Analiza Matematyczna II.1, kolokwium rozwiazania 9 stycznia 2015, godz. 16:15 19:15
|
|
- Ludwika Cieślik
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza Matematczna II., kolokwium rozwiazania 9 stcznia 05, godz. 6:5 9:5 0. Podać definicj e zbioru miar 0. Udowodnić, że jeśli A = {(x,, z) : (x )(x + + z ) = 0}, to l (A) = 0. Zbiorem miar zero jest każd zbiór, którego miara jest 0. W wpadku miar Lebesque a w przestrzeni k wmiarowej jest to taki zbiór B R k, że dla każdej liczb ε > 0 istnieja takie k wmiarowe przedział P, P,..., że B P P... i vol(p ) + vol(p ) +... < ε. Zbiór {(x,, z) : x = 0} jest wkresem funkcji f : R R zdefiniowanej wzorem x = f (, z) =, wi ec ma miar e 0. Zbiór {(x,, z) : x + = 0} jest wkresem funkcji f : R R zdefiniowanej wzorem x = f (, z) =, wi ec ma miar e 0. Zbiór {(x,, z) : x + + z = 0, z 0} jest wkresem funkcji f : B(0, ) R zdefiniowanej wzorem z = f (x, ) = x, wi ec ma miar e 0. Zbiór {(x,, z) : x + + z = 0, z 0} jest wkresem funkcji f 4 : B(0, ) R zdefiniowanej wzorem z = f 4 (x, ) = x, wi ec ma miar e 0. Zbiór A = {(x,, z) : (x )(x + + z ) = 0} jest wiec suma czterech zbiorów miar, wiec jego miara jest 0. Uwaga. Mogliśm też bło napisać, że każde z trzech równań: x = 0, x + = 0, x + + z = 0 opisuje rozmaitość (bo gradient każdej z trzech funkcji trzech zmiennch jest niezerow w każdm punkcie badanego zbioru) wmiaru, wi ec mniejszego od i wobec tego jest to lokalnie suma co najwżej przeliczalnie wielu wkresu funkcji rzeczwistch dwu zmiennch.. Znaleźć odległość pomiedz gałezi a hiperboli H = {(x, ) : x + x + = 0 i x > } i prosta L = {(x, ) : x + + = 0}. Należ znaleźć najmniejsza wartość kwadratu odległości punktu (x, ) leżacego w zbiorze H od punktu (u, v) leżacego w zbiorze L, czli najmniejsza wartość wrażenia (funkcji czterech zmiench) (x u) +( v) prz założeniu, że 0 = x+x+ = (x+)(+) oraz 0 = u + v + = (u + ) + (v + ). Gradient funkcji (zmiennch u, v, x, ) x + x + i u + v + = 0 sa równe (0, 0, +, x + ) i (,, 0, 0). Sa one liniowo niezależne wted i tlko wted, gd (0, 0, +, x + ) jest wektorem niezerowm, wi ec gd (x, ) (, ), ale tak jest, bo ( + )( + ) = 0. Możem wi ec zastosować twierdzenie Lagrange a. Zgodnie z nim, jeśli funkcja (x u) + ( v) ma najmniejsza wartość w punkcie (u, v, x, ), to istnieja takie liczb λ, λ, że spełniona jest równość (u x, v, x u, v) = λ (0, 0, +, x + ) + λ (,, 0, 0) = = (λ, λ, λ ( + ), λ (x + )).
