5. Strumienie płatności: renty
|
|
- Nina Leśniak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 5. Strumienie płatności: renty Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 1 / 47
2 1 Motywacja, oznaczenia, założenia 2 Renta czasowa - wzory 3 Renta wieczysta 4 Renta geometryczna 5 Zakończenie renty czasowej 6 Stopa zwrotu rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 2 / 47
3 Definicja Rentą często nazywa się dowolny strumień płatności. Jednak dla nas rentą będzie strumień płatności polegający na wypłacaniu pewnych sum (rat) z wcześniej uzbieranych środków lub na podstawie umowy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 3 / 47
4 Definicja Rentą często nazywa się dowolny strumień płatności. Jednak dla nas rentą będzie strumień płatności polegający na wypłacaniu pewnych sum (rat) z wcześniej uzbieranych środków lub na podstawie umowy. Prostymi przykładami rent są comiesięczne wypłaty wynagrodzenia, czy emerytury, typowa renta z posiadanego kapitału, dywidendy z posiadania akcji, kupony z tytułu posiadania obligacji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 3 / 47
5 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47
6 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47
7 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47
8 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Przez R i oznaczamy wysokość i-tej raty renty. Jeśli wszystkie raty są równe, oznaczamy ich wysokość przez R. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47
9 Podstawowe oznaczenia W zadaniach związanych z rentami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych wzorach, że OS = OK. Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej. Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności. Przez R i oznaczamy wysokość i-tej raty renty. Jeśli wszystkie raty są równe, oznaczamy ich wysokość przez R. Przez S i oznaczamy wartość renty po zakończeniu i-tego okresu płatności, zaktualizowaną na moment i. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 4 / 47
10 Podstawowe oznaczenia rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 5 / 47
11 Podstawowe oznaczenia Doprecyzujmy ostatni punkt: S i to wartość kapitału zawartego we wszystkich płatnościach do końca i-tego okresu płatności, zaktualizowana na koniec i-tego okresu płatności. Jest równa ona sumie zaktualizowanych na ten moment wartości wszystkich rat renty wpłaconych do tego momentu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 5 / 47
12 Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu Jak przy wpłatach, musimy ustalić dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania wypłat rent. Mogą być one dokonywane: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 6 / 47
13 Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu Jak przy wpłatach, musimy ustalić dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania wypłat rent. Mogą być one dokonywane: z dołu, czyli na końcu każdego okresu płatności, czyli w momentach 1, 2,..., N 1, N. Taką sytuację oznaczają podkreślenia danych zmiennych i oznaczeń np. S k. Jest to domyślny sposób dokonywania płatności w strumieniu finansowym tj. jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że płatności są z dołu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 6 / 47
14 Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu Jak przy wpłatach, musimy ustalić dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania wypłat rent. Mogą być one dokonywane: z dołu, czyli na końcu każdego okresu płatności, czyli w momentach 1, 2,..., N 1, N. Taką sytuację oznaczają podkreślenia danych zmiennych i oznaczeń np. S k. Jest to domyślny sposób dokonywania płatności w strumieniu finansowym tj. jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że płatności są z dołu. z góry, czyli na początku każdego okresu płatności, czyli w momentach 0, 1, 2,..., N 1. Taką sytuację oznaczają kreski nad danymi zmiennymi i oznaczeniami np. S k. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 6 / 47
15 Podstawowe założenia - model kapitalizacji Przy okazji wpłat analizowaliśmy różne modele kapitalizacji wkładów: złożony, prosty i polski. Dokładnie tak samo można analizować te modele w sytuacji rent. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 7 / 47
16 Podstawowe założenia - model kapitalizacji Przy okazji wpłat analizowaliśmy różne modele kapitalizacji wkładów: złożony, prosty i polski. Dokładnie tak samo można analizować te modele w sytuacji rent. Jednakże, z powodów wyjaśnionych wcześniej, model złożony jest najbardziej sensownym modelem wyceny w przygniatającej większości sytuacji, więc od tej pory tylko ten model będziemy analizować - zarówno w tej części wykładu, jak i w kolejnych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 7 / 47
17 Założenia dla rent Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 8 / 47
