Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady"

Transkrypt

1 Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006

2 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty 1.1 Kapitalizacja prosta zgodna W przypadku kapitalizcji prostej oprocentowaniu podlega tylko kapitał początkowy. Załóżmy, że okres stopy procentowej r pokrywa się z okresem kapitalizacji. Oznaczmy przez K 0 wartość początkową kapitału. Niech P n, n N oznacza przyszłą wartość kapitału K 0 po n okresach kapitalizacji, Z n - odsetki przypadające za n-ty okres. Załóżmy, że odsetki dopisywane są z dołu, czyli na koniec okresu kapitalizacji, kapitalizacje taką nazywamy kapitalizacją z dołu (Jeżeli odsetki dopisywane są na początku okresu kapitalizacji to mówimy o kapitalizacji z góry). Zachodzą wzory P n = K 0 (1 + nr) n Z i = K 0 nr i=1 Przykład Po podwyżce o 5% cena samochodu wynosi 30jp. Ile kosztował samochód przed podwyżką i o ile wzrosła jego cena? Oznaczmy przez P 0 starą cenę samochodu. Podwyżkę potraktujemy jako dopisanie odsetek za dany okres. Aby wyznaczyć P 0 należy zdyskontować kwotę 30jp na 1 okres. Zatem 30 P 0 = = 28, 5714 jp 1 + 0, 05 Stąd mamy, że cena samochodu wzrosła o: 30 28, 5714 = 1, 4286 jp. Zad Jaka kwota utworzy po czterech latach kapitał o wartości 400 jp w modelu kapitalizacji prostej, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 15%? Zad Za osiem miesięcy otrzymamy nagrodę w wysokości 1000 jp. Kwota ta zdyskontowana na dwa miesiące według modelu miesięcznej kapitalizacji prostej daje wartość 900 jp. Jaka jest teraźniejsza wartość nagrody? Zad Hurtownia udziela nabywcom towarów kredytu kupieckiego w postaci odroczonego o miesiąc terminu płatności faktury. Jeżeli zapłata nastąpi natychmiast, to 1

3 nabywcy towaru przysługuje prawo skorzystania ze skonta 10%. Wartość zakupionego towaru wynosi 12 tys. jp. Czy opłaca się zaciągnąć kredyt bankowy i skorzystać ze skonta, jeżeli miesięczna stopa kredytu bankowego wynosi 4%? Zad Wyznaczyć wartość kwoty P n po następnych k okresach kapitalizacji ze stopą procentową r w modelu kapitalizacji prostej zgodnej. Zad Zdyskontować wartość kwoty P n na k okresów kapitalizacji. Stopa procentowa wynosi r, kapitalizacja jest prosta zgodna. 1.2 Kapitalizacja złożona z dołu zgodna W modelu kapitalizacji złożonej oprocentowaniu podlega kapitał początkowy oraz zgromadzone do tej pory odsetki. Zgodność kapitalizacji polega na tym, że okres stopy procentowej r pokrywa sie z okresem kapitalizacji. Kapitalizacja z dołu oznacza, że odsetki dopisywane są do kapitału na koniec okresów kapitalizacji. Niech W n oznacza przyszłą wartość kapitału K 0 po n okresach kapitalizacji. Z n niech oznacza odsetki przypadające z n-ty okres. Zachodzą wzory Z n+1 = K n r, n = 0, 1,... K n = K 0 (1 + r) n, n = 0, 1,..., n Z i = K 0 [(1 + r) n 1]. i=1 Przykład Ustalić stan książeczki po 10 latach, jeżeli dokonano w niej nastepujących operacji: - na początku wpłacono 10jp, - po pięciu latach wpłacaono 20jp, - po nastepnym roku wypłacono 40jp. Bank stosuje kapitalizację złożoną roczną przy rocznej stopie procentowej 15%. Poszczególne operacje bankowe można dokonywać umownie na różnych książeczkach zakładanych w odpowiednich momentach czasu. Końcowy stan oszczędności to suma (ze znakiem + - wpłata, ze znakiem minus - wypłata) tych książęczek. Dodajemy zatem przyszłe wartości poszczególnych kwot z uwzględnieniem ich znaków. Mamy zatem trzy książeczki zakładane w momentach: 0, 5 i 6. Mamy K I = 10(1 + 0, 15) 10 = 40, 4556 jp, K II = 20(1 + 0, 15) 5 = 40, jp, K III = 40(1 + 0, 15) 4 = 69, 9603 jp. Stąd stan oszczędności po dziesięciu latach wynosi K I + K II K III = 10, 7225 jp. 2

4 Zad Przy jakiej rocznej stopie procentowej i kapitalizacji rocznej złożonej z dołu dany kapitał podwoi swoją wartość po pięciu latach? Zad Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało w spadku kwotę 500 tys. jp, złożoną w banku, który stosuje kapitalizację roczną z dołu przy rocznej stopie procentowej 20%. Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie spadku, aby w momencie osiągnięcia przez dzieci 21 lat wartości przyszłe części spadku każdego dziecka były takie same. Jak należy podzielić spadek? Zad Obliczyć dochód banku uzyskany w ciągu 5 lat, który przyjął w depozyt kwotę 10 tys. zł według rocznej stopy procentowej 15% i wypożyczył tę kwotę według rocznej stopy procentowej 20%. Bank stosuje kapitalizację roczną złożoną z dołu. Zad Ustalić stan książeczki po 15 latach, jeżeli dokonano w niej następujących operacji: na początku wpłacono 20 jp, po siedmiu latach wypłacono 20 jp, a po następnych dwóch latach wpłacono 20jp. Bank stosuje kapitalizację złożoną roczną z dołu przy rocznej stopie procentowej 12%. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty K n po k okresach kapitalizacji. Kapitalizacja jest złożona z dołu zgodna, stopa procentowa wynosi r. Zad Zdyskontować kwotę K n zgodna, stopa procentowa wynosi r. na k okresów. Kapitalizacja jest złożona z dołu 1.3 Kapitalizacja złożona z góry zgodna W modelu kapitalizacji złożonej oprocentowaniu podlega kapitał początkowy oraz zgromadzone do tej pory odsetki. Zgodność kapitalizacji polega na tym, że okres stopy procentowej r pokrywa sie z okresem kapitalizacji. Kapitalizacja z góry oznacza, że odsetki dopisywane są do kapitału na początku okresów kapitalizacji. Niech K n oznacza przyszłą wartość kapitału K 0 po n okresach kapitalizacji. Z n niech oznacza odsetki przypadające z n-ty okres. Zachodzą wzory W n = K 0 (1 r) n, n = 1, 2,..., n Z i = K 0 [(1 r) n 1]. i=1 Przykład Ile wynosi roczna stopa procentowa, jeżeli przy rocznej kapitalizacji złożonej z góry z kapitału 5 jp uzyskano po jednym roku wartość 8 jp? Mamy K 0 = 5, W 1 = 8. Zachodzi równość W 1 = K 0 (1 r) 1 Stąd czyli r = 0, = 5(1 r) 1, 3

5 Zad Ile wynosi roczna stopa procentowa, jeżeli przy rocznej kapitalizacji złożonej z góry odsetki za drugi rok od kwoty początkowej K 0 = 20 jp wynoszą 2, 2 jp? Zad Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty W n po k okresach kapitalizacji. Kapitalizacja jest złożona z góry zgodna, stopa procentowa wynosi r. Zad Zaktualizuj kwotę W n na k okresów wstecz. Kapitalizacja jest złożona z góry zgodna, stopa procentowa wynosi r. Jaką wartość dostaniemy po zdyskontowaniu kwoty W n na n okresów? Zad W pewnym banku obowiązuje roczna kapitalizacja złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 12%. Jak należy zmienić stopę procentową aby po przejściu na kapitalizację złożoną z góry roczną otrzymać równoważność warunków oprocentowania dla pięciu lat. Czy nowe warunki oprocentowania będą równoważne dla dziesięciu lat? Zad W banku w którym obowiązuje roczna kapitalizacja złożona z dołu kapitał 5jp utworzył po roku kapitał 6jp. Ile zyskałby właściciel kapitału (albo stracił) gdyby przy niezmienionej rocznej stopie procentowej wprowadzono kapitalizację złożoną z góry. 1.4 Kapitalizacja niezgodna Kapitalizacja jest niezgodna, jeżeli okres stopy procentowej r nie pokrywa się z okresem kapitalizacji. Jeżeli okres stopy procentowej jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji, to kapitalizację nazywamy kapitalizacją w podokresach, jeżeli natomiast okres kapitalizacji jest całkowitą wielokrotnością okresu stopy procentowej, to kapitalizację nazywamy kapitalizacją w nadokresach. Oznaczmy przez m stosunek okresu stopy procentowej do okresu kapitalizacji, r - roczna stopa procentowa. W zależności od wartości m kapitalizację nazywamy: - roczną, gdy m = 1, - półroczną, gdy m = 2, - kwartalną, gdy m = 4, - miesięczną, gdy m = 12, - tygodniową, gdy m = 52, - dobową, gdy m = 360, - godzinną, gdy m = 0, 5, - czteroletnią, gdy m = 0, 25. W kapitalizacji niezgodnej, odsetki obliczane są za pomocą względnej stopy procentowej postaci r = r m Oznaczmy przez k ilość okresów kapitalizacji. Wzory dla przyszłej wartości kapitału K 0 w kapitalizacji niezgodnej po k okresach kapitalizacji są postaci: 4

6 - Kapitalizacja prosta ( r ) P k/m = K k, k = 0, 1,... m - Kapitalizacja złożona z dołu - Kapitalizacja złożona z góry ( r ) k, K k/m = K k = 0, 1,... m ( r ) k, W k/m = K 0 1 k = 0, 1,... m Przykład Kapitał o wartości 1 jp został oprocentowany według rocznej stopy procentowej 12%. Ustalić jego przyszłą wartość po 4 latach przy róznych okresach kapitalizacji złożonej z dołu. Dla poszczególnych okresów kapitalizacji złozonej z dołu otrzymujemy: - kapitalizacja dwuletnia K 2/0,5 = ( 1 + 0, 12) 2 = 1, 5376 jp 0, 5 - kapitalizacja roczna K 2/0,5 = ( 1 + 0, 12) 4 = 1, 5735 jp 0, 5 - kapitalizacja kwartalna - kapitalizacja tygodniowa K 16/4 = ( 1 + K 208/52 = ( 1 + 0, 12) 16 = 1, 6047 jp 4 0, 12) 208 = 1, jp. 52 Zad Bank stosuje następujące roczne stopy procentowe dla lokat procentowych Czas lokaty w miesiącach Roczna stopa procentowa 3 15 % 6 17 % % Odsetki dopisywane są do kapitału po deklarowanym okresie trwania lokaty. Nie podjęcie kapitału po okresie deklarowanym jest równoważne jego wpłacie na następny taki sam okres. Wybrać najlepszy wariant ulokowania 100jp na dwa lata. Jaką stratę poniósłby właściciel kapitału przy wyborze wariantu najgorszego? 5

7 Zad Kapitał o wartości 1 jp został oprocentowany według rocznej stopy procentowej 12%. Ustalić jego przyszłą wartość po 4 latach przy różnych okresach kapitalizacji prostej. Zad Bank A dopisuje odsetki na koniec trwania lokaty wg rocznej stopy procentowej 9%. W banku B obowiązuje kapitalizacja kwartalna z dołu przy rocznej stopie 8%. W którym banku korzystne jest ulokowanie pieniędzy na trzy lata. Czy odpowiedź zależy od liczby lat trwania lokaty? Zad Kapitał 1 jp został oprocentowany na 12% w stosunku rocznym. Ustalić jego przyszłą wartość po 4 latach przy różnych okresach kapitalizacji złożonej z dołu. Zad Kapitał 1 jp został oprocentowany na 12% w stosunku rocznym. Ustalić jego przyszłą wartość po 4 latach przy różnych okresach kapitalizacji złożonej z góry. Zad Do banku wpłacono 20jp. Przez pierwsze trzy lata obowiązywała półroczna kapitalizacja złożona z dołu z roczną stopą 12%, przez następne dwa lata obowiązywała kwartalna kapitalizacja złożona z góry z roczną stopą procentową 9%. Przez następny rok obowiązywała miesięczna kapitalizacja złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 7%. Zad Ile wynosi roczna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji z dołu odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20jp wyniosły 2, 2jp? Zad Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty K 0 = 100 jp po 13 miesiącach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest roczna złożona z dołu. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 100 zł po 1 roku i 8 dniach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 20% i kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 500 jp po 2 latach, jeżeli bank stosuje roczną kapitalizację złożoną z dołu przy rocznej stopie procentowej 16%. Zamienić kapitalizację na dwuletnią, półroczną. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 1 jp po 15 miesiącach, jeżeli w banku obowiązuje kapitalizacja miesięczna przy rocznej stopie procentowej 18%. Zadanie rozwiązać wykorzystując względną stopę procentową, roczną stopę efektywną, piętnastomiesieczną stopę efektywną. Zad (metoda liczb procentowych) Niech r oznacza roczną stopę procentową. Przyszła wartość kwoty K 0 po t dniach w oprocentowaniu prostym jest równa: natomiast odsetki za ten okres wynoszą K t = K 0 (1 + t r 360 ), Z t = K 0 t r 360. Czynnik K 0 t nazywa się liczbą procentową, natomiast 360/r nazywamy dzielnikiem procentowym. Załóżmy, że na rachunku bankowym dokonano N operacji bankowych, 6

8 wpłat i wypłat, wysokość kwoty w i-tej operacji oznaczmy przez S i. Wpłaty poprzedzamy znakiem +, wypłaty znakiem -. Niech t i oznacza liczbę dni, które upłynęły między dniem dokonania i-tej operacji a dniem rozliczenia t. Przy podanych oznaczeniach wartość konta bankowego w dniu t jest równa: N K t = S i + r N S i t i. i=1 360 i=1 Sumę L = i=1 NS i t i nazywamy sumaryczną liczbą procentową. Na rachunku bankowym dokonano następujących operacji: wpłata 560 zł, wpłata 140 zł, wypłata 500 zł. Jaką maksymalną kwotę można pobrać z tego rachunku w dniu r, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12%? Rozwiązać zadanie stosując metodę liczb procentowych Efektywna i równoważna stopa procentowa Przy ustalonej stopie procentowej przyszła wartość kapitału zależy od modelu kapitalizacji oraz od częstości dopisywania odsetek. Czasami zachodzi potrzeba zmiany okresu kapitalizacji z równoczesnym zachowaniem efektu kapitalizacji. Wygodnie jest też zamienić kapitalizację niezgodną na zgodną. Uzgadnianie kapitalizacji polega albo na podwyższeniu stopy procentowej, albo na jej obniżeniu. Do tego służą dla kapitalizacji złożonej z dołu odpowiednio efektywna i równoważna stopa procentowa, określone wzorami r ef = ( 1 + r m) m 1 r r = (1 + r) 1 m 1 Dla kapitalizacji złożonej z góry mamy odpowiednio r ef = 1 ( 1 r m ) m r r = 1 (1 r) 1 m. Stopy efektywne i stopy równoważne pozwalają na zmianę bez naruszenia efektu oprocentowania kapitalizacji niezgodnych kapitalizacjami zgodnymi. Do tego służą następujące wzory: K n = K 0 (1 + r r ) nm, K k/m = K 0 (1 + r ef ) k m, W n = K 0 (1 r r ) nm, W k/m = K 0 (1 r ef ) k m. Powyższe wzory dają możliwość wyznaczenia przyszłej wartości kapitału po niepełnej ilości okresów kapitalizacji. Niech r oznacza względną stopę procentową dostosowaną do 7

9 okresu kapitalizacji. Rzeczywisty czas oprocentowania t dzielimy na k równych części, tak aby okres kapitalizacji był całkowita wielokrotnością m takich części. Przyszłą wartość kapitału K 0 po czasie t obliczamy stosując wzory: K t = K 0 (1 + r) k m W t = K 0 (1 r) k m Przykład Wyznaczyć przyszłą wartość 500 jp po 2 latach, jeżeli bank stosuje roczną kapitalizację złożoną z dołu przy rocznej stopie procentowej 16%. Zadanie to rozwiążemy na różne sposoby: - Stosując nominalną roczną stopę procentową, mamy - Stosując dwuletnią stopę efektywną: K 2 = K 0 (1 + r) 2 = 500(1 + 0, 16) 2 = 672, 8 jp. r ef = ( 1 + 0, 32) 2 1 = 0, K 1 = K 0 (1 + r ef ) 1 = 500 1, 3456 = 672, 8 jp. - Za pomocą półrocznej stopy równoważnej: r r = (1 + 0, 16) = 0, 077, K 4/2 = K 0 (1 + r r ) 4 = 500 1, = 672, 8 jp. Przykład Wyznaczyć przyszłą wartość 50 jp po roku i 7 dniach, jeśli roczna stopa procentowa wynsoi 10% i kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu. Wyznaczymy dzienną, równoważną stopę procentową: Stąd ( r r = (1 + r) 1 0, 10) 1 m 1 = = 0, K 367 = 50(1 + r r ) 367 = 55, 297 jp. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty K 0 = 100jp po 13 miesiącach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest roczna złożona z dołu. Zad Wyznacz przyszłą wartość kwoty K 0 = 15jp po roku i 10 dniach jeśli bank stosuje miesięczną stopę procentową 2% i kapitalizacja jest miesięczna złożona z góry Zad Wyznacz przyszłą wartość 50jp po roku i 8 dniach jeśli roczna stopa procentowa wynosi 10% i kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 500jp po 2 latach, jeśli bank stosuje roczną kapitalizację złożoną z dołu przy rocznej stopie procentowej 16%. Rozwiązać zadanie stosując różne okresy kapitalizacji tak aby otrzymać tą samą wartość przyszłą. 8

10 Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 200jp po 15 miesiącach jeśli w banku obowiązuje kapitalizacja półroczna złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 2%. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 100jp po 10 latach jeśli bank stosuje roczną stopę procentową 2% i roczną kapitalizację złożoną z dołu. Zamienić z równoważnym efektem oprocentowania kapitalizację roczną na kapitalizacje: 2-letnią, 5-letnią, półroczną i miesięczną. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 100jp po 10 latach jeśli bank stosuje półroczną stopę procentową 2% i roczną kapitalizcję złożoną z dołu. Zamienić kapitalizację na inne równoważne. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 1jp po 15 miesiącach, jeżeli w banku obowiązuje kapitalizacja miesięczna złożona z góry przy rocznej stopie 20%. Rozważyć lokaty: miesięczna, 15-miesięczna, 5-miesięczna, tygodniowa, dniowa. Zad Wyznaczyć wartość 100jp po 13 miesiącach, jeśli bank stosuje roczną kapitalizację złożoną z dołu i roczną stopę procentową 5%. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 500jp po 4 latach, jeśli bank stosuje roczną kapitalizację złożoną z dołu przy rocznej stopie procentowej 16%. Zamienić z równoważnym efektem oprocentowania kapitalizację roczną na kapitalizację: 4-letnią, 2-letnią, półroczną. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość kwoty K 0 = 100jp po 13 miesiącach, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest roczna złożona z dołu. Rozwiązać zadanie zamieniając kapitalizację na 13-miesięczną, miesięczną. Zad Wyznacz przyszłą wartość kwoty K 0 = 15jp po roku i 10 dniach jeśli bank stosuje miesięczną stopę procentową 2% i kapitalizacja jest miesięczna złożona z góry Zad Wyznaczyć wartość 50jp po 18 miesiącach, jeżeli bank stosuje kapitalizację kwartalną z góry i półroczną stopę procentową r = 6%. Zamienić kapitalizację tak aby otrzymać równoważność oprocentowania na kapitalizację: miesięczną, 2. półroczną, 3. kwartalną. Zad Wyznacz przyszłą wartość 50jp po roku i 8 dniach jeśli roczna stopa procentowa wynosi 10% i kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu. Zad Wyznacz przyszłą wartość 50jp po roku i 7 dniach jeśli roczna stopa procentowa wynosi 10% i kapitalizacja jest kwartalna złożona z dołu. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 200jp po 15 miesiącach jeśli w banku obowiązuje kapitalizacja półroczna złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej 2%. Zadanie rozwiązać stosując stopy: 15-miesięczną, kwartalną, miesięczną, ponadto rozwiązać zadanie wyznaczając jednostkę podstawową. 9

11 Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 100jp po 10 latach jeśli bank stosuje roczną stopę procentową 2% i roczną kapitalizację złożoną z dołu. Zamienić z równoważnym efektem oprocentowania kapitalizację roczną na kapitalizacje: 2-letnią, 5-letnią, półroczną i miesięczną. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 100jp po 10 latach jeśli bank stosuje półroczną stopę procentową 2% i roczną kapitalizcję złożoną z dołu. Zamienić kapitalizację na inne równoważne. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 1jp po 15 miesiącach, jeżeli w banku obowiązuje kapitalizacja miesięczna złożona z góry przy rocznej stopie 20%. Rozważyć stopy procentowe: miesięczną, 15-miesięczną, 5-miesięczną, tygodniową, dniową tak aby otrzymać równoważność warunków oprocentowania. Zad Wyznaczyć wartość 100jp po 13 miesiącach, jeśli bank stosuje roczną kapitalizację złożoną z dołu i roczną stopę procentową 5%. 1.5 Kapitalizacja ciągła Kapitalizacja ciągła to graniczny przypadek kapitalizacji złożonej w podokresach, gdy częstość dopisywania odsetek dązy do nieskończoności. Symbolem K(n) oznaczmy przyszłą wartość kapitału K 0 po n okresach stopy procentowej w kapitalizacji ciągłej. Zachodzi wzór K(n) = K 0 e nr, n = 1, 2,... Powyższy wzór uogólnia się do postaci K(t) = K 0 e tr, t > 0, gdzie t oznacza czas oprocentowania mierzony okresem stopy procentowej r. Odsetki Z t wyznaczone przez kapitał K 0 w czasie [0,t] wynoszą Z t = K 0 (e tr 1). Przykład Wyznaczyć przyszłą wartość 1 jp po czterech latach w modelu kapitalizacji ciągłej, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 12%. Zad Wyznaczyć przyszłą wartość 10 jp po 6 latach w modelu kapitalizacji ciągłej, jeżeli półroczna stopa procentowa wynosi 12%. Zad Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału K 0 = 750 jp po 13 latach, 7 miesiącach i 15 minutach, gdy okresem stopy procentowej r = 0, 0015 jest kwartał. Kapitalizacja jest ciągła. Zad W banku obowiązuje kapitalizacja złożona z dołu przy rocznej stopie procentowej r = 12%. Jak należy zmienić roczną stopę procentową aby po przejściu na kapitalizację ciągłą otrzymać równoważność warunków oprocentowania dla 5 lat. Czy nowe warunki oprocentowania będą równoważne dla 10 lat? Zad Jaka jest roczna stopa procentowa, jeżeli przy kapitalizacji ciągłej z kapitału 3 jp uzyskano po 15 miesiącach wartość 5 jp? 10

12 Bibliografia [1] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Kraków [2] A. Kaźmierczak, Polityka pieniądza w gospodarce rynkowej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa [3] Z. Dobosiewicz, Bankowość, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne,

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN

[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN [2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN [3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet [4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej,

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania

Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zajęcia 8 - Równoważność warunków oprocentowania Zadanie 1 Mając roczną stopę oprocentowania prostego 18% wyznaczyć równoważną stopę: 1. miesięczną. 2. tygodniową. 3. 2-letnią. Uzasadnić wyniki. Czy czas

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 i 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address:

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2 Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

I = F P. P = F t a(t) 1

I = F P. P = F t a(t) 1 6. Modele wartości pieniądza w czasie. Współczynnik akumulacji kapitału. Kapitalizacja okresowa, kapitalizacja ciągła. Wartość bieżąca, wartość przyszła. Pojęcia kredytu, renty, renty wieczystej, zadłużenia

Bardziej szczegółowo

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min.

zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. zaliczenie na ocenę z elementarnej matematyki finansowej I rok MF, 21 czerwca 2012 godz. 8:15 czas trwania 120 min. Imię nazwisko:... numer indeksu:... nr zadania zad.1 zad.2 zad.3 zad.4 zad.5 zad.6 zad.7

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, PWSZ w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/ Bibliografia [1] M. Podgórska,

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję:

1940, 17 = K 4 = K 2 (1, 05)(1 + x 200 )3. Stąd, po wstawieniu K 2 dostaję: Poniższe rozwiązania są jedynie przykładowe. Każde z tych zadań da się rozwiązać na wiele sposobów, ale te na pewno są dobre (i prawdopodobnie najprostsze). Komentarze (poza odpowiedziami) są zbędne -

Bardziej szczegółowo

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku

1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku 1. Jaką kwotę zgromadzimy po 3 latach na lokacie bankowej jeśli roczna NSP wynosi 4%, pierwsza wpłata wynosi 300 zl i jest dokonana na poczatku miesiąca a każda następna miesięczna wpłata jest (a) Większa

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza

Wartość przyszła pieniądza O koszcie kredytu nie można mówić jedynie na podstawie wysokości płaconych odsetek. Dla pożyczającego pieniądze najważniejszą kwestią jest kwota, jaką będzie musiał zapłacić za korzystanie z cudzych środków

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1. NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI

ZADANIE 1.  NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Na budowę domu możesz zaciagn ać pożyczkę w wysokości 63450 e. Do wyboru sa dwa warianty spłaty: I w każdym miesiacu spłacasz równe raty, każda w wysokości 2% pożyczonej kwoty. II pierwsza rata

Bardziej szczegółowo

Matematyka I dla DSM zbiór zadań

Matematyka I dla DSM zbiór zadań I Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. Matematyka I dla DSM zbiór zadań do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i 3. i= 5 ( ) i

Bardziej szczegółowo

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3

Procent prosty Def.: Procent prosty Zad. 1. Zad. 2. Zad. 3 Procent prosty Zakładając konto w banku, decydujesz się na określone oprocentowanie tego rachunku. Zależy ono między innymi od czasu, w jakim zobowiązujesz się nie naruszać stanu konta, czyli tzw. lokaty

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka Finansowa dla liderów dr Aneta Kaczyńska Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu 30 listopada 2017 r. Dr Tomaszie Projektami EKONOMICZNY UNIWERSYTET DZIECIĘCY Copywrite

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 20 października 2014 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3 Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej

Elementy matematyki finansowej ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa V. Ciągi

Matematyka podstawowa V. Ciągi Matematyka podstawowa V Ciągi Teoria ciąg arytmetyczny - pierwszy wyraz ciągu - różnica Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego powstaje przez dodanie do poprzedniego różnicy. = + Np. =2,=3 :2,5,8,11 = 4,=2

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE WPROWADZENIE PYTANIA KONTROLNE Różnica pomiędzy: inwestycją, projektem inwestycyjnym, przedsięwzięciem inwestycyjnym Rodzaje inwestycji ze względu na cel Wartość pieniądza w

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima

Elementy matematyki finansowej w programie Maxima Maxima-03_windows.wxm 1 / 8 Elementy matematyki finansowej w programie Maxima 1 Wartość pieniądza w czasie Umiejętność przenoszenia kwot pieniędzy w czasie, a więc obliczanie ich wartości na dany moment,

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Dorota Klim Instytut Matematyki i Informatyki, Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl http://math.uni.lodz.pl/ klimdr/

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Ćwiczenia 5 Pojęcie benchmarku, tracking error Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Renata Karkowska, Wydział Zarządzania UW 1 Współczynnik Sharpe a Renata Karkowska,

Bardziej szczegółowo

Procenty zadania maturalne z rozwiązaniami

Procenty zadania maturalne z rozwiązaniami Każde zadanie 1 punkt. 1. Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60 zł. Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje 0,22 60 = 13,20 kwota VAT 60 + 13,20 = 73,20 Odp. A 2. Wskaż liczbę, której

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV

Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Wartość przyszła pieniądza: Future Value FV Jeśli posiadamy pewną kwotę pieniędzy i mamy możliwość ulokowania ich w banku na ustalony czas i określony procent, to kwota w przyszłości (np. po 1 roku), zostanie

Bardziej szczegółowo

1 Wstęp. arytmetykę finansową (problemy związane z oprocentowaniem i dyskontowaniem, w szczególności plany spłaty kredytów);

1 Wstęp. arytmetykę finansową (problemy związane z oprocentowaniem i dyskontowaniem, w szczególności plany spłaty kredytów); Wstęp Zastosowania matematyki w ekonomii obejmują cały szereg zagadnień, poczynając od prostych operacji arytmetycznych. Dzięki matematyce ekonomiści są w stanie opisywać złożone zjawiska i formułować

Bardziej szczegółowo

Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995.

Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy

Bardziej szczegółowo

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

2b. Inflacja. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa 2b. Inflacja Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2b. Inflacja Matematyka finansowa 1 / 22 1 Motywacje i

Bardziej szczegółowo

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski

Nauka o finansach. Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski Nauka o finansach Prowadzący: Dr Jarosław Hermaszewski WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Wykład 4 Prawda ekonomiczna Pieniądz, który mamy realnie w ręku, dziś jest wart więcej niż oczekiwana wartość tej samej

Bardziej szczegółowo

2a. Przeciętna stopa zwrotu

2a. Przeciętna stopa zwrotu 2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa wokół nas Michał Trzęsiok Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 6 listopada 2017 r. Czym jest pieniądz? Pieniądz - dobro, które jest powszechnie akceptowane

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 1 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu)

WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE c.d. (WACC + Spłata kredytu) PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we wzorach oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3. Zadanie 1 Amortyzacja środków trwałych Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r.

Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 16 listopada 1996 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:.... Czas egzaminu: l OO minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości

Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Zastosowanie matematyki w finansach i bankowości Maciej Wolny I. Kalkulacja wartości pieniądza w czasie... 1 II. Nominalna, efektywna i realna stopa procentowa... 4 III. Spłata kredytów w równych i różnych

Bardziej szczegółowo

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014

Jak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014 Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE. Ćwiczenia nr 1 i 2

METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE. Ćwiczenia nr 1 i 2 METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH WPROWADZENIE WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Ćwiczenia nr 1 i 2 - Cel ćwiczeń - Komunikacja email: i.ratuszniak@efficon.pl, w temacie - mopi - Konsultacje: pokój: 428,

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1.

Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Albert Tomaszewski Grupy 1-2 Zadanie 1. Grupy 1-2 Zadanie 1. Sprawdźcie ofertę dowolnych 5 banków i wybierzcie najlepszą ofertę oszczędnościową (lokatę lub konto oszczędnościowe). Obliczcie, jaki zwrot przyniesie założenie jednej takiej lokaty

Bardziej szczegółowo

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI 3/27/2011 Ewa Kusideł ekusidel@uni.lodz.pl 1 OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI www.kep.uni.lodz.pl\ewakusidel 3/27/2011 Inwestycje i ryzyko na rynku nieruchomości 2 Inwestycja Inwestycja Nakład na zwiększenie lub

Bardziej szczegółowo

1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa

1a. Lokaty - wstęp. Grzegorz Kosiorowski. Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie. Matematyka finansowa 1a. Lokaty - wstęp Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 1a. Lokaty - wstęp Matematyka finansowa 1 / 44 1

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Wartość pieniądza w czasie

Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Temat 1: Wartość pieniądza w czasie Inwestycja jest w istocie bieżącym wyrzeczeniem się dla przyszłych korzyści. Ale teraźniejszość jest względnie dobrze znana, natomiast przyszłość to zawsze tajemnica.

Bardziej szczegółowo

5. Strumienie płatności: renty

5. Strumienie płatności: renty 5. Strumienie płatności: renty Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Strumienie płatności: renty Matematyka

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org

Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez ebooki24.org Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor: Tytuł:

Bardziej szczegółowo

KARTA PRACY Z PROCENTÓW - nowa

KARTA PRACY Z PROCENTÓW - nowa KARTA PRACY Z PROCENTÓW - nowa ZADANIE 1. Zamień procenty na ułamki ( : 100 ) 25%= 50%= % % 62%= 16 % 138%= 11 % 2%= 33 % 2340%= 3 % 0,4%= 66 % 0,35%= % 1,05%= 1%= 2,3%= 4%= 27,4%= 16%= 0,004%= 28%= %

Bardziej szczegółowo

Egzamin dla Aktuariuszy z 26 października 1996 r.

Egzamin dla Aktuariuszy z 26 października 1996 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin dla Aktuariuszy z 26 października 1996 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:.... Czas egzaminu: l OO minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków

Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Ten ebook zawiera darmowy fragment publikacji "Finanse dla każdego" Darmowa publikacja dostarczona przez PatBank.pl - bank banków Copyright by Złote Myśli &, rok 2008 Autor:

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych

Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Zadania do wykładu Rachunek efektywności projektów inwestycyjnych Dorota Klim Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki, Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

Akademia Młodego Ekonomisty

Akademia Młodego Ekonomisty Akademia Młodego Ekonomisty Matematyka finansowa dla liderów Matematyka finansowa wokół nas dr Agnieszka Bem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu 20 listopada 2017 r. Wartość pieniądzaw czasie Wartość

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz: 65 % liczby 80, 28 % liczby 12,4, 4,6 % liczby 32 3

Zadanie 1. Oblicz: 65 % liczby 80, 28 % liczby 12,4, 4,6 % liczby 32 3 Zadanie 1. Oblicz: 65 % liczby 80, 28 % liczby 12,4, 4,6 % liczby 32 3 2. Odp.: 52; 3,472; 1 377/450 Zadanie 2. Oblicz: 40 % z 28 % liczby 38, 24,6 % z 15 % liczby 27,4. Odp.: 4,256; 1,01106 Zadanie 3.

Bardziej szczegółowo

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. obowiązująca od dnia

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. obowiązująca od dnia Załącznik nr 1 do Uchwały Nr 13./Z/2013 Zarządu BS w Podegrodziu z dnia 11.04.2013 r Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH Dla klientów indywidualnych w Banku Spółdzielczym

Bardziej szczegółowo

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu Załącznik nr 1 do Uchwały Nr 27/Z/2013 Zarządu BS w Podegrodziu z dnia 24.07.2013 Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH Dla klientów indywidualnych w Banku Spółdzielczym

Bardziej szczegółowo

Funkcje w MS Excel. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl

Funkcje w MS Excel. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Funkcje w MS Excel Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Plan prezentacji Wprowadzenie Funkcje matematyczne Funkcje logiczne Funkcje finansowe Podsumowanie 2/27 Wprowadzenie Funkcje: Są elementami

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa, rozkład normalny, Model wyceny aktywów kapitałowych, Forward, Futures

Matematyka finansowa, rozkład normalny, Model wyceny aktywów kapitałowych, Forward, Futures Matematyka finansowa, rozkład normalny, Model wyceny aktywów kapitałowych, Forward, Futures 1 Inwestor ma trzyletnią obligację o wartości nominalnej 2000 zł, oprocentowaną 8% rocznie, przy czym odsetki

Bardziej szczegółowo

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu Załącznik nr 3 do Uchwały Nr 8/Z/2014 Zarządu BS w Podegrodziu z dnia 14.01.2014r Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH Dla klientów indywidualnych w Banku Spółdzielczym

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto Osobiste Oprocentowanie konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie

Bardziej szczegółowo

Granice ciągów liczbowych

Granice ciągów liczbowych Granice ciągów liczbowych Obliczyć z definicji granicę ciągu o wyrazie, gdzie jest pewną stałą liczbą. Definicja: granicą ciągu jest liczba, jeśli Sprawdzamy, czy i kiedy granica rozpatrywanego ciągu wynosi

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY Zad1 ( 5 pkt) 1 0 8 1 2 11 5 4 Dane są liczby x 5, y 5 2 2 1 5 a) Wyznacz liczbę, której 60% jest równe x Wynik podaj z dokładnością do 0,01 b)

Bardziej szczegółowo

Obowiązuje od 01.02.2016 r.

Obowiązuje od 01.02.2016 r. KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe oraz odsetki za przekroczenie limitu

Bardziej szczegółowo

newss.pl Raport tygodniowy Inwestycje.pl: Superlokaty odchodzą do lamusa

newss.pl Raport tygodniowy Inwestycje.pl: Superlokaty odchodzą do lamusa Banki reagują na trzecią obniżkę stóp procentowych przez RPP. Dwucyfrowe zyski z lokat są już tylko wspomnieniem. Poszukujący sensownego zysku mogą rozważyć inwestycję w struktury. Co w ciągu minionego

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka i wycena kontraktów terminowych forward

Charakterystyka i wycena kontraktów terminowych forward Charakterystyka i wycena kontraktów terminowych forward Profil wypłaty forward Profil wypłaty dla pozycji długiej w kontrakcie terminowym Long position Zysk/strata Cena spot Profil wypłaty dla pozycji

Bardziej szczegółowo

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania

Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Finanse przedsiębiorstw mgr Kazimierz Linowski WyŜsza Szkoła Marketingu i Zarządzania Wstęp Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych pojęć oraz zaleŝności z zakresu zarządzania finansami w szczególności

Bardziej szczegółowo

WACC Montaż finansowy Koszt kredytu

WACC Montaż finansowy Koszt kredytu WACC Montaż finansowy Koszt kredytu PYTANIA KONTROLNE Co oznacza pojęcie kapitalizacja odsetek? Zdefiniuj stopę procentową i dyskontową Co oznacza pojęcie wartość przyszła i bieżąca? Jakimi symbolami we

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto Osobiste Oprocentowanie konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe dwukrotność odsetek ustawowych,

Bardziej szczegółowo

B. Zobowiązania i rezerwy na zobowiązania

B. Zobowiązania i rezerwy na zobowiązania 1 Zadanie.2.1 - Sporządzanie Bilansu Przedsiębiorstwo X działające w formie spółki z ograniczoną odpowiedzialnością na koniec okresu sprawozdawczego (31.12.20A1) posiadało: środki pieniężne na rachunku

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania depozytów w Banku Spółdzielczym w Chodzieży (obowiązuje od 19 października 2015r.)

Tabela oprocentowania depozytów w Banku Spółdzielczym w Chodzieży (obowiązuje od 19 października 2015r.) Załącznik Nr 1 do Uchwały Nr 89/B/2015 Zarządu Banku Spółdzielczego w Chodzieży z 12 października 2015r. Tabela oprocentowania depozytów (obowiązuje od 19 października 2015r.) Chodzież, październik 2015

Bardziej szczegółowo

Konkurs wiedzy ekonomicznej

Konkurs wiedzy ekonomicznej POZIOMO: 1. zdolność pieniądza do przechowywania wartości 2. pośrednik giełdowy 3. stan rachunku lub konta 4. punkt wymiany walut 5. waluta zjednoczonej Europy 6. spadek cen kursu papierów wartościowych

Bardziej szczegółowo

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k

Stopa Inflacji. W oparciu o zbiór składający się z n towarów, stopa inflacji wyraża się wzorem. n 100w k p k. , p k 2.1 Stopa Inflacji Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych stóp inflacji, gdzie cząstkowa stopa

Bardziej szczegółowo

TABELA OPROCENTOWANIA KREDYTÓW I DEPOZYTÓW W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W TYCHACH

TABELA OPROCENTOWANIA KREDYTÓW I DEPOZYTÓW W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W TYCHACH Załącznik do Uchwały nr 51/2014 Zarządu Banku Spółdzielczego w Tychach z dnia 22.08.2014 r. TABELA OPROCENTOWANIA KREDYTÓW I DEPOZYTÓW W BANKU SPÓŁDZIELCZYM W TYCHACH Rozdział I. Oprocentowanie produktów

Bardziej szczegółowo

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Powtórzenie. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Powtórzenie Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Średnia wartość stopy zwrotu dla wszystkich spółek finansowych wynosi 12%, a odchylenie standardowe 5,1%. Rozkład tego zjawiska zbliżony jest do rozkładu normalnego.

Bardziej szczegółowo

Porównanie oferty kredytu i oferty faktoringu. Przykładowa analiza. strona 1

Porównanie oferty kredytu i oferty faktoringu. Przykładowa analiza.  strona 1 Porównanie oferty kredytu i oferty faktoringu Przykładowa analiza www.strattek.pl strona 1 Spis 1. Parametry kredytu oferowanego przez bank 2 2. Parametry faktoringu 2 3. Objaśnienia terminów używanych

Bardziej szczegółowo

Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne.

Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne. Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Sporządzanie planu spłaty kredytu wykład 5. dla 5. roku HM zaoczne dr Adam Salomon Finansowanie inwestycji rzeczowych w gospodarce rynkowej Podręcznik

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto Osobiste Oprocentowanie konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe dwukrotność odsetek ustawowych,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu

Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH. Dla klientów indywidualnych. w Banku Spółdzielczym w Podegrodziu Załącznik nr 1 do Uchwały Nr 27/Z/2014 Zarządu Banku Spółdzielczego w Podegrodziu z dnia 09-10-2014 r Bank Spółdzielczy w Podegrodziu TABELA OPROCENTOWANIA PRODUKTÓW BANKOWYCH Dla klientów indywidualnych

Bardziej szczegółowo

Porównanie opłacalności kredytu w PLN i kredytu denominowanego w EUR Przykładowa analiza

Porównanie opłacalności kredytu w PLN i kredytu denominowanego w EUR Przykładowa analiza Porównanie opłacalności kredytu w PLN i kredytu denominowanego w EUR Przykładowa analiza Opracowanie: kwiecień 2016r. www.strattek.pl strona 1 Spis 1. Parametry kredytu w PLN 2 2. Parametry kredytu denominowanego

Bardziej szczegółowo

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera

www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera www.pokonac-rynek.pl Wzory - matematyka finansowa Opracował: Łukasz Zymiera Wartość pieniądza w czasie MWP mnożnik wartości przyszłej MWO mnożnik wartości obecnej MWPR mnożnik wartości przyszłej renty

Bardziej szczegółowo

Tabela oprocentowania dla konsumentów

Tabela oprocentowania dla konsumentów KONTA Konto osobiste konta 0,10% Brak kwoty minimalnej. zmienne obowiązuje od 18.05.2015 r. Miesięczna kapitalizacja odsetek. Odsetki za niedozwolone saldo debetowe - 4-krotność stopy kredytu lombardowego

Bardziej szczegółowo