1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

Transkrypt

1 1a. Lokaty - wstęp Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 1 / 44

2 1 Podstawowe definicje 2 Stopy procentowe 3 Kapitalizacja i jej modele 4 Przykłady 5 Kapitalizacja ciągła 6 Kapitalizacja z góry - dodatek rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 2 / 44

3 Dlaczego zaczynamy od lokat? Matematyka finansowa generalnie zajmuje się wyceną różnego rodzaju inwestycji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 3 / 44

4 Dlaczego zaczynamy od lokat? Matematyka finansowa generalnie zajmuje się wyceną różnego rodzaju inwestycji. Naszym ostatecznym celem jest uzyskanie możliwości porównania opłacalności dwóch dowolnych inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 3 / 44

5 Dlaczego zaczynamy od lokat? Matematyka finansowa generalnie zajmuje się wyceną różnego rodzaju inwestycji. Naszym ostatecznym celem jest uzyskanie możliwości porównania opłacalności dwóch dowolnych inwestycji. Dlaczego zatem nie zaczniemy od ustalenia ogólnych kryteriów oceny? Wydaje mi się, że lepiej jest najpierw nabrać intuicji co do tego, o czym mówimy, omawiając najprostszą inwestycję jaka jest nam znana. A chyba każdy dzisiaj ma jakieś pojęcie o lokatach bankowych - i dlatego na ich przykładzie zaczniemy poznawać podstawowe pojęcia i zagadnienia matematyki finansowej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 3 / 44

6 Lokata terminowa - definicja Lokata terminowa Lokatą terminową nazywamy umowę zawartą z innym podmiotem gospodarczym (najczęściej z bankiem, więc w dalszej części tak w uproszczeniu ten podmiot będziemy nazywać) na podstawie której klient powierza swój kapitał bankowi na zadany okres czasu w zamian za określony zysk zwany odsetkami, wynikający z warunków oprocentowania lokaty. Po upływie terminu lokaty, bank zobowiązuje się wypłacić klientowi wpłacone przez niego środki wraz z odsetkami. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 4 / 44

7 Lokata terminowa - definicja Lokata terminowa Lokatą terminową nazywamy umowę zawartą z innym podmiotem gospodarczym (najczęściej z bankiem, więc w dalszej części tak w uproszczeniu ten podmiot będziemy nazywać) na podstawie której klient powierza swój kapitał bankowi na zadany okres czasu w zamian za określony zysk zwany odsetkami, wynikający z warunków oprocentowania lokaty. Po upływie terminu lokaty, bank zobowiązuje się wypłacić klientowi wpłacone przez niego środki wraz z odsetkami. Można taką umowę interpretować jako pożyczkę udzieloną przez klienta bankowi na określony czas w zamian za wspomniane odsetki. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 4 / 44

8 Lokata terminowa - definicja Lokata terminowa Lokatą terminową nazywamy umowę zawartą z innym podmiotem gospodarczym (najczęściej z bankiem, więc w dalszej części tak w uproszczeniu ten podmiot będziemy nazywać) na podstawie której klient powierza swój kapitał bankowi na zadany okres czasu w zamian za określony zysk zwany odsetkami, wynikający z warunków oprocentowania lokaty. Po upływie terminu lokaty, bank zobowiązuje się wypłacić klientowi wpłacone przez niego środki wraz z odsetkami. Można taką umowę interpretować jako pożyczkę udzieloną przez klienta bankowi na określony czas w zamian za wspomniane odsetki. Teraz omówimy bardziej szczegółowo pojęcia występujące w definicji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 4 / 44

9 Rachunek czasu Jednym z najważniejszych zasobów ekonomicznych, który będzie wpływał na nasze obliczenia na matematyce finansowej jest czas. Nie będziemy się wgłębiać w filozoficzne roztrząsanie jego własności - zaznaczę tylko wstępnie kilka konwencji, które będziemy tu stosować. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 5 / 44

10 Rachunek czasu Jednym z najważniejszych zasobów ekonomicznych, który będzie wpływał na nasze obliczenia na matematyce finansowej jest czas. Nie będziemy się wgłębiać w filozoficzne roztrząsanie jego własności - zaznaczę tylko wstępnie kilka konwencji, które będziemy tu stosować. Podstawową jednostką czasu w finansach będzie rok, więc jeśli nie podajemy jednostki czasu np. podając okres stopy, domyślnie jest to rok. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 5 / 44

11 Rachunek czasu Jednym z najważniejszych zasobów ekonomicznych, który będzie wpływał na nasze obliczenia na matematyce finansowej jest czas. Nie będziemy się wgłębiać w filozoficzne roztrząsanie jego własności - zaznaczę tylko wstępnie kilka konwencji, które będziemy tu stosować. Podstawową jednostką czasu w finansach będzie rok, więc jeśli nie podajemy jednostki czasu np. podając okres stopy, domyślnie jest to rok. Dla uproszczenia rachunków będziemy stosować tzw. szacunkową regułę bankową, tj. zakładać, że każdy miesiąc ma 30 dni (a w konsekwencji rok ma 360 dni), mimo, że jednocześnie zakłada się, że rok ma 52 tygodnie (do rachunku weksli). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 5 / 44

12 Kapitał i odsetki Przez kapitał, oznaczany najczęściej przez K (ewentualnie z indeksem sugerującym czas jego zaistnienia), będziemy rozumieć pewien zasób (tutaj najczęściej finansowy), którego wartość podlega procesowi zmiany wartości w czasie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 6 / 44

13 Kapitał i odsetki Przez kapitał, oznaczany najczęściej przez K (ewentualnie z indeksem sugerującym czas jego zaistnienia), będziemy rozumieć pewien zasób (tutaj najczęściej finansowy), którego wartość podlega procesowi zmiany wartości w czasie. Odsetki i oprocentowanie Zysk z lokaty kapitału K na okres t nazywamy odsetkami (Z), a procedurę wyznaczania odsetek - oprocentowaniem. Zestaw reguł, według których kapitał na danej lokacie podlega oprocentowaniu nazywamy modelem oprocentowania. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 6 / 44

14 Nominalna stopa procentowa W warunkach oprocentowania lokaty, na samym początku podawana jest pewna dodatnia liczba. Najczęściej podana w postaci np. 6% na rok. Nazywa się ona nominalną stopą procentową. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 7 / 44

15 Nominalna stopa procentowa W warunkach oprocentowania lokaty, na samym początku podawana jest pewna dodatnia liczba. Najczęściej podana w postaci np. 6% na rok. Nazywa się ona nominalną stopą procentową. Nominalna stopa procentowa Nominalna stopa procentowa (najczęściej oznaczana przez r) jest to (domyślnie roczny tj. w jednostkach 1/rok) koszt odroczenia płatności o jednostkowej wartości na ustalony okres, lub, patrząc z przeciwnej strony: roczny przychód z tytułu wzrostu wartości nominalnej kapitału o jednostkowej wartości przez ustalony okres, przy założeniu, że odsetki naliczamy tylko raz w trakcie tego okresu, na jego końcu. Najczęściej podawana w procentach, acz w obliczeniach prościej korzystać z postaci ułamka dziesiętnego. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 7 / 44

16 Zmiana okresu stopy nominalnej Zawsze razem ze stopą podajemy jej okres (oznaczamy OS), czyli czas, w którym wartość kapitału rośnie o wartość stopy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 8 / 44

17 Zmiana okresu stopy nominalnej Zawsze razem ze stopą podajemy jej okres (oznaczamy OS), czyli czas, w którym wartość kapitału rośnie o wartość stopy. Jako, że stopa mierzy nie przyrost, ale prędkość przyrostu, podanie tylko wysokości stopy (np. 6%) nie ma sensu, tak jak podawanie prędkości w kilometrach, zamiast kilometrach na godzinę lub na sekundę - musimy podać okres czasowy, którego ten przyrost kapitału dotyczy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 8 / 44

18 Zmiana okresu stopy nominalnej Zawsze razem ze stopą podajemy jej okres (oznaczamy OS), czyli czas, w którym wartość kapitału rośnie o wartość stopy. Jako, że stopa mierzy nie przyrost, ale prędkość przyrostu, podanie tylko wysokości stopy (np. 6%) nie ma sensu, tak jak podawanie prędkości w kilometrach, zamiast kilometrach na godzinę lub na sekundę - musimy podać okres czasowy, którego ten przyrost kapitału dotyczy. Jeśli z jakichś przyczyn (za chwilę je poznamy) potrzebujemy stopy nominalnej w innym okresie czasu niż jest podany w zadaniu - możemy w bardzo prosty sposób go zmienić (razem ze stopą). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 8 / 44

19 Zmiana okresu stopy nominalnej Zawsze razem ze stopą podajemy jej okres (oznaczamy OS), czyli czas, w którym wartość kapitału rośnie o wartość stopy. Jako, że stopa mierzy nie przyrost, ale prędkość przyrostu, podanie tylko wysokości stopy (np. 6%) nie ma sensu, tak jak podawanie prędkości w kilometrach, zamiast kilometrach na godzinę lub na sekundę - musimy podać okres czasowy, którego ten przyrost kapitału dotyczy. Jeśli z jakichś przyczyn (za chwilę je poznamy) potrzebujemy stopy nominalnej w innym okresie czasu niż jest podany w zadaniu - możemy w bardzo prosty sposób go zmienić (razem ze stopą). Tak jak prędkość 60 km na godzinę oznacza to samo co prędkość 1 km na minutę (bo skoro czas podzieliliśmy przez 60 to wartość prędkości musimy podzielić tak samo) tak i stopa nominalna 6% na rok oznacza to samo, co rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 8 / 44

20 Zmiana okresu stopy nominalnej Zawsze razem ze stopą podajemy jej okres (oznaczamy OS), czyli czas, w którym wartość kapitału rośnie o wartość stopy. Jako, że stopa mierzy nie przyrost, ale prędkość przyrostu, podanie tylko wysokości stopy (np. 6%) nie ma sensu, tak jak podawanie prędkości w kilometrach, zamiast kilometrach na godzinę lub na sekundę - musimy podać okres czasowy, którego ten przyrost kapitału dotyczy. Jeśli z jakichś przyczyn (za chwilę je poznamy) potrzebujemy stopy nominalnej w innym okresie czasu niż jest podany w zadaniu - możemy w bardzo prosty sposób go zmienić (razem ze stopą). Tak jak prędkość 60 km na godzinę oznacza to samo co prędkość 1 km na minutę (bo skoro czas podzieliliśmy przez 60 to wartość prędkości musimy podzielić tak samo) tak i stopa nominalna 6% na rok oznacza to samo, co 0, 5% na miesiąc, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 8 / 44

21 Zmiana okresu stopy nominalnej Zawsze razem ze stopą podajemy jej okres (oznaczamy OS), czyli czas, w którym wartość kapitału rośnie o wartość stopy. Jako, że stopa mierzy nie przyrost, ale prędkość przyrostu, podanie tylko wysokości stopy (np. 6%) nie ma sensu, tak jak podawanie prędkości w kilometrach, zamiast kilometrach na godzinę lub na sekundę - musimy podać okres czasowy, którego ten przyrost kapitału dotyczy. Jeśli z jakichś przyczyn (za chwilę je poznamy) potrzebujemy stopy nominalnej w innym okresie czasu niż jest podany w zadaniu - możemy w bardzo prosty sposób go zmienić (razem ze stopą). Tak jak prędkość 60 km na godzinę oznacza to samo co prędkość 1 km na minutę (bo skoro czas podzieliliśmy przez 60 to wartość prędkości musimy podzielić tak samo) tak i stopa nominalna 6% na rok oznacza to samo, co 0, 5% na miesiąc, 1, 5% na kwartał, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 8 / 44

22 Zmiana okresu stopy nominalnej Zawsze razem ze stopą podajemy jej okres (oznaczamy OS), czyli czas, w którym wartość kapitału rośnie o wartość stopy. Jako, że stopa mierzy nie przyrost, ale prędkość przyrostu, podanie tylko wysokości stopy (np. 6%) nie ma sensu, tak jak podawanie prędkości w kilometrach, zamiast kilometrach na godzinę lub na sekundę - musimy podać okres czasowy, którego ten przyrost kapitału dotyczy. Jeśli z jakichś przyczyn (za chwilę je poznamy) potrzebujemy stopy nominalnej w innym okresie czasu niż jest podany w zadaniu - możemy w bardzo prosty sposób go zmienić (razem ze stopą). Tak jak prędkość 60 km na godzinę oznacza to samo co prędkość 1 km na minutę (bo skoro czas podzieliliśmy przez 60 to wartość prędkości musimy podzielić tak samo) tak i stopa nominalna 6% na rok oznacza to samo, co 0, 5% na miesiąc, 1, 5% na kwartał, 3% na pół roku, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 8 / 44

