1. Zadania z Algebry I
|
|
- Artur Woźniak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) Udowodnić, że Q 8 = 8 i sporza dzić tabelke dzia lania dwuargumentowego (grupe Q 8 nazywamy grupa kwaternionowa ) Znaleźć wszystkie podgrupy grupy Q 8 i zawierania mie dzy nimi Z 13 Niech GL(n, Z) oznacza grupe odwracalnych macierzy n n o wyrazach ca lkowitych Znaleźć jej centrum Z 14 Zbadać istnienie monomorfizmów a) Σ n GL(n, K) dla dowolnego cia la K b) D 2n Σ n c) Q 8 Σ 4 Z 15 Udowodnić, że jeżeli G = H to Aut (G) = Aut (H) Z 16 Definicja: Podgrupe w laściwa H grupy G nazywamy maksymalna, jeżeli nie istnieje w laściwa podgrupa K G, K H taka, że H K G Pokazać, że jeżeli grupa skończona G ma dok ladnie jedna podgrupe maksymalna, to G jest grupa cykliczna i G = p m, gdzie p jest liczba i m > 0 Z 17 Niech Φ(G) be dzie cze ścia wspólna wszystkich maksymalnych podgrup G - jeśli takich podgrup nie ma przyjmujemy, że Φ(G) = G Powiemy że element g G jest antygeneratorem jeśli z równości X {g} = G wynika X = G dla dowolnego podzbioru X G Pokazać, że dla skończonej grupy G podgrupa Φ(G) sk lada sie z antygeneratorów grupy G Z 18 Pokazać, że podgrupa dowolnej grupy skończonej generowana przez dwa nieprzemienne elementy rze du dwa jest izomorficzna z grupa dihedralna Z 19 Pokazać, że jeżeli H G jest podgrupa, to G \ H = G Z 110 Udowodnić, że zbiór z lożony z transpozycji (12) i cyklu (1, 2,, n) generuje ca la grupe Σ n Pokazać, że jeżeli p jest liczba, to Σ p jest generowane przez dowolna transpozycje i dowolny cykl d lugości p Pokazać, rozważaja c Σ 4, że za lożenie iż p jest liczba jest istotne Z 111 Udowodnić, że jeżeli g G g 2 = 1, to G jest grupa abelowa Udowodnić, że jeżeli ponadto grupa G jest skończona, to G = 2 m Z 112 Udowodnić, że w skończonej grupie abelowej iloczyn wszystkich elementów jest równy iloczynowi elementów rze du 2 Zastosować to stwierdzenie do grupy Z p i wykazać Tw Wilsona: (p 1)! 1 (mod p) Z 113 Niech G be dzie grupa abelowa, która zawiera pewien element rze du m i pewien element rze du n Pokazać, że G zawiera element, którego rza d jest równy NW W (n, m) Z 114 Niech x, y G, przy czym x y = 1 Pokazać, że jeżeli x i y sa przemienne, to x, y = x y Wywnioskować, że jeżeli xy = yx i rze dy o(x) i o(y) s wzgle dnie pierwsze, to o(xy) = o(x)o(y) Z 115 Niech G < Udowodnić, że liczba elementów rze du n jest wielokrotnościa ϕ(n), gdzie ϕ jest funkcja Eulera
2 2 Z 116 Jeżeli ϕ : G H jest epimorfizmem, a K H dowolna podgrupa, to [G : ϕ 1 (K)] = [H : K] Z 117 Przedstawić w postaci iloczynu transpozycji elementów sa siednich permutacje (173)(2456) Z 118 Znaleźć klasy sprze żoności elementów grupy dihedralnej D 2n Z 119 Niech G be dzie grupa skończona Pokazać, że prawdopodobieństwo że dwa losowo wybrane (losujemy z powtórzeniami) elementy sa przemienne jest równe k/ G, gdzie k jest liczba klas sprze żoności elementów G Z 120 Niech σ Σ 6 Σ 7, σ = ( ) Znaleźć C Σ6 (σ) oraz C Σ7 (σ) Czy w Σ 7 istnieje permutacja tego samego rze du co σ, ale z permutacja σ nie sprze żona? Z 121 Udowodnić, że nie istnieje grupa, w której elementów rze du 7 jest dok ladnie 18 Z 122 Niech Φ : G Σ G be dzie monomorfizmem z twierdzenia Caleya Niech g G be dzie elementem rze du n Znaleźć rozk lad na cykle roz la czne permutacji Φ(g) Z 123 Podać przyk lad trzech różnych (to znaczy nie ekwiwariantnie izomorficznych) dzia lań grupy D 20 na zbiorze 23 elementowym, które maja dwie orbity 10 cio elementowe, jedna orbite dwuelementowa i jeden punkt sta ly Z 124 Niech grupa skończona G dzia la na skończonym zbiorze X Udowodnić wzór Burnside a: X/G = 1 G X g gdzie X/G oznacza liczbe orbit dzia lania G na X, a X g liczbe punktów sta lych przekszta lcenia wyznaczonego przez g G Z 125 Za lóżmy, że grupa skończona G dzia la tranzytywnie (to znaczy jest dok ladnie jedna orbita) na zbiorze X Rozważmy dzia lanie G na X X zadane wzorem g(x 1, x 2 ) = (g(x 1 ), g(x 2 )) Udowodnić, że liczba orbit dzia lania G na X X jest równa liczbie orbit dzia lania grupy izotropii G x na X (dla dowolnego punktu x X) Z 126 Niech grupa permutacji Σ 4 dziaa tranzytywnie na zbiorze X i na zbiorze Y Niech dla pewnego punktu x 0 X jego grupa izotropii be dzie podgrupa (Σ 4 ) x0 = (12)(34), zaś dla pewnego punktu y 0 Y jego grupa izotropii be dzie podgrupa (Σ 4 ) y0 = (1234) a) Ile elementów maja zbiory X i Y? Odpowiedź uzasadnić Tyle, ile zbiory warstw wzgle dem podgrup izotropii, czyli X = 12, Y = 6 b) Wypisać wszystkie grupy izotropii punktów zbioru X oraz wszystkie grupy izotropii punktów zbioru Y Jako grupy izotropii wysta pia wszystkie podgrupy sprze żone z grupa izotropii x 0 i y 0 odpowiednio Dla X, to: {id, (12)(34)} w punktach x 0 = (12)(34)x 0, (12)x 0 = (12)(12)(34) = (34)x 0, (13)(24)x 0 = (14)(23)x 0, (1324)x 0 = (1423)x 0 {id, (13)(24)} w punktach (23)x 0 = (1342)x 0, (132)x 0 = (234)x 0, (1234)x 0, (prosze uzupe lnić) g G
3 3 {id, (14)(23)} (prosze uzupe lnić) Dla Y to: {id, (1234), (13)(24), (1432)} w y 0 i w (24)y 0 {id, (1324), (12)(34), (1423)} w (23)y 0 i w (14)y 0 {id, (1342), (14)(23), (1243)} w (34)y 0 i w (12)y 0 c) Niech grupa Σ 4 dzia la na zbiorze X Y wzorem σ(x, y) = (σ(x), σ(y)) Znaleźć liczb orbit i moce orbit tego dzia lania Rozważmy sytuacje ogólna : grupa G dzia la tranzytywnie na zbiorach X i Y, grupami izotropii punktów x 0 X i y 0 Y sa K G i H G odpowiednio Każdy punkt zbioru X Y jest postaci (g 1 (x 0 ), g 2 (y 0 ) i dzia laja c na niego elementem g1 1 widzimy, że w każdej orbicie dzia lania grupy G jest punkt postaci (x 0, g(y 0 )) dla pewnego g G Dwa różne punkty (x 0, g(y 0 )), (x 0, g (y 0 )) należa do tej samej orbity dzia lania grupy G na X Y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k K, takie że kg(y 0 ) = g (y 0 ) Wynika z tego, że jest wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość mie dzy orbitami dzia lania diagonalnego G na X Y a orbitami dzia lania K na Y, przy czym grupa izotropii dzia lania G w punkcie (x 0, g(y 0 )) jest równa grupie izotropii dzia lania K na Y w punkcie g(y 0 ) i jest nia podgrupa K ghg 1 Wróćmy teraz do naszego przykadu Musimy znaleźć orbity i grupy izotropii dzia lania (12)(34) na Y Można to wypisać, a można popatrzeć na grupy izotropii, które sa równe (12)(34) w punktach (23)y 0 i w (14)y 0 (czyli sa to punkty sta le), a trywialne w pozosta lych Zatem dzia lanie (12)(34) ma dwa punkty sta le i dwie orbity dwulelementowe, bo Y = 6 Dla dzia lania Σ 4 na X Y odpowiada to dwóm orbitom 12 elementowym o grupie izotropii (12)(34) i dwóm orbitom 24 elementowym o trywialnych grupach izotropii Z 127 Niech H G i niech π : G G/H be dzie rzutowaniem Pokazać, że: a) każda podgrupa grupy G/H jest postaci K/H, gdzie K G jest podgrupa G zawieraja ca H i przyporzdkowanie to definiuje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość mie dzy podgupami grupy G/H a podgrupami grupy G zawieraja cymi H; b) K/H G/H wtedy i tylko wtedy, gdy K G, i wówczas c) jeżeli K G jest dowolna podgrupa, to / G/H K/H = G/K; π 1 (π(k)) = K H = {k h: k K, h H} G i ponadto K H = H K = K H ; d) jeżeli K G jest dowolna podgrupa, to K/(K H) = (K H)/H; Z 128 Podać przyk lady podgrup H G i K G, takich że K H nie jest podgrupa grupy G Z 129 Rozpatrzmy grupe dihedralna D 2n a) Znaleźć abelianizacje grupy D 2n
4 4 b) Niech n 3 Udowodnić, że jeżeli n jest nieparzyste, to Z(D 2n ) = 1, a jeżeli n jest parzyste to D 2n /Z(D 2n ) = D n c) Pokazać, że kada podgrupa grupy obrotów grupy dihedralnej jest normalna Pokazać, że jeżeli k l = n, to D 2n / ρ k = D 2k Z 130 Pokazać, że Aut(Z n ) jest grupa izomorficzna z grupa multyplikatywna elementów odwracalnych pierścienia Z n Z 131 Znaleźć wszystkie homomorfizmy grupy D 12 Z 12 Z 132 Udowodnić, że GL(2, Z 3 )/Z(GL(2, Z 3 )) jest izomorficzne z Σ 4 Z 133 Wykazać, że jeżeli w grupie G istnieje podgrupa skończonego indeksu, to istnieje zawarta w niej podgrupa normalna skończonego indeksu Z 134 Pokazać, że jeżeli G jest grupa skończenie generowana, a m N liczba naturalna, to w G istnieje co najwyżej skończona liczba podgrup indeksu m Z 135 Pokazać, że jeżeli p jest najmniejsza liczba dziela ca G i H G, G : H = p, to H G Z 136 Udowodnić, że jeżeli [G, G] H G, to H G Z 137 Jeżeli G jest skończona grupa przemienna i n G, to w grupie G istnieje podgrupa rze du n i podgrupa indeksu n Z 138 Niech G be dzie grupa skończona Pokazać, że G zawiera podgrupe normalna indeksu p, gdzie p jest liczba, wtedy i tylko wtedy, gdy p G/[G, G] Z 139 Niech H Σ n, n > 1 Udowodnić, że jeżeli H zawiera permutacje nieparzysta, to H zawiera podgrupe indeksu 2 Z 140 Udowodnić, że jeżeli G = 2r, r > 1 i (2 r), to G nie jest grupa prosta (Wskazówka: rozpatrzeć rozk lad na cykle roz la czne obrazów elementów grupy G przy homomorfizmie z tw Caleya) Z 141 Udowodnić, że jeżeli G = 2 k r, r > 1 i (2 r), oraz G zawiera podgrupe cykliczna rze du 2 k, to G zawiera podgrupe normalna rze du m Z 142 W A n, n 3 znaleźć podgrupe generowana przez 3-cykle
5 5 2 Piercienie i ich idea ly Z 21 Pokazać, że idea l pierścienia skończonego jest pierwszy wtedy i tylko wtedy gdy jest maksymalny Z 22 Opisać (6) + (15) Z, (6) (15) Z, (6) (15) Z, (x 2 ) + (y 3 ) K[x, y], (x 2 ) (y 3 ) K[x, y] Z 23 Udowodnić, że podzbiór elementów nilpotentnych pierścienia jest idea lem (nazywa sie go nilradyka lem) Wykazać, że pierścień ilorazowy nie zawiera niezerowych elementów nilpotentnych Wykazać, że nilradyka l jest iloczynem wszystkich idea lów pierwszych pierścienia Z 24 Niech I P be dzie idea lem Udowodnić, że podzbiór Ĩ P, z lożony z tych elementów a P, dla których istnieje n N, że a n I, jest idea lem Porównać P/I oraz P/Ĩ Z 25 Niech I P i J P be da idea lami i niech I + J = P (takie idea ly nazywamy wzgle dnie pierwszymi) Pokazać, że I J = i J Z 26 Niech I P i J P be da idea lami i niech I + J = P Pokazać, źe P/I J = P/I P/J Definicja Pierścień R nazywamy lokalnym jeżeli zawiera dok ladnie jeden idea l maksymalny Z 27 Pokazać, że dla pierścienia R naste puja ce warunki sa równoważne: a) suma elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym b) zbiór elementów nieodwracalnych jest idea lem c) R jest pierścieniem lokalnym Z 28 Wykazać, że piercień Z (p) (zadanie 41) jest lokalny Wskazać idea l maksymalny Z 29 Niech R be dzie pierścieniem lokalnym Udowodnić, że jeżeli x R oraz x 2 = x to x = 0 lub x = 1 Z 210 Udowodnić, że k[[x]] jest pierścieniem lokalnym, gdzie k jest cia lem Czy k[[x]] jest dziedzin idea lów g lównych? Opisać idea ly pierwsze i maksymalne Z 211 Udowodnić, że pierścień R[X] jest dziedzina idea lów g lównych wtedy i tylko wtedy gdy R jest cia lem Podać przyk lad idea lu w Z[X], który nie jest g lówny Z 212 Czy wśród idea lów g lównych pierścienia Z[X] sa maksymalne? Z 213 Znaleźć wszystkie homomorfizmy pierścieni: a) Z[X]/(X 2 ) Z 24 b) Z[X, Y ]/(X 2 Y 3 ) Z c) Z[X]/(X n 1) Q d) Z[X]/(X n 1) C Z 214 Znaleźć wszystkie homomorfizmy pierścieni Z[X]/(15X X 2) Z 7
6 6 3 Dziedziny z jednoznacznościa rozkadu Twierdzenie Gaussa Kryterium Eisensteina Jednoznaczność rozk ladu w pierścieniach Z[ d] Z 31 Pokazać, że jeżeli n 3, to 2 Z[ 3] jest elementem nierozkadalnym, który nie jest pierwszy Z 32 Pokazać, że w pierścieniu Z[ 5] istnieje NW D(3, 1 + 5) ale nie istnieje NW D(6, 2(1 + 5)) Z 33 W pierścieniu Z[i] znaleźć NW D(2 + 11i, 1 + 3i) Z 34 W pierścieniu Z[i] roz lożyć na czynniki nierozk ladalne liczbe 70 Z 35 Znaleźć piercie ilorazowy Z[i]/(70) Z 36 Udowodnić, że z lożenie homomorfizmów Z Z[ d] Z[ d]/(a + b d) jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy (a, b) = 1 Z 37 Pokazać, że w pierścieniu Z[ 5] nie istnieje NW D(4, ) Z 38 W piercieniu Z[i] znaleźć generator idea lu (1 + i, 4 + i) Rozk lad w pierścieniach wieomianów Z 39 W pierścieniu Z 5 [X] znaleźć generator idea lu (x 3 x 2 + 2x + 3, x 4 + 4x 3 + 3x 2 2x + 2) Z 310 Niech R be dzie dziedzina z jednoznacznościa rozk ladu, zaś Q(R) jej cia lem u lamków a) Udowodnić, że jeżeli dla d R równanie a 2 = d ma rozwia zanie w Q(R), to ma rozwia zanie w R Znaleźć kontrprzyk lad, jeżeli R nie jest dziedzina z jednoznacznościa rozk ladu (Wskazówka: Skorzystać z lematu Gaussa) b) Niech f R[X] be dzie wielomianem unormowanym (tzn wspó lczynnik przy X w najwyższej pote dze jest równy 1) Niech f(d) = 0 dla d Q(R) Pokazać, że d R Wywnioskować, że jeżeli m N i m nie jest n ta pote ga liczby ca lkowitej, to n m jest liczba niewymierna Z 311 Niech R be dzie dziedzina z jednoznacznościa rozk ladu Udowodnić, że f(x, Y ) = X 4 + 2Y 2 X 3 + 3Y 3 X 2 + 4Y X + 5Y + 6Y 2 jest nierozk ladalny w R[X, Y ] Z 312 Zbadać, które z niżej podanych wielomianów sa nierozk ladalne w pierścieniu Z[X] i Q[X]: (a) 2X X 3 66X + 44 (b) X 4 21 (c) X 3 7X 2 + 3X + 3 (d) X p 1 + X p X + 1, gdzie p jest liczba (e) (X a 1 )(X a 2 )(X a n ) 1, gdzie a 1, a 2, a n sa różnymi liczbami ca lkowitymi (f) X X (Wskazówka: Zredukować modulo 5 i zbadać rozk ladalność X w Z 5 [X]) (g) X n p, gdzie p jest liczba Z 313 Niech K bdzie ciaem a f, g K[X] wielomianami wzgldnie pierwszymi Niech Y inna zmienna i niech E = Q(K[Y ]) Traktujc wielomiany f, g jako elementy E[X] pokaza, e wielomian f Y g jest nierozkadalny w E[X]
7 7 Cia lo u lamków Z 314 Znaleźć Q(Z (p) ) (zad 41) Z 315 Niech a R nie be dzie dzielnikiem zera Niech R a = {(b, a n ): b R, n N {0}}/, gdzie (b, a n ) (c, a m ) ba m = ca n z dzia laniami (b, a n ) + (c, a m ) = (ba m + ca n, a m+n ), (b, a n ) (c, a m ) = (bc, a m+n ) Sprawdzić, że R a jest pierścieniem izomorficznym z R[X]/(aX 1) Pokazać, że obraz elementu a przy homomorfizmie R R[X]/(aX 1) przechodzi na element odwracalny Z 316 Niech R be dzie DIG i niech S be dzie pierścieniem takim, że R S Q(R) a) Pokazać, że każdy element S może być przedstawiony w postaci a b gdzie a R i 1 b S b) Pokazać, że S jest DIG Piercienie ilorazowe piercieni wielomianów Z 317 Niech R be dzie dziedzina cakowitości Udowodnić, że jeżeli a R jest elementem