1. Grupy i pierścienie - podstawowe definicje i przyk lady

Transkrypt

1 2 1 Grupy i pierścieie - podstawowe defiicje i przyk lady Grupy i ich homomorfizmy 11 Defiicja Grupa azywamy zbiór G, wyposażoy w trzy dzia laia: dwuargumetowe możeie ( (x, y) x y ), jedoargumetowe braie elemetu odwrotego ( x x 1) i zeroargumetowe elemet wyróżioy 1, takie że spe lioe sa aste puja ce aksjomaty: 1 x,y,z G (x y) z = x (y z), 2 x G x 1 = 1 x = x, 3 x G x x 1 = x 1 x = 1 Dzia laie dwuargumetowe grupy azywamy zwykle możeiem, a elemet odwroty odwrotościa Aksjomaty grupy gwaratuja trzy rzeczy: 1 la czość możeia, 2 istieie elemetu eutralego dla możeia, 3 istieie elemetu odwrotego dla możeia 12 Defiicja Jeżeli x,y G x y = y x, to grupe azywamy przemiea lub abelowa Z defiicji latwo wyika, że jest tylko jede elemet eutraly możeia i że dla dowolego elemetu istieje dok ladie jede elemet odwroty Zamiast x y piszemy cze sto xy Zwykle mówimy grupa G, pomijaja c wyszczególiaie pozosta lych elemetów struktury W przypadku grup abelowych cze sto dzia laie dwuargumetowe ozacza sie zakiem + (x + y zamiast x y), elemet odwroty przez ( x zamiast x 1 ), a elemet eutraly przez 0 Zapis (G,, 1, 1) azywamy zapisem multiplikatywym, a zapis (G, +,, 0) zapisem addytywym W zapisie multiplikatywym przyje te jest odczytywać symbol g 1 jako odwrotość elemetu g; w zapisie addytywym symbol g odczytujemy jako elemet przeciwy do elemetu g 13 Defiicja Moc zbioru G azywamy rze dem grupy G i ozaczamy symbolem G 14 Defiicja Podgrupa grupy G azywamy podzbiór H G, taki że x,y H x y H x H x 1 H 1 H Zapis H G be dzie ozaczać, że H jest podgrupa grupy G Jest jase, że 1 = {1} G jest podgrupa Taka podgrupe be dziemy azywać podgrupa trywiala Oczywiście ca la grupa G też jest swoja podgrupa : G G 15 Przyk lady 0) Grupa Z liczb ca lkowitych z dodawaiem - jest to grupa przemiea z formalego puktu widzeia ależa loby apisać: czwórke uporza dkowaa (G,, 1, 1)

2 1) Niech K be dzie cia lem Symbolem K + ozaczamy grupe addytywa tego cia la, symbolem K grupe multyplikatywa cia la (zbiorem jej elemetów jest K \{0}) Obie grupy sa przemiee 2) Niech teraz K = C i rozpatrzmy podgrupy grupy C 2a) S 1 = {z C : z = 1} C 2b) Grupa Z = {1, exp( 2πi 2πi( 1) ),, exp( )} pierwiastków z jedyki stopia, z możeiem jako dzia laiem dwuargumetowym Jest to podgrupa grupy S 1 Jeżeli k, = km, to Z k = {1, exp( 2πim 2πi(k 1)m ),, exp( )} Z jest podgrupa 3) Niech K be dzie cia lem Symbolem GL(, K) ozaczamy grupe macierzy odwracalych o wspó lczyikach z K Macierze o wyzacziku 1 staowia podgrupe, ozaczaa symbolem SL(, K) GL(, K) Iym ważym przyk ladem jest podgrupa macierzy górotrójka tych z 1 a g lówej przeka tej 4) W grupie GL(, R) zawarte sa dwie szczególie iteresuja ce grupy: O() GL(, R) podgrupa z lożoa z macierzy ortogoalych i SO() O() GL(, R) podgrupa z lożoa z macierzy ortogoalych o wyzacziku 1 5) Grupa dihedrala podgrupa D 2 O(2) przekszta lceń zachowuja cych ka t foremy o środku symetrii w pocza tku uk ladu wspó lrze dych D 2 = {1, ρ, ρ 2,, ρ 1, ε, ρε, ρ 2 ε,, ρ 1 ε}, gdzie ρ jest obrotem o 1 ka ta pe lego, a ε symetria osiowa Odotujmy waży fakt, że ε 2 = 1, ρ = 1 i ερε = ερε 1 = ρ 1 Zauważmy, że powyższe tożsamości wystarczaja do skostruowaia tabeli dzia laia dwuargumetowego dla D 2 Zauważmy, że J = {1, ρ, ρ 2,, ρ 1 } D 2 jest podgrupa Nazywamy ja podgrupa obrotów grupy dihedralej 6) Niech X be dzie zbiorem Symbolem Σ X ozaczamy grupe bijekcji zbioru X z dzia laiem sk ladaia jako możeiem i idetyczościa jako elemetem eutralym Nazywamy ja grupa permutacji zbioru X Jeżeli X jest zbiorem elemetowym, to grupe taka ozaczamy symbolem Σ Cze sto a zbiorze X zadaa jest dodatkowa struktura (a przyk lad przestrzei liiowej, afiiczej, metryczej, topologiczej) Wówczas bijekcje zbioru X zachowuja ce strukture sa podgrupami S(X) Badaie algebraiczych w lasości tych podgrup jest istotym elemetem badaia rozważaej struktury 16 Defiicja Przekszta lceie ϕ : G H azywamy homomorfizmem grup wtedy i tylko wtedy, gdy g1,g 2 G ϕ(g 1 g 2 ) = ϕ(g 1 ) ϕ(g 2 ) Latwo sprawdzić, że homomorfizm ϕ przeprowadza elemet eutraly a elemet eutraly, a elemet odwroty do g a elemet odwroty do ϕ(g), możemy wic w defiicji homomorfizmu opuścić wymóg zachowywaia dzia lań zero i jedo argumetowych Zauważmy, że id G : G G jest homomorfizmem i że z lożeie homomorfizmów jest homomorfizmem 17 Uwaga Jeżeli ϕ : G H jest homomorfizmem, to ϕ(g) H jest podgrupa grupy H Także dla każdej podgrupy H H, ϕ 1 (H ) G jest podgrupa grupy G 3

3 4 Istieja róże szczególe typy homomorfizmów Poiżej wymieiamy ich azwy, stosowae bardzo szeroko w matematyce, rówież poza teoria grup, czy awet algebra : Izomorfizm: taki homomorfizm ϕ : G H, dla którego istieje homomorfizm ψ : H G, taki że ϕψ = id H i ψϕ = id G 18 Uwaga Homomorfizm grup jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest homomorfizmem i bijekcja zbiorów Grupy izomorficze be dziemy uważać za takie same Automorfizm: Izomorfizm z grupy G w te sama grupe G Moomorfizm: homomorfizm różowartościowy Epimorfizm: homomorfizm, który jest a Edomorfizm: homomorfizm, którego dziedzia i przeciwdziedzia sa idetycze (ale ie ża damy, żeby by l a) 19 Defiicja Niech ϕ : G H be dzie homomorfizmem Podgrupe ϕ 1 (1) = {g G: ϕ(g) = 1} G ozaczamy symbolem ker ϕ i azywamy ja drem homomorfizmu ϕ 110 Uwaga Homomorfizm ϕ jest moomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ker ϕ = 1 Jeżeli homomorfizm ϕ : G H jest moomorfizmem, to ϕ : G im (ϕ) jest izomorfizmem (im (ϕ) = ϕ(g)) 111 Przyk lady 0) Niech G = {0, 1,, 1} z dzia laiem dodawaia modulo i zerem jako elemetem eutralym Fukcja ϕ : G Z, ϕ(k) = exp( 2πik ) jest izomorfizmem Dlatego grupe G be dziemy także ozaczać symbolem Z 1) ϕ : Z Z, ϕ(k) = exp( 2πik ) 2) det : GL(, K) K 3) Niech X be dzie przestrzeia liiowa wymiarowa ad cia lem K Wybór bazy zadaje izomorfizm grupy liiowych automorfizmów przestrzei X z grupa macierzy GL(, K)

