Uk lady Liego: teoria i zastosowania
|
|
- Bogdan Adamski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Uk lady Liego: teoria i zastosowania Javier de Lucas Araujo Katedra Metod Matematycznych w Fizyce 13 Marca 2014
2 Przyk lady zasad superpozycji I Dla dowolnego uk ladu równań różniczkowych jednorodnych liniowych, np. dx i n dt = aj(t)x i j, i = 1,..., n, j=1 rozwi azanie ogólne, x(t), można zapisać w formie x(t) = n k j x (j) (t), gdzie x (1) (t),..., x (n) (t) to fundamentalny uk lad rozwi azań i k 1,..., k n to zbiór sta lych. j=1 2 of 48
3 Przyk lady zasad superpozycji II Podobnie, rozwi azanie ogólne, x(t), dla każdego uk ladu równań różniczkowych liniowych, np. dx i dt = n aj(t)x i j + b i (t), i = 1,..., n, j=1 można zapisać w postaci x(t) = x (0) (t) + n k j (x (j) (t) x (0) (t)), gdzie x (0) (t),..., x (n) (t) to pewna rodzina rozwi azań uk ladu i k 1,..., k n to zbiór sta lych. j=1 3 of 48
4 Przyk lady zasad superpozycji III Rozwi azanie ogólne dla dowolnego równania rózniczkowego Riccatiego, tj. dx dt = a(t) + b(t)x + c(t)x 2, można zapisać w postaci x(t) = x (1)(t)(x (3) (t) x (2) (t)) + kx (2) (t)(x (3) (t) x (1) (t)), (x (3) (t) x (2) (t)) + k(x (3) (t) x (1) (t)) gdzie x (1) (t), x (2) (t), x (3) (t) s a trzema rozwi azaniami uk ladu i k to liczba rzeczywista. 4 of 48
5 Charakterystyka uk ladów posiadaj acych zasady superpozycji Definicja Mówimy, że uk lad równań różniczkowych posiada zasadȩ superpozycji kiedy jego ogólne rozwi azanie można zapisać w nastȩpuj acy sposób x(t) = F (x (1) (t),..., x (m) (t); k). gdzie F : N m N N to funkcja niezależna od czasu, tzw. zmienna t, x (1) (t),..., x (m) (t) to rodzina rozwi azań tego uk ladu i k to element rozmaitości N. 5 of 48
6 Kilka wyników dotycz acych teorii uk ladów Liego L. Königsberger, Über die einer beliebigen differentialgleichung erster Ordnung angehörigen selbst ändigen Transcendenten, Acta Math. 3, 1 48 (1883). (po niemiecku) M.E. Vessiot, Sur une classe d équations différentielles, Ann. Sci. École Norm. Sup. 10, (1893) i C.R. Math. Acad. Sci. Paris 116, (1893), (po francusku) M.S. Lie, Allgemeine Untersuchungen über Differentialgleichungen, die eine continuirliche endliche Gruppe gestatten, Math. Ann. 25, (1885). (po niemiecku). M.S. Lie i G. Scheffers, Vorlesungen über continuierliche Gruppen mit geometrischen und anderen Anwendungen, Teubner, Leipzig, J.F. Cariñena, J. Grabowski i G. Marmo, Superposition rules, Lie theorem and partial differential equations, Rep. Math. Phys. 60, (2007). D. Blázquez-Sanz and J.J. Morales-Ruiz, Local and Global Aspects of Lie s Superposition Theorem, J. Lie Theory 20, (2010).
7 Algebra Liego Algebra Liego to przestrzeń wektorowa V wyposażona w nawias [, ] : V V V, tzw Nawias Liego, spe lniaj acy nastȩpuj ace w laśnosci: Nawias jest dwu-liniowe, czyli [λ 1 v 1 + λ 2 v 2, v 3 ] = λ 1 [v 1, v 3 ] + λ 2 [v 2, v 3 ], [v 3, λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ] = λ 1 [v 3, v 1 ] + λ 2 [v 3, v 2 ], dla dowolnych λ 1, λ 2 R i v 1, v 2, v 3 V. Nawias jest antisymetryczny [v 1, v 2 ] = [v 2, v 1 ]. Nawias spe lnia tożsamość Jacobiego, czyli 7 of 48 [v 1, [v 2, v 3 ]] = [[v 1, v 2 ], v 3 ] + [v 2, [v 1, v 3 ]].