18 Założenia dla rent Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 8 / 47
19 Założenia dla rent Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r ef, taką, że OS ef = OK ef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 8 / 47
20 Założenia dla rent Tak jak przy wkładach, zakładamy, że wypłaty rat dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej). W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r ef, taką, że OS ef = OK ef = OP, takim samym wzorem jak zwykle. We wzorach będziemy częściej używać czynnika akumulacji q = 1 + r ef. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 8 / 47
21 Raty różnej wysokości Zauważmy, że wszystkie założenia są dokładnie takie jak w modelu wkładów okresowych: jedyną różnicą jest notacja R i zamiast W i oraz kierunek przepływu kapitału. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 9 / 47
22 Raty różnej wysokości Zauważmy, że wszystkie założenia są dokładnie takie jak w modelu wkładów okresowych: jedyną różnicą jest notacja R i zamiast W i oraz kierunek przepływu kapitału. Zatem otrzymane wzory muszą być takie same, jak wzory otrzymane w wypadku wkładów. W szczególności, jeśli założymy, że wysokości rat są dowolne (R 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to: S k = R 1 q k 1 + R 2 q k R k 1 q + R k. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 9 / 47
23 Raty różnej wysokości Zauważmy, że wszystkie założenia są dokładnie takie jak w modelu wkładów okresowych: jedyną różnicą jest notacja R i zamiast W i oraz kierunek przepływu kapitału. Zatem otrzymane wzory muszą być takie same, jak wzory otrzymane w wypadku wkładów. W szczególności, jeśli założymy, że wysokości rat są dowolne (R 1, W 2,..., W N ), w momentach 1, 2,..., N, to: S k = R 1 q k 1 + R 2 q k R k 1 q + R k. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 9 / 47
24 Renta - wzory Przy najczęstszym założeniu, że wszystkie raty są równe (R 1 = R 2 =... = R N = R), mamy: Renta, raty z dołu S k = R qk 1 q 1. Renta, raty z góry S k = Rq qk 1 q 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 10 / 47
25 Wartość aktualna renty Tak jak dla długów, możemy obliczać wartość aktualną renty, zgodnie ze wzorem: Wartość aktualna renty PV = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 11 / 47
26 Wartość aktualna renty Tak jak dla długów, możemy obliczać wartość aktualną renty, zgodnie ze wzorem: Wartość aktualna renty PV = S N q N. S N oczywiście oznacza S N lub S N, w zależności od kontekstu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 11 / 47
27 Wartość aktualna renty Tak jak dla długów, możemy obliczać wartość aktualną renty, zgodnie ze wzorem: Wartość aktualna renty PV = S N q N. S N oczywiście oznacza S N lub S N, w zależności od kontekstu. Będzie to kluczowy wzór w wielu zagadnieniach związanych z rentą. PV może być ceną, jaką inwestor jest gotów zapłacić za pozyskanie danej renty, jeśli szuka stopy zwrotu r ef na okres płatności lub też kapitałem początkowym, z którego jest wypłacana renta i który ma wystarczyć na cały czas jej trwania, jeśli jest inwestowany według warunków oprocentowania. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 11 / 47
28 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47
29 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 4 = 0, 05 na kwartał. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47
30 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47
31 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. Zatem q = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47
32 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + r) 1 3 = 1, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47
33 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + r) 1 3 = 1, Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47
34 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,20 = 0, 05 na kwartał. Następnie musimy dopasować OK do 4 OP, czyli do miesiąca. Zatem q = (1 + r) 1 3 = 1, Wreszcie 3 lata to 36 miesięcy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 36 okresami płatności. Jako, że pieniądze są wypłacane na początku miesiąca, używamy wzoru na S 36. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 12 / 47
35 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? q = 1, 0164, N = 36 S 36 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 13 / 47
36 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? q = 1, 0164, N = 36 S 36 = 1500q q36 1 q 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 13 / 47
37 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? q = 1, 0164, N = 36 S 36 = 1500q q36 1 q 1 = 74007, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 13 / 47
38 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? To jeszcze nie koniec zadania, bo S 36 to wartość całej renty zaktualizowanej na koniec jej wypłacania (czyli na za 3 lata). K = PV = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 14 / 47
39 Przykład Zadanie Pewien hojny sponsor ufundował stypendium dla zdolnego studenta w postaci renty o ratach w wysokości 1500 PLN wypłacanych na początku każdego miesiąca przez okres studiów licencjackich, czyli 3 lata. Renta ta była wypłacana z pewnego kapitału zdeponowanego na funduszu oszczędnościowym z nominalną roczną stopą procentową 20% i kapitalizacją kwartalną. Ile co najmniej wynosił ten kapitał? To jeszcze nie koniec zadania, bo S 36 to wartość całej renty zaktualizowanej na koniec jej wypłacania (czyli na za 3 lata). K = PV = S 36 q 36 = 41204, Odp: Kapitał początkowy konieczny do wypłacenia tej renty wynosił co najmniej 41204,5862 PLN. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 14 / 47
40 Renta wieczysta - motywacja Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 15 / 47
41 Renta wieczysta - motywacja Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 15 / 47
42 Renta wieczysta - motywacja Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat. Na przykład w ten sposób można zaplanować sobie wypłaty emerytury, bez zakładania długości życia na tej emeryturze. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 15 / 47
43 Renta wieczysta - motywacja Rentę o skończonej liczbie rat nazywamy rentą czasową. Możliwa też jest próba zaplanowania tzw. renty wieczystej, czyli renty o nieskończonej liczbie rat. Na przykład w ten sposób można zaplanować sobie wypłaty emerytury, bez zakładania długości życia na tej emeryturze. Taki format mogą też przybrać wypłaty z niektórych inwestycji (np. obligacji wieczystych, zwanych konsolami), a także przydaje się on przy fundamentalnej wycenie akcji. Dla ustalenia uwagi, bez utraty ogólności, zakładamy, że mamy zawsze do czynienia z tzw. rentą pewną - czyli wypłacaną niezależnie od tego, czy odbiorca żyje i od jakichkolwiek innych okoliczności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 15 / 47
44 Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 16 / 47
45 Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać. Załóżmy, że rata takiej renty wynosi R w, renta jest wypłacana z dołu i obowiązuje stopa procentowa r, taka, że OS = OK = OP (w innym wypadku używamy stopy względnej i efektywnej tak, by dopasować te okresy), a q = 1 + r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 16 / 47
46 Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać. Załóżmy, że rata takiej renty wynosi R w, renta jest wypłacana z dołu i obowiązuje stopa procentowa r, taka, że OS = OK = OP (w innym wypadku używamy stopy względnej i efektywnej tak, by dopasować te okresy), a q = 1 + r. Wtedy PV = K musi być równe sumie zaktualizowanych na moment 0 rat takiej renty: PV = K = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 16 / 47
47 Renta wieczysta z dołu - wyprowadzenie wzoru Spróbujmy wycenić wartość teraźniejszą renty wieczystej PV lub, w innej interpretacji, wielkość kapitału K z której można ją wypłacać. Załóżmy, że rata takiej renty wynosi R w, renta jest wypłacana z dołu i obowiązuje stopa procentowa r, taka, że OS = OK = OP (w innym wypadku używamy stopy względnej i efektywnej tak, by dopasować te okresy), a q = 1 + r. Wtedy PV = K musi być równe sumie zaktualizowanych na moment 0 rat takiej renty: PV = K = R w q 1 + R w q = R w q i. i=1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 16 / 47
48 Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47
49 Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R w q 1 i ilorazie 0 < q 1 < 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47
50 Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R w q 1 i ilorazie 0 < q 1 < 1. Ze wzoru na sumę tego szeregu otrzymujemy zależność: PV = K = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47
51 Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R w q 1 i ilorazie 0 < q 1 < 1. Ze wzoru na sumę tego szeregu otrzymujemy zależność: PV = K = R wq 1 1 q 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47
52 Renta wieczysta z dołu - wzór PV = K = i=1 R w q i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie R w q 1 i ilorazie 0 < q 1 < 1. Ze wzoru na sumę tego szeregu otrzymujemy zależność: PV = K = R wq 1 1 q 1 = R w q 1 = R w r. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 17 / 47
53 Renta wieczysta z góry - wyprowadzenie wzoru Oczywiście, analogicznie możemy obliczyć ten sam wzór przy założeniu, że renta jest wypłacana z góry: PV = K = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 18 / 47
54 Renta wieczysta z góry - wyprowadzenie wzoru Oczywiście, analogicznie możemy obliczyć ten sam wzór przy założeniu, że renta jest wypłacana z góry: PV = K = R w + R w q = R w q i = i=0 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 18 / 47
55 Renta wieczysta z góry - wyprowadzenie wzoru Oczywiście, analogicznie możemy obliczyć ten sam wzór przy założeniu, że renta jest wypłacana z góry: PV = K = R w + R w q = R w q i = i=0 = R w 1 q = R wq. 1 r rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 18 / 47
56 Renta wieczysta - wzory Podsumowując, otrzymujemy następujące wzory na wartość kapitału K potrzebnego do wypłaty renty wieczystej w wysokości R w : Renta wieczysta, raty z dołu Renta wieczysta, raty z góry K = R w r. K = R wq. r rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 19 / 47
57 Maksymalna renta wieczysta Te wzory łatwo przekształcić tak, by otrzymać wzory na maksymalną możliwą rentę wieczystą wypłacaną z kapitału K: Maksymalna renta wieczysta z dołu R w = Kr. Maksymalna renta wieczysta z góry R w = Kr q. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 20 / 47
58 Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47
59 Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47
60 Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr, to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47
61 Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr, to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47
62 Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr, to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera. Dlatego Kr jest to maksymalna wysokość renty wieczystej z dołu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47
63 Maksymalna renta wieczysta - interpretacja Co ciekawe, do wzoru na maksymalną rentę wieczystą z dołu można dojść bez przekształceń matematycznych, a czysto logicznie: otóż, Kr są to odsetki, które gromadzą się na naszej inwestycji w trakcie pierwszego okresu płatności. Jeśli wypłacamy kwotę nie większą niż Kr, to kapitału wyjściowego nie ubywa, więc możemy takie kwoty wypłacać w nieskończoność. Jeśli zaś wypłacamy więcej, to kapitał startowy się zmniejsza, więc coraz mniejsze są od niego odsetki i coraz większy jest z każdą ratą ubytek kapitału, który stopniowo maleje do zera. Dlatego Kr jest to maksymalna wysokość renty wieczystej z dołu. Analogiczną analizę można przeprowadzić dla renty wieczystej z góry. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 21 / 47
64 Renty czasowe i wieczyste - nazewnictwo Wspomnę jeszcze, że w niektórych źródłach rentę czasową nazywa się annuitetem, a wieczystą perpetuitetem. Nie wymagam znajomości tego nazewnictwa. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 22 / 47
65 Renta geometryczna - motywacja Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 23 / 47
66 Renta geometryczna - motywacja Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 23 / 47
67 Renta geometryczna - motywacja Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Jednakże, nie chce wypłacać kolejnych rat emerytury w stałej wysokości: potrzebuje uwzględnić inflację, wynoszącą i w czasie OP. Dlatego każda kolejna rata musi być 1 + i = a razy większa. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 23 / 47
68 Renta geometryczna - motywacja Wyobraźmy sobie, że ktoś oblicza kapitał potrzebny mu do przejścia na emeryturę. Kapitał potrzebny mu na emeryturze w jednostce czasu OP szacuje na R. Jednakże, nie chce wypłacać kolejnych rat emerytury w stałej wysokości: potrzebuje uwzględnić inflację, wynoszącą i w czasie OP. Dlatego każda kolejna rata musi być 1 + i = a razy większa. W ten sposób kolejne raty emerytury układają się w ciąg geometryczny: R, Ra, Ra 2,... Jakiego wzoru można użyć do oszacowania wielkości potrzebnego kapitału? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 23 / 47
69 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru Załóżmy, że renta jest wypłacana z dołu, pierwsza rata wynosi R i przewidziane jest N rat. Wtedy, dla każdego k N: S k = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 24 / 47
70 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru Załóżmy, że renta jest wypłacana z dołu, pierwsza rata wynosi R i przewidziane jest N rat. Wtedy, dla każdego k N: k S k = Rq k 1 + Raq k 2 + Ra 2 q k Ra k 1 = Ra i 1 q k i. i=1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 24 / 47
71 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47
72 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq k 1 i ilorazie aq 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47
73 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq k 1 i ilorazie aq 1. Zatem, jeśli a q: S k = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47
74 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq k 1 i ilorazie aq 1. Zatem, jeśli a q: S k = Rq k 1 (aq 1 ) k 1 aq 1 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47
75 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Zauważmy, że po prawej stronie tego wzoru mamy do czynienia z sumą n wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie Rq k 1 i ilorazie aq 1. Zatem, jeśli a q: S k = Rq k 1 (aq 1 ) k 1 aq 1 1 = R qk a k q a. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 25 / 47
76 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 26 / 47
77 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Jeśli a = q, to po prostu każdy element sumy tego ciągu jest równy Rq k 1, więc: S k = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 26 / 47
78 Renta geometryczna z dołu - wyprowadzenie wzoru S k = k i=1 Ra i 1 q k i. Jeśli a = q, to po prostu każdy element sumy tego ciągu jest równy Rq k 1, więc: S k = nrq k 1. Analogicznie można wyprowadzić wzory na wartość renty geometrycznej z góry. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 26 / 47
79 Renta geometryczna - wzory Renta geometryczna z dołu Renta geometryczna z góry R qk a k S k =, q a; q a nrq k 1, q = a. Rq qk a k S k =, q a; q a nrq k, q = a. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 27 / 47
80 Renta geometryczna - komentarz Wszelkie inne obliczenia (np. obliczanie wartości aktualnej) prowadzimy dokładnie tak samo jak dla renty stałej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 28 / 47
81 Renta geometryczna - komentarz Wszelkie inne obliczenia (np. obliczanie wartości aktualnej) prowadzimy dokładnie tak samo jak dla renty stałej. Zauważmy, że renta stała też jest rentą geometryczną, ale dla ilorazu a = 1. Wzory po podstawieniu a = 1 się zgadzają, więc tak naprawdę wystarczy pamiętać wzory na rentę geometryczną i wzory na rentę stałą wynikają z nich natychmiast. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 28 / 47
82 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47
83 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47
84 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,08 2 = 0, 04 na pół roku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47
85 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,08 2 = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, 04. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47
86 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? Po pierwsze OK OS, więc musimy zastosować stopę względną r = 0,08 = 0, 04 na pół roku. Wtedy OS=OK=OP, więc q = 1, Obliczmy najpierw kapitał początkowy: 40 = R w = 0, 04K 1, 04 K = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 29 / 47
87 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 30 / 47
88 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 30 / 47
89 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = 20 (10 lat, 2 płatności w roku). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 30 / 47
90 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? K = 1040, q = 1, 04. Zajmijmy się teraz rentą geometryczną. Z treści zadania a = 1, 025 i OS=OK=OP. Liczba płatności w ramach tej renty to N = 20 (10 lat, 2 płatności w roku). Zatem, korzystając z zależności pomiędzy K, a S 20 : 1040 = K = S 20 (1, 04) 20 S 20 = 2278, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 30 / 47
91 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? N = 20, S 20 = 2278, 7681, q = 1, 04, a = 1, 025, q a. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 31 / 47
92 Przykład Zadanie Rozważamy kapitalizację półroczną z nominalną roczną stopą procentową 8%. Z pewnego kapitału można wypłacać rentę wieczystą półroczną z góry w wysokości 40jp. Jeśli z tego samego kapitału chcemy wypłacać rentę geometryczną półroczną z dołu, której każda kolejna rata jest o 2, 5% większa od poprzedniej, przez 10 lat, to jakiej maksymalnej wysokości może być pierwsza rata takiej renty? N = 20, S 20 = 2278, 7681, q = 1, 04, a = 1, 025, q a. Wystarczy te dane podstawić do wzoru na rentę geometryczną z dołu: 2278, 7681 = S 20 = R q20 a 20 q a R = 28, Odp: Pierwsza rata takiej renty może wynosić maksymalnie 28,6969. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 31 / 47
93 Zakończenie renty czasowej W porównaniu z zadaniami z wkładów oszczędnościowych, w zadaniach z rent czasowych może pojawić się nowy problem - czas i sposób wymuszonego zakończenia wypłat. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 32 / 47
94 Zakończenie renty czasowej W porównaniu z zadaniami z wkładów oszczędnościowych, w zadaniach z rent czasowych może pojawić się nowy problem - czas i sposób wymuszonego zakończenia wypłat. O ile wpłacać kapitał na jakiś program oszczędnościowy można potencjalnie w nieskończoność, to wypłacać można tylko wtedy, gdy jakiś kapitał do wypłacania nam zostaje... rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 32 / 47
95 Zakończenie renty czasowej W porównaniu z zadaniami z wkładów oszczędnościowych, w zadaniach z rent czasowych może pojawić się nowy problem - czas i sposób wymuszonego zakończenia wypłat. O ile wpłacać kapitał na jakiś program oszczędnościowy można potencjalnie w nieskończoność, to wypłacać można tylko wtedy, gdy jakiś kapitał do wypłacania nam zostaje... Rozważamy zatem zadanie typu: przy danym modelu oprocentowania, na ile wypłat rent w wysokości R wystarczy kapitał K? Dodatkowo, mało prawdopodobne, by wypłaty tej samej wysokości DOKŁADNIE wyczerpały dany kapitał, więc powstaje dodatkowe pytanie - jakiej wysokości będzie ostatnia wypłata? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 32 / 47
96 Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47
97 Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. Wystarczy zastosować wynikające z zależności K = S N q N : Równanie końca renty Kq N = S N. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47
98 Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. Wystarczy zastosować wynikające z zależności K = S N q N : Równanie końca renty Kq N = S N. Pechowo, to równanie jest dość podobne do równania na kapitał uzbierany po N wpłatach: K = S N (ale od niego się różni). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47
99 Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. Wystarczy zastosować wynikające z zależności K = S N q N : Równanie końca renty Kq N = S N. Pechowo, to równanie jest dość podobne do równania na kapitał uzbierany po N wpłatach: K = S N (ale od niego się różni). Prawdopodobnie dlatego studenci często je mylą na sprawdzianach. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47
100 Równanie końca renty Wyznaczenie liczby możliwych wypłat renty o danej wysokości jest dość proste. Wystarczy zastosować wynikające z zależności K = S N q N : Równanie końca renty Kq N = S N. Pechowo, to równanie jest dość podobne do równania na kapitał uzbierany po N wpłatach: K = S N (ale od niego się różni). Prawdopodobnie dlatego studenci często je mylą na sprawdzianach. Wystarczy jednak pamiętać, że równania końca renty używamy tylko w wypadku wypłaty rent i wszystko będzie dobrze... rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 33 / 47
101 Rozwiązanie równania - problem No dobrze, użyliśmy równania końca renty do obliczenia liczby rat i otrzymaliśmy wynik, który niemal na pewno nie jest całkowity, np. 11, 7. Co on oznacza? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 34 / 47
102 Rozwiązanie równania - problem No dobrze, użyliśmy równania końca renty do obliczenia liczby rat i otrzymaliśmy wynik, który niemal na pewno nie jest całkowity, np. 11, 7. Co on oznacza? Otóż w tym przypadku wynik zaokrąglamy w dół, gdyż okazuje się, że możemy np. wypłacić 11 rent danej wysokości i jeszcze coś nam zostanie z kapitału, ale nie tyle, by wypłacić dwunastą rentę tej samej wysokości. Czyli N w praktyce będzie największą liczbą całkowitą nie większą niż rozwiązanie równania końca renty. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 34 / 47
103 Rozwiązanie równania - problem No dobrze, użyliśmy równania końca renty do obliczenia liczby rat i otrzymaliśmy wynik, który niemal na pewno nie jest całkowity, np. 11, 7. Co on oznacza? Otóż w tym przypadku wynik zaokrąglamy w dół, gdyż okazuje się, że możemy np. wypłacić 11 rent danej wysokości i jeszcze coś nam zostanie z kapitału, ale nie tyle, by wypłacić dwunastą rentę tej samej wysokości. Czyli N w praktyce będzie największą liczbą całkowitą nie większą niż rozwiązanie równania końca renty. Dygresja: w trakcie rozwiązywania równania końca renty trzeba rozwiązać równanie wykładnicze. Może to być niemożliwe, gdyż wymagałoby obliczenia logarytmu liczby ujemnej. Taka sytuacja oznacza, że równanie to nie ma rozwiązania, więc renta o danej wielkości jest wieczysta, nie czasowa! rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 34 / 47
104 Pozostały kapitał Zanim zastanowimy się, gdzie wliczyć kapitał pozostały po N okresach płatności (oznaczmy go przez K N ), policzymy, ile go zostało. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 35 / 47
105 Pozostały kapitał Zanim zastanowimy się, gdzie wliczyć kapitał pozostały po N okresach płatności (oznaczmy go przez K N ), policzymy, ile go zostało. Oczywiście, będzie to kapitał startowy zaktualizowany na moment N pomniejszony o zaktualizowaną na moment N wartość renty: K N = Kq N S N. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka finansowa 35 / 47
4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe
4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 4. Strumienie w Krakowie)
Bardziej szczegółowo8. Papiery wartościowe: obligacje
8. Papiery wartościowe: obligacje Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje
Bardziej szczegółowo2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa
2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i
Bardziej szczegółowo2a. Przeciętna stopa zwrotu
2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka
Bardziej szczegółowoRachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.
Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200
Bardziej szczegółowo1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku
1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa
Bardziej szczegółowo1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:
Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne -
Bardziej szczegółowoRachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.
Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Matematyka bankowa 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowozaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.
zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej
ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy
Bardziej szczegółowo9. Papiery wartościowe: akcje
9. Papiery wartościowe: akcje Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza: Future Value FV
Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie
Bardziej szczegółowoElementy matematyki finansowej w programie Maxima
Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2
Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane
Bardziej szczegółowoStopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k
2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa
Bardziej szczegółowo3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych
3b. Mierniki oceny inwestycji finansowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3b. wmierniki Krakowie) oceny inwestycji
Bardziej szczegółowo1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa
1a. Lokaty - wstęp Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 1 / 44 1
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan
Bardziej szczegółowoCzym jest ciąg? a 1, a 2, lub. (a n ), n = 1,2,
Ciągi liczbowe Czym jest ciąg? Ciąg liczbowy, to funkcja o argumentach naturalnych, której wartościami są liczby rzeczywiste. Wartość ciągu dla liczby naturalnej n oznaczamy symbolem a n i nazywamy n-tym
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych
Matematyka finansowa - lista zagadnień teoretycznych Ostatnie zadanie na egzaminie będzie się składać z jednego bardziej skomplikowanego lub dwóch prostych pytań teoretycznych. Pytanie takie będzie dotyczyło
Bardziej szczegółowo2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej
2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Matematyka bankowa 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,
Bardziej szczegółowoPaulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 2
1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady
Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty
Bardziej szczegółowoGranice ciągów liczbowych
Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi
Bardziej szczegółowoINDEKS FINANSISTY. Monika Skrzydłowska. PWSZ w Chełmie. wrzesień Projekt dofinansowała Fundacja mbanku
INDEKS FINANSISTY Monika Skrzydłowska PWSZ w Chełmie wrzesień 2017 Projekt dofinansowała Fundacja mbanku Monika Skrzydłowska (PWSZ w Chełmie) INDEKS FINANSISTY wrzesień 2017 1 / 40 Spis treści 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoI = F P. P = F t a(t) 1
6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia
Bardziej szczegółowoJak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014
Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu
Bardziej szczegółowo1. Charakterystyka obligacji. 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji.
mgr Maciej Jagódka 1. Charakterystyka obligacji 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji. Wierzycielski papier wartościowy, w którym emitent obligacji jest dłużnikiem posiadacza
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa. Liczba godzin stacjonarne: Wykłady: 15 Ćwiczenia: 15. niestacjonarne: Wykłady: 9 Ćwiczenia: 18
Karta przedmiotu Wydział: Wydział Zarządzania Kierunek: Analityka gospodarcza I. Informacje podstawowe Nazwa przedmiotu Matematyka finansowa Nazwa przedmiotu w j. ang. Język prowadzenia przedmiotu polski
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoDariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II
Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział
Bardziej szczegółowo[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN
LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN [2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN [3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet [4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej,
Bardziej szczegółowoNauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski
Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej
Bardziej szczegółowoWartość przyszła pieniądza
O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Matematyka finansowa Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3
Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności
Bardziej szczegółowoMatematyka I dla DSM zbiór zadań
I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1. Rozważamy
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rachunki oszczędnościowe
Bardziej szczegółowowww.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera
www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2
Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:
Bardziej szczegółowoĆwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoWZÓR OBLICZANIA RZECZYWISTEJ ROCZNEJ STOPY OPROCENTOWANIA (RRSO)
Załącznik Nr 3 WZÓR OBLICZANIA RZECZYWISTEJ ROCZNEJ STOPY OPROCENTOWANIA (RRSO) 1. Rzeczywistą roczną stopę oprocentowania stanowiącą całkowity koszt kredytu hipotecznego ponoszony przez konsumenta, wyrażony
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH
O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171)
Przedmiot: MODELOWANIE RYNKÓW FINANSOWYCH (MAP1171) Prowadzący wykład: dr Krzysztof Samotij, e-mail: krzysztof.samotij@pwr.edu.pl Czas i miejsce wykładu: poniedziałki (wg definicji J.M. Rektora) g. 9:15-11:00,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoPapiery wartościowe o stałym dochodzie
Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,
Bardziej szczegółowoSTOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU
Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA PROCENTOWA I STOPA ZWROTU (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 9 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoPLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH
Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa V. Ciągi
Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2
Bardziej szczegółowoMatematyka Ekonomiczna
Matematyka Ekonomiczna Dr. hab. David Ramsey e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Wtorek 11-13, Czwartek 11-13 28 września
Bardziej szczegółowoMatematyka Ekonomiczna
Matematyka Ekonomiczna David Ramsey, Prof. PWr e-mail: david.ramsey@pwr.edu.pl strona domowa: www.ioz.pwr.edu.pl/pracownicy/ramsey Pokój 5.16, B-4 Godziny konsultacji: Poniedziałek 14-16, Wtorek 16-18
Bardziej szczegółowoMatematyka bankowa 1 1 wykład
Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną
Bardziej szczegółowoEgzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa - informacje egzaminacyjne
Matematyka finansowa - informacje egzaminacyjne Tutaj postaram się zebrać wszystko co trzeba wiedzieć o egzaminie i sprawdzianie zaliczeniowym. Jedynym wyjątkiem jest lista zagadnień do części teoretycznej,
Bardziej szczegółowoEgzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:.... Czas egzaminu: l OO minut Ośrodek Doskonalenia
Bardziej szczegółowoZajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane
Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje Krzywa rentowności (dochodowości) Yield Curve Krzywa ta jest graficznym przedstawieniem
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.
Bardziej szczegółowo3a. Teoria akumulacji kapitału
3a. Teoria akumulacji kapitału Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 3a. Teoria akumulacji kapitału Matematyka
Bardziej szczegółowoWskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino
Ćwiczenia 5 Pojęcie benchmarku, tracking error Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Renata Karkowska, Wydział Zarządzania UW 1 Współczynnik Sharpe a Renata Karkowska,
Bardziej szczegółowoTemat 1: Wartość pieniądza w czasie
Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Inwestycja jest w istocie bieżącym wyrzeczeniem się dla przyszłych korzyści. Ale teraźniejszość jest względnie dobrze znana, natomiast przyszłość to zawsze tajemnica.
Bardziej szczegółowo5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej
5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 17.05.2003
1. Na początku roku (w chwili t = 0 ) portfel pewnego funduszu inwestycyjnego składa się z 40% obligacji typu I oraz 60% obligacji typu II. O obligacjach typu I oraz typu II wiadomo, że: (i) obligacja
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka
Bardziej szczegółowoLicz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego
Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania
Bardziej szczegółowo7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe
7. Papiery wartościowe: weksle i bony skarbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. Papiery w Krakowie) wartościowe:
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 3TI ROK SZKOLNY 2018/2019
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLASY 3TI ROK SZKOLNY 2018/2019 Przedmiotowy system oceniania jest zgodny z Rozporządzeniem Ministra Edukacji Narodowej z dnia 10 czerwca 2015 r. w sprawie
Bardziej szczegółowoOPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI
3/27/2011 Ewa Kusideł ekusidel@uni.lodz.pl 1 OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI www.kep.uni.lodz.pl\ewakusidel 3/27/2011 Inwestycje i ryzyko na rynku nieruchomości 2 Inwestycja Inwestycja Nakład na zwiększenie lub
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową
Bardziej szczegółowoFinanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania
Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Wstęp Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć oraz zaleŝności z zakresu zarządzania finansami w szczególności
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Wstęp do matematyki finansowej Introduction to financial mathematics Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowoZajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania
Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas
Bardziej szczegółowoProcenty zadania maturalne z rozwiązaniami
Każde zadanie 1 punkt. 1. Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60 zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje 0,22 60 = 13,20 kwota VAT 60 + 13,20 = 73,20 Odp. A 2. Wskaż liczbę, której
Bardziej szczegółowoFunkcje w MS Excel. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl
Funkcje w MS Excel Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Plan prezentacji Wprowadzenie Funkcje matematyczne Funkcje logiczne Funkcje finansowe Podsumowanie 2/27 Wprowadzenie Funkcje: Są elementami
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowo