RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE MATERIAŁ ÓW LEPKOSPRĘŻYSTYCH PODDANYCH OBCIĄŻENIOM ZŁ O Ż ONYM

Transkrypt

1 ZSZYTY NAUKOW AKADMII MARYNARKI WOJNNJ ROK XLVIII NR (69) 007 Janus Kolenda Akademia Marnarki Wojennej RÓWNANIA KONSTYTUTYWN MATRIAŁ ÓW LPKOSPRĘŻYSTYCH PODDANYCH OBCIĄŻNIOM ZŁ O Ż ONYM STRSZCZNI Praca predstawia dwie wersje równań konsttutwnch materiałów lepkosprężstch w ogólnm stanie naprężenia. Do ich wprowadenia wkorstano model Kelvina-Voigta ora model standardow, które uogólniono na prestreń trójwmiarową. Zastosowano współcnniki umożliwiające uwględnienie relaksacji odkstałceń, relaksacji naprężeń i wpłwu chwilowch (nierelaksującch) modułów sprężstości na deformacje materiału pr obciążeniach łożonch poniżej granic plastcności. Słowa klucowe: materiał lepkosprężst, równania stanu, trójwmiarow stan naprężenia. WSTĘP Odkstałcanie ciał jest procesem cęściowo nieodwracalnm w sensie energetcnm, gdż na skutek tłumienia wewnętrnego cęść energii ostaje roprosona [,, 4, 6]. Dekrement logartmicn tłumienia wewnętrnego ależ od rodaju materiału, którego budowane jest ciało, ora od amplitud i cęstości drgań. Tlko dla bardo małch odkstałceń jednostkowch (rędu 0-5 ) można go uważać a stał. Zależność dekrementu tłumienia od cęstości jest niedostatecnie badana i bardo łożona. Scególnie istotn wpłw na poiom tłumienia wewnętrnego ma budowa materii. W prpadku metali nieuporądkowane atom w siatce krstalicnej starają się ająć nowe położenia równowagi, co wiąże się dspacją energii. Na roprasanie energii mają również wpłw defekt struktur krstalicnej ora wtrącenia obcch atomów w sieć krstalicną. Ponadto na granicach iaren metalu krstalicnego cęsto wstępują pośligi i mikropęknięcia użwające energię.

2 Janus Kolenda Tłumienie wewnętrne może bć też wiąane e jawiskami makrotermosprężstości. Podcas obciążania metalu powstają lokalne różnice temperatur wiąane roproseniem ciepła, pr cm pr wsokich cęstościach proces jest adiabatcn, a pr niskich iotermicn. Podobne różnice można aobserwować międ sąsiadującmi iarnami i wówcas mówim o mikrosprężstości. W bardo niskich temperaturach tłumienie może bć wiąane prepłwem elektronów. Jeśli chodi o metale, to mogą w nich mieć także miejsce drgania linii dslokacji, które pr dużch naprężeniach prowadą do erwania acepień w punktach wewnętrnch i utworenia nowch dslokacji. Złożoność tego tpu procesów sprawia, że budowę ciała prjmuje się jako jednorodne kontinuum, którego właściwości opisuje się uprosconmi modelami reologicnmi. Modelem najbardiej elementarnm jest idealna sprężna, dla której wiąek międ naprężeniem i odkstałceniem opisuje prawo Hooke a. () W równaniu () jest modułem Younga, naprężeniem normalnm, a wdłużeniem (lub skróceniem) jednostkowm. Ogóln stan naprężenia ciała idealnie sprężstego określa tensor T. () Zgodnie twierdeniem o równowartości naprężeń stcnch, i, tensor ten jest smetrcn. Znając tensor () i stosując asadę superpocji, można wnacć skutki diałania poscególnch jego składowch. Dla idealnie sprężstego materiału iotropowego otrmuje się w ten sposób uogólnione prawo Hooke a []: γ, G [ ( + )] [ ( + )] [ ( + )] γ, G γ G, () Zest Naukowe AMW

3 Równania konsttutwne materiałów lepkosprężstch poddanch obciążeniom łożonm w którm G jest modułem odkstałcenia postaciowego, γ są jednostkowmi odkstałceniami poprecnmi, a ν współcnnikiem Poissona. Pomięd modułami i G achodi ależność ( +ν ). (4) G Płascn, na którch wstępują jednie naprężenia normalne, nawane są płascnami głównmi, a kierunki do nich prostopadłe kierunkami głównmi. Znajomość kierunków i naprężeń głównch powala na wrażenie stanu naprężenia a pomocą trech naprężeń głównch,, i stanu odkstałcenia a pomocą głównch odkstałceń jednostkowch,, γ γ [ ( + )] [ ( + )] [ ( + )] γ 0. (5) Poniżej podano analogicne relacje dla materiału lepkosprężstego oparte na dwóch reologicnch modelach i dwóch modelach standardowch. Rs.. Podstawowe modele reologicne: a) Kelvina-Voigta, b) Mawella, c) i d) standardowe (69) 007

4 Janus Kolenda Model Kelvina-Voigta jest utworon pre równoległe połącenie sprężn i tłumika wiskotcnego (rs. a). Równanie stanu tego modelu ma postać d, &, (6) dt gdie η jest współcnnikiem tłumienia wiskotcnego pr rociąganiu (ściskaniu). Odpowiednikiem równania (6) w prpadku deformacji skrętnch jest [, 6] G γ, (7) gdie: naprężenie stcne; γ jednostkowe odkstałcenie poprecne wane posunięciem; λ współcnnik tłumienia wiskotcnego pr skręcaniu. Innm modelem materiałów lepkosprężstch jest model standardow, utworon pre idealną sprężnę połąconą równolegle modelem Mawella (idealna sprężna połącona seregowo tłumikiem wiskotcnm), definiowan równaniem [] gdie a, l, m stałe. + a & l + m&, (8) Zważws na onacenia prjęte w równaniu (6), astąpim (8) równaniem + a & (9) i uupełnim roważania o naprężenia stcne na podstawie równania gdie b stała. + b &, (0) RÓWNANIA KONSTYTUTYWN MATRIAŁU OKRŚLONGO MODLM KLVINA-VOIGTA Pr rociąganiu w kierunku osi ciała budowanego materiału lepkosprężstego achodi, godnie modelem Kelvina-Voigta, równanie &. () + η 4 Zest Naukowe AMW

5 Równania konsttutwne materiałów lepkosprężstch poddanch obciążeniom łożonm Odkstałceniom jednostkowm towarsą odkstałcenia jednostkowe w kierunkach poprecnch,, () gdie ν jest współcnnikiem Poissona materiału ciała. Pr ałożeniu, że ν nie ależ od prędkości odkstałceń, poiomu naprężeń, temperatur i innch cnników podlegającch mianom, można dla odkstałceń miennch w casie napisać: () t () t () t () t,. () Prjęcie stałej wartości ν onaca, że prędkości odkstałceń jednostkowch spełniają wiąki & () t & () t & () t & () t,. (4) Podobnie pr rociąganiu w kierunku osi powstaje naprężenie + η & (5) ora odkstałcenia jednostkowe w kierunkach osi i,, (6) którch prędkości wnosą & &, & &. (7) W wniku pomnożenia równania (5) pre -ν otrmuje się ν &, (8) ην cli uwględnieniem (6) i (7). (9) Jeśli rociąganie ciała achodi w kierunku osi, analogicnie do (9) achodi ależność. (0) (69) 007 5

6 Janus Kolenda Kojarąc równania (), (9) i (0) godnie asadą superpocji, otrmuje się dla odkstałceń jednostkowch w kierunku osi relację ( ) +. () Podobne postępowanie w odniesieniu do odkstałceń jednostkowch w kierunkach osi i prowadi do relacji ( + ) ( + ). () Ich uupełnieniem są relacje dotcące naprężeń stcnch i towarsącch im posunięć. () Gd kierunki osi, i są godne kierunkami osi głównch, należ astąpić relacje () () równaniami ( + ) ( + ) ( + ) (4) ora 0 0. (5) 0 Z równań (5) wnika, że w odróżnieniu od ciała idealnie sprężstego pomimo braku naprężeń stcnch na płascnach głównch może wstąpić relaksacja posunięć w tch płascnach (pełanie w kierunkach równoległch do płascn głównch). Jeśli naprężenia stcne anikł w chwili t 0 pr warunkach pocątkowch () 0 γ 0, γ () 0 γ 0, γ () γ 0 γ, (6) 0 to rowiąania równań (5) prjmują postać 6 Zest Naukowe AMW

7 Równania konsttutwne materiałów lepkosprężstch poddanch obciążeniom łożonm gdie A, B, C i r są stałmi. rt rt rt () t Ae, γ () t Be γ () t Ce, γ, (7) W wniku podstawienia (7) do równań (5) otrmuje się G r, (8) λ uwględnienie aś warunków pocątkowch daje Stąd A γ, C γ. (9) γ 0 B γ 0, (69) Gt / λ Gt / λ Gt / λ () t γ e, γ () t γ e γ () t γ e. (0) 0 0, Zależności (0) można predstawić w alternatwnej formie γ γ γ, () e Gt / λ γ () t γ () t γ () t co powala wnacć współcnnik tłumienia λ e woru λ Gt Gt Gt ln () [ γ / γ () t ] ln[ γ / γ () t ] ln[ γ γ () t ] / na podstawie wników pomiaru wbranego posunięcia w chwilach 0 i t. Podobnie określić można współcnnik tłumienia η. Należ jednak anacć, że pomięd współcnnikami η i λ achodi ależność [5] co onaca, że η λ ( ν ) +, () η. (4) λ G Jedną alet predstawionch równań jest ich prostota wnikająca astosowania modelu Kelvina-Voigta. Stanowi to równoceśnie ich wadę, prejawiającą się w niemożności odworowania relaksacji naprężenia, roróżnienia chwilowego 0

8 Janus Kolenda nierelaksującego modułu sprężstości (pr sbkim odkstałceniu) i długotrwałego relaksującego modułu sprężstości (pr powolnm odkstałceniu) [, 7] itp. Usunięcie tch wad wmagałob astosowania modeli o więksej licbie stałch materiałowch. Jednm nich jest model standardow. RÓWNANIA KONSTYTUTYWN MATRIAŁU OKRŚLONGO MODLM STANDARDOWYM W celu uwględnienia lepkosprężstch własności materiału ciała rociąganego w kierunku osi a pomocą modelu standardowego należ równanie (9) astąpić pre + a&. (5) Analogicnie pr rociąganiu w kierunku osi achodi równanie cli także równanie które na podstawie (6) i (7) daje + a&, (6) ν aν& ην&, (7) aν&. (8) Podobnie pr rociąganiu w kierunku osi otrmuje się aν&. (9) Równania (5), (8) i (9) są liniowe, dięki cemu do odkstałceń jednostkowch w kierunku osi można astosować asadę superpocji: ( + ) + a[ & ( & & )] +. (40) Analogicne równania można uskać dla odkstałceń jednostkowch w kierunkach osi i : ( + ) + a[ & ( & + & )] ( + ) + a[ & ( & + & )]. (4) 8 Zest Naukowe AMW

9 Równania konsttutwne materiałów lepkosprężstch poddanch obciążeniom łożonm Z kolei dla wwołanch naprężeniami stcnmi posunięć w płascnach, i mam równania + b& + b& + b&. (4) W odróżnieniu od równań () () równania konsttutwne (40) (4) umożliwiają także analię relaksacji naprężenia. UWAGI KOŃCOW Dalse więksanie dokładności matematcnego odworowania procesu deformacji danego materiału lepkosprężstego pr achowaniu liniowości równań konsttutwnch można uskać popre dodanie cłonów pochodnmi wżsch rędów [4] w równaniach tpu (8) + a & + a&& m& + m& +..., (4) gdie a, a,..., m, m,... są stałmi wnacanmi doświadcalnie, a także popre wprowadenie współcnników poprawkowch. Prkładowo, w prac [7] stosowan jest mnożnik k B A, (44) gdie: A chwilow moduł sprężstości; B długotrwał moduł sprężstości, któr uależnia odpowiedź układu na obciążenia łożone od sbkości odkstałcenia. Zgodnie tą koncepcją należałob w równaniach (40) (4) astąpić cłon pre η &, η&, η&, λγ&, λγ&, λγ& η & G G G, η &, η &, λ γ&, λ γ&, λ γ&, G G G gdie: chwilow moduł sprężstości; G chwilow moduł odkstałcenia postaciowego. (69) 007 9

10 Janus Kolenda BIBLIOGRAFIA [] Awrejcewic J., Krsko A. W., Drgania układów ciągłch, WNT, Warsawa 000. [] Giergiel J., Tłumienie drgań mechanicnch, PWN, Warsawa 990. [] Jakubowic A., Orłoś Z., Wtrmałość materiałów, WNT, Warsawa 996. [4] Nashif A. D., Johnes D. I. G., Henderson J. P., Vibration damping, J. Wile & Sons, New York 985. [5] Nashin Y., Lokhov V., Kolenda J., On the stress-strain relations in viscoelastic solids, Marine Technolog Transactions, 007, Vol. 8 (w druku). [6] Panovko J. G., Vnutrennieje trenije pri koliebanijach uprugich sisitiem, Fimatgi, Moskwa 960. [7] Pisarenko G. S., Lebiediev A. A., Soprotivlenije materiałov deformirovaniju i raruseniju pri słożnom napriażennom sostojanii, Id. Naukova Dumka, Kijev 969. ABSTRACT This paper presents two versions of constitutive equations of viscoelastic materials in the general stress state. To derive them the Kelvin-Voigt s model and the standard model, which have been generalied for the -D space, are used. The coefficients applied make it possible to take into account the strain relaation, stress relaation and the influence of momentar (non-relaator) moduli of elasticit on the material deformations under comple loads below the ield point. Recenent dr hab. inż. Marek Sperski, prof. AMW 40 Zest Naukowe AMW