odwracalnym, zaś b R dowolnym, to Φ : R[X] R[X] dane wzorem Φ(X) = ax + b jest automorfizmem i że każdy automorfizm R[X] be da cy identycznościa na R jest tej postaci Znaleźć wszystkie automorfizmy Z[X],Q[X] i Z p [X] Z 318 Niech I R be dzie idea lem Udowodnić, że Ĩ = {f R[X]: f = a 0 + a 1 X + + a n X n, a 0 I} jest idea lem Sprawdzić, że Ĩ jest idea lem pierwszym (maksymalnym) wtedy i tylko wtedy, gdy I jest pierwszy (maksymalny) Niech R = Z, I = 2Z Czy Ĩ jest idea lem g lównym? Z 319 Rozpatrzmy Z p [X]/(X 2 2) i Z p [X]/(X 2 3) Dla p = 5,p = 7 i p = 11 rozpatrze czy pierścienie te sa izomorficzne Z 320 Wykazać, że Z 5 [X]/(X 3 + X + 1) jest cia lem o 125 elementach Korzystaja c z algorytmu Euklidesa znaleźć odwrotność elementu reprezentowanego przez wielomian X Rozszerzenia cia l Z 321 Udowodnić, że Q( 2 + 3) = Q( 2, 3) Z 322 Znajdź stopnie liczb 2, 3, 2 3, 2 3 nad cia lem Q Z 323 Udowodnić, że jeśli cia lo o p n elementach zawiera, jako podcia lo, cia lo o p m elementach, to m n Z 324 Udowodnić, że jeżeli K jest cia lem o q elementach, to w pierścieniu K[X] ma miejsce równość: X q 1 1 = a K (X a)
1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym.
Algebra I Bardzo dobrym źród lem zadań (ze wskazówkami do rozwia zań) jest M Bryński, J Jurkiewicz - Zbiór zadań z algebry, doste pny w bibliotece Moje zadania dla studentów z *: https://wwwmimuwedupl/%7eaweber/zadania/algebra2014/grupyzadpdf
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowo4. Dzia lanie grupy na zbiorze
17 4. Dzia lanie grupy na zbiorze Znaczna cze ść poznanych przez nas przyk ladów grup, to podgrupy grupy bijekcji jakiegoś zbioru. Cze sto taka podgrupa sk lada sie z bijekcji, które zachowuja dodatkowa
Bardziej szczegółowoDzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa
Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa Niech G be dzie dowolna grupa, zaś X zbiorem. 1. Definicja. Dzia laniem grupy G na zbiorze X nazywamy funkcje µ: G X X, µ(g, x) = g x, spe lniaja ca dwa
Bardziej szczegółowo5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe
22 5 Podgrupy normalne i grupy ilorazowe Niech ϕ : G H be dzie homomorfizmem Rozpatrzmy zbiór warstw lewostronnych G/ ker ϕ grupy G wzgle dem podgrupy ker ϕ Latwo zauważyć, że ϕ(x) = ϕ(y) x 1 y ker ϕ x
Bardziej szczegółowoAlgebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy
1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,
Bardziej szczegółowoZadania o pierścieniach
Zadania o pierścieniach 18.1.2015 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [AMcD] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction To Commutative Algebra (wiele wydań) [BB] A. Biaynicki-Birula, Zarys algebry,
Bardziej szczegółowoProstota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.
Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem. 1 2 0. Twierdzenie Schura Zassenhausa W tym rozdziale zajmiemy sie bardzo użytecznym twierdzeniem,
Bardziej szczegółowoZadania o grupach Zadania zawieraja
Zadania o grupach 18112014 Zadania zawieraja odsy lacze do podre czników [BT] A Bojanowska, P Traczyk, Algebra I (skrypt) http://wwwmimuwedupl/%7eaboj/algebra/algfinv1pdf [Br] J Browkin, Teoria cia, BiblMat49,
Bardziej szczegółowoAlgebra I. A. Bojanowska P. Traczyk
Algebra I A Bojanowska P Traczyk 2 Istnieje bardzo dużo podre czników algebry o różnym stopniu zaawansowania Poniższy tekst powsta l dla bardzo prostej przyczyny: chcieliśmy dostarczyć studentom WMIM opracowanie
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 14 stycznia 2013 1 Kraty 1. Pokazać, że każda klasa kongruencji kraty (K, +, ) jest podkrata kraty (K, +, ). 2. Znaleźć wszystkie kongruencje kraty 2 3, gdzie 2 jest
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A Pilitowska i A Romanowska 24 kwietnia 2006 1 Grupy i quasigrupy 1 Pokazać, że w każdej grupie (G,, 1, 1): (a) jeśli xx = x, to x = 1, (b) (xy) 1 = y 1 x 1, (c) zachodzi
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia A. Pilitowska i A. Romanowska jesień 2012 1 Iloczyny (produkty) proste 1. Znaleźć tabelke dodawania i mnożenia pierścienia Z 2 Z 3. 2. Które z naste puja cych par grup
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowoAlgebra I B ALGEBRA I B. W ladys law Narkiewicz
ALGEBRA I B W ladys law Narkiewicz Notatki do wyk ladu dla II roku matematyki w semestrze zimowym 2005/2006 0 1 I. Poje cia wste pne 1.1. Dzia lania 1. Dzia laniem w niepustym zbiorze X nazywamy każde
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja
Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato prof. Wojciech Gajda
Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato 2015 prof. Wojciech Gajda Zadanie 1. Znaleźć rzędy wszystkich elementów w grupie G jeżeli: (a) G=Z/16 (b) G=(Z/36) (c) G=Q 8 (d) G=D 5 (e) G=Z/2 Z/8 (f) G=S 4.
Bardziej szczegółowo1 Grupy - wiadomości wstępne
1 Grupy - wiadomości wstępne 1.1. Sporządzić tabelę działań dla grupy D 2n izometrii n-kąta foremnego na płaszczyźnie. 1.2. Udowodnić, że wśród grup: Z +, R +, Q + żadne dwie nie są izomorficzne. Udowodnić,
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1
Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowoPisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8
EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja
Bardziej szczegółowoUdowodnimy najpierw, że,,dla dostatecznie dużych x liczby a k x k i a 0 + a 1 x + + a k x k maja ten sam znak. a k
WIELOMIANY STOPNIA WYŻSZEGO NIŻ DWA Przypominamy, że wielomianem k tego stopnia nazywamy funkcje f postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k, gdzie wspó lczynnik a k jest liczba różna od 0. Piszemy
Bardziej szczegółowo(tylko) Konspekt wyk ladu Algebra I : Pierścienie
(tylko) Konspekt wyk ladu Algebra I : Pierścienie http://duch.mimuw.edu.pl/%7eaweber v.22.1.2015 Notatki zawieraja odsy lacze do podre czników [AMcD] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction To Commutative
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoZadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2
Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoWzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych
Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowo7. Klasyfikacja skończenie generowanych grup przemiennych
32 7 Klasyfiacja sończenie generowanych grup przemiennych W tym rozdziale zajmiemy sie sończenie generowanymi grupami przemiennymi Zgodnie z tradycja be dziemy sie pos lugiwać zapisem addytywnym Dzia lanie
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoWersja testu A 15 lutego 2011 r. jest, że a) x R y R y 2 > Czy prawda. b) y R x R y 2 > 1 c) x R y R y 2 > 1 d) x R y R y 2 > 1.
1. Czy prawda jest, że a) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; b) y R x R y 2 > 1 1+x 2 ; c) x R y R y 2 > 1 1+x 2 ; d) x R y R y 2 > 1 1+x 2? 2. Czy naste puja ca relacja na zbiorze liczb rzeczywistych jest relacja
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoTeoria ciała stałego Cz. I
Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3
Bardziej szczegółowoc a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.
y = ax 2 + bx + c WIELOMIANY KWADRATOWE Zajmiemy sie teraz wielomianami stopnia drugiego, zwanymi kwadratowymi. Symbol w be dzie w tym rozdziale oznaczać wielomian kwadratowy, tj. w(x) = ax 2 + bx + c
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoZestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoAlgebra 2008/9 Notatki do wyk ladów. A. Pawe l Wojda Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH
Algebra 2008/9 Notatki do wyk ladów A. Pawe l Wojda Wydzia l Matematyki Stosowanej AGH 21 stycznia 2009 Spis treści 1 Wyk lad I. 1.X.2008 3 1.1 Wstep................................. 3 1.2 Arytmetyka liczb
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowo2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH
2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH Typeset by AMS-TEX 2. PRZELICZANIE OBIEKTÓW KOMBINATORYCZNYCH 7 Zasada bijekcji. Jeżeli istnieje bijekcja f : A B, tj. f jest funkcja różnowartościowa i,,na (tzn.
Bardziej szczegółowo1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1
Bardziej szczegółowo14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe
14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Grupy cykliczne
Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym
Bardziej szczegółowoKOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia
KOMBINATORYKA 1 WYK LAD 9 Zasada szufladkowa i jej uogólnienia 18 grudnia 2006 Zasada szufladkowa, zwana też zasada Dirichleta, a w jez. ang.,,pigeonhole Principle może być sformu lowana naste puja co.
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoDziałanie grupy na zbiorze
Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoc ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi,
3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 +
Bardziej szczegółowoWersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?
1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3
Bardziej szczegółowoDefinicje- Algebra III
Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) 21.11.2007r. Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoAlgebra Abstrakcyjna i Kodowanie Lista zadań
Algebra Abstrakcyjna i Kodowanie Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, Wrocław 2016/17 1 Grupy Zadanie 1 Pokaż, że jeśli grupy G i H są abelowe, to grupa G H też jest abelowa. Zadanie 2 Niech X będzie niepustym
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoRzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15
Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowo5. Obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej
Kiedy może być potrzebne numeryczne wyznaczenie pierwszej lub wyższej pochodnej funkcji jednej zmiennej? mamy f(x), nie potrafimy znaleźć analitycznie jej pochodnej, nie znamy postaci f(x), mamy stablicowane
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowo1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G;
1 Grupy 1.1 Grupy Definicja. Grupą nazywamy niepusty zbiór G z działaniem : G G G, (a, b) ab, spełniającym warunki: (1) działanie jest łączne, tzn. a(bc) = (ab)c dla dowolnych a, b, c G; (2) dla działania
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść pierwsza Anna Romanowska 26 marca 2014 1 Pó lgrupy i monoidy 1.1 W lasności podstawowe Definicja 1.11. Pó lgrupa nazywamy pare (P, ), gdzie P jest zbiorem,
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Grupy
opracował Maciej Grzesiak Grupy 1. Określenie i przykłady grup Definicja 1. Zbiór G z określonym na nim działaniem dwuargumentowym nazywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y z = x (y z; G2. e G x G e x = x
Bardziej szczegółowoAlgebra I. Grzegorz Bobiński. wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki. Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu
Algebra I wykład z ćwiczeniami dla studentów II roku matematyki Grzegorz Bobiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK w Toruniu Toruń 2005 Spis treści Rozdział I. Pierścienie 3 1.1. Działania w zbiorach
Bardziej szczegółowoProcesy Stochastyczne - Zestaw 1
Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie
Bardziej szczegółowoROZDZIA l 13. Zbiór Cantora
ROZDZIA l 3 Zbiór Cantora Jednym z najciekawszych i najcze ściej spotykanych w matematyce zbiorów jest zbiór Cantora W tym rozdziale opiszemy jego podstawowe w lasności topologiczne Najprościej można go
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowo