im znak ujemny. Jeśli są to przychody inwestora z inwestycji, przypisujemy im znak dodatni. Np. dla inwestycji o pojedynczym nakładzie C 0 = P (jako cena inwestycji) jest ujemna, a pozostałe płatności dodatnie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 6 / 57
12 Inwestycja finansowa - oznaczenia W tym rozdziale, przez C j będziemy oznaczać płatności składające się na inwestycję. Jeśli są to nakłady inwestora, przypisujemy im znak ujemny. Jeśli są to przychody inwestora z inwestycji, przypisujemy im znak dodatni. Np. dla inwestycji o pojedynczym nakładzie C 0 = P (jako cena inwestycji) jest ujemna, a pozostałe płatności dodatnie. t j to czas j-tej płatności wyrażony w okresach obowiązującej stopy procentowej (jak zwykle, zakładamy OS = OK = 1). Jeśli t j nie jest wyraźnie podane, to t j = j (np. C 0 domyślnie oznacza płatność w chwili 0). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 6 / 57
13 Inwestycja finansowa - oznaczenia W tym rozdziale, przez C j będziemy oznaczać płatności składające się na inwestycję. Jeśli są to nakłady inwestora, przypisujemy im znak ujemny. Jeśli są to przychody inwestora z inwestycji, przypisujemy im znak dodatni. Np. dla inwestycji o pojedynczym nakładzie C 0 = P (jako cena inwestycji) jest ujemna, a pozostałe płatności dodatnie. t j to czas j-tej płatności wyrażony w okresach obowiązującej stopy procentowej (jak zwykle, zakładamy OS = OK = 1). Jeśli t j nie jest wyraźnie podane, to t j = j (np. C 0 domyślnie oznacza płatność w chwili 0). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 6 / 57
14 Inwestycja finansowa - oznaczenia Przykładowa inwestycja o nakładach w momentach 0 i 4 oraz dochodach w momentach 2 i 5. Wartości C 0 i C 2 są ujemne, a C 1 i C 3 - dodatnie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 7 / 57
15 Wartość bieżąca netto Zanim wprowadzimy ogólną definicję procentowej stopy zwrotu, potrzebna nam będzie jeszcze jedna miara: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 8 / 57
16 Wartość bieżąca netto Zanim wprowadzimy ogólną definicję procentowej stopy zwrotu, potrzebna nam będzie jeszcze jedna miara: Wartość bieżąca netto (NPV) Wartość bieżąca netto inwestycji (NPV - net present value) - suma zdyskontowanych na moment t = 0 nakładów i dochodów z inwestycji, przy ustalonej stopie procentowej. Dla stopy r oznaczana przez NPV (r). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 8 / 57
17 Wartość bieżąca netto Zanim wprowadzimy ogólną definicję procentowej stopy zwrotu, potrzebna nam będzie jeszcze jedna miara: Wartość bieżąca netto (NPV) Wartość bieżąca netto inwestycji (NPV - net present value) - suma zdyskontowanych na moment t = 0 nakładów i dochodów z inwestycji, przy ustalonej stopie procentowej. Dla stopy r oznaczana przez NPV (r). Wartość bieżąca netto (NPV) NPV (r) = N j=0 C j (1 + r) t j. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 8 / 57
18 Wartość bieżąca netto - zalety i interpretacja Wartość bieżąca netto jest wskaźnikiem wygodnym w obliczeniach i określonym dla dowolnej stopy procentowej i dowolnej inwestycji - dodatkowo wyrażonym w jednostkach pieniężnych. Jednak, skoro jej wartość zależy od wybranej stopy procentowej r, jej interpretacja musi być bardzo konkretna. Interpretacja NPV Załóżmy, że jest dana inwestycja A o stopie zwrotu r (o zadanym okresie stopy) - może to być np. lokata o takiej efektywnej stopie zwrotu. Inwestycja B jest bardziej opłacalna od inwestycji A jeśli dla inwestycji B NPV (r) > 0, mniej opłacalna jeśli NPV (r) < 0 i równie opłacalna, gdy NPV (r) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 9 / 57
19 Wartość bieżąca netto - przykład Zadanie Inwestorowi zaproponowano następującą inwestycję: w zamian za nakłady w wysokości 800 jp dziś oraz 200 jp za rok, otrzyma on 500 jp za 3 lata, 600 jp za 4 lata i 550 jp za 5 lat. Za pomocą NPV sprawdzić, czy ta inwestycja jest bardziej, czy mniej opłacalna niż lokata z oprocentowaniem efektywnym a) 10% rocznie, b) 20% rocznie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 10 / 57
20 Wartość bieżąca netto - przykład Zadanie Inwestorowi zaproponowano następującą inwestycję: w zamian za nakłady w wysokości 800 jp dziś oraz 200 jp za rok, otrzyma on 500 jp za 3 lata, 600 jp za 4 lata i 550 jp za 5 lat. Za pomocą NPV sprawdzić, czy ta inwestycja jest bardziej, czy mniej opłacalna niż lokata z oprocentowaniem efektywnym a) 10% rocznie, b) 20% rocznie. Ciągi płatności i ich czasów są opisane na powyższym rysunku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 10 / 57
21 Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57
22 Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = 800 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57
23 Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = (1, 1) 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57
24 Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = (1, 1) (1, 1) 3 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57
25 Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = (1, 1) (1, 1) (1, 1) 4 + rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57
26 Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) 5 = 145, 1540 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57
27 Wartość bieżąca netto - przykład NPV (10%) = (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) 5 = 145, 1540 > 0 Zatem dana inwestycja jest bardziej opłacalna niż lokata o stopie zwrotu 10% rocznie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 11 / 57
28 Wartość bieżąca netto - przykład NPV (20%) = (1, 2) (1, 2) (1, 2) (1, 2) 5 = 166, 9302 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 12 / 57
29 Wartość bieżąca netto - przykład NPV (20%) = (1, 2) (1, 2) (1, 2) (1, 2) 5 = 166, 9302 < 0 Zatem dana inwestycja jest mniej opłacalna niż lokata o stopie zwrotu 20% rocznie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 12 / 57
30 NPV - inna interpretacja Co prawda, najczęściej przy interpretacji NPV (r) wystarczy znak, ale wartość też możemy zinterpretować. NPV - druga interpretacja Wartość NPV (r) możemy zinterpetować jako maksymalną cenę, którą inwestor jest gotów zapłacić za prawo do dokonania danej inwestycji, zakładając, że chce uzyskać stopę zwrotu r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 13 / 57
31 Wartość bieżąca netto - problemy Wartość bieżąca netto sama w sobie jest dalekim od ideału miernikiem opłacalności inwestycji. Przede wszystkim wartość NPV zależy od przyjętej stopy procentowej, której zazwyczaj nie mamy danej z góry. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 14 / 57
32 Wartość bieżąca netto - problemy Wartość bieżąca netto sama w sobie jest dalekim od ideału miernikiem opłacalności inwestycji. Przede wszystkim wartość NPV zależy od przyjętej stopy procentowej, której zazwyczaj nie mamy danej z góry. Dlatego trafność oceny inwestycji na podstawie NPV zależy od prawidłowego wyboru wartości stopy r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 14 / 57
33 Wartość bieżąca netto - problemy Wartość bieżąca netto sama w sobie jest dalekim od ideału miernikiem opłacalności inwestycji. Przede wszystkim wartość NPV zależy od przyjętej stopy procentowej, której zazwyczaj nie mamy danej z góry. Dlatego trafność oceny inwestycji na podstawie NPV zależy od prawidłowego wyboru wartości stopy r. Może się zdarzyć, że jedna inwestycja ma większe NPV od drugiej przy niektórych stopach procentowych, a przy innych ta druga ma większe NPV od pierwszej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 14 / 57
34 Wartość bieżąca netto - problemy Wartość bieżąca netto sama w sobie jest dalekim od ideału miernikiem opłacalności inwestycji. Przede wszystkim wartość NPV zależy od przyjętej stopy procentowej, której zazwyczaj nie mamy danej z góry. Dlatego trafność oceny inwestycji na podstawie NPV zależy od prawidłowego wyboru wartości stopy r. Może się zdarzyć, że jedna inwestycja ma większe NPV od drugiej przy niektórych stopach procentowych, a przy innych ta druga ma większe NPV od pierwszej. Ponadto NPV jest miernikiem addytywnym (tj. NPV sumy dwu inwestycji jest sumą NPV tych inwestycji), więc NPV zmienia wartość w zależności od skali inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 14 / 57
35 Wartość bieżąca netto - problemy Wartość bieżąca netto sama w sobie jest dalekim od ideału miernikiem opłacalności inwestycji. Przede wszystkim wartość NPV zależy od przyjętej stopy procentowej, której zazwyczaj nie mamy danej z góry. Dlatego trafność oceny inwestycji na podstawie NPV zależy od prawidłowego wyboru wartości stopy r. Może się zdarzyć, że jedna inwestycja ma większe NPV od drugiej przy niektórych stopach procentowych, a przy innych ta druga ma większe NPV od pierwszej. Ponadto NPV jest miernikiem addytywnym (tj. NPV sumy dwu inwestycji jest sumą NPV tych inwestycji), więc NPV zmienia wartość w zależności od skali inwestycji. Innymi słowy, maksymalizowanie NPV nie jest zazwyczaj dobrą strategią wyboru inwestycji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 14 / 57
36 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 15 / 57
37 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? Łatwo zauważyć, że zarówno inwestycja A jak i inwestycja B dają po prostu zwrot 10% rocznie, więc są równie opłacalnymi inwestycjami. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 15 / 57
38 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? Łatwo zauważyć, że zarówno inwestycja A jak i inwestycja B dają po prostu zwrot 10% rocznie, więc są równie opłacalnymi inwestycjami. Istotnie NPV A (10%) = NPV B (10%) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 15 / 57
39 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? Łatwo zauważyć, że zarówno inwestycja A jak i inwestycja B dają po prostu zwrot 10% rocznie, więc są równie opłacalnymi inwestycjami. Istotnie NPV A (10%) = NPV B (10%) = 0. Ale, czy ta równa opłacalność byłaby równie łatwa do wykrycia, gdybyśmy nie znali z góry stopy zwrotu? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 15 / 57
40 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 16 / 57
41 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? NPV A (5%) = (1, 05) 1 = 4, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 16 / 57
42 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? NPV A (5%) = (1, 05) 1 = 4, NPV B (5%) = (1, 05) 1 = 14, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 16 / 57
43 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? NPV A (5%) = (1, 05) 1 = 4, NPV B (5%) = (1, 05) 1 = 14, Zatem NPV A (5%) < NPV B (5%), więc dla tej stopy NPV wskazuje inwestycję B jako bardziej opłacalną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 16 / 57
44 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 17 / 57
45 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? NPV A (20%) = (1, 2) 1 = 8, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 17 / 57
46 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? NPV A (20%) = (1, 2) 1 = 8, NPV B (20%) = (1, 2) 1 = 25. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 17 / 57
47 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? NPV A (20%) = (1, 2) 1 = 8, NPV B (20%) = (1, 2) 1 = 25. Zatem NPV A (20%) > NPV B (20%), więc dla tej stopy NPV wskazuje inwestycję A jako bardziej opłacalną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 17 / 57
48 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 18 / 57
49 Problemy z NPV - skala i nieporównywalność Zadanie Inwestycja A wymaga zainwestowania 100 jp dziś i gwarantuje dochód 110 jp za rok. Inwestycja B wymaga zainwestowania 300 jp dziś i gwarantuje dochód 330 jp za rok. Jaka jest relacja pomiędzy ich funkcjami wartości bieżącej netto NPV A i NPV B? Generalnie łatwo zauważyć, że inwestycja B to jest 3-krotnie przeskalowana inwestycja A, więc też dla każdego r: NPV B (r) = (1+r) 1 = 3( (1+r) 1 ) = 3NPV A (r). Dlatego NPV A (r) ma większą wartość dla r > 10%, a NPV B (r) ma większą wartość dla r < 10%. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 18 / 57
50 Problemy z NPV - podsumowanie Podsumowując, dzięki NPV można porównać daną inwestycję z inną, dla której mamy znaną stopę zwrotu - i interesuje nas tylko, czy wynik jest dodatni, czy ujemny, a nie jego konkretna wartość. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 19 / 57
51 Problemy z NPV - podsumowanie Podsumowując, dzięki NPV można porównać daną inwestycję z inną, dla której mamy znaną stopę zwrotu - i interesuje nas tylko, czy wynik jest dodatni, czy ujemny, a nie jego konkretna wartość. To, że jedna inwestycja dla pewnego poziomu r ma większe NPV niż druga, nie oznacza automatycznie, że jest bardziej opłacalna. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 19 / 57
52 Problemy z NPV - podsumowanie Podsumowując, dzięki NPV można porównać daną inwestycję z inną, dla której mamy znaną stopę zwrotu - i interesuje nas tylko, czy wynik jest dodatni, czy ujemny, a nie jego konkretna wartość. To, że jedna inwestycja dla pewnego poziomu r ma większe NPV niż druga, nie oznacza automatycznie, że jest bardziej opłacalna. W szczególności, jeśli inwestycja B różni się od inwestycji tylko skalą tj. jeśli wszystkie płatności inwestycji B są w tych samych momentach czasowych i są k-krotnie większe od odpowiednich płatności inwestycji A, to dla każdej stopy r NPV B (r) = k NPV A (r). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 19 / 57
53 Problemy z NPV - podsumowanie Podsumowując, dzięki NPV można porównać daną inwestycję z inną, dla której mamy znaną stopę zwrotu - i interesuje nas tylko, czy wynik jest dodatni, czy ujemny, a nie jego konkretna wartość. To, że jedna inwestycja dla pewnego poziomu r ma większe NPV niż druga, nie oznacza automatycznie, że jest bardziej opłacalna. W szczególności, jeśli inwestycja B różni się od inwestycji tylko skalą tj. jeśli wszystkie płatności inwestycji B są w tych samych momentach czasowych i są k-krotnie większe od odpowiednich płatności inwestycji A, to dla każdej stopy r NPV B (r) = k NPV A (r). Dlatego NPV nie do końca nadaje się do porównywania dwóch dowolnych inwestycji. Trafność wyceny za pomocą wartości bieżącej netto zależy od odpowiedniego wyboru wartości r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 19 / 57
54 NPV - wykres Wygodnym podejściem jest badanie NPV jako funkcji r - w szczególności narysowanie jej wykresu - w oparciu o fakt, że jest to funkcja ciągła i różniczkowalna o dziedzinie ( 1, + ). Na przykład dla inwestycji rozważanej w pierwszym przykładzie tej prezentacji ((C i ) = ( 800, 200, 500, 600, 550), (t i ) = (0, 1, 3, 4, 5)) wykres wygląda następująco (na osi pionowej jednostka to 1000 jp): Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 20 / 57
55 NPV - twierdzenie Trudno podać ogólne twierdzenia o własnościach funkcji NPV (r) w dowolnej sytuacji, ale w bardzo ważnym przypadku wielu informacji dostarcza nam poniższe twierdzenie: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 21 / 57
56 NPV - twierdzenie Trudno podać ogólne twierdzenia o własnościach funkcji NPV (r) w dowolnej sytuacji, ale w bardzo ważnym przypadku wielu informacji dostarcza nam poniższe twierdzenie: Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 21 / 57
57 NPV - twierdzenie Trudno podać ogólne twierdzenia o własnościach funkcji NPV (r) w dowolnej sytuacji, ale w bardzo ważnym przypadku wielu informacji dostarcza nam poniższe twierdzenie: Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Innymi słowy, NPV inwestycji o pojedynczym nakładzie maleje (ale coraz wolniej) wraz ze wzrostem r. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 21 / 57
58 NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57
59 NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j tej funkcji jest ( 1, + ). i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57
60 NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną tej funkcji jest ( 1, + ). Jako, że C 0 jest stałą, (C 0 ) = (C 0 ) = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57
61 NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną tej funkcji jest ( 1, + ). Jako, że C 0 jest stałą, (C 0 ) = (C 0 ) = 0. Dla j > 0: (C j (1 + r) t j ) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57
62 NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną tej funkcji jest ( 1, + ). Jako, że C 0 jest stałą, (C 0 ) = (C 0 ) = 0. Dla j > 0: (C j (1 + r) t j ) = t j C j (1 + r) t j 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57
63 NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną tej funkcji jest ( 1, + ). Jako, że C 0 jest stałą, (C 0 ) = (C 0 ) = 0. Dla j > 0: (C j (1 + r) t j ) = t j C j (1 + r) t j 1 < 0 oraz: (C j (1 + r) t j ) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57
64 NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną tej funkcji jest ( 1, + ). Jako, że C 0 jest stałą, (C 0 ) = (C 0 ) = 0. Dla j > 0: (C j (1 + r) t j ) = t j C j (1 + r) t j 1 < 0 oraz: (C j (1 + r) t j ) = t j (t j + 1)C j (1 + r) t j 2 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57
65 NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 C j > 0. Dziedziną tej funkcji jest ( 1, + ). Jako, że C 0 jest stałą, (C 0 ) = (C 0 ) = 0. Dla j > 0: (C j (1 + r) t j ) = t j C j (1 + r) t j 1 < 0 oraz: (C j (1 + r) t j ) = t j (t j + 1)C j (1 + r) t j 2 > 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 22 / 57
66 NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 zachodzi (C j (1 + r) t j ) < 0 i (C j (1 + r) t j ) > 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 23 / 57
67 NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 zachodzi (C j (1 + r) t j ) < 0 i (C j (1 + r) t j ) > 0, stąd NPV A jest skończoną sumą funkcji malejących i wypukłych w całej dziedzinie oraz funkcji stałej C 0, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 23 / 57
68 NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 zachodzi (C j (1 + r) t j ) < 0 i (C j (1 + r) t j ) > 0, stąd NPV A jest skończoną sumą funkcji malejących i wypukłych w całej dziedzinie oraz funkcji stałej C 0, więc jest malejąca i wypukła. QED rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 23 / 57
69 NPV - twierdzenie i dowód Twierdzenie o NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie Niech A będzie inwestycją o pojedynczym nakładzie. Wtedy jej funkcja wartości bieżącej netto NPV A (r) jest malejąca i wypukła w całej dziedzinie. Dowód: NPV A (r) = N j=0 C j (1 + r) t j i dla j > 0 zachodzi (C j (1 + r) t j ) < 0 i (C j (1 + r) t j ) > 0, stąd NPV A jest skończoną sumą funkcji malejących i wypukłych w całej dziedzinie oraz funkcji stałej C 0, więc jest malejąca i wypukła. QED W szczególności, konsekwencją tego twierdzenia jest fakt, że NPV dla inwestycji o pojedynczym nakładzie ma co najwyżej jedno miejsce zerowe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 23 / 57
70 NPV - kontrprzykład Założenie o pojedynczym nakładzie w ostatnim twierdzeniu jest istotne, bo dla dowolnych inwestycji NPV nie musi być malejąca i wypukła. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 24 / 57
71 NPV - kontrprzykład Założenie o pojedynczym nakładzie w ostatnim twierdzeniu jest istotne, bo dla dowolnych inwestycji NPV nie musi być malejąca i wypukła. Przykład Rozważmy inwestycję, która wymaga wkładu 100 jp dziś oraz 431 jp za dwa lata i w zamian przynosi dochody 360 jp za rok i 171, 6 jp za 3 lata. Narysować wykres NPV (r) dla tej inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 24 / 57
72 NPV - kontrprzykład Założenie o pojedynczym nakładzie w ostatnim twierdzeniu jest istotne, bo dla dowolnych inwestycji NPV nie musi być malejąca i wypukła. Przykład Rozważmy inwestycję, która wymaga wkładu 100 jp dziś oraz 431 jp za dwa lata i w zamian przynosi dochody 360 jp za rok i 171, 6 jp za 3 lata. Narysować wykres NPV (r) dla tej inwestycji. Inwestycja ta nie jest inwestycją o pojedynczym nakładzie. Dla tej inwestycji NPV (r) = (1 + r) 1 431(1 + r) , 6(1 + r) 3. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 24 / 57
73 NPV - kontrprzykład NPV (r) = (1 + r) 1 431(1 + r) , 6(1 + r) 3. Wykres wygląda następująco: Jak widać, ta funkcja nie jest stale malejąca ani stale wypukła (i ma 3 miejsca zerowe, co będzie istotne później). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 25 / 57
74 IRR - wstęp Najbardziej typowym miernikiem oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu, zwana w literaturze wewnętrzną stopą zwrotu (IRR - internal rate of return). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 26 / 57
75 IRR - wstęp Najbardziej typowym miernikiem oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu, zwana w literaturze wewnętrzną stopą zwrotu (IRR - internal rate of return). Jeśli porządnie ją zdefiniujemy dla dowolnych inwestycji, będziemy mogli je porównywać między sobą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 26 / 57
76 IRR - wstęp Najbardziej typowym miernikiem oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu, zwana w literaturze wewnętrzną stopą zwrotu (IRR - internal rate of return). Jeśli porządnie ją zdefiniujemy dla dowolnych inwestycji, będziemy mogli je porównywać między sobą. Ceteris paribus, inwestycja o wyższej stopie zwrotu będzie uważana za bardziej opłacalną. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 26 / 57
77 IRR - wstęp Najbardziej typowym miernikiem oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu, zwana w literaturze wewnętrzną stopą zwrotu (IRR - internal rate of return). Jeśli porządnie ją zdefiniujemy dla dowolnych inwestycji, będziemy mogli je porównywać między sobą. Ceteris paribus, inwestycja o wyższej stopie zwrotu będzie uważana za bardziej opłacalną. Dla lokat, wewnętrzną stopę zwrotu stanowi stopa efektywna o typowym okresie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 26 / 57
78 IRR - wstęp Najbardziej typowym miernikiem oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu, zwana w literaturze wewnętrzną stopą zwrotu (IRR - internal rate of return). Jeśli porządnie ją zdefiniujemy dla dowolnych inwestycji, będziemy mogli je porównywać między sobą. Ceteris paribus, inwestycja o wyższej stopie zwrotu będzie uważana za bardziej opłacalną. Dla lokat, wewnętrzną stopę zwrotu stanowi stopa efektywna o typowym okresie. Można więc powiedzieć, że IRR jest taką stopą oprocentowania lokaty, przy której rozważana inwestycja jest równie opłacalna co ta lokata. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 26 / 57
79 IRR - założenia Stosowanie IRR jako miary opłacalności jest bezwzględnie słuszne tylko w sytuacji, gdy możemy reinwestować zyski w ten sam sposób. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 27 / 57
80 IRR - założenia Stosowanie IRR jako miary opłacalności jest bezwzględnie słuszne tylko w sytuacji, gdy możemy reinwestować zyski w ten sam sposób. Matematycy finansowi zajmują się między innymi ulepszaniem jej definicji by działała w bardziej skomplikowanych wypadkach - my jednak w ramach tego kursu rozważamy zazwyczaj tylko ten najprostszy przypadek (wrócimy do tego przy okazji strumieni płatności i dyskusji o kapitalizacji złożonej i mieszanej). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 27 / 57
81 IRR - założenia Stosowanie IRR jako miary opłacalności jest bezwzględnie słuszne tylko w sytuacji, gdy możemy reinwestować zyski w ten sam sposób. Matematycy finansowi zajmują się między innymi ulepszaniem jej definicji by działała w bardziej skomplikowanych wypadkach - my jednak w ramach tego kursu rozważamy zazwyczaj tylko ten najprostszy przypadek (wrócimy do tego przy okazji strumieni płatności i dyskusji o kapitalizacji złożonej i mieszanej). Przypominam, że wewnętrzna stopa zwrotu inwestycji jest zawsze stopą zgodną. Jeśli nie ma podanych innych informacji to OS = OK = 1. Przejście na inny okres stopy zwrotu wymaga użycia wzoru na stopę efektywną (bo wymaga zmiany okresu kapitalizacji). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 27 / 57
82 IRR - definicja Rozważamy inwestycję o takich samych oznaczeniach jak w przypadku definicji NPV. W szczególności OS = OK = 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 28 / 57
83 IRR - definicja Rozważamy inwestycję o takich samych oznaczeniach jak w przypadku definicji NPV. W szczególności OS = OK = 1. Wewnętrzna stopa zwrotu Wewnętrzną stopą zwrotu (IRR) danej inwestycji o zadanym okresie, nazywamy taką stopę r dla której wartość bieżąca netto tej inwestycji NPV (r ) = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 28 / 57
84 IRR - definicja Rozważamy inwestycję o takich samych oznaczeniach jak w przypadku definicji NPV. W szczególności OS = OK = 1. Wewnętrzna stopa zwrotu Wewnętrzną stopą zwrotu (IRR) danej inwestycji o zadanym okresie, nazywamy taką stopę r dla której wartość bieżąca netto tej inwestycji NPV (r ) = 0. Jak zwykle w wypadku matematycznych definicji, zastanowimy się nad istnieniem i jednoznacznością definiowanego obiektu. Jednak zaczniemy od przykładu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 28 / 57
85 IRR - przykład Zadanie Inwestycja wymaga nakładu 100 jp dziś i gwarantuje dochody 50 jp za rok oraz 62, 64 jp za dwa lata. Ile wynosi IRR dla tej inwestycji? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 29 / 57
86 IRR - przykład Zadanie Inwestycja wymaga nakładu 100 jp dziś i gwarantuje dochody 50 jp za rok oraz 62, 64 jp za dwa lata. Ile wynosi IRR dla tej inwestycji? Zaczniemy od wyznaczenia wzoru NPV (r) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 29 / 57
87 IRR - przykład Zadanie Inwestycja wymaga nakładu 100 jp dziś i gwarantuje dochody 50 jp za rok oraz 62, 64 jp za dwa lata. Ile wynosi IRR dla tej inwestycji? Zaczniemy od wyznaczenia wzoru NPV (r) = (1 + r) , 64(1 + r) 2 dla tej inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 29 / 57
88 IRR - przykład Zadanie Inwestycja wymaga nakładu 100 jp dziś i gwarantuje dochody 50 jp za rok oraz 62, 64 jp za dwa lata. Ile wynosi IRR dla tej inwestycji? Zaczniemy od wyznaczenia wzoru NPV (r) = (1 + r) , 64(1 + r) 2 dla tej inwestycji. Mamy znaleźć r takie, że NPV (r ) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 29 / 57
89 IRR - przykład Zadanie Inwestycja wymaga nakładu 100 jp dziś i gwarantuje dochody 50 jp za rok oraz 62, 64 jp za dwa lata. Ile wynosi IRR dla tej inwestycji? Zaczniemy od wyznaczenia wzoru NPV (r) = (1 + r) , 64(1 + r) 2 dla tej inwestycji. Mamy znaleźć r takie, że NPV (r ) = 0. Po podstawieniu (dla ułatwienia obliczeń) x = (1 + r ) 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 29 / 57
90 IRR - przykład Zadanie Inwestycja wymaga nakładu 100 jp dziś i gwarantuje dochody 50 jp za rok oraz 62, 64 jp za dwa lata. Ile wynosi IRR dla tej inwestycji? Zaczniemy od wyznaczenia wzoru NPV (r) = (1 + r) , 64(1 + r) 2 dla tej inwestycji. Mamy znaleźć r takie, że NPV (r ) = 0. Po podstawieniu (dla ułatwienia obliczeń) x = (1 + r ) 1 otrzymujemy równanie kwadratowe: x + 62, 64x 2 = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 29 / 57
91 IRR - przykład x + 62, 64x 2 = 0. Równanie to rozwiązujemy metodami znanymi ze szkoły, otrzymując pierwiastki: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 30 / 57
92 IRR - przykład x + 62, 64x 2 = 0. Równanie to rozwiązujemy metodami znanymi ze szkoły, otrzymując pierwiastki: x 1 = 1, 7241; x 2 = 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 30 / 57
93 IRR - przykład x + 62, 64x 2 = 0. Równanie to rozwiązujemy metodami znanymi ze szkoły, otrzymując pierwiastki: x 1 = 1, 7241; x 2 = 0, Jako, że x = (1 + r ) 1 i r > 1, to musi być x > 0, więc pierwszy z pierwiastków możemy odrzucić. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 30 / 57
94 IRR - przykład x + 62, 64x 2 = 0. Równanie to rozwiązujemy metodami znanymi ze szkoły, otrzymując pierwiastki: x 1 = 1, 7241; x 2 = 0, Jako, że x = (1 + r ) 1 i r > 1, to musi być x > 0, więc pierwszy z pierwiastków możemy odrzucić. Ostatecznie: (1 + r ) 1 = 0, 9259 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 30 / 57
95 IRR - przykład x + 62, 64x 2 = 0. Równanie to rozwiązujemy metodami znanymi ze szkoły, otrzymując pierwiastki: x 1 = 1, 7241; x 2 = 0, Jako, że x = (1 + r ) 1 i r > 1, to musi być x > 0, więc pierwszy z pierwiastków możemy odrzucić. Ostatecznie: (1 + r ) 1 = 0, 9259 r = 0, 08. Czyli IRR danej inwestycji wynosi 8% rocznie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 30 / 57
96 IRR - niezależność od skali Warto w tym miejscu podkreślić, że IRR, w przeciwieństwie do NPV, nie jest wrażliwa na zmianę skali inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 31 / 57
97 IRR - niezależność od skali Warto w tym miejscu podkreślić, że IRR, w przeciwieństwie do NPV, nie jest wrażliwa na zmianę skali inwestycji. Wynika to z faktu, że po przemnożeniu przez dowolną dodatnią liczbę, NPV zmienia wartości we wszystkich punktach poza miejscami zerowymi, które są jedynymi punktami istotnymi dla wyznaczenia IRR. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 31 / 57
98 IRR - niezależność od skali Warto w tym miejscu podkreślić, że IRR, w przeciwieństwie do NPV, nie jest wrażliwa na zmianę skali inwestycji. Wynika to z faktu, że po przemnożeniu przez dowolną dodatnią liczbę, NPV zmienia wartości we wszystkich punktach poza miejscami zerowymi, które są jedynymi punktami istotnymi dla wyznaczenia IRR. Dlatego IRR jest lepszym narzędziem oceny inwestycji niż NPV. Jednakże, również IRR ma swoje problemy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 31 / 57
99 IRR - potencjalne problemy Jak widzieliśmy na przykładzie, wyznaczenie IRR wymaga rozwiązania równania wielomianowego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 32 / 57
100 IRR - potencjalne problemy Jak widzieliśmy na przykładzie, wyznaczenie IRR wymaga rozwiązania równania wielomianowego. Od razu nasza wiedza o takich zagadnieniach wskazuje 3 możliwe źródła kłopotów: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 32 / 57
101 IRR - potencjalne problemy Jak widzieliśmy na przykładzie, wyznaczenie IRR wymaga rozwiązania równania wielomianowego. Od razu nasza wiedza o takich zagadnieniach wskazuje 3 możliwe źródła kłopotów: Równanie wielomianowe może nie posiadać rozwiązań rzeczywistych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 32 / 57
102 IRR - potencjalne problemy Jak widzieliśmy na przykładzie, wyznaczenie IRR wymaga rozwiązania równania wielomianowego. Od razu nasza wiedza o takich zagadnieniach wskazuje 3 możliwe źródła kłopotów: Równanie wielomianowe może nie posiadać rozwiązań rzeczywistych. Równanie wielomianowe może posiadać wiele rozwiązań należących do dziedziny równania. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 32 / 57
103 IRR - potencjalne problemy Jak widzieliśmy na przykładzie, wyznaczenie IRR wymaga rozwiązania równania wielomianowego. Od razu nasza wiedza o takich zagadnieniach wskazuje 3 możliwe źródła kłopotów: Równanie wielomianowe może nie posiadać rozwiązań rzeczywistych. Równanie wielomianowe może posiadać wiele rozwiązań należących do dziedziny równania. Dotychczasowe kursy nie dały Państwu narzędzi do dokładnego rozwiązywania równań wielomianowych stopnia większego niż 2 (a dla stopnia większego niż 4 nawet takie algorytmy nie istnieją). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 32 / 57
104 IRR - przykład nieistnienia Zadanie Inwestycja wymaga nakładów 10 jp dziś i 10 jp za 2 lata i gwarantuje dochody 15 jp za rok. Ile wynosi IRR tej inwestycji? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 33 / 57
105 IRR - przykład nieistnienia Zadanie Inwestycja wymaga nakładów 10 jp dziś i 10 jp za 2 lata i gwarantuje dochody 15 jp za rok. Ile wynosi IRR tej inwestycji? Jak w poprzednim przykładzie, wypisujemy NPV (r), porównujemy NPV (r ) = 0 i podstawiamy x = (1 + r ) 1, otrzymując równanie: x 10x 2 = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 33 / 57
106 IRR - przykład nieistnienia Zadanie Inwestycja wymaga nakładów 10 jp dziś i 10 jp za 2 lata i gwarantuje dochody 15 jp za rok. Ile wynosi IRR tej inwestycji? Jak w poprzednim przykładzie, wypisujemy NPV (r), porównujemy NPV (r ) = 0 i podstawiamy x = (1 + r ) 1, otrzymując równanie: x 10x 2 = 0. Dla tego równania = < 0, więc nie ma ono rozwiązań rzeczywistych. Zatem IRR nie istnieje. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji finansowych Matematyka finansowa 33 / 57
2a. Przeciętna stopa zwrotu
2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej w programie Maxima
Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,
Bardziej szczegółowo8. Papiery wartościowe: obligacje
8. Papiery wartościowe: obligacje Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje
Bardziej szczegółowo4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe
4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie)
Bardziej szczegółowo2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa
2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych
Matematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych Ostatnie zadanie na egzaminie będzie się składać z jednego bardziej skomplikowanego lub dwóch prostych pytań teoretycznych. Pytanie takie będzie dotyczyło
Bardziej szczegółowo3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
Bardziej szczegółowoMetody niedyskontowe. Metody dyskontowe
Metody oceny projektów inwestycyjnych TEORIA DECYZJE DŁUGOOKRESOWE Budżetowanie kapitałów to proces, który ma za zadanie określenie potrzeb inwestycyjnych przedsiębiorstwa. Jest to proces identyfikacji
Bardziej szczegółowoOCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI. Jerzy T. Skrzypek
OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI Jerzy T. Skrzypek 1 2 3 4 5 6 7 8 Analiza płynności Analiza rentowności Analiza zadłużenia Analiza sprawności działania Analiza majątku i źródeł finansowania Ocena efektywności
Bardziej szczegółowoOcena kondycji finansowej organizacji
Ocena kondycji finansowej organizacji 1 2 3 4 5 6 7 8 Analiza płynności Analiza rentowności Analiza zadłużenia Analiza sprawności działania Analiza majątku i źródeł finansowania Ocena efektywności projektów
Bardziej szczegółowo5. Strumienie płatności: renty
5. Strumienie płatności: renty Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowo7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe
7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe:
Bardziej szczegółowoOtrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.
Bardziej szczegółowoEkonomika Transportu Morskiego wykład 08ns
Ekonomika Transportu Morskiego wykład 08ns dr Adam Salomon, Katedra Transportu i Logistyki Wydział Nawigacyjny, Akademia Morska w Gdyni ETM 2 Wykład ostatni merytoryczny ETM: tematyka 1. Dynamiczne metody
Bardziej szczegółowoNauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski
Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoWSTĘP ZAŁOŻENIA DO PROJEKTU
UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA Przykład analizy opłacalności przedsięwzięcia inwestycyjnego WSTĘP Teoria i praktyka wypracowały wiele metod oceny efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych.
Bardziej szczegółowo4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
4b. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4b. wbadanie Krakowie)
Bardziej szczegółowoEkonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 10 MSTiL niestacjonarne (II stopień)
dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 10 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 10. Dynamiczne metody szacowania opłacalności projektów inwestycyjnych
Bardziej szczegółowoDynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych
Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych Dynamiczne formuły oceny opłacalności inwestycji tonażowych są oparte na założeniu zmiennej (malejącej z upływem czasu) wartości pieniądza. Im
Bardziej szczegółowoPLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH
Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą
Bardziej szczegółowoPodstawy zarządzania projektem. dr inż. Agata Klaus-Rosińska
Podstawy zarządzania projektem dr inż. Agata Klaus-Rosińska 1 Ocena efektywności projektów inwestycyjnych 2 Wartość pieniądza w czasie Wartość pieniądza w czasie ma decydujące znaczenie dla podejmowania
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171)
Przedmiot: MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Prowadzący wykład: dr Krzysztof Samotij, e-mail: krzysztof.samotij@pwr.edu.pl Czas i miejsce wykładu: poniedziałki (wg definicji J.M. Rektora) g. 9:15-11:00,
Bardziej szczegółowoEkonomika w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 10 MSTiL (II stopień)
dr Adam Salomon Ekonomika w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 10 MSTiL (II stopień) EwPTM program wykładu 10. Dynamiczne metody szacowania opłacalności projektów inwestycyjnych w transporcie
Bardziej szczegółowo1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa
1a. Lokaty - wstęp Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 1 / 44 1
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych
Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Dorota Klim Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki, Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowoAnaliza opłacalności inwestycji v.
Analiza opłacalności inwestycji v. 2.0 Michał Strzeszewski, 1997 1998 Spis treści 1. Cel artykułu...1 2. Wstęp...1 3. Prosty okres zwrotu...2 4. Inflacja...2 5. Wartość pieniądza w czasie...2 6. Dyskontowanie...3
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa - 4. P t n 1 1 r. (Gdy P t 0 0, P t 1 0,...,P t N 0, to przyjmujemy umownie i P. Gdy t n kn. do równania definiującego.
Matematyka finansowa - 4 Przepływy pieniężne - 2 Wewnętrzna stopa zwrotu Definicja Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR-Internal Rate of Return) dla strumienia przepływów pieniężnych P P t,p t, P t 2,...,P t w
Bardziej szczegółowoMetody szacowania opłacalności projektów (metody statyczne, metody dynamiczne)
Metody szacowania opłacalności projektów (metody statyczne, metody dynamiczne) punkt 6 planu zajęć dr inż. Agata Klaus-Rosińska 1 OCENA EFEKTYWNOŚCI PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH 2 Wartość pieniądza w czasie
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje Krzywa rentowności (dochodowości) Yield Curve Krzywa ta jest graficznym przedstawieniem
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoIII. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
Bardziej szczegółowoKONSPEKT FUNKCJE cz. 1.
KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy
Bardziej szczegółowodr Danuta Czekaj
dr Danuta Czekaj dj.czekaj@gmail.com POLITYKA INWESTYCYJNA W HOTELARSTWIE PIH TiR_II_ST3_ZwHiG WYKŁAD_ E_LEARNING 2 GODZINY TEMAT Dynamiczne metody badania opłacalności inwestycji w hotelarstwie 08. 12.
Bardziej szczegółowo1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic
1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 1. Granice w Krakowie) funkcji -
Bardziej szczegółowoSTOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Bardziej szczegółowoGranice ciągów liczbowych
Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi
Bardziej szczegółowoZastosowania teorii procentu do inwestowania
Maciej Grzesiak Zastosowania teorii procentu do inwestowania 1. Wprowadzenie Proces inwestowania składa się z rozpoznania możliwości, doboru, łączenia inwestycji oraz bieżącego zarządzania nimi. Podstawowym
Bardziej szczegółowoII. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2
II. Wstęp: Funkcje elementarne - część 2 Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet EkonomicznyII. wwstęp: Krakowie) Funkcje elementarne - część 2 1 / 34 1
Bardziej szczegółowoZARZĄDZANIE FINANSAMI W PROJEKTACH C.D. OCENA FINANSOWA PROJEKTU METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI FINANSOWEJ PROJEKTU. Sabina Rokita
ZARZĄDZANIE FINANSAMI W PROJEKTACH C.D. OCENA FINANSOWA PROJEKTU METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI FINANSOWEJ PROJEKTU Sabina Rokita Podział metod oceny efektywności finansowej projektów 1.Metody statyczne: Okres
Bardziej szczegółowo8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe
8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy
Bardziej szczegółowo1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:
Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne -
Bardziej szczegółowoPapiery wartościowe o stałym dochodzie
Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,
Bardziej szczegółowoEgzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia
Bardziej szczegółowozaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.
zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7
Bardziej szczegółowo1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)
1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec
Bardziej szczegółowo5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość
5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Matematyka finansowa Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku
Bardziej szczegółowoOCENA PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH
OCENA PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Metody oceny projektów We współczesnej gospodarce rynkowej istnieje bardzo duża presja na właścicieli kapitałów. Są oni zmuszeni do ciągłego poszukiwania najefektywniejszych
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoEkonomika Transportu Morskiego wykład 08ns
Ekonomika Transportu Morskiego wykład 08ns dr Adam Salomon, Katedra Transportu i Logistyki Wydział Nawigacyjny, Akademia Morska w Gdyni Wykład 8ns : tematyka 1. Oprocentowanie, dyskontowanie, współczynnik
Bardziej szczegółowoSTOPA DYSKONTOWA 1+ =
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w
Bardziej szczegółowoPieniądz ma zmienną wartość w czasie również w przypadku zerowej inflacji. Jest kilka przyczyn tego zjawiska:
Prawie wszyscy wiedzą, że pewna suma pieniędzy ma dziś większą wartość niż ta sama suma w przyszłości. Mówi się, że pieniądz traci na wartości. Używając bardziej precyzyjnej terminologii trzeba powiedzieć
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoInwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.
Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.
Bardziej szczegółowoFUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
Bardziej szczegółowoRACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE
RACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE Projekt Nakłady inwestycyjne, pożyczka + WACC Prognoza przychodów i kosztów Prognoza rachunku wyników Prognoza przepływów finansowych Wskaźniki
Bardziej szczegółowox v m 1 stopę zwrotu otrzymujemy równanie
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 4 Przepływy pienięŝne - 2 Wewnętrzna stopa zwrotu Definicja Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR-Internal Rate of Return) dla strumienia przepływów pienięŝnych P Pt, Pt,
Bardziej szczegółowo3a. Teoria akumulacji kapitału
3a. Teoria akumulacji kapitału Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka
Bardziej szczegółowoEfektywność Projektów Inwestycyjnych. 1. Mierniki opłacalności projektów inwestycyjnych Metoda Wartości Bieżącej Netto - NPV
Efektywność Projektów Inwestycyjnych Jednym z najczęściej modelowanych zjawisk przy użyciu arkusza kalkulacyjnego jest opłacalność przedsięwzięcia inwestycyjnego. Skuteczność arkusza kalkulacyjnego w omawianym
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoModelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji
Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.
Bardziej szczegółowo10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe typu forward/futures
10. Instrumenty pochodne: kontrakty terminowe typu forward/futures Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 10. winstrumenty
Bardziej szczegółowoPaulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują
Bardziej szczegółowo1. Charakterystyka obligacji. 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji.
mgr Maciej Jagódka 1. Charakterystyka obligacji 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji. Wierzycielski papier wartościowy, w którym emitent obligacji jest dłużnikiem posiadacza
Bardziej szczegółowo2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej
2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza
Bardziej szczegółowoPo zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej.
Po zapoznaniu się z funkcją liniową możemy przyjśd do badania funkcji kwadratowej. Definicja 1 Jednomianem stopnia drugiego nazywamy funkcję postaci: i a 0. Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoEkonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 09 MSTiL niestacjonarne (II stopień)
dr Adam Salomon Ekonomika i Logistyka w Przedsiębiorstwach Transportu Morskiego wykład 09 MSTiL niestacjonarne (II stopień) program wykładu 09. Dynamiczne metody szacowania opłacalności projektów inwestycyjnych
Bardziej szczegółowo2. Ciągłość funkcji. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. zima 2016/2017
2. Ciągłość funkcji Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Ciągłość funkcji zima 2016/2017 1 / 28 1 Motywacja
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoStopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k
2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa
Bardziej szczegółowoASM 603 + ASM 604 + ASM 605: Finansowanie i wycena nieruchomości jako inwestycji cz. 1-3
ASM 603 + ASM 604 + ASM 605: Finansowanie i wycena nieruchomości jako inwestycji cz. 1-3 Szczegółowy program kursu ASM 603: Finansowanie i wycena nieruchomości jako inwestycji cz. 1 1. Zagadnienia ekonomiczne
Bardziej szczegółowoFunkcje IV. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) określa funkcję za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego, b) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych
Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Dorota Klim Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki, Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza
O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków
Bardziej szczegółowoANALIZA FINANSOWA INWESTYCJI PV
ANALIZA FINANSOWA INWESTYCJI PV Inwestor: Imię i Nazwisko Obiekt: Dom jednorodzinny Lokalizacja: ul. Słoneczna 10 10-100 SŁONECZNO Data: 01.03.2015 Kontakt: Andrzej Nowak Firma instalatorska ul. Rzetelna
Bardziej szczegółowo88. Czysta stopa procentowa. 89. Rynkowa (nominalna) stopa procentowa. 90. Efektywna stopa procentowa. 91. Oprocentowanie składane. 92.
34 Podstawowe pojęcia i zagadnienia mikroekonomii 88. zysta stopa procentowa zysta stopa procentowa jest teoretyczną ceną pieniądza, która ukształtowałaby się na rynku pod wpływem oddziaływania popytu
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowo