5. Strumienie płatności: renty

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "5. Strumienie płatności: renty"

Transkrypt

1 5. Strumienie płatności: renty Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 1 / 47

2 1 Motywacja, oznaczenia, założenia 2 Renta czasowa - wzory 3 Renta wieczysta 4 Renta geometryczna 5 Zakończenie renty czasowej 6 Stopa zwrotu rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 2 / 47

3 Definicja Rentą często nazywa się dowolny strumień płatności. Jednak dla nas rentą będzie strumień płatności polegający na wypłacaniu pewnych sum (rat) z wcześniej uzbieranych środków lub na podstawie umowy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 3 / 47

4 Definicja Rentą często nazywa się dowolny strumień płatności. Jednak dla nas rentą będzie strumień płatności polegający na wypłacaniu pewnych sum (rat) z wcześniej uzbieranych środków lub na podstawie umowy. Prostymi przykładami rent są comiesięczne wypłaty wynagrodzenia, czy emerytury, typowa renta z posiadanego kapitału, dywidendy z posiadania akcji, kupony z tytułu posiadania obligacji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 3 / 47

5 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47

6 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47

7 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47

8 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Przez R i oznaczamy wysokość i-tej raty renty. Jeśli wszystkie raty są równe, oznaczamy ich wysokość przez R. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47

9 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Przez R i oznaczamy wysokość i-tej raty renty. Jeśli wszystkie raty są równe, oznaczamy ich wysokość przez R. Przez S i oznaczamy wartość renty po zakończeniu i-tego okresu płatności, zaktualizowaną na moment i. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47

10 Podstawowe oznaczenia rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 5 / 47

11 Podstawowe oznaczenia Doprecyzujmy ostatni punkt: S i to wartość kapitału zawartego we wszystkich płatnościach do końca i-tego okresu płatności, zaktualizowana na koniec i-tego okresu płatności. Jest równa ona sumie zaktualizowanych na ten moment wartości wszystkich rat renty wpłaconych do tego momentu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 5 / 47

12 Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu Jak przy wpłatach, musimy ustalić dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania wypłat rent. Mogą być one dokonywane: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 6 / 47

13 Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu Jak przy wpłatach, musimy ustalić dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania wypłat rent. Mogą być one dokonywane: z dołu, czyli na końcu każdego okresu płatności, czyli w momentach 1, 2,..., N 1, N. Taką sytuację oznaczają podkreślenia danych zmiennych i oznaczeń np. S k. Jest to domyślny sposób dokonywania płatności w strumieniu finansowym tj. jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że płatności są z dołu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 6 / 47

14 Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu Jak przy wpłatach, musimy ustalić dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania wypłat rent. Mogą być one dokonywane: z dołu, czyli na końcu każdego okresu płatności, czyli w momentach 1, 2,..., N 1, N. Taką sytuację oznaczają podkreślenia danych zmiennych i oznaczeń np. S k. Jest to domyślny sposób dokonywania płatności w strumieniu finansowym tj. jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że płatności są z dołu. z góry, czyli na początku każdego okresu płatności, czyli w momentach 0, 1, 2,..., N 1. Taką sytuację oznaczają kreski nad danymi zmiennymi i oznaczeniami np. S k. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 6 / 47

15 Podstawowe założenia - model kapitalizacji Przy okazji wpłat analizowaliśmy różne modele kapitalizacji wkładów: złożony, prosty i polski. Dokładnie tak samo można analizować te modele w sytuacji rent. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 7 / 47

16 Podstawowe założenia - model kapitalizacji Przy okazji wpłat analizowaliśmy różne modele kapitalizacji wkładów: złożony, prosty i polski. Dokładnie tak samo można analizować te modele w sytuacji rent. Jednakże, z powodów wyjaśnionych wcześniej, model złożony jest najbardziej sensownym modelem wyceny w przygniatającej większości sytuacji, więc od tej pory tylko ten model będziemy analizować - zarówno w tej części wykładu, jak i w kolejnych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 7 / 47

17 Założenia dla rent Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 8 / 47

18 Założenia dla rent Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 8 / 47

19 Założenia dla rent Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r ef, taką, że OS ef = OK ef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 8 / 47

20 Założenia dla rent Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r ef, taką, że OS ef = OK ef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. We wzorach będziemy częściej używać czynnika akumulacji q = 1 + r ef. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 8 / 47

21 Raty różnej wysokości Zauważmy, że wszystkie założenia są dokładnie takie jak w modelu wkładów okresowych: jedyną różnicą jest notacja R i zamiast W i oraz kierunek przepływu kapitału. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 9 / 47

22 Raty różnej wysokości Zauważmy, że wszystkie założenia są dokładnie takie jak w modelu wkładów okresowych: jedyną różnicą jest notacja R i zamiast W i oraz kierunek przepływu kapitału. Zatem otrzymane wzory muszą być takie same, jak wzory otrzymane w wypadku wkładów. W szczególności, jeśli założymy, że wysokości rat są dowolne (R 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to: S k = R 1 q k 1 + R 2 q k R k 1 q + R k. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 9 / 47

23 Raty różnej wysokości Zauważmy, że wszystkie założenia są dokładnie takie jak w modelu wkładów okresowych: jedyną różnicą jest notacja R i zamiast W i oraz kierunek przepływu kapitału. Zatem otrzymane wzory muszą być takie same, jak wzory otrzymane w wypadku wkładów. W szczególności, jeśli założymy, że wysokości rat są dowolne (R 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to: S k = R 1 q k 1 + R 2 q k R k 1 q + R k. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 9 / 47

24 Renta - wzory Przy najczęstszym założeniu, że wszystkie raty są równe (R 1 = R 2 =... = R N = R), mamy: Renta, raty z dołu S k = R qk 1 q 1. Renta, raty z góry S k = Rq qk 1 q 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 10 / 47

25 Wartość aktualna renty Tak jak dla długów, możemy obliczać wartość aktualną renty, zgodnie ze wzorem: Wartość aktualna renty PV = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 11 / 47

26 Wartość aktualna renty Tak jak dla długów, możemy obliczać wartość aktualną renty, zgodnie ze wzorem: Wartość aktualna renty PV = S N q N. S N oczywiście oznacza S N lub S N, w zależności od kontekstu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 11 / 47

27 Wartość aktualna renty Tak jak dla długów, możemy obliczać wartość aktualną renty, zgodnie ze wzorem: Wartość aktualna renty PV = S N q N. S N oczywiście oznacza S N lub S N, w zależności od kontekstu. Będzie to kluczowy wzór w wielu zagadnieniach związanych z rentą. PV może być ceną, jaką inwestor jest gotów zapłacić za pozyskanie danej renty, jeśli szuka stopy zwrotu r ef na okres płatności lub też kapitałem początkowym, z którego jest wypłacana renta i który ma wystarczyć na cały czas jej trwania, jeśli jest inwestowany według warunków oprocentowania. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 11 / 47

28 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

29 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 4 = 0, 05 na kwartał. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

30 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

31 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. Zatem q = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

32 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + r) 1 3 = 1, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

33 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + r) 1 3 = 1, Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

34 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + r) 1 3 = 1, Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności. Jako, że pieniądze są wypłacane na początku miesiąca, używamy wzoru na S 36. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47

35 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? q = 1, 0164, N = 36 S 36 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 13 / 47

36 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? q = 1, 0164, N = 36 S 36 = 1500q q36 1 q 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 13 / 47

37 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? q = 1, 0164, N = 36 S 36 = 1500q q36 1 q 1 = 74007, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 13 / 47

38 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? To jeszcze nie koniec zadania, bo S 36 to wartość całej renty zaktualizowanej na koniec jej wypłacania (czyli na za 3 lata). K = PV = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 14 / 47

39 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? To jeszcze nie koniec zadania, bo S 36 to wartość całej renty zaktualizowanej na koniec jej wypłacania (czyli na za 3 lata). K = PV = S 36 q 36 = 41204, Odp: Kapitał początkowy konieczny do wypłacenia tej renty wynosił co najmniej 41204,5862 PLN. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 14 / 47

40 Renta wieczysta - motywacja Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 15 / 47

41 Renta wieczysta - motywacja Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 15 / 47

42 Renta wieczysta - motywacja Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat. Na przykład w ten sposób można zaplanować sobie wypłaty emerytury, bez zakładania długości życia na tej emeryturze. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 15 / 47

43 Renta wieczysta - motywacja Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat. Na przykład w ten sposób można zaplanować sobie wypłaty emerytury, bez zakładania długości życia na tej emeryturze. Taki format mogą też przybrać wypłaty z niektórych inwestycji (np. obligacji wieczystych, zwanych konsolami), a także przydaje się on przy fundamentalnej wycenie akcji. Dla ustalenia uwagi, bez utraty ogólności, zakładamy, że mamy zawsze do czynienia z tzw. rentą pewną - czyli wypłacaną niezależnie od tego, czy odbiorca żyje i od jakichkolwiek innych okoliczności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 15 / 47

44 Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 16 / 47

45 Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać. Załóżmy, że rata takiej renty wynosi R w, renta jest wypłacana z dołu i obowiązuje stopa procentowa r, taka, że OS = OK = OP (w innym wypadku używamy stopy względnej i efektywnej tak, by dopasować te okresy), a q = 1 + r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 16 / 47

46 Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać. Załóżmy, że rata takiej renty wynosi R w, renta jest wypłacana z dołu i obowiązuje stopa procentowa r, taka, że OS = OK = OP (w innym wypadku używamy stopy względnej i efektywnej tak, by dopasować te okresy), a q = 1 + r. Wtedy PV = K musi być równe sumie zaktualizowanych na moment 0 rat takiej renty: PV = K = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 16 / 47

47 Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać. Załóżmy, że rata takiej renty wynosi R w, renta jest wypłacana z dołu i obowiązuje stopa procentowa r, taka, że OS = OK = OP (w innym wypadku używamy stopy względnej i efektywnej tak, by dopasować te okresy), a q = 1 + r. Wtedy PV = K musi być równe sumie zaktualizowanych na moment 0 rat takiej renty: PV = K = R w q 1 + R w q = R w q i. i=1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 16 / 47

48 Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47

49 Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R w q 1 i ilorazie 0 < q 1 < 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47

50 Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R w q 1 i ilorazie 0 < q 1 < 1. Ze wzoru na sumę tego szeregu otrzymujemy zależność: PV = K = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47

51 Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R w q 1 i ilorazie 0 < q 1 < 1. Ze wzoru na sumę tego szeregu otrzymujemy zależność: PV = K = R wq 1 1 q 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47

52 Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R w q 1 i ilorazie 0 < q 1 < 1. Ze wzoru na sumę tego szeregu otrzymujemy zależność: PV = K = R wq 1 1 q 1 = R w q 1 = R w r. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47

53 Renta wieczysta z góry - wyprowadzenie wzoru Oczywiście, analogicznie możemy obliczyć ten sam wzór przy założeniu, że renta jest wypłacana z góry: PV = K = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 18 / 47

54 Renta wieczysta z góry - wyprowadzenie wzoru Oczywiście, analogicznie możemy obliczyć ten sam wzór przy założeniu, że renta jest wypłacana z góry: PV = K = R w + R w q = R w q i = i=0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 18 / 47

55 Renta wieczysta z góry - wyprowadzenie wzoru Oczywiście, analogicznie możemy obliczyć ten sam wzór przy założeniu, że renta jest wypłacana z góry: PV = K = R w + R w q = R w q i = i=0 = R w 1 q = R wq. 1 r rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 18 / 47

56 Renta wieczysta - wzory Podsumowując, otrzymujemy następujące wzory na wartość kapitału K potrzebnego do wypłaty renty wieczystej w wysokości R w : Renta wieczysta, raty z dołu Renta wieczysta, raty z góry K = R w r. K = R wq. r rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 19 / 47

57 Maksymalna renta wieczysta Te wzory łatwo przekształcić tak, by otrzymać wzory na maksymalną możliwą rentę wieczystą wypłacaną z kapitału K: Maksymalna renta wieczysta z dołu R w = Kr. Maksymalna renta wieczysta z góry R w = Kr q. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 20 / 47

58 Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47

59 Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47

60 Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr, to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47

61 Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr, to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47

62 Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr, to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera. Dlatego Kr jest to maksymalna wysokość renty wieczystej z dołu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47

63 Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr, to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera. Dlatego Kr jest to maksymalna wysokość renty wieczystej z dołu. Analogiczną analizę można przeprowadzić dla renty wieczystej z góry. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47

64 Renty czasowe i wieczyste - nazewnictwo Wspomnę jeszcze, że w niektórych źródłach rentę czasową nazywa się annuitetem, a wieczystą perpetuitetem. Nie wymagam znajomości tego nazewnictwa. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 22 / 47

65 Renta geometryczna - motywacja Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 23 / 47

66 Renta geometryczna - motywacja Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 23 / 47

67 Renta geometryczna - motywacja Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Jednakże, nie chce wypłacać kolejnych rat emerytury w stałej wysokości: potrzebuje uwzględnić inflację, wynoszącą i w czasie OP. Dlatego każda kolejna rata musi być 1 + i = a razy większa. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 23 / 47

68 Renta geometryczna - motywacja Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Jednakże, nie chce wypłacać kolejnych rat emerytury w stałej wysokości: potrzebuje uwzględnić inflację, wynoszącą i w czasie OP. Dlatego każda kolejna rata musi być 1 + i = a razy większa. W ten sposób kolejne raty emerytury układają się w ciąg geometryczny: R, Ra, Ra 2,... Jakiego wzoru można użyć do oszacowania wielkości potrzebnego kapitału? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 23 / 47

69 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru Załóżmy, że renta jest wypłacana z dołu, pierwsza rata wynosi R i przewidziane jest N rat. Wtedy, dla każdego k N: S k = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 24 / 47

70 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru Załóżmy, że renta jest wypłacana z dołu, pierwsza rata wynosi R i przewidziane jest N rat. Wtedy, dla każdego k N: k S k = Rq k 1 + Raq k 2 + Ra 2 q k Ra k 1 = Ra i 1 q k i. i=1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 24 / 47

71 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47

72 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq k 1 i ilorazie aq 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47

73 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq k 1 i ilorazie aq 1. Zatem, jeśli a q: S k = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47

74 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq k 1 i ilorazie aq 1. Zatem, jeśli a q: S k = Rq k 1 (aq 1 ) k 1 aq 1 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47

75 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq k 1 i ilorazie aq 1. Zatem, jeśli a q: S k = Rq k 1 (aq 1 ) k 1 aq 1 1 = R qk a k q a. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47

76 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 26 / 47

77 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Jeśli a = q, to po prostu każdy element sumy tego ciągu jest równy Rq k 1, więc: S k = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 26 / 47

78 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Jeśli a = q, to po prostu każdy element sumy tego ciągu jest równy Rq k 1, więc: S k = nrq k 1. Analogicznie można wyprowadzić wzory na wartość renty geometrycznej z góry. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 26 / 47

79 Renta geometryczna - wzory Renta geometryczna z dołu Renta geometryczna z góry R qk a k S k =, q a; q a nrq k 1, q = a. Rq qk a k S k =, q a; q a nrq k, q = a. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 27 / 47

80 Renta geometryczna - komentarz Wszelkie inne obliczenia (np. obliczanie wartości aktualnej) prowadzimy dokładnie tak samo jak dla renty stałej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 28 / 47

81 Renta geometryczna - komentarz Wszelkie inne obliczenia (np. obliczanie wartości aktualnej) prowadzimy dokładnie tak samo jak dla renty stałej. Zauważmy, że renta stała też jest rentą geometryczną, ale dla ilorazu a = 1. Wzory po podstawieniu a = 1 się zgadzają, więc tak naprawdę wystarczy pamiętać wzory na rentę geometryczną i wzory na rentę stałą wynikają z nich natychmiast. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 28 / 47

82 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47

83 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47

84 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,08 2 = 0, 04 na pół roku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47

85 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,08 2 = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, 04. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47

86 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,08 = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, Obliczmy najpierw kapitał początkowy: 40 = R w = 0, 04K 1, 04 K = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47

87 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 30 / 47

88 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 30 / 47

89 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = 20 (10 lat, 2 płatności w roku). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 30 / 47

90 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = 20 (10 lat, 2 płatności w roku). Zatem, korzystając z zależności pomiędzy K, a S 20 : 1040 = K = S 20 (1, 04) 20 S 20 = 2278, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 30 / 47

91 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? N = 20, S 20 = 2278, 7681, q = 1, 04, a = 1, 025, q a. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 31 / 47

92 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? N = 20, S 20 = 2278, 7681, q = 1, 04, a = 1, 025, q a. Wystarczy te dane podstawić do wzoru na rentę geometryczną z dołu: 2278, 7681 = S 20 = R q20 a 20 q a R = 28, Odp: Pierwsza rata takiej renty może wynosić maksymalnie 28,6969. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 31 / 47

93 Zakończenie renty czasowej W porównaniu z zadaniami z wkładów oszczędnościowych, w zadaniach z rent czasowych może pojawić się nowy problem - czas i sposób wymuszonego zakończenia wypłat. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 32 / 47

94 Zakończenie renty czasowej W porównaniu z zadaniami z wkładów oszczędnościowych, w zadaniach z rent czasowych może pojawić się nowy problem - czas i sposób wymuszonego zakończenia wypłat. O ile wpłacać kapitał na jakiś program oszczędnościowy można potencjalnie w nieskończoność, to wypłacać można tylko wtedy, gdy jakiś kapitał do wypłacania nam zostaje... rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 32 / 47

95 Zakończenie renty czasowej W porównaniu z zadaniami z wkładów oszczędnościowych, w zadaniach z rent czasowych może pojawić się nowy problem - czas i sposób wymuszonego zakończenia wypłat. O ile wpłacać kapitał na jakiś program oszczędnościowy można potencjalnie w nieskończoność, to wypłacać można tylko wtedy, gdy jakiś kapitał do wypłacania nam zostaje... Rozważamy zatem zadanie typu: przy danym modelu oprocentowania, na ile wypłat rent w wysokości R wystarczy kapitał K? Dodatkowo, mało prawdopodobne, by wypłaty tej samej wysokości DOKŁADNIE wyczerpały dany kapitał, więc powstaje dodatkowe pytanie - jakiej wysokości będzie ostatnia wypłata? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 32 / 47

96 Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47

97 Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. Wystarczy zastosować wynikające z zależności K = S N q N : Równanie końca renty Kq N = S N. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47

98 Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. Wystarczy zastosować wynikające z zależności K = S N q N : Równanie końca renty Kq N = S N. Pechowo, to równanie jest dość podobne do równania na kapitał uzbierany po N wpłatach: K = S N (ale od niego się różni). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47

99 Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. Wystarczy zastosować wynikające z zależności K = S N q N : Równanie końca renty Kq N = S N. Pechowo, to równanie jest dość podobne do równania na kapitał uzbierany po N wpłatach: K = S N (ale od niego się różni). Prawdopodobnie dlatego studenci często je mylą na sprawdzianach. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47

100 Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. Wystarczy zastosować wynikające z zależności K = S N q N : Równanie końca renty Kq N = S N. Pechowo, to równanie jest dość podobne do równania na kapitał uzbierany po N wpłatach: K = S N (ale od niego się różni). Prawdopodobnie dlatego studenci często je mylą na sprawdzianach. Wystarczy jednak pamiętać, że równania końca renty używamy tylko w wypadku wypłaty rent i wszystko będzie dobrze... rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47

101 Rozwiązanie równania - problem No dobrze, użyliśmy równania końca renty do obliczenia liczby rat i otrzymaliśmy wynik, który niemal na pewno nie jest całkowity, np. 11, 7. Co on oznacza? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 34 / 47

102 Rozwiązanie równania - problem No dobrze, użyliśmy równania końca renty do obliczenia liczby rat i otrzymaliśmy wynik, który niemal na pewno nie jest całkowity, np. 11, 7. Co on oznacza? Otóż w tym przypadku wynik zaokrąglamy w dół, gdyż okazuje się, że możemy np. wypłacić 11 rent danej wysokości i jeszcze coś nam zostanie z kapitału, ale nie tyle, by wypłacić dwunastą rentę tej samej wysokości. Czyli N w praktyce będzie największą liczbą całkowitą nie większą niż rozwiązanie równania końca renty. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 34 / 47

103 Rozwiązanie równania - problem No dobrze, użyliśmy równania końca renty do obliczenia liczby rat i otrzymaliśmy wynik, który niemal na pewno nie jest całkowity, np. 11, 7. Co on oznacza? Otóż w tym przypadku wynik zaokrąglamy w dół, gdyż okazuje się, że możemy np. wypłacić 11 rent danej wysokości i jeszcze coś nam zostanie z kapitału, ale nie tyle, by wypłacić dwunastą rentę tej samej wysokości. Czyli N w praktyce będzie największą liczbą całkowitą nie większą niż rozwiązanie równania końca renty. Dygresja: w trakcie rozwiązywania równania końca renty trzeba rozwiązać równanie wykładnicze. Może to być niemożliwe, gdyż wymagałoby obliczenia logarytmu liczby ujemnej. Taka sytuacja oznacza, że równanie to nie ma rozwiązania, więc renta o danej wielkości jest wieczysta, nie czasowa! rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 34 / 47

104 Pozostały kapitał Zanim zastanowimy się, gdzie wliczyć kapitał pozostały po N okresach płatności (oznaczmy go przez K N ), policzymy, ile go zostało. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 35 / 47

105 Pozostały kapitał Zanim zastanowimy się, gdzie wliczyć kapitał pozostały po N okresach płatności (oznaczmy go przez K N ), policzymy, ile go zostało. Oczywiście, będzie to kapitał startowy zaktualizowany na moment N pomniejszony o zaktualizowaną na moment N wartość renty: K N = Kq N S N. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 35 / 47

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa 2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i

Bardziej szczegółowo

2a. Przeciętna stopa zwrotu

2a. Przeciętna stopa zwrotu 2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku 1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN

Bardziej szczegółowo

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję: Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne -

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie

Bardziej szczegółowo

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k 2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2 Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

I = F P. P = F t a(t) 1

I = F P. P = F t a(t) 1 6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014 Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu

Bardziej szczegółowo

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN

[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN [2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN [3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet [4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka I dla DSM zbiór zadań

Matematyka I dla DSM zbiór zadań I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3 Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1. Rozważamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171)

MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Przedmiot: MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Prowadzący wykład: dr Krzysztof Samotij, e-mail: krzysztof.samotij@pwr.edu.pl Czas i miejsce wykładu: poniedziałki (wg definicji J.M. Rektora) g. 9:15-11:00,

Bardziej szczegółowo

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU

STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Matematyka Ekonomiczna

Matematyka Ekonomiczna Matematyka Ekonomiczna Dr. hab. David Ramsey e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Wtorek 11-13, Czwartek 11-13 28 września

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa V. Ciągi

Matematyka podstawowa V. Ciągi Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2

Bardziej szczegółowo

Matematyka Ekonomiczna

Matematyka Ekonomiczna Matematyka Ekonomiczna David Ramsey, Prof. PWr e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Poniedziałek 14-16, Wtorek 16-18

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r.

Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:.... Czas egzaminu: l OO minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Wartość pieniądza w czasie

Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Inwestycja jest w istocie bieżącym wyrzeczeniem się dla przyszłych korzyści. Ale teraźniejszość jest względnie dobrze znana, natomiast przyszłość to zawsze tajemnica.

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje System finansowy gospodarki Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje Krzywa rentowności (dochodowości) Yield Curve Krzywa ta jest graficznym przedstawieniem

Bardziej szczegółowo

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI 3/27/2011 Ewa Kusideł ekusidel@uni.lodz.pl 1 OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI www.kep.uni.lodz.pl\ewakusidel 3/27/2011 Inwestycje i ryzyko na rynku nieruchomości 2 Inwestycja Inwestycja Nakład na zwiększenie lub

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Ćwiczenia 5 Pojęcie benchmarku, tracking error Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Renata Karkowska, Wydział Zarządzania UW 1 Współczynnik Sharpe a Renata Karkowska,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 17.05.2003

Matematyka finansowa 17.05.2003 1. Na początku roku (w chwili t = 0 ) portfel pewnego funduszu inwestycyjnego składa się z 40% obligacji typu I oraz 60% obligacji typu II. O obligacjach typu I oraz typu II wiadomo, że: (i) obligacja

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej 5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas

Bardziej szczegółowo

Procenty zadania maturalne z rozwiązaniami

Procenty zadania maturalne z rozwiązaniami Każde zadanie 1 punkt. 1. Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60 zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje 0,22 60 = 13,20 kwota VAT 60 + 13,20 = 73,20 Odp. A 2. Wskaż liczbę, której

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Wstęp do matematyki finansowej Introduction to financial mathematics Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa

Bardziej szczegółowo

Funkcje w MS Excel. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl

Funkcje w MS Excel. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Funkcje w MS Excel Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Plan prezentacji Wprowadzenie Funkcje matematyczne Funkcje logiczne Funkcje finansowe Podsumowanie 2/27 Wprowadzenie Funkcje: Są elementami

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Wstęp Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć oraz zaleŝności z zakresu zarządzania finansami w szczególności

Bardziej szczegółowo

dr hab. Marcin Jędrzejczyk

dr hab. Marcin Jędrzejczyk dr hab. Marcin Jędrzejczyk Przez inwestycje należy rozumieć aktywa nabyte w celu osiągnięcia korzyści ekonomicznych, wynikających z przyrostu wartości tych zasobów, uzyskania z nich przychodów w postaci

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math)

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Ciągi Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Spis treści 1 Ciągi liczbowe 1 1.1 Podstawowe własności ciągów................... 2 1.2 Granica ciągu............................

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty podniesione.

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Trzy osoby biorą

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Wartość pieniądza w czasie (time value of money)

Wartość pieniądza w czasie (time value of money) Opracował Marcin Reszka Doradca Inwestycyjny nr 335 marcin@reszka.edu.pl Zeszyt I Wartość pieniądza w czasie (time value of money) Wszystkie prawa zastrzeżone. Nie zezwala się na kopiowania bez pisemnej

Bardziej szczegółowo

3.1 Analiza zysków i strat

3.1 Analiza zysków i strat 3.1 Analiza zysków i strat Zakładamy że firma decyduje czy ma wdrożyć nowy produkt lub projekt. Firma musi rozważyć czy przyszłe zyski (dyskontowane w czasie) z tego projektu są większe niż koszty poniesione

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

STOPA DYSKONTOWA 1+ =

STOPA DYSKONTOWA 1+ = Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

1 Pomiar dochodowości inwestycji istota,

1 Pomiar dochodowości inwestycji istota, 1 Pomiar dochodowości inwestycji istota, odmiany i cechy stóp zwrotu Wprowadzenie Podstawową miarą wykorzystywaną do oceny opłacalności inwestycji jest stopa zwrotu. Drugim obok niej miernikiem efektywności

Bardziej szczegółowo

1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt)

1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt) II Etap Maj 2013 Zadanie 1 II Etap Maj 2013 1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt) 1.1/podaj definicję składnika

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Piotr Szczepankowski Poziom studiów (I lub II stopnia): I stopnia

Bardziej szczegółowo

Projekt. U S T A W A z dnia

Projekt. U S T A W A z dnia Projekt U S T A W A z dnia o zmianie ustawy o kredycie konsumenckim oraz ustawy o odpowiedzialności podmiotów zbiorowych za czyny zabronione pod groźbą kary 1) Art. 1. W ustawie z dnia 12 maja 2011 r.

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3 Zadanie 1 Inwestor rozważa nabycie obligacji wieczystej (konsoli), od której będzie otrzymywał na koniec każdego półrocza kupon w wysokości 80 zł. Wymagana przez inwestora stopa zwrotu w terminie do wykupu

Bardziej szczegółowo

Pieniądz ma zmienną wartość w czasie również w przypadku zerowej inflacji. Jest kilka przyczyn tego zjawiska:

Pieniądz ma zmienną wartość w czasie również w przypadku zerowej inflacji. Jest kilka przyczyn tego zjawiska: Prawie wszyscy wiedzą, że pewna suma pieniędzy ma dziś większą wartość niż ta sama suma w przyszłości. Mówi się, że pieniądz traci na wartości. Używając bardziej precyzyjnej terminologii trzeba powiedzieć

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3 Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty

Bardziej szczegółowo

Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.

Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia Kadr

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

WACC Montaż finansowy Koszt kredytu

WACC Montaż finansowy Koszt kredytu WACC Montaż finansowy Koszt kredytu PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Zdefiniuj stopę procentową i dyskontową Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we

Bardziej szczegółowo

Dr hab. Renata Karkowska, ćwiczenia Zarządzanie ryzykiem 1

Dr hab. Renata Karkowska, ćwiczenia Zarządzanie ryzykiem 1 1 Rodzaje i źródła ryzyka stopy procentowej: Ryzyko niedopasowania terminów przeszacowania, np. 6M kredyt o stałym oprocentowaniu finansowany miesięcznymi lokatami o zmiennym oprocentowaniu. Ryzyko podstawy

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu)

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we wzorach oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995.

Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych,

Bardziej szczegółowo