8 Przyk lady: Zbiór M n (R) macierz kwadratowych n n o wspó lczynnikach rzeczywistych: [A, B] = A B B A, A, B M n (R). Zbiór sl(n, R) macierz kwadratowych n n bezśladowych o wspó lczynnikach rzeczywistych z nawiasem Liego [A, B] = A B B A, Zbiór X(N) pól wektorowych na rozmaitości N: A, B M n (R). [D 1, D 2 ] = D 1 D 2 D 2 D 1, D 1, D 2 X(N). Lie 1880 Każda algebra Liego skończonego wymiaru na R jest podalgebr a Liego algebry x, x x, x 2 sl(2, R). x 8 of 48
9 GKO classification: Primitive Lie algebras # Primitive Basis of vector fields X i Domain P 1 A α R R 2 { x, y }, α(x x + y y ) + y x x y, α 0 R 2 P 2 sl(2) { x, x x + y y }, (x 2 y 2 ) x + 2xy y R 2 y 0 P 3 so(3) {y x x y, (1 + x 2 y 2 ) x + 2xy y }, 2xy x + (1 + y 2 x 2 ) y R 2 P 4 R 2 R 2 { x, y }, x x + y y, y x x y R 2 P 5 sl(2) R 2 { x, y }, x x y y, y x, x y R 2 P 6 gl(2) R 2 { x, y }, x x, y x, x y, y y R 2 P 7 so(3, 1) { x, y }, x x +y y, y x x y, (x 2 y 2 ) x +2xy y, 2xy x +(y 2 x 2 ) y R 2 P 8 sl(3) { x, y }, x x, y x, x y, y y, x 2 x + xy y, xy x + y 2 y R 2 9 of 48
10 GKO classification: Imprimitive Lie algebras # Imprimitive Basis of vector fields X i Domain I 1 R { x } R 2 I 2 h 2 { x }, x x R 2 I 3 sl(2) (type I) { x }, x x, x 2 x R 2 I 4 sl(2) (type II) { x + y, x x + y y }, x 2 x + y 2 y R 2 x y I 5 sl(2) (type III) { x, 2x x + y y }, x 2 x + xy y R 2 y 0 I 6 gl(2) (type I) { x, y }, x x, x 2 x R 2 I 7 gl(2) (type II) { x, y y }, x x, x 2 x + xy y R 2 y 0 I 8 B α R R 2 { x, y }, x x + αy y, 0 < α 1 R 2 I 9 h 2 h 2 { x, y }, x x, y y R 2 I 10 sl(2) h 2 { x, y }, x x, y y, x 2 x R 2 10 of 48
11 GKO classification: Imprimitive Lie algebras II # Imprimitive Basis of vector fields X i Domain I 11 sl(2) sl(2) { x, y }, x x, y y, x 2 x, y 2 y R 2 I 12 R r+1 { y }, ξ 1 (x) y,..., ξ r (x) y, r 1 R 2 I 13 R R r+1 { y }, y y, ξ 1 (x) y,..., ξ r (x) y, r 1 R 2 I 14 R R r { x, η 1 (x) y }, η 2 (x) y,..., η r (x) y, r 1 R 2 I 15 R 2 R r { x, y y }, η 1 (x) y,..., η r (x) y, r 1 R 2 I 16 Cα r h 2 R r+1 { x, y }, x x + αy y, x y,..., x r y, r 1, α R R 2 I 17 R (R R r ) { x, y }, x x + (ry + x r ) y, x y,..., x r 1 y, r 1 R 2 I 18 (h 2 R) R r+1 { x, y }, x x, x y, y y, x 2 y,..., x r y, r 1 R 2 I 19 sl(2) R r+1 { x, y }, x y, 2x x + ry y, x 2 x + rxy y, x 2 y,..., x r y, r 1 R 2 I 20 gl(2) R r+1 { x, y }, x x, x y, y y, x 2 x + rxy y, x 2 y,..., x r y, r 1 R 2 11 of 48
12 Pola wektorowe zależne od czasu Niech π 2 i π bȩd a rzutowaniami π 2 : (t, x) R N x N i π : (x, v) TN x N. Pole wektorowe zależne od czasu na rozmaitości N to odwzorowanie X : R N TN, takie jak na poniższym diagramie, jest przemienne π X = π 2 TN X π π(x (t, x)) = π 2 (t, x) = x π 2 R N N X (t, x) π 1 (x) = T x N Wówczas odwzorowania X t : x N X (t, x) TN s a polami wektorowymi. Pole wektorowe zależne od t X (t, x) pola wektorowe {X t } t R 12 of 48
13 Pola wektorowe zależne od czasu Krzyw a ca lkow a pola wektorowego X nad N nazywamy funkcjȩ γ : R R N, tak a, że X (t, γ(t)) = dπ γ. dt Każdy uk lad w powyższym wzorze definiuje tylko jedno pole wektorowe i na odwrót. X (t, x) dx i dt = X i (t, x), i = 1,..., n. 13 of 48
14 Twierdzenie Liego Scheffera Uk lad równań różniczkowych pierwszego rzȩdu dx i dt = X i (t, x), i = 1,..., n, posiada zasadȩ superpozycji, wtedy i tylko wtedy, gdy powi azane pole wektorowe zależne od czasu X (t, x) można zapisać w nastȩpuj acy sposób r X (t, x) = b α (t)x α (x), α=1 gdzie X 1,..., X r to rodzina pól wektorowych generuj aca algebrȩ Liego skończonego wymiaru, tzw. algebrȩ Vessiota Guldberga. 14 of 48