23 Zmiana okresu stopy nominalnej Zawsze razem ze stopą podajemy jej okres (oznaczamy OS), czyli czas, w którym wartość kapitału rośnie o wartość stopy. Jako, że stopa mierzy nie przyrost, ale prędkość przyrostu, podanie tylko wysokości stopy (np. 6%) nie ma sensu, tak jak podawanie prędkości w kilometrach, zamiast kilometrach na godzinę lub na sekundę - musimy podać okres czasowy, którego ten przyrost kapitału dotyczy. Jeśli z jakichś przyczyn (za chwilę je poznamy) potrzebujemy stopy nominalnej w innym okresie czasu niż jest podany w zadaniu - możemy w bardzo prosty sposób go zmienić (razem ze stopą). Tak jak prędkość 60 km na godzinę oznacza to samo co prędkość 1 km na minutę (bo skoro czas podzieliliśmy przez 60 to wartość prędkości musimy podzielić tak samo) tak i stopa nominalna 6% na rok oznacza to samo, co 0, 5% na miesiąc, 1, 5% na kwartał, 3% na pół roku, albo 18% na 3 lata (zwróćmy uwagę, że tak się nie będzie działo przy stopach zwrotu, czyli stopach efektywnych). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 8 / 44

24 Stopa względna Zapisując to formalniej, jeśli mamy daną stopę nominalną r o okresie OS 1 i chcemy się dowiedzieć, jakiej stopie nominalnej o okresie OS 2 jest ona równa, obliczamy tzw. stopę względną ( r). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 9 / 44

25 Stopa względna Zapisując to formalniej, jeśli mamy daną stopę nominalną r o okresie OS 1 i chcemy się dowiedzieć, jakiej stopie nominalnej o okresie OS 2 jest ona równa, obliczamy tzw. stopę względną ( r). Stopa procentowa względna Jeśli zdefiniujemy iloraz m = OS 1 OS 2 to: r = r m. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 9 / 44

26 Stopa względna Zapisując to formalniej, jeśli mamy daną stopę nominalną r o okresie OS 1 i chcemy się dowiedzieć, jakiej stopie nominalnej o okresie OS 2 jest ona równa, obliczamy tzw. stopę względną ( r). Stopa procentowa względna Jeśli zdefiniujemy iloraz m = OS 1 OS 2 to: r = r m. Jako, że okresy różnych stóp potrzebnych w trakcie rozwiązywania każdego zadania są różne, po obliczeniu (lub wypisaniu) nowej stopy występ zawsze zalecam obok zapisać jej okres, żeby się potem nie pomylić. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 9 / 44

27 Procentowa stopa zwrotu Procentowa stopa nominalna mówi nam coś o wartości zwrotu z lokaty, ale jeszcze nie wszystko. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 10 / 44

28 Procentowa stopa zwrotu Procentowa stopa nominalna mówi nam coś o wartości zwrotu z lokaty, ale jeszcze nie wszystko. Najlepszą miarą opłacalności lokaty (i większości innych inwestycji) jest tzw. procentowa stopa zwrotu (r z, czasem r ef, czasem po prostu r) z lokaty, czyli opłata za odroczenie płatności o jednostkowej wartości na ustalony okres, wyrażona ułamkiem lub w procentach przez czas. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 10 / 44

29 Procentowa stopa zwrotu Procentowa stopa nominalna mówi nam coś o wartości zwrotu z lokaty, ale jeszcze nie wszystko. Najlepszą miarą opłacalności lokaty (i większości innych inwestycji) jest tzw. procentowa stopa zwrotu (r z, czasem r ef, czasem po prostu r) z lokaty, czyli opłata za odroczenie płatności o jednostkowej wartości na ustalony okres, wyrażona ułamkiem lub w procentach przez czas. Można ją obliczyć jako stosunek całości odsetek uzyskanych w danym okresie do wartości początkowej tej kwoty. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 10 / 44

30 Procentowa stopa zwrotu Procentowa stopa nominalna mówi nam coś o wartości zwrotu z lokaty, ale jeszcze nie wszystko. Najlepszą miarą opłacalności lokaty (i większości innych inwestycji) jest tzw. procentowa stopa zwrotu (r z, czasem r ef, czasem po prostu r) z lokaty, czyli opłata za odroczenie płatności o jednostkowej wartości na ustalony okres, wyrażona ułamkiem lub w procentach przez czas. Można ją obliczyć jako stosunek całości odsetek uzyskanych w danym okresie do wartości początkowej tej kwoty. Zatem jeśli kapitał początkowy na jakiejś lokacie wynosił K 0, kapitał końcowy wynosił K k, a czas trwania tej lokaty to T (i wykluczamy dopłaty bądź wypłaty z lokaty w trakcie jej trwania), to: r z = Z K 0 = K k K 0 K 0 ; i okres tej stopy wynosi T. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 10 / 44

31 Procentowa stopa zwrotu Procentowa stopa nominalna mówi nam coś o wartości zwrotu z lokaty, ale jeszcze nie wszystko. Najlepszą miarą opłacalności lokaty (i większości innych inwestycji) jest tzw. procentowa stopa zwrotu (r z, czasem r ef, czasem po prostu r) z lokaty, czyli opłata za odroczenie płatności o jednostkowej wartości na ustalony okres, wyrażona ułamkiem lub w procentach przez czas. Można ją obliczyć jako stosunek całości odsetek uzyskanych w danym okresie do wartości początkowej tej kwoty. Zatem jeśli kapitał początkowy na jakiejś lokacie wynosił K 0, kapitał końcowy wynosił K k, a czas trwania tej lokaty to T (i wykluczamy dopłaty bądź wypłaty z lokaty w trakcie jej trwania), to: r z = Z = K k K 0 ; K 0 K 0 i okres tej stopy wynosi T. Powstaje pytanie, jaki jest związek stopy nominalnej ze stopą zwrotu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 10 / 44

32 Kapitalizacja W definicji stopy nominalnej pojawia się założenie na temat dopisywania odsetek w pewien określony sposób. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 11 / 44

33 Kapitalizacja W definicji stopy nominalnej pojawia się założenie na temat dopisywania odsetek w pewien określony sposób. A ten sposób dopisywania odsetek, zwany modelem kapitalizacji, może znacząco wpłynąć na opłacalność. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 11 / 44

34 Kapitalizacja W definicji stopy nominalnej pojawia się założenie na temat dopisywania odsetek w pewien określony sposób. A ten sposób dopisywania odsetek, zwany modelem kapitalizacji, może znacząco wpłynąć na opłacalność. Teraz omówimy samo pojęcie kapitalizacji, różne możliwe jej modele i przyjmowane przez nas konwencje jej dotyczące. Kapitalizacja Kapitalizacją nazywamy faktyczne dodawanie odsetek do kapitału. Dla danej lokaty (czy innej inwestycji), czas po którym odsetki się dopisuje do kapitału nazywamy okresem kapitalizacji (OK). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 11 / 44

35 Kapitalizacja W definicji stopy nominalnej pojawia się założenie na temat dopisywania odsetek w pewien określony sposób. A ten sposób dopisywania odsetek, zwany modelem kapitalizacji, może znacząco wpłynąć na opłacalność. Teraz omówimy samo pojęcie kapitalizacji, różne możliwe jej modele i przyjmowane przez nas konwencje jej dotyczące. Kapitalizacja Kapitalizacją nazywamy faktyczne dodawanie odsetek do kapitału. Dla danej lokaty (czy innej inwestycji), czas po którym odsetki się dopisuje do kapitału nazywamy okresem kapitalizacji (OK). Warto zwrócić uwagę, że okres stopy jest konstruktem abstrakcyjnym, który możemy dostosować do warunków zadania (za pomocą stopy względnej), ale okres kapitalizacji jest faktem, którego nie możemy zmieniać, jeśli treść zadania na to nie pozwala. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 11 / 44

36 Kapitalizacja w praktyce Jeśli np. OK=miesiąc mówimy w skrócie, że kapitalizacja jest miesięczna (odpowiednio: dwumiesięczna, kwartalna itp.). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 12 / 44

37 Kapitalizacja w praktyce Jeśli np. OK=miesiąc mówimy w skrócie, że kapitalizacja jest miesięczna (odpowiednio: dwumiesięczna, kwartalna itp.). W ofertach bankowych nawet w uproszczeniu mówi się o lokacie miesięcznej, czy kwartalnej, co odnosi się właśnie do okresu kapitalizacji, jako, że okresem stopy nominalnej w ofertach banków jest domyślnie rok. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 12 / 44

38 Kapitalizacja z góry i z dołu Wiemy już, że odsetki są naliczane raz na okres kapitalizacji. Ale w którym konkretnie jego momencie? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 13 / 44

39 Kapitalizacja z góry i z dołu Wiemy już, że odsetki są naliczane raz na okres kapitalizacji. Ale w którym konkretnie jego momencie? Jeśli odsetki są naliczane na końcu okresu kapitalizacji, mówimy o oprocentowaniu lub kapitalizacji z dołu. Jeśli odsetki są naliczane na początku tego okresu, to mówimy o oprocentowaniu lub kapitalizacji z góry. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 13 / 44

40 Kapitalizacja z góry i z dołu Wiemy już, że odsetki są naliczane raz na okres kapitalizacji. Ale w którym konkretnie jego momencie? Jeśli odsetki są naliczane na końcu okresu kapitalizacji, mówimy o oprocentowaniu lub kapitalizacji z dołu. Jeśli odsetki są naliczane na początku tego okresu, to mówimy o oprocentowaniu lub kapitalizacji z góry. Dziś na lokatach bankowych (jak i w innych inwestycjach) znacznie rzadziej używa się kapitalizacji z góry, która dodatkowo jest dziwaczna w założeniach i dość niepraktyczna w obliczeniach więc w ramach tego kursu od tej pory będziemy domyślnie zakładać, że mamy do czynienia z kapitalizacją z dołu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 13 / 44

41 Kapitalizacja z góry i z dołu Wiemy już, że odsetki są naliczane raz na okres kapitalizacji. Ale w którym konkretnie jego momencie? Jeśli odsetki są naliczane na końcu okresu kapitalizacji, mówimy o oprocentowaniu lub kapitalizacji z dołu. Jeśli odsetki są naliczane na początku tego okresu, to mówimy o oprocentowaniu lub kapitalizacji z góry. Dziś na lokatach bankowych (jak i w innych inwestycjach) znacznie rzadziej używa się kapitalizacji z góry, która dodatkowo jest dziwaczna w założeniach i dość niepraktyczna w obliczeniach więc w ramach tego kursu od tej pory będziemy domyślnie zakładać, że mamy do czynienia z kapitalizacją z dołu. Kapitalizację z góry w ramach ciekawostki omówimy na koniec tego wykładu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 13 / 44

42 Kapitalizacja zgodna i niezgodna Kapitalizacja zgodna Jeśli dla danej nominalnej stopy procentowej r OK = OS to mówimy, że kapitalizacja jest zgodna. Jeśli OK OS to kapitalizacja jest niezgodna. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 14 / 44

43 Kapitalizacja zgodna i niezgodna Kapitalizacja zgodna Jeśli dla danej nominalnej stopy procentowej r OK = OS to mówimy, że kapitalizacja jest zgodna. Jeśli OK OS to kapitalizacja jest niezgodna. Zmieniając okres stopy za pomocą stopy względnej możemy każde zagadnienie sprawadzić do kapitalizacji zgodnej. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 14 / 44

44 Kapitalizacja zgodna i niezgodna Kapitalizacja zgodna Jeśli dla danej nominalnej stopy procentowej r OK = OS to mówimy, że kapitalizacja jest zgodna. Jeśli OK OS to kapitalizacja jest niezgodna. Zmieniając okres stopy za pomocą stopy względnej możemy każde zagadnienie sprawadzić do kapitalizacji zgodnej. Ważne założenie Wszystkie wzory jakie odtąd podaję są prawdziwe tylko dla kapitalizacji zgodnej. Dlatego, by ich użyć, zawsze rozpoczynamy jakiekolwiek obliczenia od wyznaczenia stopy względnej dla uzgodnionego z okresem kapitalizacji okresu stopy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 14 / 44

45 Pojedynczy okres kapitalizacji z dołu Załóżmy, że mamy daną lokatę, której czas trwania jest równy pojedynczemu okresowi kapitalizacji. Nominalna stopa względna, której okres jest równy okresowi kapitalizacji, wynosi r. Kapitał początkowy to K 0, kapitał końcowy to K 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 15 / 44

46 Pojedynczy okres kapitalizacji z dołu Załóżmy, że mamy daną lokatę, której czas trwania jest równy pojedynczemu okresowi kapitalizacji. Nominalna stopa względna, której okres jest równy okresowi kapitalizacji, wynosi r. Kapitał początkowy to K 0, kapitał końcowy to K 1. Skoro okres stopy jest równy okresowi kapitalizacji i mamy do czynienia z tylko jednym okresem kapitalizacji, nominalna stopa względna jest równa stopie zwrotu o tym samym okresie. Zatem możemy znaleźć wzór na kapitał końcowy na lokacie: Kapitał końcowy po jednej kapitalizacji r = K 1 K 0 K 0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 15 / 44

47 Pojedynczy okres kapitalizacji z dołu Załóżmy, że mamy daną lokatę, której czas trwania jest równy pojedynczemu okresowi kapitalizacji. Nominalna stopa względna, której okres jest równy okresowi kapitalizacji, wynosi r. Kapitał początkowy to K 0, kapitał końcowy to K 1. Skoro okres stopy jest równy okresowi kapitalizacji i mamy do czynienia z tylko jednym okresem kapitalizacji, nominalna stopa względna jest równa stopie zwrotu o tym samym okresie. Zatem możemy znaleźć wzór na kapitał końcowy na lokacie: Kapitał końcowy po jednej kapitalizacji r = K 1 K 0 K 0 rk 0 = K 1 K 0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 15 / 44

48 Pojedynczy okres kapitalizacji z dołu Załóżmy, że mamy daną lokatę, której czas trwania jest równy pojedynczemu okresowi kapitalizacji. Nominalna stopa względna, której okres jest równy okresowi kapitalizacji, wynosi r. Kapitał początkowy to K 0, kapitał końcowy to K 1. Skoro okres stopy jest równy okresowi kapitalizacji i mamy do czynienia z tylko jednym okresem kapitalizacji, nominalna stopa względna jest równa stopie zwrotu o tym samym okresie. Zatem możemy znaleźć wzór na kapitał końcowy na lokacie: Kapitał końcowy po jednej kapitalizacji r = K 1 K 0 K 0 rk 0 = K 1 K 0 K 1 = K 0 (1 + r). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 15 / 44

49 Kapitalizacja prosta i złożona Jeśli podczas danego czasu obowiązywania lokaty, kapitalizacja następuje wielokrotnie, możemy mówić o dwóch modelach naliczania odsetek: prostym i złożonym, czyli kapitalizacji prostej i złożonej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 16 / 44

50 Kapitalizacja prosta i złożona Jeśli podczas danego czasu obowiązywania lokaty, kapitalizacja następuje wielokrotnie, możemy mówić o dwóch modelach naliczania odsetek: prostym i złożonym, czyli kapitalizacji prostej i złożonej. Te modele różnią się w jednej podstawowej kwestii: w wypadku kapitalizacji prostej odsetki, które uzyskaliśmy w ramach jednej kapitalizacji nie są już później kapitalizowane. Z kolei w wypadku kapitalizacji złożonej raz uzsykane odsetki podlegają kolejnym kapitalizacjom. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 16 / 44

51 Kapitalizacja prosta i złożona Jeśli podczas danego czasu obowiązywania lokaty, kapitalizacja następuje wielokrotnie, możemy mówić o dwóch modelach naliczania odsetek: prostym i złożonym, czyli kapitalizacji prostej i złożonej. Te modele różnią się w jednej podstawowej kwestii: w wypadku kapitalizacji prostej odsetki, które uzyskaliśmy w ramach jednej kapitalizacji nie są już później kapitalizowane. Z kolei w wypadku kapitalizacji złożonej raz uzsykane odsetki podlegają kolejnym kapitalizacjom. Jeśli nie będzie wyraźnie napisane inaczej, w ramach tego kursu domyślnie zakładamy model kapitalizacji złożonej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 16 / 44

52 Kapitalizacja prosta i złożona Formalnie definiujemy: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 17 / 44

53 Kapitalizacja prosta i złożona Formalnie definiujemy: Kapitalizacja prosta Oprocentowanie proste kapitału jest to powiększenie wartości kapitału na zakończenie kolejnego okresu kapitalizacji o odsetki naliczone od kapitału początkowego. Odsetki uzyskane pomiędzy rozpoczęciem lokaty, a danym okresem kapitalizacji nie podlegają oprocentowaniu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 17 / 44

54 Kapitalizacja prosta i złożona Formalnie definiujemy: Kapitalizacja prosta Oprocentowanie proste kapitału jest to powiększenie wartości kapitału na zakończenie kolejnego okresu kapitalizacji o odsetki naliczone od kapitału początkowego. Odsetki uzyskane pomiędzy rozpoczęciem lokaty, a danym okresem kapitalizacji nie podlegają oprocentowaniu. Kapitalizacja złożona Oprocentowanie złożone (lub składane) to określenie wartości przyszłej kapitału jako wartości początkowej powiększonej o skapitalizowane odsetki. W momencie kapitalizacji, oprocentowaniu podlegają zarówno kapitał, jak i dotychczas uzyskane odsetki. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 17 / 44

55 Kapitalizacja prosta - wzór Jeśli założymy, że K 0 jest kapitałem początkowym i mamy do czynienia z kapitalizacją zgodną, prostą, przy stopie procentowej r, to po każdej kapitalizacji dopisujemy do K 0 odsetki w wysokości Z = K 0 r. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 18 / 44

56 Kapitalizacja prosta - wzór Jeśli założymy, że K 0 jest kapitałem początkowym i mamy do czynienia z kapitalizacją zgodną, prostą, przy stopie procentowej r, to po każdej kapitalizacji dopisujemy do K 0 odsetki w wysokości Z = K 0 r. Zatem po N kapitalizacjach otrzymamy kwotę: Kapitał końcowy po kapitalizacji prostej K N = K 0 + K 0 r + K 0 r K 0 r Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 18 / 44

57 Kapitalizacja prosta - wzór Jeśli założymy, że K 0 jest kapitałem początkowym i mamy do czynienia z kapitalizacją zgodną, prostą, przy stopie procentowej r, to po każdej kapitalizacji dopisujemy do K 0 odsetki w wysokości Z = K 0 r. Zatem po N kapitalizacjach otrzymamy kwotę: Kapitał końcowy po kapitalizacji prostej K N = K 0 + K 0 r + K 0 r K 0 r = K 0 (1 + Nr). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 18 / 44

58 Kapitalizacja złożona - wzór Jeśli założymy, że K 0 jest kapitałem początkowym i mamy do czynienia z kapitalizacją zgodną, złożoną, przy stopie procentowej r, to po każdej kapitalizacji, po której mamy na lokacie kapitał K dopisujemy do niego odsetki w wysokości Z = Kr, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 19 / 44

59 Kapitalizacja złożona - wzór Jeśli założymy, że K 0 jest kapitałem początkowym i mamy do czynienia z kapitalizacją zgodną, złożoną, przy stopie procentowej r, to po każdej kapitalizacji, po której mamy na lokacie kapitał K dopisujemy do niego odsetki w wysokości Z = Kr, a więc kapitał, który mamy na lokacie jedną kapitalizację później wynosi K + Kr = K(1 + r). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 19 / 44

60 Kapitalizacja złożona - wzór Jeśli założymy, że K 0 jest kapitałem początkowym i mamy do czynienia z kapitalizacją zgodną, złożoną, przy stopie procentowej r, to po każdej kapitalizacji, po której mamy na lokacie kapitał K dopisujemy do niego odsetki w wysokości Z = Kr, a więc kapitał, który mamy na lokacie jedną kapitalizację później wynosi K + Kr = K(1 + r). Można powiedzieć, że każda kapitalizacja polega w tym modelu na przemnożeniu kapitału posiadanego przez (1 + r) (który to czynnik jest nazywany współczynnikiem akumulacji). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 19 / 44

61 Kapitalizacja złożona - wzór Jeśli założymy, że K 0 jest kapitałem początkowym i mamy do czynienia z kapitalizacją zgodną, złożoną, przy stopie procentowej r, to po każdej kapitalizacji, po której mamy na lokacie kapitał K dopisujemy do niego odsetki w wysokości Z = Kr, a więc kapitał, który mamy na lokacie jedną kapitalizację później wynosi K + Kr = K(1 + r). Można powiedzieć, że każda kapitalizacja polega w tym modelu na przemnożeniu kapitału posiadanego przez (1 + r) (który to czynnik jest nazywany współczynnikiem akumulacji). Zatem po N kapitalizacjach otrzymamy kwotę: Kapitał końcowy po kapitalizacji złożonej K N = K 0 (1 + r) (1 + r)... (1 + r) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 19 / 44

62 Kapitalizacja złożona - wzór Jeśli założymy, że K 0 jest kapitałem początkowym i mamy do czynienia z kapitalizacją zgodną, złożoną, przy stopie procentowej r, to po każdej kapitalizacji, po której mamy na lokacie kapitał K dopisujemy do niego odsetki w wysokości Z = Kr, a więc kapitał, który mamy na lokacie jedną kapitalizację później wynosi K + Kr = K(1 + r). Można powiedzieć, że każda kapitalizacja polega w tym modelu na przemnożeniu kapitału posiadanego przez (1 + r) (który to czynnik jest nazywany współczynnikiem akumulacji). Zatem po N kapitalizacjach otrzymamy kwotę: Kapitał końcowy po kapitalizacji złożonej K N = K 0 (1 + r) (1 + r)... (1 + r) = K 0 (1 + r) N. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 19 / 44

63 Kapitalizacja złożona - wzór Jeśli założymy, że K 0 jest kapitałem początkowym i mamy do czynienia z kapitalizacją zgodną, złożoną, przy stopie procentowej r, to po każdej kapitalizacji, po której mamy na lokacie kapitał K dopisujemy do niego odsetki w wysokości Z = Kr, a więc kapitał, który mamy na lokacie jedną kapitalizację później wynosi K + Kr = K(1 + r). Można powiedzieć, że każda kapitalizacja polega w tym modelu na przemnożeniu kapitału posiadanego przez (1 + r) (który to czynnik jest nazywany współczynnikiem akumulacji). Zatem po N kapitalizacjach otrzymamy kwotę: Kapitał końcowy po kapitalizacji złożonej K N = K 0 (1 + r) (1 + r)... (1 + r) = K 0 (1 + r) N. Wzór powyższy jest centralnym wzorem dla lokat (i ogólnie akumulacji kapitału) - na nim opiera się większość tego kursu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 19 / 44

64 Kapitalizacja złożona i prosta - porównanie Łatwo udowodnić, że przy tej samej dodatniej nominalnej stopie procentowej (zgodnej z okresem kapitalizacji), jeśli tylko lokata trwa więcej niż jeden okres kapitalizacji (N > 1), kapitalizacja złożona jest dla klienta bardziej opłacalna niż prosta (innymi słowy, akumulacja kapitału jest szybsza przy założeniu kapitalizacji złożonej, a nie prostej). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 20 / 44

65 Kapitalizacja złożona i prosta - porównanie Łatwo udowodnić, że przy tej samej dodatniej nominalnej stopie procentowej (zgodnej z okresem kapitalizacji), jeśli tylko lokata trwa więcej niż jeden okres kapitalizacji (N > 1), kapitalizacja złożona jest dla klienta bardziej opłacalna niż prosta (innymi słowy, akumulacja kapitału jest szybsza przy założeniu kapitalizacji złożonej, a nie prostej). Wynika to z następującej nierówności: (1 + r) N = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 20 / 44

66 Kapitalizacja złożona i prosta - porównanie Łatwo udowodnić, że przy tej samej dodatniej nominalnej stopie procentowej (zgodnej z okresem kapitalizacji), jeśli tylko lokata trwa więcej niż jeden okres kapitalizacji (N > 1), kapitalizacja złożona jest dla klienta bardziej opłacalna niż prosta (innymi słowy, akumulacja kapitału jest szybsza przy założeniu kapitalizacji złożonej, a nie prostej). Wynika to z następującej nierówności: (1 + r) N = 1 + ( ) N r + 1 ( ) ( ) N N r r n 1 + r N 2 N 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 20 / 44

67 Kapitalizacja złożona i prosta - porównanie Łatwo udowodnić, że przy tej samej dodatniej nominalnej stopie procentowej (zgodnej z okresem kapitalizacji), jeśli tylko lokata trwa więcej niż jeden okres kapitalizacji (N > 1), kapitalizacja złożona jest dla klienta bardziej opłacalna niż prosta (innymi słowy, akumulacja kapitału jest szybsza przy założeniu kapitalizacji złożonej, a nie prostej). Wynika to z następującej nierówności: (1 + r) N = 1 + ( ) N r + 1 ( ) ( ) N N r r n 1 + r N > 2 N 1 > 1 + Nr. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 20 / 44

68 Kapitalizacja złożona i prosta - porównanie Łatwo udowodnić, że przy tej samej dodatniej nominalnej stopie procentowej (zgodnej z okresem kapitalizacji), jeśli tylko lokata trwa więcej niż jeden okres kapitalizacji (N > 1), kapitalizacja złożona jest dla klienta bardziej opłacalna niż prosta (innymi słowy, akumulacja kapitału jest szybsza przy założeniu kapitalizacji złożonej, a nie prostej). Wynika to z następującej nierówności: (1 + r) N = 1 + ( ) N r + 1 ( ) ( ) N N r r n 1 + r N > 2 N 1 > 1 + Nr. Skąd wynika, że K 0 (1 + Nr) < K 0 (1 + r) N. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 20 / 44

69 Kapitalizacja złożona i prosta - porównanie Zilustrować to może poniższy wykres: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 21 / 44

70 Kapitalizacja złożona i prosta - zastosowania Kapitalizacja złożona jest bardziej naturalną formą w większości inwestycji, które nie są zależne od skali tzn. można w nie zainwestować dowolną kwotę - takich właśnie jak lokaty. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 22 / 44

71 Kapitalizacja złożona i prosta - zastosowania Kapitalizacja złożona jest bardziej naturalną formą w większości inwestycji, które nie są zależne od skali tzn. można w nie zainwestować dowolną kwotę - takich właśnie jak lokaty. Wynika to z faktu, że nie tylko wyjściowy kapitał, ale i zysk po danym okresie kapitalizacji można zainwestować w tę samą inwestycję. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 22 / 44

72 Kapitalizacja złożona i prosta - zastosowania Kapitalizacja złożona jest bardziej naturalną formą w większości inwestycji, które nie są zależne od skali tzn. można w nie zainwestować dowolną kwotę - takich właśnie jak lokaty. Wynika to z faktu, że nie tylko wyjściowy kapitał, ale i zysk po danym okresie kapitalizacji można zainwestować w tę samą inwestycję. Kapitalizacja prosta jest często używana w wypadku inwestycji, które się nie skalują tj. można w nie inwestować tylko określonej wielkości kwoty. Tak więc, o ile kapitał wyjściowy można z powrotem zainwestować w taki sam instrument finansowy, to niekoniecznie będzie to prawdą w przypadku odsetek od wcześniejszej inwestycji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 22 / 44

73 Kapitalizacja złożona i prosta - zastosowania Kapitalizacja złożona jest bardziej naturalną formą w większości inwestycji, które nie są zależne od skali tzn. można w nie zainwestować dowolną kwotę - takich właśnie jak lokaty. Wynika to z faktu, że nie tylko wyjściowy kapitał, ale i zysk po danym okresie kapitalizacji można zainwestować w tę samą inwestycję. Kapitalizacja prosta jest często używana w wypadku inwestycji, które się nie skalują tj. można w nie inwestować tylko określonej wielkości kwoty. Tak więc, o ile kapitał wyjściowy można z powrotem zainwestować w taki sam instrument finansowy, to niekoniecznie będzie to prawdą w przypadku odsetek od wcześniejszej inwestycji. Najlepszym przykładem są inwestycje w różne papiery dłużne (które będziemy omawiać) o ustalonej z góry wartości - takie jak obligacje, weksle, czy bony skarbowe. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 22 / 44

74 Kapitalizacja złożona i prosta - lokaty W kontekście lokat, kapitalizacja prosta jest najczęściej używana w wypadku przedterminowanego zerwania lokaty. Zobaczymy to za chwilę na przykładzie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 23 / 44

75 Kapitalizacja złożona i prosta - lokaty W kontekście lokat, kapitalizacja prosta jest najczęściej używana w wypadku przedterminowanego zerwania lokaty. Zobaczymy to za chwilę na przykładzie. W wielu bankach klient może też wybrać sposób przedłużania lokaty po zakończeniu. Wśród opcji są przedłuż z odsetkami - co odpowiada modelowi kapitalizacji złożonej i przedłuż bez odsetek - co powoduje, że kapitał wzrasta wedle reguł kapitalizacji prostej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 23 / 44

76 Kapitalizacja złożona i prosta - lokaty W kontekście lokat, kapitalizacja prosta jest najczęściej używana w wypadku przedterminowanego zerwania lokaty. Zobaczymy to za chwilę na przykładzie. W wielu bankach klient może też wybrać sposób przedłużania lokaty po zakończeniu. Wśród opcji są przedłuż z odsetkami - co odpowiada modelowi kapitalizacji złożonej i przedłuż bez odsetek - co powoduje, że kapitał wzrasta wedle reguł kapitalizacji prostej. Raz jeszcze tu powtórzę, że domyślną kapitalizacją w wypadku lokat w ramach tego kursu jest kapitalizacja złożona. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 23 / 44

77 Przykład 1 Zadanie Klient otworzył lokatę z kapitalizacją kwartalną i nominalną roczną stopą procentową 16% rocznie, wpłacając 1000 jednostek pieniężnych (jp). Po 1,5 roku warunki lokaty zmieniły się: nominalna roczna stopa procentowa spadła do 14%, a kapitalizacja zmieniła się na półroczną. Klient zerwał lokatę po 4 latach i 2 miesiącach od jej założenia, wypłacając cały kapitał. Ile pieniędzy klient wypłacił z lokaty, jeśli w wypadku zerwania lokaty odsetki od czasu ostatniej kapitalizacji obliczano według modelu oprocentowania prostego, z kapitalizacją dzienną i dzienną stopą procentową 0,02%. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 24 / 44

78 Przykład 1 Zadanie Klient otworzył lokatę z kapitalizacją kwartalną i nominalną roczną stopą procentową 16% rocznie, wpłacając 1000 jednostek pieniężnych (jp). Po 1,5 roku warunki lokaty zmieniły się: nominalna roczna stopa procentowa spadła do 14%, a kapitalizacja zmieniła się na półroczną. Klient zerwał lokatę po 4 latach i 2 miesiącach od jej założenia, wypłacając cały kapitał. Ile pieniędzy klient wypłacił z lokaty, jeśli w wypadku zerwania lokaty odsetki od czasu ostatniej kapitalizacji obliczano według modelu oprocentowania prostego, z kapitalizacją dzienną i dzienną stopą procentową 0,02%. Zanim zaczniemy rozwiązywać to zadanie, zapoznamy się z kilkoma konwencjami przyjętymi przy rozwiązywaniu zadań na tym kursie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 24 / 44

79 Konwencje rozwiązywania zadań Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 25 / 44

80 Konwencje rozwiązywania zadań Staramy się jakoś opisać wszystkie zmienne, których będziemy używać w zadaniu, zwłaszcza jeśli oznaczamy je niestandardowo - polecam notowanie danych zadania na osi czasu (jak zobaczymy w przykładach). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 25 / 44

81 Konwencje rozwiązywania zadań Staramy się jakoś opisać wszystkie zmienne, których będziemy używać w zadaniu, zwłaszcza jeśli oznaczamy je niestandardowo - polecam notowanie danych zadania na osi czasu (jak zobaczymy w przykładach). Wszelkie obliczenia prowadzimy z zaokrągleniem do czterech liczb po przecinku (dwóch liczb, jeśli wyniki podajemy w procentach). Ze względu na to, że rezultaty zaokrągleń się kumulują gdy dokonujemy dużej ilości obliczeń, nie powinno Państwa niepokoić, jeśli wyniki tych samych zadań rozwiązywanych przez różne osoby (zwłaszcza z różnymi kalkulatorami) nieco się różnią. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 25 / 44

82 Konwencje rozwiązywania zadań Staramy się jakoś opisać wszystkie zmienne, których będziemy używać w zadaniu, zwłaszcza jeśli oznaczamy je niestandardowo - polecam notowanie danych zadania na osi czasu (jak zobaczymy w przykładach). Wszelkie obliczenia prowadzimy z zaokrągleniem do czterech liczb po przecinku (dwóch liczb, jeśli wyniki podajemy w procentach). Ze względu na to, że rezultaty zaokrągleń się kumulują gdy dokonujemy dużej ilości obliczeń, nie powinno Państwa niepokoić, jeśli wyniki tych samych zadań rozwiązywanych przez różne osoby (zwłaszcza z różnymi kalkulatorami) nieco się różnią. Piszemy zawsze odpowiedź słowną (o ile wyraźnie nie jest napisane, że nie jest to konieczne). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 25 / 44

83 Zapisywanie danych Pożytecznym jest zapisanie sobie w dogodnej postaci istotnych danych z zadania. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 26 / 44

84 Zapisywanie danych Pożytecznym jest zapisanie sobie w dogodnej postaci istotnych danych z zadania. Osobiście polecam notowanie ich na osi czasu, jako najczytelniejszą metodę zapisu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 26 / 44

85 Zapisywanie danych Pożytecznym jest zapisanie sobie w dogodnej postaci istotnych danych z zadania. Osobiście polecam notowanie ich na osi czasu, jako najczytelniejszą metodę zapisu. Przykładową taką notację widzimy powyżej: są na niej zaznaczone wszystkie dane o oprocentowaniu lokaty w różnych czasach jej trwania. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 26 / 44

86 Zapisywanie danych Pożytecznym jest zapisanie sobie w dogodnej postaci istotnych danych z zadania. Osobiście polecam notowanie ich na osi czasu, jako najczytelniejszą metodę zapisu. Przykładową taką notację widzimy powyżej: są na niej zaznaczone wszystkie dane o oprocentowaniu lokaty w różnych czasach jej trwania. Dodatkowo zapisujemy oznaczenia, które możemy sobie wybrać kompletnie dowolnie, a które będą oznaczały niewiadomą zadania (tu K 3 ) oraz zmienne pomocnicze, wyznaczane w trakcie rozwiązywania (K 1, K 2 ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 26 / 44

87 Zapisywanie danych Oczywiście, dane i zmienne używane w zadaniu można zapisać w dowolny sposób, ale tak, by były czytelne dla sprawdzającego. Np. jednostką czasu, jaką wybrałem na osi jest rok, ale nic nie stoi na przeszkodzie, by był to miesiąc albo kwartał. Zmienne też możemy nazywać właściwie jak nam się podoba (póki jest to czytelne). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 27 / 44

88 Zapisywanie danych Oczywiście, dane i zmienne używane w zadaniu można zapisać w dowolny sposób, ale tak, by były czytelne dla sprawdzającego. Np. jednostką czasu, jaką wybrałem na osi jest rok, ale nic nie stoi na przeszkodzie, by był to miesiąc albo kwartał. Zmienne też możemy nazywać właściwie jak nam się podoba (póki jest to czytelne). Praktycznie każde zadanie z matematyki finansowej można rozwiązać na wiele równie dobrych sposobów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 27 / 44

89 Zapisywanie danych Oczywiście, dane i zmienne używane w zadaniu można zapisać w dowolny sposób, ale tak, by były czytelne dla sprawdzającego. Np. jednostką czasu, jaką wybrałem na osi jest rok, ale nic nie stoi na przeszkodzie, by był to miesiąc albo kwartał. Zmienne też możemy nazywać właściwie jak nam się podoba (póki jest to czytelne). Praktycznie każde zadanie z matematyki finansowej można rozwiązać na wiele równie dobrych sposobów. Przedstawię przykładowy tok rozumowania. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 27 / 44

90 Przykład 1 Zaczynamy od pierwszej fazy lokaty, która trwała 1,5 roku. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 28 / 44

91 Przykład 1 Zaczynamy od pierwszej fazy lokaty, która trwała 1,5 roku. Po pierwsze, skoro wtedy OS OK, musimy obliczyć stopę względną o okresie kwartalnym: r 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 28 / 44

92 Przykład 1 Zaczynamy od pierwszej fazy lokaty, która trwała 1,5 roku. Po pierwsze, skoro wtedy OS OK, musimy obliczyć stopę względną o okresie kwartalnym: r 1 = 0, 16 4 = 0, 04. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 28 / 44