Automatyka i Regulacja Automatyczna, PRz, r.a. 2011/2012, Żabiński Tomasz

Transkrypt

1 Wykład 8 Transformata Laplace a - przypomnienie, transmitancja operatorowa, scematy bloko, wprowadzenie do pakietu Matlab/Scilab, regulatory PID - transmitancja, modele matematyczne wybranyc obiektów regulacji, przykłady wyprowadzenia transmitancji z potrzebą linearyzacji i bez linearyzacji równań, bilanse: masy, energii, momentu. Transformata Laplace a przypomnienie Transformata jednostronna f(t) oryginał spełniający odpowiednie warunki (w naszyc rozważaniac spełnione) F( transformata, s zmienna zespolona Tablica podstawowyc własności Uproszczona tablica podstawowyc transformat

2 , zero warunki początko* zero warunki początko*

3 *, *, * Przykład - obustronnie stosujemy przekształcenie Laplace a dla dla na podstawie tabeli Metoda rozkładu na ułamki proste Pierwiastki jednokrotne rzeczywiste - metoda przesłaniania Pierwiastki zespolone - rzeczywisty 3

4 - metoda przesłaniania Wskazówka - dla biegunów rzeczywistyc odpowiedź to suma funkcji wykładniczyc entualnie mnożonyc przez dla biegunów wielokrotnyc - dla biegunów zespolonyc odpowiedź to suma funkcji sin i cos z amplitudą modyfikowaną wykładniczo Nieformalna wskazówka:. Transmitancja operatorowa Uwaga Pierwiastki licznika transmitancji nazywamy zerami zaś pierwiastki mianownika transmitancji nazywamy biegunami. 4

5 Uwaga Parametry transmitancji zależą tylko od właściwości obiektu a nie od carakteru sygnału jściogo. Przykład cd. Pytanie: jaka będzie odpowiedź układu na wymuszenie skoko o amplitudzie równej. Wyznacz wartość ustaloną odpowiedzi. 3. Scematy bloko 5

6 6

7 4. Wprowadzenie do pakietu Matlab/Scilab Podstawo instrukcje - Matlab. Definiowanie ktora czasu t=0:0.:5;. Definiowanie transmitancji L=[a n a n- a a 0 ] M=[b n b n- b b 0 ] 3. Odpowiedź transmitancji na sygnał jściowy w postaci skoku jednostkogo y=step(l,m,t); 4. Wykres plot(t,y); grid Analogiczne zadania można wykonać w nieodpłatnie dostępnym pakiecie Scilab ( Definiowanie ktora czasu t=[0:0.:5]; bądź t=0:0.:5; 7

8 . Definiowanie transmitancji s=poly(0, s ); bądź s=%s sys=syslin( c,( )/( )); 3. Odpowiedź transmitancji na sygnał jściowy w postaci skoku jednostkogo y=csim( step,t,sy; 4. Wykres plotd(t,y); xgrid bądź plot(t,y); xgrid Przykłady 8

9 5. Regulatory PID transmitancje 9

10 6. Modele matematyczne wybranyc obiektów regulacji Zbiornik z pompą opróżniającą (bilans masy) q q wy A 5 Q Qwy( H( As 4 3 Matlab L = M = [ 0] t = 0:0.:0; y = step (L,M,t); L = - y = step(l,m,t); plot (t, y, r-,t,y, g-,t,y+y, b- ), grid

11 Zbiornik z wypłym pod ciśnieniem ydrostatycznym (bilans masy) q A Po linearyzacji (rozwinięcie w szereg Taylora) H ( k ( ) ( ) Q s k S s Ts s q wy Podgrzewacz elektryczny (bilans energii), c, V q T q, c, T 0 P,R, c, T u T U k Ts Opóźnienie transporto w kotle rusztowym S u y u L v y L v Uwaga Transmitancje obiektów tecnologicznyc (energetycznyc, cemicznyc i in.) należy zwykle uzupełnić o pewne opóźnienie, co daje: e s, e s, e s. Ts Ts Ts Bardzo często wartość określa się eksperymentalnie.

12 Przybliżenie Padé e s s ( s )! s! 3 ( s )... 3! ! Przykład Matlab instrukcja pade przybliżenie -go rzędu L=; M=[ ]; [Lp Mp]=pade(,); Lz=conv(L,Lp); Mz=conv(M,Mp); t=0:0.0:; y=step(lz,mz,t); plot(t,y);grid G( e s s Przykład Scilab aproksymacja opóźnienia - przybliżenie -go rzędu s=%s; sys= syslin('c',/(s+)); delay=syslin('c',(-*/(+*); sys=sys*delay; t=0:0.0:; y=csim('step',t,sy; plot(t,y);xgrid Przykład Matlab instrukcja pade przybliżenie -go i -go rzędu L=; M=[ ]; [Lp Mp]=pade(,); [Lp Mp]=pade(,); Lz=conv(L,Lp); Mz=conv(M,Mp); Lz=conv(L,Lp); Mz=conv(M,Mp); t=0:0.0:; y=step(lz,mz,t); y=step(lz,mz,t); plot(t,y, r-,t,y, b- );grid G( e s s

13 Silnik prądu stałego z magnesami trwałymi sterowanie napięcio i R U J S N S U U s k s Ts s k s s( Ts ) Silnik prądu stałego z magnesami trwałymi sterowanie prądo i s s U k s i R J S k s s s U N S 7. Proste przykłady wyprowadzenia transmitancji 7.. Bilans masy Metodologia Maxlla (868) ) Ułożyć równania dynamiki układu regulacji i zbadać jak zależą ic rozwiązania od nastaw regulatora występującyc współczynnikac. ) Wybrać takie nastawy, które dają najlepsze rozwiązanie (przebiegi) ze względu na kształt i prędkość. Punktem wyjścia jest ułożenie równania sterowanego obiektu (model matematyczny). Modelowanie, czyli układanie równań, opiera się o podstawo prawa fizyki, termodynamiki, kinetyki cemicznej itp. Dla potrzeb automatyki wystarcza umiarkowana dokładność modelowania. Ważną zaletą układów ze sprzężeniem zwrotnym jest odporność na niedokładności modelowania. Bilans masy dotyczy wszelkic obiektów z przepłym cieczy, gazów, par, materiałów sypkic zbiorniki, mieszalniki, kotły, reaktory itp. M V A, gdzie w przypadku zbiornika: 3

14 M - masa cieczy, V - objętość, - gęstość A - powierzcnia przekroju zbiornika - wysokość słupa cieczy Równanie bilansu ma postać dm d A i i q i q q i, q j - przepływy objętościo (m 3 / j j j Zbiornik z pompą opróżniającą Dane: A = m q q wy średnie przepływy q A q wy Równanie bilansu d A dm Stosujemy transformację Laplace a d A q q wy : q q wy As H Q Q wy Q Qwy( H( As transmitancja typu całkującego (integrator) Q + Q wy - A s H Różnica między dopłym a odpłym powoduje ciągłą zmianę poziomu. Układu sterowania takim obiektem nie wolno wyłączać, bo zbiornik albo zostanie przelany, albo zupełnie opróżniony. 4

15 Zbiornik z wypłym pod ciśnieniem ydrostatycznym Dane: A= 5 m 0 m q A q q wy 08 m 3 / 0.03 m 3 /s s q wy Model ogólny (nieliniowy) W stanie nominalnym objętość cieczy w zbiorniku nie ulega zmianie. q q wy q s wy 0 g q s g 0 s Równanie dynamiki q g powierzcnia swobodna zaworu na odpływie d A q s g funkcja nieliniowa 5

16 Linearyzacja 6

17 W celu przybliżenia funkcji nielinioj przez funkcję liniową stosujemy rozwinięcie w szereg Taylora dla stanu nominalnego. d g A q g s s g As H Q g S( sg H g As H sg H g Q g S( g sg g A s H sg T g Q sg k S( s k q k s + - Ts k Rys... Obiekt inercyjny I-go rzędu Obliczenia q s g g T A sg m s cm g k 667 m m 3 / s, sg 0 k 4673 m/m s d q 4673 s - czas w sekundac Zmiana skali czasu i jednostki względne d q 4673 s - czas w godzinac 7

18 d q 4673 s - Jednostki względne (normalizacja) y - wyjście (zmienna procesowa) q u q - sterowanie s z - zakłócenie s q w m 3 / 0.96 d 0.85 q q q 4673 s s s dy 0.96 y.0 u.0 z z.0 u s y Po przeskalowaniu czasu i normalizacji zmiennyc (jednostki względne) współczynniki w równaniu stają się rzędu. Jest to istotne dla implementacji mikrokomputeroj. Zależność poziomu od stopnia otwarcia zaworu na odpływie 7.. Bilans energii H k S( Ts Bilans energii stosujemy do tworzenia modeli matematycznyc takic obiektów jak piece, suszarnie, reaktory, wymiennikownie, podgrzewacze itp. gdzie: E M c T E - energia, - gęstość M - masa ( M V ), T - temperatura V - objętość obiektu, c - ciepło właści Równanie bilansu można przedstawić jako 8

19 de V c dt i q c T i i i i j q c T j j j j P P - moc doprowadzona lub odprowadzona 7.3. Równanie momentów gdzie: d J M Mo D, d J - moment bezwładności, M - moment wytwarzany - prędkość kątowa, M o - moment obciążenia - kąt. D - współczynnik tarcia, 9