15 Twierdzenie Liego Scheffera i równania Riccatiego Z każdym równaniem Riccatiego możemy powi azać pole wektorowe zależne od czasu dx dt = b 1(t) + b 2 (t)x + b 3 (t)x 2, które można zapisać w nastȩpuj acy sposób gdzie X (t, x) = b 1 (t)x 1 (x) + b 2 (t)x 2 (x) + b 3 (t)x 3 (x), X 1 = x, X 2 = x x, spe lniaj a relacje komutacyjne X 3 = x 2 x, [X 1, X 2 ] = X 1, [X 1, X 3 ] = 2X 2, [X 2, X 3 ] = X 3. Innymi s lowami, pola wektorowe X 1, X 2, X 3 generuj a algebrȩ Liego skończonego wymiaru (w laśnie sl(2, R)). 15 of 48
16 Równania Kummera-Schwarza drugiego rzȩdu Równaniami Kummera Schwarza nazywamy równania różniczkowe takie jak d 2 x dt 2 = 3 ( ) dx 2 2b 0 x 3 + a 0 (t)x, 2x dt gdzie b 0 to liczba rzeczywista i a 0 (t) to dowolna funkcja zależna od czasu. dx dt = v, dv dt = 3 v 2 2 x 2b 0x 3 + a 0 (t)x, 16 of 48
17 Równania Kummera-Schwarza drugiego rzȩdu Powyższy uk lad jest powi azany z polem wektorowym ( 3 v 2 ) X t = 2 x 2b 0x 3 + a 0 (t)x v + v x = 1 (X 2 + a 0 (t)x 1 ), 2 gdzie X 1 = 2x v, X 3 = x x + 2v v, X 2 2 = v x + spe lniaj a relacje ( 3 v 2 ) 2 x 2b 0x 3 v, [X 1, X 2 ] = 2X 3, [X 2, X 3 ] = X 2, [X 1, X 3 ] = X 1. Zatem X (t, x) to uk lad Liego. 17 of 48
18 Równania Kummera-Schwarza trzeciego rzȩdu Równania Kummera Schwarza trzeciego rzȩdu maj a postacie d 3 x dt 3 = 3 2 ( dx dt ) 1 ( d 2 x dt 2 ) 2 ( ) dx 3 2b 0 + 2a 0 (t) dx dt dt, gdzie b 0 to liczba rzeczywista i a 0 (t) to dowolna funkcja zależna od czasu. Teraz, mamy dx dt = y (1), dy (1) = y (2), dt dy (2) dt = 3 y (2)2 2 y (1) 2b 0y (1)3 + 2a 0 (t)y (1). 18 of 48
19 Równania Kummera-Schwarza trzeciego rzȩdu To równanie jest powi azane z polem wektorowym y (1) x + y (2) y (1) + ( ) 3 y (2) y (1) 2b 0y (1)3 Niech X 1, X 2, X 3 bȩd a polami wektorowymi w formie 19 of 48 X 1 = y (1) y (2), ( X 2 = y (1) x + y (2) y (1) + X 3 = y (1) (2) + 2y y (1) y (2), 3 2 y (2) + 2a 0(t)y (1). (1) y (2) ) y (2)2 y (1) 2b 0y (1)3 y (2),
20 spe lniaj acymi relacje komutacyjne: [X 1, X 2 ] = X 3, [X 2, X 3 ] = X 2, [X 1, X 3 ] = X 1. Wówczas te pola wektorowe generuj a algebrȩ Liego, która jest izomorficzna z sl(2, R). Ponadto, można zapisać Innymi s lowy, X to uk lad Liego. X t = X 2 + 2a 0 (t)x of 48
21 Zastosowanie w mechanice klasycznej dx dt = v, dv dt = ω2 (t)x, dx dt = v, dv dt = ω2 (t)x + k x 3, dg dt = R g e(a(t)) dx dt = v, dv dt = 3 2 v 2 x 2b 0x 3 ω 2 (t)x, dx dt = 1 + ω2 (t). 21 of 48
22 Niech (A, [, ]) bȩdzie algebr a Liego, gdzie [, ] : A A A to nawias Liego i B podzbioru A, nazywamy przd lużeniem podzbioru B (wzglȩdem zbioru A), czyli Lie(B, A, [, ]), najmniejszej algebry Liego zawieraj acej B. Lemat Dla każdego podzbioru B A, jego przed lużenie jest generowane przez elementy zbioru B, [B, B], [B, [B, B]], [B, [B, [B, B]]],... gdzie [C, D] oznacza nawias Liego miȩdzy elementami podzbiorów C, D A. 22 of 48
23 Jeśli X (t, x) jest uk ladem Liego, to istnieje algebra Vessiota Guldberga V taka, że {X t } t R V. Wówczas Lie({X t } t R ) V. Innymi s lowami, Lie({X t } t R ) jest algebr a Liego skończonego wymiaru. Odwrotnie, jeśli Lie({X t } t R ) jest algebr a Liego skończonego wymiaru, to X (t, x) jest algebr a Liego. Krótkie twierdzenie Liego Scheffersa Uk lad równań różniczkowych X (t, x) jest uk ladem Liego, wtedy i tylko wtedy, gdy Lie({X t } t R ) jest algebr a Liego skończonego wymiaru. Znikoma algebra Liego Znikom a algebr a Liego pola wektorowego X (t, x) nazywa siȩ najmniesz a algebrȩ Liego V X zawieraj ac a {X t } t R. 23 of 48
24 Równania Riccatiego drugiego rzȩdu Rozpatrzmy teraz równania Riccatiego drugiego rzȩdu, tj. gdzie ẍ + (b 0 (t) + b 1 (t)x)ẋ + c 0 (t) + c 1 (t)x + c 2 (t)x 2 + c 3 (t)x 3 = 0, b 1 (t) = 3 c 3 (t), b 0 (t) = c 2(t) c3 (t) ċ3(t) 2c 3 (t), c 3(t) 0. Jeżeli dodamy zmienne v = ẋ do tych uk ladów, to nie uzyskamy uk lad ow Liego. Jednak, te równania posiadaj a funkcjȩ Lagranjowsk a wzorem 1 L(t, x, v) = v + U(t, x), gdzie U(t, x) = a 0 (t) + a 1 (t)x + a 2 (t)x 2 i a 0 (t), a 1 (t), a 2 (t) s a funkcjami zmiennych czasu zależne od c 1 (t), c 2 (t), c 3 (t). 24 of 48
25 Ta funkcja Lagranjowska jest powi azana z funkcj a Hamiltonowsk a h(t, x, p) = vp L(t, x, v) = 2 p p U(t, x). Jej równania Hamiltona s a ẋ = H p = 1 a 0 (t) a 1 (t)x a 2 (t)x 2, p ṗ = H x = p(a 1(t) + 2a 2 (t)x). Udowodnimy, że ten uk lad jest uk ladem Liego. Rozważmy pola wektorowe na O. 25 of 48 X 1 = 1 p x, X 2 = x, X 3 = x x p p, X 4 = x 2 x 2xp p, X 5 = x p x + 2 p p,
26 One spe lniaj a relacje komutacyjne [X 1, X 2 ] = 0, [X 1, X 3 ] = 1 2 X 1, [X 1, X 4 ] = X 5, [X 1, X 5 ] = 0, [X 2, X 3 ] = X 2, [X 2, X 4 ] = 2X 3, [X 2, X 5 ] = X 1, [X 3, X 4 ] = X 4, [X 3, X 5 ] = 1 2 X 5, [X 4, X 5 ] = 0. Zatem one generuj a algebrȩ Vessiota Guldberga piȩciowymiarow a V. Ponadto, pole wektorowe zależne od czasu X t powi azane z uk ladami Hamiltona (25) ma formȩ X (t, x, p) = X 1 (x, p) a 0 (t)x 2 (x, p) a 1 (t)x 3 (x, p) a 2 (t)x 4 (x, p), Wówczas uk lad (25) jest uk ladem Liego. Poza tym, pola wektorowe X 1,..., X 5 s a polami Hamiltonowskimi zwi azanymi ze struktur a symplektyczn a na rozmaitości T R. 26 of 48
27 Dok ladniej, poniższe pola wektorowe maj a Hamiltonowskie funkcje h 1 (x, p) = 2 p, h 2 (x, p) = p, h 3 (x, p) = xp, h 4 (x, p) = x 2 p, h 5 (x, p) = 2x p, takie, że {h i, h j } h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h h 1 /2 h 5 2h 6 0 h h 2 2h 3 h 1 0 h 3 h 1 /2 h 2 0 h 4 2h 6 0 h 4 h 5 2h 3 h 4 0 h 5 /2 0 h 5 2h 6 h 1 2h 6 h 5 /2 0 0 h i 27 of 48 h t = h 1 a 0 (t)h 2 a 1 (t)h 3 a 2 (t)h 4.
28 Równiania Riccatiego drugiego rzȩdu mog a być powi azane z dzia lani a grupy Liego Φ : G O O w formie ((( λ1 Φ λ 2 ) ( α β, γ δ i zasad a superpozycji )) ( )) x, = p ( ) x0 λ 1 p0 1 + λ 5 ( p 0 ), ( p 1/2 0 + λ 5 ) 2. x (0) = 3( p 2 x 2 p 1 x 1 ) + 2 ( p 1 x 1 p 3 x 3 ) + 1 x 1 p1 3 ( p 2 p 1 ) + 2 ( p 1 p 3 ) +, p 1 k 1 p (0) = ( 1 p1 + 3 ( p 1 p 2 ) + 2 ( p 1 p 3 ))( 2 + p 1 p 2 (x 2 x 1 )) 1 p2 p 1 (x 1 x 2 ) + 2 p2 p 3 (x 2 x 3 ) +. p 3 p 2 (x 3 x 2 ) of 48
29 Definicja Struktur a Liego Hamiltona nazywamy trókȩ (M, Λ, h), gdzie (M, Λ) to rozmaitośc Poissona z bi-wektorem Poissona Λ i h to t-parametryzowana rodzina funkcji h t : M R, taka, że Lie({h t } t R ) to algebra Liego skończonego wymiaru. Definicja Uk ladem Liego Hamiltona nazywamy uk lad X na rozmaitości Poissona (M, Λ) taki, że istnieje struktura Liego Hamiltona (M, Λ, h) taka, że X t Λ( dh t ) dla dowolnego t R. Trójkȩ (M, Λ, X ) nazywamy trójk a Liego Hamiltona. 29 of 48
30 Oscylatory Winternitza Smorodinsky ego można zapisać w nastȩpuj acy sposób ẋ i = p i, ṗ i = ω 2 (t)x i + k i = 1,..., n. xi 3, Powyższy uk lad opisuje ca lki pola wektorowego zależnego od czasu n [ ( X t = p i + ω 2 (t)x i + k ) ] x i xi 3. p i i=1 na T R n. Rozpatrzmy pola wektorowe n n ( 1 X 1 = x i, X 2 = p i 2 i=1 i=1 n ( X 3 = p i + k x i xi 3 i=1 x i p i x i p i ). Za pomoc a tych pól wektorowych można zapisać X t = X 3 ω 2 (t)x of 48 p i ),
31 Ponieważ [X 1, X 2 ] = X 1, [X 2, X 3 ] = X 3, [X 1, X 3 ] = 2X 2, zatem powyższy uk lad jest uk ladem Liego. Ponadto, pola wektorowe X 1, X 2 i X 3 s a polami wektorowymi powi azanymi z funkcjami Hamiltonowskimi h 1 = 1 n n xi 2, h 2 = x i p i, h 3 = 1 n ( pi 2 + b ) i 2 2 xi 2, i=1 i=1 które spe lniaj a relacje komutacyjne i=1 {h 1, h 2 } = h 1, {h 1, h 3 } = 2h 2, {h 2, h 3 } = h 3. Ponieważ X t = Λ(d(h 3 ω 2 (t)h 1 )), wiȩc (M, Λ, h) to struktura Liego Hamiltona. 31 of 48
32 Niech g bȩdzie algebr a Liego, jej przestrzeń dualna g ma strukturȩ rozmaitości Poissona (g, {, } g ). Dok ladniej, {f, g} g (θ) = [d θ f, d θ g] g, θ, f, g C (g ). Rozpatrzmy uk lady w formie dθ dt = ad φ(t) θ, θ g, gdzie φ(t) to krzywa zawarta w g i ad φ(t) θ = θ ad φ(t). Wybierzmy bazȩ {e 1,..., e r } dla g ze sta lymi strukturalnymi c αβγ, tj. [e α, e β ] g = r γ=1 c αβγe γ, α, β = 1,..., n. Zatem pola wektorowe X α (θ) = ad e α (θ) T θ g, α = 1,..., r, generuj a algebrȩ Vessiota Guldberga dla uk ladu na g. 32 of 48
33 Ponadto, te pola wektorowe s a Hamiltonowskimi polami z funkcjami Hamiltonowskimi h α =, e α. Co wiȩcej, funkcje h α generuj a algebrȩ Liego (W, {, } g ) skończonego wymiaru: {h α, h β } g (θ) = [d θ h α, d θ h β ] g, θ = [e α, e β ] g, θ r r = c αβγ e γ, θ = c αβγ h γ (θ). γ=1 W konsekwencji, za pomoc a każdej krzywej h t w (W, {, } g ) możemy zdefinionować strukturȩ Liego Hamiltona (g, Λ g, h). Wówczas X t = r α=1 b α(t)x α, gdzie φ(t) = r α=1 b α(t)e α. Ponieważ X α s a Hamiltonowskimi polami wektorowami, zatem [ ( r r r )] X t = b α (t)x α = b α (t) Λ( dh α ) = Λ d b α (t)h α. α=1 α=1 γ=1 α=1 Innymi s lowami, trójca (g, Λ g, h), gdzie h t = r α=1 b α(t)h α, jest struktur a Liego Hamiltona dla uk ladu X. 33 of 48
34 Pole wektorowe zależne od czasu (jeszcze raz) Z każdym polem wektorowym X n rozmaitości N można powi azać dystrybucjȩ D X tak a, że i jedn a kodystrybucjȩ D X x = {Y x Y V X }, V X x = {ω x ω x (Y ) = 0, Y D X x } = (D X x ). Można stwierdzić, że D X jest inwolutywn a dystrybucj a. Ponadto, dim D x jest lokalnie maksymalny w otwartym i gȩstym podzbiorze U N. 34 of 48
35 Pole wektorowe zależne od czasu Lemat Dla każdego punktu p U gdzie dim D X = k, istnieje (lokalna) baza dla kodystrybucji V X w postaci df 1,..., df n k, gdzie f 1,..., f n k : V U R s a ca lkami pierwszami pól wektorowych w dystrybucji D X V. Twierdzenie Funkcja f : V N R to ca lka uk ladu X, wtedy i tylko wtedy, gdy df V X V. 35 of 48
36 Lemat Dla każdego uk ladu Liego Hamiltona X posiadaj acego strukturȩ Liego Hamiltona (M, Λ, h), odwzorowanie Λ d : Lie({h t } t R ) V X jest homomorfizmem surjektywnym miȩdzy algebrami Liego. W rezultacie, V X Lie({h t} t R ) ) ker ( Λ d i elementy algebry V X s a Hamiltonowskimi polami wektorowymi na rozmaitości Poissona (M, Λ). Dowód Odwzorowanie Λ d jest liniowe. Ponadto, Λ d{f, g} Λ = Λ[df, dg] Λ = [ Λ(df ), Λ(dg)] f, g C (M). Latwo zauważyć, że Λ d jest surjektywny. Z tego wynika stwierdzenie lematu. 36 of 48
37 Twierdzenie Dany uk lad X jest uk ladem Liego Hamiltona wzglȩdem rozmaitości Poissona (M, Λ), wtedy i tylko wtedy, gdy jest uk ladem Liego a elementy algebry V X s a Hamiltonowskimi polami wektorowymi. Niech (M, Λ, h) bȩdzie struktur a Liego-Hamiltona dla uk ladu X. Odwzorowanie Λ d jest morfizmem miȩdzy algebrami Liego (C (M), {, } Λ ) i (X(M), [, ]). Ponieważ Lie({h t } t R ) ma skończony wymiar, to Λ d(lie({h t } t R )) ma skończony wymiar. Zatem, X t V X = Λ d(lie({h t } t R )) i X to uk lad Liego. Latwo zauważyć, że V X s a Hamiltonowskimi polami wektorowymi wzglȩdem rozmaitości (M, Λ). 37 of 48
38 Odwrotnie, jeśli X to uk lad Liego i elementy algebry V X s a Hamiltonowskimi polami wektorowymi, to można definiować zbiór h 1,..., h r Hamiltonowskich funkcji (nad M) dla tych pól. Wówczas I ij = {h i, h j } to funkcja Hamiltonowska dla pola wektorowego Y ij = [X i, X j ] V X. Zatem, istniej a kombinacje g ij = λ 1 h 1,..., λ n h n, takie, że każda g i j jest funcj a Hamiltonowsk a dla Y ij. W konsekwencji, każda funkcja I ij g ij jest Casimir. Jeśli V = {h 1,..., h n }, V (1) = {I ij g ij i = 1,..., n}, to latwo zauważyć, że V V (1) jest algebr a funkcji skończonego wymiaru i X t = Λ(dh t ). Twierdzenie Niech (M, Λ, h) bȩdzie struktur a Liego Hamiltona. Uk lad w postaci X t = Λ( dh t ) jest uk ladem Liego-Hamiltona. 38 of 48
39 Uk lady Liego-Hamiltona i zasady superpozycji Twierdzenie Dany uk lad Liego Hamiltona X powi azany ze struktur a Liego Hamiltona (M, Λ, h) tak a, że dim D X = dim M = dim V X = Lie({h t } t R ), wiȩc X i Λ mog a być zapisane w liniowej postaci na pewnym uk ladzie wspó lrzȩdnych. Dowód Ponieważ zak ladaliśmy, że dim V X = dim Lie({h t } t R ), istnieje baza h 1,..., h r, dla algebry Liego Lie({h t } t R ) taka, że Hamiltonowskie pola wektorowe X 1,..., X r tych elementów s a baz a dla V X. Ponadto, mamy dim M = dim V X, wiȩc te pola wektorowe s a (lokaln a) baz a dla kostycznej przestrzeni TM. Wówczas h 1,..., h r s a uk ladem wspó lrzȩdnych na M i 39 of 48
40 Λ = r {h i, h j } = h i h j i,j=1 r i,j,k=1 c ijk h k. (2) h i h j Latwo zauważyć, że X t = Λ df t, gdzie f t to krzywa zawarta w algebrze Lie({h t } t R ). Zatem ( n ) n X t = Λ dh t = Λ d b l (t)h l = b l (t)( Λ dh l ) = 2 l=1 n b l (t)c ljk h k. h j j,k=1 W rezultacie, X t jest liniowe i posiada liniow a zasadȩ superpozycji w tym uk ladzie wspó lrzȩdnych. l=1 40 of 48
41 Twierdzenie Dany uk lad Liego Hamiltona X ustalony na rozmaitości M, takiej że dim D X = dim M, to M ma wymiar parzysty. Dowód Niech (M, Λ, X ) bȩdzie trójc a Liego Hamiltona a (M, Λ, h) struktur a Liego Hamiltona dla uk ladu X. Za lożmy, że V X jest algebr a Liego skónczonego wymiaru. Zatem istnieje (lokalnie) rodzina pól wektorowych X 1,..., X n V X liniowo niezależnych. Wówczas, rodzina 1 form dh 1,..., dh n W, jest liniowo niezależna i Λ(ω j ) = X j dla j = 1,..., n. W konsekwencji, odwzorowanie Λ U jest izomorfizmem. Zatem, M ma parzysty wymiar. 41 of 48
42 Twierdzenie Dany uk lad Liego-Hamiltona X ustalony na rozmaitości M takiej, że dim D X = dim M i X posiada strukturȩ Liego Hamiltona (M, Λ, h) tak a, że Lie({h t } t R ) V X, wiȩc centrum V X jest trywialne. Dowód Niech X 1 bȩdzie nietrywialnym elementem centrum algebry V X. Ponieważ dim D X = n, istniej a pola wektorowe X 2,..., X n V X generuj ace (razem z X 1 ) lokaln a bazȩ dla wi azki stycznej TM. Jednocześnie, te pola wektorowe s a Hamiltonowskimi polami wektorowymi wzglȩdem pewnych funkcji h 1,..., h n zawartych w Lie({h t } t R ). Jako, że X 1,..., X n s a liniowo niezależne, to dh 1,..., dh n s a liniowo niezależne. Wówczas {h 1,..., h n } to uk lad wspó lrzȩdnych w M. 42 of 48
43 Jako, że V X Lie({h t } t R ), wiȩc [X 1, X j ] = 0, dla j = 2,..., n, oznacza, że {h 1, h j } = 0. Wówczas, Λ = n {h i, h j } = X 1 = h i h Λ(dh 1 ) = 0. j i,j=2 Zatem V X ma trywialne centrum. 43 of 48
44 Ca lka uk lady Liego Hamiltona Twierdzenie Rodzina I X U ca lek niezależnych od czasu na zbiorze otwartym U M dla trójcy (M, Λ, X ) jest algebr a Poissona i ko-dystrybucja V X jest inwolutywna, tj. [ω, ω ] Λ V X U dla każdych ω, ω V X U. Dowód Dane dwie ca lki f 1, f 2 : U R, to df i (Y ) = 0, i = 1, 2, dla każdego pola wektorowego Y V X. Ponieważ X to uk lad Liego Hamiltona, elementy w V X s a Hamiltonowskimi polami wektorowymi. Wówczas, można zapisać Y {f, g} = {Yf, g} + {f, Yg} dla każdej pary funkcji f, g C (M). Zatem Y ({f 1, f 2 }) = {Yf 1, f 2 } + {f 1, Yf 2 } = 0. Jako, że λf 1 + µf 2 i f 1 f 2 s a również ca lkami niezależnymi od czasu dla każdych λ, µ R, to rodzina I X U jest algebr a Poissona. 44 of 48
45 Ko-dystrybucja jest inwolutywna, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej lokalnej bazy nawias Liego miȩdzy jej elementami należy do dystrybucji. Ko-dystrybucja V X ma lokalk a bazȩ df 1,..., df n k. Ponadto, [df i, df j ] Λ = d({f i, f j }) i funkcja {f i, f j } jest ca lk a pierwsz a. Zatem {f i, f j } = G(f 1,..., f n k ) wynika, że [df i, df j ] Λ V X. Twierdzenie Jeżeli X to uk lad Liego Hamiltona, wiȩc przestrzeń I X U jest grup a funkcji. 45 of 48
46 Definicja Niech X bȩdzie uk ladem na rozmaitości Poissona (M, Λ), jego dystrybucja symetrii, SΛ X, jest dystrybucj a Stefana Sussmana w formie (S X Λ ) x = Λ x (V X x ) T x M. Twierdzenie Niech X bȩdzie uk ladem Liego Hamiltona, to Dystrybucja symetrii powi azana z uk ladem X jest inwolutywna. Jeśli f jest ca lk a pierwsz a (niezależn a od czasu) dla uk ladu X, to Λ(df ) jest symetri a Liego (niezależn a od czasu) dla X. Dystrybucja S X ma lokaln a bazȩ symetrii Liego dla uk ladu X. Ponadto, elementy tej bazy s a Hamiltonowskimi polami wektorotwymi powi azanymi z funkcjami Hamiltonowskimi, które s a ca lkami ruchu (niezależnymi od czasu) dla X. 46 of 48
47 Dla każdych pól wektorowych Y 1, Y 2 w S X, istniej a dwie 2-formy ω, ω S X takie, że Y 1 = Λ(ω), Y 2 = Λ(ω ). Ponieważ X jest uk ladem Liego Hamiltona, to V X jest inwolutywna. Wówczas, [Y 1, Y 2 ] = [ Λ(w), Λ(w )] = Λ([w, w ] Λ ) S X. Niech (M, Λ, h) bȩdzie struktur a Liego Hamiltona dla uk ladu X : [X t, Λ(df )] = [ Λ(dh t ), Λ(df )] = Λ(d{h t, f }) = Λ[d(X t f )] = 0. Ponieważ V X ma lokaln a bazȩ df 1,..., df n k, gdzie f 1,..., f n k to rodzina ca lek ruchu (niezależnych od czasu) dla X. Wówczas, X f1,..., X fn k, to rodzina symetrii Liego dla X generuj aca (lokalnie) S X. Z tego, można latwo wybrać (lokaln a) bazȩ dla S X. 47 of 48
48 Twierdzenie Jeśli Y to Hamiltonowskie pole wektorowe i symetria Liego dla uk ladu Liego Hamiltona X takie, że [V X, V X ] = V X, wiȩc Y S X. 48 of 48
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cz astkowe rzȩdu pierwszego
Równania różniczkowe cz astkowe rzȩd pierwszego 1 Równania liniowe jednorodne Rozważmy równanie a 1 ( 1,..., n ) 1 +... + a n ( 1,..., n ) n = 0, (1) gdzie a i, i = 1,..., n s a dane, a fnkcja = ( 1,...,
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowoMnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym
Mnożniki funkcyjne Lagrange a i funkcje kary w sterowaniu optymalnym Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania optymalnego
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowoSterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina.
Sterowanie optymalne dla uk ladów nieliniowych. Zasada maksimum Pontriagina. Podstawowy problem sterowania optymalnego dla uk ladów nieliniowych W podstawowym problemie sterowania optymalnego minimalizacji
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowow = w i ξ i. (1) i=1 w 1 w 2 :
S. D. G lazek, www.fuw.edu.pl/ stglazek, 11.III.2005 1 I. MACIERZ LINIOWEGO ODWZOROWANIA PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Wyobraźmy sobie, że przestrzeń wektorowa W jest zbudowana z kombinacji liniowych n liniowo
Bardziej szczegółowoKOLOKWIUM Z ALGEBRY I R
Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowo5.6 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a
Ostatecznie f = 1 r 2 f ) r 2 r r + ctg ϑ f r 2 ϑ + 1 2 f r 2 ϑ + 1 2 2 f r 2 sin 2 ϑ ϕ 2 56 Klasyczne wersje Twierdzenia Stokes a Odpowiedniość między polami wektorowymi i jednoformami lub n 1)-formami
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa II wykład piąty
Geometria Różniczkowa II wykład piąty Wykład piąty poświęcony będzie pojęciu całkowalności dystrybucji oraz fundamentalnemu dal tego zagadnienia twierdzeniu Frobeniusa. Przy okazji postanowiłam sprawdzić
Bardziej szczegółowoSterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń.
Sterowanie minimalnoczasowe dla uk ladów liniowych. Krzywe prze l aczeń. Sprowadzanie zadań sterowania optymalnego do zadań wariacyjnych metod a funkcji kary i mnożników Lagrange a - zadania sterowania
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoANALIZA II 15 marca 2014 Semestr letni. Ćwiczenie 1. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la?
Ci ag lość i norma Ćwiczenie. Czy dan a funkcjȩ da siȩ dookreślić w punkcie (0, 0) tak, żeby otrzymana funkcja by la ci ag la? f (x, y) = x2 y 2 x 2 + y 2, f 2(x, y) = x2 y x 2 + y 2 f 3 (x, y) = x2 y
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa I
Geometria Różniczkowa I wykład trzeci NiechC (M)oznaczazbiórwszystkichgładkichfunkcjinarozmaitościM.C (M)jestrzeczywistą, przemienną algebrą z jedynką. Istotną rolę w geometrii różniczkowej odgrywają homomorfizmy
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoOSOBNO ANALITYCZNYCH
Uniwersytet Jagielloński Instytut Matematyki Zbigniew B locki ZBIORY OSOBLIWOŚCI FUNKCJI OSOBNO ANALITYCZNYCH Praca magisterska Promotor: Prof. dr hab. Józef Siciak Kraków 99 .Wstȩp. Jeśli Ω jest zbiorem
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L. Ćwiczenia. mm
CHEMIA KWANTOWA MONIKA MUSIA L Ćwiczenia METODY PRZYBLIŻONE ROZWIA ZYWANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA METODA WARIACYJNA metoda wariacyjna ĤΨ n = E n Ψ n Ψ n ortonormalne Szukamy rozwi azań dla stanu podstawowego,
Bardziej szczegółowoStruktury Geometryczne Mechaniki
Struktury Geometryczne Mechaniki Paweł Urbański u rb a n ski@fuw.ed u.p l Kat edra Met od Mat ematycznych Fizyki Uniwersyt et Warszawski Sympozjum IFT, 08.12.2007 p. 1/23 MOTYWACJE Dlaczego mechanika (analityczna)?
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 11 listopada 013 1 Alternatywne spojrzenie na wektory styczne Definicja 1 Algebrą nazywamy przestrzeń wektorową A wyposażoną w działanie
Bardziej szczegółowoLiniowe uk lady sterowania.
Liniowe uk lady sterowania Rozwi azywanie liniowych rownań stanu Uk lady z czasem ci ag lym Liniowe stacjonarne równania stanu Przyk lad: Uk lad sterowania tarcz a obrotow a prȩt sprȩżysty tarcza obrotowa
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoTomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoSynteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym.
Synteza optymalnego regulatora stanu. Uk lady z czasem ci ag lym. Po wyznaczeniu optymalnego nominalnego) procesu sterowania x o, u o nasuwa siȩ kwestia podtrzymywania tego procesu w warunkach ma lych
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoPodprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas
Podprzestrzeń wektorowa, baza, suma prosta i wymiar Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Niech W = {(x 1, x 2, x 3 ) K 3 : x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 }. Czy W jest podprzestrzeni a gdy
Bardziej szczegółowoII seria zadań z Geometrii różniczkowej I 26. grudnia 2014 r. (wraz z komentarzem z 5. stycznia 2015 r.)
II seria zadań z Geometrii różniczkowej I 26. grudnia 24 r. (wraz z komentarzem z 5. stycznia 25 r.) Uwaga: W niniejszym tekście stosujemy konwencjȩ sumacyjn a Einsteina! ω Komentarz: Poznaliśmy kilka
Bardziej szczegółowoSekantooptyki owali i ich własności
Sekantooptyki owali i ich własności Magdalena Skrzypiec Wydział Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej 19 października 2009r. Informacje wstępne Definicja Owalem nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoGeometria Różniczkowa II
Geometria Różniczkowa II reszta wykładu siódmego i wykład ósmy Wszyscy słuchacze wykładu wiedzą, mam nadzieję, co to jest grupa i znają podstawowe przykłady grup skończonych i nieskończonych. Teoria grup
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 22 października 2013 1 Przestrzeń styczna i kostyczna c.d. Pora na podsumowanie: Zdefiniowaliśmy przestrzeń styczną do przestrzeni afinicznej
Bardziej szczegółowoWprowadzenie z dynamicznej optymalizacji
Wprowadzenie z dynamicznej optymalizacji Lukasz Woźny 29 kwietnia 2007 Spis treści 1 Optymalizacja statyczna a optymalizacja dynamiczna 2 1.1 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych - statyka...... 2
Bardziej szczegółowoAnaliza II.2*, lato komentarze do ćwiczeń
Analiza.2*, lato 2018 - komentarze do ćwiczeń Marcin Kotowski 5 czerwca 2019 1 11 2019, zadanie 2 z serii domowej 1 Pokażemy, że jeśli f nie jest stała, to całka: f(x f(y B B x y dx dy jest nieskończona.
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady
Rozdzia l 10 Formy dwuliniowe i kwadratowe 10.1 Formy dwuliniowe 10.1.1 Definicja i przyk lady Niech X K b edzie przestrzenia liniowa nad cia lem K, dim(x K ) = n. Definicja 10.1 Przekszta lcenie ϕ : X
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoz pokryciem (O i ) i I rozkładu jedności (α i ) i I. Zauważmy najpierw, że ( i I α i )ω dω = d(1 ω) = d d(α i ω). Z drugiej jednak strony
Dowód: Niech M będzie jak w założeniach twierdzenia. Weźmy skończony atlas O i, ϕ i ) na M zgodny z orientacją. Zbiór indeksów I może być skończony, gdyż rozmaitość M jest zwarta. Õi, ϕ i ) oznaczać będzie
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowoPEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
PEWNE ZASTOSOWANIA TEORII DYSTRYBUCJI I RACHUNKU OPERATOROWEGO W TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH WŁADYSŁAW KIERAT Oliver Heaviside w latach 1893-1899 opublikował trzytomową monografię: Elektromagnetic Theory,
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoPo wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:
ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowo