BADANIE POPRAWNOŚCI POMIARÓW WYKONYWANYCH PRECYZYJNYM NIWELATOREM CYFROWYM

Transkrypt

1 Badae poprawośc pomarów... INFRASTRUKTURA I EKOLOGIA TERENÓW WIEJSKICH INFRASTRUCTURE AND ECOLOGY OF RURAL AREAS Nr /00, POLSKA AKADEMIA NAUK, Oddzał w Krakowe, s. 5 4 Komsja Techczej Ifrastruktury Ws Klemes Godek, Waldemar Krupńsk BADANIE POPRAWNOŚCI POMIARÓW WYKONYWANYCH PRECYZYJNYM NIWELATOREM CYFROWYM EXAMINING THE CORRECTNESS OF MEASUREMENTS PERFORMED WITH PRECISE DIGITAL LEVELER Streszczee W celu sprawdzea, czy pomary wykoywae welatorem cyfrowym WILD NA 3000 są obarczoe błędam zekształcającym wyk tych obserwacj, wykoao szereg pomarów różc wysokośc mędzy puktam testowej sec welacyjej, założoej przy obektach Wydzału Iżyer Środowska Geodezj Uwersytetu Rolczego w Krakowe. Pomary wykoao a sec składającej sę z trzech zamkętych oczek welacj, wykoując pomary różc wysokośc w tych oczkach 35-krote. Do wykrywaa ewetualych eprawdłowośc w pomarach zastosowao statystyczy test zgodośc Kołmogorowa-Lleforsa, sprawdzając hpotezę H 0 o ormalośc rozkładu błędów pomarowych. Dla sprawdzea potwerdzea wyków wykających z powyższego testu przeprowadzoo dodatkowe badaa statystycze stosując statystyk:. Cramera vo Msesa: W W.. Watsoa: U U Z przeprowadzoych badań wycągęto wosk dotyczące jakośc pomarów geodezyjych wykoaych testowaym strumetem. Słowa kluczowe: badaa testowe, statystyka matematycza, testy zgodośc, rozkład empryczy, hpoteza statystycza, dokładość użytkowa Summary I order to verfy that measuremets made wth a dgtal leveler "WILD NA 3000" are burdeed wth errors, dstortg the results of these observatos, u- 5

2 Klemes Godek, Waldemar Krupńsk merous measuremets of heght dffereces betwee pots of a levelg et set up the Departmet of Evromet ad Geodesy of the Uversty of Agrculture Cracow were performed Measuremets were made o a etwork of three closed levelg mesh, assessg of heght dffereces those levelg mesh 35-tmes. To detect possble aomales the measuremet, a statstcal compatblty tests of Kolmogorov Llefors was used, checkg the hypothess H o of ormal dstrbuto of measuremet errors. To verfy ad cofrm the results comg from cocered test, addtoal test were lauched usg the statstcs: Cramer vo Mses: W ad W Watso: U ad U Performed aalyss gves overvew o measuremets qualty wth use of tested strumet. Key words: test vestgatos, mathematcal statstcs, compatblty tests, emprcal dstrbuto, statstcal hypothess, usable accuracy WPROWADZENIE Na wyk precyzyjej welacj geometryczej przy użycu welatorów cyfrowych, jak róweż a wszelke pomary geodezyje mają wpływ róże przyczyy zewętrze, które powodują pojawee sę pewego, mejszego lub wększego błędu. Błędy te mogą być dwojakego rodzaju: systematycze przypadkowe, zależe od rodzaju przyczy, które je powodują. Błędy o charakterze przypadkowym są zmee co do zaku jedakowo prawdopodobe tak w sese dodatm jak ujemym. Błędy te wywołae są przez szybkozmeą wbrację odczytów a łace welacyjej. Błędy systematycze okazują wpływ jedostajy dodat lub ujemy wywołae są oddzaływaem refrakcj poowej. Wykoae w różych pracach badaa praktycza ch weryfkacja wykazały, że czykem decydującym o zmae przebegu promea śwetlego w atmosferze jest pozomy lub poowy gradet temperatury w przypowerzchowych warstwach atmosfery Zem. Wykoae pomary testowe przy użycu precyzyjego welatora cyfrowego WILD NA 3000 pozwolą a określee dokładośc użytkowej tego welatora jak podaje Lzończyk [000] jest to dokładość jaką moża uzyskać stosując określoy welator precyzyjy jego wyposażee pomoccze w określoych warukach tereowych atmosferyczych przy zastosowau odpowedej techk pomarowej. Przy określau szacowau dokładośc użytkowej strumetów pomarowych ależy stosować metody testowe określoe przez Normę Mędzyarodową ISO 88 Obekty budowlae strumety pomarowe metody ustalaa dokładośc użytkowej [Pawłowsk 997]. 6

3 Badae poprawośc pomarów... Tematem opracowaa będą polowe badaa sprawdzające przydatość precyzyjego welatora cyfrowego WILD NA 3000 r fabr do wykoaa welacj precyzyjej a teree masta. Badaa te zostaą wykoae a welacyjej satce testowej składającej sę z trzech zamkętych oczek zlokalzowaej przy obektach Wydzału Iżyer Środowska Geodezj Uwersytetu Rolczego w Krakowe. Pomary testowe będą polegać a 35-krotym zamerzeu różc wysokośc w tych oczkach. W celu sprawdzea ewetualych eprawdłowośc wykoaej welacj precyzyjej zostae zastosoway statystyczy test zgodośc Kołmogorowa- Lleforsa. Sprawdzee potwerdzee wyków z powyższego testu będze dodatkowo wykoae przy zastosowau badań statystyczych stosują statystyk: Cramera-vo Msesa W W, Watsoa U U. SATYSTYCZNA KONTROLA JAKOŚCI WYKONANYCH POMIARÓW W celu stwerdzea jakośc pomarów wykoaych badaym strumetem, wyk tych pomarów przetestowao metodam statystyk matematyczej, a kokrete:. testem Kołmogorowa-Lleforsa [Krysck. 986; Pasek 000],. statystyką Cramera-vo Msesa, 3. statystykąwatsoa. ad.. Test Kołmogorowa-Lleforsa Aby stwerdzć, czy wykoae pomary moża uzać za poprawe, czyl czy ch błędy charakteryzują sę rozkładem ormalym ależy:. oblczyć średą x = x () = oraz warację ( x x) V( x ) = =. wyzaczyć dystrybuatę empryczą S ( x ) ( ) F( x) N = 4. oblczyć wartośc bezwzględe różc: d = F( x ) S ( x ) =,, 3, L, 5. wybrać wartość maksymalą spośród ww. różc: 3. określć dystrybuatę rozkładu x,v ( x) d max = max F ( x ) S ( x ) () 7

4 Klemes Godek, Waldemar Krupńsk 8 6. odczytać z tablc wartośc krytyczych ( α) k Kołmogorowa Lleforsa 7. porówać wartośc d k ( α) max gdze: x błędy spostrzeżeń lość pomarów S realzacje dystrybuaty empryczej ( x ) ( ) F dystrybuata teoretycza x Jeżel d k ( α) ; max rozkład błędów e jest ormaly [Greń 970; Krysck. 986]. d ; k α rozkład błędów jest ormaly [Greń 970; Jeżel ( ) max 0 Krysck. 986]. Oblczea do testu: x [mm] Tabela. Oblczea do testu Kołmogorowa-Lleforsa S (x ) F (x ) S (x ) - F (x ) -3,3 0,057 0,09 0,0380-3, 0,0858 0,050 0,0608 -,8 0,44 0,0367 0,0768 -,5 0,430 0,056 0,0904 -,3 0,76 0,0655 0,06 -,0 0,00 0,090 0,0 -,8 0,574 0,093 0,48 -,3 0,346 0,736 0,40 -, 0,343 0,033 0,399 -,0 0,4004 0,77 x 0,87-0,8 0,490 0,546 x 0,744-0,7 0,4576 0,70 x 0,866-0,4 0,548 0,3300 x 0,848-0,3 0,5434 0,350 x 0,94-0, 0,570 0,3745 x 0,975 xxx 0,0 6 0,7436 0,583 x 0,604 0,3 0,77 0,6480 0,4 0,7 0,8008 0,790 0,078,4 0,894 0,843 0,09,8 0,8580 0,8907 0,037,3 0,8866 0,9345 0,0479,4 0,95 0,9406 0,054,7 0,9438 0,958 0,044 3, 0,974 0,9779 0,0055 3,4,000 0,9834 0,067

5 Badae poprawośc pomarów... Z tablc Kołmogorowa-Lleforsa: wartość krytycza k 35 (- 0,05) = 0,498. x = 0,377 V ( x ) = 3, 53 σ( X ) =, 776 Skok dystrybuaty S 35 są rówe : 35 = 0,086 dla lczebośc Dystrybuata hpotetycza F ma rozkład N(-0,377 ; ±,776). Wyzaczee dystrybuaty empryczej x + 0, 377 3, 3+ 0, 377 ( 3 ; 3) = P = P( U, 07) = Φ(, 07) = 0, , 09. F = 776,, 776 Tabela. Dystrybuata emprycza F(-3,3) = - Ф(,07) = 0,9808 = 0,09 F(-3,) = - Ф(,96) = 0,9750 = 0,050 F(-,8) = - Ф(,79) = 0,9633 = 0,0367 F(-,5) = - Ф(,6) = 0,9474 = 0,056 F(-,3) = - Ф(,5) = 0,9345 = 0,0655 F(-,0) = - Ф(,34) = 0,9099 = 0,090 F(-,8) = - Ф(,3) = 0,8907 = 0,093 F(-,3) = - Ф(0,94) = 0,864 = 0,736 F(-,) = - Ф(0,83) = 0,7967 = 0,033 F(-,0) = - Ф(0,78) = 0,783 = 0,77 F(-0,8) = - Ф(0,66) = 0,7454 = 0,546 F(-0,7) = - Ф(0,6) = 0,790 = 0,70 F(-0,4) = - Ф(0,44) = 0,6700 = 0,3300 F(-0,3) = - Ф(0,38) = 0,6480 = 0,350 F(-0,) = - Ф(0,3) = 0,655 = 0,3745 F(0,0) = Ф(0,) = 0,583 F(0,3) = Ф(0,38) = 0,6480 F(0,7) = Ф(0,6) = 0,790 F(,4) = Ф(,00) = 0,843 F(,8) = Ф(,3) = 0,8907 F(,3) = Ф(,5) = 0,9345 F(,4) = Ф(,56) = 0,9406 F(,7) = Ф(,73) = 0,958 F(3,) = Ф(,0) = 0,9779 F(3,4) = Ф(,3) = 0,9834 Pozostałe oblczea oraz porówywae wartośc d max 0, 975 k α zawera tabela. Poeważ oblczoa wartość d max = 0, 975 ależy do przedzału = ( ) 0, 498 ;, ozacza to ewelke odchylee błędów pomarowych od rozkładu 9

6 Klemes Godek, Waldemar Krupńsk ormalego, w zwązku z czym hpotezę ormalośc ależy odrzucć a pozome stotośc α = 0,05. Aby sprawdzć, czy otrzymay wyk z testu Kołmogorowa-Lleforsa jest właścwy, przeprowadzoo badaa dwoma kolejym testam, a maowce: Cramera-vo Msesa, Watsoa. ad. Statystyka Cramera-vo Msesa Statystykę W tego testu określa wzór [Kasetczuk 993] : W = = z ( ) + (3) 0, 5 W + gdze: z = F( u ) F ( u ) dystrybuata rozkładu N(0 ; ) ( x x) u = σ Oblczea zwera tabela 3. W = (4) Tabela 3. Oblczea do testu Cramera-vo Msesa ( ) ( ) ( ) x x x ["] x x ( x ) x u = z = F(u ) z S -3,30 -,99 8,543 -,6460 0,4950 0,043 0,035 0,00-3,30 -,99 8,543 -,6460 0,0495 0,049 0,0066 0, ,0 -,79 7,440 -,5334 0,0630 0,074-0,0084 0, ,80 -,49 5,870 -,3644 0,0869 0,000-0,03 0, ,50 -,9 4,5065 -,955 0,5 0,86-0,035 0, ,30 -,99 3,6974 -,089 0,40 0,57-0,070 0, ,00 -,69,6337-0,939 0,84 0,857-0,0043 0, ,80 -,49,045-0,803 0,9 0,43-0,004 0, ,80 -,49,045-0,803 0,9 0,49-0,030 0, ,30-0,99 0,857-0,597 0,305 0,74 0,030 0,0009 -,30-0,99 0,857-0,597 0,305 0,3000 0,005 0,0000 -,0-0,79 0,55-0,407 0,3409 0,386 0,03 0, ,00-0,69 0,3880-0,3508 0,363 0,357 0,006 0, ,00-0,69 0,3880-0,3508 0,363 0,3857-0,05 0, ,80-0,49 0,788-0,38 0,405 0,443-0,009 0,000 z 0

7 Badae poprawośc pomarów... ( ) ( ) ( ) x x x ["] x x ( x ) x u = z = F(u ) z S 6-0,70-0,39 0,04-0,88 0,486 0,449-0,043 0, ,40-0,09 0,0005-0,09 0,4960 0,474 0,046 0, ,40-0,09 0,0005-0,09 0,4960 0,5000-0,0040 0, ,30 0,077 0,0060 0,0434 0,560 0,586-0,06 0, ,0 0,77 0,034 0,0998 0,5398 0,557-0,073 0,0003 0,00 0,377 0,4 0,4 0,583 0,5857-0,005 0,0000 0,00 0,377 0,4 0,4 0,583 0,643-0,03 0, ,00 0,377 0,4 0,4 0,583 0,649-0,0597 0, ,00 0,377 0,4 0,4 0,583 0,674-0,088 0, ,00 0,377 0,4 0,4 0,583 0,7000-0,68 0, ,00 0,377 0,4 0,4 0,583 0,786-0,454 0,0 7 0,30 0,677 0,4585 0,383 0,6480 0,757-0,09 0,09 8 0,70,077,60 0,6066 0,790 0,7857-0,0567 0,003 9,40,777 3,58,0008 0,843 0,843 0,070 0, ,80,77 4,7400,6 0,8907 0,849 0,0478 0,003 3,30,677 7,67,5076 0,9345 0,874 0,063 0,0040 3,40,777 7,75,5640 0,9406 0,9000 0,0406 0,006 33,70 3,077 9,4688,739 0,958 0,986 0,096 0, ,0 3,577,7960,045 0,9779 0,957 0,008 0, ,40 3,777 4,668,7 0,9834 0,9857-0,003 0,0000 Suma -3,0 0 0,367 5,33E-5 7,0640 7,5-0,4360 0,078 W = 0, 0805 x = 0,377 V ( x ) = 3, 53 σ( X ) =, 7757 ( ) z W = z + = 0, , 004 = 0, 0805 = 0, 5 W W =, 040 0, 0805 = 0, 087 = + Z tablc Cramera-vo Msesa: dla α = 0,05; wartość krytycza W kryt = 0, 6. Poeważ test jest prawostroy, węc jeżel oblczoe W W, ozacza kryt to, że baday rozkład jest ormaly. W przypadku przecwym hpotezę ormalośc badaego rozkładu ależy odrzucć a pozome stotośc α = 0,05. W przypadku badaym: dla α = 0,05; W 0, 6 0, 087 W kryt = = co ozacza, że baday rozkład błędów jest rozkładem ormalym, czyl że pomary wykoae badaym welatorem są poprawe.

8 Klemes Godek, Waldemar Krupńsk ad 3. Test Watsoa Statystykę U tego testu określa wzór [Kasetczuk 993]: U = W = z 0, 5 U 0, 5 = + U gdze W określoe jest wzorem (3), pozostałe ozaczea jak w teśce Cramera-vo Msesa: U = 0, , , 5 = 0, ( ) 0750 U =, 043 0, 0750 = 0, 076 Z tablc Watsoa: U 06, 0, 087 kryt = (dla α = 0,05). Test Watsoa jest testem prawostroym, węc wosek podobe jak w przypadku testu Cramera-vo Msesa: dla α = 0,05; U 0, 6 0, 076 U kryt = = co ozacza, że błędy pomarów charakteryzują sę rozkładem ormalym, czyl że baday welator dzała poprawe. Ze względu a fakt, że jede test dał wyk egatywy, a dwa pozytywe, przeprowadzoo jeszcze jedo badae wyków pracy welatorem, a maowce a podstawe parametrów. Polczoo take parametry jak: średą x, współczyk asymetr S, współczyk spłaszczea e. Dla rozkładu ormalego wartośc tych parametrów są rówe zeru. W celu podjęca decyzj czy baday rozkład jest rozkładem ormalym ależy oblczyć średe błędy parametrów empryczych. Wzory a badae parametry: x = x = (5) S = x x ( )( ) = σ 3 (6)

9 e = oraz a ch błędy średe: ( ) ( )( )( ) + 3 = m x Badae poprawośc pomarów... x x σ 4 (7) σ = (8) 6( ) m S = (9) ( + )( + 3) ( 3) ( + 5) 4 ( ) m e = (0) ( ) ( + 3) Jeżel różce pomędzy wartoścam empryczym a teoretyczym rozkładu przekraczają dwukrote ch średe błędy ozacza to, że baday rozkład e jest rozkładem ormalym [Ney B. 970]. Dla podaego przykładu odpowede parametry oraz ch średe błędy przyjmują wartośc: x = 0,377 ;, 7757 m x = = ± 0, S = 0,66 ; m S = ±0,386 e = 0,,385 ; m e = ±0,705 co potwerdza wosk z kryterów Cramera-vo Mesesa Watsoa o ormalośc rozkładu błędów pomarów wykoaych testowaym welatorem. WNIOSKI. Test Kołmogorowa-Lleforsa dał odpowedź egatywą, a węc wyka z ego, że błędy pomarowe e charakteryzują sę rozkładem ormalym.. Testy Cramera-vo Mesesa oraz Watsoa wykazały, że błędy te mają rozkład ormaly. 3. Badae parametrów rozkładu empryczego, potwerdzło wyk testów Cramera-vo Mesesa Watsoa o ormalośc rozkładu błędów. 3

10 Klemes Godek, Waldemar Krupńsk 4. Z powyższych wykałoby, że ajostrzejszym z przeprowadzoych testów jest test Kołmogorowa-Lleforsa, ale z całokształtu badań wyka jedak poprawość pomarów wykoaych badaym welatorem. 5. Dla rozstrzygęca wątplwośc ależałoby zwększyć lczbę pomarów, zwększyć staraość ch wykoywaa poowe przebadać wyk testem Kołmogorowa-Lleforsa. BIBLIOGRAFIA Greń J. Modele zadaa statystyk matematyczej. PWN, Warszawa 970. Kasetczuk B. Aalza statystycza geodezyjej sec testowej Kortowo. Zesz. Nauk. AR-T, Olszty 993. Krysck W.. Rachuek prawdopodobeństwa statystyka matematycza w zadaach. Cz. II. Statystyka matematycza. PWN, Warszawa 986. Lzończyk M. Nomala dokładość strumetów pomarowych a ch dokładość użytkowa, rozważaa zwązae z lekturą ormy PN/ISO 83. Przegląd Geodezyjy Nr 3, Warszawa 000. Ney B. Krytera zgodośc rozkładów empryczych z modelam. Zesz. Nauk. PAN, Geodezja 7, Kraków 970. Pawłowsk W. Procedury ustalaa dokładośc użytkowej strumetów pomarowych według owej Polskej Normy PN/ISO 83. Przegląd Geodezyjy Nr. Warszawa 997. Pasek Z. Geodezja budowlaa dla żyer środowska. Zesz. Nauk. PK, Kraków 000. Dr hab. ż. Waldemar Krupńsk, prof. UR Katedra Geodezj Uwersytet Rolczy w Krakowe ul. Balcka 53a Kraków telefo: Dr ż. Klemes Godek Katedra Geodezj Uwersytet Rolczy w Krakowe ul. Balcka 53a Kraków e-mal: rmgodek@cyf-ke.edu.pl telefo: Recezet: Prof. dr hab. ż. Ryszard Hycer 4