Prawdopodobieństwo i statystyka

Transkrypt

1 Wykład IV: 27 października 2014

2 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy liczbę cov (X, Y ) jeśli D(X ) D(Y ) 0, r(x, Y )(= ρ(x, Y )) = D(X )D(Y ) 1 jeśli D(X ) D(Y ) = 0. Twierdzenie r(x, Y ) = 1 wtedy, i tylko wtedy, gdy istnieją stałe α, β takie, że X = αy + β lub Y = αx + β.

3 Brak korelacji a niezależność Współczynnik korelacji r(x, Y ) = 0, 013

4 Brak korelacji a niezależność Współczynnik korelacji r(x 2, Y 2 ) = 0, 035

5 Brak korelacji a niezależność Współczynnik korelacji r(u, V ) = 0, 127

6 Brak korelacji a niezależność Współczynnik korelacji r(u 2, V 2 ) = 1

7 Niezależność zmiennych losowych Brak korelacji a niezależność Definicja niezależności stochastycznej Zmienne losowe X 1, X 2,..., X d są niezależne, jeżeli Ef 1 (X 1 )f 2 (X 2 )... f d (X d ) = Ef 1 (X 1 ) Ef 2 (X 2 )... Ef d (X d ), dla dowolnych funkcji ograniczonych f i takich, że f 1 (X 1 ), f 2 (X 2 ),..., f d (X d ) są zmiennymi losowymi. Uwaga: Jeżeli rodzina {X i } i I jest niezależna, to niezależna jest również każda rodzina postaci {g i (X i )} i I. Definicja Dowolna rodzina zmiennych losowych {X i } i I, określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej, jest niezależna, jeśli dla każdego skończonego podzbioru I 0 I zmienne losowe X i, i I 0 są niezależne.

8 Niezależność a brak korelacji Brak korelacji a niezależność Twierdzenie (Niezależność pociąga nieskorelowanie) Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne i całkowalne, to iloczyn XY jest całkowalną zmienną losową i EXY = EX EY. W szczególności niezależne zmienne losowe są nieskorelowane. Uwaga: Bez założenia o niezależności warunek dostateczny dla całkowalności iloczynu XY odwołuje się do nierówności Höldera. Wniosek (Mnożenie wartości oczekiwanych) Niech X 1, X 2,..., X d będą niezależne. Jeżeli funkcje f i sa takie, że f 1 (X 1 ), f 2 (X 2 ),..., f d (X d ) są całkowalnymi zmiennymi losowymi, tj. E f i (X i ) < +, i = 1, 2,..., d, to Ef 1 (X 1 )f 2 (X 2 ) f d (X d ) = Ef 1 (X 1 ) Ef 2 (X 2 ) Ef d (X d ).

9 Niezależność a rozkład łączny Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Rozkład łączny niezależnych zmiennych losowych Twierdzenie Zmienne losowe X 1, X 2,..., X d są niezależne wtedy, i tylko wtedy, gdy dla dowolnych liczb a 1, a 2,..., a d ma miejsce równość Innymi słowy P(X 1 a 1, X 2 a 2,..., X d a d ) = P(X 1 a 1 )P(X 2 a 2 )... P(X d a d ). F (X1,X 2,...,X d )(a 1, a 2,..., a d ) = F X1 (a 1 ) F X2 (a 2 )... F Xd (a d ), tzn. dystrybuanta rozkładu łącznego niezależnych zmiennych losowych jest iloczynem dystrybuant brzegowych.

10 Produkt rozkładów Niezależność Niezależność a rozkład łączny Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Definicja Rozkład prawdopodobieństwa µ na R d nazywamy produktem rozkładów µ 1, µ 2,..., µ d na R 1, jeśli dystrybuanta F µ jest iloczynem dystrybuant F µ1, F µ2,..., F µd : F µ (a 1, a 2,..., a d ) = F µ1 (a 1 ) F µ2 (a 2 )... F µd (a d ). Zapisujemy: µ = µ 1 µ 2... µ d. Wniosek Zmienne losowe X 1, X 2,..., X d są niezależne dokładnie wtedy, gdy ich rozkład łączny jest produktem rozkładów brzegowych: P (X1,X 2,...,X d ) = P X1 P X2... P Xd.

11 Niezależność a rozkład łączny Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Klasyczne prawdopodobieństwo na produkcie Przykład Niech wyniki i-tego eksperymentu będą elementami skończonej przestrzeni Ω i. Połóżmy Ω = Ω 1 Ω 2... Ω d. Niech P będzie klasycznym prawdopodobieństwem na Ω. Wtedy dla dowolnych funkcji f i : Ω i R 1, zmienne losowe są stochastycznie niezależne. X i (ω 1, ω 2,..., ω d ) = f i (ω i ) Uwaga: W tym szczególnym przypadku niezależność stochastyczna pokrywa się z niezależnością funkcyjną (zmienne X i w istocie są funkcjami różnych argumentów). Przewaga niezależności stochastycznej polega na uwolnieniu tej własności od konkretnej przestrzeni funkcyjnej.

12 Niezależność a rozkład łączny Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Niezależność dyskretnych zmiennych losowych Twierdzenie Niech rozkłady zmiennych X 1, X 2,..., X d będą dyskretne. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X d są niezależne dokładnie wtedy, gdy dla dowolnych x 1, x 2,..., x d R 1 ma miejsce związek P(X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X d = x d ) = P(X 1 = x 1 )P(X 2 = x 2 ) P(X d = x d ).

13 Niezależność a rozkład łączny Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Niezależność absolutnie ciągłych zmiennych losowych Twierdzenie Niech rozkłady zmiennych X 1, X 2,..., X d będą absolutnie ciągłe z gęstościami p 1 (x), p 2 (x),..., p d (x). Zmienne losowe X 1, X 2,..., X d są niezależne dokładnie wtedy, gdy rozkład łączny tych zmiennych jest absolutnie ciągły (tzn. posiada gęstość względem miary Lebesgue a na R d ) i jego gęstość ma postać p X (x 1, x 2,..., x d ) = p 1 (x 1 )p 2 (x 2 ) p d (x d ).

14 Niezależność zdarzeń Niezależność a rozkład łączny Kryteria niezależności Niezależność zdarzeń Definicja Rodzina zdarzeń {A i } i I F jest niezależna, jeśli dla dowolnego skończonego podzbioru I 0 I ( ) P A i = Π i I0 P(A i ). i I 0 Uwaga: można pokazać, że rodzina zdarzeń jest niezależna, gdy rodzina zmiennych losowych {1I Ai } i I jest niezależna.

15 Definicja Zmienne losowe {X i } i I są niezależne parami, jeśli dla każdych i, j I, i j, zmienne X i i X j są niezależne. Podobnie, zdarzenia {A i } i I są niezależne parami, jeśli każde dwa zdarzenia A i i A j, i j są niezależne. Zadanie: Podać przykład zdarzeń niezależnych parami, ale zależnych zespołowo (np. przykład Bernsteina).