Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu"

Transkrypt

1 Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające ze zbioru X X do zbioru X. Zamiast pisać (x, y) dla wyrażenia wartości tej funkcji dla argumentu (x, y), będziemy pisali x y. Definicja 2. Niech będzie działaniem w zbiorze X. Mówimy, że jest działaniem łącznym, gdy dla dowolnych x, y, z X zachodzi równość x (y z) = (x y) z. Definicja 3. Niech będzie działaniem w zbiorze X. Mówimy, że jest działaniem przemiennym, gdy dla dowolnych x, y X zachodzi równość x y = y x. Definicja 4. Niech będzie działaniem w zbiorze X. Element e X nazywamy elementem neutralnym, gdy dla dowolnego x X mamy x e = x = e x Definicja 5. Niech będzie działaniem w zbiorze X oraz e X będzie elementem neuralnym. Elementem odwrotnym do elementu x X nazywamy elementem x X taki, że x x = e = x x. Mówimy wówczas, że x jest elementem odwracalnym, a element odwrotny do x oznaczamy przez x 1 lub x w zależności od przyjętej notacji multiplikatywnej lub addytywnej. Definicja 6. Niech G będzie niepustym zbiorem z działaniem. Wówczas parę (G, ) nazywamy grupą, gdy działanie jest łączne, zbiór G posiada element neutralny dla działania oraz każdy element ze zbioru X jest odwracalny. Jeżeli dodatkowo działanie jest przemienne, to mówimy, że grupa jest abelowa. Definicja 7. Niech G będzie grupą z działaniem. Rzędem grup nazywamy liczbę elementów zbioru G i oznaczamy go przez G. Definicja 8. Niech G będzie grupą z działaniem. Wówczas rzędem elementu g G nazywamy najmniejszą liczbę naturalną k, o ile istnieje, taką, że g... g = e, co zapisujemy rz(g) = k. Jeżeli }{{} k razy taka liczba nie istnieje, to mówimy, że rząd danego elementu wynosi nieskończoność, czyli rz(g) =. Stwierdzenie 1. Rząd dowolnego elementu grupy skończonej dzieli rząd tej grupy. Stwierdzenie 2. Niech będzie działaniem wewnętrznym w zbiorach H i G oraz H G. Wówczas: (i) jeżeli jest działaniem łącznym w zbiorze G, to jest również działaniem łącznym w zbiorze H; (ii) jeżeli jest działaniem przemiennym w zbiorze G, to jest również działaniem przemiennym w zbiorze H; (iii) jeżeli element e H jest elementem neutralnym w zbiorze G, to jest on również elementem neutralnym w zbiorze H. 1

2 Zadania Zadanie 1. Sprawdzić, czy dane pary tworzą grupę (a) ((0, 1], ) (b) (N, +) (c) (R, ) (d) (R +, ) (e) ({ 1, 1}, ) (f) ({1, 1, i, i}, ) (g) (µ n, ), gdzie µ n = {z C : z n = 1} (h) (S 1, ), gdzie S 1 = {z C : z = 1} Zadanie 2. Niech µ := n N µ n. Pokaż, że µ = {cos(2qπ) + i sin(2qπ) : q Q}. Wywnioskuj, że µ ze zwykłym mnożeniem tworzy grupę abelową. Zadanie 3. Niech D n oznacza zbiór wszystkich izometrii własnych n-kąta foremnego. (a) Zauważ, że dla dowolnej izometrii T wierzchołek sąsiadujący wierzchołkowi A musi przejść na sąsiada wierzchołka T (A). (b) Udowodnij, że zbiór D n posiada dokładnie 2n elementów. (c) Wymień wszystkie izometrie własne n-kąta foremnego. (d) Pokaż, że zbiór D n tworzy grupę ze składaniem przekształceń. (e) Utworzyć tabelki działań w grupach D 3 i D 4. Zadanie 4. Udowodnij, że zbiór Φ(n) = {a : 1 a < n, NWD(a, n) = 1} z mnożeniem modulo n tworzy grupę abelową. Utworzyć tabelkę działania w grupie Φ(12). Zadanie 5. Znajdź rząd elementu: (a) 2 w grupie Z 16 (b) 5 w grupie Z 12 (c) 3 w grupie Φ(11) (d) O 120 w grupie D 6 ( ) (e) w grupie S Zadanie 6. Ile elementów rzędu n ma dana grupa G: (a) n = 4, G = D 8 (b) n = 2, G = D 4 (d) n = 10, G = Z 100 (e) n = 2, G = Z 8 Z 8 (c) n = 6, G = Z 12 (f) n = 4, G = Φ(24) 2

3 Zadanie 7. Pokaż, że rząd elementu k w grupie Z n wynosi Zadanie 8. n NWD(n,k). (a) Pokaż, że jeżeli τ 1, τ 2 są cyklami rozłącznymi w grupie S n, to τ 1 τ 2 = τ 2 τ 1. (b) Pokaż, że jeśli σ = τ 1 τ 2... τ k oraz τ i są cyklami rozłącznymi, to dla dowolnego n N mamy σ n = τ n 1 τ n 2... τ n k. (c) Wykaż, że jeśli permutacja σ = τ 1 τ 2... τ k oraz τ i są rozłącznymi cyklami długości n i, to rzσ = NW W (n 1, n 2,... n k ). Zadanie 9. Mając daną permutację σ S 8 oblicz σ 2007 a) σ = ( ) b) σ = ( ) c) σ = ( ) Zadanie 10. Udowodnić, że dla każdego a, b G zachodzą równość rz(a) = rz(a 1 ), rz(ab) = rz(ba). Zadanie 11. Udowodnij, że jeżeli g k = e w grupie G, to rząd elementu g dzieli k. Pytania (a) Czy dla dowolnego n N grupa permutacji S n jest nieabelowa? (b) Czy istnieje nieabelowa grupa rzędu 2? (c) Czy istnieje nieabelowa grupa rzędu 3? (d) Podaj najszerszą klasę grup, dla których (a b) 1 = a 1 b 1. (e) Czy w grupie Φ(100) istnieje element rzędu 7? (f) Czy dla dowolnej grupy G z działaniem zbiór elementów skończonego rzędu tworzy grupę z działaniem? (g) Czy dla dowolnego k N i dowolnej grupy G z działaniem zbiór elementów rzędu k tworzy grupę z działaniem? (h) Czy dla dowolnej grupy skończonej G i dowolnej liczby naturalnej k G istnieje element w tej grupie rzędu k? (i) Czy dowolna grupa nieskończona posiada element, różny do elementu neutralnego, o skończonym rzędzie? (j) Czy każda skończona grupa rzędu parzystego większego niż 2 posiada co najmniej jeden element rzędu 2? 3

4 Algebra 1 Ćwiczenia 2 - Pojęcie podgrupy i dzielnika normalnego Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Podzbiór H grupy G z działaniem nazywamy podgrupą, gdy dla dowolnych elementów x, y H mamy x y 1 H. Piszemy wówczas H < G. Stwierdzenie 1. Niech G będzie grupą z działaniem oraz H G. Wówczas następujące warunki są równoważne: (i) H < G; (ii) Zbiór H jest również grupą z działaniem obciętym do zbioru H; (iii) Działanie jest wewnętrzne w zbiorze H, element neutralny e H oraz dowolny element x H posiada element odwrotny w tym zbiorze. Stwierdzenie 2. Rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy. Definicja 2. Niech H < G oraz g G. Warstwą lewostronną (prawostronną) wyznaczoną przez element g względem podgrupy H nazywamy zbiór g H = {g h : h H} (odpowiednio H g = {h g : h H}). Stwierdzenie 3. Niech H < G oraz x, y G. Wówczas x H = y H wtedy i tylko wtedy, gdy y 1 x H. Podobnie H x = H y wtedy i tylko wtedy, gdy x y 1 H. Stwierdzenie 4. Niech H < G. Relacja xry y 1 x H jest relacją równoważności, dla której klasy abstrakcji pokrywają się z warstwami. W szczególności, dwie warstwy są rozłączne lub równe oraz suma mnogościowa wszystkich warstw daje cały zbiór G. Definicja 3. Indeks podgrupy H w grupie G oznaczamy przez (G : H) i oznacza on liczbę warstw lewostronnych wyznaczonych przez podgrupę H. Twierdzenie 1 (Lagrange). Jeżeli G jest grupą skończoną i H < G, to G = (G : H) H. Definicja 4. Podgrupę H grupy G z działaniem nazywamy dzielnikiem normalnym, gdy dla dowolnych g G i h H mamy g h g 1 H, czyli g H g 1 H. Piszemy wówczas H G. Stwierdzenie 5. Jeżeli H G, to dla dowolnego g G mamy g H = H g. Zadania Zadanie 1. Wypisać wszystkie podgrupy grupy : Z 6, Z 8, D 3, D 4, Φ(12) i Φ(14). Zadanie 2. Udowodnić, że każda podgrupa grupy Z jest postaci nz, gdzie n N. Zadanie 3. Pokazać, że SL n (K) jest podgrupą grupy GL n (K). 1

5 Zadanie 4. Niech H 1, H 2 będą podgrupami grupy abelowej G. Udowodnić, że zbiór H 1 H 2 = {h 1 h 2 : h 1 H 1, h 2 H 2 } jest podgrupą grupy G i jest ona najmniejszą (w sensie inkluzji) podgrupą zawierającą H 1, H 2. Zadanie 5. Niech T będzie niepustym zbiorem. Udowodnić, że jeśli H t < G dla każdego t T, to również t T H t < G Zadanie 6. Niech H 1 i H 2 będą podgrupami grupy skończonej G. Udowodnij, że jeżeli ich rzędy H 1, H 2 są liczbami względnie pierwszymi, to H 1 H 2 jest podgrupą trywialna tzn. składającą się tylko z jednego elementu: neutralnego. Zadanie 7. Wyznaczyć wszystkie warstwy podgrupy: (a) {0, 3, 6, 9} w Z 12 ; (b) {1, 17, 19, 35} w Φ(36); (c) R + w R ; (d) S 1 w C ; (e) R w C; (f) Z w R. Zadanie 8. Udowodnić, że warstw lewostronnych jest tyle samo co prawostronnych. Zadanie 9. Dla danych grup sprawdzić czy dane podgrupy są dzielnikami normalnymi: (a) G = S 3, H = {id, (1, 2)}; (c) G = D n, H = {obroty}; (b) G = GL n (K), H = SL n (K); (d) G = D 4, H = {ID, symetria} Zadanie 10. Udowodnij, że jeśli H < G oraz (G : H) = 2, to H G. Pytania (a) Czy istnieje grupa, której rząd jest liczbą pierwszą, posiadająca co najmniej 3 różne podgrupy? (b) Czy nietrywialna podgrupa grupy nieabelowej może być abelowa? (c) Czy indeks podgrupy Q w grupie R jest skończony? (d) Czy przekrój dowolnej rodziny dzielników normalnych grupy G jest również dzielnikiem normalnym tej grupy? (e) Czy zbiór wszystkich permutacji parzystych tworzy podgrupę grupy permutacji? (f) Czy zbiór wszystkich permutacji parzystych A n tworzy dzielnik normalny grupy permutacji S n? (g) Czy podgrupa podgrupy grupy G jest podgrupą grupy G? (h) Czy podgrupa dzielnika normalnego grupy G jest również dzielnikiem normalnych grupy G? (i) Czy zbiór wszystkich permutacji zbioru S 4, które można przedstawić jako iloczyn dwóch transpozycji rozłącznych, wraz z identycznością tworzy dzielnik normalny grupy A 4. (j) Czy zbiór wszystkich permutacji zbioru S 4, które można przedstawić jako iloczyn dwóch transpozycji rozłącznych, wraz z identycznością tworzy dzielnik normalny grupy S 4. 2

6 Algebra 1 Ćwiczenia 3 - Homomorfizmy grup Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech G i F będą grupami odpowiednio z działaniami i. Wówczas odwzorowanie f : G F nazywamy homomorfizmem grup G i F, gdy dla dowolnych x, y G mamy f(x y) = f(x) f(y). Homomorfizm, który jest iniekcją nazwyamy monomorfizmem, homomorfizm, który jest suriekcją nazwyamy epimorfizmem, a homomorizm, który jest bijekcją izomorfizmem. Jeżeli istnieje izomorfizm między grupami G i F, to mówimy, że grupy G i F są izomorficzne i piszemy G = F. Homomorfizm f : G G nazywamy endomorfizmem, natomiast izomorfizm f : G G automorfizmem. Stwierdzenie 1. Relacja izomorficzności grup jest relacją równoważności. Stwierdzenie 2. Jeżeli f : G F jest homomorfizmem, to f(e G ) = e F oraz f(x 1 ) = (f(x)) 1 dla dowolnego x G. Definicja 2. Jądrem homomorfizmu f : G F nazywamy zbiór ker f = {x G : f(x) = e F }. Natomiast obrazem nazywamy zbiór im f = {f(x) : x G}. Stwierdzenie 3. Homomorfizm f : G F jest iniekcją wtedy i tylko wtedy, gdy ker f = {e G }. Natomiast f jest suriekcją wtedy i tylko wtedy, gdy im f = F. Zadania Zadanie 1. Czy następujące przekształcenia są homomorfizmami, jeśli tak to wyznaczyć jądro i obraz: (a) f : R + R, f(x) = x 2 ; (c) f : C [0,1] R, f(ϕ) = 1 0 ϕ(x)dx; (b) f : Z Z n, f(x) = (x) n ; (d) f : R R R, f(x) = (x, x). Zadanie 2. Niech ϕ : G 1 G 2 będzie homomorfizmem grup. Pokaż, że (a) jeśli H jest podgrupą w G 1 to ϕ(h) jest podgrupą w G 2 oraz jeśli N jest dzielnikiem normalnym w G 1 i ϕ jest epimorfizmem to ϕ(n) jest dzielnikiem normalnym w G 2 ; (b) jeśli K G 2 jest podgrupą w G 2 to ϕ 1 (K) G 1 jest podgrupą w G 1 oraz jeśli K jest dzielnikiem normalnym w G 2 to ϕ 1 (K) jest dzielnikiem normalnym w G 1 ; (c) jeśli f jest izomorfizmem, to grupy G 1 i G 2 mają taką samą liczbę podgrup tego samego rzędu. Zadanie 3. Udowodnij, że jeśli f : G 1 G 2 jest homomorfizmem grup, to dla dowolnego g G 1 rząd elementu g jest podzielny przez rząd elementu f(g). Jak wygląda analogiczna sytuacja, gdy f jest izomorfizmem. 1

7 Zadanie 4. Udowodnij, że jeżeli zbiory A i B są równoliczne oraz A jest grupą, to w zbiorze B można zdefiniować działanie, dla którego zbiór ten będzie również grupą. Wywnioskuj, że każdym zbiorze skończonym, przeliczalnym oraz mocy kontinuum można tak zdefiniować działanie, aby był on grupą. Zadanie 5. Znaleźć wszystkie homomorfizmy grup: (a) f : Z Z; (b) f : Z 12 Z 18 ; (c) f : Z 24 Z 16 ; (d) f : µ 2 S 2 ; (e) f : S 3 µ 2 ; (f) f : Z 3 S 3 ; (g) f : S 3 Z 3 ; (h) f : µ 4 S 3 ; Zadanie 6. Wskaż nietrywialny epimorfizm grupy S n i { 1, 1, }. Oblicz jądro tego odwzorowania. Zadanie 7. Udowodnij, że zbiór Aut(G) wszystkich automorfizmów grupy G jest grupą ze składaniem. Wyznacz Aut(Z) i Aut(S 3 ). Zadanie 8. Wskazać izomorfizmy podanych grup: (a) Z n i µ n ; (b) M(2, R) i R 4 ; (c) Z 2 Z 2 i Φ(12); (d) R i R + {1, 1}; Zadanie 9. Uzasadnić dlaczego poniższe grupy nie są izomorficzne: (a) R, C (b) R, Q (c) D 12, S 4 (d) Φ(12), Z 4 Pytania (a) Czy dla dowolnej grupy G funkcja f : G G określona wzorem f(x) = x x jest homomorfizmem? (b) Czy istnieje epimorfizm grupy < Z, + > na grupę < Q, + >? (c) Czy odwzorowanie f : Q R określone wzorem f(x) = x jest homomorfizmem? (d) Czy między dowolnymi grupami istnieje zawsze co najmniej jeden homomorfizm? (e) Czy złożenie dwóch homomorfizmów jest homomorfizmem? (f) Czy dla dowolnej podgrupy H grupy G istnieje monomorfizm f : H G? (g) Czy wszystkie grupy 3-elementowe są izomorficzne? (h) Czy wszystkie grupy 4-elementowe są izomorficzne? (i) Czy homomorficzny obraz grupy abelowej może być nieabelowy? (j) Czy homomorficzny obraz grupy nieabelowej może być abelowy? 2

8 Algebra 1 Ćwiczenia 4 - Grupy ilorazowe i sumy proste Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech H będzie dzielnikiem normalnym grupy G. Wówczas zbiór wszystkich warstw w grupie G wyznaczonych przez H wraz z działaniem (a H) (b H) = (a b) H tworzy grupę, którą oznaczamy przez G/H i nazywamy grupą ilorazową. Twierdzenie 1 (I twierdzenie o izomorfizmie). Niech H będzie dzielnikiem normalnym grupy G. Jeżeli f : G F jest homomorfizmem grup, to G/ ker f = im f. Definicja 2. Grupa abelowa G jest sumą prostą swoich podgrup H 1,... H n, co zapisujemy G = H 1... H n, gdy funkcja f : H 1... H n G określona wzorem f(h 1,..., h n ) = h 1... h n jest izomorfizmem. Stwierdzenie 1. Jeżeli G jest sumą prostą swoich podgrup H 1,... H n, to każdy element z G można tylko na jeden sposób przedstawić jako h 1... h n, gdzie h j H j. Twierdzenie 2. Grupa G jest sumą prostą swoich podgrup H 1,... H n wtedy i tylko wtedy, gdy (i) dla dowolnego g G zachodzi h 1... h n dla pewnych h j H j ; (ii) dla dowolnego 2 k n mamy H k (H 1... H k 1 ) = {e}, gdzie H 1... H k 1 = {h 1... h k 1 : h j H j }. Zadania Zadanie 1. Wypisać elementy następujących grup ilorazowych oraz utworzyć w nich tabelkę działania: (a) Z/5Z; (b) Φ(7)/{1, 2, 4}; (c) Φ(15)/{1, 4}; (d) µ 12 /µ 3 ; (e) 10Z/30Z; (f) mz/mnz; Zadanie 2. Korzystając z I twierdzenia o izomorfizmie udowodnić, że: (a) Z/nZ = Z n ; (b) mz/mnz = Z n ; (c) µ mn /µ m = µn ; (d) D 4 /{Obroty} = Z 2 ; (e) GL n (R)/SL n (R) = R ; (f) C/R = R; (g) R /{ 1, 1} = R + ; (h) R/Z = S 1 ; (i) Q/Z = µ ; (j) C /S 1 = R + ; (k) C /R + = S 1 ; (l) S 1 /µ n = S 1. 1

9 Zadanie 3. Pokazać, że R = { 1, 1} R +, C = R ir oraz C = R + S 1. Zadanie 4. Udowodnij, że jeżeli G = H 1 H 2, to G/H 1 = H2. Zadanie 5. Udowodnij, że grupa Z 20 jest sumą prostą podgrup {0, 4, 8, 12, 16} i {0, 5, 10, 15}, ale nie jest sumą prostą podgrup {0, 10} i {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}? Zadanie 6. Udowodnij, że grupa R 3 z dodawaniem po współrzędnych jest sumą prostą swoich podgrup: H 1 = {(t, 0, 0) : t R}, H 2 = {(t, t, 0) : t R}, H 3 = {(t, t, t) : t R}. Zadanie 7. Niech układ v 1,..., v n będzie bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem K. Udowodnij, że V jako grupa abelowa jest sumą prostą swoich podgrup postaci H k = {αv k : α K}. Pytania (a) Czy każdy dzielnik normalny jest jądrem pewnego nietrywialnego homomorfizmu? (b) Czy grupa ilorazowa utworzona z grupy abelowej jest również abelowa? (c) Czy grupa ilorazowa utworzona z grupy nieabelowej jest również nieabelowa? (d) Niech H będzie dzielnikiem normalnym grup G i F oraz F < G. Czy F/H < G/H? (e) Czy z faktu, że H < G/H wynika, że istnieje F < G takie, że F/H = H? (f) Czy zawsze rząd elementu g w grupie G jest nie mniejszy niż rząd warstwy g H w grupie ilorazowej G/H? (g) Czy z faktu, że G/H = F wynika, że istnieje homomorfizm f : G F taki, że ker f = H oraz im f = F? (h) Czy grupa Z może być sumą prostą skończonej liczby swoich podgrup? (i) Czy jeżeli G = H 1 H 2... H n, to G/(H 2... H n ) = H 1? (j) Czy jeżeli G = H 1 H 2... H n oraz G = F, to również grupę F da się zapisać jako sumę prostą swoich n podgrup? 2

10 Algebra 1 Ćwiczenia 5 - Grupy cykliczne Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym podzbiorem grupy G. Wówczas, najmniejsza w sensie inkluzji, grupa A zawierająca zbiór A składa się ze wszystkich elementów postaci k j=1 a n j j, gdzie a 1, a 2,..., a k są dowolnymi elementami ze zbioru A, natomiast n 1, n 2,..., n k są dowolnymi liczbami całkowitymi. Grupę tę nazywamy grupą generowaną przez elementy zbioru A. Definicja 2. Grupą cykliczną nazywamy grupę generowaną przez jeden element i oznaczamy ją przez g. Element g nazywamy wówczas generatorem grupy cyklicznej. Zadania Zadanie 1. Jak wygląda grupa g w zależności od rzędu elementu g G. Zadanie 2. Pokazać, że jeżeli G jest skończoną grupą cykliczną to, element g jest generatorem grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy rząd elementu g wynosi G. Zadanie 3. Udowodnij, że a) jeśli n > 1, to grupa Z n Z n nie jest cykliczna. b) jeśli (n, m) > 1, to grupa Z n Z m nie jest cykliczna. c) jeśli (n, m) = 1, to grupa Z n Z m jest cykliczna, a para (a, b) jest generatorem wtedy i tylko wtedy, gdy (a, n) = (b, m) = 1. d) liczba różnych generatorów cyklicznej grupy skończonej G wynosi ϕ( G ). e) jeśli (n, m) = 1, to ϕ(mn) = ϕ(n) ϕ(m). Zadanie 4. Wypisać wszystkie generatory następujących grup cyklicznych: Z 24, Z 35, Z, Φ(25), Φ(27). Zadanie 5. Niech G = g będzie skończoną grupą cykliczną oraz N k G. Udowodnij, że rza = k wtedy i tylko wtedy, gdy a = g m G /k dla pewnego m Φ(k). Wywnioskuj, że k n ϕ(k) = n. Wyznacz wszystkie elementy rzędu 10 w grupie Z 100 oraz elementy rzędu 9 w Φ(27). Zadanie 6. Niech G = g będzie skończoną grupą cykliczną oraz N k G. Udowodnij, że w grupie G istnieje dokładnie jedna podgrupa rzędu k i jest ona postaci g G /k. Wyznacz wszystkie podgrupy grupy Z 30 oraz Φ(25). 1

11 Pytania (a) Czy obraz homomorficzny grupy cyklicznej musi być cykliczny? (b) Czy nietrywialny obraz homomorficzny grupy niecyklicznej musi być niecykliczny? (c) Czy grupa Z Z z dodawaniem po współrzędnych jest cykliczna? (d) Czy każda grupa, której rząd jest liczbą pierwszą, jest cykliczna? (e) Czy istnieje nieprzeliczalna i nieskończona grupa cykliczna? (f) Czy w grupie niecyklicznej można znaleźć nietrywialną podgrupę cykliczną? (g) Czy w grupie cyklicznej każda podgrupa jest dzielnikiem normalnym? (h) Czy istnieje grupa niecykliczna, w której każda podgrupa właściwa jest cykliczna? (i) Czy Q z dodawaniem jest grupą cykliczną? (j) Czy grupa G F z działaniem po współrzędnych może być cykliczna, o ile G lub F nie jest cykliczna? 2

12 Algebra 1 Ćwiczenia 6 - Pierścienie, elementy odwracalne i dzielniki zera Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niepusty zbiór P z działaniami + i nazywamy pierścieniem, gdy (i) P z + jest grupą abelową (działanie + jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny 0 oraz każdy element z P ma element przeciwny w P ); (ii) działanie jest łączne w P ; (iii) zachodzi rozdzielność względem + tj. dla dowolnych a, b, c P mamy a (b + c) = a b + a c (b + c) a = b a + c a Definicja 2. Pierścień P z działaniami + i nazywamy pierścieniem przemiennym, gdy jest przemienne w P ; pierścieniem z jedynką, gdy istnieje element neutralny dla (element ten nazywamy jedynką); ciałem, gdy jest pierścieniem przemiennym z jedynką, w którym każdy element różny od zera jest odwracalny w P względem. Definicja 3. Niech K będzie ciałem z działaniami + i. Charakterystykę ciała K definiujemy wzorem n, gdy rząd elementu 1 w grupie K z + wynosi n, char K = 0, gdy rząd elementu 1 w grupie K z + jest nieskończony. Definicja 4. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z + i. Element niezerowy a P nazywamy dzielnikiem zera, gdy istnieje element niezerowy b P taki, że a b = 0. Definicja 5. Pierścienie przemienny z jedynką bez dzielników zera nazywamy dziedziną całkowitości. Twierdzenie 1. W pierścieniu przemiennym z jedynką nie istnieje element odwracalny, który jest jednocześnie dzielnikiem zera. Twierdzenie 2. W skończonym pierścieniu przemiennym z jedynką każdy niezerowy element jest albo dzielnikiem zera albo elementem odwracalnym. Stwierdzenie 1. Niech P z działaniami + i będzie pierścieniem z jedynką. Zbiór wszystkich jedności tj. elementów odwracalnych z tworzy grupę. Oznaczamy ją przez U(P ) i nazywamy grupą jedności. Definicja 6. Niepusty podzbiór R pierścienia P nazywamy podpierścieniem, gdy dla dowolnych a, b R mamy a b R oraz a b R. 1

13 Zadania Zadanie 1. Sprawdzić, że dany zbiór jest pierścieniem : a) R ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem; b) Z ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem; c) C ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem zespolonym; d) Z[i] ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem zespolonym, gdzie Z[i] = {a + bi : a, b Z}; e) Z[ D] ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem zespolonym, gdzie Z[ D] = {a + b D : a, b Z} oraz D Z; f) { a n k : a Z, k N} ze zwykłym mnożeniem i dodawaniem; g) C [0,1] z działaniami określonymi wzorami (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f g)(x) = f(x) g(x). Zadanie 2. Wyznaczyć elementy odwracalne oraz dzielniki zera w pierścieniach: a) Z 24 b) Z p, gdzie p jest liczbą pierwszą c) Z p 2, gdzie p jest liczbą pierwszą d) R Z e) Z 6 Z 4 f) Z 4 Z Zadanie 3. Scharakteryzuj elementy odwracalne i dzielniki zera w dowolnym pierścieniu Z n. Zadanie 4. Wyznacz grupę jedności dla: a) dowolnego ciała K b) pierścienia Z n c) pierścienia liczb Gaussa Z[i] d) pierścienia Z[ 5] Zadanie 5. Czy w pierścieniu liczb Gaussa istnieją dzielniki zera? Zadanie 6. Wyznacz elementy odwracalne w pierścieniu (C [0,1], +, ). Czy istnieją w nim dzielniki zera? Czy istnieje niezerowy element nie będący ani dzielnikiem zera, ani elementem odwracalnym. Pytania (a) Czy jeżeli A z działaniem dodawania + jest grupą abelową a działanie w zbiorze A jest dla wszystkich a, b A określone wzorem a b = 0, to zbiór A z tymi działaniami tworzy pierścień przemienny? (b) Czy z faktu, że a n dla n N jest dzielnikiem zera w pierścieniu przemiennym A wynika, że a jest dzielnikiem zera w A? 2

14 (c) Czy z faktu, że ab jest odwracalny w pierścieniu z jedynką A bez dzielników zera wynika, że a i b są odwracalne w A? (d) Czy z faktu, że ab i ba są odwracalne w pierścieniu z jedynką A wynika, że a i b są odwracalne w A? (e) Czy istnieje dziedzina całkowitości o skończonej liczbie elementów, która nie jest ciałem? (f) Czy wyrzucenie z pierścienia przemiennego z jedynką wszystkich dzielników zera oraz elementu 0 powoduje, że powstały zbiór z mnożeniem będzie grupą? (g) Czy niezerowy podpierścień z jedynką dziedzieny całkowitości jest dziedziną całkowitości? (h) Czy niezerowy podpierścień z jedynką ciała jest również ciałem? (i) Czy charakterystyka ciała skończonego jest zawsze liczbą pierwszą? (j) Czy jeżeli charakterystyka ciała K jest liczbą pierwszą p, to (a + b) p = a p + b p dla dowolnych a, b K? 3

15 Algebra 1 Ćwiczenia 7 - Ideały i pierścienie ilorazowe Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niepusty podzbiór I pierścienia P nazywamy ideałem, gdy (i) dla dowolnych a, b I mamy a b I; (ii) dla dowolnego x A i dowolnego a I mamy ax I oraz xa I. Definicja 2. Ideał właściwy I pierścienia P nazywamy pierwszym, gdy dla dowolnych a, b P z faktu, że ab I wynika, że a I lub b I. Definicja 3. Ideał właściwy I pierścienia P nazywamy maksymalnym, gdy jedynym ideałem J zawierającym I (tj. I J) jest ideal I lub cały pierścień P. Definicja 4. Ideał I pierścienia przemiennego P z jedynką nazywamy głównym, gdy istnieje element a I taki, że I = (a) := {ax : x P }. Definicja 5. Niech P będzie pierścieniem, I ideałem w P oraz x P. Warstwą wyznaczoną przez element x względem ideału I nazywamy zbior x + I = {x + a : a I}. Definicja 6. Niech P 1, P 2 będą pierścieniami. Wówczas odwzorowanie f : P 1 P 2 nazywamy homomorfizmem, gdy dla dowolnych a, b P 1 mamy f(a + b) = f(a) + f(b) oraz f(ab) = f(a)f(b). Co więcej, jeżeli P 1 i P 2 są pierścieniami z jedynką, to dodatkowo żądamy, aby f(1) = 1. Pojęcia jądra i obrazu są identyczna jak w przypadku homomorfizmu grup. Definicja 7. Niech I będzie ideałem pierścienia P. Wówczas zbiór wszystkich warstw wyznaczonych przez ideał I z działaniami (a + I) + (b + I) = (a + b) + I, (a + I) (b + I) = (a b) + I tworzy pierścień zwany pierścieniem ilorazowym. Twierdzenie 1 (I twierdzenie o izomorfizmie). Jeżeli f : P 1 P 2 jest homomorfizmem pierścieni, to P 1 / ker f = im f. Twierdzenie 2. Jeżeli I jest ideałem pierścienia P przemiennego z jedynką, to ideał I jest: maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy P/I jest ciałem; pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy P/I jest dziedziną całkowitości; 1

16 Zadania Zadanie 1. Sprawdzić, czy zbiór tych funkcji f C [0,1] które spełniają podany warunek, jest ideałem pierścienia C [0,1]. a) f(1) = 0 b) f(0) Q c) f(0) = f(1) Zadanie 2. Sprawdzić, czy zbiór funkcji znikających w jest ideałem pierścienia C (0, ). Zadanie 3. Niech I będzie ideałem pierścienia przemiennego A z jedynką. Udowodnić, że jeśli do I należy pewien element odwracalny pierścienia A, to I = A. Wywnioskuj jakie ideały posiada dowolne ciało K. Zadanie 4. Czy ideał I = {f C [0,1] : f(1) = 0} pierścienia C [0,1] jest pierwszy lub maksymalny? Zadanie 5. Udowodnić, że zbiór I = {f C (0,1) : 0<c<1 x (0,c) f(x) = 0} nie jest ideałem głównym pierścienia C (0,1). Zadanie 6. Wyznaczyć warstwy danego pierścienia A względem jego ideału I oraz utworzyć tabelki działań: a) A = Z 15, I = 3A b) A = Z 12, I = 4A c) A = Z[i], I = 2A d) A = Z[i 3], (1 + i 3)A Zadanie 7. Niech A = Z[i] i niech I = (3 + 2i)Z[i]. Rozpatrując funkcję ϕ : Z 13 A/I określoną wzorem ϕ(m) = m + I, pokazać, że A/I = Z 13. Zadanie 8. Korzystając z I twierdzenia o izomorfizmie, udowodnić, a) C [0,1] /I = R, gdzie I = {f C [0,1] : f(1) = 0} b) R /I = R 2, gdzie I = {(a 0, a 1, a 2,...) R : a 3 = a 4 = 0} c) R 4 /I = R 2, gdzie I = {(a, b, c, d) R 4 : a = c = 0} d) R /I = R, gdzie I = {(a 0, a 1, a 2,...) R : k N a 2k = 0} Zadanie 9. Które ideały w poprzednim zadaniu są maksymalne? Pytania (a) Czy każdy ideał pierścienia Z jest główny? (b) Czy dla dowolnej liczby pierwszej p ideał pz jest ideałem pierwszym? (c) Czy dla dowolnej liczby pierwszej p ideał pz jest ideałem maksymalnym? (d) Czy ideał I = {f C [0,1] : 0<c<1 x [0,c] f(x) = 0} jest maksymalny? 2

17 (e) Czy zbiór IJ = {a 1 b 1 + a 2 b a n b n : a i I, b i J, n N} jest ideałem o ile I i J są ideałami? (f) Czy z faktu, że jest ideałem pierwszym oraz I, J ideałami takimi, że IJ wynika, że I lub J. (g) Czy ciało może posiadać więcej niż dwa ideały? (h) Czy każdy pierścień posiadający dokładnie dwa ideały jest ciałem? (i) Czy istnieje pierścień, w którym żaden ideał maksymalny nie jest pierwszy? (j) Czy istnieje ciało, które ma dokładnie jeden ideał maksymalny? 3

18 Algebra 1 Ćwiczenia 8 - Pierścienie wielomianów Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Wówczas pierścieniem wielomianów P [X] nazywamy zbiór wszystkich wyrażeń postaci a n X n + a n 1 X n a 2 X 2 + a 1 X + a 0, gdzie n N oraz a 0, a 1,..., a n A, z działaniami dodawania i mnożenia określonego wzorami (a n X n + a n 1 X n a 2 X 2 + a 1 X + a 0 ) + (b n X n + b n 1 X n b 2 X 2 + b 1 X + b 0 ) = = (a n + b n )X n + (a n 1 + b n 1 )X n (a 2 + b 2 )X 2 + (a 1 + b 1 )X + a 0 + b 0, (a n X n + a n 1 X n a 2 X 2 + a 1 X + a 0 ) (b n X n + b n 1 X n b 2 X 2 + b 1 X + b 0 ) = = c n X n + c n 1 X n c 2 X 2 + c 1 X + c 0, gdzie c n = n k=0 a k b n k. Elementy a j nazywamy współczynnikami wielomianu, natomiast największe k takie, że a k 0 nazywamy stopniem wielomianu i oznaczamy przez deg(f) (stopień wielomianu zerowego wynosi ). Definicja 2. Mówimy, że wielomian f(x) dzieli się z resztą przez wielomian g(x) w pierścieniu P [X], gdy istnieją wielomiany q(x), r(x) [X] (zwane ilorazem i resztą odpowiednio) takie, że f(x) = q(x)g(x) + r(x), deg r < deg g. Stwierdzenie 1. Jeżeli K jest ciałem, to w pierścieniu K[X] można podzielić z resztą dowolne dwa niezerowe wielomiany. Co więcej ich iloraz i reszta jest wyznaczona jednoznacznie. Definicja 3. Wielomian f(x) P [X] jest nierozkładalny w P [X], gdy nie jest iloczynem dwóch wielomianów z P [X] stopnia co najmniej 1. Inaczej mówiąc, wielomian nierozkładalny nie dzieli się przez żaden wielomian stopnia 1. Zadania Zadanie 1. Wykonać następujące dzielenia z resztą : (a) (b) (c) X 4 9X X 2 16X + 13 przez X 5 w Z[X] 2X 4 + X 3 + X 2 + 3X + 3 przez 3X 2 + X + 4 w Z 5 [X] 2X 5 + 8X 4 + 7X 3 + 3X + 5 przez 3X 3 + 7X 2 + 5X + 1 w Z 11 [X] 1

19 Zadanie 2. Wyznaczyć warstwy danego pierścienia P względem jego ideału I oraz utworzyć tabelki działań: (a) P = Z 2 [X], I = X 2 P (b) P = Z 2 [X], I = (X 2 + X + 1)P (c) P = Z 2 [X], I = (X 2 + X)P Zadanie 3. W pierścieniu ilorazowym Z[X]/I, gdzie I = X 2 Z[X], rozwiązać równanie ((1 + 2X) + I)t = (5 + 9X) + I o niewiadomej t. Zadanie 4. W pierścieniu ilorazowym Z 3 [X]/I, gdzie I = (X 3 + 2X + 1)Z 3 [X], rozwiązać dane równania z niewiadomą t: ((1 + 2X + 2X 2 ) + I)t = (2 + X + 2X 2 ) + I oraz (X + I)t = I. Zadanie 5. W pierścieniu ilorazowym Z 5 [X]/I, gdzie I = X 3 Z 5 [X], obliczyć odwrotność elementów: (1 + X) + I, (3 + 4X + X 2 ) + I, (1 + 2X) + I. Zadanie 6. Zbadać, czy pierścień ilorazowy Z 5 [X]/f(X)Z 5 jest dziedziną całkowitości, jeśli f(x) jest następującej postaci: (a) X (b) X 2 + 4X + 1 (c) X 3 + 4X + 4 Zadanie 7. Korzystając z I twierdzenia o izomorfizmie, udowodnij, że (a) P/I = R 2, gdzie P = R[X], I = (X 2 5X + 4)R[X] (b) P/I = ( Z/7 ) 2, gdzie P = Z/7[X], I = (X 2 + 5)R[X] Pytania (a) Czy ideał I = 5Z[X] + XZ[X] := {5f(X) + Xg(X) : f(x), g(x) Z[X]} pierścienia Z[X] jest główny? (b) Czy dla dowolnej liczby pierwszej p pierścień ilorazowy Z p [X]/XZ p [X] jest ciałem? (c) Czy dla dowolnej liczby pierwszej p i dowolnego n N pierścień ilorazowy Z p [X]/X n Z p [X] jest ciałem? (d) Czy ideał główny (X 3 + X + 1)Z 3 [X] jest maksymalny w pierścieniu Z 3 [X]? (e) Czy w pierścieniu Z 10 [X] istnieją wielomiany niezerowe, których nie można podzielić przez siebie z resztą? (f) Czy w pierścieniu Z 10 [X] istnieją wielomiany niezerowe, które można podzielić przez siebie z resztą? 2

20 (g) Czy dla dowolnego pierścienia P przemiennego z jedynką w pierścieniu wielomianów P [X] zachodzi wzór deg(f g) = deg f + deg g? (h) Czy dla dowolnego ciała K pierścienie ilorazowe typu K[X]/(aX + b)k[x] są izomorficzne, gdzie a, b K? (i) Czy dla dowolnego ciała K i dowolnej liczby naturalnej n istnieje wielomian nierozkładalny stopnia n w K[X]? (j) Czy wielomianów w pierścieniu Q[X] jest przeliczalnie wiele? 3

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G;

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G; 1 Grupy 1.1 Grupy Definicja. Grupą nazywamy niepusty zbiór G z działaniem : G G G, (a, b) ab, spełniającym warunki: (1) działanie jest łączne, tzn. a(bc) = (ab)c dla dowolnych a, b, c G; (2) dla działania

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato prof. Wojciech Gajda

Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato prof. Wojciech Gajda Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato 2015 prof. Wojciech Gajda Zadanie 1. Znaleźć rzędy wszystkich elementów w grupie G jeżeli: (a) G=Z/16 (b) G=(Z/36) (c) G=Q 8 (d) G=D 5 (e) G=Z/2 Z/8 (f) G=S 4.

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup 1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Algebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu

Algebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Algebra I wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki Grzegorz Bobiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Toruń 2005 Spis treści Rozdział I. Pierścienie 3 1.1. Działania w zbiorach

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu. 61 7. Wyk ad 7: Homomorfizmy pierúcieni, idea y pierúcieni. Idea y generowane przez zbiory. PierúcieÒ ilorazowy, twierdzenie o homomorfizmie. Idea y pierwsze i maksymalne. 7.1. Homomorfizmy pierúcieni,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak. Wielomiany

Maciej Grzesiak. Wielomiany Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ;

(6) Homomorfizm φ : P R nazywamy epimorfizmem kategoryjnym, jeśli dla każdego pierścienia. jeśli φ ψ 1 = φ ψ 2, to ψ 1 = ψ 2 ; 10. Wykład 10: Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Ideały generowane przez zbiory. 10.1. Homomorfizmy pierścieni, ideały pierścieni. Definicja 10.1. Niech P, R będą pierścieniami. (1) Odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe 14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].

Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z]. 1. Wykład 1: Grupy i izomorfizmy grup. Definicja 1.1. Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym(lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna

Bardziej szczegółowo

Wielomiany i rozszerzenia ciał

Wielomiany i rozszerzenia ciał Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,

Bardziej szczegółowo

Pojęcie pierścienia.

Pojęcie pierścienia. Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Projekt matematyczny

Projekt matematyczny Projekt matematyczny Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki Katowice VI Święto Liczby π 15 marca 2012 r. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 1 / 32 Wielkie twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Algebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1.

Algebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1. Algebra II Wykład 1 0. Przypomnienie Zbiór R z działaniami +, : R R R, wyróżnionymi elementami 0, 1 R i operacją : R R nazywamy pierścieniem, jeśli spełnione są następujące warunki: (1) a, b, c R : a +

Bardziej szczegółowo

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-) Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa nad pierścieniami

Algebra liniowa nad pierścieniami Algebra liniowa nad pierścieniami Wykład monograficzny Kazimierz Szymiczek Przedmowa Linear algebra, like motherhood, has become a sacred cow. Irving Kaplansky Niniejszy skrypt jest zapisem wykładu monograficznego

Bardziej szczegółowo

(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),

(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d), Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2 Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie, algebry

1 Pierścienie, algebry Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O

Bardziej szczegółowo

opracował Maciej Grzesiak Grupy

opracował Maciej Grzesiak Grupy opracował Maciej Grzesiak Grupy 1. Określenie i przykłady grup Definicja 1. Zbiór G z określonym na nim działaniem dwuargumentowym nazywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y z = x (y z; G2. e G x G e x = x

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1 FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.

Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Elementy algebry ogólnej 1

Elementy algebry ogólnej 1 Elementy algebry ogólnej 1 Notatki do wykładu w semestrze zimowym 2015/2016 Ewa Cygan Wersja z 13 sierpnia 2015 Spis treści Wstęp ii Oznaczenia, konwencje i podstawowe twierdzenia.................. ii

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,

Bardziej szczegółowo

Elementy algebry ogólnej 2

Elementy algebry ogólnej 2 Elementy algebry ogólnej 2 Notatki do wykładu w semestrze letnim 2012/2013 Ewa Cygan Wersja z 17 maja 2013 Spis treści 1 Pierścienie - wiadomości ogólne 5 1.1 Podstawowe definicje i przykłady........................

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych

Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo