1.11. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ

Transkrypt

1 .. RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSI UGIĘTEJ od płem obciążenia prostolinioa oś podłużna belki staje się krzolinioa. Zakrzioną oś belki nazam linią ugięcia (osią ugiętą), przemieszczenie pionoe ( x) tej osi nazam ugięciem, natomiast pochodną ugięcia, czli odkształcenie kątoe d dx ( x) kątem ugięcia albo obrotem (rs. ). aksmalne ugięcie belki nazam strzałką ugięcia. Rs. Jeśli rozpatrzm elementarn cinek odkształconej (ugiętej) belki (rs. ) to otrzmam następującą zależność: Rs. ε x ρ z () gdzie ρ jest promieniem krzizn belki, χ ρ jej krzizną natomiast ε x odkształceniem liniom łókna odległego o z od osi obojętnej. odstaiając do poższej zależności odkształcenie dane zorem (.0.), czli ε x z ()

2 gdzie jest momentem zginającm, natomiast sztnością belki na zginanie. otrzmujem następując ziązek międz momentem zginającm a krzizną belki: ρ () Z geometrii różniczkoej nika, że krziznę doolnej krzej płaskiej określa rónanie ρ + [ ] (4) Wskutek dużej sztności belek promienie krzizn osi ugiętej są bardzo duże, zaś odkształcenia linioe i kątoe są bardzo małe. rzjmując zatem założenie o małch pochodnch ugięcia belki (małch odkształceniach kątoch) możem przjąć, że << (por. przkład ) i zapisać poższe rónanie następującej postaci: ρ ( x) ( x) (5) Wkorzstując poższm rónaniu zależność () dostajem następujące rónanie różniczkoe zczajne drugiego rzędu ( x) ( x) () zane rónaniem osi ugiętej belki. oższe rónanie nie uzględnia płu sił poprzecznej na ugięcie osi belki. W zagadnieniach technicznch (inżnierskich) pł ten iększości przpadkó jest bardzo mał i można go pominąć. Jeśli sztność belki jest stała, to roziązanie rónania () jest proste. Różniczkując je takim przpadku dukrotnie otrzmujem ( x) dx ( x) ( x) ( x) dx + c ( x) dx ( x) ( x) dxdx + cx + c (7) gdzie c i c są stałmi całkoania, które znaczam z arunkó brzegoch (arunkó, którm muszą odpoiadać ugięcia i obrot na brzegach przedziałó). Warunki te są zależne od rodzaju podparcia belki. W przpadku podpor utierdzonej 0 i 0, natomiast przpadku podpor przeguboej i przeguboo przesunej 0. W przpadku iększej liczb przedziałó charakterstcznch liczba stałch całkoania rośnie, gdż moment zginając jest określon każdm przedziale inną funkcją, zatem i

3 rónanie osi ugiętej ma każdm przedziale inną postać. Roziązując rónanie osi ugiętej otrzmujem przpadku każdego przedziału po die stałe całkoania. W konsekencji liczba tch stałch jest da raz iększa od liczb przedziałó charakterstcznch. W takim przpadku stałe całkoania znaczam z zależnch od rodzaju podpór arunkó brzegoch oraz z arunkó ciągłości (nierozdzielności) osi ugiętej. Warunek ciągłości punktach stanoiącch granicę przedziałó charakterstcznch sproadza się do róności przemieszczeń kątoch (obrotó), L, i przemieszczeń linioch (ugięć), L, tch punktach, gdzie L oznacza leą, zaś praą stronę punktu charakterstcznego. Należ podkreślić, że znaczona z rónania różniczkoego () oś ugięta belki, czli funkcja ( x), poinna bć krzą ciągłą i gładką, tzn. pozbaioną skokó i załamań. Wjątkiem są stępujące belce przegub, gdzie oś ugięta jest załamana (obrot po obu stronach przegubu różnią się od siebie). rzkład. Wznaczć oś ugiętą i kąt obrotu belki o schemacie statcznm, miarach i obciążeniu jak na rs... Rs.. Dane:, l, E, I Szukane:, Roziązanie: Krok. Sporządzam kres momentó zginającch (rs..) i znaczam moment zginając ( x). + ( l x)( l x) ( l lx x ) Rs.. Krok. Roziązujem rónanie różniczkoe osi ugiętej pręta oraz znaczam ugięcia i obrot.

4 ( l lx + x ) ( l x lx + x ) 4 ( l x lx + x ) + cx + c + c Krok. Wznaczam stałe całkoania z arunku brzegoego punkcie utierdzenia belki. ( 0) 0 c 0 ( 0) 0 c 0 Krok 4. Wznaczone żej stałe całkoania pozalają zapisać funkcje ugięcia i obrotu osi belki ostatecznej postaci ( l x lx + x ) 4 ( l x lx + x ) Krok 5. Obliczam ugięcie i obrót na końcu belki ( l ) ( l) max max l 4 l 8 Krok. Rsujem kres obrotó i ugięć osi belki (rs..) Z przkładu tego nika, że strzałka ugięcia belki Rs.. max 4 l, zaś maksmaln kąt obrotu 8 l max. 4 Zatem max max. Jeśli dopuszczalne ugięcie poinno spełniać następując arunek sztności: l l 4 4 max, to z arunku tego nika, ze max max Śiadcz to o tm, 500 l 500 jak małe odkształcenia kątoe stępują belkach. rzkład. Wznaczć oś ugiętą belki o schemacie statcznm, miarach i obciążeniu jak na rs... Dane:, l, E, I Szukane:,

5 Roziązanie: Rs.. Krok. Sporządzam kres momentó zginającch (rs..) i znaczam moment zginając ( x). l ( l x) ( l x)( l x) Rs.. Krok. Roziązujem rónanie różniczkoe osi ugiętej pręta oraz znaczam ugięcia i obrot. 4 + cx + c + c Krok. Wznaczam stałe całkoania z arunkó brzegoch punktach podparcia belki. ( 0) ( l) 0 c 0 l 0 c 4 Krok 4. Wznaczone żej stałe całkoania pozalają zapisać funkcje ugięcia i obrotu osi belki ostatecznej postaci l l + x 4 Krok 5. Obliczam kąt obrotu na podporach belki l 4 ( 0), ( l) l 4 Krok. Obliczam ugięcie i kąt obrotu środku rozpiętości belki

6 ( l ) ( l ) 0 max 4 5l 84 onieaż pochodna ugięcia, czli kąt obrotu jest połoie rozpiętości belki rón zeru, zatem ugięcie tm punkcie osiąga artość maksmalną. Wnika to rónież z arunku smetrii obciążenia belki. Krok 7. Rsujem kres obrotó i ugięć osi belki (rs..). Rs.. rzkład. Wznaczć oś ugiętą i kąt obrotu belki o schemacie statcznm, miarach i obciążeniu jak na rs... Rs.. Dane:, l, E, I Szukane:, Roziązanie: Krok. Sporządzam kres momentó zginającch (rs..) i znaczam moment zginające każdm z przedziałó charakterstcznch belki. ( l ) x 0 Rs.. Krok. Roziązujem rónanie różniczkoe osi ugiętej pręta i znaczam ugięcia i obrot przpadku każdego z przedziałó charakterstcznch belki.

7 d x ( l x ) ( lx x ) + cx + c + d 0 d + c Krok. Wznaczam stałe całkoania z arunkó brzegoch i arunkó nierozdzielności (ciągłości). Warunek brzego punkcie A początku przedziału charakterstcznego. Z uagi na utierdzenie belki tm punkcie ( 0) 0 c 0 ( 0) 0 c 0 Warunek ciągłości punkcie C stku przedziałó charakterstcznch i. W punkcie tm ( l) ( 0) ( l ) ( 0) d d d d Krok 4. Wznaczone żej stałe całkoania pozalają zapisać funkcje ugięcia i obrotu osi belki ostatecznej postaci ( x + l) Krok 5. Obliczam ugięcia i obrot punktach charakterstcznch belki (na początku i końcu każdego przedziału charakterstcznego) ( 0) 0, ( l) ( 0) 0, ( l ) ( 0), ( l) ( 0), ( l) 5

8 Krok. Rsujem kres obrotó i ugięć osi belki rs... Rs.. rzkład 4. Wznaczć oś ugiętą i kąt obrotu belki o schemacie statcznm, miarach i obciążeniu jak na rs. 4.. Rs. 4. Dane:, l, E, I Szukane:, Roziązanie: Krok. Sporządzam kres momentó zginającch (rs. 4.) i znaczam moment zginające każdm z przedziałó charakterstcznch belki. ( l ) x Rs. 4. x Krok. Roziązujem rónanie różniczkoe osi ugiętej pręta i znaczam ugięcia i obrot przpadku każdego z przedziałó charakterstcznch belki.

9 ( l x ) ( lx x ) + cx + c x x x + dx + d + d + c Krok. Wznaczam stałe całkoania z arunkó brzegoch i arunkó nierozdzielności (ciągłości). Warunek brzego punkcie A początku przedziału charakterstcznego. Z uagi na utierdzenie belki tm punkcie ( 0) 0 c 0 ( 0) 0 c 0 Warunek ciągłości punkcie C stku przedziałó charakterstcznch i. W punkcie tm ( l) ( 0) d d Warunek brzego punkcie B koniec przedziału charakterstcznego. Z uagi na sobodne podparcie belki tm punkcie ( l) + d l 0 d Krok 4. Wznaczone żej stałe całkoania pozalają zapisać funkcje ugięcia i obrotu osi belki ostatecznej postaci ( x + l ) ( x + l x l ) Krok 5. Obliczam ugięcia i obrot punktach charakterstcznch belki (na początku i końcu każdego przedziału charakterstcznego) ( 0) 0, ( l) ( 0) 0, ( l)

10 ( 0), ( l ) ( 0), ( l) 0 Krok. Rsujem kres obrotó i ugięć osi belki rs. 4.. Rs. 4.