4 5 Pierścieie i ich homomorfizmy 112 Defiicja Pierścieiem przemieym z jedyka azywamy zbiór R wyposażoy w pie ć dzia lań: dwa dwuargumetowe dodawaie ( (x, y) x + y ) i możeie ( (x, y) x y ), jedo jedoargumetowe braie elemetu przeciwego (x x), dwa zeroargumetowe elemet wyróżioy 0 oraz elemet wyróżioy 1, takie że (R, +,, 0) jest grupa przemiea i sa spe lioe aste puja ce waruki: a,b,c R a (b c) = (a b) c a,b R a b = b a a,b,c R a (b + c) = a b + a c oraz a,b,c R (b + c) a = b a + c a a R 1 a = a 1 = a 113 Defiicja Podpierścieiem pierścieia z jedyka R azywamy podzbiór P R, taki że P jest podgrupa grupy addytywej pierścieia R, 1 P, a,b P a b P Zapis P R be dzie ozaczać, że P jest podpierścieiem pierścieia R W defiicji pierścieia z jedyka ie zak ladaliśmy, że 0 1 Jedak istieje tylko jede pierścień, w którym 0 = 1, tak zway pierścień zerowy 114 Przyk lad Pierścieiem zerowym azywamy pierścień zawieraja cy tylko jede elemet 0 = Uwaga Jeżeli 0 = 1, to w rozpatrywaym pierścieiu R ie ma żadych iych elemetów Dowód Niech x R Wówczas x = x 1 = x 0 = Uwaga W algebrze rozpatruje sie także pierścieie ieprzemiee oraz pierścieie bez 1, czyli bez wyróżioego elemetu eutralego wzgle dem możeia Jedym z ważych przyk ladów ieprzemieego pierścieia z 1 jest pierścień macierzy 117 Przyk lad Jeżeli R jest iezerowym pierścieiem przemieym z jedyka, to zbiór macierzy, ozaczay symbolem M (R), ze zwyk lymi dzia laiami a macierzach, jest pierścieiem z jedyka Dla > 1 pierścień te jest ieprzemiey Na tym wyk ladzie ograiczamy sie do rozpatrywaia pierściei przemieych z jedyka 118 Przyk lad Cia lo jest pierścieiem przemieym z jedyka 119 Przyk lad Jeżeli R jest pierścieiem pierścieiem przemieym z jedyka, a X jest dowolym iepustym zbiorem, to zbiór R X, z dzia laiami określoymi w oczywisty sposób (p f g = h, gdzie h(x) = f(x) g(x)), jest pierścieiem przemieym z jedyka 120 Przyk lad C[0, 1] - zbiór fukcji cia g lych określoych a odciku [0, 1], waży obiekt badań aalizy matematyczej, z dzia laiami jak w poprzedim przyk ladzie, jest pierścieiem przemieym z Przyk lad Pierścień Z liczb ca lkowitych modulo z dodawaiem i możeiem modulo z formalego puktu widzeia ależa loby apisać: szóstke uporza dkowaa (R, +,,, 0, 1)

5 6 122 Przyk lad Pierścień wielomiaów: Niech R be dzie pierścieiem przemieym z jedyka Pierścieiem wielomiaów jedej zmieej ad R azywamy zbiór cia gów z dzia laiami {(a 0, a 1, ): a i R, a i = 0 dla prawie wszystkich i} (a 0, a 1, ) + (b 0, b 1, ) = (a 0 + b 0, a 1 + b 1, ) (a 0, a 1, ) (b 0, b 1, ) = (c 0, c 1, ), gdzie c i = (a 0, a 1, ) = ( a 0, a 1, ) i a j b i j oraz elemetami: (0, 0, 0, ) jako zerem i (1, 0, 0, ) jako jedyka j=0 123 Defiicja Stopiem wielomiau f = (a 0, a 1, ) azywamy ajwie ksza liczbe aturala, taka że a 0 i ozaczmy symbolem deg(f) Ozaczymy przez X cia g (0, 1, 0, 0, ) Cia g (a, 0, 0, ) be dziemy w skrócie ozaczać litera a Wówczas X = (0, 0,, 0, 1, 0, ) cia g z jedyka a tym miejscu Poadto (a 0, a 1,, a, 0, 0, ) = a 0 +a 1 X+ +a X W tej kowecji możeie wielomiaów wyraża sie zaym wzorem Pierścień wielomiaów ad R ozaczamy symbolem R[X] Kostrukcje pierścieia wielomiaów moża iterować: (R[X])[Y ] ozaczamy symbolem R[X, Y ] i azywamy pierścieiem wielomiaów dwóch zmieych W podoby sposób defiiujemy też pierścień wielomiaów dowolej skończoej liczby zmieych 124 Przyk lad Pierścień szeregów formalych: Jeżeli w Przyk ladzie 89 opuścimy za lożeie, że prawie wszystkie wspó lczyiki a i sa rówe 0, to z aalogiczie określoymi dzia laiami otrzymamy pierścień szeregów formalych, który ozaczamy symbolem R[[X]] Tak, jak w przypadku wielomiaów, zamiast cia gu (a 1, a 2, ) piszemy a i X i Dzia laia wyrażaja sie zaymi wzorami: a i X i + b i X i = (a i + b i )X i ( a i X i ) ( b i X i ) = c i X i, gdzie c i = i a j b i j Podobie jak w przypadku wielomiaów kostrukcje pierścieia szeregów formalych moża iterować: (R[[X]])[[Y ]] ozaczamy R[[X, Y ]] i azywamy pierścieiem szeregów formalych dwóch zmieych, itd Podajemy jeszcze jede przyk lad, dla zilustrowaia tego, jak waże jest precyzyje określeie rodzaju rozpatrywaych obiektów 125 Przyk lad Rozpatrujemy pierścień przemiey z jedyka Z 10 Dzia laia dodawaia i możeia sa wykoywae modulo 10, jedyka jest oczywiście liczba 1, j=0

6 a zerem liczba 0 Rozpatrzmy podzbiór P = {0, 5} Podzbiór te ie zawiera jedyki pierścieia z jedyka Z 10, wie c ie jest podpierścieiem pierścieia z jedyka Z 10 Zauważmy jedak, że zbiór P jest zamkie ty ze wzgle du a możeie, dodawaie, braie elemetu odwrotego i zawiera elemet zerowy Przyje ty sposób wyrażeia tej sytuacji, to stwierdzeie, że P jest podpierścieiem Z 10 w kategorii pierściei, ale ie w kategorii pierściei przemieych z jedyka Zauważmy jeszcze, że w zbiorze P jest elemet eutraly ze wzgle du a możeie liczba 5 (5 5 = 25 = 5, 5 0 = 0) Ale to ie wystarcza, żeby P uzać za podpierścień pierścieia Z 10 w kategorii pierściei przemieych z jedyka Defiicja wymaga, żeby do podpierścieia pierścieia przemieego z jedyka ależa la jedyka wyjściowego pierścieia 126 Przyk lad Niech d Z be dzie liczba ca lkowita,d 1, która ie jest podziela przez kwadrat liczby aturalej różej od 1 - taka liczbe azywamy bezkwadratowa Ozaczmy przez Z[ d] podpierścień cia la liczb zespoloych, którego elemetami sa liczby postaci a + b d, a, b Z Jak sie przekoamy wa sości tych pierściei maja ścis ly zwia zek z teoria liczb Defiicja Przekszta lceie ϕ : R P pierściei przemieych z jedyka azywamy homomorfizmem, jeżeli sa spe lioe aste puja ce waruki a) ϕ jest homomorfizmem grup addytywych, b) a,b R ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b), c) ϕ(1) = Uwaga Jeżeli ϕ : R P jest homomorfizmem, to ϕ(r) P jest podpierścieiem pierścieia P Także dla każdego podpierścieia P P, ϕ 1 (P ) R jest podpierścieiem pierścieia R Określeia izomorfizm, moomorfizm, epimorfizm, automorfizm, edomorfizm sa używae w sposób aalogiczy, jak w teorii grup 129 Uwaga Homomorfizm pierściei jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest homomorfizmem i bijekcja zbiorów 130 Przyk lad Jedyym homomorfizmem Z Z jest idetyczość 131 Przyk lad Istieje dok ladie jede homomorfizm f : Z Z określoy wzorem f(x) = x (mod ) 132 Przyk lad Istieje dok ladie jede homomorfizm z dowolego pierścieia w pierścień zerowy 133 Przyk lad Dla każdego elemetu a pierścieia R wzór φ a (a X + + a 1 X + a 0 ) = a a + + a 1 a + a 0 określa pewie homomorfizm φ a : R[X] R 134 Przyk lad Określimy pewie homomorfizm Φ : R[X] R R Niech w = a X + + a 1 X + a 0 Obraz wielomiau w ozaczamy symbolem Φ w zadajemy wzorem: Φ w (a) = a a + + a 1 a + a 0 Tak wie c Φ w (a) to po prostu w(a) wartość wielomiau w w pukcie a Elemety zbioru Φ(R[X]) azywamy fukcjami wielomiaowymi i

7 8 Dobrze wiadomo, że dla cia l R, Q, C homomorfizm Φ jest moomorfizmem róże wielomiay wyzaczaja róże fukcje Spójrzmy jedak a aste puja cy przyk lad: R = Z 2, w 1 = X 2 + X, w 2 = X 3 + X Latwo sprawdzić, że Φ w1 = Φ w2 jest to w obydwu przypadkach fukcja zerowa 135 Przyk lad Niech R be dzie dowolym pierscieiem przemieym z jedyka Dla każdego elemetu r R istieje dok ladie jede homomorfizm f : Z[X] R, dla którego f(x) = r Podstawowa kostrukcja - produkt (cze ść uje ta w gwiazdkach jest materia lem ieobowia zkowym) *Kostrukcja produktu i sumy wyste puje w wielu sytuacjach w matematyce Zaim wie c podamy ja dla pierściei i grup przedstawimy problem w ogóliejszym kotekście - teorii kategorii Taki pukt widzeia zosta l zapropooway przez Samuela Eileberga (absolweta i doktora UW, doktora Hooris Causa UW, który przed woja wyjecha l do USA i tam pozosta l) w latach czterdziestych i pie ćdziesia tych ubieg lego stulecia i przyja l sie w wie kszości dziedzi matematyki, iformatyki ie wy la czaja c 136 Defiicja Kategoria C sk lada sie z klasy obiektów ob C oraz zbiorów morfizmów Mor C (A, B) daych dla dowolych dwóch obiektów A, B ob C Poadto Dla każdego A ob C wyróżioy jest elemet id A Mor C (A, A) Dla każdych A, B, C ob C zadaa jest operacja sk ladaia : Mor C (A, B) Mor C (B, C) Mor C (A, C) operacja sk ladaia jest la cza, zaś elemety wyróżioe sa dla iej eutrale, tz dla morfizmów f, g, h, (f g) h = f (g h), id f = f, f id = f 137 Defiicja Morfizm f Mor C (A, B) azywa sie izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy istieje morfizm g Mor C (B, A) taki, że g f = id A i f g = id B 138 Przyk lad Set kategoria zbiorów Obiektami sa zbiory, zaś morfizmami przekszta lceia zbiorów Operacja sk ladaia to sk ladaie przekszta lceń Izomorfizmami sa przekszta lceia wzajemie jedozacze i a, czyli bijekcje zbiorów 139 Przyk lad Vect K kategoria przestrzei liiowych ad ustaloym cia lem Obiektami sa przestrzeie liiowe ad K, morfizmami przekszta lceia liiowe 140 Przyk lad Gr kategoria grup Obiektami sa grupy, morfizmami homomorfizmy grup 141 Przyk lad Ab kategoria grup abelowych Jak wyżej, tylko obiektami sa wy la czie grupy abelowe 142 Przyk lad R kategoria pierściei przemieych z 1 Obiektami sa pierścieie przemiee z 1, zaś morfizmami homomorfizmy pierściei z Przyk lad T op Obiektami sa przestrzeie topologicze, morfizmami przekszta lceia cia g le Izomorfizmy azywaja sie homeomorfizmami We wszystkich powyższych przyk ladach obiektami sa zbiory wyposażoe w pewe dodatkowe struktury a morfizmami sa przekszta lceia, które te struktury zachowuja Tak wcale być ie musi - a kategorie trzeba patrzeć jak a klase obiektów i zbiory strza lek mie dzy imi i strza lki te moża sk ladać Pomys l polega a tym, by defiiować kostrukcje i w lasości patrza c wy la czie a owe strza lki W te sposób pewe kostukcje i ich w lasości sa uiwersale, iezależie od tego w jakim matematyczym kotekście je roważamy

8 144 Defiicja Niech {X α } α Λ be dzie rodzia obiektów kategorii C Ich produktem azywamy obiekt α Λ X α oraz rodzie morfizmów π α : α Λ X α, taka że dla każdego obiektu Y ob C i każdej rodziy morfizmów ϕ α : Y X α istieje dok ladie jede morfizm ψ : Y α Λ X α dla którego π α ψ = ϕ α, dla każdego α Λ 145 Defiicja Niech {X α } α Λ be dzie rodzia obiektów kategorii C Ich suma azywamy obiekt α Λ X α oraz rodzie morfizmów i α : X α α Λ, taka że dla każdego obiektu Y ob C i każdej rodziy morfizmów ϕ α : X α Y istieje dok ladie jede morfizm ψ : α Λ Y dla którego ψ i α = ϕ α, dla każdego α Λ Jedozaczość produktu (aalogiczie sumy), z dok ladościa do izomorfizmu w C, wyika z defiicji, atomiast istieie trzeba dowodzić dla każdej kategorii oddzielie Powiemy, że kategoria dopuszcza produkty (odp dopuszcza sumy) jeżeli dla dowolej skończoej rodziy obiektów istieje ich produkt (odp suma) Oczywiście a to by pokazać że kategoria dopuszcza produkty (odp sumy) wystarczy zdefiiować produkt (odp sume ) dwóch obiektów Nie każda kategoria dopuszcza produkty ew sumy Poiżej pokażemy, że kategoria grup Gr i kategoria pierściei z 1, R dopuszczaja produkty * 146 Defiicja Produkt grup: Jeżeli G i H sa grupami, to iloczy kartezjański G H z dzia laiami (g, h) (g, h ) = (g g, h h ), (g, h) 1 = (g 1, h 1 ) oraz elemetem eutralym (1 G, 1 H ) jest grupa, zaś π G H G, p G (x, y) = x i π H H H, π H (x, y) = y homomorfizmami Grupa G H wraz z homomorfizmami π G, π H jest produktem grup G i H Zbiory G 1 H = {(g, 1 H ) : g G} G H i 1 G H = {(1 G, h) : h H} G H sa podgrupami oczywiście pierwsza podgrupa jest izomorficza z G, a druga z H Niech homomorfizmy i G : G G H, i H : H G H be da zadae wzorami i G (g, h) = (g, 1 H ), i H (g, h) = (1 G, h) *Niech teraz grupy G i H be da przemiee - użyjemy wie c zapisu addytywego 147 Stwierdzeie Jeżeli grupy G i H sa przemiee, to G H wraz z homomorfizmami i G, i H jest suma grup G i H w kategorii grup abelowych Dowód Niech J be dzie dowola grupa przemiea, a ϕ G : G J i ϕ H : H J be da dowolymi homomorfizmami Jest jase, że ψ : G H J zadae wzorem ψ(g, h) = ϕ G (g) + ϕ H (h) jest jedyym homomorfizmem spe liaja cym waruek ψ i G = ϕ G i ψ i H = ϕ H Sume grup abelowych G i H ozacza sie także symbolem G H - tak wie c w kategorii grup abelowych ozaczeia skończoej sumy ( ) i skończoego produktu ( ) sa używae zamieie 148 Przyk lad Produkt G H wraz z homomorfizmami i G, i H ie jest suma w kategorii wszystkich grup Rozpatrzmy G = H = Z, i grupe Σ 3 permutacji trzech elemetów lub rówoważie grupe symetrii trójka ta rówoboczegoabc a p laszczyźie Niech ϕ 1 : Z Σ 3, przyporza dkowuje 1 Z symetrie wzgle dem symetralej boku AB, zaś ϕ 2 wzgle dem boku AC Nie istieje ża day w defiicji homomorfizm z grupy przemieej Z Z Σ 3 gdyż symetrie ϕ i (1), i = 1, 2 ie sa przemiee Zaiteresoway czytelik może spróbować wykazać, że szukaa suma jest grupa s lów o dwuelemetowym alfabecie* 9

9 Defiicja Produkt pierściei: Na iloczyie kartezjańskim P R pierściei przemieych z jedyka moża określić dzia laia wzorami (x, y) + (x, y ) = (x + x, y + y ), (x, y) = ( x, y), 0 = (0 P, 0 R ) (x, y)(x, y ) = (xx, yy ), 1 = (1 P, 1 R ) Zbiór P R z tak określoymi dzia laiami jest pierścieiem przemieym z jedyka, zaś p P R P, p P (x, y) = x i p R R R, p R (x, y) = y homomorfizmami Pierścień P R wraz z homomorfizmami p P, p R jest produktem pierściei P i R *Kategoria grup i kategoria pierściei przemieych z 1 dopuszczaja sumy - to zagadieie od lożymy a późiej*