2 Jeśli λ = 0, to x = u i = v. To jest niemożliwe, bo wted zachodziłb równości 0 = (x + )( + ) i (x + ) + ( + ) = 0, wiec = (x + ) ( + ) ( ) x++(+) =, co oczwiście nie jest możliwe. Wobec tego λ 0. Analogicznie λ 0. Wobec tego v = (u x) i dalej x + = ( + ). Stad wnika, że 0 = ( + ). Ponieważ x >, wiec + = = oraz x + =. Ponieważ u v = x = (x + ) ( + ), wiec u v =. W poł aczeniu z równaniem u + v = daje to 5u = i 5v =, czli u =, 5 v = +, x =, =. Jest wiec 0 tlko jeden kanddat na punkt, w którm funkcja (x u) + ( v) przjmuje wartość najmniejsza. Ta wartościa błab liczba ( ) ( ) ( ) ( ) + 0 = ( ) 5 + 4( ) 5 = 4( ) <. 5 5 Z równości (x + )( + ) = i nierówności x > wnika, że x + > 0 i + > 0. Z wzoru u + v + = 0 wnika, że jeśli u wnika, to v = ( + u) i wted (x u) + ( v) ( v) = (( + ) (v + )) (( (v + )). Jeśli u, to (x u) + ( v) (x u) = ((x + ) (u + )) ( (u + )). Wobec tego kresu doln funkcji (x u) + ( v) w całej dziedzinie jest taki sam jak kres doln w dziedzinie ograniczonej do zbioru tch jej punktów, dla którch u. W tm zbiorze jest też spełniona nierówność v. Można dziedzin e ograniczć jeszcze bardziej i rozpatrwać jednie te jej punkt, dla którch (x u) + ( v), wiec do zbioru zwartego. W zbiorze zwartm kres doln jest osiagan i to w punkcie, w którm wartość funkcji jest mniejsza od, co oznacza, że wszstkie nierówności definiujace 5 ten zbiór sa ostre. Wobec w tm punkcie spełnion jest warunek Lagrange a. Oznacza to, że kresem dolnm tej funkcji jest liczba 4( ) <, czli że kres doln 5 5 4( ) odległości punktów zbioru H od punktów zbioru L jest równ = ( ) 5 5. Uwaga. Można to napisać krócej. Niech P H, Q L i niech P Q bedzie najkrótszm z odcinków łacz acch hiperbole H z prosta L. Odcinek P Q musi bć prostopadł zarówno do L jak i do T P H uzasadnić można to stwierdzenie geometrcznie lub za pomoca twierdzenia Lagrange a o ekstremach zwiazanch. Wobec tego stczna do hiperboli w punkcie P musi bć równoległa do L. Stad wnika, że gradient funkcji x + x + + w punkcie P = (x,, z) musi bć równoległ do wektora [,, 0]. Gradientem jest wek- tor [ +, x +, 0], wiec wektor [, x +, 0]. Te wektor s a x+ równoległe wted i tlko wted, gd [0, 0, 0] = [,, 0] [, x +, 0] = [x +, 0, 0], wi ec x+ x+ wted i tlko wted, gd (x + ) =, tzn x = (przpominam, że x + > 0). Wted = + + = =. Trzeba jeszcze znaleźć rzut prostopadł tego punktu na prosta L. Jest nim punkt postaci Q = (,, 0) + t(,, 0), gdzie t jest taka liczba, że Q L, czli 0 = + t + ( + t) + = 5t + ( ), czli t = ( ). Poszukiwana odległość to t(,, 0) = ( ) 5 = ( ) Można bło też rozpatrwać funkcje (x + v + ) + ( v) w zbiorze x+
3 {(v, x) : < x, < v < }, wi ec funkcj e dwu (a nie czterech) zmiennch w półpłaszczźnie otwartej unikajac w ten sposób pochodnch. Niech t = x +. Wted (x+v+) + ( v) x+ = (t+v) +( t v ) = 5v +v(t+ )+( t t ) +t = = 5 ( v + (t + )) ( 5 t 5 t + ( )) t + ( t ) + t 4( 5 t ) + 4(t ) t = ( ( = + t) 5 t = ( 5 t t ) ) ( + ) 5 prz czm równość ma miejsce wted i tlko wted, gd t =. O wborze sposobu rozwiazwania zadania w czasie klasówki student decduje sam, a zadanie mógł rozwiazać uczeń II klas LO (chba nie każd).. Zbadać, cz zbiór S = {(x,, 0) R : (x + x) = x + } jest rozmaitościa. Niech M oznacza podzbiór R powstał w wniku obrotu S wokół osi OX. Opisać zbiór M równaniem. Cz M \ {(0, 0, 0)} jest rozmaitościa? Niech f(x, ) = (x + x) (x + ). Mam wiec f = (x x )(x + x) x oraz f = ((x + x) ), wi ec jeśli grad f(x, ) = (0, 0), to = 0 i wted 0 = (x )(x x) x = x(x x), wi ec x = 0 lub x = lub 0 = (x + x), czli x + x = f, ale wted = x (x )(x + x) x = (x ) x = 0. Punkt (, 0, 0) nie jest elementem zbioru S. Wobec tego po usunieciu punktu (0, 0, 0) ze zbioru S otrzmujem rozmaitość jednowmiarowa w R. Niech (x n, n, 0) S\{(0, 0, 0)} oraz lim (x n, n, 0) = (0, 0, 0). Z równości (x n + n x n ) = x n + n wnika, że albo x n + n x n = x n + n albo x n + n x n = x n + n. Jeśli x n + n <, to x n + n > x n + n, wi ec z równości x n + n x n = x n + n wnika wted, że x n < 0. Z równości x n + n x n = x n + n wnika, że x n + n = x n x n + n 0, co jest niemożliwe, bo x n + n > 0. Wobec tego x n < 0, gd x n + n <. Załóżm, że lim (x n, n,0) x n+n = v interesuja nas teraz wektor stczne do S w punkcie (0, 0, 0). Mam wiec x n + n x n = x n + n, czli x n + n x n =. Ponieważ lim x n + n lim n x n + n x n+ n = 0, wiec lim x n =, a z równości v = wnika, że x n+n = 0. Udowodniliśm w ten sposób, że T (0,0,0) S = {( t, 0, 0) : t 0}, wiec to nie jest przestrzeń liniowa, zatem S nie jest rozmaitościa. Może zajać sie zbiorem M. Odległość punktu (x,, z) od osi OX jest równa + z. W płaszczźnie z = 0 leża punkt (x, ± + z, 0) oba w tej samej odległości od osi OX co punkt (x,, z), wiec po obrocie o odpowiedni kat wokół osi OX punkt (x,, z) ( trafia na jeden z nich. Stad wnika, że równaniem M jest x + ( + z ) ) x = =x + ( + z ), czli równanie (x + + z x) = x + +z. Ab rzecz bardziej sformalizować można jeszcze powiedzieć, że jeśli zachodzi ostatnie równanie i oznaczm ρ = + z, to istnieje wted taka liczba ϕ, że = ρ cos ϕ i z = ρ sin ϕ, a to oznacza, że (x,, z) M wted i tlko wted, gd (x, ρ, 0) S, czli że po obróceniu S otrzmujem M. Zbiór M \{(0, 0, 0)} jest rozmaitościa, co można uzasadnić co najmniej dwiema metodami. Obliczam gradient funkcji F (x,, z) = (x + + z x) (x + + z ).
4 Otrzmujem F = (x ) x (x + + z x) x, F = ((x + + z x) ), F = z z ((x + + z x) ). Przrównujem go do (0, 0, 0). Z równości (x + + z x) = 0 wnika, że 0 = F (x,, z) = 0 (x ) x =, co wklucza te x opcje. St ad wnika, że = z = 0 i 0 = (x )(x x) x = x(x x) co, jak już wiem, prowadzi do wniosku, że x = 0 lub x =, z czego wnika, że jednm punktem zbioru M, w którm gradient funkcji F znika, jest punkt (0, 0, 0), co kończ uzasadnienie stwierdzenia M \ {(0, 0, 0)} jest dwuwmiarowa rozmaitościa w R. Uwaga. Użjem współrz ednch biegunowch: x = r cos ϕ, = r sin ϕ. Mam wi ec 0 = (x + x) (x + ) = (r r cos ϕ) r = r (r cos ϕ )(r cos ϕ + ) wted i tlko wted, gd r = 0 lub r cos ϕ = 0 lub r cos ϕ + = 0. Jeśli r = 0, to również x = 0 =. Dalej r > 0. Jeśli r cos ϕ+ = 0, to 0 < r = cos ϕ 0 sprzeczność. Wobec tego r = + cos ϕ prz czm cos ϕ > (przp. r > 0). Przekształcenie (r, ϕ) (r cos ϕ, r sin ϕ) rozpatrujem wi ec na zbiorze {(r, ϕ) : r > 0, ϕ < π}, a na tm zbiorze jest ono dfeomorfizmem, któr przekształca otwart pas poziom na płaszczzn e bez jednej domkni etej półprostej (niedodatniej półosi OX). Obraz dfeomorficzn rozmaitości jest rozmaitościa to wnika łatwo z którejkolwiek definicji rozmaitości, zatem M \ {(0, 0, 0)} jest jednowmiarowa rozmaitościa w R. Całe M nie jest, bo zbiór wektorów stcznch w punkcie (0, 0, 0) do M nie jest przestrzenia liniowa: jeśli (r n cos ϕ n, r n sin ϕ n, 0) (0, 0, 0), to + cos ϕ n = r n wiec ϕ n ±π, co przekonuje nas o tm, że (r n cos ϕ n,r n sin ϕ n,0) r n dowodzi tego, że T (0,0,0) S = {( t, 0, 0) : t 0}. 0, zatem cos ϕ n, (, 0, 0), a to. Znaleźć wszstkie punkt krtczne funkcji f(x, ) = (x + )( 4 x + ). Dla każdego z nich rozpoznać, cz f ma w tm punkcie lokalne minimum, lokalne maksimum cz też lokalnego ekstremum nie ma. Obliczam pochodne czastkowe i przrównujem je do zera: 0 = f (x, ) = x( x 4 x + ) + x(x + ), 0 = f (x, ) = ( 4 x + ) + (x + ), zatem 0 = f (x, ) x f (x, ) = x( )( x 4 x + ). Z równości x = 0 = f (x, ) wnika, że 0 = ( ) + = ( )( + ), wiec (0, ), i (0, ) s a punktami krtcznmi. Z równości = i 0 = f (x, ) wnika, że 0 = 4( 4 x ) + x 5 = 9 x, wiec x = ±. Mam nastepne dwa punkt krtczne: (, ), (, ). Ostatnia możliwość, to 0 = 4 x +. Wted x + = 0, wi ec 4 + = 0, zatem = i wted x = 0 lub = i wted x = ±. Ostatnie trz punkt kr-
5 tczne to: (0, ), (, ) (,, ). Zajmiem si e dopełnieniem poziomic f = 0: A + = {(x, ) : x + > 0}, A = {(x, ) : x + < 0}, B + = {(x, ) : 4 x + > 0}, B = {(x, ) : 4 x + < 0}. Zbiór A B jest ograniczon, funkcja f przjmuje w nim wartości dodatnie, na jego brzegu zachodzi równość f = 0, zatem funkcja przjmuje w nim najwieksz a wartość, oczwiście w punkcie zerowania si e gradientu, wi ec w punkcie (0, ). Zbiór A B + składa si e z dwu składowch. Jedna z nich jest zawarta w półpłaszczźnie (x, ) : x < 0, a druga w półpłaszczźnie (x, ) : x > 0. W każdej z nich funkcja przjmuje włacznie wartości ujemne, na brzegu zerowe. Domkniecia składowch sa zwarte. Wobec tego w pewnm punkcie wewnetrznm funkcja osiaga swe minimum. W każdej z tch składowch jest tlko jeden punkt krtczn funkcji f: w lewej punkt (, ), a w prawej (, ). Wobec w każdm z tch punktów funkcja ma minimum lokalne. Został jeszcze trz punkt krtczne: (0, ), (, ) ( i, ). W każdm z nich funkcja zeruje sie. Każde otoczenie dowolnego z nich ma punkt wspólne zarówno ze zbiorem A + B + oraz ze zbiorem A B +, wiec w każdm otoczeniu sa punkt, w którch wartości funkcji f sa dodatnie jak i punkt, w którch wartości tej funkcji sa ujemne, a to oznacza, że w tch punktach funkcja nie ma lokalnch ekstremów. Uwaga. Powinienem oczwiście zadbać o miłośników pochodnch drugiego rz edu. Mam f (x, ) = 9x + x + 7, f (x, ) = x( + ), f (x, ) = x x + 6. Mam wobec tego; D f(0, ) = 0 0, D f(0, 0 4 ) = 4 0, 0 4 D f(±, ) = ± ±, D f(±, ) = 6 ± ±. 4 4 Wznacznik macierz D f(0, ) jest równ 0, wiec twierdzenie o lokalnch ekstremach nie pozwala stwierdzić w tej stuacji, cz w tm punkcie funkcja ma lokalne ekstremum, cz siodło. Ponieważ jedna z wartości własnch jest liczba 4 > 0, wiec po obcieciu do prostej własnej funkcja ma lokalne minimum właściwe, zatem na pewno nie ma w tm punkcie lokalnego maksimum. Tak zreszta jest po obcieciu f do dowolnej prostej przechodzacej przez punkt (0, ): f(at, + bt) = b t + b( + a + b )t + 4 (a + b )t 4. Natomiast gd ograniczm dziedzin e f do paraboli o równaniu 5 8 x + = 0, to otrzmam f (x, ) = f ( x, 5 8 x) = x x6, wi ec tm razem otrzmaliśm lokalne maksimum właściwe, wi ec punkt (0, ) jest siodłem. Pozostałe punkt krtczne sa łatwiejsze, bo działa krterium Slvestera. Macierz D f(0, ) jest ujemnnie określona, zatem w punkcie (0, ) funkcja f ma lokalne maksimum właściwe, macierze D f(±, ) s a dodatnio określone, wiec w punktach (±, ) funkcja f ma lokalne minima właściwe, a macierze D f(±, ) maj a po jednej wartości
6 własnej dodatniej i po jednej ujemnej, wiec w punktach (±, ) s a siodła. 4. Udowodnić, że w pewnm otoczeniu punktu (x 0, 0, w 0 ) = (,, ) równanie xw = + ln w wznacza zmienna w jako funkcje klas C pozostałch zmiennch: w = w(x, ). Napisać jej drugi wielomian Talora wokół punktu (x 0, 0 ) = (, ). Niech f(x,, w) = xw ln w. Mam f (x,, w) = x, wi f ec w (,, ) = + 0. Z twierdzenia o funkcjach uwikłanch wnika, że w pewnm otoczeniu punktu (, ) zmienna w jest wznaczona jednoznacznie przez (x, ) pod warunkiem, że liczb e w wbieram z dostatecznie małego otoczenia liczb. Wiem też, że w jest funkcja klas C, tm bardziej klas C. Obliczm teraz pochodne czastkowe pierwszego i drugiego rzedu funkcji w(x, ). Zachodzi równość f(x,, w(x, )) =. Wobec tego 0 = f f (x,, w(x, )) + (x,, w(x, )) (x, ) = w(x, ) + (x x x ) w(x,) x (x, ) oraz 0 = f f (x,, w(x, )) + (x,, w(x, )) (x, ) = ln w(x, ) + (x ) (x, ). w(x,) Podstawiajac x =, =, w(, ) = otrzmujem 0 = f f (,, ) + x 0 = f f (,, ) + (,, ) x (,, ) (, ) = + (, ) oraz x (, ) = (, ). Wnika stad, że (, ) = i (, ) = 0. x Znaleźliśm pochodne pierwszego rzedu, wiec kolej na pochodne drugiego rzedu. Zróżniczkujem stronami otrzmane poprzednio równości 0 = w(x, ) + (x oraz 0 = ln w(x, ) + (x ) (x, ). w(x,) 0 = (x, ) + ( + (x, )) (x, ) + (x x w (x,) x x 0 = (x, ) + ( + (x, )) (x, ) + (x w(x,) w (x,) x 0 = (x, ) + ( + w(x,) w(x,) w (x,) w(x,) ) w x (x, ), ) w w(x,) x (x, )) (x, ) + (x ) w(x,) x (x, ), (x, ) w(x,) ) w (x, ). Podstawiajac x =, =, w(, ) =, (, ) =, (, ) = 0 otrzmujem x 0 = + ( + )( ) + w(, ) = 7 + w(, ), wiec w x 9 x (, ) = 7 oraz x 7 0 = ( ) ( ) + w (, ), wiec w x (, ) = i wreszcie x 9 0 = w(, ), zatem w(, ) = 0. Wnika stad, że poszukiwan wielomian Talora to (x ) = ( 7 (x 7 ) + ( )(x )( + )) = x + 7 (x 9 54 ) (x )( + ). 9 Uwaga. Można nieco inaczej obliczać. Jedna z możliwości to napisać: f(x,, w) = xw ln w = ( + x )( + w ) ( + + ) ln( + w ) = = (x ) + (w ) + (x )(w ) ( + + ) ( (w ) (w ) +... ) = = (x ) + (w ) + (x )(w ) ( + )(w ) (w ) +..., czli rozwinać funkcje f(x,, w) wokół punktu (,, ) w szereg Talora (daje sie) lub wpisać jej drugi wielomian Talora w tm punkcie. Potem napisać w(x, ) = +a(x )+b(+)+a(x ) +B(x )(+)+C(+) +..., czli rozwinać poszukiwana funkcje w szereg Talora (rozwiniecie takie istnieje, ale odpowiedniego twierdzenia
7 na zaj eciach nie bło, wi ec można mówić o drugim wielomianie Talora wted wielokropek oznacza po prostu konieczność dodania reszt, która jednak na obliczenia wpłwu mieć nie b edzie). W końcu podstawić w do otrzmanego wcześniej wielomianu Talora i znaleźć współcznniki (te które oznaczłem, bo dalszmi autor zadania si e nie interesuje). Mam wiec: ( ) 0 = (x ) + a(x ) + b( + ) + A(x ) + B(x )( + ) + C( + ) ( ) + (x ) a(x ) + b( + ) + A(x ) + B(x )( + ) + C( + ) +... ( ) ( + ) a(x ) + b( + ) + A(x ) + B(x )( + ) + C( + ) +... ( ) a(x ) + b( + ) + A(x ) + B(x )( + ) + C( + ) = = ( + a)(x ) + b( + ) + (A + a a )(x ) + +(6B + b a + ab)(x )( + ) + (C b b )( + ) +... Wnika stad natchmiast, że + a = 0, b = 0, A + a a = 0, 6B + b a + ab = 0 i C b b = 0, czli a =, b = 0, A = 7, B = i C = 0. St ad 54 8 wnika, że w(x, ) = (x ) (x ) 9 (x )( +)+... Bć może studenci poczulib si e lepiej, gdbm pisał wsz edzie zamiast wielokropka o( x, + ), ale postanowiłem napisać te wzor tak, jak zwkle to robi e, gd żcie zmusi mnie do znajdowania wielomianów Talora. Na koniec dodam, że nie ma najmniejszego powodu do zapami etwania wzoru na różniczke funkcji uwikłanej, bo i tak trzeba pamietać wzór na pochodna złożenia, z którego (i z różniczkowalności) wnika pierwsz wspomnian w tm (długim) zdaniu wzór. I n 0 n 5. Dla dowolnego n N rozważm macierz J rozmiaru n n o postaci klatkowej J = 0 n I n R n n, gdzie I n oznacza macierz jednostkowa, a 0 n macierz zerowa rozmiaru n n. Udowodnić, że dla każdego A R n n macierz F (A) := AJA T tzn. F (A) + F (A) T = 0 n. jest antsmetrczna, Dowieść, że DF (A)H = ψ(ϕ(h)) dla każdej macierz H, gdzie ϕ(b) = AJB T ψ(c) = C C T. Znaleźć obraz przekształcenia DF (A): R n n R n n. Udowodnić, że zbiór {A R n n : AJA T = J} jest rozmaitościa klas C. Jaki jest jej wmiar? Mam J T = J. Stad F (A) T = (AJA T ) T = (A T ) T J T A T = AJA T = F (A). Dla dowolnej macierz H mam F (A + H) = (A + H)J(A + H) T = AJA T + HJA T + AJH T + HJH T. Stad i z nierówności HJH T H J H T = H wnika, że DF (A)H = HJA T + AJH T = AJH T (AJH T ) T. Obrazem przekształcenia ψ jest zbiór wszstkich macierz antsmetrcznch, bo jeśli C T = C, to (C CT ) = C, a oczwiście (D D T ) T = D T D, wiec w obrazie ψ sa oraz
8 tlko macierze antsmetrczne. Jeśli J = F (A) = AJA T, to A jest izomorfizmem, bo przekształca przestrzeń R n n na siebie. Wobec tego AJ też jest izomorfizmem. Wobec tego przekształcenie ϕ jest izomorfizmem zaś jadro przekształcenia ψ składa sie z macierz smetrcznch. Wnika stad, że jeśli AJA T = A, to obraz DF (A) jest zbiorem macierz antsmetrcznch, wi ec jest wmiaru ( (n) n ) = n(n ), zatem {A R n n : AJA T = J} jest rozmaitościa klas C (wi ec również C ) wmiaru (n) n(n ) = n(n + ).
Programowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowof x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji wykład 5
Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren
Bardziej szczegółowoMATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO
IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE
Bardziej szczegółowoMatematyka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowych
Matematka II: Zadania przed 3. terminem S tu niektóre zadania z egzaminu z rozwi zaniami i troch dodatkowch. Znale¹ ekstrema lokalne funkcji f(, ) = ( 2 + 2 2 )e (2 + 2 ) Odp. Jedno minimum (w p. (, )),
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoRóniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi
Róniczka Wraenie d nazwa si róniczk pierwszego rzdu czci liniow przrostu wartoci unkcji Zastosowanie róniczki do oblicze przblionch: Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb Wkorzstam wzór
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowo(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)
Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s
Bardziej szczegółowoCałkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Rozdział 7 Wartości i wektor własne Niech X będzie skończenie wmiarową przestrzenią liniową nad ciałem F = R lub F = C. Niech f : X X będzie endomorfizmem, tj. odwzorowaniem liniowm przekształającm przestrzeń
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoWykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f
IMIE I NAZWISKO ZADANIE Poniżej znajduje się fragment wkresu funkcji = f (). -7 -- - - 6 7 Dorsuj brakujac a część wkresu wiedzac, że dziedzina funkcji f jest przedział,, a wkres jest smetrczn względem
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 17751 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Rozważm treść następujacego
Bardziej szczegółowo3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.
WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoElementy algebry i analizy matematycznej II
Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowo[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.
rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium, 27 maja 2015, godz. 18:15 20:10
Matematyka A kolokwium, 7 maja, godz 8: : Poprawiłem: godz :, 4 września r 3 p Rozwiazać x t x t xt = x t x t xt = 6 + t cos3t + 36te 3t 7e 3t Pierwiastkami równania charakterystycznego = λ λ = λ + 3λ
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PRÓBNY CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 50 ZADANIE 1 (1 PKT) ZADANIE 2 (1 PKT) ZADANIE 3 (1 PKT) ZADANIE 4 (1 PKT) ZADANIE 5 (1 PKT)
IMIE I NAZWISKO EGZAMIN PRÓBNY CZAS PRACY: MIN. SUMA PUNKTÓW: 5 ZADANIE ( PKT) Dziedzina funkcji f (x) = x jest zbiór x 2 +x 6 A) R \ {, 2} B) (, 2) C) (, ) (2, + ) D) (, 2) (, + ) ZADANIE 2 ( PKT) W pewnej
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a)
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez
Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowox a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.
Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 9 MARCA 019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Cena nart po obniżce o
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoMetody Eulera i Eulera-Cauchy'ego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. y 3 := x 2 (1) ( ) Rozwiązanie dokładne równania (1) (2)
euler-przkl_.xmcd Metod Eulera i Eulera-Cauch'ego rozwiązwania równań różniczkowch zwczajnch ' ( x, ) : x () + Rozwiązanie dokładne równania () ( x, C) : + C exp( atan( x) ) () Sprawdzenie: d dx ( x, C)
Bardziej szczegółowoWykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.
Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera
Scenariusz lekcji matematki z wkorzstaniem komputera Temat: Wpłw współcznników a i b na położenie wkresu funkcji liniowej. (Rsowanie wkresów prz użciu arkusza kalkulacjnego EXCEL.) Czas zajęć: 9 min Cele:
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoRozwiązanie równań stanu dla układów liniowych - pola wektorowe
Rozwiązanie równań stanu dla układów liniowch - pola wektorowe Przgotowanie: Dariusz Pazderski Wprowadzenie Rozważm liniowe równanie stanu układu niesingularnego stacjonarnego o m wejściach: ẋ = A+ Bu,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoAM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka
AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoX Wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów. Etap II
X rocławski Konkurs Matematczn dla uczniów klas I-III gimnazjów rok szkoln 04/05 Etap II Zadanie Uczniowie otrzmali z prac klasowej ocen,, 4 i 5. Ocen, i 5 ło tle samo, a czwórek ło więcej niż wszstkich
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY MAJA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 ( 4) 2 8 4 jest
Bardziej szczegółowo2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Zad 1 Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej. Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;(
Zad Przedstaw funkcję kwadratową w postaci ogólnej Przykład y = ( x ) + 5 (postać kanoniczna) FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej to: y = ax + bx + c;( a 0) Aby ją uzyskać pozbywamy się
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe typu ciągłego. Parametry zmiennych losowych. Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład III)
Zmienne losowe tpu ciągłego. Parametr zmiennch losowch. Izolda Gorgol wciąg z prezentacji (wkład III) Zmienna losowa tpu ciągłego Zmienna losowa X o ciągłej dstrbuancie F nazwa się zmienną losową tpu ciągłego,
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. uzicki Zadanie 0 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzon Zadanie 0. an jest sześcian (zobacz rsunek), którego krawędź ma długość 5. unkt i dzielą krawędzie i w stosunku :, to znacz, że 0. łaszczzna
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4
ZADANIA - ZESTAW 4 Zadanie 4. 0-0,4 c 0 0, 0, Wznacz c. Wznacz rozkład brzegowe. Cz, są niezależne? (odp. c = 0,3 Zadanie 4.- 0-0,4 0,3 0 0, 0, Wznaczć macierz kowariancji i korelacji. Cz, są skorelowane?
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowo